结构力学 极限荷载讲解
合集下载
9-结构的极限荷载--上限定理(共17张)
（3）用刚体虚位移原理法（机动法）求静定梁的极限弯矩
荷载的虚功=塑性铰截面极限弯矩的虚功
第7页，共17页。
q
MJ l q
MJ 1 ql2 8
q
θ
θ
2θ
*平衡
(pínghéng)弯矩 法 M max
1 8
ql 2
MJ
qJ
8M J l2
*机动法
qJ
(1 l 2
l )
2
MJ
2
0
qJ
8M J l2
第8页，共17页。
二.连续(liánxù)梁的极限荷载
第17页，共17页。
AB跨破坏
qlΔ 1.2Muθ B Mu 2θ B 0
q1
6.4
Mu l2
BC跨破坏
ql 2
1.2MuθB
1.2MuθC
Mu 2θB
0
q2
17.6
Mu l2
CD跨破坏
q3
6.756
Mu l2
qu
6.4
Mu l2
b（脆性） s（塑性）
k —— 安全系数
第2页，共17页。
2.结构(jiégòu)的塑性分析和极限荷载法
塑性流动状态
屈服 极限
s
A
II
C
I
弹性状态
o s
残余应变
理想弹塑性模型
第3页，共17页。
3.梁的极限(jíxiàn)状态、极限(jíxiàn)弯矩和塑性铰 （1）梁的极限状态和极限弯矩
*弹性分析： 截面的最外层纤维达到材料的屈服应力，即
复习 第十章
第1页，共17页。
§10-1 概述
一.结构的塑性分析和极限荷载的概念
荷载的虚功=塑性铰截面极限弯矩的虚功
第7页，共17页。
q
MJ l q
MJ 1 ql2 8
q
θ
θ
2θ
*平衡
(pínghéng)弯矩 法 M max
1 8
ql 2
MJ
qJ
8M J l2
*机动法
qJ
(1 l 2
l )
2
MJ
2
0
qJ
8M J l2
第8页，共17页。
二.连续(liánxù)梁的极限荷载
第17页，共17页。
AB跨破坏
qlΔ 1.2Muθ B Mu 2θ B 0
q1
6.4
Mu l2
BC跨破坏
ql 2
1.2MuθB
1.2MuθC
Mu 2θB
0
q2
17.6
Mu l2
CD跨破坏
q3
6.756
Mu l2
qu
6.4
Mu l2
b（脆性） s（塑性）
k —— 安全系数
第2页，共17页。
2.结构(jiégòu)的塑性分析和极限荷载法
塑性流动状态
屈服 极限
s
A
II
C
I
弹性状态
o s
残余应变
理想弹塑性模型
第3页，共17页。
3.梁的极限(jíxiàn)状态、极限(jíxiàn)弯矩和塑性铰 （1）梁的极限状态和极限弯矩
*弹性分析： 截面的最外层纤维达到材料的屈服应力，即
复习 第十章
第1页，共17页。
§10-1 概述
一.结构的塑性分析和极限荷载的概念
结构力学结构的极限荷载
P
C
B
M u 5Pl / 32 Pl / 4
将P 代入，得
A
5Pl / 32
P
C
B
5 16 M u M u l Pl / 4 32 3l
P 2M u / 3l Pu P P 6 M u / l
P l / 4
逐渐加载法（增量法）
从受力情况，可判断出塑性铰发生的位置应为A、C。利用极限状态的 Pu 平衡可直接求出极限荷载。 Mu A B 1 l C Mu MA 0 RB ( Pu M u ) l 2 2 RB P l Pu l M u A MC 0 M u RB B 2 4 2 C
Ms s M A ydA A ydAe A s ydA p [3 ( )2 ] 2 Ms s M ——弯矩与曲率关系(非线性关系) M [3 ( )2 ] 或 s 3 2 2 Ms
e p
塑性极限状态： 截面上各点应力均达到屈服 s
§9-4
单跨超静定梁的极限荷载
超静定梁有多余约束，出现一个塑性铰后仍是几何不变体系。 A 截面先出现塑性铰，这时 M A 3Pl / 16 M u
A
P
C
B
P 16 M u / 3l
再增加荷载 l/2
3Pl / 16
A
l/2
M C 5Pl / 32 Pl / 4
令 MC Mu
只能出现一个塑性铰，所以
9M u Pu l
2 Pl 9
讨论： M C Pl / 9 1 Pl Mu Mu 9 Mu
M D 2 Pl / 9 1 Pl Mu 4M u 18 M u
11 结构力学—— 结构的极限荷载
MC
哈工大 土木工程学院
25 / 46
17
结构的塑性分析和极限荷载
A B C FP D
破坏机构实现的条件：
（1）B、C 点出现塑性铰 则：
M C Mu
M A Mu
M B Mu
3
A
Mu
Mu
Mu FP B
Mu
D
9Mu F l
P1
Mu C Mu
Mu
M A 3Mu
哈工大 土木工程学院
哈工大 土木工程学院
12 / 46
17
结构的塑性分析和极限荷载
限弯矩。
80 mm
例题：已知材料的屈服极限σs =240MPa，求图示截面的极 解:
A 0.0036 2 m
g
A1 A2 A / 2 0.0018 2 m
A1 形心距离下端0.045m A2 形心距离上端0.01167m A1与A2的形心距离为0.0633m
哈工大 土木工程学院
7 / 46
17
结构的塑性分析和极限荷载
s
y 弹性阶段 结束的标志是最外纤维某 处应力达到屈服极限应力σs ，此时的弯 矩称屈服弯矩 Ms。 s 2 bh M s dA. y s W s W 弹性抗弯截面系数 6
弹塑性阶段 截面上既有塑性区又 有弹性区（弹性核 y0）。随弯矩 增大，弹性核逐渐减小。
Mu
FP u
6Mu l
20 / 46
哈工大 土木工程学院
17
结构的塑性分析和极限荷载
q
例题：试求图示结构的极限荷载 qu 解： 由梁的弯矩图可 A 知：第一个塑性 铰必出现在固定 支座处； 1 2 ql 8 首先求当出现第一 个塑性铰时支座B 的 约束反力FRB
结构力学 A 极限荷载
,
或:qu
16M l2
u
钢筋混凝土连续梁考虑塑性内力充分布的计算中，多
采用弯矩调幅法。即先按弹性分析求出结构的截面弯矩， 然后将支座弯矩降低，跨中弯矩增大。
M u ql 2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
α=
1/11 －1/11 1/16 －1/16………………………………………
如将跨间塑性铰取在中点，则：
ql 2 8
Mu
Mu 2
qu
12M u l2
, 误差为：3%.
