人教版高中数学必修4三角函数

任意角一、知识概述1、角的分类：正角、负角、零角.2、象限角：（1）象限角.（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）.3、终边相同的角的集合：所有与角终边相同的角，连同α角自身在内，都可以写成α＋k·360°(k∈Z)的形式；反之，所有形如α＋k·360°(k∈Z)的角都与α角的终边相同．4、准确区分几种角锐角：0°<α<90°；0°～90°：0°≤α<90°；第一象限角：．5、弧度角：弧长等于半径的弧所对应的角称为1弧度角（1 rad）.1 rad=，1°=rad.6、弧长公式：l=αR.7、扇形面积公式：.二、例题讲解例1、写出下列终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式的元素写出来：（1）60°；（2）－21°；（3）363°14′．解：（1），S中满足的元素是（2），S中满足的元素是（3），S中满足的元素是例2、写出终边在y轴上的角的集合.解析：∴.注：终边在x轴非负半轴：.终边在x轴上：.终边在y=x上：.终边在坐标轴上：.变式：角α与β的终边关于x轴对称，则β=_______.答案：.角α与β的终边关于y轴对称，则β=_______.答案：任意角的三角函数一、知识概述1、定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α的终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点P（x，y），那么sinα=y，cosα=x，tanα=.注：①对于确定的角α，其终边上取点，令，则.②α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置.2、公式一：，，，其中.3、三角函数线角α的终边与单位圆交于P点，过P作PM⊥x轴于M，则sinα=MP(正弦线)，cosα=OM（余弦线）.过A作单位圆的切线，则α的终边或其反向延长线交此切线于点T，则tanα=AT（正切线）.注：若，则.二、例题讲解例1、已知角α的终边上一点，且，求的值．解：，∴，.当时，，∴；当时，，∴；当时，，∴．例2、化简下列各式（1）；（2）．解：（1）（2）同角三角函数的基本关系一、知识概述1、平方关系：．2、商数关系：．二、例题讲解例1、已知tanα为非零实数，用tanα表示sinα，cosα．解：∵，，∴.∴，即有，又∵为非零实数，∴为象限角．当在第一、四象限时，即有，从而，；当在第二、三象限时，即有，从而，．例2、已知，试确定使等式成立的角α的集合．例3、已知，求sinx，cosx的值．解：由等式两边平方：．∴，即，∴为一元二次方程的两个根，解得．又∵，∴．因此．例4、化简：.解法一：原式=.解法二：原式=.解法三：原式=.例5、已知，则（1）____________________．(2)____________________．(3)____________________．解：（1）；（2）；三角函数的诱导公式一、知识概述诱导公式一：.诱导公式二：.诱导公式三：，，．诱导公式四：，，.诱导公式五：，．诱导公式六：，．引申：诱导公式七：，．诱导公式八：，．记忆公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”．二、例题讲解例1、化简：（1）；（2）（3）．（4）（5）．解：（1）原式．（2）原式=.（5）例2、已知求的值．解：由得，所以例3、已知则________．解：．正弦函数、余弦函数的图象与性质（一）一、知识概述1、正弦函数、余弦函数的图象2、性质：①定义域：x∈R②值域：[－1，1]③周期性：都是周期函数，且最小正周期为.二、例题讲解例1、作函数的简图．（2）描点连线（图象见视频）.例2、求下列函数的周期（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）令，则.∵f(x＋T)=f(x)恒成立，.∴周期为4.注：.（2）.注：.（3）T=π．（4）T=．假设，使令x=0，得，，与时矛盾．∴T=.例3、求下列函数的定义域：（1）； (2) y=lg(2sinx＋1)＋．解：（1），∴，∴．(2) ，∴.∴其定义域为.正弦函数与余弦函数的图象与性质（二）一、知识概述1、图象（见视频）2、性质：（1）定义域：都为R.（2）值域：都为[－1，1].（3）周期性：都是周期函数，且T=2π.（4）奇偶性：y=sinx是奇函数，y=cosx是偶函数.（5）对称性：y=sinx的对称中心为(kπ，0)（k∈Z），对称轴为.y=cosx的对称中心为，对称轴为.（6）单调性：y=sinx在上单调递增；在上单调递减.y=cosx在上单调递减；在上单调递增.二、例题讲解例1、在中，，若函数y=f(x)在[0，1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是（）A．B．C．D．解：∵，∴，.所以．答案：C例2、求下列函数的单调递增区间：（1）；（2）；（3）；（4）y=－|sin（x＋）|解：（1）法一：图象法（图象见视频）.法二：令，∴.所以，函数单调递增区间为．（2）令，∴，所以，函数单调递增区间是．（3）令.所以，函数单调递增区间是.法二：∵，令，，所以，函数的递增区间是．（4）函数的递增区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）．（图象见视频）法二：令.解得.∴函数的递增区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）.