平行四边形的性质与判定解题技巧专题练习含答案
八年级数学下平行四边形的性质与判定专题练习含答案 精品
综合滚动练习：平行四边形的性质与判定时间：45分钟分数：100分得分：________一、选择题(每小题4分，共32分)1．如图，▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC＝42°，∠CBD＝23°，则∠COD 的度数为()A．61°B．63°C．65°D．67°第1题图第2题图2．如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线，交CD于点M，且MC＝2，▱ABCD 的周长是14，则DM等于()A．1 B．2 C．3 D．43．如图，AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形还需要条件()A．AB＝DC B．∠1＝∠2C．AB＝AD D．∠D＝∠B第3题图第4题图第5题图4．(长沙天心区期末)如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有【方法8】()A．S1＝S4B．S1＋S4＝S2＋S3C．S1S4＝S2S3D．以上结论都不对5．如图，将平行四边形ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是()A．AF＝EF B．AB＝EFC．AE＝AF D．AF＝BE6．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC的长为()A．8 B．10 C．12 D．14第6题图第7题图7．(泰安中考)如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE＋AF的值为()A．2 B．3 C．4 D．68．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.下列结论：①BE＝DF；②BE∥DF；③AB＝DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤S△ADE＝S△ABE；⑥AF＝CE.其中正确的个数是()A．3个B．4个C．5个D．6个第8题图第12题图二、填空题(每小题4分，共24分)9．在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABD＝∠CDB，要使四边形ABCD是平行四边形只需添加一个条件，这个条件可以是____________．10．平行四边形ABCD中，∠B－∠A＝40°，则∠D＝________°.11．已知O是平行四边形ABCD对角线的交点，AC＝24cm，BD＝38cm，AD＝28cm，则△OBC的周长为________cm.12．(常德中考)如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D1AD＝________．13．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，在以AC为对角线的▱ADCE中，DE的最小值是________．第13题图第14题图14．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.若AE＝4，AF＝6，平行四边形ABCD的周长为40，则平行四边形ABCD的面积为________．三、解答题(共44分)15．(7分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形．16．(8分)如图，如果▱ABCD的一内角∠BAD的平分线交BC于点E，且AE＝BE，求▱ABCD各内角的度数．17．(9分)(洪江期末)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB中点，连接CE，过点E作ED⊥BC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AF＝CE.求证：四边形ACEF是平行四边形．18．(10分)(连云港中考)四边形ABCD中，AD＝BC，BE＝DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F.(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若AC与BD相交于点O，求证：AO＝CO.19．(10分)如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝75°.AF⊥BC于点F，AF交BD于点E，若DE＝2AB，求∠AED的度数．参考答案与解析1．C 2.C 3.D 4.C 5.C 6.B7.C8．C解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAE＝∠DCF，AB＝CD，故③不正确；∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，故①正确；同理DE＝BF，∴四边形EBFD为平行四边形，∴BE ∥DF ，故②，④正确；∵AB ＝CD ，BC ＝AD ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△CDA ，∴两三角形AC 边上的高的相等．∵△ABE ，△ADE 分别是△ABC 与△CDA 中的小三角形，且AE ＝AE ，∴S △ADE ＝S △ABE ，故⑤正确；∵AE ＝CF ，∴AF ＝CE ，故⑥正确，∴正确的结论有①②④⑤⑥共5个．故选C.9．AB ＝CD (答案不唯一) 10.110 11.59 12.55°13．3 解析：∵四边形ADCE 是平行四边形，∴AE ∥CD ，OD ＝OE .∴当OD 取最小值时，线段DE 最短，此时BC ⊥DE ，∴∠CDE ＝90°.∵∠B ＝90°，∴AB ∥DE .又∵AE ∥BC ，∴四边形ABDE 是平行四边形．∴ED ＝AB ＝3.14．48 解析：由▱ABCD 的周长为40，得BC ＋CD ＝20.S ▱ABCD ＝AE ·BC ＝AF ·CD .∵AE ＝4，AF ＝6，∴4BC ＝6CD ，即BC ＝32CD ，∴BC ＝12，CD ＝8，∴S ▱ABCD ＝BC ·AE ＝12×4＝48.15．证明：∵∠1＋∠B ＋∠ACB ＝180°，∠2＋∠D ＋∠CAD ＝180°，∠B ＝∠D ，∠1＝∠2，∴AB ∥CD ，∠DAC ＝∠ACB ，∴AD ∥BC .(5分)∴四边形ABCD 是平行四边形．(7分)16．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∠B ＝∠D ，∴∠AEB ＝∠DAE .(2分)∵AE 是∠BAD 的平分线，∴∠BAE ＝∠DAE ，∴∠BAE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE .(4分)又∵AE ＝BE ，∴△ABE 是等边三角形，∴∠D ＝∠B ＝60°.(6分)∵∠B ＋∠C ＝180°，∴∠C ＝120°.∴▱ABCD 各内角的度数分别是∠B ＝∠D ＝60°，∠BAD ＝∠C ＝120°.(8分)17．证明：∵点E 为AB 中点，∠ACB ＝90°，∴CE ＝AE ＝EB .(3分)又∵AF ＝CE ，∴AF ＝CE ＝AE ＝EB .又∵ED ⊥BC ，∴∠1＝∠2.(6分)∵AE ＝AF ，∴∠3＝∠F .∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠F ，∴CE ∥AF ，∴四边形ACEF 是平行四边形．(9分)18．证明：(1)∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AED ＝∠BFC ＝90°.∵BE ＝DF ，即BF ＋EF＝EF ＋DE ，∴BF ＝DE .在Rt △ADE 和Rt △CBF 中⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BC ，DE ＝BF ，∴Rt △ADE ≌Rt △CBF .(5分)(2)连接AC ，与BD 交于点O .∵Rt △ADE ≌Rt △CBF ，∴AE ＝CF ，∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴AE ∥CF ，∴四边形AFCE 是平行四边形，∴AO ＝CO .(10分)19．解：取DE 中点O ，连接AO .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠ADO ＝∠OBC .∵AF ⊥BC ，∴AF ⊥AD ，∴∠DAE ＝90°，∴OA ＝12DE ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO .∵DE ＝2AB ，∴OA ＝AB ，∴∠AOB ＝∠ABO .∵∠AOB ＝∠ADO ＋∠DAO ＝2∠ADO ，∠ABO ＋∠OBC ＝∠ABC ＝75°，∴∠ADO ＝25°，∴∠AED ＝65°.(10分)。
平行四边形的性质与判定(含答案)
13.如图所示，平行四边形 的周长为 ， ， 相交于点 ， 交 于点 ，则 的周长是．
14.如图，四边形 中， ， 是 上一点，连接 并延长交 延长线于点 ，请你只添加一个条件：使得四边形 为平行四边形．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
19.已知四边形 是平行四边形（如图），把 沿对角线 翻折 得到 ．
(1)利用尺规作出 ．（要求保留作图痕迹，不写作法）；
(2)设 与 交于点 ，求证： ．
20.如图， ， 是平行四边形 对角线 上的点， ．请你想一想： 与 有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明．
A. B.
C. D.
2.平行四边形的对角线一定具有的性质是( )
A.相等B.互相平分
C.互相垂直D.互相垂直且相等
3.如右图，将一张直角三角形纸片 沿中位线 剪开后，在平面上将 绕着 的中点 逆时针旋转 ，点 到了点 的位置，则四边形 是
A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形
4.下列命题中，真命题的个数有
15.平行四边形相邻两边长之比为 ，它的周长为 ，则这个平行四边形较长的边长为 ．
16.如图．在平行四边形 中，点 ， 分别在边 ， 上．请添加一个条件使四边形 是平行四边形（只填一个即可）．
三、解答题（共6小题；共52分）
17.如图，平行四边形 中，点 ， 分别在 ， 上，且 ，求证： ．
18.如图，四边形 是平行四边形， ， 是对角线 上的点， ．
第二部分
11.
12.
13.
14. （答案不唯一）
专题训练(二) 平行四边形的性质与判定的灵活运用
专题训练(二) 平行四边形的性质与判定的灵活运用►类型之一平行四边形与全等三角形1.用两个全等三角形最多能拼成________个不同的平行四边形.[答案] 32.平行四边形中的一条对角线把平行四边形分成________个全等三角形，两条对角线把平行四边形分成________对全等三角形.[答案] 2 43.如图2－ZT－1所示，E，F是▱ABCD的对角线AC上的两点，且BE∥DF.求证：(1)△ABE≌△CDF；(2)四边形BFDE是平行四边形.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.又∵BE∥DF，∴∠BEF＝∠DFE，∴∠AEB＝∠CFD，∴△ABE≌△CDF.(2)由(1)知△ABE≌△CDF，∴BE＝DF.又∵BE∥DF，∴四边形BFDE是平行四边形.4.如图2－ZT－2，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE.(1)求证：△AFD≌△CEB；(2)四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由.图2－ZT－2解：(1)证明：∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠CEB.又∵AF＝CE，DF＝BE，∴△AFD≌△CEB.(2)四边形ABCD是平行四边形.理由如下：∵△AFD≌△CEB，∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形.[点评] 在平行四边形中，本身就包含着全等三角形，平行四边形中的对角线可以将平行四边形分成全等三角形，反之，用两个全等三角形也可以拼成平行四边形.在解决有关问题时，需要灵活运用平行四边形的性质找出判定三角形全等的条件，反之，利用全等三角形也可以找出判定四边形是平行四边形的条件.►类型之二平行四边形与等腰三角形5.如图2－ZT－3所示，在▱ABCD中，AC的垂直平分线交AD于点E，且△CDE的周长为8，则▱ABCD的周长是( )图2－－3A.10B.12C.14D.16 [答案] D6.如图2－ZT－4所示，在△ABC中，AB＝AC＝7 cm，D是BC上一点，且DE∥AC，DF∥AB，则DE＋DF＝________.[答案] 7 cm图2－－57.如图2－ZT－5所示，在▱ABCD中，AB＝5 cm，AD＝8 cm，∠BAD，∠ADC的平分线分别交BC于点E，F，则EF的长为________. [答案] 2 cm8.在▱ABCD中，∠A的平分线分对边BC为3和4两部分，求▱ABCD的周长.图2－－6解：如图2－ZT－6，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA. 又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE.当AB＝BE＝3时，▱ABCD的周长2(AB＋BC)＝2×(3＋7)＝20.当AB＝BE＝4时，▱ABCD的周长2(AB＋BC)＝2×(4＋7)＝22.即▱ABCD的周长为20或22.9.如图2－ZT－7所示，如果▱ABCD的一内角∠BAD的平分线交BC于点E，且AE＝BE，求▱ABCD 各内角的度数.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠C，∠B＝∠D，AD∥BC，∴∠BAD＋∠B＝180°，∠DAE＝∠BEA. 又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE.又∵AE＝BE，∴AB＝BE＝AE，∴∠B＝60°，∴∠D＝60°，∠BAD＝∠C＝120°.[点评] 当平行四边形中有角平分线、线段垂直平分线或特殊角(30°，60°角等)时，通常可以转化出等腰三角形，反之亦然.►类型之三平行四边形中的中点问题图2－－810.如图2－ZT－8所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是( )A.2 cm＜OA＜5 cmB.2 cm＜OA＜8 cmC.1 cm＜OA＜4 cmD.3 cm＜OA＜8cm[答案] C11.已知：如图2－ZT－9，四边形ABCD中，AC＝7，BD＝8，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的周长＝________.[答案] 15[解析] ∵EF是△ABC的中位线，∴EF=12AC，同理，HG=12AC，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形.∴四边形EFGH的周长＝2(EF＋FG)＝2×(12×7＋12×8)＝15.图2－－9 图2－－1012.如图2－ZT－10所示，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5，则对角线BD＝__________. [答案] 2 213.如图2－ZT－11，AC，BD是四边形ABCD的对角线，E，F分别是AD，BC的中点，M，N 分别是BD，CA的中点，求证：EF，MN互相平分.图2－－11证明：如图2－ZT－12，连接EM，MF，FN，NE.∵FN是△ABC的中位线，∴FN=12AB，同理，EM=12AB，∴FN∥EM，∴四边形EMFN是平行四边形，∴EF ，MN 互相平分.图2－－1214.如图2－ZT －12所示，在▱ABCD 中，M 是BC 的中点，且AM ＝9，BD ＝12，AD ＝10，求▱ABCD 的面积.解：如图2－ZT －13，延长BC 至点E ，使CE ＝CM ，连接DE.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴AD ∥ME. 又∵M 是BC 的中点，∴BC ＝2CM ＝2CE ＝2BM ， ∴AD ＝ME ＝10，BE ＝15，∴四边形AMED 是平行四边形， ∴DE ＝AM ＝9.又∵BD 2＋DE 2＝122＋92＝225＝152＝BE 2， ∴BD ⊥DE ，∴▱ABCD 的面积＝2(△BDE 的面积－△DCE 的面积)＝2(12×9×12－12×9×12×13)＝72. [点评] 在平行四边形的对角线互相平分这一性质中，体现出了线段中点的特点，有中点时就有可能有三角形的中线、中位线、线段垂直平分线等，需灵活处理，积累经验.类型之四 平行四边形中的开放性问题15.如图2－ZT －14，在▱ABCD 中，延长AB 到点E ，使BE ＝AB ，连接DE 交BC 于点F ，则下列结论不一定成立的是( )图2－－14A .∠E ＝∠CDFB .EF ＝DFC .AD ＝2BF D .BE ＝2CF[答案] D 16.四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，给出下列四组条件：①AB ∥CD ，AD ∥BC ； ②AB ＝CD ，AD ＝BC ；③AO ＝CO ，BO ＝DO ；④AB ∥CD ，AD ＝BC ；⑤∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D ； ⑥∠A ＋∠B ＝180°，∠A ＋∠D ＝180°.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有( )A .3组B .4组C .5组D .6组[答案] C。
专题04 平行四边形的性质和判定(解析版)
专题04 平行四边形的性质和判定姓名：___________考号：___________分数：___________（考试时间：100分钟 满分：120分）一、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知四边形ABCD ，AC 与BD 相交于点O ，如果给出条件AB ∥CD ，那么还不能判定四边形ABCD 为平行四边形，以下四种说法正确的是（ ）①如果再加上条件BC ＝AD ，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；②如果再加上条件∠BAD ＝∠BCD ，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；③如果再加上条件AO ＝CO ，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；④如果再加上条件∠DBA ＝∠CAB ，那么四边形ABCD 一定是平行四边形．A ．①④B ．①③④C ．②③D ．②③④【答案】C【分析】根据已知，结合平行四边形的判定，逐一判断即可．【解析】解：①也可能是等腰梯形．②可得AD ∥BC ，故正确．③可判定△ABO ≌△CDO ，就有AB ＝CD ，故可判定为平行四边形，正确．④也可能是等腰梯形．故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，准确分析判断是解题的关键．2．如图，在ABCD 中，3AB =，4=AD ，60ABC ∠=︒，过BC 的中点E 作EF AB ⊥，垂足为点F ，与DC 的延长线相交于点H ，则DEF 的面积是（ ）A ．63B ．3C ．3D ．623+【答案】C【分析】 根据平行四边形的性质得到AB =CD =3，AD =BC =4，求出BE 、BF 、EF ，根据相似得出CH =1，EH 3，根据三角形的面积公式求△DFH 的面积，即可求出答案．【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC =4，AB ∥CD ，AB =CD =3，∵E 为BC 中点，∴BE =CE =2，∵∠B =60°，EF ⊥AB ，∴∠FEB =30°，∴BF =1，由勾股定理得：EF 3∵AB ∥CD ，∴∠B =∠ECH ，在△BFE 和△CHE 中，B ECH BE CE BEF CEH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BFE ≌△CHE （ASA ），∴EF =EH 3，CH =BF =1，∴DH=4，∵S △DHF =12DH •FH =43∴S △DEF =12S △DHF =23， 故选：C ．【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．3．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BC 于E ，AB ＝3，AC ＝2，BD ＝4，则AE 的长为（ ）A 3B ．32C 21D 221 【答案】D【分析】由勾股定理的逆定理可判定△BAO 是直角三角形，所以平行四边形ABCD 的面积即可求出．【解析】解：∵AC ＝2，BD ＝4，四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO ＝12AC ＝1，BO ＝12BD ＝2， ∵AB 3∴AB 2+AO 2＝BO 2，∴∠BAC ＝90°，∵在Rt △BAC 中，BC ()2222327AB AC +=+=S △BAC ＝12×AB ×AC ＝12×BC ×AE ， 3×27AE ，∴AE＝2217，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键．4．如图，□ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为（）A．2B．2C．2D．522【答案】B【分析】根据平行四边形的性质和垂直平分线的性质得到CE=AE=4，用勾股定理逆定理证明∠CED＝90°，得到△AEC是等腰直角三角形，最后求出AC的长．【解析】解：连接CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，CD＝AB＝5∵OE⊥AC，∴OE垂直平分AC，∴CE＝AE＝4，∵DE＝3，∴CE2+DE2＝42+32＝52＝CD2，∴∠CED＝90°，∴∠AEC＝90°，∴△AEC是等腰直角三角形，∴AC2＝2故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理逆定理和等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质定理进行求解．5．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，点E、F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）A．∠1=∠2 B．BF=DE C．AE=CF D．∠AED=∠CFB【答案】C【分析】利用平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定分别得出选项A、B、D正确，选项C不正确，即可得出结论．【解析】解：∵AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABE=∠CDF，∴AB=CD，当添加∠1=∠2时，由ASA判定△ABE≌△CDF，∴选项A正确；当添加BF=DE时，BE=DF，由SAS判定△ABE≌△CDF，∴选项B正确；当添加AE=CF时，由SSA不能判定△ABE≌△CDF，∴选项C不正确；当∠AED=∠CFB时，由AAS判定∠AED=∠CFB，∴选项D正确；故选：C．本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．6．如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC ＋BD ＝18，CD ＝6，则△ABO 的周长是（ ）A ．10B ．15C ．20D ．22【答案】B【分析】 直接利用平行四边形的性质得出AO=CO ，BO=DO ，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO 的长，进而得出答案．【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO=CO ，BO=DO ，DC=AB=6，∵AC+BD=18，∴AO+BO=9，∴△ABO 的周长是：AO+BO+ AB =15．故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，正确得出AO+BO 的值是解题关键．7．如图，在ABCD 中，点,E F 分别在边BC AD ，上.若从下列条件中只选择一个添加到图中的条件中:①//AE CF ；②AE CF =；③BE DF =；④BAE DCF ∠=∠．那么不能使四边形AECF 是平行四边形的条件相应序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】B利用平行四边形的性质，依据平行四边形的判定方法，即可得出不能使四边形AECF是平行四边形的条件．【解析】解：①∵四边形ABCD平行四边形，∴AD//BC，∴AF//EC，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形；②∵AE=CF不能得出四边形AECF是平行四边形，∴条件②符合题意；③∵四边形ABCD平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，又∵BE=DF，∴AF=EC．又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．④∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵∠BAE=∠DCF，∴∠AEB=∠CFD．∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD．∴∠CFD=∠EAD．∴AE∥CF．∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形．