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高考数学压轴题专项练习(最新版)

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2024年高考数学(新高考压轴卷)(全解全析)

2024年高考数学(新高考压轴卷)(全解全析)

2024年高考压轴卷【新高考卷】数学·全解全析一、单选题1．已知集合105x A x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，(){}22log 16B x y x ==-，则()R A B ⋂=ð（）A ．()1,4-B ．[]1,4-C ．(]1,5-D ．()4,52．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是3:4，则该汝窑双耳罐的体积是（）A ．1784π3B ．1884π3C ．2304π3D ．2504π33．如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（）种.A ．10B ．20C ．60D ．120【答案】A【分析】合流结束时5辆车需要5个位置，第一步从5个位置选2个位置安排左边的2辆汽车，第二步剩下3个位置安排右边的3辆汽车，从而由分步乘法计数原理可得结果.【详解】设左车辆汽车依次为12,A A ，右车辆汽车依次为123,,B B B ，则通过顺序的种数等价于将12,A A 安排在5个顺序中的某两个位置（保持12,A A 前后顺序不变），123,,B B B 安排在其余3个位置（保持123,,B B B 前后顺序不变），123,,B B B ，所以，合流结束时汽车通过顺序共有2353C C 10=.故选：A.4．已知等比数列{}n a 的各项均为负数，记其前n 项和为n S ，若6467813,8S S a a a -=-=-，则2a =（）A ．－8B ．－16C ．－32D ．－485．已知圆C ：22()1x y m +-=，直线l ：()1210m x y m ++++=，则直线l 与圆C 有公共点的必要不充分条件是（）A ．11m -≤≤B ．112m -≤≤C ．10m -≤≤D ．102m ≤≤6．已知函数2()log f x x =，则对任意实数,a b ，“0a b +≤”是“()()0f a f b +≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件故选：C.7．已知0.50.2a =，cos2b =，lg15c =，则（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c<<8．从椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>外一点()00,P x y 向椭圆引两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 称作点P关于椭圆C 的极线，其方程为00221x x y ya b+=.现有如图所示的两个椭圆12,C C ，离心率分别为12,e e ，2C 内含于1C ，椭圆1C 上的任意一点M 关于2C 的极线为l ，若原点O 到直线l 的距离为1，则2212e e -的最大值为（）A ．12B ．13C ．15D ．14二、多选题9．已知非零复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（）A ．若1211z z -=-，则12=z z B ．若1212z z z z +=-，则120OZ OZ ⋅=C ．若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=D ．若1212z z z z +=+，则存在实数t ，使得21z tz =10．已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为B，C分别为AE，FD的中点，BD=）⊥A．BE CDB．BE与平面DCE所成角的余弦值为15C．四面体ABCD的内切球半径为30D．四面体ABCD的外接球表面积为8π【点睛】11．对于数列{}n a （N n a +∈），定义k b 为1a ，2a ，…，k a 中最大值（1,2,,k n =⋅⋅⋅）（N n +∈），把数列{}n b 称为数列{}n a 的“M 值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M 值数列”为2，2，3，7，7，则（）A ．若数列{}n a 是递减数列，则{}n b 为常数列B ．若数列{}n a 是递增数列，则有n na b =C ．满足{}n b 为2，3，3，5，5的所有数列{}n a 的个数为8D ．若()1()2N n n a n -+=-∈，记n S 为{}n b 的前n 项和，则1001002(21)3S =-三、填空题12．已知向量()1,1,4a b == ，且b 在a 上的投影向量的坐标为()2,2--，则a 与b的夹角为.13．已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足135a a +=，22a =.设22log 7n n b a =-，则当5n ≥时，数列{}n b 的前n 项和n S =.14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 且斜率为34-的直线与C 交于,A B两点．若112AF F F ⊥，则C 的离心率为；线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，则22BF DF =．5.【点睛】方法点睛：椭圆求离心率或者范围关键是找到关于,a c 的齐次式求得.四、解答题15．如图，在平面四边形ABCD ，已知1BC =，3cos 5BCD ∠=-.（1）若AC 平分BCD ∠，且2AB =，求AC 的长；（2）若45CBD ∠=︒，求CD 的长.16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是边长为2的正三角形，侧面11BB C C 是矩形，11AA A B =．(1)求证：三棱锥1A ABC -是正三棱锥；(2)若三棱柱111ABC A B C -的体积为221AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理，证明1A O ⊥平面ABC 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦即可.【详解】（1）分别取AB ，BC 中点D ，E ，连接CD ，AE 交于点O ，则点O 为正三角形ABC 的中心．因为11AA A B CA CB ==，得1CD AB AD AB ⊥⊥，，又11,,A D CD D A D CD =⊂ 平面1A CD ，所以AB ⊥平面1A CD ，又1A O ⊂平面1A CD ，则1AB A O ⊥；取11B C 中点1E ，连接111A E E E ，，则四边形11AA E E 是平行四边形，因为侧面11BB C C 是矩形，所以1BC EE ⊥，又BC AE ⊥，又11,,EE AE E EE AE =⊂ 平面11AA E E ，所以BC ⊥平面11AA E E ，又1A O ⊂平面11AA E E ，则1BC A O ⊥；又AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，所以1A O ⊥平面ABC ，所以三棱锥1A ABC -是正三棱锥．17．某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成[0,2],(2,4]，(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16]，(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在(14,16]内的学生人数为X ，求X 的分布列和期望；(2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“20()P k ”表示这20名学生中恰有k 名学生参加公益劳动时间在(10,12]（单位:小时）内的概率，其中0,1,2,,20k = .当20()P k 最大时，写出k 的值.18．已知双曲线(22:10,0x y C a b a b-=>>）的左右焦点分别为12,F F ，C 的右顶点到直线2:a l x c =的距离为1，双曲线右支上的点到1F 的最短距离为3(1)求双曲线C 的方程；(2)过2F 的直线与C 交于M 、N 两点，连接1MF 交l 于点Q ，证明：直线QN 过x 轴上一定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.19．函数()e xf x a x=-图像与x 轴的两交点为()()()1221,0,0A x B x x x >，(1)令()()ln h x f x x x =-+，若()h x 有两个零点，求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x <；(3)证明：当5a ≥时，以AB 为直径的圆与直线)1y x =+恒有公共点．（参考数据：0.25 2.5e 1.3e 12.2≈≈，）。

最新高三复习高考数学挑战满分压轴题数列

最新高三复习高考数学挑战满分压轴题数列
A．49个B．50个C．31个D．72个
4．已知函数 的定义域为 ，当 时， ；对任意的 ， 成立.若数列 满足 ，且 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
5．设数列 满足 ， ， ，数列 前n项和为 ，且 （ 且 ）.若 表示不超过x的最大整数， ，数列 的前n项和为 ，则 （）
A．2019B．2020C．2021D．2022
A． B． Biblioteka ． D．35．数列 满足：对所有 且 ， ，使得 ，则称数 是“ 数列”.现有以下四个数列：① ；② ；③ ；④ ；其中是“ 数列”的有（）
A．①④B．①③④C．②③D．①②
二、多选题
36．若数列 满足 ， ， ，则称数列 为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理､准晶体结构､化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．则下列结论成立的是（）
A．数列 的“准最大项”存在，且为
B．数列 的“准最大项”存在，且为
C．数列 的“准最大项”存在，且为
D．数列 的“准最大项”不存在
9．已知 是数列 的前n项和，若 ，数列 的首项 ，则 （）
A． B． C．2021D．
10．设数列 满足 ，其中c为实数，数列 的前n项和是 ，下列说法不正确的是（）
A． B． C． D．
27．已知数列 中， 成等差数列，且 （其中 为自然对数的底数， ）．若 ，则（）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
28．若函数 ， ， ， ，在等差数列 中 ， ， ，用 表示数列 的前2018项的和，则（）
A． B．
C． D．
29．已知等差数列 的首项 ，且 ， ．若 ，且对任意的 ，均有 ，则 的最小值为（）．
6．已知数列 满足 ，则 的最大值是（）

新高考数学试卷选择压轴题

新高考数学试卷选择压轴题

1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，若存在实数a，使得f(a) = 0，则f'(a)的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 22. 设A、B是两个非空集合，且A∩B=∅，则下列结论正确的是（）A. A∪B=∅B. A∩B=∅C. A∪B=∅，A∩B≠∅D. A∪B≠∅，A∩B=∅3. 已知数列{an}是等差数列，若a1+a4+a7=12，a1+a5+a9=27，则数列{an}的公差d为（）A. 3B. 4C. 5D. 64. 在锐角三角形ABC中，∠A=30°，∠B=60°，若BC=2，则AC的取值范围是（）A. (2，4]B. [2，4]C. (2，4)D. [2，4）5. 已知等比数列{an}的公比为q（q≠1），若a1+a2+a3=9，a4+a5+a6=81，则q的值为（）B. 3C. 4D. 66. 设f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，g(x) = |x-1|，则f(x)在[0,2]上的最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 已知数列{an}是等差数列，若a1+a4+a7=12，a1+a5+a9=27，则数列{an}的前n项和Sn为（）A. n(n+1)B. n(n+2)C. n(n+3)D. n(n+4)8. 在锐角三角形ABC中，∠A=30°，∠B=60°，若BC=2，则AC的取值范围是（）A. (2，4]B. [2，4]C. (2，4)D. [2，4）9. 已知等比数列{an}的公比为q（q≠1），若a1+a2+a3=9，a4+a5+a6=81，则q的值为（）A. 2C. 4D. 610. 设f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，g(x) = |x-1|，则f(x)在[0,2]上的最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、解答题11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，求f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值。

高考数学选择填空压轴题45道(附答案)

高考数学选择填空压轴题45道(附答案)

,
D．
1,
27 e4
21．已知方程
e x 1
x
e2 x1 x aex1
有三个不同的根，则实数
a
的
取值范围为（ ）
A． 1,e
B．
e,
1 2
C． 1,1
D．
1,
1 2
22．函数 f (x) ex1 ex1 a sin （x x R ，e 是自然对数的底数，
a 0 ）存在唯一的零点，则实数 a 的取值范围为( )
38．若不等式 x e2x a x ln x 1恒成立，则实数 a 的取值范
围是__________.
39．已知函数 f x ln x e a x b ，其中 e 为自然对数的底
数.若不等式
f
x
0
恒成立，则
b a
的最小值为_______.
40．已知函数
f
(x)
x
2 cos
x
，在区间上
0,
4
A．
0,
2
B．
0,
2
C． (0,2]
D． (0,2)
23．已知 a 0 ，b R ，且 ex a(x 1) b 对 x R 恒成立，则 a2b 的 最大值为（ ）
A． 1 e5
2
B． 1 e5
3
C． 1 e3
2
D． 1 e3
3
k
24．若关于
x
的不等式
1 x
x
1 27
有正整数解，则实数
16 12
7
4
x
x
3y 6 y
的最小值为________.
8
参考答案，仅供参考

2024年最新全国名校新高考数学名校选填压轴好题汇编05(学生版)

2024年最新全国名校新高考数学名校选填压轴好题汇编05(学生版)

