第6章系统的状态变量分析法

§6-1 状态、状态变量与状态方程
一、 状态与状态变量
M个输入
N阶系统
L个输出
线性时不变系统，以上方程中的系数矩阵是常数矩阵。其中 所谓系统在时刻t0的状态，是在此时刻从系统得到的一组最少 且必须的数据；由这组数据和此时刻作用于系统的输入，可以确定 此时刻以后系统的状态和输出。 所谓系统的状态变量，是所有时间的状态，它一般是时间的函 数。
三个电容电压只有两个是独立的。
二、 由输入输出描述列写状态方程
1、相变量法 此时系统的微分方程与系统函数形式如下：
d N y (t ) N −1 d k y (t ) M d r x(t ) − ∑ ak = ∑ br dt N dt k dt r k =0 r =0
根据信号流图，输出方程 一般（N>M）情况下为
列包含电容支路的节点电流方程，
C dv c ( t ) = [ x 2 ( t ) − v c ( t )] / R 2 + i L ( t ) dt
§6-2 状态方程的建立
一、 由电路直接列写状态方程
⑴ 选择状态变量。通常选择电路中独立的电感电流与独立的电容 电压作为状态变量。 ⑵ 列方程。列含有独立电感支路的回路电压方程，含独立电容支 路的节点电流方程。 ⑶ 整理方程。将所获方程整理成标准形式。
aN −2 a1 a0
b1
s −1
λ1 b0
Y ( s)
bM
bM −1
s −1 λ N s −1 λ N −1 λ2
a N −1
aN −2 a1 a0
x(t )
uc (t )
C
于是
R 1 1 ⎧ diL (t ) = − iL (t ) − uC (t ) + x(t ) ⎪ ⎪ dt L L L ⎨ ⎪ duC (t ) = 1 i (t ) L ⎪ C ⎩ dt
y (t ) = uC (t )
----状态方程
----输出方程
1⎞ ⎟ i (t ) ⎞ ⎛ 1 ⎞ L ⎜ ⎟ L ⎟⎛ ⎜ ⎜ u (t ) ⎟ ⎟ + ⎜ L ⎟ x(t ) 0 ⎟ ⎟⎝ C ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎠
⎛ a11 ⎜ ⎜a A = ⎜ 21 M ⎜ ⎜a ⎝ N1 a12 a22 M aN 2 L a1N ⎞ ⎟ L a2 N ⎟ L M ⎟ ⎟ L a NN ⎟ ⎠ L c1N ⎞ ⎟ L c2 N ⎟ L M ⎟ ⎟ L cLN ⎟ ⎠ ⎛ b11 b12 ⎜ b22 ⎜b B = ⎜ 21 M M ⎜ ⎜b ⎝ N 1 bN 2 ⎛ d11 ⎜ ⎜d D = ⎜ 21 M ⎜ ⎜d ⎝ L1 d12 d 22 M d L2 L b1M ⎞ ⎟ L b2 M ⎟ L M ⎟ ⎟ L bNM ⎟ ⎠ L d1M ⎞ ⎟ L d2M ⎟ L M ⎟ ⎟ L d LM ⎟ ⎠
⑶ 整理方程。
di L ( t ) = [ x 1 ( t ) − i L ( t )] R 1 − v c ( t ) = − R 1 i L ( t ) − v c ( t ) + R 1 x 1 ( t ) dt 1 di L ( t ) R R ∴ = − 1 iL (t ) − v c ( t ) + 1 x1 (t ) L L L dt 1 1 dv c ( t ) vc (t ) + x 2 (t ) C = [ x 2 ( t ) − v c ( t )] / R 2 + i L ( t ) = i L ( t ) − R2 R2 dt L
将以上方程以矩阵表示
⎛ diL (t ) ⎞ ⎛ R ⎟ ⎜− ⎜ ⎜ dt ⎟ = ⎜ L ⎜ duC (t ) ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ dt ⎠ ⎝ C −
⎛ iL (t ) ⎞ y (t ) = (0 1)⎜ ⎟ ⎜ u (t ) ⎟ ⎝ C ⎠
三、 状态变量分析法的优点
⑴ 状态方程与输出方程均是规范的形式，且状态方程是一阶方 程，便于利用计算机进行数值求解。 ⑵ 状态变量分析法的描述，适用于多输入多输出的系统。形成的 系统方程不会随系统的复杂而复杂。 ⑶ 状态变量往往是系统内部重要的物理量。通过考察状态变量的 变化，可以反映系统的性能。 ⑷ 与系统状态变量有关的，所谓系统可观性与可控性，是控制理 论中的重要概念。 ⑸ 状态变量分析法也可以用在非线性和时变系统的分析。
第六章 系统的状态变量分析法
