结构的极限荷载

求图示变截面梁的极限荷载.已知AB段的极限弯矩为2 AB段的极限弯矩为 例:求图示变截面梁的极限荷载.已知AB段的极限弯矩为2Mu,BC 段为M 段为 u 。 解:确定塑性铰的位置 确定塑性铰的位置 P A B C 1.若 出现塑性铰， 1.若B、D出现塑性铰，则B、D两截面的弯 D l/3 l/3 l/3 矩为M 这种情况不会出现。 矩为Mu，M A = 3M u 这种情况不会出现。 2.若A出现塑性铰，再加荷载时，B截面 2.若 出现塑性铰，再加荷载时， Mu 3M u 弯矩减少D截面弯矩增加， 弯矩减少D截面弯矩增加，故另一塑性 铰出现于D截面。 铰出现于D截面。 Mu
（1）普通铰不能承受弯矩，塑性铰能够承受弯矩； ）普通铰不能承受弯矩，塑性铰能够承受弯矩； （2）普通铰双向转动，塑性铰单向转动； ）普通铰双向转动，塑性铰单向转动； 塑性铰消失。 （3）卸载时机械铰不消失；当q＜qu，塑性铰消失。 ）卸载时机械铰不消失； ＜ （4）随荷载分布而出现于不同截面。 随荷载分布而出现于不同截面。
W I
1616-1-2 塑性设计
是为了消除弹性设计方法的缺点而发展起来的。 在塑性设计中，首先要确定结构破坏时所能承担的荷 载(即极限荷载 极限荷载），然后将极限荷载乘以荷载系数得 极限荷载 出容许荷载，并以此为依据来进行设计。
1616-1-3 基本假设
① 材料是理想的弹塑性材 料； ② 满足平面截面假定； ③ 忽略剪力和轴力对极限 弯矩的影响。 弯矩的影响。
4M u Fpu = l
δθ
C
2δθ
Fpu/2
本例中，截面上有剪力， 本例中，截面上有剪力，剪力 会使极限弯矩值降低， 会使极限弯矩值降低，但一般 影响较小，可略去不计。 影响较小，可略去不计。
§ 16-3 超静定梁的极限荷载 16-
超静定梁有多余约束，出现 一个塑性铰后仍是几何不变 体系。
1616-3-1 超静定梁的破坏过程和极限荷载的特点
σs σs
σs
σs
弹塑性状态
弹性状态
横截面上受压和受拉的面积分别为 A1 和 A2 ，当截面上无轴力作用时
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σ s A1 − σ s A2 = 0
A1 = A2 = A / 2
中性轴亦为等分截面轴。 中性轴亦为等分截面轴。 由此可得极限弯矩的计算方法
2 bh h bh h bh M u = σ s A1a1 + σ s A2 a2 = σ s ( S1 + S2 ) = σ s ⋅ + ⋅ = σs 4 2 4 2 4
A = σ y × × 0.0633 = 27.36kN.m 2
20mm
1616-2-2 塑性铰
1、塑性铰的概念 、 当截面弯矩达到极限弯矩 A 截面可发生有限转动, 时 ， 截面可发生有限转动 , 这种截面可称为塑性铰 塑性铰。 这种截面可称为塑性铰。 2、塑性铰的特点（与机械铰的区别） 、塑性铰的特点（与机械铰的区别）
S a1、a2为A1、A2的形心到等分截面轴的 距离， 1、S 2为A1、A2 对该轴的静矩。
bh 2 Mu = σs 4
Mu = 1.5 ---塑性极限弯矩 简称为极限弯矩) 塑性极限弯矩( ---塑性极限弯矩(简称为极限弯矩) Ms
例：已知材料的屈服极限 解:
σ y = 240MPa ，求图示截面的极限弯矩。 求图示截面的极限弯矩。
相邻跨联合破坏 不会出现
例：求图示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截面的,AB、BC跨的极限 求图示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截面的,AB、BC跨的极限 ,AB 弯矩为M CD跨的极限弯矩为 跨的极限弯矩为3 弯矩为 u ，CD跨的极限弯矩为3Mu 。 0.8P 解：先分别求出各跨独自破坏时的 q=P/ =P/a =P/ P P 破坏荷载. 破坏荷载. A D B C E F AB跨破坏时 （1）AB跨破坏时 a
δθ
2δθ
a 0.8P
δθ
2a q=P/ =P/a =P/
a P
a P
a
0.8P + × aδθ = M u ⋅ 2δθ + M u ⋅ δθ P + = 3.75M u / a
D
（2）BC跨破坏时 BC跨破坏时