综上所述，不能使四边形AECF是平行四边形的条件有1个．故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质定理和判定定理，以及平行线的判定定理；熟记平行四边形的判定方法是解决问题的关键．8．如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝100°，则∠DAE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】A【分析】由▱ABCD与▱DCFE的周长相等，可得到AD＝DE即△ADE是等腰三角形，再由且∠BAD＝60°，∠F＝100°，即可求出∠DAE的度数．【解析】∵▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且CD＝CD，∴AD＝DE，∵∠DAE＝∠DEA，∵∠BAD＝60°，∠F＝100°，∴∠ADC＝120°，∠CDE═∠F＝100°，∴∠ADE＝360°﹣120°﹣100°＝140°，∴∠DAE＝（180°﹣140°）÷2＝20°，故选A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等、平行四边形的对角相等以及邻角互补和等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理．9．如图，△ACE是以□ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称.若E点的坐标是（7，－33），则D点的坐标是( )A．(4,0) B．(92,0) C．(5,0) D．(112,0)【答案】C【解析】解：如图，∵点C与点E关于x轴对称，E点的坐标是（7，3，∴C的坐标为（7，3，∴CH3CE3∵△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，∴AC3∴AH=9，∵OH=7，∴AO=DH=2，∴OD=5，∴D 点的坐标是（5，0），故答案为（5，0）．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、点关于x 轴对称的特点以及勾股定理的运用． 10．如图，P 为□ABCD 对角线BD 上一点，△ABP 的面积为S 1，△CBP 的面积为S 2，则S 1和S 2的关系为 （ ）A ．S 1>S 2B ．S 1=S 2C ．S 1<S 2D ．无法判断【答案】B【解析】 分析：根据平行四边形的性质可得点A 、C 到BD 的距离相等，再根据等底等高的三角形的面积相等.解析：∵在□ABCD 中，点A 、C 到BD 的距离相等，设为h.∴S 1= S △ABP =12BP h ,S 2= S △CPB =1 2BP h . ∴S 1=S 2,故选B.点睛：本题主要考查的平行四边形的性质，关键在于理解等底等高的三角形的面积相等的性质. 11．如图，ABCD 中，点E 在边BC 上，以AE 为折痕，将ABE △向上翻折，点B 正好落在CD 上的点F 处，若FCE △的周长为7，FDA △的周长为21，则FD 的长为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C【分析】由题意易得AB=AF ，FE=BE ，然后根据三角形的周长及线段的等量关系进行求解即可．【解析】解：由题意得：AB=AF ，FE=BE ，四边形ABCD 是平行四边形，∴BC=AD ，AB=DC=AF ，FCE △的周长为7，FDA △的周长为21，∴FE+EC+FC=7，AD+AF+DF=21，∴BC+FC=7，AF=DC=DF+FC ，∴7-FC+DF+FC+DF=21∴DF=7．故选C ．【点睛】本题主要考查折叠的性质及平行四边形的性质，熟练掌握平息四边形及折叠的性质是解题的关键． 12．如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，AF BD ⊥于点E ，交BC 于点F ，点G 是AC 的中点，若10BC =，7AB =，则EG 的长为（ ）．A ．1.5B ．2C ．2.5D ．3.5【答案】A【分析】 根据BD 平分ABC ∠，AF BD ⊥于点E ，得到AEB FEB △≌△，从而得AE EF =,AB FB =；结合题意，计算得FC 的值；再根据点G 是AC 的中点，通过EG 是ABC 的中位线的性质，即可完成解题．【解析】∵BD 平分ABC ∠，AF BD ⊥于点E∴90AEB FEB ∠=∠=，ABE FBE ∠=∠∵BE BE =∴AEB FEB △≌△∴AE EF =，AB FB =∵10BC =，7AB =∴3FC BC FB BC AB =-=-=∵点G 是AC 的中点∴EG 是ABC 的中位线 ∴1 1.52EG FC == 故选：A ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．已知ABCD □的周长为56，自顶点A 作AE DC ⊥于点E ，AF BC ⊥于点F ，若6AE =，8AF =，则CE CF -=_________________．【答案】4+4-【分析】先画出符合条件的两种情况的图形，再分别求解．【解析】解：∵平行四边形ABCD 的周长为56，∴BC+CD=28，∴BC=28-CD ，∵AE ⊥DC ，AF ⊥BC ，∴BC·AF=DC·AE ，∴8（28-DC ）=6DC ，解得：DC=16，∴BC=12，∴AD=BC=12，AB=DC=16，在△ABF 中，BF==在△AED 中，=如图，CE=CD-DE=16-CF=BC-BF=12-∴CE-CF=4+23；如图，CE=CD+DE=16+63，CF=BC+BF=12+83，∴CE-CF=4-23，故答案为：4+23或4-23．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，面积法，关键是正确画出图形，题目比较好，但是有一定的难度． 14．如图，▱ABCD 的面积为32，E ，F 分别为AB 、AD 的中点，则CEF △的面积为_____．【答案】12【分析】将三角形CEF △的面积分割为平行四边形ABCD 的面积减去AEF 、DEC 和BEC △的面积，利用面积比与底（高）比来解决．【解析】解：连接AC 、DE 、BD ，如图：∵E 为AB 中点，∴11=824BCE ABC ABCD S S S ==△△平行四边形，同理可得：=8CDF S △，∵F 为AD 中点， ∴111==4248AEF AED ABD ABCD S S S S ==△△△平行四边形， ∴=3288412CEF BCE CDF AEF ABCD S S S S S ---=---=△△△△平行四边形；故答案为：12．【点睛】本题考查了平行四边形的性质及三角形的面积等知识；熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 15．如图，在平行四边形ABCD 中，过点C 的直线CE ⊥AB ，垂足为E ，若∠BAD =127°，则∠BCE =____．【答案】37°【分析】由平行四边形的性质得出∠B+∠BAD=180°，可得∠B 的度数，由直角三角形的两上锐角互余得出∠BCE=90°-∠B 即可．【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠B+∠BAD=180°，∵∠BAD=127°∴∠B=53°，∵CE ⊥AB ，∴∠E=90°，∴∠BCE=90°-∠B=90°-53°=37°，故答案为：37°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形两锐角互余．熟练掌握平行四边形的性质，求出∠B 的度数是解决问题的关键．16．如图，AC 是ABCD 的对角线，点E 在AC 上，AD AE BE ==，102D =︒，则BAC ∠的度数是______．【答案】26︒【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，得到∠ABC=∠D=102°，再AD=AE=BE ，得出∠EAB=∠EBA ，∠BEC=∠BCA ，继而得到∠ACB=2∠BAC ，再根据∠BAC+∠ACB=3∠BAC=180°-∠ABC 求解即可． 【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ， ∠ABC=∠D=102°，∵AD=AE=BE ，∴BC=AE=BE ，∴∠EAB=∠EBA ，∠BEC=∠BCA ，∵∠BEC=∠EAB ＋∠EBA=2∠EAB ，∴∠ACB=2∠BAC ，∴∠BAC+∠ACB=3∠BAC=180°-∠ABC=180°-102°=78°，∴3∠BAC=78°，即∠BAC=26°，故答案为：26°．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是综合运用相关知识．17．如图，在Rt ABC △中，90A ︒∠=，2AB =，点D 是BC 边的中点，点E 在AC 边上，若45DEC ︒∠=，那么DE 的长是__________．【答案】2【分析】过D作DF⊥AC于F，得到AB∥DF，求得AF＝CF，根据三角形中位线定理得到DF=12AB＝1，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解析】解：过D作DF⊥AC于F，∴∠DFC＝∠A＝90°，∴AB∥DF，∵点D是BC边的中点，∴BD＝DC，∴AF＝CF，∴DF=12AB＝1，∵∠DEC＝45°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DE=2DF=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．18．如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝8，EF＝1，则BC长为__________．【答案】15【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB ，得出AF=AB=8，同理可得DE=DC=8，再由EF 的长，即可求出BC 的长．【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，DC=AB=8，AD=BC ，∴∠AFB=∠FBC ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF=∠FBC ，则∠ABF=∠AFB ，∴AF=AB=8，同理可证：DE=DC=8，∵EF=AF+DE-AD=1，即8+8-AD=1，解得：AD=15；故答案为：15．三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．在ABCD 中，E 、F 在BD 上，且BE DF =，点G 、H 分别在AD 、BC 上，且AG CH =，GH 与BD 交于点O ，（1）求证：EG HF =．（2）求证：//EG HF ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）证明△DOG ≌△BOH ，得到GO=HO ，DO=BO ，从而说明四边形EGFH 是平行四边形，可得结论；（2）根据（1）中结论可直接说明．【解析】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∴∠ADB=∠CBD ，∵AG=CH ，∴DG=BH ，又∠DOG=∠BOH ，∴△DOG ≌△BOH （AAS ），∴GO=HO ，DO=BO ，∵BE=DF ，∴EO=FO ，∴四边形EGFH 是平行四边形，∴EG=HF ；（2）∵四边形EGFH 是平行四边形，∴EG ∥HF ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．20．如图，在四边形ABCD 中//AD BC ，5cm AD =，9cm BC =，M 是CD 的中点，P 是BC 边上的一动点（P 与B ，C 不重合），连接PM 并延长交AD 的延长线于Q ．（1）试说明不管点P在何位置，四边形PCQD始终是平行四边形．（2）当点P在点B，C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）PC=2时【分析】（1）由“ASA”可证△PCM≌△QDM，可得DQ=PC，即可得结论；（2）得出P在B、C之间运动的位置，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论．【解析】解：（1）∵AD∥BC，∴∠QDM=∠PCM，∵M是CD的中点，∴DM=CM，∵∠DMQ=∠CMP，DM=CM，∠QDM=∠PCM，∴△PCM≌△QDM（ASA）．∴DQ=PC，∵AD∥BC，∴四边形PCQD是平行四边形，∴不管点P在何位置，四边形PCQD始终是平行四边形；（2）当四边形ABPQ是平行四边形时，PB=AQ，∵BC-CP=AD+QD，∴9-CP=5+CP，∴CP=（9-5）÷2=2．∴当PC=2时，四边形ABPQ是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定方法是解题的关键．21．如图，将ABCD的AD边延长至点E，使得12DE AD，连结CE，F是BC边的中点，连结FD．（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2）若3AB =，4=AD ，60A ︒∠=，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（27【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AD ＝BC ，AD ∥BC ，进而利用已知得出DE ＝FC ，DE ∥FC ，进而得出答案；（2）首先过点D 作DN ⊥BC 于点N ，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出DF 的长，进而得出答案．【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，AD BC =，∴//DE FC ．∵F 是BC 的中点， ∴1122FC BC AD ==， ∵12DE AD =， ∴FC DE =，∴四边形CEDF 是平行四边形；（2）过点D 作DN ⊥BC 于点N ，如图：则∠DNC=90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A=60°，∴CD=AB=3，BC=AD=4，∠BCD=∠A=60°，∠CDN=30°，∵F 是BC 边的中点，∴FC=12BC=2，NC=12DC=32，22CD CN -332∴FN=FC-NC=12， ∴DF=EC=22DN FN +=7．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键． 22．如图，已知ABC 是等边三角形，点D 在BC 边上，ADF 是以AD 为边的等边三角形，过点F 作BC 的平行线交线段AC 于点E ，连接BF ，求证：（1）AFB ADC ≅；（2）四边形BCEF 是平行四边形．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）先根据等边三角形的性质可得,,60AF AD AB AC FAD BAC ==∠=∠=︒，再根据角的和差可得FAB DAC ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）先根据全等三角形的性质可得60ABF C ∠=∠=︒，从而可得ABF BAC ∠=∠，再根据平行线的判定可得//BF AC ，然后根据平行四边形的判定即可得证．【解析】（1）∵ABC 和ADF 都是等边三角形，∴,,60AF AD AB AC FAD BAC C ==∠=∠=∠=︒，FAD BAD BAC BAD ∴∠-∠=∠-∠，即FAB DAC ∠=∠，在AFB △和ADC 中，AF AD FAB DAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AFB ADC SAS ≅；（2）∵AFB ADC ≅，∴60ABF C ∠=∠=︒，又∵60BAC ∠=︒，∴ABF BAC ∠=∠，∴//BF AC ，又∵//BC EF ，∴四边形BCEF 是平行四边形．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质、平行四边形的判定等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键．23．如图，在ABCD 中，AP ､BP 分别是DAB ∠和CBA ∠的角平分线，已知5AD =．（1）求线段AB 的长；（2）延长AP ，交BC 的延长线于点Q ．①请在答卷上补全图形；②若6BP =，求ABQ △的周长．【答案】（1）10；（2）①见解析；②36【分析】（1）依据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到DP ＝AD ＝5，CP ＝BC ＝5，进而得出AB 的长；（2）①根据题意画出图形；②依据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到AB ＝QB ，再根据BP 平分∠ABQ ，即可得出BP ⊥AQ ，AP ＝QP ，依据勾股定理得出AP 的长，进而得到△ABQ 的周长．【解析】解：（1）∵在□ABCD中，AD＝5，∴BC＝5，∵AB∥CD，∴∠BAP＝∠DPA，∵AP平分∠BAD，∴∠BAP＝∠DAP，∴∠DAP＝∠DPA，∴DP＝AD＝5，同理可得，CP＝BC＝5，∴CD＝10，∴AB＝10；（2）①如图所示：②∵AD∥BQ，∴∠Q＝∠DAP，又∵∠DAP＝∠BAP，∴∠Q＝∠BAP，∴AB＝QB＝10，又∵BP平分∠ABQ，∴BP⊥AQ，AP＝QP，∴Rt△ABP中，22AB BP=8，∴AQ＝16，∴△ABQ的周长为：16+10+10＝36．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：平行四边形的对边平行，对边相等．24．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AC BC =．（1）如图1，过B 作BE AC ⊥于E ，若8AC =，5BE =，求OE 的长；（2）如图2，若45BDC ∠=︒，过点C 作CF CD ⊥交BD 于点F ，过点B 作BG BC ⊥且BG BC =，连接AG ．求证：2AG OF =．【答案】（139-4；（2）见解析．【分析】（1）由勾股定理可求CE 的长，由平行四边形的性质可得CO 的长，即可求OE 的长；（2）延长CF 交AB 于点H ，由“SAS”可证△ABG ≌△FCB ，可得AG=BF ，由等腰三角形的性质可得AB=CD=2BH ，再证明三角形BFH 为等腰直角三角形，从而得出BF=2BH ①；在Rt △CDF 中，得出222BH ，继而得出2BH ②，结合①②可得出结论． 【解析】（1）解：∵BC=AC=8，BE=5，BE AC ⊥，∴22642539BC BE -=-=∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO=CO=4，∴39；（2）证明：如图，延长CF 交AB 于点H ，∵CF⊥CD，∠BDC=45°，∴∠BDC=∠DFC=45°，∴∠FBC+∠FCB=45°，CF=CD，∵BC⊥BG，∠ABD=∠BDC=45°，∴∠GBA+∠FBC=45°，∴∠ABG=∠BCF，且AB=CD=CF，BC=BG，∴△ABG≌△FCB（SAS），∴AG=BF．∵∠ABG+∠ABC=90°，∴∠BCF+∠ABC=90°，∴CH⊥AB，又AC=BC，∴BH=AH，∴AB=CD=2BH．∵AB∥CD，∴∠ABF=∠CDB=45°，∴∠HBF=∠BFH=45°，∴BH=FH，∴2BH①．在Rt△CDF中，CD=CF，∴222BH，∴222BH，∴BO=12BD=322BH，∴OF=BO-BF=22BH②，∴由①②得，BF=2OF，∴AG=2OF．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理以及平行线的性质等知识点，正确作出辅助线，综合运用基本性质进行推理是解题的关键．。
(完整版)平行四边形性质和判定习题(答案详细)(可编辑修改word版)
平行四边形性质和判定习题L如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE1BD于E- CF丄BD于F.（1）求证：BE=DF：X _勒（2）若N分别为边AD、BC±的点，且DM=BN.试判断四边形MENF的形状——必说明理由）.2.如图所示，UAECF的对角线相交于点0, DB经过点O分別与AE, CF” p交于B. D.求证：四边形ABCD是平行四边形•3・如图，在四边形ABCD中，AB=CD, BF=DE, AE丄BD・CF丄BD,垂足分别为E, F.（1）求证J A ABE=A CDF：（2）若AC与BD交于点0,求证：AO=CO.4・已知：如图，他ABC中，^BAC=90\DE.DF是△ABC的中位线，连接EF、EF=AD・5・如图，已知D是A ABC的边AB上一点，CEIIAB,DE交AC于点0,且OA=0C,猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关并加以证明・B AD.求证:。
（不CNCBAFED FE系E6・如图，已知，UABCD中，AE=CF, M、N分别是DE、BF的中点.求证：四边形MFNE是平行四边形•7・如图，平行四边形ABCD, E 、F 两点在对角线BD 上，且BE=DF,连接AE. EG CF, FA ・求证：四边形AECF 是平行四边形•& 在UABCD 中，分别以AD 、BC 为边向内作等边△ADE 和等边△BCF,连接BE. DF ・求证：四边形BEDF 是平 行四边形・DBIIAC,且DB 丄AC. E 是AC 的中点，求证：BC=DE ・2如图，在梯形ABCD 中，ADIIBC, AD=24cm. BC=30cm,点P 自点A 向D 以IcmZs 的速度运动，到D 点Q 自点C 向B 以2cm/s 的速度运动，到B点即停止，直线PQ 截梯形为两个四边形•问当P. Q同时10. 已知脣 点即停止. 出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？IL 如图：已知D 、E 、F 分别是A ABC 各边的中点, 求证：AE 仃DF 互相平分.如图所示, 9・ED13.如图，已知四边形ABCD中，点E, F. G, H分别是AB、CD、AC. BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上.求证：EF和GH互相平分・14.如图J oABCD 中，MNIIAC.试说明MQ=NP.15.已知：如图所示「平行四边形ABCD的对角线AC, BD柑交于点6 EF经过点0并且分别和AB. CD相交于点E, F,点G, H分别为OA, 0C的中点.求证：四边形EHFG是平行四边形.-46 如制已知的ABCD中,E、F是对角线BD上的两点，BE=DF,点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH. 连接GE、EH、HF、FG.（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，尖余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）17.如图，在A ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F,连接AE、CF.（1）求证J AF=CE：（2）如果AC=EF,且ZACB=135\试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论・18,如图平行四边形ABCD 中.mBC=6（几 点E 、F 分別在CD.BC 的延长线上，AE||BD ・ EEhBB 垂足为点F, DF=2 （1） 求证：D 是EC 中点； （2） 求FC 的长.19.如图，已知A ABC 是等边三角形，点D 、F 分别在线段BC 、AB 匕 厶EFB=60。
平行四边形的性质与判定经典例题练习
平行四边形的性质与判定经典例题练习一、平行四边形的性质1. 定义：平行四边形是一种具有两对对边平行的四边形。
定义：平行四边形是一种具有两对对边平行的四边形。
2. 性质1：平行四边形的对边相等。
性质1：平行四边形的对边相等。
3. 性质2：平行四边形的对角线相等。
性质2：平行四边形的对角线相等。
4. 性质3：平行四边形的内角和为180度（即任意两个相邻内角之和为180度）。
性质3：平行四边形的内角和为180度（即任意两个相邻内角之和为180度）。
5. 性质4：平行四边形的两组对边分别互相平行并且相互等长。
性质4：平行四边形的两组对边分别互相平行并且相互等长。
二、平行四边形的判定1. 判定方法1：若一个四边形的对边分别平行且相等，则它是一个平行四边形。
判定方法1：若一个四边形的对边分别平行且相等，则它是一个平行四边形。
2. 判定方法2：若一个四边形的对角线互相相等，则它是一个平行四边形。
判定方法2：若一个四边形的对角线互相相等，则它是一个平行四边形。
三、经典例题练1. 例题1：已知四边形ABCD，AB = BC，且AD与BC互相平行，证明四边形ABCD是平行四边形。
例题1：已知四边形ABCD，AB = BC，且AD与BC互相平行，证明四边形ABCD是平行四边形。
2. 例题2：已知四边形EFGH，EF = GH，且EG与FH互相垂直，证明四边形EFGH是平行四边形。
例题2：已知四边形EFGH，EF = GH，且EG与FH互相垂直，证明四边形EFGH是平行四边形。
3. 例题3：判定以下四边形是否为平行四边形：（a）四边形ABCD，AB = CD，且AD与BC互相垂直；（b）四边形PQRS，PQ = SR，且PS与QR互相平行。
例题3：判定以下四边形是否为平行四边形：（a）四边形ABCD，AB = CD，且AD与BC互相垂直；（b）四边形PQRS，PQ = SR，且PS与QR互相平行。
- （a）根据对边平行和相等的判定方法，若AB = CD且AD与BC互相垂直，则四边形ABCD是平行四边形。
平行四边形性质及判定练习题及答案
