结构力学 极限荷载讲解

d3
32
h 2 h 2
s
h 2 2
y
2、极限弯矩（Mu): 整个截面达到塑性流动状态时，对应的弯矩。
矩 形 截 面 ：M u y ( s )bdy y s b 2
h 2
bh2 s 4
s
dy
b
h 2 h 2
d3 圆 形 截 面 ：Mu s 6
s
y
x
s
y
第15章
3、截面形状系数：极限弯矩与屈服弯矩之比
M u Wu M s Ws

矩 形 截 面 ： 1.5 16 圆形截面： 3 工 字 形 截 面 ： 1.15
4、截面达到极限弯矩时的特点
极限状态时，无论截面形状如何，中性轴两侧的拉压面积相等。依 据这一特点可确定极限弯矩。
q
l
qu
A

x
Mu x
l 2
2

B
dx C
Mu
Mu
临 界 状 态 时 ， 由 虚 功程 方： 2 x qu dx M u M u M u 2
1 2 l qu 4 M u 4 16M u qu l2
l 2 0
第15章
3、确定单跨梁极限荷载的静力法
1.1 p
p

2
p2 3
Mu a
Mu
Mu
Mu 依 上 限 定 理 ： pu 2.27 a
机构（2）
第15章
例题1 试用机动法求图示结构的极限荷载。 (1)分析弯矩与曲率的关系 : p 1.1 p
A D B E
C

1

y
M EI
(a )当M为 正 值 时 ， 曲 率 为 负 ； 值
二、塑性铰ຫໍສະໝຸດ Baidu1、塑性铰的概念
qu
B A C
Mu
C
2、塑性铰的特点（与机械铰的区别） （1）普通铰不能承受弯矩，塑性铰能够承受弯矩；
（2）普通铰双向转动，塑性铰单向转动；
（3）卸载时机械铰不消失；当q＜qu，塑性铰消失。
第15章
三、破坏机构 由于足够多的塑性铰的出现，使原结构成为机构（几何可变体系）， 失去继续承载的能力，该几何可变体系称为“机构”。 1、不同结构在荷载作用下，成为机构，所需塑性铰的数目不同。
Mu
q
1.1 p
Mu
p
x
q
机构（4）
结论：机构（1）、（2）不会出现，各跨可单独考虑。
q
第15章
弯矩（ M）、剪力（ Q）与荷载集度 (q) 关系:
0
A
ql 2
q
B
N
q( x )
M
M+dM N+dN Q
x
dx
l
ql 2
q
dx
Q+dQ
x
q( x ) q
q
y0
ql qx 2
ql 2
x
dQ q( x ) dx
p p
一系列 可破坏 荷载的 最小值
…… ……
pu
极限荷载 一系列 可接受 荷载的 最大值
“ 既是可破坏荷载，又是可接受荷载，则此荷载是极限荷载”。 或：“极限荷载是唯一的”
15.4 超静定梁的极限荷载
一、确定极限荷载的三种方法 1、机动法
2、静力法
3、试算法 二、机动法 1、依据：机动法是以上限定理为依据的。 2、步骤：先假设出所有的破坏机构，而后利用虚位移原理计算出 各机构相应的极限荷载。依据上限定理，这些可破坏荷载中的最小者 即为极限荷载。 二、试算法 1、依据：试算法是以单值定理为依据的。 2、步骤：先试算出相应于某一破坏机构的可破坏荷载，而后验算 该荷载是否满足屈服条件，若满足，该荷载即为极限荷载。
p1
Mu Mu
p2
B
Mu
p1
p2
B
p1
p2
B
Mu
机构（一）
Mu
机构（一）M 图情况
Mu
p1
p2
B
Mu
p1
p2
B
机构（二）
Mu
Mu
机构（二）M 图情况
Mu
p1
机构（三）
p2
B
M u2
不可能出现，为什么？
第15章
15.3 确定极限荷载的几个定理
一、几点假设 1、比例加载
a ) p1 1 p, p2 2 p, , pn n p b) q1 1q, q2 2q , , qn nq
矩 形 截 面 ： M s ( ) bdy y 2b s y h 3
h 3 2 h 2 h 2 h 2 h 2 h 2
y bydy s h 2
s
b
h 2 h 2
bh2 s 6

s
dy
y
x
圆 形 截 面 ：M s
2a
a
1.1 p
Mu
a
a
p
验算屈 服条件：
M EC 1 1 p1 2a M u 4 2 M 1 1 ( 2.27 u ) 2a M u 4 a 2 0.635M u M u