0.8P
q=P/ =P/a =P/
δθ
2δθ
P
δθ
P
P+ 1 × ⋅ 2a ⋅ aδθ = Mu ⋅δθ + Mu ⋅ 2δθ + Muδθ a 2 P + = 4M u / a
σ = Eyκ
σ max = σ s
---弯矩与曲率关系 M = ∫ σydA = EIκ ---弯矩与曲率关系
A
bh2 Ms = σs 6
---弹性极限弯矩(屈服弯矩) ---弹性极限弯矩(屈服弯矩) 弹性极限弯矩
② 弹塑性阶段
M M
极限状态
σs
h
σs
y0 y0
σs σs
b
σs
σs
弹塑性状态
弹性状态
Mu1
Mu2
例 16-1 如图所示设有矩形截面简支梁在跨中承受集 16中荷载作用，试求极限荷载FPu。 解：由静力条件
即
静定结构无多余约束， 出现一个塑性铰即成为 破坏机构。这时结构上 的荷载即为极限荷载。 的荷载即为极限荷载。
也可列虚功方程
Fpu
A
δθ B
Mu
l We = Fpu × δθ × − M u × 2δθ = 0 2
求极限荷载相当于求P的极限值。 求极限荷载相当于求P的极限值。
结构处于极限状态时，应同时满足下面三个条件： 结构处于极限状态时，应同时满足下面三个条件：
1.单向机构条件； 弯矩极限( 内力局限）条件； 平衡条件。 1.单向机构条件； 弯矩极限( 内力局限）条件； 平衡条件。 单向机构条件 2. 3.平衡条件 2.弯矩极限 3.
80mm
A = 0.0036m 2 A1 = A2 = A / 2 = 0.0018m 2
形心距下端0.045m, 形心距上端0.01167m, A1形心距下端0.045m, A2形心距上端0.01167m, 的形心距为0.0633m. A1与A2的形心距为0.0633m.
M u = σ y ( S1 + S 2 )
2δθ
a P
3δθ
a P
δθ
0.8P + × aδθ = M u ⋅ 2δθ + M u ⋅ δθ P + = 3.75M u / a
（2）BC跨破坏时 BC跨破坏时
D
0.8P
q=P/ =P/a =P/
δθ
P
P
δθ
P+ 1 × ⋅ 2a ⋅ aδθ = Mu ⋅δθ + Mu ⋅ 2δθ + Muδθ a 2 P + = 4M u / a
即 用虚功原理来做 设跨中位移为δ，则 外力所作功为： W = F δ − M θ − M θ = 0 e pu u 1 u 2
极限荷载的特点 1. 超静定结构极限荷载的计算无需考虑结构弹塑性 变形的发展过程，只需考虑最后的破坏机构； 变形的发展过程，只需考虑最后的破坏机构； 2. 超静定结构极限荷载的计算，只需考虑静力平衡 超静定结构极限荷载的计算， 条件，而无需考虑变形协调条件， 条件，而无需考虑变形协调条件，因而比弹性计 算简单； 算简单； 3. 超静定结构的极限荷载，不受温度变化、支座移 超静定结构的极限荷载，不受温度变化、 动等因素的影响。 动等因素的影响。这些因素只影响结构变形的发 展过程，而不影响极限荷载的数值。 展过程，而不影响极限荷载的数值。
（3）CD跨破坏时 CD跨破坏时 有三种情况： 有三种情况：
例：求图示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截面的,AB、BC跨的极限 求图示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截面的,AB、BC跨的极限 ,AB 弯矩为M CD跨的极限弯矩为 跨的极限弯矩为3 弯矩为 u ，CD跨的极限弯矩为3Mu 。 0.8P 解：先分别求出各跨独自破坏时的 q=P/ =P/a =P/ P P 可破坏荷载. 可破坏荷载. A D B C E F AB跨破坏时 （1）AB跨破坏时 a a 0.8P 2a q=P/ =P/a =P/ a
§ 16-1 概述 161616-1-1 弹性设计
根据弹性计算结果，以许用应力为依据确定截面 的尺寸或进行强度验算。 是否合理？
σ
q A
σs σ σp e
h b l ql2/8
M σ O ε W ≥ max 其中[σ ] = s 1、设计： 、设计： σs———流动极限（屈服极限） 流动极限（屈服极限） 流动极限 [σ ] k σe———弹性极限 弹性极限 Mmax Mmax y = ≤ [σ ] σp———比例极限 比例极限 2、验算： σ = 、验算：