2025年新高考数学名校选填压轴好题汇编051.(山东省实验中学2025届高三第一次诊断考试数学试题)已知函数f x =5e x+1,x<0x2-6x+8,x≥0，g(x)=x2-ax+4，若y=g f x有6个零点，则a的取值范围为()A.4,+∞B.4,17 2C.4,5D.203,172∪4,52.(山东省齐鲁名校联盟�天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=1-f(1-x)，若函数y=4x4x+2与函数y=f(x)的图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),⋯,(x2025,y2025)，则2025i=1(x i+y i)=()A.0B.20252C.2025 D.607523.(山东省齐鲁名校联盟天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题)已知数列a n满足：a1=1，点n,a n+a n+1在函数y=kx+1的图象上，其中k为常数k≠0，且a1,a2,a4成等比数列，则k的值为()A.2B.3C.4D.54.(山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题)已知函数f x =e x-a-a+1xx≥1，则使f x 有零点的一个充分条件是()A.a<-1B.-1<a<0C.0<a<1D.a>15.(山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题)已知函数f(x)=x2-2-x ln x，a= f(ln2)，b=f ln33，c=f1e ，则()A.a<c<bB.b<c<aC.c<a<bD.a<b<c6.(山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题)若x=2是函数f x = ax2+2x-2e x的极小值点，则实数a的取值范围是()A.-∞,-1B.-∞,1C.-1,+∞D.1,+∞7.(山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题)已知函数f x =sin6ωx+cos6ωx-1ω>0在0,π3上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是()A.32,3B.32,3C.3,92D.3,928.(江西省上进联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题)已知a，b为正数，若∀x>-b，有函数f x =x +b x -a ≥1，则1a +8b的最小值为()A.9+22B.9+42C.9D.639.(江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题)已知四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且P A =AB =2，侧棱P A ⊥底面ABCD ，若四棱锥P -ABCD 外接球的表面积为12π，则该四棱锥的表面积为()A.8+43B.8+63C.6+43D.8+4210.(江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题)已知函数f x =e x -xa-b ，当实数a >0时，对于x ∈R 都有f (x )≥0恒成立，则a 2b 的最大值为()A.-1e 2B.1e 2C.-2e 2D.2e 211.(福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题)已知函数f (x )=e 2x -2ae x -4a 2x (a >0)，若函数f (x )的值域与f (f (x ))的值域相同，则a 的取值范围是()A.0,12B.(0,1]C.12,+∞ D.(1,+∞)12.(福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题)已知ω>0，函数f x =sin ωx 与g x =cos ωx 的图象在π,2π 上最多有两个公共点，则ω的取值范围为()A.0,14∪54,178 B.0,54∪94,178C.0,178 ∪94,218D.0,178∪94,5213.(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)已知函数f (x )=e x -3-e 3-x +x ，则满足f (2m -2)+f (m +1)>6的m 的取值范围是()A.(3,+∞)B.32,+∞C.13,+∞D.73,+∞14.(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)已知函数f (x )=x 2-ax +2a ,x <-11-ln (x +2),x ≥-1在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是()A.(-∞,0]B.[0,+∞)C.[-2,+∞)D.[-2,0]15.(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)定义x 为不超过x 的最大整数，区间a ,b (或(a ,b ),[a ,b ),(a ,b ])的长度记为b -a ．若关于x 的不等式k [x ]>2[x ]-6 的解集对应区间的长度为2，则实数k 的取值范围为()A.0,45B.12,45C.12,1D.45,116.(安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题)某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为()A.313B.15C.14D.41317.(安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题)对于x>0，e2λx-1λln x≥0恒成立，则正数λ的范围是()A.λ≥1e B.λ≥12eC.λ≥2eD.λ≥e18.(安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷)已知函数f x =xe3x-ln x-x-a x，若对任意的x>0，f x ≥1恒成立，则实数a的取值范围为()A.-3,3B.-2,2C.-4,4D.-1,119.(浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷)函数f x =sin x-cos x cos5x2+π4在区间-π,2π上的所有零点之和为()A.πB.2πC.3πD.420.(浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷)已知函数f x 的定义域为0,1，当x=0或x=1或x是无理数时，f x =0；当x=nm (n<m，m，n是互质的正整数)时，f x =1m．那么当a，b，a+b，ab都属于0,1时，下列选项恒成立的是()A.f a+b≤f a +f b B.f a+b≥f a ⋅f bC.f ab≥f a +f b D.f ab≥f a ⋅f b21.(浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考(10月)数学试题)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1，O为坐标原点，若在C的右支上存在关于x轴对称的两点P,Q，使得△PF1Q为正三角形，且OQ⊥F1P，则C的离心率为()A.2B.1+2C.3D.1+322.(浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考(10月)数学试题)已知x0为函数f(x)=x2e x+e2ln x-2e2的零点，则x0+ln x0=()A.1B.2C.3D.423.(浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题)北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有ab ,a =b +1 个小球，第二层有a +1 b +1 个小球，第三层有a +2 b +2 个小球.....依此类推，最底层有cd 个小球，共有n 层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168，则该垛积的第一层的小球个数为()A.1B.2C.3D.424.(浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若PD =2,∠APD =π4,∠BAD =π3，则三棱锥P -OCD 的外接球的体积为()A.423π B.823π C.1623π D.6423π25.(多选题)(山东省实验中学2025届高三第一次诊断考试数学试题)已知函数f (x )=(x -1)ln x -ax -a (a ≠0)在区间(0,+∞)上有两个不同的零点x 1，x 2，且x 1<x 2，则下列选项正确的是()A.a 的取值范围是(0,1)B.x 1x 2=1C.x 1+1 x 2+1 >4D.ln x 1+2a <ln x 2<ln x 1+2a +4326.(多选题)(山东省齐鲁名校联盟�天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题)如图，有一列曲线P 0,P 1,P 2,⋯，已知P 0所围成的图形是面积为1的等边三角形，P k +1(k =0,1,2,3,⋯)是对P k 进行如下操作得到的：将P k 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记S k 为曲线P k 所围成图形的面积，则()A.P 3的边数为128B.S 2=4027C.P n 的边数为3×4nD.S n =85-35⋅49n27.(多选题)(山东省齐鲁名校联盟�天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题)已知函数f x =x3-ax+2,a∈R，则()A.f x 的图象关于点0,2对称B.∃a∈R,f x 仅有一个极值点C.当a=1时，f x 图象的一条切线方程为2x-y+4=0D.当a<3时，f x 有唯一的零点28.(多选题)(山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题)若正实数a，b满足a+b=1，则下列说法错误的是()A.ab有最小值14B.8a+8b有最大值82C.1a +1b有最小值4 D.a2+b2有最小值2229.(多选题)(山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题)函数f x =x+1x,x<03xe x,x≥0 ，关于x的方程f2x -m f x=0m∈R，则下列正确的是()A.函数f x 的值域为RB.函数f x 的单调减区间为-∞,0,1,+∞C.当m=12时，则方程有4个不相等的实数根D.若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是3e ,+∞30.(多选题)(山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题)已知幂函数f x =9m2-3x m的图象过点n,-1 m，则()A.m=-23B.f x 为偶函数C.n=364D.不等式f a+1>f3-a的解集为-∞,131.(多选题)(山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题)已知函数f x及其导函数f x 的定义域均为R，记g x =f x ，若g x+2的图象关于直线x=-2对称，且f x-1+f x+1=1+f-x，则()A.g x 是偶函数B.f x 是奇函数C.3为y=f x 的一个周期D.2025i=1g(i)=032.(多选题)(江西省上进联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题)若存在实数b使得方程x4+mx 3+nx +b =0有四个不等的实根，则mn 的值可能为()A.-2024B.2025C.0D.-633.(多选题)(江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题)已知函数f (x )=ln (cos x )+sin 2x ，则()A.f (x )=f (-x )B.f (x )在-π2,-π4单调递增C.f (x )有最小值D.f (x )的最大值为1-ln2234.(多选题)(江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题)过抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F 的直线l :y =x -1与C 相交于A ，B 两点，则()A.p =2B.p =4C.AB =8D.FA ⋅FB=-435.(多选题)(福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题)已知函数φ(x )的定义域为R ，对于∀x ，y ∈R ，恒有φ(x +y )=φ(x )+φ(y )-t ，且当x >0时，φ(x )<t ，则下列命题正确的有()A.φ(0)=tB.φ(x )=φ(2t -x )C.φ(-2024)=2t -φ(2024)D.∀x ≠y ∈R ，(x -y )[φ(x )-φ(y )]<036.(多选题)(福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题)已知数列a n 的前n 项和为S n ，(3n +2)S n +1+(3n -1)S n -1=(6n +1)S n (n ∈N ，且n ≥2)，若a 1=12，a 2=15，则下列说法正确的是()A.a 5=114B.数列1a n为等差数列C.数列an a 2n +1中的最小项为12D.数列(-1)na n a n +1的前2n 项和T 2n 为18n 2+12n37.