均布荷载作用下，如杆件两端弯矩在基线同侧且 悬殊不太大时，可将跨间塑性铰取在中点。
西华大学土木工程学院 王周胜讲授
16
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qul2/8
MU
l/2
l/2
MU
2M
u
qul 8
2
M
u
qul 2 16
西华大学土木工程学院 王周胜讲授
例15-1求图示简支梁的Pu。 静力法：根据平衡条件
M
u
Pu l 4
得：
Pu
4M l
u
机动法：采用刚塑性假设
画机构虚位移图
虚功方程：
Pu M u 2 0
Pu
2
Mu
4M u l
9
P
l
l
M
u
Pu 4
l
θ
Mu P Mu
Δ
2θ
2
l
极限平 静力法根据塑性铰截面的弯矩Mu，由平衡方程求出. 衡法求Pu 机动法利用机构的极限平衡状态，根据虚功方程求得。
塑性铰可能出现在A、D和B处， l/3
结构力学专题十五(结构的极限荷载)
Mu W
Ms W
称为截面形状系数，其值与截面形状有关。
例：已知材料的屈服极限 s 240 MPa ，
求图示截面的极限弯矩。
80mm
Mu s (S1 S2 ) 27.36kN.m
20mm
2、塑性较 当截面弯矩达到极限弯矩时，在保持弯矩不变的前
提下，截面纤维将无限地伸长和缩短，因此在该小段内， 两个无限靠近的截面可以发生相对转动，这种情况与带 铰截面相似，称这种截面为“塑性铰”。
A
(1)平衡弯矩法
(2)机动法
(3)增量法
F
B
l/2
l/2
例5:求图示等截面梁的极限荷载。 已知梁的极限弯矩为Mu。
A
q
B
l
例6：求图示结构的极限荷载， 材料极限弯矩为Mu。
M
AC
B
1m
3m
三、变截面超静定梁
例7：求图示结构的极限荷载，
已知 Mu Mu
A Mu
Mu F
D
BC
l ll
作业：
思考题 16—2 、16—4、16—5； 习题： 16—1。
塑性铰与普通铰的区别：
（1）普通铰不能承受弯矩，而塑性铰能承受弯矩Mu。 （2）普通铰是双向铰，而塑性铰是单向铰。
3、弹性极限荷载、极限荷载、破坏机构（极限状态）
（1）对弹于性特阶定段的结构，随着荷载的逐渐增加：
各截面弯矩不超过 “屈服弯矩”Ms ；
（2）弹性阶段终止
当某个截面弯矩首先达到“屈服弯矩”Ms时，弹性阶段终止， 此时的荷载称为“弹性极限荷载”Fps；
加载
E S
S
S
弹性
塑性 s
卸载 E
弹性
s
Ms W
称为截面形状系数，其值与截面形状有关。
例：已知材料的屈服极限 s 240 MPa ，
求图示截面的极限弯矩。
80mm
Mu s (S1 S2 ) 27.36kN.m
20mm
2、塑性较 当截面弯矩达到极限弯矩时，在保持弯矩不变的前
提下，截面纤维将无限地伸长和缩短，因此在该小段内， 两个无限靠近的截面可以发生相对转动，这种情况与带 铰截面相似，称这种截面为“塑性铰”。
A
(1)平衡弯矩法
(2)机动法
(3)增量法
F
B
l/2
l/2
例5:求图示等截面梁的极限荷载。 已知梁的极限弯矩为Mu。
A
q
B
l
例6：求图示结构的极限荷载， 材料极限弯矩为Mu。
M
AC
B
1m
3m
三、变截面超静定梁
例7：求图示结构的极限荷载，
已知 Mu Mu
A Mu
Mu F
D
BC
l ll
作业：
思考题 16—2 、16—4、16—5； 习题： 16—1。
塑性铰与普通铰的区别：
（1）普通铰不能承受弯矩，而塑性铰能承受弯矩Mu。 （2）普通铰是双向铰，而塑性铰是单向铰。
3、弹性极限荷载、极限荷载、破坏机构（极限状态）
（1）对弹于性特阶定段的结构，随着荷载的逐渐增加：
各截面弯矩不超过 “屈服弯矩”Ms ；
（2）弹性阶段终止
当某个截面弯矩首先达到“屈服弯矩”Ms时，弹性阶段终止， 此时的荷载称为“弹性极限荷载”Fps；
加载
E S
S
S
弹性
塑性 s
卸载 E
弹性
s
结构的极限荷载
1 1 Pl = M J + M J 3 3
C MJ D
l/3
MJ
P A
l/3
P B
3 l/3
C MJ D1 Pl
l/3
MJ
PJ =
4M J l
检查屈服条件： 检查屈服条件：
1 2 2 M C = Pl M J = M J < M J 3 3 3
§10-3 连续梁的极限荷载 10一.连续梁的极限状态
对任一静力满足屈服条件和平衡条件的可接受荷载，将 小于或等于极限荷载，因此可接受荷载中的极大值是极限荷 载的下限值。
五.极限荷载的单值定理（唯一性定理） 极限荷载的单值定理（唯一性定理）
既是可破坏荷载，又是可接受荷载，则为极限荷载。 或同时满足机构条件、屈服条件和平衡条件的荷载，必为 极限荷载。
P A
q MJ l
x
*精确解
V
V=
ql M J 2 l
Q=
ql M J qx = 0 2 l
x= l MJ 2 ql
M max = (
ql M J l M J 1 l M )( ) q( J )2 = M J l 2 ql 2 2 2 ql
q θ MJ 2θ θ
解得 q = 11.66
l *近似解 x = 2
M J = W Sσ s
矩形截面
1 h bh 2 W S = 2 × bh × = 2 4 4 bh 2 W= 6
W S ≥ W 经济
（2）塑性铰 当截面达到塑性极限状态时，中性轴上、下各点应 力全都达到受压和受拉的屈服极限，截面两侧可以互相 转动，从变形上看，如同出现一个铰，称为塑性铰。 塑性铰与普通铰的不同之处： 塑性铰与普通铰的不同之处： ①塑性铰是单向铰，只能向一致方向发生有限的转动。 塑性铰是单向铰，只能向一致方向发生有限的转动。 ②塑性铰承受并传递极限弯矩Mu。 塑性铰承受并传递极限弯矩Mu。 Mu ③塑性铰不是一个铰点，而是具有一定的长度。 塑性铰不是一个铰点，而是具有一定的长度。
C MJ D
l/3
MJ
P A
l/3
P B
3 l/3
C MJ D1 Pl
l/3
MJ
PJ =
4M J l
检查屈服条件： 检查屈服条件：
1 2 2 M C = Pl M J = M J < M J 3 3 3
§10-3 连续梁的极限荷载 10一.连续梁的极限状态
对任一静力满足屈服条件和平衡条件的可接受荷载，将 小于或等于极限荷载，因此可接受荷载中的极大值是极限荷 载的下限值。
五.极限荷载的单值定理（唯一性定理） 极限荷载的单值定理（唯一性定理）
