[高三数学]高考数学压轴题训练题含答案

高考数学综合题系列训练（一）

【例1】已知函数2

41

)(+=x

x f )(R x ∈ （1）试证函数)(x f 的图象关于点)4

1

,21(对称；

（2）若数列}{n a 的通项公式为), ,2 ,1 ,( )(m n N m m

n

f a n =∈=+，求数列}{n a 的前m 项和m S

（3）设数列}{n b 满足： 3

11=

b ，n n n b b b +=+2

1， 设11111121++++++=n n b b b T ，若（2）中的n S 满足对任意不小于2的正整数n ，n n T S <恒成立, 试求m 的最大值

解: (1)设点)y ,x (P 000 是函数)x (f 的图象上任意一点, 其关于点)4

1,21

( 的对称点为)y ,x (P .

由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+412

y y 2

1

2x x 00 得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.y 21

y ,x 1x 00 所以, 点P 的坐标为P )y 2

1

,x 1(00-- .………………(2分) 由点)y ,x (P 000 在函数)x (f 的图象上, 得2

41

y 0

x 0+=. ∵,)

24(244244241)x 1(f 0

000

x x x x x 10+=⋅+=+=

-- =+-=-24121y 210x 0,)24(2400

x x + ∴点P )y 21,x 1(00

-- 在函数)x (f 的图象上. ∴函数)x (f 的图象关于点)41

,2

1

( 对称. ………………(4分) (2)由(1)可知, 21)x 1(f )x (f =-+, 所以)1m k 1(2

1

)m k 1(f )m k (f -≤≤=-+ ,

即,2

1a a , 21)m k m (f )m k (f k m k =+∴=-+- ………………(6分)

由m 1m 321m a a a a a S +++++=- , ……………… ① 得,a a a a a S m 13m 2m 1m m +++++=--- ………………② 由①＋②, 得,6

12m 61221m a 221)1m (S 2m m -=⨯+-=+⨯-= ∴).1m 3(12

1

S m -=

………………(8分)

(3) ∵,3

1

b 1=

)1b (b b b b n n n 2n 1n +=+=+, ………………③ ∴对任意的0b ,N n n >∈+ . ………………④ 由③、④, 得

,1b 1b 1)1b (b 1b 1n n n n 1

n +-=+=

+即1

n n n b 1

b 11b 1+-=+.

∴1

n 1n 11n n 3221n b 1

3b 1b 1)b 1b 1()b 1b 1()b 1b 1(

T +++-=-=-++-+-= .……………(10分) ∵,b b ,0b b b n 1n 2

n n 1n >∴>=-++ ∴数列}b {n 是单调递增数列. ∴n T 关于n 递增. 当2n ≥, 且+∈N n 时, 2n T T ≥. ∵,81

52)194(94b ,94)131(31b ,31b 321=+==+==

∴.52

75

b 13T T 12n =-=≥………………(12分) ∴,5275S m <

即,5275)1m 3(121<-∴,39

4639238m =< ∴m 的最大值为6. ……………(14分) 【例2】将圆:O 42

2

=+y x 上各点的纵坐标变为原来的一半（横坐标不变）得到曲线C

（1）求曲线C 的方程;

（2）设O 为坐标原点， 过点)0 ,3(F 的直线l 与C 交于B A 、两点，N 为线段AB 的中点，

延长线段ON 交C 于点E ，求证：ON OE 2=的充要条件是3=AB

解：（1）设点),(y x P ''，点),(y x M ，由题意⎩

⎨⎧='='y y x

x 2，

又∵42

2

='+'y x ∴14442

22

2=+⇒=+y x y x ，故曲线C 的方程为14

22=+y x （2）设点) ,(11y x A ， ) ,(22y x B ， 点N 的坐标为) ,(00y x

当直线l 与x 轴重合时，线段AB 的中点N 就是原点O ，不合题意，舍去；

设直线 3:+=my x l ，将直线l 的方程代入方程14

22

=+y x 整理得：0132)4(22=-++my y m ∴4320+-

=m m y ，4343200+=+=m my x ，即点N )4

3 ,434(2

2+-+m m

m ○1若ON OE 2=, 则点)4

32 ,43

8(22+-+m m

m E , 由题意得1)

4(12)4(482

2222=+++m m m , 即032424=--m m ∴ 82=m （42

-=m 舍去） ∴212

1 y y m AB -+=34

)

1(44164121222222

=++=+++⋅

+=m m m m m m ○2若3=AB , 由○1得34

)1(42

2=++m m ，∴82

=m ∴点N 的坐标为)66 ,33(

±, 射线ON 方程为)0( 2

2>±=x x y , 由⎪⎩⎪⎨⎧=+>±=44)0( 2

222y x x x y 解得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧±==36

332y x ∴点E 的坐标为)36 ,332(±，故2= 综上，2=的充要条件是3=AB

【例3】E 、F 是椭圆22

24x y +=的左、右焦点，l 是椭圆的右准线，点P l ∈，过点E 的直线交椭

圆于A 、B 两点.

（1） 当AE AF ⊥时，求AEF ∆的面积； （2） 当3AB =时，求AF BF +的大小；

（3） 求EPF ∠的最大值. 解：（1）22

41

28

2AEF m n S mn m n ∆+=⎧⇒==⎨

+=⎩