A δθ A
2M u
δθ C
C
δy
δθ D
1616-3-２ 连续梁的极限荷载
连续梁的破坏机构
两个假定： 两个假定： (1)各跨均为等截面杆； 各跨均为等截面杆； 各跨均为等截面杆 (2)梁所受的荷载方向相同， 梁所受的荷载方向相同， 梁所受的荷载方向相同 并按比例增加
一跨单独破坏
在各跨等截面、 在各跨等截面、荷 载方向相同条件下， 载方向相同条件下， 破坏机构只能在各 跨内独立形成。 跨内独立形成。
Mu Mu 2、不同结构，只要材料、截面积、截面形状相同，极限弯 、不同结构，只要材料、截面积、截面形状相同， 矩一定相同。 矩一定相同。 M u = Wu ⋅ σ s 3、材料、截面积、截面形状相同的不同结构，qu不一定相 、材料、截面积、截面形状相同的不同结构， 同。 qu2 q u1
M u1 = M u 2 Mu2 q u1 ≠ q u 2
qu
C Mu C
B
1616-2-3 破坏机构
当结构在荷载作用下形成足够数目的塑性铰时， 结构（整体或局部）就变成了几何可变体系。称这一 可变体系为破坏机构 破坏机构，简称机构 机构。 破坏机构 机构
破坏机构可以是整体性的，也可能是局部的。 破坏机构可以是整体性的，也可能是局部的。
注意事项：
1、不同结构在荷载作用下，成为机构，所需塑性铰的数目 、不同结构在荷载作用下，成为机构， 不同。 不同。 qu 2 qu1 Mu Mu
比例加载---作用于结构上的所有荷载按同一比例增加， 比例加载---作用于结构上的所有荷载按同一比例增加，且 ---作用于结构上的所有荷载按同一比例增加 不出现卸载的加载方式。 不出现卸载的加载方式。
P = α1 P 1 q1 = β1 P P2 = α 2 P q2 = β 2 P
P 1 q1 q2 P2
σs
σ ε
εs
§ 16-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态 16- 极限弯矩、 1616-2-1 极限弯矩和极限状态
M M
h
b
① 弹性阶段
M M
σs
h
b
σs
σ max < σ s
σ = Eε ε = yκ
---应力应变关系 ---应力应变关系 ---应变与曲率关系 ---应变与曲率关系 ---应力与曲率关系 ---应力与曲率关系 线性关系
2l l δθ A = δy δθ C = δy 3 3 δθ D = δθ A + δθ C = 9δy / 2l
A
2M u
∆P
B
Pu
Mu
列虚功方程： 列虚功方程： Pu δ y − 2 M u δθ A − M u δθ D = 0
3 9 Pu δ y − 2 M u δ y − M u δ y = 0 2l 2l 15 Pu = Mu 2l
第十六章
结构的极限荷载
(The Ultimate Load of Structure)
目 录 (contents)
---------------------------------------------------------§ 16-1 概述 § 16-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态 § 16-3 超静定梁的极限荷载 § 16-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理 ----------------------------------------------------------
中性轴附近处于弹性状态，处于弹性的部分称为弹性核。 中性轴附近处于弹性状态，处于弹性的部分称为弹性核。 弹性核 Ms κs 2 非线性关系 ---弯矩与曲率关系 ---弯矩与曲率关系 M= [3 − ( ) ] 2 k
或
κs M = 3− 2 κ Ms
③ 塑性流动阶段
M M
极限状态
σs
h
b
σs
y0 y0
（3）CD跨破坏时 CD跨破坏时
0.8P
q=P/ =P/a =P/
P
δθ
2δθ
P
P+ × aδθ + P+ ⋅ 2aδθ = Mu ⋅ δθ + 3Mu ⋅ 3δθ
2δθ
3δθ
P + = 3.33M u / a P = 3.33Mu / a u
§ 16-４ 比例加载时判定极限荷载的一般定理 161616-4-1 几个基本概念