既是可破坏荷载，又是可接受荷载，则为极限荷载。 或同时满足机构条件、屈服条件和平衡条件的荷载，必为 极限荷载。
P A
q MJ l
x
*精确解
V
V=
ql M J 2 l
Q=
ql M J qx = 0 2 l
x= l MJ 2 ql
M max = (
ql M J l M J 1 l M )( ) q( J )2 = M J l 2 ql 2 2 2 ql
q θ MJ 2θ θ
解得 q = 11.66
l *近似解 x = 2
M J = W Sσ s
矩形截面
1 h bh 2 W S = 2 × bh × = 2 4 4 bh 2 W= 6
W S ≥ W 经济
（2）塑性铰 当截面达到塑性极限状态时，中性轴上、下各点应 力全都达到受压和受拉的屈服极限，截面两侧可以互相 转动，从变形上看，如同出现一个铰，称为塑性铰。 塑性铰与普通铰的不同之处： 塑性铰与普通铰的不同之处： ①塑性铰是单向铰，只能向一致方向发生有限的转动。 塑性铰是单向铰，只能向一致方向发生有限的转动。 ②塑性铰承受并传递极限弯矩Mu。 塑性铰承受并传递极限弯矩Mu。 Mu ③塑性铰不是一个铰点，而是具有一定的长度。 塑性铰不是一个铰点，而是具有一定的长度。
结构的极限荷载和例题讲解
简化计算： 假设材料为理想弹塑性材料，其应力～应变关系下图所示。
§12-2 极限弯矩和塑性铰 破坏机构 静定梁的计算
一、弹塑性阶段工作情况
理想弹塑性材料T形截面梁处于纯弯曲状态时
弹性状态：
图b：截面处于弹性阶段，σ<σs （屈服极限） 图c：截面最外边缘处σ＝σs （达到屈服极限） 屈服弯矩（弹性极限弯矩）MS = Wσs（W：弯曲截面系数） 图d：截面处于弹塑性阶段。 靠外部分形成塑性区，其应力为常数，σ＝σs ， 靠内部分仍为弹性区，称弹性核，其应力直线分布 图e：截面全部达到塑性——极限情形， 这时的弯矩是该截面所能承受的最大弯矩 ——极限弯矩，以Mu 表示。
等截面超静定梁（图a） （各截面Mu相同） 弹性——弹塑性阶段——极限状态过程:
（1）弹性阶段弯矩图：P≤Ps （2首）先弹在塑A性端阶形段成M并图扩：大荷，载然超后过CP截s，面塑也性形区成
塑性性铰区。。A端首先达到Mu并出现第一个塑
（3）极限状态M图：荷载再增加，A端弯矩 增量为零，当荷载增加到使跨中截面的弯矩达 到Mu时，在该截面形成第二个塑性铰，于是梁 即变为机构，而梁的承载力即达到极限值。此 时的荷载称为极限荷载Pu——极限状态（e）。
破坏机构——极限状态： 结构出现若干塑性铰而成为几何可变或瞬变体系时 ——结构丧失承载能力
三、静定梁的计算
静定梁由于没有多余联系，因此，出现一个塑性铰时，即 成为破坏机构。
对于等截面梁，在弯矩绝对值最大截面处达到极限弯矩， 该截面形成塑性铰。
由塑性铰处的弯矩等于极限弯矩和平衡条件，就可求出静 定梁的极限荷载。
结构的极限荷载和例题 讲解
§12－1 概述
结构设计方法：
1、容许应力法（弹性分析法）：
结构力学课件结构的极限荷载
中性轴附近处于弹性状态，处于弹性的部分称为弹性核。
（3）塑性流动阶段
Mu
bh2 4
s
—— 塑性极限弯矩(简称为极限弯矩)
M u 1.5 —— 截面形状系数。圆形截面1.7，工字形
Ms
截面1.10-1.17，圆环截面1.27-1.40。
※塑性铰
当截面弯矩达到极限弯矩,这时的曲率记作 κ。u
s 3 2 Mu 0
（2）只需考虑平衡条件，无需考虑变形协调条件，比弹 性计算简单；
（3）超静定结构的极限荷载，不受温度变化、支座移动 等因素的影响。
例：求图示变截面梁的极限荷载。已知 AB 段的极限弯矩 为2Mu，BC 段为Mu 。
A
BP
2Mu
C
A
BD
3Mu
C
A
D
l/3 l/3 l/3
Mu
Mu D
C
B Mu
2Mu A
0.5Mu D
C
B
Mu
Pu min P1 , P2 , P3
7.5M u l
4Mu
P l 3 l
2l 3
1 3
2M
u
4M u ,
P1
21M u l
P l 3 l
2l 3
1 3
3M
u
Mu,
P2
9M u l
P l 3 l
2l 3
1 3 2M u
Mu,
P3
7.5M u l
例：求图示变截面梁的极限荷载。已知 AB 段的极限弯矩 为2Mu，BC 段为Mu 。
3. 连续梁的极限荷载
超静定结构有多余约束，必须出现足够多的塑性铰 才能成为机构，从而丧失承载能力。
结构力学第17章结构的塑性分析与极限荷载
Mu
(
l
) 0
l
得:
FPu
6M u l
[例] 求梁的极限荷载，已知极限弯矩为Mu。
q
qu
A
C
B
l/2
l/2
A Mu
Mu l
C B
2 Mu
解：计算刚体虚功：
2
瞬变体系机构
W
l
y qu dx
Mu
Mu
Mu
qu
(
l
l
)
M u
qu l
M u
虚功方程：
qu l
M u
qu
16M u l2
FPu
M
' u
3 2l
Mu
9 2l
A
M ' u
A
2l /3
FPu
DC
Mu
D
l/3
FPu
l
(M u
M u )
A
3 2l
D
3 2l
3 l
9 2l
弯矩图如图，弯矩
MB=
1 2
(M
' u
Mu )
M
u
,即M
' u
3M u
时，此破坏形态就可实现。
M' u
1 2
(M
' u
-
M
u
)
FPu D
C
A
B
Mu
综上，当M
Mu
FP增大
A
C
B
FP继续增大，第二个塑性铰出现在C 截面，梁变为机构。弯矩 增量图相应于简支梁的弯矩图（如图）。
Mu
FP达到极限值FPu
结构力学第16章---结构的极限荷载
极限荷载同时满足平衡条件、内力局限条件和单向机构条件； 极限荷载既是可破坏荷载, 又是可接受荷载。
（1）基本定理： 可破坏荷载 FP 恒不小于可接受荷载 FP ，即 FP FP
（2）唯一性定理: 极限荷载值是唯一确定的。
（3）上限定理（极小定理）：可破坏荷载是极限荷载的上限； 即极限荷载是可破坏荷载中的极小值。 FPu FP
qu
6.4
Mu l2
§16-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理
比例加载: 所有荷载变化时都彼此保持固定的比例，可用一个 参数FP表示； 荷载参数FP只是单调增大，不出现卸载现象。