(多选题)(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)已知a >0,b >0，且2a +b =4，则()A.ab ≤1B.1a +2b≥2C.2a +b ≤22D.b 2a+4a ≥1238.(多选题)(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)已知函数f (x )与g (x )的导函数分别为f (x )与g (x )，且f (x ),g (x ),f (x ),g (x )的定义域均为R ，g (x )-f (6-x )=3，f (x )=g (x -2)，g (x +4)为奇函数，则()A.g (2)+g (6)=0B.f(x +4)为偶函数C.f (x )=f (x +8)D.2024k =1g (k )=0同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片．A表示事件“第一次取出的卡片数字是奇数”，B表示事件“第二次取出的卡片数字是偶数”，C表示事件“两次取出的卡片数字之和是6”，则()A.P A∪B=1 B.P B∪C=1325C.A与B相互独立D.B与C相互独立40.(多选题)(安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题)定义：设f x是函数f x 的导数，f x 是函数f x 的导数，若方程f x =0有实数解x0，则称点x0,f x0为函数y=f x 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数f x =ax3+bx2+53ab≠0的对称中心为1,1，则下列说法中正确的有()A.a=13，b=-1B.f110+f210 +⋅⋅⋅+f1810 +f1910 的值是19C.函数f x 有三个零点D.过-1,13只可以作两条直线与y=f x 图象相切41.(多选题)(安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷)已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧面PCD⊥平面ABCD，BC=23，CD=PC=PD=26．若点M为PC的中点，则下列说法正确的为()A.BM⊥平面PCDB.P A⎳平面MBDC.四棱锥M-ABCD外接球的表面积为18πD.四棱锥M-ABCD的体积为1242.(多选题)(安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷)某学习小组用函数图象：C1:y=4+-x2+4x，C2:y=4+-x2-4x和抛物线C3:x2=2py部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过C3焦点F的直线l交C3(包含边界点)于A，B两点，P是C1或C2上的动点，下列说法正确的是()A.抛物线C3的方程为C3:x2=4yB.|PB|+|FB|的最小值为4C.S△P AB的最大值为h34=352 D.若P在C1上，则P A ⋅PB 的最小值为-443.(多选题)(浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷)在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =2AA 1，点M 是棱DD 1上的动点(不含端点)，则()A.过点M 有且仅有一条直线与直线AC ，B 1D 1都垂直B.过点M 有且仅有一条直线与直线AC ，B 1D 1都相交C.有且仅有一个点M 满足△MAC 和△MB 1D 1的面积相等D.有且仅有一个点M 满足平面MAC ⊥平面MB 1D 144.(多选题)(浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷)已知P x 0,y 0 是曲线C :x 3+y 3=y -x 上的一点，则下列选项中正确的是()A.曲线C 的图象关于原点对称B.对任意x 0∈R ，直线x =x 0与曲线C 有唯一交点PC.对任意y 0∈-1,1 ，恒有x 0 <12D.曲线C 在-1≤y ≤1的部分与y 轴围成图形的面积小于π445.(多选题)(浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考(10月)数学试题)如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中AB =4，M ，N ，D ，Q 分别为棱AB ,AC ,B 1C 1,AA 1的中点，DQ ⊥QM ，则以下结论正确的是()A.B 1C 1⎳平面QMNB.AA 1=6C.点Q 到平面DMN 的距离为6D.三棱锥D -QMN 的外接球表面积为131π1846.(多选题)(浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考(10月)数学试题)已知抛物线C :x 2=4y 的焦点为F ，A ，B ，P 为抛物线C 上的点，cos ‹FA ,FB›=-1，若抛物线C 在点A ，B 处的切线的斜率分别为k 1,k 2，且两切线交于点M ．N 为抛物线C 的准线与y 轴的交点．则以下结论正确的是()A.若AF +BF =4，则AF ⋅BF =-1B.直线PN 的倾斜角α≥π4C.若k 1+k 2=2，则直线AB 的方程为x -y +1=047.(多选题)(浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题)已知F1、F2分别是双曲线C:x2-y2=2的左右焦点，点Q是圆A:(x-2)2+(y-3)2=12上的动点，下列说法正确的是()A.三角形AF1F2的周长是12B.若双曲线E与双曲线C有相同的渐近线，且双曲线E的焦距为8，则双曲线E为x2-y2=8C.若QF1+QF2=8，则Q的位置不唯一D.若P是双曲线左支上一动点，则PF2+PQ的最小值是5+32248.(多选题)(浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题)已知增函数f x的定义域为正整数集，f x 的取值也为正整数，且满足f f n=2n+1,n∈N*.下列说法正确的是()A.f1 =2B.f4 =6C.f2025=2536 D.对任意正整数n，都有f2n=3⋅2n-149.(山东省实验中学2025届高三第一次诊断考试数学试题)一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6.现随机地将骰子抛掷三次(各次抛掷结果相互独立)，其向上的点数依次为a1,a2, a3，则事件“a1-a2+a2-a3+a3-a1=6”发生的概率为.50.(山东省齐鲁名校联盟�天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题)蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF是正六边形，棱AG,BH,CI,DJ,EK,FL均垂直于底面ABCDEF，上顶由三个全等的菱形PGHI,PIJK,PKLG构成，∠GPI=∠IPK=∠KPG=θ≈109°28 ，设BC=1，则上顶的面积为.(参考数据：cosθ=-13,tanθ2=2)51.(山东省齐鲁名校联盟�天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题)已知函数f x =x ln x，则f x 的最小值为；设函数g x =x2-af x ，若g x 在0,+∞上单调递增，则实数a的取值范围是.52.(山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题)已知函数f x =3x ,0≤x ≤1,ln x ,x >1, 若存在实数x 1,x 2满足0≤x 1<x 2，且f x 1 =f x 2 ，则x 2-6x 1的取值范围为.53.(山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题)已知函数f x 的定义域为R ，且f x +2 -2为奇函数，f 3x +1 为偶函数，f 1 =0，则2024k =1f (k )=.54.(山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题)已知a >0且a ≠1，函数f x =2x ,x ≥1a x,x <1 ，若关于x 的方程f 2x -5f x +6=0恰有3个不相等的实数解，则实数a 的取值范围是．55.(山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题)已知三棱锥A -BCD 的四个顶点都在球O 的球面上，若AB =26,CD =23，球O 的半径为7，则三棱锥A -BCD 体积的最大值为．56.(江西省上进联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题)已知函数f x =log 3(3sin x +9sin 2x +1)+1，则f (m -2)+f 2-m =．57.(江西省上进联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题)函数f x =8ln sin x +sin 22x 在区间0,π2上的零点个数为个．58.(江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题)已知平面向量a=(2,1)，b 为单位向量，且(a +2b )⊥(a -b )，则向量b 在向量a 上的投影向量的坐标为．59.(福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题)已知数列a n 满足a 1=1,a 2=2，且a n +1=a n +a n +2，则a 2029=60.(福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题)已知不等式a +2ln x -2x2≤e x-1x恒成立，则实数a 的取值范围为．61.(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)若函数f (x )=e xx 2+bx +1在x =2时取得极小值，则f (x )的极大值为．62.(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)已知函数f (x )=m x ,g (x )=3+ln x ，若存在两条不同的直线与曲线y =f (x )和y =g (x )均相切，则实数m 的取值范围为.63.(安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题)已知样本x 1,x 2,⋅⋅⋅,x 6的平均数为3，方差为4，样本y 1,y 2,⋅⋅⋅,y 9的平均数为8，方差为2，则新样本x 1,x 2,⋅⋅⋅,x 6,y 1,y 2,⋅⋅⋅,y 9的方差为.1164.(安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题)在△ABC 中，AB ⋅CB -AC ⋅BC =-12BC 2，则tan B -C 的最大值为.65.(安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷)已知数列a n 的通项公式是a n =2n -1，记b m 为a n 在区间m ,2m m ∈N ,m >0 内项的个数，则使得不等式b m +1-b m >2062成立的m 的最小值为.66.(安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷)已知函数f x =-x 2-2x +1,x <0log 2x ,x >0 ，若方程f x =a 有四个不同的解x 1,x 2,x 3,x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，x 4⋅x 1+x 2 +16x 3⋅x 24的取值范围是..67.(浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷)已知曲线y =e x 在x =1处的切线l 恰好与曲线y =a +ln x 相切，则实数a 的值为．68.(浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷)数学老师在黑板上写上一个实数x 0，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数x 0乘以-2再加上3得到x 1，并将x 0擦掉后将x 1写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数x 0除以-2再减去3得到x 1，也将x 0擦掉后将x 1写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为x 2．现已知x 2>x 0的概率为0.5，则实数x 0的取值范围是．69.(浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考(10月)数学试题)“四进制”是一种以4为基数的计数系统，使用数字0，1，2，3来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以4的相应次方(从0开始)，然后将所有乘积相加．例如：四进制数013转换为十进制数为0×42+1×41+3×40=7；四进制数0033转换为十进制数为0×43+0×42+3×41+3×40=15；四进制数1230转换为十进制数为1×43+2×42+3×41+0×40=108；现将所有由1，2，3组成的4位(如：1231，3211)四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被3整除的概率为．70.(浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题)甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号1,2,3,4,5,6,7的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是.。