正切函数的图象与性质一、知识概述1、图象：2、性质：（1）定义域：；（2）值域：R；（3）周期性：；（4）奇偶性：奇函数；（5）对称性：y=tanx的对称中心为.（6）单调性：在内单调递增．二、例题讲解例1、求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）．解：（1）由，得，∴．∴的定义域为．（2）令，∵sinx∈[－1，1]且，∴定义域为R.（3）由已知，得，∴，∴原函数的定义域为（备注：视频中区间书写有误，后面一个应该是半开半闭区间）．例2、求函数的定义域，周期和单调区间．函数y=Asin（ωx＋φ）的图象一、知识概述的图象可由y=sinx的图象经过以下的变换得到：①将y=sinx的图象向左（右）平移个单位得到的图象；②将的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长（缩短）到原来的倍，得到的图象；③将的图象保持横坐标不变，纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍，得到的图象.A表示振幅，为周期，为频率，为初相，为相位.二、例题讲解例1、函数的图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到．解：①将的图象向左平移个单位，得到的图象；②将的图象保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到的图象；③将的图象保持横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍，得到的图象．变式1：y=sinx的图象由的图象经过怎样的变换得到.解：横坐标不变，纵坐标缩短到原来的，得到的图象；再将的图象向右平移个单位，得到y=sin2x的图象；再将y=sin2x的图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到y=sinx的图象.变式2：函数y=f(x)的图象先向右平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到的图象，求f(x)的解析式.答案：.例2、已知函数（，）一个周期内的函数图象，如下图所示，求函数的一个解析式．解：由图知：函数最大值为，最小值为，又∵，∴，由图知，∴，∴，法一：∴，∴，∴.，代入上面两式检验，得满足条件.∴．法二：..法三：令，.三角函数模型的简单应用例1、已知电流在一个周期内的图象如图：（1）根据图中数据求的解析式．（2）如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少例2、某港口水的深度y（米）是时间，单位：时）的函数，记作，下面是某日水深的数据：t时03691215182124y米经长期观察，的曲线可以近似地看成函数的图象．（1）试根据以上数据，求出函数的近似表达式；（2）一般情况下船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）解：（1）由已知数据，易知函数的周期T=12，振幅A=3，b=10，（视频板书中应为f(t)）．（2）由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋=11.5米，，解得:，在同一天内，取.∴该船可在当日凌晨1时进港，17时出港，在港口内最多停留16个小时．例3、如图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮按逆时针方向每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处（点P与摩天轮中心O高度相同）时开始计时：（1）求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米．解：（1）以O为坐标原点，以OP所在直线为x轴建立直角坐标系，在t秒内摩天轮转过的角为，∴此人相对于地面的高度为（米）．（2）令，则，，，故约有秒此人相对于地面的高度不超过10米．例4、某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元．该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元．（1）试建立出厂价格、销售价格的模型，并求出函数解析式；（2）假设商店每月购进这种商品m件，且当月销完，试写出该商品的月利润函数．三角函数的综合应用例1、求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解：（1）∵，∴，∴，所以，值域为．（2）..另解：，∴，∴，解得，．（3），，.（4）由题意，∴，∵，∴时，，但，∴，∴原函数的值域为．（5）∵，又∵，∴，∴，∴函数的值域为．例2、是否存在α、β，α∈（－，），β∈（0，π），使等式sin（3π－α）=cos（－β），cos（－α）=－cos（π＋β）同时成立若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由．解：由条件得①2＋②2得sin2α＋3cos2α=2，∴cos2α=，∴.∵α∈（－，），∴，α=或－．由②得cosβ=．又β∈（0，π），∴β=，又.∴存在α=，β=满足条件．例3、已知函数上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求的值．解：由是偶函数，得，即，或对任意x∈R恒成立.，，.又f(x)图象关于对称，.，则k=1时，，满足条件.当k=2时，，此时，满足条件.当k≥3时，不合要求.综上.。