假设条件: 材料是理想弹塑性的； 截面的正极限弯矩与负极限弯矩的绝对值相等； 忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。
结构的极限受力状态应满足的条件: （1）平衡条件: 结构的整体或任一局部都能维持平衡； （2）内力局限条件: 任一截面弯矩绝对值都不超过其极限弯矩； （3）单向机构条件: 结构成为机构能够沿荷载方向作单向运动。
11.7
Mu l2
§16-5 刚架的极限荷载
基本假设: （1）当出现塑性铰时，塑性区退化为一个截面（塑性铰处的
截面），其余部分仍为弹性区。 （2）荷载按比例增加，且为结点荷载，塑性铰只出现在结点
处。 （3）每个杆件的极限弯矩为常数，各杆的极限弯矩可不同。 （4）忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。
1. 增量变刚度法的基本思路: 把非线性问题转化为分阶段的几
0 0
k
e 1
2
0 EA
l 0
0 0 0
0 0 0
0 EA
l 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
3. 计算步骤-求刚架极限荷载(比例加载, 荷载用荷载参数FP表示)
（1）基本定理： 可破坏荷载 FP 恒不小于可接受荷载 FP ，即 FP FP
（2）唯一性定理: 极限荷载值是唯一确定的。
（3）上限定理（极小定理）：可破坏荷载是极限荷载的上限； 即极限荷载是可破坏荷载中的极小值。 FPu FP
qu
6.4
Mu l2
§16-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理
比例加载: 所有荷载变化时都彼此保持固定的比例，可用一个 参数FP表示； 荷载参数FP只是单调增大，不出现卸载现象。
假设条件: 材料是理想弹塑性的； 截面的正极限弯矩与负极限弯矩的绝对值相等； 忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。
结构的极限受力状态应满足的条件: （1）平衡条件: 结构的整体或任一局部都能维持平衡； （2）内力局限条件: 任一截面弯矩绝对值都不超过其极限弯矩； （3）单向机构条件: 结构成为机构能够沿荷载方向作单向运动。
11.7
Mu l2
§16-5 刚架的极限荷载
基本假设: （1）当出现塑性铰时，塑性区退化为一个截面（塑性铰处的
截面），其余部分仍为弹性区。 （2）荷载按比例增加，且为结点荷载，塑性铰只出现在结点
处。 （3）每个杆件的极限弯矩为常数，各杆的极限弯矩可不同。 （4）忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。
1. 增量变刚度法的基本思路: 把非线性问题转化为分阶段的几
0 0
k
e 1
2
0 EA
l 0
0 0 0
0 0 0
0 EA
l 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
3. 计算步骤-求刚架极限荷载(比例加载, 荷载用荷载参数FP表示)
结构力学 极限荷载讲解
q Байду номын сангаас1
qu 2
Mu Mu
M u Wu s
Mu
Mu
2、不同结构，只要材料、截面积、截面形状相同，塑性弯矩一定相同。
3、材料、截面积、截面形状相同的不同结构，qu不一定相同。
q u1
qu 2
Mu1
M u1 M u 2 qu1 qu 2
Mu2 Mu2
第15章
四、如何确定单跨梁的极限荷载 1、机理 q
s
y
第15章
3、截面形状系数：极限弯矩与屈服弯矩之比
M u Wu M s Ws
矩 形 截 面 ： 1.5 16 圆形截面： 3 工 字 形 截 面 ： 1.15
4、截面达到极限弯矩时的特点
极限状态时，无论截面形状如何，中性轴两侧的拉压面积相等。依 据这一特点可确定极限弯矩。
D
M u2
B A C
p
D
B
p
机构（一）A C M u2 D
M u2 M u1
M u2
B 情况（1）
M u1
C A B
p
D B
p
C D
机构（二）A
M u2
情况（2）
M u2
p
M u1
M u1
B C A
p
D
机构（三）A
C
M u2
D
B
M u2
不可能出现，为什么？ 情况（3）
第15章
试确定图示单跨梁的极限荷载
第15章
例题2 试用试算法求图示结构的极限荷载。 p 解 法2 ： 1.1 p
A D B E
C
试取机构（ 2） p2 a M u M u 2 Mu a 绘 出 与机 构 （ 2） 相应的 M图 ， p2 3
qu 2
Mu Mu
M u Wu s
Mu
Mu
2、不同结构，只要材料、截面积、截面形状相同，塑性弯矩一定相同。
3、材料、截面积、截面形状相同的不同结构，qu不一定相同。
q u1
qu 2
Mu1
M u1 M u 2 qu1 qu 2
Mu2 Mu2
第15章
四、如何确定单跨梁的极限荷载 1、机理 q
s
y
第15章
3、截面形状系数：极限弯矩与屈服弯矩之比
M u Wu M s Ws
矩 形 截 面 ： 1.5 16 圆形截面： 3 工 字 形 截 面 ： 1.15
4、截面达到极限弯矩时的特点
极限状态时，无论截面形状如何，中性轴两侧的拉压面积相等。依 据这一特点可确定极限弯矩。
D
M u2
B A C
p
D
B
p
机构（一）A C M u2 D
M u2 M u1
M u2
B 情况（1）
M u1
C A B
p
D B
p
C D
机构（二）A
M u2
情况（2）
M u2
p
M u1
M u1
B C A
p
D
机构（三）A
C
M u2
D
B
M u2
不可能出现，为什么？ 情况（3）
第15章
试确定图示单跨梁的极限荷载
第15章
例题2 试用试算法求图示结构的极限荷载。 p 解 法2 ： 1.1 p
A D B E
C
试取机构（ 2） p2 a M u M u 2 Mu a 绘 出 与机 构 （ 2） 相应的 M图 ， p2 3
结构力学 结构塑性分析的极限荷载
FP2/2
5FP1/2
5FP2/2
(b) M C M s FP1 FPs (c) M S M C M u FPs FP2 FPu
3FPu Mu
FPu/2
Fpu FPu/2
5FPu/2
(d) M C M u
2FPu
FPu/2
(e)
(1).结构的极限状态