2
Mu
3
机构（1）
1.1 p
Mu
p
Mu
M图
M EC
经验算各截面弯矩值足 满屈服条件， M pu 2.27 u a
2、屈服条件 当荷载达到极限值时，结构上各截面的弯矩都不能超过其极限值。
Mu M Mu
3、平衡条件
当荷载达到极限值时，作用在结构整体上或任意局部上的所有的力 都必须保持平衡。
第15章
三、三个定义 1、可破坏荷载（p+)
对任意单向破坏机构，根据平衡条件求得的荷载。它满足机构条件 和平衡条件。
D
M u2
B A C
p
D
B
p
机构（一）A C M u2 D
M u2 M u1
M u2
B 情况（1）
M u1
C A B
p
D B
p
C D
机构（二）A
M u2
情况（2）
M u2
p
M u1
M u1
B C A
p
D
机构（三）A
C
M u2
D
B
M u2
不可能出现，为什么？ 情况（3）
第15章
试确定图示单跨梁的极限荷载
q
A
C
B
l
Mu
Mu
Mu
极限状态弯矩图
Mu
C
qu
l 2
B
y0
Mu
VB
qu l 2
MB 0

l l M u M u qu 0 2 4
vA 0
vB
qu l 2
极限状态受力图
qu
16M u l2
第15章
4、确定复杂结构极限荷载面临的问题
p
A
C
M u1 M u2
第15章
例题1 试用机动法求图示结构的极限荷载。 p 1.1 p
解：
2a
a
1.1 p
Mu
a
a
p
机构（ 1） 1.1p1 2a M u 3 M u 2 p1 2.27 Mu a

2
Mu
3
机构（ 2） p2 a M u M u 2
机构（1）
Mu
M DA
机构（2）
1.1 p
Mu
p
1 2 (1.1 p2 ) 2a M u 3 3 3M u 1 2 (1.1 ) 2a M u 3 a 3 1.53M u M u
M DA
Mu
经 验 算 各 截 面 弯 矩 值满 不足 屈 服 条 件 ， M p2 3 u 不 是 极 限 荷 载 。 a
ql 2 12 ql 2 12
ql 2 24
q u1
Mu
q u1 l Mu 12
q u1 l 2 M u 24 2
2
Mu
q u1 l 2 Mu 12
（1）弹性阶段
qs
qs l 2 12 qs l 2 12
qs l 2 24
（3）梁两端出现塑性铰
qu 2 q u1
（2）弹性阶段末
Mu
可得： qu 2 4Mu l2
Mu
Mu
M u qu 2 l 2 2 8
Mu
Mu
令
12M u 由情况（ 3） ， 可 知 ： qu1 l2 12M u 4 M u 16M u 于 是 q u q u1 q u 2 2 l2 l l2
M u qu 2 l 2 Mu 2 8
（4）极限状态
第15章
2、确定单跨梁极限荷载的机动法
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
天津城市建设学院力学教研室
第15章
一、弹性分析
梁和刚架的极限荷载
15.1 概述
材料在比例极限内的结构分析（利用弹性分析计算内力），以许 用应力为依据确定截面或进行验算的方法。 q

A s e p
A
B b h
l
1、设计：
ql2/8
o
s———流动极限（屈服极限） e———弹性极限 p———比例极限
2、可接受荷载屈服条件（p-) 根据静力可能而又安全的内力分布求得的荷载。它满平衡条件和屈 服条件。 3、极限荷载（pu)
同时满足机构条件、平衡条件和屈服条件的荷载。它既是可破坏荷 载，又是可接受荷载。
第15章
四、确定极限荷载三个定理 1、上限定理（亦称“机动定理”、或“极小定理”) 对于比例加载作用下的给定结构，按任意可能的破坏 机构，由平衡条件求得的荷载将大于或等于极限荷载。 或：“可破坏荷载的最小值是极限荷载的上限”。 或：“极限荷载是可破坏荷载的最小值” 2、下限定理（亦称“静力定理”、或“极大定理”) 或：“可接受荷载的最大值是极限荷载的下限”。 或：“极限荷载是可接受荷载的最大值” 3、单值定理（亦称“唯一定理”)
p
矩形截面：
B
A
C
M u A1 s y1 A2 s y2 h h bh2 2 (b ) s s 2 4 4
A1 s A1 s A1 s