状态变量分析法，在现代系统和控制理论中广泛应用。 由于学时及后续课程的原因，这里只作简单的入门介绍。 按计划，我们只介绍连续时间系统的状态变量分析，分以 下三节讲授 §6-1 状态、状态变量与状态方程 §6-2 状态方程的建立 §6-3 状态方程的求解
以上方程中，电感电流与电容电压是系统的状态变量。由状态 变量构成的列矢量，称为状态矢量。一般地，状态方程与输出方程 的矩阵表示为
M
a1 a0
y ( t ) = b 0 λ 1 ( t ) + b1 λ 2 ( t ) + L + b M − 1 λ M ( t ) + b M λ M + 1 ( t )
系统的信号流图形式如下：
X (s)
bM
bM −1
写成矩阵式
b0
Y ( s)
b1
s −1
a N −1
aN −2
s −1
s −1
⎧ y1 (t ) = c11λ1 (t ) + c12 λ2 (t ) + L + c1N λ N (t ) + d11 x1 (t ) + L + d1M xM (t ) ⎪ y (t ) = c λ (t ) + c λ (t ) + L + c λ (t ) + d x (t ) + L + c x (t ) 21 1 22 2 2N N 21 1 2M M ⎪ 2 M ⎨ ⎪ M ⎪ ⎩ y L (t ) = cL1λ1 (t ) + cL 2 λ2 (t ) + L + cLN λ N (t ) + d L1 x1 (t ) + L + d LM xM (t )
所谓“独立”的电感电流是指各电流不能互相完全表示的电感电 流；图(a)中
is + i1 + i2 = 0
is
i1 i2
( a)
由于电流源的约束，两个电感 电流只有一个是独立的。在图 （b）中，
i1 + i2 + i3 = 0
is
i1
i2
( a)
i3 i2 i1
(b)
写成矩阵形式
⎛ d λ1 (t ) ⎜ ⎜ dt ⎜ d λ 2 (t ) ⎜ dt ⎝ ⎞ ⎛ R1 ⎟ ⎜− L ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ C ⎠ ⎝ 1 L 1 − R 2C − ⎞ ⎛ R ⎟⎛ λ (t ) ⎞ ⎜ 1 ⎟⎜ 1 ⎟+ ⎜ L ⎜ ⎟ ⎟⎝ λ 2 (t ) ⎠ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎞ 0 ⎟ x (t ) ⎞ ⎟⎛ ⎜ 1 ⎟ ⎟ 1 ⎟⎜ ⎝ x 2 (t ) ⎠ R 2C ⎟ ⎠
λ ′(t ) = Aλ (t ) + Bx(t ) y (t ) = Cλ (t ) + Dx(t )
M个输入 N阶系统 L个输出
对于N阶系统，设有M个输入、L个输出，状态方程是由N个一 阶微分方程组成，输出方程是L个线性方程的方程组。 它的状态矢量、输入矢量与输出矢量表示为
⎛ λ1 (t ) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ λ (t ) ⎟ λ (t ) = ⎜ 2 ⎟ M ⎜ ⎟ ⎜ λ (t ) ⎟ ⎝ N ⎠ ⎛ λ1′(t ) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ λ ′ (t ) ⎟ ′ λ (t ) = ⎜ 2 ⎟ M ⎜ ⎟ ⎜ λ ′ (t ) ⎟ ⎝ N ⎠ ⎛ x1 (t ) ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ x (t ) ⎟ x(t ) = ⎜ 2 ⎟ M ⎟ ⎜ ⎜ x (t ) ⎟ ⎝ M ⎠ ⎛ y1 (t ) ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ y (t ) ⎟ y (t ) = ⎜ 2 ⎟ M ⎟ ⎜ ⎜ y (t ) ⎟ ⎝ L ⎠
例如：电路如图中所示，以两电阻上的电压为输出，试列出电路的
iL L x1
R1 R2
C
y1
vc
y2
状态方程与输出方程。
x2
解：⑴ 选择状态变量。选择电感电 流与电容电压为状态变量
λ1 (t ) = iL (t )
λ 2 (t ) = v c (t )
⑵ 列状态方程。列包含电感支路的回路电压方程，
L di L ( t ) = [ x 1 ( t ) − i L ( t )] R 1 − v c ( t ) dt
y ( t ) = (b 0
b1
L
பைடு நூலகம்
b M −1
bM
0
L
a1 a0
D矩阵等于0