极限荷载是相应于结构极限状态时的荷载。
塑性铰的以下特征：
(1)塑性铰承受并传递极限弯矩Mu。 (2)塑性铰是单向铰，只能使其两侧按与荷 载增加（弯矩增大）相一致方向发生有限的 转动。 (3)塑性铰不是一个铰点，而是具有一定的 长度。
综上所述，截面上各点应力均等于屈服应力 的应力状态、截面达到极限弯矩、截面形成 塑性铰，均表示该截面达到其塑性流动的极 限状态。
即：
(
FP 2 L 4
Mu 2
)
FP L 4
Mu
解得：
FP 2
FP
6M u L
(a)
即：
FPu
6M u L
2)超静定梁的极限荷载
由前已由叠加方法得出了式(a)所示单跨 超静定梁的极限荷载。观察梁的最后极 限 弯 矩 图 (g) ， 既 是 所 叠 加 的 两 弯 矩 图 (c)、(e)的叠加结果。利用梁的极限弯 矩图的平衡条件，可得：
当MC<Mu，FP2<FPu时，梁处于弹塑性发 展阶段，弯矩图见图(c)。 当MC=Mu时，截面C也将首先达到截面的塑 性极限状态，也即形成第一个塑性铰。
结构上出现足够多的塑性铰，能使原结构 成为破坏机构时的状态为结构的极限状态。 结构在极限状态仍能保持静力平衡。
(2)结构的极限荷载
a.极限弯矩平衡法 由静力平衡条件得：
结构力学 第12章结构的极限荷载
§12-5 计算极限荷载的穷举法和试算法
1、穷举法：也称机构法或机动法。列举所有可能的破坏机构， 、穷举法：也称机构法或机动法。列举所有可能的破坏机构， 求出相应的荷载，取其最小者即为极限荷载。 最小者即为极限荷载 求出相应的荷载，取其最小者即为极限荷载。 2、试算法：任选一种破坏机构，求出相应荷载，并作弯矩图， 、试算法：任选一种破坏机构，求出相应荷载，并作弯矩图， 若满足内力局限条件，则该荷载即为极限荷载； 若满足内力局限条件，则该荷载即为极限荷载； 如 不满足，则另选一机构再试算……，直至满足。 不满足，则另选一机构再试算 ，直至满足。 试求图a所示变截面梁的极限荷载 所示变截面梁的极限荷载。 例12-3 试求图 所示变截面梁的极限荷载。 解：此梁出现两个塑性铰即成为破坏 机构。 机构。除最大负弯矩和最大正弯 截面外， 矩所在的A、 截面外 矩所在的 、C截面外，截面突 变处D右侧也可能出现塑性铰 右侧也可能出现塑性铰。 变处 右侧也可能出现塑性铰。
静定结构出现一个塑性铰即成为 静定结构出现一个塑性铰即成为 破坏机构。对等截面梁，塑性铰出现 破坏机构。对等截面梁， 在|M|max处。 所示截面简支梁， 图a所示截面简支梁，跨中截面弯 所示截面简支梁 矩最大， 矩最大，该处出现塑性铰时梁成为机 构如图b。 构如图 。同时该截面弯矩达到极限弯 矩Mu。 由平衡条件作 图如 。 由平衡条件作M图如 图如c。 由
qu = 11.66Mu l2
§12-4比例加载时有关极限荷载的几个定理
比例加载：作用于结构上的各个荷载增加时， 比例加载：作用于结构上的各个荷载增加时，始终保持它们 之间原有的固定比例关系，且不出现卸载现象。 之间原有的固定比例关系，且不出现卸载现象。 荷载参数F：所有荷载都包含的一个公共参数。 荷载参数 ：所有荷载都包含的一个公共参数。确定极限荷 载 实际上就是确定极限状态时的荷载参数Fu。 实际上就是确定极限状态时的荷载参数 结构处于极限状态时应同时满足： 结构处于极限状态时应同时满足： （1）机构条件。结构出现足够数目的塑性铰而成为机构。 ）机构条件。结构出现足够数目的塑性铰而成为机构。 （2）内力局限条件。任一截面的弯矩绝对值 ）内力局限条件。任一截面的弯矩绝对值|M|≤ Mu。 （3）平衡条件。结构的整体或任一局部仍维持平衡。 ）平衡条件。结构的整体或任一局部仍维持平衡。
结构力学第16章___结构的极限荷载
+ 即极限荷载是可破坏荷载中的极小值。 FPu ≤ FP 即极限荷载是可破坏荷载中的极小值。
）：可接受荷载是极限荷载的下限 （4）下限定理（极大定理）：可接受荷载是极限荷载的下限； ）下限定理（极大定理）：可接受荷载是极限荷载的下限；
− 即极限荷载是可破坏荷载中的极大值。 即极限荷载是可破坏荷载中的极大值。 FPu ≥ FP
M u = σ s ( S1 + S 2 )
S1、S2为面积 1、 A2对等面积轴的静矩 为面积A
梁在横向荷载作用下的弯曲问题—理想弹塑性材料 梁在横向荷载作用下的弯曲问题 理想弹塑性材料 加载初期：各截面的 ＜ 继续加载，直到某个截面M=Ms， 加载初期：各截面的M＜Ms。继续加载，直到某个截面 弹性阶段终结。此时的荷载—弹性极限荷载 弹性极限荷载F 弹性阶段终结。此时的荷载 弹性极限荷载 Ps。 荷载＞FPs ：梁中形成塑性区。 荷载＞ 梁中形成塑性区。 加大荷载：在某截面处 形成塑性铰。 加大荷载：在某截面处M=Mu，形成塑性铰。 承载力无法增加—极限状态 承载力无法增加 极限状态 此时的荷载—极限荷载 极限荷载F 此时的荷载 极限荷载 Pu。 梁的极限荷载可根据塑性铰截面的弯矩=极限值的条件，利 梁的极限荷载可根据塑性铰截面的弯矩 极限值的条件， 极限值的条件 用平衡方程求出。 用平衡方程求出。
第16章
§16-1 §16-2 §16-3 §16-4 §16-5 §16-6 §16-7
结构的极限荷载
概述 极限弯矩、塑性铰和极限状态 超静定梁的极限荷载 比例加载时判定极限荷载的一般定理 刚架的极限荷载 用求解器求极限荷载(略) 小结
§16-1 概 述
1. 弹性设计方法 以许用应力为依据确定截面的尺寸或进行强度验算的作法。 以许用应力为依据确定截面的尺寸或进行强度验算的作法。 缺点：没有考虑材料的塑性特性，不经济。 缺点：没有考虑材料的塑性特性，不经济。 2. 塑性设计方法 考虑材料的塑性变形，确定结构破坏时所能承担的荷载(极限荷 考虑材料的塑性变形，确定结构破坏时所能承担的荷载 极限荷 载)，以此为依据得到容许荷载的方法。 ，以此为依据得到容许荷载的方法。 结构塑性分析中， 结构塑性分析中，为简化计算将材料简化 为理想弹塑性材料，其应力应变关系如图示： 为理想弹塑性材料，其应力应变关系如图示： OA段：线弹性阶段，应力-应变为线性关系 段 线弹性阶段，应力 应变为线性关系 AB段：塑性流动状态，一个应力对应不同的 段 塑性流动状态， 应变。 应变。
）：可接受荷载是极限荷载的下限 （4）下限定理（极大定理）：可接受荷载是极限荷载的下限； ）下限定理（极大定理）：可接受荷载是极限荷载的下限；