Mu
y1 y2
A1 s

h
A
C
b
A2 s
A2 s
A2 s
A2 s
第15章
dM Q( x ) dx
ql 2
M 0
Q( x )
Q
x
ql 2 8 ql 1 M ( x) x q x 2 2 2
d 2M q( x ) 2 dx
M
第15章
例题2 试用试算法求图示结构的极限荷载。 p 解 法1 ： 1.1 p
A D B E
C
试取机构（ 1） 1.1p1 2a M u 3 M u 2 Mu a 绘出与 机构（ 1） 相应的 M图， p1 2.27
q u1
qu 2
Mu Mu
M u Wu s
Mu
Mu
2、不同结构，只要材料、截面积、截面形状相同，塑性弯矩一定相同。
3、材料、截面积、截面形状相同的不同结构，qu不一定相同。
q u1
qu 2
Mu1
M u1 M u 2 qu1 qu 2
Mu2 Mu2
第15章
四、如何确定单跨梁的极限荷载 1、机理 q
2、小变形假设（几何线形），变形后仍用变形前的几何尺寸。 3、略去弹性变形（弹塑性材料，刚塑性变形。）
qu 2
Mu
Mu 4、不计剪力、轴力对极限荷载的影响
5、正负极限弯矩值相等
Mu Mu
Mu
第15章
二、结构极限状态时应满足的三个条件 1、机构条件
当荷载达到极限值时，结构上必须有足够多的塑性铰，而使结构变 成机构。
M图
第15章
例题3 求图示结构的极限荷载。
p
解： 机构（ 1） p1 2a p1 a M u M u 3 p1 1.33 Mu a
p
q 2p
a
1.2 p
A
E
F
B
C
D
a
p
机构1
2
a
a
p Mu

3
2a
q 2p a
a
a
1.2 p
机构（ 2） p2 a p2 2a M u 2 M u 3 p1 1.67
q
h
ql2/8
b
应 力

s
s
s
应 变

s
塑性区
三、基本假设
1、材料为“理想弹塑性材料” 。 2、拉压时，应力、应变关系相同。
3、满足平截面假定。即无论弹、塑性阶段，保持平截面不变。

y
卸载时有残余变形

第15章
15.2 极限弯矩、塑性铰、破坏机构
一、屈服弯矩与极限弯矩 1、屈服弯矩（Ms): 截面最外侧纤维的应力达到流动极限时对应的弯矩。
2a
a
1.1 p
Mu 机构（3）
a
p
a
Mu
(b)当M为 负 值 时 ， 曲 率 为 正 。 值
x
M
M
y
(2)分析弯矩与荷载集度 (q)关系:
d 2M q dx2 (a )当q为 正 值 (向 下 ） 时 ， 曲 率 为 负 ； 值 (b)当q为 负 值 (向 上 ） 时 ， 曲 率 为 正 。 值
2、验算：
3、弹性分析缺陷：
Mmax W≥ [ ] Mmaxy Mmax ≤[] ＝ ＝ I W
（1）最大应力达到屈服极限时，截面并未全 部进入流动状态； （2）超静定结构某一局部应力达到屈服状态 时，结构并不破坏。
二、塑性分析
按照极限状态进行结构设计的方法。结构破坏瞬时对应的荷载称 为“极限荷载”；相应的状态称为“极限状态”。
第15章
例题2 试用试算法求图示结构的极限荷载。 p 解 法2 ： 1.1 p
A D B E
C
试取机构（ 2） p2 a M u M u 2 Mu a 绘 出 与机 构 （ 2） 相应的 M图 ， p2 3
2a
a
1.1 p
a
a
p

2
Mu
验 算 屈服 条 件 ：
机构（ 3）
Mu a
Mu