新高考数学高考数学压轴题多选题专项训练分类精编含解析(2)

新高考数学高考数学压轴题多选题专项训练分类精编含解析(2)

一、数列多选题1．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．a 8＝34 B ．S 8＝54C ．S 2020＝a 2022－1D ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝a 2022答案：BCD 【分析】由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，，故B 正确； 对于C ，可解析：BCD 【分析】由题意可得数列{}na 满足递推关系()12211,1,+3nn n aa a aan --===≥，依次判断四个选项，即可得正确答案.【详解】对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，81+1+2+3+5+8+13+2154S ==，故B 正确；对于C ，可得()112nn n a aan +-=-≥，则()()()()1234131425311++++++++++nn n a a a a aa a a aa a a aa+-=----即212++1nnn n S a a aa++=-=-，∴202020221Sa=-，故C 正确；对于D ，由()112n n n a aan +-=-≥可得，()()()135202124264202220202022++++++++a a a a a a a a a aaa=---=，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，()12211,1,+3nn n a a a aan --===≥，能根据数列性质利用累加法求解.2．已知数列{}na 中，11a =，1111n na a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212n at a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ）A ．－4B ．－2C ．0D ．2答案：AB 【分析】由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解. 【详解】 ，， 则，，，，上述式子累加可得：，， 对于任意的恒成立解析：AB 【分析】由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n =-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解. 【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++， 则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-， 上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<， ()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立， 对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.3．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}na 称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{}na 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．13520192022a a a aa++++=D ．22212201920202019a a a aa+++=答案：ABD 【分析】根据，，，计算可知正确；根据，，，，，，累加可知不正确；根据，，，，，，累加可知正确. 【详解】依题意可知，，，， ，，，，故正确； ，所以，故正确； 由，，，，，， 可得，故不解析：ABD 【分析】根据11a =，21a =，21n n n aaa ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018aaa=-，累加可知C 不正确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a aaaaaaa=-=-，累加可知D 正确. 【详解】依题意可知，11a =，21a =，21n n naaa ++=+，312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确；7565813a a a =+=+=，所以712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018aaa=-，可得13572019a a a a a+++++=242648620202018a a a a a a a aa+-+-+-++-2020a=，故C 不正确；2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a aaaaaaa=-=-，所以2222212342019a a a a a +++++122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a aaaa=+-+-+-+-20192020aa=，所以22212201920202019a a a aa+++=，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题.4．已知数列{}na 满足112a =-，111n na a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ） A ．2-B ．23C ．32D ．3答案：BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】 因为数列满足，， ； ； ；数列是周期为3的数列，且前3项为，，3； 故选：． 【点睛】 本题主要解析：BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】因为数列{}n a 满足112a =-，111n na a +=-，212131()2a ∴==--； 32131a a==-； 4131112a a a ==-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-，23，3；故选：BD ． 【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．5．设数列{}na 的前n 项和为*()nS n N ∈，关于数列{}na ，下列四个命题中正确的是（ ） A ．若1*()n naa n N +∈=，则{}na 既是等差数列又是等比数列B ．若2nS An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}na 是等差数列C ．若()11n nS =--，则{}na 是等比数列D ．若{}na 是等差数列，则nS ，2n n SS -，*32()n nS S n N -∈也成等差数列答案：BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: ,得是等差数列，当时不是等比数列，故错; 选项B: ,,得是等差数列，故对; 选项C: ,,当时也成立，是等比数列解析：BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】 选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n aa +∴-=得{}na 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2nS An Bn =+,12nn a aA -∴-=,得{}na 是等差数列，故对;选项C: ()11n nS =--,112(1)(2)n nn nS Sa n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n na -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}na 是等差数列，由等差数列性质得nS ，2n n SS -，*32()n nS S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.6．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A ．4B ．5C ．7D ．8答案：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为，公差即每一层比上一层多的根数为，设一共放层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差解析：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设一共放()2n n ≥层，则总得根数为：()()111110022n n n d n n S na na --=+=+= 整理得120021a n n=+-， 因为1a *∈N，所以n 为200的因数，()20012n n+-≥且为偶数，验证可知5,8n =满足题意. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题.7．公差不为零的等差数列{}na 满足38aa =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的A ．110S =B ．10nnS S-=（110n ≤≤）C ．当110S >时，5nS S ≥D ．当110S <时，5nS S ≥答案：BC 【分析】设公差d 不为零,由，解得，然后逐项判断. 【详解】 设公差d 不为零, 因为， 所以， 即， 解得， ，故A 错误； ，故B 正确；若，解得，，故C 正确；D 错误； 故选：BC解析：BC 【分析】设公差d 不为零,由38a a =，解得192a d =-，然后逐项判断. 【详解】设公差d 不为零, 因为38a a =， 所以1127a d a d +=+， 即1127a d a d +=--，解得192a d =-， 11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=≠ ⎪⎝⎭，故A 错误； ()()()()()()221101110910,10102222n n n n n n d d na d n n n a n n S S d ----=+=-=-+=-，故B 正确；若11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=> ⎪⎝⎭，解得0d >，()()22510525222n d d d n n S n S =-=--≥，故C 正确；D 错误；8．设{}na 是等差数列，nS是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为nS 的最大值答案：BD 【分析】设等差数列的公差为，依次分析选项即可求解. 【详解】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项： 是等差数列，若，则，故B 正确； 又由得，则有，故A 错误； 而C 选项，，即，可得，解析：BD 【分析】设等差数列{}na 的公差为d ，依次分析选项即可求解.【详解】根据题意，设等差数列{}na 的公差为d ，依次分析选项：{}na 是等差数列，若67SS =，则7670S S a -==，故B 正确；又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误； 而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a+>，又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的.∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为nS 的最大值，故D 正确；故选：BD. 【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题.9．已知等差数列{}na 的前n 项和为nS ()*n N ∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =-B ．120a=-C ．当且仅当10n =时，nS 取最大值D ．当0nS <时，n 的最小值为22答案：AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由解不等式可判断D ． 【详解】等差数列的前n 项和为，公差，由，可解析：AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由0nS <解不等式可判断D ．【详解】等差数列{}na 的前n 项和为nS，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化为1100a d +=，②由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222na n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-， 由22144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由2102nS n n -<=，解得21n >，则n 的最小值为22.故选：AD 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题. 10．下列命题正确的是（ ）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}na的公差0d >，则{}na 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c可能成等差数列D ．若数列{}na是等差数列，则数列{}12++nn aa也是等差数列答案：BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知，必是递增数列；C 选项：时，是等差数列，而a = 1，解析：BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d >，{}na必是递增数列；C 选项：1a b c ===时，1111a b c===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立；D 选项：数列{}na是等差数列公差为d ，所以11112(1)223(31)nn a aa n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；故选：BCD 【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题.11．在下列四个式子确定数列{}na 是等差数列的条件是（ ）A ．na knb =+（k ，b 为常数，*n N ∈）； B ．2n naa d +-=（d 为常数，*n N ∈）；C ．()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ； D ．{}na 的前n 项和21nSn n =++（*n N ∈）.答案：AC 【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列． 【详解】A 选项中（，为常数，），数列的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中（为常数，），不符合从第二项起解析：AC 【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列． 【详解】A 选项中na knb =+（k ，b 为常数，*n N ∈），数列{}na 的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确， B 选项中2n naa d +-=（d 为常数，*n N ∈），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误； C 选项中()*2120n n n aaa n ++-+=∈N ，对于数列{}na 符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；D 选项{}na 的前n 项和21nSn n =++（*n N ∈），不符合2nS An Bn =+，所以{}na 不为等差数列．故错误． 故选：AC 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12．无穷数列{}na 的前n 项和2nSan bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}na 可能为等差数列B ．{}na 可能为等比数列 C ．{}na 中一定存在连续三项构成等差数列 D ．{}na 中一定存在连续三项构成等比数列 答案：ABC 【分析】由可求得的表达式，利用定义判定得出答案． 【详解】 当时，． 当时，． 当时，上式＝． 所以若是等差数列，则所以当时，是等差数列， 时是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列．解析：ABC 【分析】由2nS an bn c =++可求得na 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S abc ==++．当2n ≥时，()()221112nnn a S San bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+．当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}na 是等差数列，则0.ab a bc c +=++∴=所以当0c时，{}n a 是等差数列， 00a cb ==⎧⎨≠⎩时是等比数列；当0c ≠时，{}na 从第二项开始是等差数列． 故选：A B C 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和nS 与通项公式na 的关系，利用nS 求通项公式，属于基础题．二、等差数列多选题13．在等差数列{}na 中，公差0d ≠，前n 项和为nS，则（ ）A ．4619a a a a >B ．130S >，140S <，则78a a >C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12SD ．若2nS n n a =-+，则0a =解析：AD 【分析】对于A ，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于B ，根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<， 进而可得80a <，由此可知78||||a a <，故B 不正确；对于C ，由915S S =得到，12130a a +=，然后分类讨论d 的符号可得答案；对于D ，由nS 求出na 及1a ，根据数列{}na 为等差数列可求得0a =.【详解】对于A ，因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =，且0d ≠，所以24619150a a a a d -=>，所以4619a a a a >，故A 正确；对于B ，因为130S >，140S <，所以77713()1302a a a +=>，即70a >，787814()7()02a a a a +=+<，即780a a +<，因为70a >，所以80a <，所以7878||||0a a a a -=+<，即78||||a a <，故B 不正确；对于C ，因为915S S =，所以101114150a a a a ++++=，所以12133()0a a +=，即12130a a +=，当0d >时，等差数列{}na 递增，则12130,0a a <>，所以n S 中的最小值是12S ，无最大值；当0d <时，等差数列{}na 递减，则12130,0aa ><，所以n S 中的最大值是12S ，无最小值，故C 不正确；对于D ，若2nS n n a =-+，则11a S a ==，2n ≥时，221(1)(1)nnn a S Sn n a n n a -=-=-+--+--22n =-，因为数列{}n a 为等差数列，所以12120a a =⨯-==，故D 正确.故选：AD 【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键.14．题目文件丢失！15．已知数列{}na 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）A ．0,2,nn a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n na -=-+C ．2sin 2n n a π=D ．cos(1)1na n π=-+解析：BD 【分析】根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】解：因为数列{}na 的前4项为2，0，2，0，选项A ：不符合题设；选项B ：01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+=23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；选项C ：，12sin2,2a π==22sin 0,a π==332sin 22a π==-不符合题设； 选项D ：1cos012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.故选：BD. 【点睛】本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题.16．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A ．4 B ．5 C ．7D ．8解析：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设一共放()2n n ≥层，则总得根数为：()()111110022n n n d n n S na na --=+=+=整理得120021a n n=+-， 因为1a *∈N ，所以n 为200的因数，()20012n n+-≥且为偶数， 验证可知5,8n =满足题意. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题. 17．已知数列{}na ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记nS为数列{}na 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）A ．68S a = B ．733S =C ．13520212022a a a aa++++=D ．