− 即极限荷载是可破坏荷载中的极大值。 即极限荷载是可破坏荷载中的极大值。 FPu ≥ FP
M u = σ s ( S1 + S 2 )
S1、S2为面积 1、 A2对等面积轴的静矩 为面积A
梁在横向荷载作用下的弯曲问题—理想弹塑性材料 梁在横向荷载作用下的弯曲问题 理想弹塑性材料 加载初期：各截面的 ＜ 继续加载，直到某个截面M=Ms， 加载初期：各截面的M＜Ms。继续加载，直到某个截面 弹性阶段终结。此时的荷载—弹性极限荷载 弹性极限荷载F 弹性阶段终结。此时的荷载 弹性极限荷载 Ps。 荷载＞FPs ：梁中形成塑性区。 荷载＞ 梁中形成塑性区。 加大荷载：在某截面处 形成塑性铰。 加大荷载：在某截面处M=Mu，形成塑性铰。 承载力无法增加—极限状态 承载力无法增加 极限状态 此时的荷载—极限荷载 极限荷载F 此时的荷载 极限荷载 Pu。 梁的极限荷载可根据塑性铰截面的弯矩=极限值的条件，利 梁的极限荷载可根据塑性铰截面的弯矩 极限值的条件， 极限值的条件 用平衡方程求出。 用平衡方程求出。
第16章
§16-1 §16-2 §16-3 §16-4 §16-5 §16-6 §16-7
结构的极限荷载
概述 极限弯矩、塑性铰和极限状态 超静定梁的极限荷载 比例加载时判定极限荷载的一般定理 刚架的极限荷载 用求解器求极限荷载(略) 小结
§16-1 概 述
1. 弹性设计方法 以许用应力为依据确定截面的尺寸或进行强度验算的作法。 以许用应力为依据确定截面的尺寸或进行强度验算的作法。 缺点：没有考虑材料的塑性特性，不经济。 缺点：没有考虑材料的塑性特性，不经济。 2. 塑性设计方法 考虑材料的塑性变形，确定结构破坏时所能承担的荷载(极限荷 考虑材料的塑性变形，确定结构破坏时所能承担的荷载 极限荷 载)，以此为依据得到容许荷载的方法。 ，以此为依据得到容许荷载的方法。 结构塑性分析中， 结构塑性分析中，为简化计算将材料简化 为理想弹塑性材料，其应力应变关系如图示： 为理想弹塑性材料，其应力应变关系如图示： OA段：线弹性阶段，应力-应变为线性关系 段 线弹性阶段，应力 应变为线性关系 AB段：塑性流动状态，一个应力对应不同的 段 塑性流动状态， 应变。 应变。
结构的极限荷载
第11章 结构的极限荷载前面各章所讨论的结构计算均是以线弹性结构为基础的，即限定结构在弹性范围内工作。
当结构的最大应力达到材料的极限应力n σ时，结构将会破坏，故强度条件为[]max nKσσσ=≤ 式中，max σ为结构的最大工作应力；[]σ为材料的许用应力；n σ为材料的极限应力，对于脆性材料为其强度极限b σ，对于塑性材料为其屈服极限s σ；K 为安全系数。
基于这种假定的结构分析称为弹性分析。
从结构强度角度来看，弹性分析具有一定的缺点。
对于塑性材料的结构，尤其是超静定结构，在某一截面的最大应力达到屈服应力，某一局部已进入塑性阶段时，结构并不破坏，还能承受更大的荷载继续工作，因此按弹性分析设计是不够经济合理的。
另外，弹性分析无法考虑材料超过屈服极限以后，结构的这一部分的承载能力。
塑性分析方法就是为了弥补弹性分析的不足而提出和发展起来的。
它充分地考虑了材料的塑性性质，以结构完全丧失承载能力时的极限状态作为结构破坏的标志。
此时的荷载是结构所能承受荷载的极限，称为极限荷载，记为u F 。
结构的强度条件可表示为u F F K≤ 式中F 为结构工作荷载，K 为安全系数。
显然，塑性分析的强度条件比弹性分析更切合实际。
塑性分析方法只适用于延展性较好的塑性材料的结构，对于脆性材料的结构或对变形有较大限制的结构应慎用这种方法。
对结构进行塑性分析时，平衡条件和几何条件与弹性分析时相同，如平截面假设仍然成立，所不同的是物理条件。
为了简化计算，对于所用的材料，常用如图11.1所示的应力—应变曲线。
当应力达到屈服极限以前，材料处于弹性阶段，应力与应变成正比；当应力达到屈服极限s σ时，材料开始进入塑性变形阶段，应力保持不变，应变可无限增加；卸载时，材料恢复弹性但存在残余变形。
凡符合这种应力—应变关系的材料，称为理想弹塑性材料。
实际钢结构一般可视为理想弹塑性材料。
对于钢筋混凝土受弯构件，在混凝土受拉区出现裂缝后，拉力完全由钢筋承受，故也可采用这种简化的应力—应变曲线进行塑性分析。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
q
h
ql2/8
b
应 力
s
s
s
应 变
s
塑性区
三、基本假设
1、材料为“理想弹塑性材料” 。 2、拉压时，应力、应变关系相同。
3、满足平截面假定。即无论弹、塑性阶段，保持平截面不变。
y
卸载时有残余变形
第15章
15.2 极限弯矩、塑性铰、破坏机构
一、屈服弯矩与极限弯矩 1、屈服弯矩（Ms): 截面最外侧纤维的应力达到流动极限时对应的弯矩。
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
天津城市建设学院力学教研室
第15章
一、弹性分析
梁和刚架的极限荷载
15.1 概述
材料在比例极限内的结构分析（利用弹性分析计算内力），以许 用应力为依据确定截面或进行验算的方法。 q
A s e p
A
B b h
l
1、设计：
ql2/8
o
s———流动极限（屈服极限） e———弹性极限 p———比例极限
ql 2 12 ql 2 12
ql 2 24
q u1
Mu
q u1 l Mu 12
q u1 l 2 M u 24 2
2
Mu
q u1 l 2 Mu 12
（1）弹性阶段
qs
qs l 2 12 qs l 2 12
qs l 2 24
（3）梁两端出现塑性铰
qu 2 q u1
（2）弹性阶段末
Mu
可得： qu 2 4Mu l2
第15章
例题1 试用机动法求图示结构的极限荷载。 p 1.1 p
解：
2a
a
1.1 p
Mu
a
a
p
机构（ 1） 1.1p1 2a M u 3 M u 2 p1 2.27 Mu a
2
Mu
3
机构（ 2） p2 a M u M u 2
机构（1）
Mu
q
1.1 p
Mu
p
x
q
机构（4）
结论：机构（1）、（2）不会出现，各跨可单独考虑。
q
第15章
弯矩（ M）、剪力（ Q）与荷载集度 (q) 关系:
0
A
ql 2
q