平行四边形性质及判定练习题及答案1、如下图，在中，分别是边的中点，已知，则的长为（）A．3 B．4 C．5 D．62、如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，若AE:AF=2 :3，平行四边形ABCD的周长为40，则AB的长为( )A．12 B．9 C．8 D．6 3、如图,在△ABC中，E，D，F分别是AB，BC，CA的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF•的周长是（）A．10 B．20 C．30 D．404、下列四个命题：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题个数有（）A． 4个 B．3个 C．2个 D． 1个5、如图，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（）A．1cm＜OA＜4cm B．2cm＜OA＜8cm C．2cm＜OA＜5cm D．3cm＜OA＜8cm6、如图，在▱ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF．若EF=3，则CD的长为（）A．3 B．6 C．8 D．127、如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为（）A．4 B．3 C．2.5 D．28、如图，□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3 cm，则AB的长为( )A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm9、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论不正确的是（）10、A．DC∥AB B．OA=OC C．AD=BC D．DB平分∠ADC10、如图，将ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B’处.若∠1=∠2=44°，则∠B为( )A． 124° B．114° C． 104° D．6611、在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，A D∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．其中，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的条件共有。
平行四边形的性质与判定(练习)
E DCBA 平行四边形的性质与判定（练习）【知识点】：1. 平行四边形的定义：2．平行四边形性质：⑴边： ；⑵角： ； ⑶对角线： ；(3)对称性：___________________________. 3．平行四边形判定：边：①___________________ ___②_____________ ___________③ ； 角： ； 对角线： ； 【基础训练】一．填空题 (3分×10 = 30分)1．在□ABCD 中，如果∠A +∠C =120°，那么∠B = °．2．已知平行四边形的周长为56㎝，两邻边之比为3:1，则四边形较长的边长为 ． 3．已知□ABCD 中，AB = 6，BC 、AB 边上的高分别为6、4，则BC 边长为 ． 4．已知□ABCD 中，∠A =60°，AB = 4㎝，AD = 6㎝，则□ABCD 的面积为 ． 5．已知□ABCD 中，若∠B 的2倍与∠A 的补角的和为90°，则∠B = 度．6．已知□ABCD 的周长为20cm ，对角线相交于点O ，且△BOC 的周长比△AOB 的周长多2cm ，则AB = cm ．7．如图1，已知□ABCD 中，AE ＝CF ，则图中有 对全等三角形．8．如图2，已知□ABCD 中，BC =12，AB =10，AE ⊥BC 于点E ，且AE =8，则AB 与CD 两边之间的距离为 ．9．如图3，已知□ABCD 中，AB =6，AD =8，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，则EC = ．图1 图2 图310．在四边形ABCD 中，AB =CD ，要使这个四边形成为平行四边形，则可添加的一个条件可以是 ． 二．选择题 (3分×6 = 18分)E DCB A1．平行四边形是 ( )（A ）轴对称图形 （B ）既是轴对称图形，又是中心对称图形 （C ）中心对称图形 （D ）既不是轴对称图形，也不是中心对称图形2．用两个全等的三角形（三边互不相等）拼成不同的四边形，其中不同的平行四边形的个数是 ( ) （A ）1个 （B ）2个 （C ）3 个 （D ）4个 3．下列条件中，能判断四边形是平行四边形的条件是（ ） （A ）一组对边平行 （B ）四条边相等 （C ）一组对边平行，另一组对边相等 （D ）两条对角线相等4．已知□ABCD 的周长为40cm ，△ABC 的周长为25cm ，则对角线AC 长为（ ） （A ）5cm （B ）15cm （C ）6cm （D ）16cm 5．如图4，已知四边形ABCD 和CEFG 都是平行四边形， 则下列等式中正确的是（ ）（A ）∠1+∠8=1800（B ）∠1+∠5=180° （C ）∠4+∠6=180° （D ）∠2+∠8=180°6．已知P 为□ABCD 的边AB 上的任一点，则△PCD 与 图4□ABCD 的面积的比S △PCD :S □ABCD 为（ ）（A ）1:2 （B ）1:3 （C ）1:4 （D ）不能确定 三、几何证明1.已知：如图，D 、F 分别是ΔABC 的边BC 、AC 的中点，点E 在线段DF 的延长线上，FE ＝DF 。
平行四边形专题训练(含答案)
平行四边形专题训练一．解答题（共17小题）1．如图，在▱ABCD中，CE⊥AD于点E，且CB＝CE，点F为CD边上的一点，CB＝CF，连接BF 交CE于点G．（1）若∠D＝60°，CF＝2，求CG的长；（2）求证：AB＝ED+CG．2．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥BC交BC于点E，且DE＝AD，F为DC上一点，且AD＝FD，连接AF与DE交于点G．（1）若∠C＝60°，AB＝2，求GF的长；（2）过点A作AH⊥AD，且AH＝CE，求证：AB＝DG+AH．3．如图，已知▱ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH 于点F、G、M，且DE＝AD．（1）求证：△ADG≌△FDM．（2）猜想AB与DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想．4．如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD＝DF．过点D作DC的垂线，分别交AE、AB于点M、N．（1）若M为AG中点，且DM＝2，求DE的长；（2）求证：AB＝CF+DM．5．在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，F为CD边上一点，满足BF＝BC＝BE．（1）如图1，若BC＝12，CD＝13，求DE的长；（2）如图2，过点G作DG∥BE交BF于点G．求证：BG＝AE+DG．6．如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE的延长线交CD于点F，交AD的延长线于点G．（1）若BE＝，EC＝，求△BCE的面积；（2）若∠ABE＝2∠EBC，且AB＝BE，求证：EC＝DG．7．如图1，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，E恰为BC的中点，tan B＝2．（1）求证：AD＝AE；（2）如图2，点P在线段BE上，作EF⊥DP于点F，连接AF，求证：；（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF 垂直直线DP，垂足为点F，连接AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．8．如图①，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，AB⊥AC，过点A作AE⊥BD于点E．（1）若BC＝6，求AE的长度；（2）如图②，点F是BD上一点，连接AF，过点A作AG⊥AF，且AG＝AF，连接GC交AE 于点H，证明：GH＝CH．9．在▱ABCD中，点E是BC的中点，过点A作AF⊥CD交直线CD于点F，连接AE、DE（1）如图1，当点F与点C重合时，AB＝AC＝2，求线段DE的长；（2）如图2，若∠EAF＝30°，AE＝CF，求证：BE＝AF．10．已知，在▱ABCD中，AB⊥AC，点E是AC上一点，连换BE，延长BE交AD于点F，BE＝CE．（1）如图1，当∠AEB＝60°，BF＝2时，求▱ABCD的面积；（2）如图2，点G是过点E且与BF垂直的直线上一点，连接GF，GC，FC，当GF＝GC时，求证：AB＝2EG．ABCD BD AD E CD AE BD F G为AF的中点，连接DG．（1）如图1，若DG＝DF＝1，BF＝3，求CD的长；（2）如图2，连接BE，且BE＝AD，∠AEB＝90°，M、N分别为DG，BD上的点，且DM＝BN，H为AB的中点，连接HM、HN，求证：∠MHN＝∠AFB．12．在△BCF中，点D是边CF上的一点，过点D作AD∥BC，过点B作BA∥CD交AD于点A，点G是BC的中点，点E是线段AD上一点，且∠CDG＝∠ABE＝∠EBF．（1）若∠F＝60°，∠C＝45°，BC＝2，请求出AB的长；（2）求证：CD＝BF+DF．13．已知在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥BC于点E，且AD＝DE．连接AC交DE于点F，作DG⊥AC于点G．（1）如图1，若，AF＝，求DG的长；（2）如图2，作EM⊥AC于点M，连接DM，求证：AM﹣EM＝2DG．14．已知，在平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，且DE＝DC．（1）若点E与点A重合（如图1），点B沿MN翻折后的点B1恰好落在AC上，且∠MNB1＝45°，AB1＝1，AM＝2，BM＝．求：①∠AMN的度数；②BN的长；（2）如图2，若CE交对角线BD于F，∠ABD＝2∠DBC，求证：BC＝DF+AB．15．在平行四边形ABCD中，点E是AD边上的点，连接BE．（1）如图1，若BE平分∠ABC，BC＝8，ED＝3，求平行四边形ABCD的周长；（2）如图2，点F是平行四边形外一点，FB＝CD．连接BF、CF，CF与BE相交于点G，若∠FBE+∠ABC＝180°，点G是CF的中点，求证：2BG+ED＝BC．16．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；（2）若∠ACB＝45°，求证：DF＝CG．17．如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE＝BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH＝AG，连接EH．（1）若BC＝12，AB＝13，求AF的长；（2）求证：EB＝EH．18．如图，平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥AB于点E，点F是AD上一点，连结BF、CF，交CE于点G。
人教版数学八年级下册：第十八章 平行四边形 专题练习(附答案)
第十八章平行四边形专题练习专题1平行四边形的证明思路类型1若已知(已证)四边形中边的关系(1)已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；(2)已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，过点D作BC的平行线，与AC相交于点E，点F在BC上，EF＝EC.求证：四边形DBFE是平行四边形．2．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝12BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．3．如图，点B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD.求证：四边形ABED是平行四边形．4．如图，在▱ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．5．如图，已知点D，E，F分别在△ABC的边BC，AB，AC上，且DE∥AF，DE＝AF，将FD延长到点G，使FG＝2DF，连接AG，则ED与AG互相平分吗？请说明理由．6．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，AF与BE交于点G，CE与DF交于点H，求证：四边形EGFH是平行四边形．类型2若已知条件(已证结论)与对角线有关，则可以通过证明对角线互相平分得到平行四边形7．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形．8．如图，在▱ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O，与AD，BC 分别相交于点E，F，GH 过点O，与AB，CD 分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.求证：四边形EGFH 是平行四边形．专题2与正方形有关的四个常考模型模型1正方形中相交垂线段问题——教材P68复习题T8的变式与应用1．如图，ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE＝CF.要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？【探究】若去掉“DE＝CF”这一条件，将两个结论中的一个作为条件能推出另一个结论成立吗？(1)若已知BE＝AF，则BE⊥AF成立吗？正方形内，分别连接两组对边上任意两点，得到的两条线段(如：图1中的线段AF与BE，图2中的线段AF与EG，图3中的线段HF与EG)满足：若垂直，则相等．模型2正方形中过对角线交点的直角问题2．如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F.(1)求证：△AOE≌△BOF；(2)如果两个正方形的边长都为a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？【变式1】如图，正方形ABCD的边长为4，点O在对角线DB上运动(不与点B，D重合)，连接OA，作OP⊥OA，交直线BC于点P.判断线段OA，OP的数量关系，并说明理由．【变式2】如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是( )A．n B．n－1 C．4(n－1) D．4n正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，点E，F分别在AB，BC上．若∠EOF为直角，OE，OF分别与DA，AB的延长线交于点G，H，则△AOE≌△BOF，△AOG≌△BOH，△OGH是等腰直角三角形，且S四边形OEBF＝14S正方形ABCD.模型3正方形中三垂直全等模型——教材P69复习题T14的变式与应用3．正方形ABCD的边长为6，点P在对角线BD上，点E是线段AD上或AD的延长线上的一点，且PE⊥PC.(1)如图1，点E在线段AD上，求证：PE＝PC；(2)如图2，点E在线段AD的延长线上，请补全图形，并判断(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．模型4正方形中的半角模型4．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.(1)求证：CE＝CF；(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？(1)如图，正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，则：①EF＝BE＋DF；②△CEF的周长为正方形ABCD边长的2倍；③FA平分∠DFE，EA平分∠BEF.(2)如图，正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，FA平分∠DFE，则EF＝DF－BE.专题3特殊平行四边形的性质与判定1．如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.求证：(1)△ABF≌△DAE；(2)DE＝BF＋EF.2．如图，四边形ABCD，BEFG均为正方形，连接AG，CE.求证：(1)AG＝CE；(2)AG⊥CE.3．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB 边上一点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)请求出AM的长为何值时，四边形AMDN是矩形，并说明理由．4.已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E，F，G，H，顺次连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形)．(1)四边形EFGH的形状是，证明你的结论；(2)当四边形ABCD的对角线满足条件时，四边形EFGH是矩形；(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？．5．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．6．如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H.(1)你能说明四边形EHFG是平行四边形吗？(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EHFG是一个菱形？(3)四边形EHFG会成为一个正方形吗？专题4四边形中的动点问题——教材P68复习题T13的变式与应用【例】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝12 cm，BC ＝18 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s 的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t s.(1)CD边的长度为cm，t的取值范围为；(2)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD?(3)从运动开始，当t取何值时，PQ＝CD?【拓展变式1】在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．【拓展变式2】从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？【拓展变式3】在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．【拓展变式4】是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．专题5特殊平行四边形中的折叠问题——教材P64“数学活动”的变式与应用【例】如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN.请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论．图1【拓展延伸】再沿MN所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕MG，同时得到线段B′G，展开如图2.探究四边形MBGB′的形状，并证明你的结论．图2在折叠问题中，原图形与折叠后图形中所隐含的相等线段与相等角常常是解决问题的关键，注意翻折变换的性质的灵活运用，折叠前后，重叠部分是全等形，另外注意勾股定理等知识在求折叠图形的线段中的适当运用．1．如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点O.若AE ＝5，BF ＝3，则AO 的长为( )A . 5B .32 5 C ．2 5 D ．452．如图，将边长为6 cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在AB 边中点E 处，点C 落在点Q 处，折痕为FH ，则线段AF 的长是 cm .3．如图，将一张菱形纸片ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH.若EF ＝4，EH ＝3，则AB ＝ ．4．如图，在矩形ABCD 中，AB>AD ，把矩形沿对角线AC 所在直线折叠，使点B 落在点E 处，AE 交CD 于点F ，连接DE.求证： (1)△ADE ≌△CED ； (2)△DEF 是等腰三角形．专题6特殊平行四边形中的最值问题【例】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB的中点，P 为AC上一个动点，求PF＋PE的最小值．【思路点拨】(1)先确定点P的位置：作点E关于AC的对称点E′，连接FE′，交AC于点P，则点P即为所求；(2)求E′F的长度：将E′F放到一个直角三角形中，利用勾股定理求出E′F的长，即求出了PF＋PE的最小值．求线段和最小时，若已知的两点在动点所在直线的同侧，将动点所在直线当作对称轴，作出其中一点的对称点，再将另一点与这个对称点连接，则其与直线的交点即为所求动点所在位置，再求出所连接的线段长即为所求．1．如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，点E为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，则PB＋PE的最小值为．2．如图，在矩形ABCD 的边AD 上找一点P ，使得点P 到B ，C 两点的距离之和最短，则点P 的位置应该在 ．3．如图，四边形ABCD 是菱形，AB ＝8，且∠ABC ＝60°，M 为对角线BD(不含B 点)上任意一点，则AM ＋12BM 的最小值为 ．4．如图，以边长为2的正方形的对角线的交点O 为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A ，B 两点，求线段AB 的最小值．参考答案：专题1 平行四边形的证明思路1．证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C. ∵EF ＝EC ，∴∠EFC ＝∠C. ∴∠B ＝∠EFC. ∴AB ∥EF. 又∵DE ∥BC ，∴四边形DBFE 是平行四边形．2．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴点O 是BD 的中点． 又∵点E 是边CD 的中点， ∴OE 是△BCD 的中位线． ∴OE ∥BC ，且OE ＝12BC.又∵CF ＝12BC ，∴OE ＝CF.又∵点F 在BC 的延长线上， ∴OE ∥CF.∴四边形OCFE 是平行四边形． 3．证明：∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠DEF. ∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠F.∵BE ＝CF ，∴BE ＋CE ＝CF ＋CE ，即BC ＝EF. 在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠DEF ，BC ＝EF ，∠ACB ＝∠F ，∴△ABC ≌△DEF(ASA )．∴AB ＝DE. ∵AB ∥DE ，∴四边形ABED 是平行四边形．4．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ＝AB ，AD ＝CB ，∠DAB ＝∠BCD. 又∵△ADE 和△BCF 都是等边三角形，∴DE ＝AD ＝AE ，CF ＝BF ＝BC ，∠DAE ＝∠BCF ＝60°. ∴BF ＝DE ，CF ＝AE.∵∠DCF ＝∠BCD －∠BCF ，∠BAE ＝∠DAB －∠DAE ， ∴∠DCF ＝∠BAE. 在△DCF 和△BAE 中，⎩⎨⎧CD ＝AB ，∠DCF ＝∠BAE ，CF ＝AE ，∴△DCF ≌△BAE(SAS )． ∴DF ＝BE. 又∵BF ＝DE ，∴四边形BEDF 是平行四边形． 5．解：ED 与AG 互相平分． 理由：连接EG ，AD. ∵DE ∥AF ，DE ＝AF ， ∴四边形AEDF 是平行四边形． ∴AE ∥DF ，AE ＝DF. 又∵FG ＝2DF ， ∴DG ＝DF. ∴AE ＝DG. 又∵AE ∥DG ，∴四边形AEGD 是平行四边形． ∴ED 与AG 互相平分．6．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点， ∴AE ＝12AD ，FC ＝12BC.∴AE ∥FC ，AE ＝FC.∴四边形AECF 是平行四边形． ∴GF ∥EH.同理可证：ED ∥BF 且ED ＝BF. ∴四边形BFDE 是平行四边形． ∴GE ∥FH.∴四边形EGFH 是平行四边形．7．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OD ＝OB ，OA ＝OC ，AB ∥CD. ∴∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO. 在△FDO 和△EBO 中，⎩⎨⎧∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∴△FDO ≌△EBO(AAS)． ∴OF ＝OE . 又∵OA ＝OC ，∴四边形AECF 是平行四边形．8．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC. ∴∠EAO ＝∠FCO. ∵O 为AC 的中点， ∴OA ＝OC.在△OAE 和△OCF 中，⎩⎨⎧∠EAO ＝∠FCO ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△OAE ≌△OCF(ASA )． ∴OE ＝OF.同理可证：OG ＝OH.∴四边形EGFH 是平行四边形．专题2 与正方形有关的四个常考模型1．解：BE ＝AF 且BE ⊥AF ，理由： ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠D ＝90°. 又∵DE ＝CF ，∴AE ＝DF. ∴△ABE ≌△DAF(SAS )． ∴BE ＝AF ，∠ABE ＝∠DAF.∵∠DAF ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°. ∴∠AGB ＝90°，即BE ⊥AF.【探究】解：成立．理由：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAD ＝∠D ＝90°，AB ＝AD. 在Rt △ABE 和Rt △DAF 中，⎩⎨⎧AB ＝DA ，BE ＝AF ，∴Rt △ABE ≌Rt △DAF(HL )． ∴∠ABE ＝∠DAF.∵∠DAF ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°.∴∠AGB ＝90°，即BE ⊥AF. (2)若已知BE ⊥AF ，则BE ＝AF 成立吗？ 解：成立．理由：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD ，∠BAD ＝∠D ＝90°. 又∵BE ⊥AF ，∴∠AGB ＝90°. ∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°.∵∠DAF ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAF. ∴△ABE ≌△DAF(ASA )． ∴BE ＝AF.2．解：(1)证明：在正方形ABCD 中，AO ＝BO ，∠AOB ＝∠A 1OC 1＝90°，∠OAB ＝∠OBC ＝45°. ∴∠AOE ＋∠EOB ＝90°，∠BOF ＋∠EOB ＝90°. ∴∠AOE ＝∠BOF. 在△AOE 和△BOF 中，⎩⎨⎧∠OAE ＝∠OBF ，OA ＝OB ，∠AOE ＝∠BOF ，∴△AOE ≌△BOF(ASA )．(2)两个正方形重叠部分的面积等于14a 2.理由如下：∵△AOE ≌△BOF ，∴S 四边形OEBF ＝S △EOB ＋S △BOF ＝S △EOB ＋S △AOE ＝S △AOB ＝14S 正方形ABCD ＝14a 2.【变式1】 解：OA ＝OP ，理由：过点O 作OG ⊥AB 于点G ，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABO ＝∠CBO ，AB ＝BC. ∴OG ＝OH.∵∠OGB ＝∠GBH ＝∠BHO ＝90°， ∴四边形OGBH 是正方形． ∴∠GOH ＝90°.∵∠AOP ＝∠GOH ＝90°，∴∠AOG ＝∠POH. ∴△AGO ≌△PHO(ASA )． ∴OA ＝OP. 【变式2】 B3．解：(1)证明：过点P 作FG ∥DC 分别交AD ，BC 于点F ，G. 易得∠PFD ＝∠CGP ＝90°. ∵BD 为正方形ABCD 的对角线， ∴∠BDF ＝∠FPD ＝45°. ∴PF ＝FD.又∵FG ∥DC ，FD ∥GC ，∠ADC ＝90°， ∴四边形FGCD 为矩形． ∴DF ＝CG. ∴PF ＝CG. ∵PE ⊥PC ，∴∠FPE ＋∠GPC ＝90°. ∵∠FEP ＋∠FPE ＝90°， ∴∠FEP ＝∠GPC. ∴在△PFE 和△CGP 中，⎩⎨⎧∠PFE ＝∠CGP ，∠FEP ＝∠GPC ，PF ＝CG ，∴△PFE ≌△CGP(AAS )． ∴PE ＝CP.(2)成立．理由：过点P 作FG ∥DC 分别交AD ，BC 于点F ，G. 同理可证△PFE ≌△CGP(AAS )． ∴PE ＝PC.4．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF.又∵BE ＝DF ，∴△CBE ≌△CDF(SAS )．∴CE ＝CF.(2)GE ＝BE ＋GD 成立．理由：由(1)得，△CBE ≌△CDF ，∴∠BCE ＝∠DCF.∴∠BCE ＋∠ECD ＝∠DCF ＋∠ECD ，即∠BCD ＝∠ECF ＝90°.又∵∠GCE ＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE ＝45°.∵CE ＝CF ，∠GCE ＝∠GCF ，GC ＝GC ，∴△ECG ≌△FCG(SAS )．∴GE ＝GF.∴GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD.专题3 特殊平行四边形的性质与判定1．证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，AD ∥BC.∴∠BPF ＝∠DAE.∵∠ABC ＝∠AED ，∴∠BAF ＝∠ADE.∵∠ABF ＝∠BPF ，∴∠ABF ＝∠DAE.∵AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE(ASA )．(2)∵△ABF ≌△DAE ，∴AE ＝BF ，DE ＝AF.∵AF ＝AE ＋EF ＝BF ＋EF ，∴DE ＝BF ＋EF.2．证明：(1)∵四边形ABCD ，BEFG 均为正方形，∴AB ＝CB ，∠ABC ＝∠GBE ＝90°，BG ＝BE.∴∠ABG ＝∠CBE.在△ABG 和△CBE 中，⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABG ＝∠CBE ，BG ＝BE ，∴△ABG ≌△CBE(SAS )．∴AG ＝CE.(2)设AG 交BC 于点M ，交CE 于点N.∵△ABG ≌△CBE ，∴∠BAG ＝∠BCE.∵∠ABC ＝90°，∴∠BAG ＋∠AMB ＝90°.∵∠AMB ＝∠CMN ，∴∠BCE ＋∠CMN ＝90°.∴∠CNM ＝90°.∴AG ⊥CE.3．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴ND ∥AM.∴∠NDE ＝∠MAE ，∠DNE ＝∠AME.又∵点E 是AD 边的中点，∴DE ＝AE.∴△NDE ≌△MAE(AAS )．∴ND ＝MA.∴四边形AMDN 是平行四边形．(2)当AM 的长为1时，四边形AMDN 是矩形．理由如下：∵AM ＝1＝12AD ＝AE ，∠DAB ＝60°， ∴△AEM 是等边三角形．∴∠AME ＝∠AEM ＝60°，EM ＝AE ＝ED.∴∠EMD ＝∠EDM ＝30°.∴∠AMD ＝∠AME ＋∠EMD ＝90°.∴四边形AMDN 是矩形．4.(1)四边形EFGH 的形状是平行四边形，证明你的结论；(2)当四边形ABCD 的对角线满足互相垂直条件时，四边形EFGH 是矩形；(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？菱形．证明：连接BD.∵E ，H 分别是AB ，AD 中点，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD. 同理FG ∥BD ，FG ＝12BD ， ∴EH ∥FG ，EH ＝FG.∴四边形EFGH 是平行四边形．5．解：(1)证明：由题意得△BCE ≌△BFE ，∴∠BEC ＝∠BEF ，FE ＝CE.∵FG ∥CE ，∴∠FGE ＝∠BEC.∴∠FGE ＝∠BEF.∴FG ＝FE.∴FG ＝EC.∴四边形CEFG 是平行四边形．又∵CE ＝FE ，∴四边形CEFG 是菱形．(2)∵矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝10，BC ＝BF ，∴∠BAF ＝90°，AD ＝BC ＝BF ＝10.∴AF ＝BF 2－AB 2＝8.∴DF ＝2.设EF ＝x ，则CE ＝x ，DE ＝6－x.∵∠FDE ＝90°，∴22＋(6－x)2＝x 2.解得x ＝103.∴CE ＝103. ∴S 四边形CEFG ＝CE·DF ＝103×2＝203. 6．解：(1)能说明四边形EHFG 是平行四边形．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB 綊CD.而AE ＝12AB ，CF ＝12CD ， ∴AE 綊CF.∴四边形AECF 是平行四边形．∴GF ∥EH.同理可得GE ∥HF.∴四边形EHFG 是平行四边形．(2)当四边形ABCD 是矩形时，四边形EHFG 是菱形．由(1)知，四边形EHFG 是平行四边形．连接EF.当四边形ABCD 是矩形时，四边形EBCF 也是矩形，∴EH ＝FH ，∴四边形EHFG 是菱形．(3)当四边形ABCD 是矩形且AB ＝2AD 时，四边形EHFG 是正方形．由(2)知，当四边形ABCD 是矩形时，四边形EHFG 是菱形．又由AB ＝2AD 可知，四边形EBCF 是正方形．根据正方形的性质知，EC⊥BF，即∠EHF＝90°，∴四边形EHFG是正方形．专题4四边形中的动点问题【例】(1)CD边的长度为10cm，t的取值范围为0≤t≤9；解：(2)设经过t s时，PQ∥CD，此时四边形PQCD为平行四边形，则PD＝CQ.∵PD＝(12－t)cm，CQ＝2t cm，∴12－t＝2t.∴t＝4.∴当t＝4时，PQ∥CD.(3)设经过t s时，PQ＝CD，分别过点P，D作BC边的垂线PE，DF，垂足分别为E，F.当CF＝EQ时，四边形PQCD为梯形(腰相等)或者平行四边形．∵∠B＝∠A＝∠DFB＝90°，∴四边形ABFD是矩形．∴AD＝BF.∵AD＝12 cm，BC＝18 cm，∴CF＝BC－BF＝6 cm.①当四边形PQCD为梯形(腰相等)时，PD＋2(BC－AD)＝CQ，∴(12－t)＋12＝2t.∴t＝8.∴当t＝8时，PQ＝CD；②当四边形PQCD为平行四边形时，由(2)知当t＝4 s时，PQ＝CD.综上，当t＝4或t＝8时，PQ＝CD.【拓展变式1】解：不存在．理由：要使四边形PQCD是菱形，则四边形PQCD一定是平行四边形．由例知当t＝4 s时，四边形PQCD是平行四边形．此时DP＝12－t＝8≠10，即DP≠DC，所以按已知速度运动，四边形PQCD只能是平行四边形，不可能是菱形．【拓展变式2】解：如图，由题意，得AP ＝t ，DP ＝12－t ，CQ ＝2t ，BQ ＝18－2t.要使四边形PQBA 是矩形，已有∠B ＝90°，AD ∥BC ，即AP ∥BQ ，只需满足AP ＝BQ ，即t ＝18－2t ，解得t ＝6.所以当t ＝6时，四边形PQBA 是矩形．【拓展变式3】 解：不存在．理由：要使四边形PQBA 是正方形，则四边形PQBA 一定是矩形．由变式2知，当t ＝6时，四边形PQBA 是矩形．此时AP ＝t ＝6≠8，即AP ≠AB ，所以按已知速度运动，四边形PQBA 只能是矩形，不可能是正方形．【拓展变式4】 解：△DQC 是等腰三角形时，分三种情况讨论：图1 图2 图3①如图1，当QC ＝DC 时，即2t ＝10，∴t ＝5.②如图2，当DQ ＝DC 时，过点D 作DH ⊥CQ ，则QH ＝CH ＝12CQ ＝t. 在矩形ABHD 中，BH ＝AD ＝12，∴CH ＝BC －BH ＝6，∴t ＝6.③如图3，当QD ＝QC 时，过点D 作DH ⊥CQ ，DH ＝8，CH ＝6，DC ＝10，CQ ＝QD ＝2t ，QH ＝|2t －6|.在Rt △DQH 中，DH 2＋QH 2＝DQ 2.∴82＋|2t －6|2＝(2t)2.解得t ＝256. 综上，当t ＝5或6或256时，△DQC 是等腰三角形专题5 特殊平行四边形中的折叠问题【例】 解：∠MBN ＝30°.证明：连接AN .∵直线EF 是AB 的垂直平分线，点N 在EF 上，∴AN ＝BN .由折叠可知，BN ＝AB ，∴△ABN 是等边三角形．∴∠ABN ＝60°.∴∠MBN ＝∠ABM ＝12∠ABN ＝30°. 【拓展延伸】 解：四边形MBGB′是菱形．证明：∵∠ABM ＝30°，∠A ＝∠ABC ＝90°，∴∠MBG ＝∠AMB ＝60°.根据折叠的性质，得BM ＝MB′，BG ＝B′G ，∠BMN ＝∠AMB.∴∠BMN ＝∠MBG ＝60°.∴△MBG 是等边三角形．∴BM ＝BG.∴BM ＝MB′＝BG ＝B′G.∴四边形MBGB′是菱形．1．C2． 94cm . 3．5．4．证明：(1)由折叠相关性质可知，AE ＝AB ，CE ＝CB.∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ＝AB ＝DC ，CE ＝CB ＝AD.在△ADE 和△CED 中，⎩⎨⎧AD ＝CE ，AE ＝CD ，DE ＝ED ，∴△ADE ≌△CED(SSS )．(2)由(1)知，△ADE ≌△CED ，∴∠AED ＝∠CDE.∴△DEF 是等腰三角形．小专题(十) 特殊平行四边形中的最值问题【例】 解：作点E 关于直线AC 的对称点E′(易知点E′在CD 上)，连接E′F ，交AC 于点P.则PE ＝PE′，CE ′＝CE.∴PE ＋PF ＝PE′＋PF ＝E′F.∴P 即为所求的使PF ＋PE 最短的点．∵正方形ABCD 的边长为4，BE ＝1，F 为AB 的中点， ∴BF ＝2，CE ＝CB －BE ＝3.∴CE ′＝CE ＝3.过点F 作FG ⊥CD 于点G ，则∠FGE′＝∠FGC ＝90°. ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠BCD ＝∠FGC ＝90°.∴四边形FBCG 是矩形．∴CG ＝BF ＝2，FG ＝BC ＝4.∴E ′G ＝E′C －CG ＝1.∴在Rt △E ′FG 中，E ′F ＝FG 2＋E′G 2＝42＋12＝17. ∴PF ＋PE 的最小值为17.12．AD 的中点．34．解：∵四边形CDEF 是正方形，∴∠OCA ＝∠ODB ＝45°，∠COD ＝90°，OC ＝OD. ∵AO ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°.∴∠COA ＋∠AOD ＝90°，∠AOD ＋∠DOB ＝90°. ∴∠COA ＝∠DOB.在△COA 和△DOB 中，⎩⎨⎧∠OCA ＝∠ODB ，OC ＝OD ，∠COA ＝∠DOB ，∴△COA ≌△DOB(ASA )．∴OA ＝OB.∵∠AOB ＝90°，∴△AOB 是等腰直角三角形． 由勾股定理，得AB ＝OA 2＋OB 2＝2OA ，要使AB 最小，只要OA 取最小值即可，根据垂线段最短，得OA ⊥CD 时，OA 最小，∵四边形CDEF 是正方形，∴OD ＝OC.又∵OA ⊥CD ，∴CA ＝DA.∴OA ＝12CF ＝1.∴AB ＝ 2.∴AB的最小值为 2.。
八年级平行四边形专题练习(含答案)
中考专题复习平行四边形知识考点：理解并掌握平行四边形的判定和性质 精典例题：【例1】已知如图：在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，点E 、F 分别在BC 和AD 边上，AF ＝CE ，EF 和对角线BD 相交于点O ，求证：点O 是BD 的中点。
分析：构造全等三角形或利用平行四边形的性质来证明BO ＝DO 略证：连结BF 、DE在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥BC ，AD ＝BC 又∵AF ＝CE∴FD ∥BE ，FD ＝BE ∴四边形BEDF 是平行四边形∴BO ＝DO ，即点O 是BD 的中点。
【例2】已知如图：在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形。
分析：欲证四边形EFGH 是平行四边形，根据条件需从边上着手分析，由E 、F 、G 、H 分别是各边上的中点，可联想到三角形的中位线定理，连结AC 后，EF 和GH 的关系就明确了，此题也便得证。
（证明略）变式1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形。
变式2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形。
变式3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形是正方形。
变式4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形。
变式5：若AC ＝BD ，AC ⊥BD ，则四边形EFGH 是正方形。
变式6：在四边形ABCD 中，若AB ＝CD ，E 、F 、G 、H 分别为AD 、BC 、BD 、AC 的中点，求证：EFGH 是菱形。
娈式6图娈式7图变式7：如图：在四边形ABCD 中，E 为边AB 上的一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，P 、Q 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，求证：四边形PQMN 是菱形。
例1图 O F E D CB A 例2图探索与创新：【问题】已知如图，在△ABC 中，∠C ＝900，点M 在BC 上，且BM ＝AC ，点N 在AC 上，且AN ＝MC ，AM 和BN 相交于P ，求∠BPM 的度数。
平行四边形的判定练习题(含(答案))
平行四边形的判定及中位线知能点1 平行四边形的判定方法1．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）．A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠DC．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）．A．相邻的角互补 B．两组对角分别相等C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线交点是两对角线中点3．如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）．A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形;B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形;C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形;D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形4．如上右图所示，对四边形ABCD是平行四边形的下列判断，正确的打“∨”，错误的打“×”．（1）因为AD∥BC，AB=CD，所以ABCD是平行四边形．（）（2）因为AB∥CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（3）因为AD∥BC，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（4）因为AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD是平行四边形．（）（5）因为AB=CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（6）因为AD=CD，AB=AC，所以ABCD是平行四边形．（）5．已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加条件________．6．如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，问四边形ABCD是不是平行四边形．7．如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，E，F为对角线AC上的点，且AE=CF，求证：BE=DF．8．如图所示，D为△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，且AE=CE，FC∥AB．求证：CD=AF．9．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，在AB的延长线上截取BE=•AB，BF=BD，连接CE，DF，相交于点M．求证：CD=CM．10．如图所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，以AD，AC为边作□ACED，延长DC•交EB于F，求证：EF=FB．知能点2 三角形的中位□线11．如图所示，已知E 为□ABCD 中DC 边的延长线上的一点，且CE=DC ，连接AE ，分别交BC ，BD 于点F ，G ，连接AC 交BD 于点O ，连接OF ，求证：AB=2OF ．12．如图所示，在ABCD 中，EF ∥AB 且交BC 于点E ，交AD 于点F ，连接AE ，BF•交于点M ，连接CF ，DE 交于点N ，求证：MN ∥AD 且MN=12AD ．13．如图所示，DE 是△ABC 的中位线，BC=8，则DE=_______．14．如图所示，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，OE ∥BC 交CD•于E ，•若OE=3cm ，则AD 的长为（ ）． A ．3cm B ．6cm C ．9cm D ．12cm15．如图所示，在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 的中点，•则四边形EFGH 是平行四边形吗？为什么？16．如图所示，在△ABC 中，AC=6cm ，BC=8cm ，AB=10cm ，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，求△DEF 的面积．规律方法应用17．如图所示，A ，B 两点被池塘隔开，在A ，B 外选一点C ，连接AC 和BC ，•并分别找出AC 和BC 的中点M ，N ，如果测得MN=20m ，那么A ，B 两点间的距离是多少？18．如图所示，在□ABCD 中，AB=2AD ，∠A=60°，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，EF=1cm ，那么对角线BD 的长度是多少？你是怎样得到的？19．如图所示，在△ABC 中，E 为AB 的中点，CD 平分∠ACB ，AD ⊥CD 于点D ．• 试说明：（1）DE ∥BC ．（2）DE=12（BC-AC ）．开放探索创新20．如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD•于E，EF∥BC交AC于F，那么AE与CF相等吗？请验证你的结论．中考真题实战21．（长沙）如下左图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD•为平行四边形，则应添加的条件是________．（添加一个即可）22．（呼和浩特）如上右图所示，已知E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，•则S四边形EFGH：S四边形ABCD的值是_________．23．（南京）已知如图19-1-55所示，在ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：（1）•△AFD≌△CEB．（2）四边形AECF是平行四边形．答案:1．C 2．C 3．D4．（1）×（2）×（3）∨（4）∨（5）∨（6）× 5．AD=BC或AB∥CD6．解：∵∠1=∠2，∴AD∥BC．又∵∠3=∠4，∴AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．7．证明：∵AB=CD，BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF．又∵AE=CE，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE=EF．8．证明：∵FC∥AB，∴∠DAC=∠ACF，∠ADF=∠DFC．又∵AE=CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE=EF．∵AE=CE，∴四边形ADCF为平行四边形．∴CD=AF．9．证明：∵四边形ABCD是平行四边形．∴AB//DC．又∵BE=AB，∴BE//DC，∴四边形BDCE是平行四边形．∵DC∥BF，∴∠CDF=∠F．同理，∠BDM=∠DMC．∵BD=BF，∴∠BDF=∠F．∴∠CDF=∠CMD，∴CD=CM．10．证明：过点B作BG∥AD，交DC的延长线于G，连接EG．∵DC∥AB，∴ABGD是平行四边形，∴BG// AD．在□ACED中，AD//CE，∴CE//BG．∴四边形BCEG为平行四边形，∴EF=FB．11．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD=BC．∵CE=CD，∴AB//CE，∴四边形ABEC为平行四边形．∴BF=FC，∴OF//12AB，即AB=2OF．12．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ． 又∵EF ∥AB ，∴EF ∥CD ．∴四边形ABEF ，ECDF 均为平行四边形．又∵M ，N 分别为ABEF 和ECDF 对角线的交点． ∴M 为AE 的中点，N 为DE 的中点， 即MN 为△AED 的中位线． ∴MN ∥AD 且MN=12AD ． 13．4 14．B15．解：EFGH 是平行四边形，连接AC ，在△ABC 中，∵EF 是中位线，∴EF //12AC ． 同理，GH //12AC ． ∴EF //GH ，∴四边形EFGH 为平行四边形． 16．解：∵EF ，DE ，DF 是△ABC 的中位线， ∴EF=12AB ，DE=12AC ，DF=12BC ． 又∵AB=10cm ，BC=8cm ，AC=6cm ，∴EF=5cm ，DE=3cm ，DF=4cm ，而32+42=25=52，即DE 2+DF 2=EF 2． ∴△EDF 为直角三角形． ∴S △EDF =12DE ·DF=12×3×4=6（cm 2）． 17．解：∵M ，N 分别是AC ，BC 的中点． ∴MN 是△ABC 的中位线，∴MN=12AB ． ∴AB=2MN=2×20=40（m ）．故A ，B 两点间的距离是40m ． 18．解：连接DE ．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB //CD ． ∵DF=12CD ，AE=12AB ， ∴DF //AE ．∴四边形ADFE 是平行四边形．∴EF=AD=1cm ．∵AB=2AD ，∴AB=2cm ．∵AB=2AD ，∴AB=2AE ，∴AD=AE ． ∴∠1=∠4．∵∠A=60°，∠1+∠4+∠A=180°， ∴∠1=∠A=∠4=60°．∴△ADE 是等边三角形，∴DE=AE ． ∵AE=BE ，∴DE=BE ，∴∠2=∠3．∵∠1=∠2+∠3，∠1=60°，∴∠2=∠3=30°． ∴∠ADB=∠3+∠4=90°． ∴BD=222221AB AD -=-=3（cm ）．19．解：延长AD 交BC 于F ．（1）∵AD ⊥CD ，∴∠ADC=∠FDC=90°．∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD=∠FCD ． 在△ACD 与△FCD 中，∠ADC=∠FDC ，DC=DC ，∠ACD=∠FCD ． ∴△ACD ≌△FCD ，∴AC=FC ，AD=DF ．又∵E 为AB 的中点，∴DE ∥BF ，即DE ∥BC ．（2）由（1）知AC=FC ，DE=12BF ． ∴DE=12（BC-FC ）=12（BC-AC ）． 20．解：AE=CF ．理由：过E 作EG ∥CF 交BC 于G ， ∴∠3=∠C ．∵∠BAC=90°，AD ⊥BC ，∴∠ABC+∠C=90°，∠ABD+∠BAD=90°． ∴∠C=∠BAD ，∴∠3=∠BAD ． 又∵∠1=∠2，BE=BE ， ∴△ABE ≌△GBE （AAS ），∴AE=GE ． ∵EF ∥BC ，EG ∥CF ，∴四边形EGCF 是平行四边形，∴GE=CF ， ∴AE=CF ．21．答案不唯一，如AB=CD 或AD ∥BC ． 22．1223．解：（1）在□ABCD 中，AD=CB ，AB=CD ，∠D=∠B ． ∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴DF=12CD ，BE=12AB ，∴DF=BE ， ∴△AFD ≌△CEB ．（2）在□ABCD 中，AB=CD ，AB ∥CD ． 由（1）得BE=DF ，∴AE=CE ，∴四边形AECF 是平行四边形．。