2222123202020202021a a a a aa++++=解析：BCD 【分析】根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】对A ，821a =，620S =，故A 不正确；对B ，761333S S =+=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020aaa=-，可得13520212022a a a aa +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；对D ，该数列总有21n n n aaa ++=+，2121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018aaaa-，220202020202120202019a aaaa=-，故2222123202020202021a a a a a a+++⋅⋅⋅+=，故D 正确．故选：BCD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n na aa ++=+对所给式子进行变形.18．已知等差数列{}na 的公差不为0，其前n 项和为nS，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ）A ．59823a a S +=B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =解析：BD【分析】设等差数列{}na 的公差为d ，根据条件12a 、8S、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出na 、nS 的表达式，进而可判断各选项的正误.【详解】设等差数列{}na 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+， 因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122nnn d n n dS na --=+=.对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S d -⨯==-，A 选项错误； 对于B 选项，()2229272d S d -⨯==-，()2779772d S d -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误；对于D 选项，50a =，D 选项正确.故选：BD. 【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和nS 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解. 19．定义11222n nna a a H n-+++=为数列{}na 的“优值”.已知某数列{}na 的“优值”2n nH =，前n 项和为nS ，则（ ）A ．数列{}na 为等差数列 B ．数列{}na 为等比数列C ．2020202320202S =D ．2S ，4S ，6S 成等差数列解析：AC 【分析】由题意可知112222n n nna a a H n-+++==，即112222n n na a a n -+++=⋅，则2n ≥时，()()111221212n n n n na n n n ---=⋅--⋅=+⋅，可求解出1na n =+，易知{}na 是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出nS ，判断C ，D 的正误.【详解】 解：由112222n n nna a a H n-+++==，得112222n n na a a n -+++=⋅，①所以2n ≥时，()211212212n n n a a an ---+++=-⋅，②得2n ≥时，()()111221212n n n n na n n n ---=⋅--⋅=+⋅， 即2n ≥时，1na n =+，当1n =时，由①知12a =，满足1na n =+．所以数列{}na 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错，所以()32n n n S +=，所以2020202320202S =，故C 正确．25S =，414S =，627S =，故D 错， 故选：AC ． 【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般.20．数列{}n a 满足11,121n n naa a a +==+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2nS n =C ．数列{}na 的通项公式为21nan =-D ．数列{}na 为递减数列解析：ABD【分析】首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=，从而得到1na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为121n n naa a +=+，11a =， 所以121112n n nna a a a ++==+，即1112n na a+-= 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确.对选项B ，由A 知：112121nn n a数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21212n n n S n +-==，故B 正确. 对选项C ，因为121nn a =-，所以121n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为121n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题.21．设等差数列{}na 的前n 项和为nS，若39S =，47a =，则（ ）A ．2nS n =B ．223nS n n =-C ．21na n =-D ．35na n =-解析：AC 【分析】利用等差数列{}na 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出na 与nS ．【详解】等差数列{}na 的前n 项和为n S ．39S =，47a =，∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得11a =，2d =，1(1)221na n n ∴+-⨯=-=．()21212nn nS n +-==故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．22．已知数列{}na 满足：13a =，当2n ≥时，()21111nn a a-=++-，则关于数列{}na 说法正确的是（ ）A ．28a =B ．数列{}na 为递增数列C ．数列{}na 为周期数列D ．22na n n =+解析：ABD【分析】由已知递推式可得数列{}1na +是首项为112a +=，公差为1的等差数列，结合选项可得结果. 【详解】()21111nn a a-=++-得()21111nn a a-+=++，∴1111nn a a-+=++，即数列{}1na +是首项为112a +=，公差为1的等差数列，∴12(1)11na n n +=+-⨯=+，∴22na n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}na 为递增数列，所以易知ABD 正确， 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.23．无穷数列{}na 的前n 项和2nSan bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}na 可能为等差数列 B ．{}na 可能为等比数列 C ．{}na 中一定存在连续三项构成等差数列 D ．{}na 中一定存在连续三项构成等比数列 解析：ABC 【分析】由2nS an bn c =++可求得na 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S abc ==++．当2n ≥时，()()221112nnn a S San bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+．当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}na 是等差数列，则0.ab a bc c +=++∴=所以当0c时，{}na 是等差数列， 00a cb ==⎧⎨≠⎩时是等比数列；当0c ≠时，{}na 从第二项开始是等差数列．故选：A B C 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和nS 与通项公式na 的关系，利用nS 求通项公式，属于基础题．24．等差数列{}na 的前n 项和为n S ，若90a <，100a >，则下列结论正确的是（ ）A ．109S S >B ．170S <C ．1819S S >D ．190S>解析：ABD 【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出A 正确；根据题意可知数列为递减数列，则190a >，又181919S S a =-，进而可知1516S S >，判断出C 不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知()01179179172171722aaa Sa <+⨯⨯===，()1191019101921919022aaa S a +⨯⨯===>，故BD 正确.【详解】根据题意可知数列为递增数列，90a <，100a >，∴前9项的和最小，故A 正确； ()11791791721717022a a a S a +⨯⨯===<，故B 正确；()1191019101921919022aaa S a +⨯⨯===>，故D 正确；190a >，181919S S a ∴=-， 1819S S ∴<，故C 不正确. 故选：ABD . 【点睛】本题考查等差数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.三、等比数列多选题25．题目文件丢失！ 26．题目文件丢失！27．在数列{}na 中，如果对任意*n N ∈都有211n n n na a k aa+++-=-（k 为常数），则称{}na 为等差比数列，k 称为公差比.下列说法正确的是（ ） A ．等差数列一定是等差比数列 B ．等差比数列的公差比一定不为0 C ．若32n na =-+，则数列{}na是等差比数列D ．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 解析：BCD 【分析】考虑常数列可以判定A 错误，利用反证法判定B 正确，代入等差比数列公式判定CD 正确. 【详解】对于数列{}na ，考虑121,1,1nn n aaa++===，211n n n na aa a+++--无意义，所以A 选项错误；若等差比数列的公差比为0，212110,0n n n n n na aa a a a+++++---==，则1n n a a +-与题目矛盾，所以B 选项说法正确；若32n n a =-+，2113n n n na aa a+++-=-，数列{}n a 是等差比数列，所以C 选项正确； 若等比数列是等差比数列，则11,1n n q a a q -=≠，()()11211111111111n n nn n n n n n na q q a a a q a q q a a a q a q a q q +++--+---===---，所以D 选项正确. 故选：BCD 【点睛】易错点睛：此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意： （1）常数列作为特殊的等差数列公差为0； （2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1.28．已知数列{}na 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中正确的是（ ）A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．13n S n= C ．13(1)n a n n =--D ．{}3nS 是等比数列解析：ABD 【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥代入已知式，可得{}n S 的递推式，变形后可证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，从而可求得nS ，利用nS 求出na ，并确定3n S 的表达式，判断D．【详解】因为1(2)n n n a S S n -=-≥，1130n n n n S S S S ---+=，所以1113nn S S--=，所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，A 正确；公差为3，又11113S a ==，所以133(1)3nn n S =+-=，13n S n =．B 正确； 2n ≥时，由1n n n a S S -=-求得13(1)n a n n =-，但13a =不适合此表达式，因此C 错； 由13n S n =得1311333n n n S +==⨯，∴{}3n S 是等比数列，D 正确． 故选：ABD． 【点睛】本题考查等差数列的证明与通项公式，考查等比数列的判断，解题关键由1(2)n n n a S S n -=-≥，化已知等式为{}n S 的递推关系，变形后根据定义证明等差数列．29．已知数列{}na 前n 项和为nS.且1a p =，122(2)nn S Sp n --=≥（p 为非零常数）测下列结论中正确的是（ ）A ．数列{}na 为等比数列 B ．1p =时，41516S = C ．当12p =时，()*,m n m n a a a m n N +⋅=∈ D ．3856a a a a +=+解析：AC 【分析】 由122(2)nn S Sp n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 错误；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确． 【详解】由122(2)n n S S p n --=≥，得22p a =. 3n ≥时，1222n n SSp ---=，相减可得120nn a a--=，又2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列，故A 正确； 由A 可得1p =时，44111521812S -==-，故B 错误； 由A 可得mnm na a a+⋅=等价为2121122m n m n p p ++⋅=⋅，可得12p =，故C 正确；38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭， 则3856a a a a +>+，即D 不正确；故选：AC. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的递推关系式，考查学生的计算能力，属于中档题．30．设等比数列{}na 的公比为q ，其前n 项和为nS，前n 项积为nT ，并且满足条件11a >，671a a >，67101a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q << B ．8601a a <<C ．nS 的最大值为7SD ．nT 的最大值为6T解析：ABD 【分析】先分析公比取值范围，即可判断A，再根据等比数列性质判断B,最后根据项的性质判断C,D. 【详解】若0q <，则67670,00a a a a <>∴<与671a a >矛盾；若1q ≥，则11a >∴671,1a a >>∴67101a a ->-与67101a a -<-矛盾； 因此01q <<，所以A 正确；667710101a a a a -<∴>>>-，因此2768(,1)0a a a =∈，即B 正确；因为0na >，所以n S 单调递增，即n S 的最大值不为7S ，C 错误；因为当7n ≥时，(0,1)na ∈，当16n ≤≤时，(1,)na ∈+∞，所以nT 的最大值为6T ，即D正确； 故选：ABD 【点睛】本题考查等比数列相关性质，考查综合分析判断能力，属中档题.31．记单调递增的等比数列{}na 的前n 项和为nS，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ） A ．112n n nSS ++-=B ．12n naC ．21n nS =-D ．121n nS -=-解析：BC 【分析】先求得3a ，然后求得q ，进而求得1a ，由此求得1,,nnn na S SS +-，进而判断出正确选项.【详解】由23464a a a =得3334a =，则34a =．设等比数列{}na 的公比为()0q q ≠，由2410a a +=，得4410q q+=，即22520q q -+=，解得2q 或12q =．又因为数列{}na 单调递增，所以2q，所以112810a a +=，解得11a =．所以12n na，()1122112n nnS ⨯-==--，所以()1121212n n n n n S S ++-=---=.故选：BC 【点睛】本题考查等比数列的通项公式、等比数列的性质及前n 项和，属于中档题.32．已知数列{a n }，{b n }均为递增数列，{a n }的前n 项和为S n ，{b n }的前n 项和为T n ．且满足a n +a n +1＝2n ，b n •b n +1＝2n （n ∈N *），则下列说法正确的有（ ） A ．0＜a 1＜1 B ．1＜b 12＜ C ．S 2n ＜T 2nD ．S 2n ≥T 2n解析：ABC 【分析】利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，分组法求出其前2n 项和的表达式，分析，即可得解.【详解】∵数列{a n }为递增数列；∴a 1＜a 2＜a 3；∵a n+a n +1＝2n ，∴122324a a a a +=⎧⎨+=⎩； ∴12123212244a a aa a a a +⎧⎨+=-⎩＞＞ ∴0＜a 1＜1；故A 正确．∴S 2n ＝（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n ﹣1+a 2n ）＝2+6+10+…+2（2n ﹣1）＝2n 2； ∵数列{b n}为递增数列；∴b 1＜b 2＜b 3； ∵b n•b n +1＝2n∴122324b b b b =⎧⎨=⎩； ∴2132b b b b⎧⎨⎩＞＞； ∴1＜b 12＜，故B 正确．∵T 2n ＝b 1+b 2+…+b 2n＝（b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）()()()()121212122122nnn b b b b⋅--=+=+-()()122212221n n b b ≥-=-； ∴对于任意的n ∈N*，S 2n ＜T 2n；故C 正确，D 错误．故选：ABC 【点睛】本题考查了分组法求前n 项和及性质探究，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.33．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}na ，数列(){}nf a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为（ ）A ．()2f x x =B ．()2x f x =C ．()f x x =D ．()ln f x x =解析：AC 【分析】直接利用题目中“保等比数列函数”的性质，代入四个选项一一验证即可. 【详解】设等比数列{}na 的公比为q .对于A ，则2221112()()n n n n n nf a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ，故A 是“保等比数列函数”； 对于B ，则111()22()2n n n na a a n a nf a f a ++-+==≠ 常数，故B 不是“保等比数列函数”； 对于C ，则111()()n n n nnnaf a aq f a aa+++=== ，故C 是“保等比数列函数”；对于D ，则11ln ln ln ln ln ()1()ln ln ln ln n n n n nnnnna a q a q q f a f a a a a a++⋅+====+≠ 常数，故D 不是“保等比数列函数”. 故选：AC. 【点睛】本题考查等比数列的定义，考查推理能力，属于基础题.34．已知等比数列{a n }的公比23q =-，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9＞b 9且a 10＞b 10，则以下结论正确的有（ ） A ．a 9•a 10＜0 B ．a 9＞a 10C ．b 10＞0D ．b 9＞b 10解析：AD 【分析】设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D 正确． 【详解】数列{a n }是公比q 为23-的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列，则8912()3a a =-，91012()3a a =-， ∴a 9•a 1021712()3a =-＜0，故A 正确； ∵a 1正负不确定，故B 错误； ∵a 10正负不确定，∴由a 10＞b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误； 由a 9＞b 9且a 10＞b 10，则a 1（23-）8＞12+8d ，a 1（23-）9＞12+9d ，由于910,a a 异号，因此90a <或100a<故 90b <或100b <，且b 1＝12可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d ＜0， 即有a 9＞b 9＞b 10，故D 正确． 故选：AD 【点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了等比数列的通项公式、求和公式和等差数列的单调性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.35．等差数列{}na 的公差为d ，前n 项和为nS，当首项1a 和d 变化时，3813++a a a 是一个定值，则下列各数也为定值的有( )A ．7aB ．8aC ．15SD ．16S解析：BC 【分析】根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果. 【详解】由等差中项的性质可得381383a a a a ++=为定值，则8a 为定值，()11515815152a aS a +==为定值，但()()11616891682a aS a a +==+不是定值.故选：BC. 【点睛】本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.36．对于数列{}na ，若存在正整数()2k k ≥，使得1kk aa-<，1kk a a+<，则称ka 是数列{}na 的“谷值”，k 是数列{}na 的“谷值点”，在数列{}na 中，若98nan n=+-，下面哪些数不能作为数列{}na 的“谷值点”？（ ）A ．3B ．2C ．7D ．5解析：AD。