B
N
q( x )
M
M+dM N+dN Q
x
dx
l
ql 2
q
dx
Q+dQ
x
q( x ) q
q
y0
ql qx 2
ql 2
x
dQ q( x ) dx
D
M u2
B A C
p
D
B
p
机构（一）A C M u2 D
M u2 M u1
M u2
B 情况（1）
M u1
C A B
p
D B
p
C D
机构（二）A
M u2
情况（2）
M u2
p
M u1
M u1
B C A
p
D
机构（三）A
C
M u2
D
B
M u2
不可能出现，为什么？ 情况（3）
第15章
试确定图示单跨梁的极限荷载
q
l
qu
A
x
Mu x
l 2
2
B
dx C
Mu
Mu
临 界 状 态 时 ， 由 虚 功程 方： 2 x qu dx M u M u M u 2
1 2 l qu 4 M u 4 16M u qu l2
l 2 0
第15章
3、确定单跨梁极限荷载的静力法
Mu
Mu
M u qu 2 l 2 2 8
Mu
Mu
令
12M u 由情况（ 3） ， 可 知 ： qu1 l2 12M u 4 M u 16M u 于 是 q u q u1 q u 2 2 l2 l l2
M u qu 2 l 2 Mu 2 8
（4）极限状态
第15章
2、确定单跨梁极限荷载的机动法
第15章
例题2 试用试算法求图示结构的极限荷载。 p 解 法2 ： 1.1 p
A D B E
C
试取机构（ 2） p2 a M u M u 2 Mu a 绘 出 与机 构 （ 2） 相应的 M图 ， p2 3
2a
a
1.1 p
a
a
p
2
Mu
验 算 屈服 条 件 ：
M图
第15章
例题3 求图示结构的极限荷载。
p
解： 机构（ 1） p1 2a p1 a M u M u 3 p1 1.33 Mu a
p
q 2p
a
1.2 p
A
E
F
B
C
D
a
p
机构12Leabharlann aap Mu
3
2a
q 2p a
a
a
1.2 p
机构（ 2） p2 a p2 2a M u 2 M u 3 p1 1.67
1.1 p
p
2
p2 3
Mu a
Mu
Mu
Mu 依 上 限 定 理 ： pu 2.27 a
机构（2）
第15章
例题1 试用机动法求图示结构的极限荷载。 (1)分析弯矩与曲率的关系 : p 1.1 p
A D B E
C
1
y
M EI
(a )当M为 正 值 时 ， 曲 率 为 负 ； 值
p1
Mu Mu
p2
B
Mu
p1
p2
B
p1
p2
B
Mu
机构（一）
Mu
机构（一）M 图情况
Mu
p1
p2
B
Mu
p1
p2
B
机构（二）
Mu
Mu
机构（二）M 图情况
Mu
p1
机构（三）
p2
B
M u2
不可能出现，为什么？
第15章
15.3 确定极限荷载的几个定理
一、几点假设 1、比例加载
a ) p1 1 p, p2 2 p, , pn n p b) q1 1q, q2 2q , , qn nq
2、小变形假设（几何线形），变形后仍用变形前的几何尺寸。 3、略去弹性变形（弹塑性材料，刚塑性变形。）
qu 2
Mu
Mu 4、不计剪力、轴力对极限荷载的影响
5、正负极限弯矩值相等
Mu Mu
Mu
第15章
二、结构极限状态时应满足的三个条件 1、机构条件
当荷载达到极限值时，结构上必须有足够多的塑性铰，而使结构变 成机构。
p
矩形截面：
B
A
C
M u A1 s y1 A2 s y2 h h bh2 2 (b ) s s 2 4 4
A1 s A1 s A1 s
Mu
y1 y2
A1 s
h
A
C
b
A2 s
A2 s
A2 s
A2 s
第15章
2a
a
1.1 p
Mu 机构（3）
a
p
a
Mu
(b)当M为 负 值 时 ， 曲 率 为 正 。 值
x
M
M
y
(2)分析弯矩与荷载集度 (q)关系:
d 2M q dx2 (a )当q为 正 值 (向 下 ） 时 ， 曲 率 为 负 ； 值 (b)当q为 负 值 (向 上 ） 时 ， 曲 率 为 正 。 值
dM Q( x ) dx
ql 2
M 0
Q( x )
Q
x
ql 2 8 ql 1 M ( x) x q x 2 2 2
d 2M q( x ) 2 dx
M
第15章
例题2 试用试算法求图示结构的极限荷载。 p 解 法1 ： 1.1 p
A D B E
C
试取机构（ 1） 1.1p1 2a M u 3 M u 2 Mu a 绘出与 机构（ 1） 相应的 M图， p1 2.27
2a
a
1.1 p
Mu
a
a
p
验算屈 服条件：
M EC 1 1 p1 2a M u 4 2 M 1 1 ( 2.27 u ) 2a M u 4 a 2 0.635M u M u
2
Mu
3
机构（1）
1.1 p
Mu
p
Mu
M图
M EC
经验算各截面弯矩值足 满屈服条件， M pu 2.27 u a
Mu
M DA
机构（2）
1.1 p
Mu
p
1 2 (1.1 p2 ) 2a M u 3 3 3M u 1 2 (1.1 ) 2a M u 3 a 3 1.53M u M u
M DA
Mu
经 验 算 各 截 面 弯 矩 值满 不足 屈 服 条 件 ， M p2 3 u 不 是 极 限 荷 载 。 a
d3
32
h 2 h 2
s
h 2 2
y
2、极限弯矩（Mu): 整个截面达到塑性流动状态时，对应的弯矩。
h
ql2/8
b
应 力
s
s
s
应 变
s
塑性区
三、基本假设
1、材料为“理想弹塑性材料” 。 2、拉压时，应力、应变关系相同。
3、满足平截面假定。即无论弹、塑性阶段，保持平截面不变。
y
卸载时有残余变形
第15章
15.2 极限弯矩、塑性铰、破坏机构
一、屈服弯矩与极限弯矩 1、屈服弯矩（Ms): 截面最外侧纤维的应力达到流动极限时对应的弯矩。
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
天津城市建设学院力学教研室
第15章
一、弹性分析
梁和刚架的极限荷载
15.1 概述
材料在比例极限内的结构分析（利用弹性分析计算内力），以许 用应力为依据确定截面或进行验算的方法。 q
A s e p
A
B b h
l
1、设计：
ql2/8
o
s———流动极限（屈服极限） e———弹性极限 p———比例极限