第03讲 平行四边形的性质和判定(知识解读+达标检测)(解析版)
第03讲平行四边形的性质和判定【题型1 根据平行四边形的性质求边长】【题型2根据平行四边形的性质求角度】【题型3根据平行四边形的性质求周长】【题型4 平行四边形的判定】【题型5 平行四边形的判定与全三角形综合】【题型6 平行四边形的性质与判定综合】考点1：平行四边形的性质1.边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；2.角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D3.对角线的性质：对角线互相平分。
如图：AO=CO，BO=DO【题型1 根据平行四边形的性质求边长】【典例1】（2023秋•龙口市期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（ ）A．16B．18C．20D．22【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，∴OB＝OD，OA＝OC＝AC＝6，∵AB⊥AC，由勾股定理得：OB＝＝＝10，∴BD＝2OB＝20．故选：C．【变1-1】（2023春•历下区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB＝8，BC＝6，则EC等于（ ）A．1B．1.5C．2D．3【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝6．CD∥AB，∵∠DAB的平分线AE交CD于E，∴∠DAE＝∠BAE，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠BAE，∴∠DAE＝∠AED．∴ED＝AD＝6，∴EC＝CD﹣ED＝8﹣6＝2．故选：C．【变式1-2】（2022秋•牟平区期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD 于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝4，AD＝5，则EF的长度（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：∵平行四边形ABCD，∴∠DFC＝∠FCB，又CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠FCB，∴∠DFC＝∠DCF，∴DF＝DC，同理可证：AE＝AB，∵AB＝4，AD＝BC＝5，∴2AB﹣BC＝AE+FD﹣BC＝EF＝3．故选：C．【变式1-3】（2022秋•安化县期末）如图，F是平行四边形ABCD对角线BE上的点，若BF：FD＝1：3，AD＝12，则EC的长为（ ）A．6B．7C．8D．9【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝12，∵BF：FD＝1：3，∴EB：AD＝BF：FD，∴EB：12＝1：3，∴EB＝4，∴EC＝BC﹣EB＝12﹣4＝8．故选：C．【题型2根据平行四边形的性质求角度】【典例2】（2023春•环翠区期末）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（ ）A．55°B．60°C．65°D．75°【答案】D【解答】解：延长EH交AB于N，∵△EFH是等腰直角三角形，∴∠FHE＝45°，∴∠NHB＝∠FHE＝45°，∵∠1＝30°，∴∠HNB＝180°﹣∠1﹣∠NHB＝105°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠2+∠HNB＝180°，∴∠2＝75°，故选：D．【变式2-1】（2023秋•二道区校级期末）如图，在▭ABCD中，∠A+∠C＝80°，则∠D＝（ ）A．80°B．40°C．70°D．140°【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A+∠C＝80°，∴∠A＝∠C＝40°，∴∠D＝180°﹣∠A＝140°，故选：D．【变式2-2】（2023春•北安市校级期中）如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝155°，则∠A的度数为（ ）A．155°B．130°C．125°D．110°【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝155°，∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝180°﹣∠BED＝25°，∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝130°．故选：B．【变式2-3】（2023•巴东县模拟）四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝70°，BE平分∠ABC交AD于点E，DF∥BE交BC于点F，则∠CDF的度数为（ ）A．55°B．50°C．40°D．35°【答案】D【解答】解：∵∠ABC＝70°，BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABC＝35°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC＝70°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE＝35°，∵DF∥BE，∴∠EDF＝∠AEB＝35°，∴∠CDF＝∠ADC﹣∠EDF＝70°﹣35°＝35°，故选：D．【题型3根据平行四边形的性质求周长】【典例3】（2023春•光明区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，BE＝4，EC＝3，则平行四边形ABCD的周长为（ ）cm．A．11B．18C．20D．22【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD与BC平行，AD＝BC，AB＝CD，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BA＝BE＝4，∵BC＝BE+EC＝4+3＝7＝AD，∴平行四边形ABCD的周长为2×（7+4）＝22（cm），故选：D．【变式3-1】（2023春•东港区校级期中）在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC 分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（ ）A．13或14B．26或28C．13D．无法确定【答案】B【解答】解：设∠A的平分线交BC于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠DAE，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝EB，当EB＝5，EC＝4时，如图1，则AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×5+2×9＝28；当EB＝4，EC＝5时，如图2，则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×4+2×9＝26，∴平行四边形ABCD的周长为26或28，故选：B．【变式3-2】（2023春•沙坪坝区期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，周长为18，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连结CE，则△CDE的周长为（ ）A．18B．9C．6D．3【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，∵▱ABCD周长为18，∴AD+CD＝9，∵OE⊥AC，OA＝OC，∴AE＝CE，∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+AE+DE＝AD+CD＝9．故选：B．【变式3-3】（2023秋•南关区校级期末）如图，在▱ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD 相交于点O，AC+BD＝24，则△BOC的周长为 22 ．【答案】22．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，AD＝BC＝10，∵AC+BD＝24，∴OC+BO＝12，∴△BOC的周长＝OC+OB+BC＝12+10＝22．故答案为：22考点2：平行四边形的判定1.与边有关的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形2.与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形3.与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形【题型4 平行四边形的判定】【典例4】（2023秋•朝阳区校级期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，AD＝BCC．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD＝BC【答案】B【解答】解：A、AB∥DC，AD∥BC可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；B、AB∥DC，AD＝BC不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意；C、AO＝CO，BO＝DO可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；D、AB＝DC，AD＝BC可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；故选：B．【变式4-1】（2022秋•泰山区期末）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）A．一组对边相等，另一组对边平行B．一组对边平行，一组对角互补C．一组对角相等，一组邻角互补D．一组对角互补，另一组对角相等【答案】C【解答】解：A、一组对边相等，另一组对边平行，也有可能是等腰梯形B、一组对边平行，一组对角互补，也有可能是等腰梯形C、一组对角相等，一组邻角互补可得到两组对角分别相等，所以是平行四边形D、一组对角互补，另一组对角相等，可能是含两个直角的一般四边形．故选：C．【变式4-2】（2023春•台山市校级期中）在四边形ABCD中，AB∥DC，要使四边形ABCD 成为平行四边形，还需添加的条件是（ ）A．∠A+∠C＝180°B．∠B+∠D＝180°C．∠A+∠D＝180°D．∠A+∠B＝180°【答案】D【解答】解：选项A，B中的两对角是对角关系，不能推出AD∥BC，选项C只能推出AB∥DC，选项D中两角是同旁内角，∵∠A+∠B＝180°，∴AD∥BC，又∵AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，故选：D．【变式4-3】（2023•中牟县校级开学）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）A．①②B．①④C．②④D．②③【答案】C【解答】解：∵只有②④两块碎玻璃的角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的另两个顶点，∴带②④两块碎玻璃，就可以确定原来平行四边形玻璃的大小，能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，故选：C．【题型5 平行四边形的判定与全三角形综合】【典例5】（2022秋•周村区期末）已知，如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且∠BAF＝∠DCE．求证：（1）△ABF≌△CDE．（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】（1）见解析过程；（2）见解析过程．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD＝BC，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（ASA）；（2）∵△ABF≌△CDE，∴AF＝CE，BF＝DE，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．【变式5-1】（2023春•惠城区期末）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE ＝DF．求证：（1）AE＝CF；（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】（1）见解答；（2）见解答．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD．∴∠ABE＝∠CDF．在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS）．∴AE＝CF．（2）∵△ABE≌△DCF，∴∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．【变式5-2】（2023春•鱼台县期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．求证：（1）AE＝CF；（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形．∴AD∥BC，AD＝BC．∴∠ADE＝∠CBF．∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°．∵在△ADE与△CBF中，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF．（2）∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEF＝∠CFE＝90°．∴AE∥CF．又∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．【变式5-3】（2023•新疆模拟）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BF＝DE．证明：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】（1）见解答；（2）见解答．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∵BF＝DE，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∵AE＝CF，AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．【题型6 平行四边形的性质与判定综合】【典例6】（2023春•温州月考）如图，在▱ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且AE ＝CF．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）若DE为∠ADC的角平分线，且AD＝6，EB＝4，求▱ABCD的周长．【答案】（1）见解析；（2）32．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴DF∥BE，∵AE＝CF，∴BE＝DF，∴四边形DEBF是平行四边形；（2）解：∵DE为∠ADC的角平分线，∴∠ADE＝∠CDE，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠CDE，∴∠ADE＝∠AED，∴AE＝AD＝6，∵BE＝4，∴AB＝AE+BE＝10，∴▱ABCD的周长＝2（AD+AB）＝2（6+10）＝32．【变式6-1】（2023春•成都期末）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，连接BE，DE，BF，DF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若∠BAC＝80°，AB＝AF，DC＝DF，求∠EBF的度数．【答案】（1）证明过程见解答；（2）30°．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAF＝∠DCE，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS），∴BF＝DE，∠DEF＝∠BFA，∴ED∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：∵四边形BEDF是平行四边形，∴BE＝DF，∵AB＝DC＝DF，∴AB＝BE，∴∠BEA＝∠BAC＝80°，∴∠ABE＝180°﹣2×80°＝20°，∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB＝（180°﹣80°）＝50°，∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝50°﹣20°＝30°．【变式6-2】（2023秋•锦江区校级期末）如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AC＝8，BC＝6，∠ACB＝30°，求平行四边形ABCD的面积．【答案】（1）证明见解答过程；（2）24．【解答】（1）证明：平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∴∠ACB＝∠CAD，又∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠DFA，在△BEC和△DFA中，，∴△BEC≌△DFA（AAS），∴BE＝DF，又BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，在Rt△AGC中，AC＝8，∠ACB＝30°，∴AG＝4，∵BC＝6，∴平行四边形ABCD的面积＝BC•AG＝4×6＝24．【变式6-3】（2023春•和县校级期末）如图，BD是四边形ABCD的对角线，∠ADB＝∠CBD，AD＝BC，过点A作AE∥BD交C的延长于E．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，连接DF，若，求DF的长．【答案】（1）见解析；（2）2．【解答】（1）证明：∵∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠BCD．∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CE，AB＝CD，∵AE∥BD，∴∠EAD＝∠BDA，∴∠EAD＝∠DBC，在△EAD和△DBC中，，∴△EAD≌△DBC（ASA），∴DE＝CD，∵AB＝DE．∴四边形ABDE是平行四边形；（2）∵DE＝CD＝AB，∴FD是CE的中线，∵EF⊥BC，∴DF＝CE＝＝2．考点3：三角形的中位线三角形中位线：在△ABC 中，D，E 分别是A C，AC 的中点，连接DE.像DE 这样，连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。
(完整版)平行四边形的判定练习及答案
诘你添加一个适当的条 A.1： 2 ：B.2 ： 2 ：C.2 ： 3 ： 平行四边形的判定二、课中强化（10分钟训 练）1•如图3,在 匚ABCD 中，对角线F 满足F 列哪个条件时，四边形AC 、BD 相交于点0,E 、F 是对角线AC 上的两点，当E 、 DEBF 不一定是平行四边形（ A.AE=CFC.Z ADE=/CBFB.DE=BF D. / AED= / CFB 2•如图 4,AB\|DC, DC=EF=10 , DE=CF=8，则图中的平行四边形有由分别是 ___________________3.如图5,E 、F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的两点,'使四边形AECF 是平行四边形.4.如图6,AD=BC,要使四边形ABCD 是平行四边形，还需补充的一个条件是： __________三、课后巩固（30分钟训练）1 •以不在同一直线上的三个点为顶点作 平行四边形最多能作（） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个2. 下面给出了四边形ABCD 中/A 、/ B 、/ C 、/ D 的度数之比，其中能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（）3. 九根火柴棒排成如右图形状 ，图中 __个平行四边形，你判断的根据是 __________________4. 已知四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O,给出下列5个条件：①AB // CD ； OA=OC ; ③AB=CD :④/ BAD= / DCB ; ® AD // BC.（1）从以上5个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD 是平行四边形的有（用序图4图5 图6⑵对由以上5个条件中任意选取2个条件，不能推出四边形ABCD 是平行匹边形的，请选取一种 情形举出反例说明 •5•若三条线段的长分别为 平行四边形？20 cm,14 cm,16 cm,以其中两条为对角线 ，另一条为一边，是否可以画 6•如图，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF=CE , DF=BE , DF// BE.求证：(】)△AFD ©A CEB;(2)四边形ABCD 是平行四边形.17•如图，已知DC // AB ，且DC= —AB, E 为AB 的中点• 2⑴求证：△ AED EBC ;(2)观察图形，在不添加辅助线的情况下，除厶 EBC 夕卜，请再写出两个与厶AED 的面积相等 的三角形(直接写出结果，不要求证明)： __________________________________8•如图，已知二1ABCD中DE丄AC,BF丄AC,证明四边形DEBF为平行四边形9•如图，已知■ ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点•求证:(1) △ AFD ©A CEB;⑵四边形AECF是平行四边形•二、课中强化（10分钟训练）1懈析：当E、F满足AE=CF时，由平行四边形的对角线相等知OB=OD,OA=OC ,故OE=OF.可知四边形DEBF是平行四边形•当E、F满足/ ADE= / CBF 时，因为AD // BC,所以/ DAE= / BCF.又AD=BC，可证出厶ADE OA CBF，所以DE=BF，/ DEA= / BFC.故/ DEF= / BFE.因此DE// BF，可知四边形DEBF是平行四边形•类似地可说明D也可以•答案:B2•解析：因为ABWDC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形；DC=EF , DE=CF,根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形CDEF是平行四边形•答案：四边形ABCD，四边形CDEF —组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形3•解析：根据平行四边形的定义和判定方法可填BE=DF ; Z BAE= / CDF^-答案：BE=DF或ZBAE=ZCDF等任何一个均可4•解析：根据平行四边形的判定定理，知可填（DAD// BC,② AB=CD,③ ZA+ZB=180。
专题04 平行四边形的性质与判定(解析版)八年级数学下册期末综合复习专题提优训练(人教版)