2023-2024学年高考数学专项复习——压轴题(附答案)

2023-2024学年高考数学专项复习——压轴题(附答案)

决胜3．已知函数，曲线在处的切线方程为.()2e xf x ax =-()y f x =()()1,1f 1y bx =+(1)求的值：,a b (2)求在上的最值；()f x []0,1(3)证明：当时，.0x >()e 1e ln 0x x x x +--≥4．已知函数，.()()ln 1f x x x a x =-++R a ∈(1)若，求函数的单调区间；1a =()f x (2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；x ()2f x a≤[)2,+∞a (3)若实数满足且，证明.b 21a b <-+1b >()212ln f x b <-5．椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点2222:1(0)x y E a b a b +=>>22()2,1M E 的动直线与椭圆相交于两点.()0,1P l ,A B (1)求椭圆的方程；E (2)求面积的最大值；AOB (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，xOy P Q QA PAQB PB=求出点的坐标；若不存在，请说明理由.Q 6．已知函数，.()21ln 2f x a x x⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()()()2R g x f x ax a =-∈(1)当时，0a =（i ）求曲线在点处的切线方程；()y f x =()()22f ,（ii ）求的单调区间及在区间上的最值；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)若对，恒成立，求a 的取值范围.()1,x ∀∈+∞()0g x <(1)求抛物线的表达式和的值；,t k (2)如图1，连接AC ，AP ，PC ，若△APC 是以(3)如图2，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点的最大值．12CQ PQ +(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l 的方程；22y x =(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线上一点P 到准线l 的距离为6，求点P 的坐218y x =标；(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线的焦点F 的直线依次交抛物线及准()20y ax a =>线l 于点，若求a 的值；、、A B C 24BC BF AF ==，(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C 将一条线段分为两段和，使得其中较长一段是全线段与另一AB AC CB AC AB 段的比例中项，即满足：，后人把这个数称为“黄金分割”，把CB 512AC BC AB AC -==512-点C 称为线段的黄金分割点.如图4所示，抛物线的焦点，准线l 与y 轴AB 214y x=(0,1)F 交于点，E 为线段的黄金分割点，点M 为y 轴左侧的抛物线上一点.当(0,1)H -HF 时，求出的面积值.2MH MF=HME 10．已知双曲线的一条渐近线方程的倾斜角为，焦距为4．2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>60︒(1)求双曲线的标准方程；C (2)A 为双曲线的右顶点，为双曲线上异于点A 的两点，且．C ,M N C AM AN ⊥①证明：直线过定点；MN ②若在双曲线的同一支上，求的面积的最小值．,M N AMN(1)试用解析几何的方法证明：(2)如果将圆分别变为椭圆、双曲线或抛物线，你能得到类似的结论吗？13．对于数集（为给定的正整数），其中，如果{}121,,,,n X x x x =-2n ≥120n x x x <<<< 对任意，都存在，使得，则称X 具有性质P ．,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=(1)若，且集合具有性质P ，求x 的值；102x <<11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(2)若X 具有性质P ，求证：；且若成立，则；1X ∈1n x >11x =(3)若X 具有性质P ，且，求数列的通项公式．2023n x =12,,,n x x x 14．已知，是的导函数，其中．()2e xf x ax =-()f x '()f x R a ∈(1)讨论函数的单调性；()f x '(2)设，与x 轴负半轴的交点为点P ，在点P()()()2e 11x g x f x x ax =+-+-()y g x =()y g x =处的切线方程为．()y h x =①求证：对于任意的实数x ，都有；()()g x h x ≥②若关于x 的方程有两个实数根，且，证明：()()0g x t t =>12,x x 12x x <．()2112e 11e t x x --≤+-15．在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心xOy 1,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =-的轨迹为曲线K ，P 是曲线K 上一点．(1)求曲线K 的方程；(2)过点A 且斜率为k 的直线l 与曲线K 交于B 、C 两点，若且直线OP 与直线交//l OP 1x =于Q 点．求的值；||||AB ACOP OQ ⋅⋅(3)若点D 、E 在y 轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值．PDE △()2211x y -+=PDE △16．已知椭圆C ：，四点中恰有三()222210x y a b a b +=>>()()1234331,1,0,1,1,,1,22P P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点，若直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-证明：l 过定点．18．给定正整数k ，m ，其中，如果有限数列同时满足下列两个条件．则称2m k ≤≤{}n a 为数列．记数列的项数的最小值为．{}n a (,)k m -(,)k m -(,)G k m 条件①：的每一项都属于集合；{}n a {}1,2,,k 条件②：从集合中任取m 个不同的数排成一列，得到的数列都是的子列．{}1,2,,k {}n a 注：从中选取第项、第项、…、第项（）形成的新数列{}n a 1i 2i 5i 125i i i <<<…称为的一个子列．325,,,i i i a a a ⋯{}n a (1)分别判断下面两个数列，是否为数列．并说明理由！(33)-，数列；1:1,2,3,1,2,3,1,2,3A 数列．2:1,2,3,2,1,3,1A (2)求的值；(),2G k (3)求证．234(,)2k k G k k +-≥答案：1．(1)极大值为，无极小值2e (2)证明见解析【分析】（1）求导，根据导函数的符号结合极值的定义即可得解；（2）构造函数，利用导数求出函数的最小值，再()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->证明即可或者转换不等式为，通过构造函数可得证.()min0F x >()112ln 012x x x +->>【详解】（1）的定义域为，，()f x (0,)+∞()2(1ln )f x x '=-+当时，，当时，，10e x <<()0f x '>1e x >()0f x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故在处取得极大值，()f x 1e x =12e e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以的极大值为，无极小值；()f x 2e （2）设，()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->解法一：则，()2ln 1F x x x '=--令，，()()2ln 11h x x x x =-->22()1x h x x x -'=-=当时，，单调递减，当时，，单调递增，12x <<()0h x '<()h x 2x >()0h x '>()h x 又，，，(2)1ln 40h =-<(1)0h =(4)32ln 40h =->所以存在，使得，即．0(2,4)x ∈0()0h x =002ln 10x x --=当时，，即，单调递减，01x x <<()0h x <()0F x '<()F x 当时，，即，单调递增，0x x >()0h x >()0F x '>()F x 所以当时，在处取得极小值，即为最小值，1x >()F x 0x x =故，22000000(11()()12ln )222F x F x x x x x x ≥=+-=-+设，因为，2000122()p x x x =-+0(2,4)x ∈由二次函数的性质得函数在上单调递减，2000122()p x x x =-+(2,4)故，0()(4)0p x p >=所以当时，，即．1x >()0F x >()()0f x g x +>解法二：要证，即证，()0F x >()1()12ln 012p x x x x =+->>因为，所以当时，，单调递减，()124()122x p x x x x -'=-=>()1,4x ∈()0p x '<()p x 当时，，单调递增，()4,x ∞∈+()0p x '>()p x 所以，所以，即.()()4212ln 434ln 20p x p ≥=+-=->()0F x >()()0f x g x +>方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.2．(1)0(2)证明详见解析(3)2a ≤【分析】（1）利用导数求得的最小值.()g x （2）根据（1）的结论得到，利用放缩法以及裂项求和法证得不等式成立.2211ln 1n n ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭（3）由不等式分离参数，利用构造函数法，结合导数求得的取ln (2)10xx x x a x -+--≥a a 值范围.【详解】（1）依题意，，()21ln (,0)2f x x x x t t x =-+∈>R 所以，()()()()ln 1ln 10g x f x x x x x x '==-+=-->，所以在区间上单调递减；()111x g x x x -'=-=()g x ()0,1()()0,g x g x '<在区间上单调递增，()1,+∞()()0,g x g x '>所以当时取得最小值为.1x =()g x ()11ln110g =--=（2）要证明：对任意正整数，都有，(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即证明，22221111ln 1111ln e234n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 即证明，222111ln 1ln 1ln 1123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由（1）得，即()()()10f xg x g '=≥=ln 10,ln 1x x x x --≥≤-令，所以， *211,2,N x n n n =+≥∈222111ln 111n n n ⎛⎫+≤+-= ⎪⎝⎭所以222222111111ln 1ln 1ln 12323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++≤+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，()111111111122312231n n n n <+++=-+-++-⨯⨯-- 111n=-<所以对任意正整数，都有.(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （3）若不等式恒成立，此时，ln (2)10xx x x a x -+--≥0x >则恒成立，ln 21x x x x x a x -+-≤令，()ln 21xx x x x h x x -+-=令，()()()e 10,e 10x x u x x x u x '=--≥=-≥所以在区间上单调递增，()u x[)0,∞+所以，当时等号成立，()0e 010,e 10,e 1x x u x x x ≥--=--≥≥+0x =所以，()ln e ln 21ln 1ln 212x x x x x x x x x x h x x x -+-+-+-=≥=当时等号成立，所以.ln 0,1x x x ==2a ≤利用导数求函数的最值的步骤：求导：对函数进行求导，得到它的导函数.导函数()f x ()f x '表示了原函数在不同点处的斜率或变化率.找出导数为零的点：解方程，找到使得导()0f x '=数为零的点,这些点被称为临界点，可能是函数的极值点（包括最大值和最小值），检查每个临界点以及区间的端点，并确认它们是否对应于函数的最值.3．(1)，1a =e 2b =-(2)；()max e 1f x =-()min 1f x =(3)证明见解析【分析】（1）利用切点和斜率列方程组，由此求得.,a b （2）利用多次求导的方法求得在区间上的单调性，由此求得在上的最值.()f x []0,1()f x []0,1（3）先证明时，，再结合（2）转化为，从0x >()()e 21f x x ≥-+()21e ln e x x x x x+--≥+而证得不等式成立.【详解】（1），()e 2x f x ax'=-∴，解得：，；()()1e 21e 1f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-=+'⎪⎩1a =e 2b =-（2）由（1）得：，()2e xf x x =-，令，则，()e 2x f x x '=-()e 2x h x x=-()e 2x h x '=-是增函数，令解得.()h x ()0h x '=ln 2x =∴，也即在上单调递减，()h x ()f x '()0,ln2()()0,h x h x '<在上单调递增，()ln2,+∞()()0,h x h x '>∴，∴在递增，()()ln 2ln222ln20h f ==->'()f x []0,1∴；；()()max 1e 1f x f ==-()()min 01f x f ==（3）∵，由（2）得过，()01f =()f x ()1,e 1-且在处的切线方程是，()y f x =1x =()e 21y x =-+故可猜测且时，的图象恒在切线的上方，0x >1x ≠()f x ()e 21y x =-+下面证明时，，设，，0x >()()e 21f x x ≥-+()()()e 21g x f x x =---()0x >∴，∴令，()()e 2e 2x g x x =---'()()()e 2e 2x x x g m x '--==-，()e 2x m x '=-由（2）得：在递减，在递增，()g x '()0,ln2()ln2,+∞∵，，，∴，()03e 0g '=->()10g '=0ln21<<()ln20g '<∴存在，使得，()00,1x ∈()0g x '=∴时，，时，，()()00,1,x x ∈⋃+∞()0g x '>()0,l x x ∈()0g x '<故在递增，在递减，在递增.()g x ()00,x ()0,1x ()1,+∞又，∴当且仅当时取“”，()()010g g ==()0g x ≥1x ==()()2e e 210x g x x x =----≥故，，由（2）得：，故，()e e 21x x xx+--≥0x >e 1x x ≥+()ln 1x x ≥+∴，当且仅当时取“=”，∴，1ln x x -≥1x =()e e 21ln 1x x x x x+--≥≥+即，∴，()21ln 1e e x x x x+--≥+()21e ln e x x x x x+--≥+即成立，当且仅当时“=”成立.()1ln 10e e x x x x +---≥1x =求解切线的有关的问题，关键点就是把握住切点和斜率.利用导数研究函数的单调性，如果一次求导无法求得函数的单调性时，可以考虑利用多次求导来进行求解.利用导数证明不等式恒成立，如果无法一步到位的证明，可以先证明一个中间不等式，然后再证得原不等式成立.4．(1)单调增区间为，单调减区间为；()0,1()1,+∞(2)(],2ln 2-∞(3)证明见解析【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可得解；（2）分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最小ln 1x x a x ≤-ln (),21x xg x x x =≥-()g x 值即可得解；（3）由，得，则，要证21a b <-+21a b -<-2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+，即证，即证，构造函数()212ln f x b<-222e112ln bb b --+<-22212ln 0eb b b +-<，证明即可.()()()12ln e x h x x x x =>-()1h x <-【详解】（1）当时，，1a =()ln 1,0f x x x x x =-++>，由，得，由，得，()ln f x x '=-()0f x '>01x <<()0f x '<1x >故的单调增区间为，单调减区间为；()f x ()0,1()1,+∞（2），()ln 2,1x xf x a a x ≤∴≤- 令，ln (),21x x g x x x =≥-则，21ln ()(1)x xg x x --'=-令，则，()ln 1t x x x =-+11()1xt x x x -'=-=由，得，由，得，()0t x '>01x <<()0t x '<1x >故在递增，在递减，，()t x ()0,1()1,+∞max ()(1)0t x t ==，所以，()0t x ∴≤ln 1≤-x x 在上单调递增，，()0,()g x g x '≥∴[)2,+∞()min ()2g x g ∴=，(2)2ln 2a g ∴≤=的取值范围；a ∴(],2ln 2-∞（3），221,1b a b a <-+∴-<- 又，在上递增，11()(e )e a a f x f a --≤=+1e a y a -=+ R a ∈所以，2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+下面证明：，222e 112ln b b b --+<-即证，22212ln 0ebb b +-<令，则，21x b =>12ln 0e x x x +-<即，(2ln )e 1xx x -⋅<-令，则，()()()12ln e xh x x x x =>-()22ln 1e xh x x x x '⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭令，则，()2()2ln 11x x x x x ϕ=-+->()()2221122()101x x x x x x ϕ---=--=<>∴函数在上单调递减，()x ϕ()1,+∞，()(1)0x ϕϕ∴<=在递减，()()0,h x h x '∴<(1,)+∞，()()1e 1h x h ∴<=-<-所以.