ql 2 12 ql 2 12
ql 2 24
q u1
Mu
q u1 l Mu 12
q u1 l 2 M u 24 2
2
Mu
q u1 l 2 Mu 12
（1）弹性阶段
qs
qs l 2 12 qs l 2 12
qs l 2 24
（3）梁两端出现塑性铰
qu 2 q u1
（2）弹性阶段末
Mu
可得： qu 2 4Mu l2
第15章
例题1 试用机动法求图示结构的极限荷载。 p 1.1 p
解：
2a
a
1.1 p
Mu
a
a
p
机构（ 1） 1.1p1 2a M u 3 M u 2 p1 2.27 Mu a
2
Mu
3
机构（ 2） p2 a M u M u 2
机构（1）
Mu
q
1.1 p
Mu
p
x
q
机构（4）
结论：机构（1）、（2）不会出现，各跨可单独考虑。
q
第15章
弯矩（ M）、剪力（ Q）与荷载集度 (q) 关系:
0
A
ql 2
q
B
N
q( x )
M
M+dM N+dN Q
x
dx
l
ql 2
q
dx
Q+dQ
x
q( x ) q
q
y0
ql qx 2
ql 2
x
dQ q( x ) dx
D
M u2
B A C
p
D
B
p
机构（一）A C M u2 D
M u2 M u1
M u2
B 情况（1）
M u1
C A B
p
D B
p
C D
机构（二）A
M u2
情况（2）
M u2
p
M u1
M u1
B C A
p
D
机构（三）A
C
M u2
D
B
M u2
不可能出现，为什么？ 情况（3）
第15章
试确定图示单跨梁的极限荷载
q
l
qu
A
x
Mu x
l 2
2
B
dx C
Mu
Mu
临 界 状 态 时 ， 由 虚 功程 方： 2 x qu dx M u M u M u 2
1 2 l qu 4 M u 4 16M u qu l2
l 2 0
第15章
3、确定单跨梁极限荷载的静力法
Mu
Mu
M u qu 2 l 2 2 8
Mu
Mu
令
12M u 由情况（ 3） ， 可 知 ： qu1 l2 12M u 4 M u 16M u 于 是 q u q u1 q u 2 2 l2 l l2
M u qu 2 l 2 Mu 2 8
（4）极限状态
第15章
2、确定单跨梁极限荷载的机动法
第15章
例题2 试用试算法求图示结构的极限荷载。 p 解 法2 ： 1.1 p
A D B E
C
试取机构（ 2） p2 a M u M u 2 Mu a 绘 出 与机 构 （ 2） 相应的 M图 ， p2 3
2a
a
1.1 p
a
a
p
2
Mu
验 算 屈服 条 件 ：
M图
第15章
例题3 求图示结构的极限荷载。
p
解： 机构（ 1） p1 2a p1 a M u M u 3 p1 1.33 Mu a
p
q 2p
a
1.2 p
A
E
F
B
C
D
a
p
机构12Leabharlann aap Mu
3
2a
q 2p a
a
a
1.2 p
机构（ 2） p2 a p2 2a M u 2 M u 3 p1 1.67
1.1 p
p
2
p2 3
Mu a
Mu
Mu
Mu 依 上 限 定 理 ： pu 2.27 a
机构（2）
第15章
例题1 试用机动法求图示结构的极限荷载。 (1)分析弯矩与曲率的关系 : p 1.1 p
A D B E
C
1
y
M EI
(a )当M为 正 值 时 ， 曲 率 为 负 ； 值
p1
Mu Mu
p2
B
Mu
p1
p2
B
p1
p2
B
Mu
机构（一）
Mu
机构（一）M 图情况
Mu
p1
p2
B
Mu
p1
p2
B
机构（二）
Mu
Mu
机构（二）M 图情况
Mu
p1
机构（三）
p2
B
M u2
不可能出现，为什么？
第15章
15.3 确定极限荷载的几个定理
一、几点假设 1、比例加载
a ) p1 1 p, p2 2 p, , pn n p b) q1 1q, q2 2q , , qn nq
2、小变形假设（几何线形），变形后仍用变形前的几何尺寸。 3、略去弹性变形（弹塑性材料，刚塑性变形。）
qu 2
Mu
Mu 4、不计剪力、轴力对极限荷载的影响
5、正负极限弯矩值相等
Mu Mu
Mu
第15章
二、结构极限状态时应满足的三个条件 1、机构条件
当荷载达到极限值时，结构上必须有足够多的塑性铰，而使结构变 成机构。
p
矩形截面：
B
A
C
M u A1 s y1 A2 s y2 h h bh2 2 (b ) s s 2 4 4
A1 s A1 s A1 s
Mu
y1 y2
A1 s
h
A
C
b
A2 s
A2 s
A2 s
A2 s
第15章
2a
a
1.1 p
Mu 机构（3）
a
p
a
Mu
(b)当M为 负 值 时 ， 曲 率 为 正 。 值
x
M
M
y
(2)分析弯矩与荷载集度 (q)关系:
d 2M q dx2 (a )当q为 正 值 (向 下 ） 时 ， 曲 率 为 负 ； 值 (b)当q为 负 值 (向 上 ） 时 ， 曲 率 为 正 。 值
dM Q( x ) dx
ql 2
M 0
Q( x )
Q
x
ql 2 8 ql 1 M ( x) x q x 2 2 2
d 2M q( x ) 2 dx
M
第15章
例题2 试用试算法求图示结构的极限荷载。 p 解 法1 ： 1.1 p
A D B E
C
试取机构（ 1） 1.1p1 2a M u 3 M u 2 Mu a 绘出与 机构（ 1） 相应的 M图， p1 2.27
2a
a
1.1 p
Mu
a
a
p
验算屈 服条件：
M EC 1 1 p1 2a M u 4 2 M 1 1 ( 2.27 u ) 2a M u 4 a 2 0.635M u M u
2
Mu
3
机构（1）
1.1 p
Mu
p
Mu
M图
M EC
经验算各截面弯矩值足 满屈服条件， M pu 2.27 u a
Mu
M DA
机构（2）
1.1 p
Mu
p
1 2 (1.1 p2 ) 2a M u 3 3 3M u 1 2 (1.1 ) 2a M u 3 a 3 1.53M u M u
M DA
Mu
经 验 算 各 截 面 弯 矩 值满 不足 屈 服 条 件 ， M p2 3 u 不 是 极 限 荷 载 。 a
d3
32
h 2 h 2
s
h 2 2
y
2、极限弯矩（Mu): 整个截面达到塑性流动状态时，对应的弯矩。