2020-2021学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（人教版）专题04平行四边形的性质与判定【典型例题】1．如图，E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点，且BE▱AC，DF▱AC，连接BE、ED、DF、FB．（1）求证：四边形BEDF为平行四边形；（2）若BE＝4，EF＝2，求BD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）连接BD交AC于O，由平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AB▱CD，AB＝CD，由平行线的性质得出▱BAE＝▱DCF，证明▱ABE▱▱CDF得出AE＝CF，得出OE＝OF，即可得出结论；（2）由（1）得：OE＝OF＝12EF＝1，由勾股定理得出OB【详解】（1）证明：连接BD交AC于O，▱四边形ABCD是平行四边形，▱OA＝OC，OB＝OD，AB▱CD，AB＝CD，▱▱BAE＝▱DCF，▱BE▱AC，DF▱AC，▱▱AEB＝▱CFD＝90°，在▱ABE和▱CDF中，BAE DCFAEB CFDAB CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，▱▱ABE▱▱CDF（AAS），▱AE＝CF，▱OE＝OF，又▱OB＝OD，▱四边形BEDF为平行四边形；（2）解：由（1）得：OE＝OF＝12EF＝1，▱BE▱AC，▱▱BEO＝90°，▱OB▱BD＝2OB＝．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．【专题训练】一、选择题1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥DC，AD＝BC【答案】D【分析】根据平行四边形的定义，平行四边形的判定定理两个角度思考判断即可．【详解】解：▱AB▱DC，AD▱BC，▱四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；▱AB＝DC，AD＝BC，▱四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；▱OA＝OC，OB＝OD，▱四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；▱AB▱DC，AD＝BC，▱四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项D符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练平行四边形的定义法，判定定理法是解题的关键．2．如图，平行四边形ABCD中，BC＝2AB，CE▱AB于E，F为AD的中点，若▱AEF＝56°，则▱B＝（）A．56°B．60°C．64°D．68°【答案】D【分析】取BC的中点G，连接EG、FG，如图，先根据直角三角形斜边上的中线性质得到EG=BG=CG，则▱B=▱GEB，则EG=AB=CD，所以▱EFG=▱FEG，接着证明FG▱AB得到▱AEF=▱EFG=56°，然后计算出▱GEB，从而得到▱B的度数．【详解】解：取BC 的中点G ，连接EG 、FG ，▱四边形ABCD 为平行四边形，▱AB =CD ，AB ▱CD ，▱CE ▱AB ，▱▱CEB =90°，▱EG =BG =CG ，▱▱B =▱GEB ，▱BC =2AB ，▱EG =AB =CD ，▱▱EFG =▱FEG ，▱F 点为AD 的中点，G 为BC 的中点，▱FG ▱AB ，▱▱AEF =▱EFG =56°，▱▱FEG =56°，▱▱GEB =180°-56°-56°=68°，▱▱B =68°．故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等．平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了等腰三角形的性质．3．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AG ，BD 相交于点O ，10AC =，6BD =，AD BD ⊥．在边AB 上取一点E ，使AE AO =，则AEO △的面积为（ ）A B C D 【答案】D【分析】先过O 作OF AB ⊥于F ，过D 作DG AB ⊥于G ，依据勾股定理求得AD 和AB 的长，再根据面积法即可得出DG 的长，进而得到OF 的长，再根据三角形面积公式即可得到AEO ∆的面积．【详解】解：如图所示，过O 作OF AB ⊥于F ，过D 作DG AB ⊥于G ，平行四边形ABCD 中，10AC =，6BD =，5AO ∴=，3DO =，又AD BD ⊥，Rt AOD ∴△中，4AD =，Rt ABD ∴中，AB =1122AD BD AB DG ⨯=⨯，AD BD DG AB ⨯∴= //DG OF ，BO DO =，12OF DG ∴=又5AE AO ==，11522AOE S AE OF ∆∴=⨯=⨯， 故选：D ．此题考查了平行四边形的性质与勾股定理的运用，三角形的中位线的性质．依据平行四边形的性质得到O 是对角线的中点是解决问题的关键．4．如图，在▱ABCD 中，CD ＝10，▱ABC 的平分线交AD 于点E ，过点A 作AF ▱BE ，垂足为点F ，若AF ＝6，则BE 的长为（ ）A ．8B ．10C ．16D ．18【答案】C【分析】 由四边形ABCD 是平行四边形，结合▱ABC 的平分线交AD 于点E ，证明,AB AE = 再利用等腰三角形的性质可得：BE ＝2BF ，再由勾股定理求解,BF 即可得到答案．【详解】▱四边形ABCD 是平行四边形，▱AD ▱BC ，▱▱AEB ＝▱CBE ，▱▱ABC 的平分线交AD 于点E ，▱▱ABE ＝▱CBE ，▱▱ABE ＝▱AEB ，▱AB ＝AE ，▱AF ▱BE ，▱BE ＝2BF ，▱CD ＝10，▱AB ＝10，▱AF ＝6，▱BF =＝8，▱BE ＝2BF ＝16，【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．5．如图，在等边▱ABC中，BC＝8cm，射线AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度运动．设运动时间为t（s），当t＝（）s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．A．1或2B．2C．2或3D．2或4【答案】D【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．【详解】解：当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝3tcm，则CF＝BC﹣BF＝（8﹣3t）cm，▱AG▱BC，▱当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝8﹣3t，解得：t＝2；当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝3tcm，则CF＝BF﹣BC＝（3t﹣8）cm，▱AG▱BC，▱当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t＝3t﹣8，解得：t＝4；综上可得：当t ＝2或4s 时，以A 、C 、E 、F 为顶点四边形是平行四边形，故选：D ．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，几何动态问题，掌握数学分类思想，平行四边形的性质解决问题是解题的关键．二、填空题6．如图，在平行四边形ABCD 中，DB ＝DC ，▱C ＝70°，AE ▱BD 于E ，则▱DAE ＝_____度．【答案】20【分析】由DB ＝DC ，▱C ＝70°可以得到▱DBC ＝▱C ＝70°，又由AD ▱BC 推出▱ADB ＝▱DBC ＝▱C ＝70°，而▱AED ＝90°，由此可以求出▱DAE ．【详解】解：▱DB ＝DC ，▱C ＝70°，▱▱DBC ＝▱C ＝70°，▱四边形ABCD 是平行四边形，AE ▱BD ，▱AD ▱BC ， ▱AED ＝90°，▱▱ADB ＝▱DBC ＝▱C ＝70°，▱▱DAE ＝90°﹣70°＝20°．故答案为：20．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是利用三角形内角和定理，等边对等角等知识得到和所求角有关的角的度数．7．▱ABCD 的周长是30，AC 、BD 相交于点O ，▱OBC 的周长比▱OAB 的周长大3，则BC ＝_____．【答案】9【分析】如图：由四边形ABCD 是平行四边形，可得AB CD =，BC AD =，OA OC =，OB OD =；又由OBC ∆的周长比OAB ∆的周长大3，可得3BC AB -=，又因为ABCD 的周长是30，所以15AB BC +=；解方程组即可求得．【详解】 解：四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴=，BC AD =，OA OC =，OB OD =；又OBC ∆的周长比OAB ∆的周长大3，()3BC OB OC AB OA OB ∴++-++=3BC AB ∴-=①，又ABCD 的周长是30，15AB BC ∴+=②，由①＋②得：218BC =9BC ∴=．故答案为：9．【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角线互相平分．解题时要注意利用方程思想与数形结合思想求解．8．如图，▱ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，BD ▱AD ，AB ＝10，AD ＝6，则AC 的长为_____．【答案】【分析】利用勾股定理得出BD 的长，再由平行四边形的性质求出DO ，结合勾股定理即可得出答案．【详解】▱BD ▱AD ，AB ＝10，AD ＝6．▱BD 8=．▱四边形ABCD 是平行四边形．▱DO ＝12BD ＝4． AC ＝2AO ． ▱▱ADO 是直角三角形．▱AO ==▱AC =故答案为：【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，正确得出DO 的长是解题关键． 9．如图，在平行四边形ABCD 中，CE 平分▱BCD 交AB 于点E 连接ED ，若EA =3，EB =5，ED =4，CE = ________ ．【答案】【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得5AD BC EB ，根据勾股定理的逆定理可得90AED ∠=︒，再根据平行四边形的性质可得8CD AB ==，90EDC ∠=︒，根据勾股定理可求CE 的长．【详解】解：CE 平分BCD ∠，BCE DCE ∴∠=∠，四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴=，AD BC =，//AB CD ，BEC DCE ，BEC BCE ∴∠=∠，5BC BE ，5AD ∴=，3EA ，4ED =，在AED ∆中，222345+=，即222EA ED AD ， 90AED ∴∠=︒，358CD AB ，90EDC ∠=︒，在Rt EDC 中，22224845CEED DC ．故答案是：【点睛】 本题主要考查了平行四边形的性质和角平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，熟悉相关性质是解题的关键．10．已知点A (3，0)、B (﹣1，0)、C (2，3)，以A 、B 、C 为顶点画平行四边形，则第四个顶点D 的坐标是_____．【答案】(﹣2，3)或(0，﹣3)或(6，3)【分析】首先画出坐标系，再分别以AC 、AB 、BC 为对角线通过线段平移作出平行四边形，进而可得D 点坐标．【详解】解：如图，以BC 为对角线，将AB 向上平移3个单位，再向左平移1个单位，B 点对应的位置为（﹣2，3）就是第四个顶点D 1；以AB 为对角线，将BC 向下平移3个单位，再向右平移1个单位，B 点对应的位置为（0，﹣3）就是第四个顶点D 2；以AC 为对角线，将AB 向上平移3个单位，再向右平移4个单位，C 点对应的位置为（6，3）就是第四个顶点D 3；▱第四个顶点D 的坐标为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（6，3），故答案为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（6，3）．【点睛】本题考查图形与坐标，平行四边形的判定与性质，平移的性质，掌握平行四边形的判定与性质，平移的性质是解题关键．三、解答题11．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 、E 、F 是AC 上的两点，且BF ▱DE ． （1）求证：▱BFO ▱▱DEO ；（2）求证：四边形BFDE 是平行四边形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据四边形ABCD 是平行四边形，可得OB ＝OD ，根据BF ▱DE ，可得▱OFB ＝▱OED ，进而可以证明▱BFO ▱▱DEO ；（2）结合（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证明四边形BFDE 是平行四边形．【详解】解：（1）证明：▱四边形ABCD 是平行四边形，▱OB ＝OD ，▱BF ▱DE ，▱▱OFB ＝▱OED ，在▱BFO 和▱DEO 中，OFB OED FOB EOD OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ▱▱BFO ▱▱DEO （AAS ）；（2）证明：▱▱BFO ▱▱DEO ，又OB＝OD，▱四边形BFDE是平行四边形．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，掌握利用合适的方法判定平行四边形是解题的关键．12．如图，平行四边形ABCD中，点E在BC上，且AE＝EC，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度直尺画图．（保留作图痕迹）（1）在图1中，画出▱DAE的平分线；（2）在图2中，画出▱AEC的平分线．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】(1)连接AC，再由平行线的性质及等腰三角形的性质可知AC是▱DAE的平分线；(2)连接AC，BD，交于点O，连接EO，由平行线的性质及等腰三角形的性质可知EO平分▱AEC的平分线．【详解】（1）如图所示，连接AC，则AC平分▱DAE；（2）如图所示，连接AC，BD，交于点O，连接EO，则EO平分▱AEC．本题主要考察了等腰三角形的性质，平行四边形的性质，作图-角的平分线等知识点，理解并记住它们是解题关键．13．如图，已知平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE▱BD，CF▱BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N．（1）求证：四边形CMAN是平行四边形；（2）已知DE＝8，FN＝6，求BN的长．【答案】（1）见解析；（2）10【分析】（1）欲证明四边形AMCN是平行四边形，只要证明CM▱AN，AM▱CN即可；（2）首先证明▱ADE▱▱CBF，推出DE＝BF＝8，在Rt▱BFN中，根据勾股定理即可解决问题．【详解】（1）证明：▱AE▱BD，CF▱BD，▱AM▱CN，▱四边形ABCD是平行四边形，▱CM▱AN，▱四边形CMAN是平行四边形；（2）解：▱四边形ABCD是平行四边形，▱AD▱BC，AD＝BC，▱▱ADE＝▱CBF，▱AE▱BD，CF▱BD，▱▱AED＝▱CFB＝90°，在▱ADE与▱CBF中，ADE CBF AED CFB AD BC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，▱▱ADE ▱▱CBF （AAS ）；▱DE ＝BF ＝8，▱FN ＝6，▱10BN ==．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．14．如图1，在▱ABCD 中，▱D ＝45°，E 为BC 上一点，连接AC ，AE ．（1）若▱ABCD 中BC 边上的高为2，求AB 的长．（2）若AB ＝AE ＝4，求BE 的长．【答案】（1）（2）2．【分析】（1）如图，过A 作AH BC ⊥于H ，再根据平行四边形的性质可得：45B D ∠=∠=︒，最后根据勾股定理计算即可；（2）先根据平行四边形的性质可得：45B D ∠=∠=︒，然后解Rt AHB ∆和Rt AHE ∆ 即可求出BE 的长．【详解】解：（1）如图，过A 作AH BC ⊥于H ，在▱ABCD 中，45D B ∠=∠=︒，AH BC ⊥，ABCD 中BC 边上的高为2，90AHB ∴∠=︒，2AH =又45B ∠=︒2∴==BH AH ，AB ∴=（2）在ABCD 中，45D B ∠=∠=︒，AB =，AH BH ∴==4AE =，2EH ∴=，2BE BH EH ∴=-=．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线解题的关键． 15．如图，在▱ABC 中，过点C 作CD //AB ，E 是AC 的中点，连接DE 并延长，交AB 于点F ，连接AD ，CF ．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）若AB ＝6，▱BAC ＝60°，▱DCB ＝135°，求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）6．【分析】(1)由E 是AC 的中点知AE =CE ，由AB //CD 知▱AFE =▱CDE ，据此根据“AAS ”即可证▱AEF ▱▱CED ，从而得AF =CD ，结合AB //CD 即可得证；(2) 过C 作CM ▱AB 于M ，先证明▱BCM 是等腰直角三角形，得到BM ＝CM ，再由含30°角的直角三角形的性质解得AC ＝2AM ，BM ＝CM ，最后根据AM +BM ＝AB ，解题即可．【详解】（1）证明：▱E 是AC 的中点，▱AE ＝CE ，▱CD //AB ，▱▱AFE ＝▱CDE ，在▱AEF 和▱CED 中，AFE CDE AEF CED AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，▱▱AEF ▱▱CED （AAS ），▱AF ＝CD ，又▱CD //AB ，即AF //CD ，▱四边形AFCD 是平行四边形；（2）解：过C 作CM ▱AB 于M ，如图所示：则▱CMB ＝▱CMA ＝90°，▱CD //AB ，▱▱B +▱DCB ＝180°，▱▱B ＝180°﹣135°＝45°，▱▱BCM 是等腰直角三角形，▱BM ＝CM ，▱▱BAC ＝60°，▱▱ACM ＝30°，▱AC ＝2AM ，BM ＝CM，▱AM +BM ＝AB ，▱AM+ ＝6，解得：AM ＝33，▱AC ＝2AM ＝66．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、含30°角的直角三角形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．16．如图，在ABC ∆中，D 为AB 中点，过点D 作//DF BC 交AC 于点E ，且DE EF =，连接AF ，CF ，CD ．（1）求证：四边形ADCF 为平行四边形；（2）若45ACD ∠=︒，30EDC ∠=︒，4BC =，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）根据三角形中位线定理和解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）证明：D 为AB 中点，AD BD ∴=，//DF BC ，▱点E 为AC 的中点，AE CE ∴=，DE EF =，∴四边形ADCF 为平行四边形；（2）AD BD =，AE CE =，114222DE BC ∴==⨯=， 过E 作EH CD ⊥于H ，90EHD EHC ∴∠=∠=︒，30EDC ∠=︒，112EH DE ∴==， 45ECD ∠=︒，CE ∴==．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，三角形的中位线定理，解直角三角形，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．17．如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，且AO ＝OC ，过点O 作EF ▱BD ，交AD 于E ，交BC 于点F ．（1）求证：四边形ABCD 为平行四边形；（2）连接BE ，若▱BAD ＝100°，▱DBF ＝2▱ABE ，求▱ABE 的度数．【答案】（1）见解析（2）16°【分析】（1）根据已知条件证明▱ADO ▱▱CBO 即可求解；（2）先证明▱AEO ▱▱CFO ，得到EO =FO ，根据三线合一得到BD 平分▱EBC ，再根据平行线的性质及角度的关系即可求解．【详解】（1）▱AD//BC，▱▱OAE=▱OCF，又AO＝OC，▱AOD=▱COB，▱▱ADO▱▱CBO▱AD=CB故四边形ABCD为平行四边形；（2）如图，▱AD//BC，▱▱OAE=▱OCF，又AO＝OC，▱AOE=▱COF，▱▱AEO▱▱CFO▱OE=OF又EF▱BD，▱BD平分▱EBC，▱▱DBF＝▱DBE▱▱BAD＝100°，AD//BC，▱▱ABC＝80°▱▱DBF＝2▱ABE，▱▱DBF＝▱DBE=2▱ABE▱▱ABC＝▱DBF+▱DBE+▱ABE=5▱ABE=80°▱▱ABE=16°．【点睛】此题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理及三线合一的性质应用．18．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l2：y＝﹣x与x轴交于点B，与直线l1：y+b交于点C，C点到x轴的距离CD为l1交x轴于点A．（1）求直线l1的函数表达式；（2）如图2，y 轴上的两个动点E 、F （E 点在F 点上方）满足线段EF 的长为CE 、AF ，当线段CE +EF +AF 有最小值时，求出此时点F 的坐标以及CE +EF +AF 的最小值；（3）如图3，将ACB △绕点B 逆时针方向旋转60°，得到BGH ，使点A 与点H 对应，点C 与点G 对应，将BGH 沿着直线BC 平移，点M 为直线AC 上的动点，是否存在以C 、O 、M 、G 、为顶点的平行四边形，若存在，请求出M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y =+；（2）CE +EF +AF （3）存在，11,44M ⎛- ⎝⎭或21,4M ⎛- ⎝⎭或3.4M ⎛ ⎝⎭理由见解析 【分析】（1）由题意得：点C 的纵坐标为C 在直线l 2：y ＝﹣3x +3上，当y =x =-1，则点C (-1，，从而可得答案；（2）作点A 关于y 轴的对称点A (3, 0),过点A 作x 轴的垂线并取A E ''=EC 交y 于点E ，在E 下方取EF F 是所求点，即可求解；（3） 先证明90,ACB ∠=︒ 再求解60,30,CAB ABC ∠=︒∠=︒ 过点G 作GN ▱x 轴于点N ，过点K 作KQ x ⊥轴点,Q 可得(1,,G -- 设,KQ n = 则2,,BK n BQ == 如图，当BGH 沿BC 方向平移时，确定()1,,G n --- 设(,M x + 结合形平行四边形的对角线互相平分，中点坐标公式列方程求解即可得到答案．【详解】解：（1） 由题意得：点C 的纵坐标为C 在直线l 2：y x 上，当y =x =-1，则点C (-1，，C 在直线1l 的解析式为y b =+上，b =b ∴= ，故直线1l 的表达式为：y =+；（2）直线2l 的表达式为： y ＝﹣3x ， 当y =0时，x =5，则点B (5, 0)，直线1l ：y +x 轴交于点A (-3, 0)，作点A 关y 轴的对称点A '(3, 0)，过点A '作x 轴的垂线并取A E ''=连接EC 交y 于点E ，而 EF由//,,A E AE A E AE ''''= ∴ 四边形A E EF ''是平行四边形，,AF A F E E ''∴==AF EF CE A E E E CE CE ''''∴++=++=,此时：AF EF CE ++最小，则点F 是所求点，()(3,0,,A E '(,C -CE '∴==CE +EF +AF 的最小值＝FE +CE（3）()()(3,0,5,0,,A B C --∴ AB =8，BC = AC =4，222AC BC AB ∴+=90,ACB ∴∠=︒如图，取AB 的中点,J 则()1,0,J 4,JA JC AC ===ACJ ∴为等边三角形，60,30,CAB ABC ∠=︒∠=︒60,CBG BC BG ∠=︒==30,ABG ∴∠=︒过点G 作GN ▱x 轴于点N ，过点K 作KQ x ⊥轴点,Q6,651,GN BN ON ∴====-=(1,,G ∴--设,KQ n =则2,,BK n BQ == 如图，当BGH 沿BC 方向平移时，则()1,,G n --设(,M x +四边形MGOC 为平行四边形， ∴ 由平行四边形的对角线互相平分可得：2x n⎧=-⎪+= 解得：11,4x =-+=11,,44M ⎛∴- ⎝⎭如图，同理()1,,G n --设(,M x +同理可得：214x =-+=21,,4M ⎛∴- ⎝⎭如图，同理()1,,G n -- 设(,M x +同理可得：34x =+=3.4M ⎛∴ ⎝⎭综上：114M ⎛- ⎝⎭或 21,4M ⎛- ⎝⎭或3.4M ⎛ ⎝⎭ 【点睛】本题考查一次函数解析式，线段和最短问题，锐角三角函数，平行四边形的判定与性质，分类讨论思想是难点．。
北师大版八年级数学下册 平行四边形的性质与判定 专题(附答案)
北师大版八年级数学下册平行四边形的性质与判定专题(附答案)综合滚动练：平行四边形的性质与判定一、选择题（每小题4分，共32分）1.在平行四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝120°，则∠A 的度数是（）。
A。
100° B。
120° C。
80° D。
60°2.如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是（）。
A。
AB∥CD B。
AB＝CD C。
AC＝BD D。
OA＝OC3.在平行四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（）。
A。
4∶3∶3∶4 B。
7∶5∶5∶7 C。
4∶3∶2∶1 D。
7∶5∶7∶54.平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别是A(m，n)，B(2，－1)，C(－m，－n)，则点D的坐标是（）。