()212ln f x b <-方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.5．(1)22142x y +=(2)2(3)存在，.()0,2Q 【分析】（1）由离心率及过点列方程组求解.()2,1M,a b （2）设直线为与椭圆方程联立，将表达为的函数，由基本不l 1y kx =+1212AOB S x x =⋅- k 等式求最大值即可.（3）先讨论直线水平与竖直情况，求出，设点关于轴的对称点，证得()0,2Q B y B '三点共线得到成立.,,Q A B 'QA PAQB PB=【详解】（1）根据题意，得，解得，椭圆C 的方程为.2222222211c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩222422a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩22142x y +=（2）依题意，设，直线的斜率显然存在，()()1122,,,A x y B x y l 故设直线为，联立，消去，得，l 1y kx =+221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2212420k x kx ++-=因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立，，l ()0,1P 0∆>12122242,1212k x x x x k k +=-=-++故，()2221212221224212111214414222122AOBk S x x x x x x k k k k ⋅+⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯-=⨯-⨯= ⎪ ⎪+⎝-+-⎝++⎭⎭- 令，所以，当且仅当，即时取得214,1t k t =+≥22222211AOB t S t t t=×=×£++1t =0k =等号，综上可知：面积的最大值为.AOB 2（3）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,C D Q 则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为；||||1||||QC PC QD PD ==QC QD =Q y Q ()00,y 当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,M N Q 则有，即，解得或，||||||||QM PM QN PN =00221212y y --=++01y =02y =所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为；P Q Q ()0,2当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为，l x x l 1y kx =+由（2）知，12122242,1212k x x x x k k --+==++又因为点关于轴的对称点的坐标为，B y B '()22,x y -又，，11111211QA y kx k k x x x --===-22222211QB y kx k k x x x '--===-+--.方法点睛：直线与椭圆0Ax By C ++=时，取得最大值2222220a A b B C +-=MON S 6．(1)（i ）；（322ln 220x y +--=(2)11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故曲线在点处的切线方程为，()y f x =()()22f ,()()32ln 222y x --+=--即；322ln 220x y +--=（ii ），，()21ln 2f x x x =-+()0,x ∈+∞，()211x f x x x x -'=-+=令，解得，令，解得，()0f x ¢>()0,1x ∈()0f x '<()1,x ∈+∞当时，，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()max 112f x f ==-又，，221111ln 1e 2e e 2e f ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭()2211e e ln e e 122f =-+=-+其中，()222211111e 1e 1e 20e 2e 222ef f ⎛⎫⎛⎫-=----+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，()()2min 1e e 12f x f ==-+故的单调递增区间为，单调递减区间为；()f x ()0,1()1,+∞在区间上的最大值为，最小值为；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-21e 12-+（2），()21ln 22xg x a x x a ⎭-+⎛=⎪-⎫ ⎝对，恒成立，()1,x ∀∈+∞21ln 202a x x ax ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭变形为对恒成立，ln 122x a xa x<--⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,x ∀∈+∞令，则，()(),1,ln x h x x x ∈=+∞()21ln xh x x -'=当时，，单调递增，()1,e x ∈()0h x '>()ln xh x x =当时，，单调递减，()e,+x ∈∞()0h x '<()ln xh x x =其中，，当时，恒成立，()10h =()ln e 1e e e h ==1x >()ln 0x h x x =>故画出的图象如下：()ln x h x x =其中恒过点122y xa a ⎛⎫ ⎪⎝=⎭--(2,1A 又，故在()210111h -'==()ln x h x x =又在上，()2,1A 1y x =-()对于2111644y x x =-+-∴点，即()0,6C -6OC =∵2114,14P m m m ⎛-+- ⎝∴点，3,64N m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴，22111316624444PN m m m m m⎛⎫=-+---=-+ ⎪⎝⎭∵轴，PN x ⊥∴，//PN OC ∴，PNQ OCB ∠=∠∴，Rt Rt PQN BOC ∴，PN NQ PQ BC OC OB ==∵，8,6,10OB OC BC ===∴，34,55QN PN PQ PN==∵轴，NE y ⊥∴轴，//NE x ∴，CNE CBO ∴，5544CN EN m ==∴，2215111316922444216CQ PQ m m m m ⎛⎫+=-+=--+⎪⎝⎭当时，取得最大值.132m =12CQ PQ+16916关键点点睛：熟练的掌握三角形相似的判断及性质是解决本题的关键.8．(1)详见解析；(2)①具有性质；理由见解析；②P 1346【分析】（1）当时，先求得集合，由题中所给新定义直接判断即可；10n =A （2）当时，先求得集合， 1010n =A ①根据，任取，其中，可得，{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈0120212020x ≤-≤利用性质的定义加以验证，即可说明集合具有性质；P T P ②设集合有个元素，由（1）可知，任给，，则与中必有个S k x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1不超过，从而得到集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过，然后利1010S T 1010用性质的定义列不等式，由此求得的最大值．P k【详解】（1）当时，，10n ={}1,2,,19,20A = 不具有性质，{}{}|910,11,12,,19,20B x A x =∈>= P 因为对任意不大于的正整数，10m 都可以找到该集合中的两个元素与，使得成立，110b ＝210b m =+12||b b m -=集合具有性质，{}*|31,N C x A x k k =∈=-∈P 因为可取，对于该集合中任一元素，110m =<，（），都有.112231,31c k c k =-=-*12,N k k ∈121231c c k k -=-≠（2）当时，集合，1010n ={}()*1,2,3,,2019,2020,1010N A m m =≤∈ ①若集合具有性质，那么集合一定具有性质．S P {}2021|T x x S =-∈P 首先因为，任取，其中．{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈因为，所以．S A ⊆{}01,2,3,,2020x ∈ 从而，即，所以．0120212020x ≤-≤t A ∈T A ⊆由具有性质，可知存在不大于的正整数，S P 1010m 使得对中的任意一对元素，都有．s 12,s s 12s s m -≠对于上述正整数，从集合中任取一对元素，m {}2021|T x x S =-∈112021t x -＝，其中，则有．222021t x =-12,x x S ∈1212t t s s m --≠＝所以，集合具有性质P ；{}2021|T x x S =-∈②设集合有个元素，由（1）可知，若集合具有性质，S k S P 那么集合一定具有性质．{}2021|T x x S =-∈P 任给，，则与中必有一个不超过．x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1010所以集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过．S T 1010不妨设中有个元素不超过．S 2k t t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭12,,,t b b b 1010由集合具有性质，可知存在正整数．S P 1010m ≤使得对中任意两个元素，都有．S 12,s s 12s s m -≠所以一定有．12,,,t b m b m b m S +++∉ 又，故．100010002000i b m +≤+=121,,,b m b m b m A +++∈ 即集合中至少有个元素不在子集中，A t S 因此，所以，得．20202k k k t +≤+≤20202k k +≤1346k ≤当时，取，{}1,2,,672,673,,1347,,2019,2020S = 673m =则易知对集合中的任意两个元素，都有，即集合具有性质．S 12,y y 12673y y -≠S P 而此时集合S 中有个元素，因此，集合元素个数的最大值为．1346S 1346解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.9．(1)，10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭18y =-(2)或()42,4()42,4-(3)14a =(4)或51-35-【分析】（1）根据焦点和准线方程的定义求解即可；（2）先求出点P 的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可；（3）如图所示，过点B 作轴于D ，过点A 作轴于E ，证明，推BD y ⊥AE y ⊥FDB FHC ∽出，则，点B 的纵坐标为，从而求出，证明16FD a =112OD OF DF a =-=112a 36BD a =，即可求出点A 的坐标为，再把点A 的坐标代入抛物线解析式AEF BDF ∽123,24a ⎛⎫ ⎪⎝+⎭-中求解即可；（4）如图，当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点M 作于N ，则，MN l ⊥MN MF=先证明是等腰直角三角形，得到，设点M 的坐标为，则MNH △NH MN=21,4m m ⎛⎫⎪⎝⎭过点B 作轴于D ，过点BD y ⊥由题意得点F 的坐标为F ⎛ ⎝1FH =当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点∵在中，Rt MNH △sin MHN ∠∴，∴是等腰直角三角形，45MHN ︒=MNH △双曲线方程联立，利用韦达定理及题目条件可得，后由题意可得AM AN ⋅= ()()222131t t m -+=-所过定点坐标；②结合①及图形可得都在左支上，则可得，后由图象可得,M N 213m <，后通过令，结合单调性229113m S m +=-223113m λλ⎛⎫+=≤< ⎪⎝⎭()423313f x x x x ⎛⎫=-≤< ⎪⎝⎭可得答案.【详解】（1）设双曲线的焦距为，C 2c 由题意有解得．2223,24,,ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩1,3,2a b c ===故双曲线的标准方程为；C 2213y x -=（2）①证明：设直线的方程为，点的坐标分别为，MN my x t =+,M N ()()1122,,,x y x y 由（1）可知点A 的坐标为，()1,0联立方程消去后整理为，2213y x my x t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩x ()222316330m y mty t --+-=可得，2121222633,3131mt t y y y y m m -+==--，()212122262223131m t tx x m y y t t m m +=+-=-=--，()()()()222222222121212122223363313131m t m t m t x x my t my t m y y mt y y t t m m m -+=--=-++=-+=----由，()()11111,,1,AM x y AN x y =-=-有()()()1212121212111AM AN x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++，()()()()22222222222222222132331313131313131t t t t t t m t t t m m m m m m -----++-=--++===------由，可得，有或，AM AN ⊥0AM AN ⋅=1t =-2t =当时，直线的方程为，过点，不合题意，舍去；1t =-MN 1my x =-()1,0当时，直线的方程为，过点，符合题意，2t =MN 2my x =+()2,0-②由①，设所过定点为121224,31x x x x m +==-若在双曲线的同一支上，可知,M N 有12240,31x x x m +=<-关键点睛：求直线所过定点常采取先猜后证或类似于本题处理方式，设出直线方程，通过题一方面：由以上分析可知，设椭圆方程为一方面：同理设双曲线方程为()22221y m x a b +-=，()2222221b x a k x m a b -+=化简并整理得()(2222222112ba k x a mk x a m ---+一方面：同理设抛物线方程为(22x p y =，()212x p k x n =+化简并整理得，由韦达定理可得12220pk x x pn --=2,2x x pk x x pn +=⋅=-（2）构造，故转化为等价于“对任()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++()()()123g x g x g x +>意，，恒成立”，换元后得到（），分，和1x 2x 3R x ∈()()11k g x q t t -==+3t ≥1k >1k =三种情况，求出实数k 的取值范围.1k <【详解】（1）由条件①知，当时，有，即在R 上单调递增．12x x <()()12f x f x <()f x 再结合条件②，可知存在唯一的，使得，从而有．0R x ∈()013f x =()093x x f x x --=又上式对成立，所以，R x ∀∈()00093x x f x x --=所以，即．0001393x x x --=0009313x x x ++=设，因为，所以单调递增．()93x x x xϕ=++()9ln 93ln 310x x x ϕ'=++>()x ϕ又，所以．()113ϕ=01x =所以；()931x x f x =++（2）构造函数，()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++由题意“对任意的，，，1x 2x 3R x ∈均存在以，，为三边长的三角形”()()()11113x f x k f x +-()()()22213x f x k f x +-()()()33313x f x k f x +-等价于“对任意，，恒成立”．()()()123g x g x g x +>1x 2x 3R x ∈又，令，()111313x x k g x -=+++1131231333x x x x t ⋅=++≥+=当且仅当时，即时取等号，91x=0x =则（），()()11k g x q t t -==+3t ≥当时，，因为且，1k >()21,3k g x +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()()122423k g x g x +<+≤()3213k g x +<≤所以，解得，223k +≤4k ≤即；14k <≤当时，，满足条件；1k =()()()1231g x g x g x ===当时，，因为且，1k <()2,13k g x +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()()122423k g x g x ++<≤()3213k g x +<≤所以，即．