⎛ λ1 ( t ) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ λ 2 (t ) ⎟ ⎜M ⎟ ⎜ ⎟ 0 )⎜ λ M ( t ) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ λ M +1 ( t ) ⎟ ⎜M ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ λ N (t ) ⎠
⑴ 在信号流图中，由输出至输入方向，选择积分器的输出为状态 变量； ⑵ 列写状态方程；
∴ dv c ( t ) 1 1 1 = iL (t ) − vc (t ) + x 2 (t ) dt C R2 C R2C
写成标准形式
d λ1 (t ) R R 1 = − 1 λ1 (t ) − λ 2 ( t ) + 1 x1 ( t ) dt L L L d λ 2 (t ) 1 1 1 = λ1 ( t ) − λ 2 (t ) + x 2 (t ) dt C R2C R2C
于是，状态方程与输出方程的一般展开式为：
⎧ dλ1 (t ) = a11λ1 (t ) + a12λ2 (t ) + L + a1N λ N (t ) + b11 x1 (t ) + L + b1M xM (t ) ⎪ dt ⎪ dλ (t ) 2 ⎪ = a21λ1 (t ) + a22 λ2 (t ) + L + a2 N λN (t ) + b21 x1 (t ) + L + b2 M xM (t ) ⎪ dt ⎨ M ⎪ M ⎪ ⎪ d λ N (t ) = a N 1λ1 (t ) + a N 2 λ2 (t ) + L + a NN λN (t ) + bN 1 x1 (t ) + L + bNM xM (t ) ⎪ ⎩ dt
d λ1 ( t ) = λ 2 (t ) dt d λ 2 (t ) = λ3 (t ) dt
X (s)
如果N=M，系统的信号流图如下 此时，系统的状态 方程与前面的相 同，但是输出方程C 矩阵中的元素与前 不同。
bN bM bM −1
X (s)
s −1 λ N s −1 λ N −1 λ2
a N −1
写成矩阵式
⎛ y1 (t ) ⎞ ⎛ − R1 ⎜ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎜ y (t ) ⎟ ⎠ ⎝ 0 ⎝ 2 0 ⎞⎛ λ1 (t ) ⎞ ⎛ R1 ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟+⎜ ⎜ 1⎟ ⎠⎝ λ 2 (t ) ⎠ ⎝ 0 0 ⎞ ⎛ x1 ( t ) ⎞ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ − 1⎟ ⎠⎝ x 2 (t ) ⎠
于是
vs
( a)
v2
v3
(b)
v2
y 1 ( t ) = − R 1i L ( t ) + R 1 x1 ( t ) = − R 1 λ 1 ( t ) + R 1 x1 ( t )
由于电压源的约束，两个电容 电压只有一个是独立的。在图 （b）中，
v1 + v2 + v3 = 0
y 2 (t ) = λ 2 (t ) − x 2 (t )
X (s)
bM
s −1 λ N
a N −1
aN −2
bM −1
s −1 λ N −1 λ2 s −1 λ1 b0
b1
Y ( s)
H (s) =
∑ br s r
s N − ∑ ak s k
k =0 r =0 N −1
M
=
∑ br s r − N
1 − ∑ ak s k − N
k =0 r =0 N −1
二、 状态方程
系统的状态方程，是一组一阶微分方程组。以状态变量与激励 的线性组合，表示一个状态变量的导数。 例如：串联的RLC回路，可以由以下的状态方程描述。
⎛ c11 c12 ⎜ c22 ⎜c C = ⎜ 21 M M ⎜ ⎜c ⎝ L1 cL 2
R
L
iL (t )
C
L
diL (t ) = − RiL (t ) − uC (t ) + x(t ) dt duC (t ) = iL (t ) dt
三个电感电流有两个是独立的。 同样所谓“独立”的电容电压，是不能完全互相表示的电容电压。 下图（a）中
vs + v1 + v2 = 0
v1 v1
⑷ 列写输出方程。
y 1 ( t ) = [ x 1 ( t ) − i L ( t )] R 1
y 2 (t ) = v c (t ) − x 2 (t )