A。
(－2，1) B。
(－2，－1) C。
(－1，－2) D。
(－1，2)5.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）。
A。
BE＝DF B。
BF＝DE C。
AE＝CF D。
∠1＝∠26.如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E。
若AB＝6，EF＝2，则BC的长为（）。
A。
8 B。
10 C。
12 D。
147.如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝80°，AE平分∠BAD交BC于E，CF∥AE交AD于F，则∠BCF等于（）。
A。
40° B。
50° C。
60° D。
80°8.（2017·龙东中考）在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD的周长是（）。
A。
22 B。
20 C。
22或20 D。
18二、填空题（每小题4分，共24分）9.已知AB∥CD，添加一个条件使得四边形ABCD为平行四边形。
中考数学总复习《平行四边形的判定与性质》练习题及答案
中考数学总复习《平行四边形的判定与性质》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．如图在四边形ABCD中AB=CD，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF、CE，若DE=BF，则下列结论不一定正确的是（）A．CF=AE B．OE=OFC．△CDE为直角三角形D．四边形ABCD是平行四边形2．如图四边形ABCD中AB∥CD，∥B＝∥D点E为BC延长线上一点，连接AE，AE交CD于点H，∥DCE的平分线交AE于点G．若AB＝2AD＝10，点H为CD的中点，HE＝6，则AC的值为（）A．9B．√97C．10D．3 √103．如图在Rt∥ABC中∥ACB=90°，分别以AB、AC为腰向外作等腰直角三角形∥ABD和∥ACE，连结DE，CA的延长线交DE于点F,则与线段AF相等的是()A．AC B．AB C．BC D．AB4．如图在菱形ΑΒCD中∠Α=60∘，AD=8，F是ΑΒ的中点．过点F作FΕ⊥ΑD，垂足为Ε．将ΔΑΕF沿点Α到点Β的方向平移，得到ΔΑ′Ε′F ′．设Ρ、Ρ′分别是ΕF、Ε′F ′的中点，当点Α′与点Β重合时，四边形ΡΡ′CD的面积为（）A．28√3B．24√3C．32√3D．32√3−85．下列说法中错误的是()A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相平分的四边形是平行四边形6．如图．若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD7．如图点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB的长为半径作弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，若∥ABC+∥ADC=120°，则∥A的度数是（）A．100°B．110°C．120°D．125°8．如图在∥ABC中AB＝AC＝10，BC＝12，点D是BC上一点，DE∥AC，DF∥AB，则∥BED与∥DFC的周长的和为（）A．34B．32C．22D．209．如图在平面直角坐标系中点A(1,5),B(4,1),C(m,−m),D(m−3,−m+4)，当四边形ABCD 的周长最小时，则m 的值为（）.A．√2B．32C．2D．310．如图分别在四边形ABCD的各边上取中点E，F，G，H，连接EG，在EG上取一点M，连接HM，过F作FN∥HM，交EG于N，将四边形ABCD中的四边形①和②移动后按图中方式摆放，得到四边形AHM′G′和AF′N′E，延长M′G′，N′F′相交于点K，得到四边形MM′KN′．下列说法中错误的是（）A．S四边形MM′KN′=S四边形ABCD B．HM=NFC．四边形MM′KN′是平行四边形D．∠K=∠AHM′11．如图,已知∥ABC与∥CDA关于点O成中心对称,过点O任作直线EF分别交AD,BC于点E,F,则下则结论:①点E和点F,点B和点D是关于中心O的对称点;②直线BD必经过点O;③四边形ABCD 是中心对称图形;④四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等;⑤∥AOE与∥COF成中心对称.其中正确的个数为（）A．2B．3C．4D．512．如图P为平行四边形ABCD内一点，过点P分别作AB、AD的平行线交平行四边形于E、F、G、H四点，若S四边形AHPE＝3，S四边形PFCG＝5，则S∥PBD为（）A．0.5B．1C．1.5D．2二、填空题13．如图在平行四边形ABCD中点E，F分别在BC，AD上，请添加一个条件，使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）．14．如图在Rt△ABC中AC=2√3，BC=2，点P是斜边AB上任意一点，D是AC的中点，连接PD并延长，使DE=PD.以PE，PC为边构造平行四边形PCQE，则对角线PQ的最小值为.15．如图▱ABCD中∥BAD=120°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF∥BC，EF=5√3，则AB的长是16．如图在∥ABC中∥ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD= 13BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN=．17．若AC＝10，BD＝8，那么当AO＝DO＝时，四边形ABCD是平行四边形。
(完整版)平行四边形的性质及判定典型例题
平行四边形的性质及判定 （典型例题）1.平行四边形及其性质例1如图，O 是卜二・ABCD 对角线的交点.△ OBC 的周长为59, BD=38 , AC=24，贝卩AD= __ 若厶OBC 与厶OAB 的周长之差为 15，贝y AB=QABCD 的周长= _____ .AC ,可得BC ,再由平行四边形对边相等知 AD=BC ，由平行四 边形的对角线互相平分，可知△ OBC 与厶OAB 的周长之差就为BC 与AB 之差，可得AB ，进而可得」ABCD 的周长.解 EBCD 中0A 二= OB = OD = |E D （平行四边形的对角线互相平分）•••△ OBC 的周长=0B + 0C +EC分析: 根据平行四边形对角线互相平先 所OC =1=19 + 12 + BC=59••• BC=28—ABCD 中，•BC=AD(平行四边形对边相等)•AD=28△ OBC的周长-△ OAB的周长=(OB + OC + BC)-(OB + OA+AB)=BC-AB=15•AB=13•••二ABCD的周长=AB + BC + CD + AD=2(AB + BC)=2(13 + 28)=82说明：本题条件中的△ OBC占厶OAB的周长之差为15”，用符号语言表示出来后，便容易发现其实质，即BC与AB之差是15 .例2判断题(1) 两条对边平行的四边形叫做平行四边形. ()(2) 平行四边形的两角相等.()(3) 平行四边形的两条对角线相等.()(4) 平行四边形的两条对角线互相平分. ()(5) 两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段叫做两条平行线的距离.()(6) 平行四边形的邻角互补.()分析：根据平行四边形的定义和性质判断.解：(1) 错两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是两组对边，而不是两条对边.如图四边形ABCD，两条对边AD // BC .显然四边形ABCD 不是平行四边形．(2) 错平行四边形的性定理1，“平行四边形的对角相等．”对角是指四边形中设有公共边的两个角，也就是相对的两个角．(3) 错平行四边形的性质定理3，“平行四边形的对角线互相平分．”一般地不相等．(矩形的两条对角线相等)．(4) 对根据平行四边形的性质定理 3 可判断是正确的．(5) 错线段图形，而距离是指线段的长度，是正值正确的说法是：两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度叫做这两条平行线的距离．(6) 对由定义知道，平行四边形的对边平行，根据平行线的性质可知．平行四边形的邻角互补．例3 .如图1,在二ABCD中，E、F是AC上的两点.且AE=CF .求证：ED // BF .分析：欲址DE // BF，只需/ DEC二/ AFB,转证=/ ABF CDF, 因卜二，ABCD，则有AB丄CD，从而有/ BAC= / CDA .再由AF=CF 得AF=CE .满足了三角形全等的条件.证明：v AE=CFAE+EF二CF+EF••• AF=CE在二ABCD中AB // CD（平行四边形的对边平行）• / BAC= / DCA（两直线平行内错角相等）AB=CD（平行四边形的对边也相等）•••△ ABF刍乂 CDE（SAS）•••/ AFB= / DCE• ED // BF（内错角相等两直线平行）说明：解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题不处理.例4如图已知在△ ABC中DE // BC // FG，若BD=AF、求证; DE + FG=BC .分析1:要证DE + FG=DC由于它们是平行线，由平行四边形定义和性质.考虑将DE平移列BC上为此，过E（或D）作EH // AB（或DM // AC）,得至U DE=BH、只需证HC=FG ,因AF=BD=EH , / CEH=/ A. / AGF = Z C所以△ AFG幻/ EHC .此方法称为截长法.分析2:过C点作CK // AB交DE的延长线于K，只需证FG=EK , 转证△ AFG CKE .过E作EH // AB交于Hv DE // BC•••四边形DBHE是平行四边形（平行四边形定义）••• DB=EHDE=BH（平行四边形对边也相等）又BD=AF• AF=EHv BC // FGAGF= / C（两直线平行同位角相等）同理 / A= / CEH• △ AFG EHC(AAS)••• FG=HC••• BC二BH+HC二DE二FG.过C作CK // AB交DE的延长线于K.v DE // BC•四边形DBCK是平行四边形（平行四边形定义）•CK=BD DK=BC（平行四边形对边相等）又BD=AF•AF=CKv CK // AB• / A= / ECK（两直线平行内错角相等）v BC // FG•••/ AGF二/ AED（两直线平行同位角相等）又/ CEK二/ AED（对顶角相等）•••/ AGF= / CEK•••△ AFG S' CKE（AAS）FG=EKDE+EK=BC• DE+FG=BC例 5 如图I—ABCD 中，/ ABC=3 /A，点 E 在CD 上,CE=1 , EF丄CD交CB延长线于F，若AD=1，求BF的长.u --- ---------- r分析：根据平行四边形对角相等，邻角互补，可得/ C= / F=45°进而由勾股定理求出CF ,再根据平行四边形对边相等，得BF的长.解：在二ABCD 中，AD // BC•••/ A +/ ABC=180 （两直线平行同旁内角互补）vZ ABC=3 / A•••/ A=45 ,Z ABC=135•••Z C= Z A=45 （平行四边形的对角相等）•EF 丄CD•Z F=45°（直角三角形两锐角互余）•EF=CE=1在RtAOEF中,CF = JCE之》EF金=（勾股定理）v AD=BC=1二BF = CF”EC = Q[例6如图1，‘ ■ ABCD中，对角线AC长为10cm , Z CAB=30 , AB长为6cm，求一ABCD的面积.解：过点C作CH丄AB，交AB的延长线于点H .(图2)vZ CAB=30-■.CH 二丄= 1 X10=52 2••• S—ABCD = AB-CH = 6X5=30(cm2)答：二ABCD的面积为30cm2 .说明：由于二=底＞高，题设中已知AB的长，须求出与底AB 相应的高，由于本题条件的制约，不便于求出过点D的高，故选择过点C 作高.例7如图，E、F分别在’・ABCD的边CD、BC上，且EF //求证：S△ ACE二S △ ABF分析：运用平行四形的性质，利用三角形全等，将其转化为等底同高的三角形.证明：将EF向两边延长分别交AD、AB的延长线于G、H.二ABCD DE // AB•••/ DEG= / BHF（两直线平行同位角相等）/ GDE= / DAB（同上）AD // BC•••/ DAB= / FBH（同上）:丄 GDE= / FBHv DE // BH , DB // EH•四边形BHED是平行四边形V DE二BH（平行四边形对边相等）GDE 刍乂 FBH（ASA）••• S△ GDE=S △ FBH（全等三角形面积相等）.GE=FH（全等三角形对应边相等）.S△ ACE=S △ AFH（等底同高的三角形面积相等）.S △ ADE = S △ ABF说明：平行四边形的面积等于它的底和高的积.即S二二a・ha .a 可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离.即对应的高，为了区别，可以把高记成ha，表明它所对应的底是a.例8如图，在二ABCD中，BE平分/ B交CD于点E, DF 平分/ D交AB于点F,求证BF=DE .分析EF二DE （目标）十BEDP 为口DF"d叫西3 ]1=Z 3 r Z 1=Z 2f t"S亠彩姑皤彩B口ABCD证明：T四边形ABCD是平行四边形二DE // FB，/ ABC= / ADC（平行四边形的对边也平行对角相等）•••/仁/ 3（两直线平行内错角相等）而Z]=^Z ADC,Z2=|ZABC•••/ 2= / 3• DF // BE（同位角相等两条直线平行）•四边形BEDF为平行四边形（平行四边形定义）• BF=DE .（平行四边形的对边相等）说明：此例也可通过△ ADF CBE来证明，但不如上面的方法简捷.例9如图，CD的Rt△ ABC斜边AB上的高，AE平分/ BAC 交CD于E, EF // AB，交BC于点F,求证CE=BF .分析作EG // BC,交AB于G,易得EG=BF .再由基本图, 可得EG=EC ,从而得出结论.过E点作EG // BC交AB于G点.v EF // AB••• EG=BFv CD为Rt△ ABC斜边AB上的高•/ BAC + / B=90°.Z BAC + / ACD = 90°•/ B= Z ACD•Z ACD=Z EGAv AE 平分Z BAC•Z 1= Z 2又AE=AE•△ AGE ACE(AAS)•CE=EG•CE=BF .说明：(1)在上述证法中，“平移”起着把条件集中的作用.(2)本题也可以设法平移AE .(连F点作FG // AE，交AB于G)例10如图，已知I —ABCD的周长为32cm , AB : BC=5 : 3, AE 丄BC 于E, AF 丄DC 于F，/ EAF=2 / C,求AE 和AF 的长.分析：从化简条件开始①由二ABCD的周长及两邻边的比，不难得到平行四边形的边长.口虹CD 的周长=321 fAB=10AB : BC-5 : 3 p |BC=6②/ EAF=2 / C告诉我们什么？AF i FC1 ZFAE^ZC=180°] oAE 1 EAF-2 Z C j討c=6°这样，立即可以看ADF、△ AEB都是有一个锐角为30°的直角三角形.于是有= = = 3再由勾股定理求出解：——ABCD的周长为32cm即AB+BC+CD+DA=32v AB=CD BC=DA（平行四边形的对边相等）/.AB + BC = - X32 = 16 2又AB : BC=5 : 35+3BC= —X3 = 65+3/ EAF+ / AFC+ / C+ / CEA=360 （四边形内角和等于360°v AE 丄BC / AEC=90AF 丄DC / AFC=90•••/ EAF+ / C=180/ EAF=2 / CT AB // CD(平行四边形的对边平行)•••/ ABE二/ C=60 (两直线平行同位角相等)同理/ ADF=60SRiAABE 中，ZBAE = 30* BE = |AB = 5£—■Al = ja =E^ = 5^3 (cm)在RtAADF中，ZDAF = 30° DF= ^AP = |B C=3■f-j d—iAF - 7A D3 -I>F a = M Ccm)说明：化简条件，化简结论，总之，题目中哪一部分最复杂就从化简那一部分开始，这是一种常用的解题策略，我们把这种解题策略称为：从最复杂的地方开始.它虽简单，却很有效.2 .平行四边形的判定例1填空题(1)如图1,四边形ABCD与四边形BEFC都是平行四边形，则四边形AEFD是—，理由是（2）如图2, D、E分别在△ ABC的边AB、AC上，DE=EF , AE=EC , DE // BC贝卩四边形ADCF是__,理由是__ ,四边形BCFD 是—，理由是—分析：判定一个四边形是平行四边形的方法较多，要从已知条件出发，具体问题具体分析：（1）根据平行四边形的性质可得AD平行且等于BC，BC平行且等于EF，从而得AD平行且等于EF，由判定定理4可得.（2）由AE=EC , DE=EF，由判定定理3可得四边形ADCF是平行四边形，从而得AD // CF即BD // CF，再由条件，可得四边形BCFD是平行四边形.解：（1）平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（2）平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形.说明：平行四边形的定义（两组对边分别平行的四边形叫做平行 四边形，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定 方法.例 2 女口图，四边形 ABCD 中，AB=CD . / ADB 二 /CBD=90 .求 证：四边形ABCD 是平行四边形.分析：判定一个四边形是平行四边形，有三类五个判定方法, 这三类也是按边、角和对角线分类，具体的五个方法如下表：CIID 从对角钱看一（5 ）对角线互相平分 因此必须根据已知条件与图形结构特点，选择判定方法.证法一:v AB=CD . Z ADB= / CBD=90 , BD=DB .••• Rt △ ABD 坐 Rt △ CDB .「（ 1）两组对边分别平存C I ）从边看 —（2）两组对边分别相等_（3）-组对边平行且相尊 （1）从边看 （II ）从角看 （4）两组对角分别相等 的四边形绘平行四边形•••/ ABD= / CDB，/ A= / C.•/ ABD+ / CBD= / CDB+ / ADB即 / ABC= / CDA .•四边形ABCD 是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）．证法二：vZ ADB= / CBD=90 , AB=CD、BD=DB .•Rt△ ABD 坐Rt△ CDB .•Z ABD=Z CDB．•AB //CD.（内错角相等两直线平行）•四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．证法三：由证法一知，Rt △ ABD幻Rt △ CDB .••• DA=BC又T AB二CD•四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）说明：证明一个四边形是平行四边形，往往有多种证题思路，我们必须注意分析，通过比较，选择最简捷的证题思路.本题三种证法中，证法二与证法三比较简捷，本题还可用定义来证明.例3如图，‘「ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点, 且AE=CF , BG=DH，求证：EF与GH互相平分.分析：只须证明EGFH为平行四边形.证明：连结EG 、GF、FH 、HE．T四边形ABCD是平行四边形•••/ A= / C, AD=CB .T BG=DH•AH=CG又AE=CF•△ AEH CFG（SAS）•HE=GF同理可得EG=FH•四边形EGFH 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）•EF 与GH 互相平分（平行四边形的对角线互相平分）．说明：平行四边形的性质，判定的综合运用是解决有关线段和角问题基本方法．例4如图，二ABCD中，AE丄BD于E, CF丄BD于F.求证：四边形AECF是平行四边形.分析：由平行四边形的性质，可得△ ABE CDF••• AE= CF进而可得四边形AECF是平行四边形.证明：口ABCD中，AB屯CD（平行四边形的对边平行，对边相等）•/ ABD= / CDB（两直线平行内错角相等）AE 丄BD、CF 丄BD•AE // CF / AEB= / CFD=90•△ ABE CDF（AAS）•AE=CF•四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）说明：平行四边形的定义，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法.例5如图，二ABCD中，E、F分别在AD、BC上，且AE=CF , AF、BE相交于G, CE、DF相交于H求证：EF与GH互相平分分析：欲证EF与GH互相平分，只需四边形EGFH为平行四边形，利用已知条件可知四边形AFCE、四边形EBFD都为平行四边形，所以可得AF // EC , BE // DF，从而四边形GEHF为平行四边形.证明：」ABCD中，AD丄BC（平行四边形对边平行且相等）v AE=CF /. DE=BFT四边形AFCE、四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平形四边形）二AF // CE , BE // DF（平行四边形对边平行）•••四边形EGFH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）••• GH与EF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）说明：平行四边形问题，并不都是以求证某一个四边形为平行四边形的形式出现的.往往更多的是求证线段的相等、角的相等、直线的平行、线段的互相平分等等.要灵活地根据题中已知条件，以及定义、定理等.先判定某一四边形为平行四边形，然后再应用平行四边形的性质加以证明.例6如图，已知—ABCD中，EF在BD上，且BE=DF ,点G、H 在AD、CB上，且有AG=CH , GH与BD交于点0,求证EG丄HF分析：证EF 、GH 互相平分二GEHF 为平行四边形.证明:连 BG 、DH 、GF 、EHT ABCD 为平行四边形.••• AD 垒 BC又 AG=HC• DG 丄 BH•四边形BGDH 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）• HO = GO , DO=BO （平行四边形的对角线互相平分） 又 BE=DF•OE=OF•四边形GEHF为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）••• EG丄HF.（平行四边形的对边平行相等）说明：由于条件BE=DF涉及到对角线BD，所以考虑用对角线互相平分来证明例7如图，——ABCD中，AE丄BD于E, CF丄BD于F, G、H分别为AD、BC的中点，求证：EF和GH互相平分.分析：连结EH , HF、FG、GE，只须证明EHFG为平行四边证法一:连结EH , HF、FG、GEv AE丄BD , G是AD中点.-■.GE=C J D =^AD2/ GED二 / GDE同理可得HF =HB =^EC,Z HFE =Z HEFV四边形ABCD是平行四边形••• AD 岂BC,/ GDE= / HBF••• GE=HF，/ GED= / HFB•GE // HF•四边形GEHF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）•EF和GH互相平分.（平行四边形对角线互相平分）证法二：容易证明厶ABE CDF• BE=DFT四边形ABCD为平行四边形••• AD 些BCT G、H分别为AD、BC的中点•DG 丄BH•四边形BHDG为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）•BD和GH互相平分（平行四边形对角线互相平分）•OG=OH , OB=OD又BE=DF•OE=OF•EF和GH互相平分.例8如图，已知线段a、b与/ a,求作：—ABCD ,使/ ABC二/ a, AB=a , BC=b ,分析：已知两边与夹角，可先确定△ ABC，根据判定定理2(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)，再确定点D，从而平行四边形可作出.作法:(1) 作/ EBF二/ a,⑵在BE、BF上分别截取BA=a , BC=b ,⑶分别为A、C为圆心，b, a为半径作弧，两弧交于点D, 二四边形ABCD为所求.*证明：由作法可知AB=CD = aBC=AD=b二四边形ABCD 为平行四边形(两组对边分别相等的四边形为平 行四边形)且/ ABC 二 / a, AB=a , BC=b- ABCD 为所求说明：常见的平行四边形作图有以下几种：(1) 已知两邻边(AB 、BC)和夹角(/ B).(2) 已知一边(BC)和两条对角线(AC , BD).(3) 已知一边(BC)和这条边与两条对角线的夹角 (如/ DBC ,Z ACB).⑷已知一边(CD)和一个内角(/ ABC)以及过这个角的顶点的一条对角线(BD ，且BD > CD)求作平行四边形(如图)完成这些作图的关键点，都在于先作出一个三角形，然后再完成平行四边形的作图，体现了把平行四边形的问题化归为三角形问题的思想方法.。
人教版初二平行四边形的性质与判定(含答案)
平行四边形一、学习目标1、掌握平行四边形的性质2、运用平行四边形的性质进行相关的计算和证明3、运用平行四边形的性质解决有关实际生产、生活中的应用问题二、教学重难点教学重点：平行四边形的性质及判定教学难点：灵活选择和应用适当的方法平行四边形解决问题三、基础知识及典型例题分析考点一:平行四边形性质的基本应用1.从边、角、对角线方向把握平行四边形的性质：边：对边平行，对边相等角：对角相等，邻角互补对角线:对角线互相平分2. 面积与周长1.平行四边形的面积S =ah2.平行四边形周长c=2(a+b)3. 平行四边形中常用辅助线的添法（1）连结对角线或平移对角线。
（2）过顶点作对边的垂线构成直角三角形。
（3）连结对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线。
（4）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。
