人教版高中数学必修4三角函数

任意角

一、知识概述

1、角的分类：正角、负角、零角.

2、象限角：（1）象限角.

（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）.

3、终边相同的角的集合：所有与角终边相同的角，连同α角自身在内，都可以写成α＋k·360°(k∈Z)的形式；反之，所有形如α＋k·360°(k∈Z)的角都与α角的终边相同．

4、准确区分几种角

锐角：0°<α<90°；

0°～90°：0°≤α<90°；

第一象限角：．

5、弧度角：弧长等于半径的弧所对应的角称为1弧度角（1 rad）.

1 rad=，1°=rad.

6、弧长公式：l=αR.

7、扇形面积公式：.

二、例题讲解

例1、写出下列终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式的元素写出来：

（1）60°；（2）－21°；（3）363°14′．

解：

（1），

S中满足的元素是

（2），

S中满足的元素是

（3），

S中满足的元素是

例2、写出终边在y轴上的角的集合.

解析：

∴.

注：

终边在x轴非负半轴：.

终边在x轴上：.

终边在y=x上：.

终边在坐标轴上：.

变式：角α与β的终边关于x轴对称，则β=_______.

答案：.

角α与β的终边关于y轴对称，则β=_______.

答案：

任意角的三角函数

一、知识概述

1、定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α的终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点P（x，y），那么sinα=y，cosα=x，tan

α=.

注：①对于确定的角α，其终边上取点，令，

则.

②α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置.

2、公式一：，

，

，其中.

3、三角函数线

角α的终边与单位圆交于P点，过P作PM⊥x轴于M，则sinα=MP(正弦线)，cosα=OM（余弦线）.过A作单位圆的切线，则α的终边或其反向延长线交此切线于点T，则tanα=AT（正切线）.

注：若，则.

二、例题讲解

例1、已知角α的终边上一点，且，求的值．

解：

，

∴，.

当时，，∴；

当时，，∴；

当时，，∴．

例2、化简下列各式

（1）；

（2）．

解：

（1）

（2）

同角三角函数的基本关系

一、知识概述

1、平方关系：．

2、商数关系：．

二、例题讲解

例1、已知tanα为非零实数，用tanα表示sinα，cosα．

解：

∵，，∴.

∴，即有，又∵为非零实数，∴为象限角．

当在第一、四象限时，即有，

从而，

；

当在第二、三象限时，即有，

从而，

．

例2、已知，试确定使等式成立的角α的集合．

例3、已知，求sinx，cosx的值．解：

由等式两边平方：

．∴，即，

∴为一元二次方程的两个根，

解得．

又∵，∴．因此．

例4、化简：.

解法一：

原式=

.

解法二：

原式=.解法三：

原式=.

例5、已知，则

（1）____________________．

(2)____________________．

(3)____________________．

解：

（1）；

（2）；

三角函数的诱导公式

一、知识概述

诱导公式一：

.诱导公式二：

.

诱导公式三：

，，．

诱导公式四：

，，.诱导公式五：

，．

诱导公式六：

，．

引申：

诱导公式七：

，．

诱导公式八：

，．

记忆公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”．

二、例题讲解

例1、化简：

（1）；

（2）

（3）．（4）

（5）．

解：

（1）原式．

（2）原式=.

（5）

例2、已知求的值．解：

由得，所以

例3、已知则________．解：

．

正弦函数、余弦函数的图象与性质（一）

一、知识概述

1、正弦函数、余弦函数的图象

2、性质：①定义域：x∈R

②值域：[－1，1]

③周期性：都是周期函数，且最小正周期为.

二、例题讲解

例1、作函数的简图．

（2）描点连线（图象见视频）.

例2、求下列函数的周期

（1）；（2）；（3）；（4）．

解：

（1）令，则.

∵f(x＋T)=f(x)恒成立，.

∴周期为4.

注：.

（2）.

注：.

（3）T=π．

（4）T=．假设，使

令x=0，得，，与时

矛盾．

∴T=.

例3、求下列函数的定义域：

（1）； (2) y=lg(2sinx＋1)＋．解：

（1），∴，∴．

(2) ，∴.