4. 平行四边形知识的运用：(1)直接运用平行四边形特征解决某些问题，如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等．(2)识别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行．(3)先识别—个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题．例1:在□ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）A、1：2：3：4B、1：2：1：2C、1：1：2：2D、1：2：2：1例2：平行四边形的对角线长为x，y，一边长为12，则x，y的值可能是（）A、8和14B、10和14C、18和20D、10和34例3：下列平行四边形中，其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是（）A、 B、C、 D、练习：1.平行四边形的两邻边的比是2：5，周长为28cm，则四边形的各边的长为。
2.在平行四边形ABCD中，∠B=110°，延长AD至F，延长CD至E，连接EF，则∠E+∠F=（）A、110°B、30°C、50°D、70°3.已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是______.4.如图，▱ABCD的周长为16cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（）A、4cmB、6cmC、8cmD、10cm5.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（-2，5），B（-3，-1），C（1，-1），要使四边形ABCD是平行四边形的点D的坐标是（）6.在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC=10，BD=8，AB=x，则x的取值范围是（）A．1＜x＜9 B．2＜x＜18 C．8＜x＜10 D．4＜x＜57.如图所示，一个平行四边形被分成面积为S1，S2，S3，S4的四个小平行四边形，当CD沿AB自左向右在平行四边形内平行滑动时，S1•S4与S2•S3的大小关系为（）A、S1•S4＞S2•S3B、S1•S4＜S2•S3C、S1•S4=S2•S3D、不能确定8.在平行四边形ABCD中，点A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别AB和CD的五等分点，点B1，B2，B3和D1，D2，D3分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的积为1，则平行四边形ABCD面积为（）A、2B、3/5C、5/3D、159.国家级历史文化名城--金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（）A、红花，绿花种植面积一定相等B、紫花，橙花种植面积一定相等C、红花，蓝花种植面积一定相等D、蓝花，黄花种植面积一定相等10.如图，O为平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，EF经过点O，且与边AD、BC分别交于点E、F，若BF＝DE，则图中的全等三角形最多有（）（A）2对（B）3对（C）5对（D）6对11.如图，已知平行四边形ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF交于H，BF，AD的延长线交于G，给出下列结论：①DB=2BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH，其中正确的结论个数有( )12.（1）如图，平行四边形ABCD中，AC交BD于O，AE⊥BD于E，∠EAD=60°，AE=2cm,AC+BD=14cm, 求三角形BOC的周长.（2）在□ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，∠B 是锐角，将△ACD 沿对角线AC 折叠，点D 落在△ABC 所在平面内的点E 处，如果AE 过BC 的中点O ，则□ABCD 的面积等于（ ） A 、48 B 、610 C 、712 D 、22413. 在四边形ABCD 中，AC=4cm ，BD=4.5cm ，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形EFGH 的周长为 cm ．考点2、平行四边形的判定应用 1.判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④对角线互相平分的四边形是平行四边形； ⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 .2.三角形的中位线定理： 。
2022中考数学技巧《综合滚动练习平行四边形的性质与判定》专题讲解附练习及答案
综合滚动练习：平行四边形的性质与判定时间：120分钟分数：120分得分：________一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分；11～16小题各2分)1．平行四边形ABCD的面积为8，O为两对角线的交点，那么△AOB的面积是() A．1 B．2 C．4 D．62．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝150°，那么∠A的大小为()A．150°B．130°C．120°D．100°第2题图第4题图3．不能判定四边形ABCD为平行四边形的是()【易错9】A．AB＝CD，AB∥CD B．∠A＝∠C，∠B＝∠DC．AB＝AD，BC＝CD D．AB＝CD，AD＝BC4．如图，直线a∥b，点A，B，C在直线a上，点D，E，F在直线b上，AB＝EF＝2，假设△CEF的面积为5，那么△ABD的面积为()A．2 B．4 C．5 D．105．(2021·丽水中考)如图，在▱ABCD中，连接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，那么BC的长是()A. 2 B．2 C．2 2 D．4第5题图第6题图6．(2021·贵阳中考)如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，假设△CED的周长为6，那么▱ABCD的周长为() A．6 B．12 C．18 D．247．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是()A．①②B．②③C．③④D．①④8．如图，O为平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，EF经过点O，且与边AD，BC分别交于点E，F，假设BF＝DE，那么图中的全等三角形最多有() A．8对B．6对C．5对D．4对第8题图第9题图第10题图9．如图，▱ABCD的顶点坐标分别为A(1，4)，B(1，1)，C(5，2)，那么点D的坐标为() A．(5，5) B．(5，6) C．(6，6) D．(5，4)10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，且AF ＝DE，AE＝DF，那么四边形AFDE的周长是()A．5 B．10 C．15 D．2011．(2021·唐山路南区三模)根据图中所给的边长及角度，判断以下选项中的四边形是平行四边形的为()12．如图，▱ABCD中，AD＝5，BD＝6，AC＝a，那么a的取值范围是()A．2＜a＜8 B．2＜a＜10 C．4＜a＜10 D．4＜a＜16第12题图第14题图13．(2021·龙东中考)在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两局部，那么平行四边形ABCD的周长是()A．22 B．20 C．22或20 D．1814．如图，在▱ABCD中，∠A＝70°，将▱ABCD折叠，使点D，C分别落在点F，E处(点F，E都在AB所在的直线上)，折痕为MN，那么∠AMF等于()A．70°B．40°C．30°D．20°15．(2021·青岛中考)如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝3，AC＝2，BD＝4，那么AE的长为()A.32B.32C.217D.2217第15题图第16题图16．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，假设DE＝BF，那么以下结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③四边形ABCD是平行四边形；④图中共有4对全等三角形．其中正确结论的个数是()A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题(本大题有3个小题，共10分.17～18小题各3分，19小题有2个空，每空2分)17．如图，假设▱ABCD与▱EBCF关于BC所在直线对称，∠ABE＝90°，那么∠F＝________．第17题图第18题图第19题图18．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，两条对角线的长度和为24cm，BC长为8cm，那么△AOD的周长为________．19．★如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F处，假设△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，那么▱ABCD的周长为________，FC的长为________．三、解答题(本大题有7个小题，共68分)20．(8分)(2021·新疆中考)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形．21．(9分)(2021·凉山州中考)如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD延长线上的点，且BE＝DF，连接EF交AD、BC于点G、H.求证：EH＝FG.22．(9分)(2021·迁安市期末)如图，点A(－4，2)，B(－1，－2)，▱ABCD的对角线交于坐标原点O.(1)请写出点C，D的坐标；(2)指出从线段AB到线段DC的变换过程；(3)求▱ABCD的面积．23．(9分)如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，延长BE交CD的延长线于点F.(1)假设∠F＝20°，求∠A的度数；(2)假设AB＝5，BC＝8，CE⊥AD，求▱ABCD的面积．24．(10分)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE＝BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连接DG，B′G.求证：(1)∠1＝∠2；(2)DG＝B′G.25．(11分)如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝75°.AF⊥BC于点F，AF交BD于点E，假设DE＝2AB，求∠AED的度数．26．(12分)综合与实践：下面是一个有关平行四边形和等边三角形的小实验，请根据实验解答问题：在▱ABCD中，∠ABC＝120°，点D又是等边三角形DEF的一个顶点，DE与AB相交于点M，DF与BC相交于点N(不包括线段的端点)．(1)初步尝试：如图①，假设AB＝BC，求证：BD＝BM＋BN；(2)探究发现：如图②，假设BC＝2AB，过点D作DH⊥BC于点H，求证：∠BDC＝90°.参考答案与解析15．D 解析：∵AC ＝2，BD ＝4，四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝12AC ＝1，BO ＝12BD ＝2.∵AB ＝3，∴AB 2＋AO 2＝BO 2，∴∠BAC ＝90°.∵在Rt △BAC 中，BC ＝AB 2＋AC 2＝〔3〕2＋22＝7，S △BAC ＝12·AB ·AC ＝12·BC ·AE ，∴3×2＝7AE ，∴AE ＝2217，应选D.16．B 17.45° 18.20cm19．30 7 解析：设DF ＝x ，FC ＝y .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，CD ＝AB .∵BE 为折痕，∴AE ＝EF ，AB ＝BF .∵△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，∴四边形ABCD 的周长为AD ＋DC ＋BC ＋AB ＝AE ＋DE ＋DF ＋FC ＋BC ＋AB ＝EF ＋DE ＋DF ＋FC ＋BC ＋BF ＝8＋22＝30.BC ＝AD ＝DE ＋AE ＝DE ＋EF ＝8－x ，BF ＝AB ＝CD ＝x ＋y ，∴y ＋x ＋y ＋8－x ＝22，解得y ＝7，即FC 的长为7.20．证明：∵AE ⊥AD ，CF ⊥BC ，∴∠EAD ＝∠FCB ＝90°.∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠CBF .(3分)在△AED 和△CFB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADE ＝∠CBF ，∠EAD ＝∠FCB ，AE ＝CF ，∴△AED ≌△CFB (AAS)，∴AD＝BC .(6分)∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．(8分)21．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∠A ＝∠C ，(2分)∴∠E ＝∠F ，∠A ＝∠FDG ，∠EBH ＝∠C ，∴∠EBH ＝∠FDG .(5分) 在△EBH 与△FDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠E ＝∠F ，BE ＝DF ，∠EBH ＝∠FDG ，∴△EBH ≌△FDG (ASA)，∴EH ＝FG .(9分)22．解：(1)∵平行四边形是中心对称图形，∴点A 与点C 、点B 与点D 关于原点中心对称．∵A (－4，2)，B (－1，－2)，∴C (4，－2)，D (1，2)．(3分)(2)∵点A 与点D 、点B 与点C 的纵坐标相等，且AB ∥CD ，AB ＝CD ，AD ＝1－(－4)＝5，∴把线段AB 向右平移5个单位长度可得到线段DC .(6分)(3)由(2)得ADD 作DE ⊥BC ，垂足为E ，那么点E 的纵坐标为－2，(7分)∴DE ＝2－(－2)＝4，∴S ▱ABCD ＝AD ·DE ＝5×4＝20.(9分)23．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠AEB ＝∠CBF ，∠ABE ＝∠F ＝20°.(3分)∵∠ABC 的平分线交AD 于点E ，∴∠ABE ＝∠CBF ，∴∠AEB ＝∠ABE ＝20°，∴AE ＝AB ，∠A ＝180°－20°－20°＝140°.(5分)(2)∵AE ＝AB ＝5，AD ＝BC ＝8，CD ＝AB ＝5，∴DE ＝AD －AE ＝3.∵CE ⊥AD ，∴CE ＝CD 2－DE 2＝52－32＝4，∴S ▱ABCD ＝AD ·CE ＝8×4＝32. (9分)24．证明：(1)在▱ABCD 中，DC ∥AB ，∴∠2＝∠FEC .(2分)由折叠得∠1＝∠FEC ，∴∠1＝∠2.(4分)(2)∵∠1＝∠2，∴EG ＝GF .∵AB ∥DC ，∴∠DEG ＝∠EGF .(6分)由折叠得EC ′∥B ′F ，∴∠B ′FG ＝∠EGF ，∴∠DEG ＝∠B ′FG .(8分)∵DE ＝BF ＝B ′F ，∴△DEG ≌△B ′FG ，∴DG ＝B ′G .(10分)25．解：取DE 中点O ，连接AO .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAB＝180°－∠ABC ＝105°.(3分)∵AF ⊥BC ，∴AF ⊥AD ，∴∠DAE ＝90°，∴OA ＝12DE ＝OD ＝OE .(5分)∵DE ＝2AB ，∴OA ＝AB ，∴∠AOB ＝∠ABO ，∠ADO ＝∠DAO ，∴∠AOB ＝∠ADO ＋∠DAO ＝2∠ADO .(8分)∵∠ABD ＝∠AOB ＝2∠ADO ，∠ABD ＋∠ADO ＋∠DAB ＝180°，即3∠ADO ＋105°＝180°，∴∠ADO ＝25°，∴∠AED ＝90°－25°＝65°.(11分)26．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∠ABC ＝120°，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，∠A ＝∠C ＝60°.(1分)∵AB ＝BC ，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∴△ABD ，△BDC 都是等边三角形，∴∠A ＝∠DBC ＝60°，∠ADB ＝60°，AD ＝BD .(3分)∵∠EDF ＝60°，∴∠ADM ＋∠MDB ＝∠BDN ＋∠MDB ＝60°，∴∠ADM ＝∠BDN .(4分)∴△ADM ≌△BDN ，∴AM ＝BN ，(6分)∴BD ＝AB ＝MB ＋AM ＝MB ＋BN ，即BD ＝BM ＋BN .(7分)(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∠ABC ＝120°，∴AB ＝CD ，∠A ＝∠C ＝60°.∵DH ⊥BC ，∠C ＝60°，∴∠DHC ＝90°，∠HDC ＝30°.(9分)设CH ＝x ，那么DC ＝2x ，DH ＝3x, ∴BC ＝2AB ＝2DC ＝4x ，∴BH ＝BC －HC ＝3x .∵DH ⊥BC ，∴BD ＝BH 2＋DH 2＝23x ，∴BD 2＋DC 2＝BC 2，∴∠BDC ＝90°. (12分)。
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综合滚动练习：平行四边形的性质与判定
时间：45分钟分数：100分得分：________
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．在▱ABCD中，若∠A＋∠C＝120°，则∠A的度数是()
A．100°B．120°C．80°D．60°
2．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是() A．AB∥CD B．AB＝CD
C．AC＝BD D．OA＝OC
第2题图第5题图
3．在平行四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是()
A．4∶3∶3∶4 B．7∶5∶5∶7
C．4∶3∶2∶1 D．7∶5∶7∶5
4．平面直角坐标系中，已知▱ABCD的三个顶点坐标分别是A(m，n)，B(2，－1)，C(－m，－n)，则点D的坐标是()
A．(－2，1) B．(－2，－1)
C．(－1，－2) D．(－1，2)
5．如图，▱ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为()
A．BE＝DF B．BF＝DE
C．AE＝CF D．∠1＝∠2
6．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E.若AB＝6，EF＝2，则BC的长为()
A．8 B．10 C．12 D．14
第6题图第7题图
7．如图，在▱ABCD中，∠B＝80°，AE平分∠BAD交BC于E，CF∥AE交AD于F，则∠BCF等于()
A．40°B．50°C．60°D．80°
8．(2017·龙东中考)在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD的周长是()
A．22 B．20 C．22或20 D．18
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．已知AB∥CD，添加一个条件____________，使得四边形ABCD为平行四边形．10．如图，在▱ABCD中，∠C＝40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为________．
第10题图第11题图
11．如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF.若∠BAE＝55°，则∠D1AD＝________．
12．如果平行四边形的一条边长是8，一条对角线长为6，那么它的另一条对角线长m 的取值范围是____________．
13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点．已知AB＝4，∠F＝∠CDE，则BF的长为________．
第13题图第14题图
14．★如图，▱ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF＝3，则AB的长是________．
三、解答题(共44分)
15．(7分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形．
16.(8分)如图，▱ABCD中∠BAD的平分线交BC于点E，且AE＝BE，求▱ABCD各内角的度数．
17．(9分)(2017·湘潭中考)如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)若AB＝2BC，∠F＝36°，求∠B的度数．
18．(10分)如图，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，点E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于点O.
(1)求证：BO＝DO；
(2)若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AD的长．
19．(10分)★如图，AD 为△ABC 的中线，点E 为AC 上一点，连接BE 交AD 于点F ，且AE ＝FE .
求证：BF ＝AC .
[提示：延长AD 到N ，使DN ＝AD ，构造平行四边形进行证明]
参考答案与解析
1．D 2.C 3.D 4.A 5.C 6.B 7.B
8．C 解析：设AE 平分∠A 交BC 于点E ，在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，则∠DAE ＝∠AEB .∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠DAE ，∴∠BAE ＝∠BEA ，∴AB ＝BE .①当BE ＝3，EC ＝4时，AB ＝3，BC ＝7，∴平行四边形ABCD 的周长为2(AB ＋BC )＝2×(3＋7)＝20.②当BE ＝4，EC ＝3时，AB ＝4，BC ＝7，∴平行四边形ABCD 的周长为2(AB ＋BC )＝2×(4＋7)＝22.故选C.
9．AB ＝CD (答案不唯一)
10．50° 11.55° 12.10<m <22 13.4
14．1 解析：由题可知∠ECF ＝∠ABC ＝60°，则∠CEF ＝30°.设CF ＝x ，则CE ＝2CF ＝2x .在Rt △CEF 中，CF 2＋EF 2＝CE 2，即x 2＋3＝(2x )2，解得x ＝1，则CE ＝2.∵AE ∥BD ，
AB ∥DE ，∴四边形ABDE 为平行四边形，∴AB ＝DE .又∵AB ＝CD ，∴AB ＝12
CE ＝1. 15．证明：∵∠1＋∠B ＋∠ACB ＝180°，∠2＋∠D ＋∠CAD ＝180°，∠B ＝∠D ，∠1＝∠2，∴AB ∥CD ，∠DAC ＝∠ACB ，∴AD ∥BC .(5分)∴四边形ABCD 是平行四边形．(7
分)
16．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∠B ＝∠D ，∴∠AEB ＝∠DAE .(2分)∵AE 是∠BAD 的平分线，∴∠BAE ＝∠DAE ，∴∠BAE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE .(4分)∵AE ＝BE ，∴△ABE 是等边三角形，∴∠D ＝∠B ＝60°.(6分)∵∠B ＋∠C ＝180°，∴∠C ＝120°.∴▱ABCD 各内角的度数分别是∠B ＝∠D ＝60°，∠BAD ＝∠C ＝120°.(8分)
17．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴∠D ＝∠ECF .(2
分)在△ADE 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝∠ECF ，DE ＝CE ，∠AED ＝∠FEC ，
∴△ADE ≌△FCE (ASA)．(5分)
(2)解：∵△ADE ≌△FCE ，∴AD ＝FC .∵AD ＝BC ，AB ＝2BC ，∴AB ＝FB .(7分)∴∠BAF ＝∠F ＝36°，∴∠B ＝180°－2×36°＝108°.(9分)
18．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，∴∠ODF ＝∠OBE .(2分)在
△ODF 与△OBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ODF ＝∠OBE ，∠DOF ＝∠BOE ，DF ＝BE ，
∴△ODF ≌△OBE ，(4分)∴BO ＝DO .(5分)
(2)解：∵BD ⊥AD ，∴∠ADB ＝∠GDO ＝90°.∵∠A ＝45°，∴∠DBA ＝∠A ＝45°.∵EF ⊥AB ，∴∠G ＝∠A ＝45°，∠DOG ＝45°，∴OD ＝DG .(7分)∵AB ∥CD ，EF ⊥AB ，∴DF ⊥OG ，∴OF ＝FG ，△DFG 是等腰直角三角形，∴DF ＝GF ＝1，∴DO ＝DG ＝ 2.(8分)∵DO ＝BO ，∴在等腰Rt △ADB 中，AD ＝DB ＝2DO ＝2 2.(10分)
19．证明：如图，延长AD 到N ，使DN ＝AD ，连接BN ，CN .(2分)∵AD 为△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，∴四边形ABNC 是平行四边形，∴BN ＝AC ，BN ∥AC ，∴∠1＝∠4.(6分)∵AE ＝FE ，∴∠1＝∠2.∵∠2＝∠3，∠1＝∠4，(8分)∴∠3＝∠4，∴BN ＝BF ，∴BF ＝AC .(10分)。