2413k +≤112k -≤<综上，实数k 的取值范围是．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.13．(1)14x =(2)证明过程见解析(3)，()112023k n k x --=1k n≤≤【分析】（1）由题意转化为对于，都存在，使得，其中(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ，选取，，通过分析求出；,,,a b c d X ∈()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==- 14x =（2）取，，推理出中有1个为，则另一个为1，即，()()11,,m a b x x == (),n c d =,c d 1-1X ∈再假设，其中，则，推导出矛盾，得到；1k x =1k n <<101n x x <<<11x =（3）由（2）可得，设，，则有，记11x =()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-，问题转化为X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，得到,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B ，共个数，由对称性可知也有个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -()0,B +∞ ()1n -结合三角形数阵得到，得到数列为首项为1的等比123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 12,,,n x x x 数列，设出公比为，结合求出公比，求出通项公式.q 2023n x =【详解】（1）对任意，都存在，使得，,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=即对于，都存在，使得，其中，(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ,,,a b c d X ∈因为集合具有性质P ，11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭选取，，()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==-则有，12x d -+=假设，则有，解得，这与矛盾，d x =102x x -+=0x =102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =-12x --=12x =-102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =12x -+=12x =102x <<假设，则有，解得，满足，12d =14x -+=14x =102x <<故；14x =（2）取，，()()11,,m a b x x == (),n c d =则，()10c d x +=因为，所以，即异号，120n x x x <<<< 0c d +=,c d 显然中有1个为，则另一个为1，即，,c d 1-1X ∈假设，其中，则，1k x =1k n <<101n x x <<<选取，，则有，()()1,,n m a b x x ==(),n s t =10n sx tx +=则异号，从而之中恰有一个为，,s t ,s t 1-若，则，矛盾，1s =-11n x tx t x =>≥若，则，矛盾，1t =-1n n x sx s x =<≤故假设不成立，所以；11x =（3）若X 具有性质P ，且，20231n x =>由（2）可得，11x =设，，则有，()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-记，则X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B 注意到是集合中唯一的负数，1-X 故，共个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -由对称性可知也有个数，()0,B +∞ ()1n -由于，已经有个数，123421n n n n n nn n n n x x x x x x x x x x x x ----<<<<<< ()1n -对于以下三角形数阵：123421n n n n n n n n n n x x x x x xx x x x x x ----<<<<<< 1111123421n n n n n n n n x x x x xx x x x x --------<<<<< ……3321x x x x <21x x 注意到，123211111n n n x x x x x x x x x x -->>>>> 所以有，123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 从而数列为首项为1的等比数列，设公比为，12,,,n x x x q 由于，故，解得，2023n x =112023n nx q x -==()112023n q -=故数列的通项公式为，.12,,,n x x x ()112023k n k x --=1k n ≤≤集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数或数列相结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.14．(1)答案见解析(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）求出的导数，结合解不等式可得答案；()e 2x f x ax'=-（2）①，利用导数的几何意义求得的表达式，由此构造函数，()y h x =()()()F x g x h x =-利用导数判断其单调性，求其最小值即可证明结论；②设的根为，求得其表达式，()h x t=1x '并利用函数单调性推出，设曲线在点处的切线方程为，设11x x '≤()y g x =()0,0()y t x =的根为，推出，从而，即可证明结论.()t x t=2x '22x x '≥2121x x x x ''-≤-【详解】（1）由题意得，令，则，()e 2x f x ax'=-()e 2x g x ax=-()e 2x g x a'=-当时，，函数在上单调递增；0a ≤()0g x '>()f x 'R 当时，，得，，得，0a >()0g x '>ln 2x a >()0g x '<ln 2x a <所以函数在上单调递减，在上单调递增．()f x '(),ln 2a -∞()ln 2,a +∞（2）①证明：由（1）可知，令，有或，()()()1e 1x g x x =+-()0g x ==1x -0x =故曲线与x 轴负半轴的唯一交点P 为．()y g x =()1,0-曲线在点处的切线方程为，()1,0P -()y h x =则，令，则，()()()11h x g x '=-+()()()F x g x h x =-()()()()11F x g x g x '=--+所以，．()()()()11e 2e x F x g x g x '''=-=+-()10F '-=当时，若，，1x <-(],2x ∈-∞-()0F x '<若，令，则，()2,1x --()1()e 2e x m x x =+-()()e 30xm x x '=+>故在时单调递增，．()F x '()2,1x ∈--()()10F x F ''<-=故，在上单调递减，()0F x '<()F x (),1-∞-当时，由知在时单调递增，1x >-()()e 30x m x x '=+>()F x '()1,x ∈-+∞，在上单调递增，()()10F x F ''>-=()F x ()1,-+∞设曲线在点处的切线方程为()y g x =()0,0令()()()()(1e x T x g x t x x =-=+当时，2x ≤-()()2e x T x x =+-'()()2e xn x x =+-设，∴()()1122,,,B x y C x y 1x 又1211,22AB x AC x =+=+依题意，即，则，0bc <02x >()()220220004482x y c x x b =+---因为，所以，2002y x =0022x b c x -=-所以，()()00000242248122424S b c x x x x x -⋅=-++≥-⋅+=-=-当且仅当，即时上式取等号，00422x x -=-04x =所以面积的最小值为8．PDE △方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．16．(1)2214x y +=(2)证明见解析(3)存在，7,,777⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆C 上．把的坐标代入椭圆234,,P P P 23,P P C ，求出，即可求出椭圆C 的方程；22,a b （2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设，与椭圆方程联立，利():1l y kx t t =+≠用判别式、根与系数的关系，结合已知条件得到，能证明直线l 过定点；21t k =--()2,1-（3）利用点差法求出直线PQ 的斜率，从而可得直线PQ 的方程，与抛物线方程联14PQ k t =立，由，及点G 在椭圆内部，可求得的取值范围，设直线TD 的方程为，0∆>2t 1x my =+与抛物线方程联立，由根与系数的关系及，可求得m 的取值范围，进而可求得直线11DA TB k k =的斜率k 的取值范围．2l【详解】（1）根据椭圆的对称性，两点必在椭圆C 上，34331,,1,22P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又的横坐标为1，4P ∴椭圆必不过，()11,1P ∴三点在椭圆C 上．()234330,1,1,,1,22P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭把代入椭圆C ，()3231,20,1,P P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭得，解得，222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2241a b ⎧=⎨=⎩∴椭圆C 的方程为．2214x y +=（2）证明：①当斜率不存在时，设,，:l x m =()(),,,A A A m y B m y -∵直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-∴，221121A A P A P B y y k k m m m ----+=+==-解得m ＝2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设,，，:l y kx t =+1t ≠()()1122,,,A x y B x y 联立，消去y 整理得，22440y kx tx y =+⎧⎨+-=⎩()222148440k x ktx t +++-=则，，122814kt x x k -+=+21224414t x x k -=+则()()()()222112************111111P A P B x y x y x kx t x kx t y y k k x x x x x x -+-+-++---+=+==,()()()()()()12121222222448218114141144411142t k k kx x t tk t k t k k t t x t x x x +-+=--⋅+-⋅-++===--+-+又，∴，此时，1t ≠21t k =--()()222222644144464161664k t k t k t k ∆=-+-=-+=-故存在k ，使得成立，0∆>∴直线l 的方程为，即21y kx k =--()12y k x +=-∴l 过定点．()2,1-（3）∵点P ，Q 在椭圆上，所以，，2214P P x y +=2214Q Q x y +=两式相减可得，()()()()04PQ P Q P Q P Q y xy x x x y y +-++-=又是线段PQ 的中点，()1,G t -∴，2,2P Q P Q x x x x t+=-=∴直线PQ 的斜率，()144P Q P QP Q P QPQ x x k ty y x y y x +==-=--+∴直线PQ 的方程为，与抛物线方程联立消去x 可得，()114y x t t =++()22164410y ty t -++=由题可知，∴，()2161210t ∆=->2112t >又G 在椭圆内部，可知，∴，故，2114t +<234t <213124t <<设，，由图可知，，221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223434,,,44y y T y D y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2134,y y y y >>∴，()2121216,441y y t y y t +==+当直线TD 的斜率为0时，此时直线TD 与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，设直线TD 的方程为，与抛物线方程联立，消去x 可得，()10x my m =+≠2440y my --=∴，34344,4y y m y y +==-由，可知，即，11//ATB D 11DA TB k k =3142222234214444y y y y y y y y --=--∴，即，1342y y y y +=+1243y y y y -=-∴，()()221212343444y y y y y y y y +-=+-∵，()()()()()222212124161641161210,128y y y y t t t +-=-+=-∈∴，解得，即，()()223434416160,128y y y y m +-=+∈27m <()7,7m ∈-∴直线TD 即的斜率．2l 771,77,k m ⎛⎫⎛⎫=∈-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 思路点睛：处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为），k （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，k (),0F x y =k ,x y （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，()00,x y k 此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，k ,x y ()00,x y ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式k ()k ⋅子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.k 17．(1)1y =-(2)2ln23-+【分析】（1）由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，得到1m =()f x ()f x 和，代入切线方程中即可求解；()1f '()1f （2）得到函数的解析式，对进行求导，利用根的判别式以及韦达定理对()g x ()g x 进行化简，利用换元法，令，，可得，12122()()y x x b x x =--+12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+根据，求出的范围，构造函数，对进行求导，利用导数得到322m ≥t 2(1)()ln 1t h t tt -=-+()h t 的单调性和最值，进而即可求解．()h t 【详解】（1）已知(为常数），函数定义域为，()ln f x x mx =-m (0,)+∞当时，函数，1m =()ln f x x x =-可得，此时，又，11()1x f x x x -'=-=()=01f '()11=f -所以曲线在点处的切线方程为，即.()y f x =()()1,1f (1)0(1)y x --=⨯-1y =-（2）因为，函数定义域为，22()2()2ln 2g x f x x x mx x =+=-+(0,)+∞可得，222(1)()22x mx g x m x x x -+=-+='此时的两根，即为方程的两根，()0g x '=1x 2x 210x mx -+=因为，所以，由韦达定理得，，322m ≥240m ∆=->12x x m +=121=x x 又，所以1212lnx x b x x =-121212121212ln 22()()()()xx y x x b x x x x x x x x =--=--++-，11211211222212()ln 2ln 1x x x x x x x x x x x x --=-=⨯-++令，，所以，12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+因为，整理得，2212()x x m +=22212122x x x x m ++=因为，则，121=x x 2221212122x x x x m x x ++=等式两边同时除以，得，12x x 212212=x x m x x ++可得，因为，212t m t ++=322m ≥所以，，152t t +≥()()2252=2210t t x x -+--≥解得 或，则，12t ≤2t ≥102t <≤不妨设，函数定义域为，2(1)()ln 1t h t t t -=-+10,2⎛⎤⎥⎝⎦可得，22(1)()0(1)t h t t t -'=-<+所以函数在定义域上单调递减，()h t 此时，min 12()()ln223h t h ==-+故的最小值为．12122()()y x x b x x =--+2ln23-+利用导数求解在曲线上某点处的切线方程，关键点有两点，第一是切线的斜率，第二是切点。

2024全国数学高考压轴题(数列选择题)附答案

2024全国数学高考压轴题(数列选择题)附答案

2024全国数学高考压轴题(数列)一、单选题1．若数列{b n }、{c n }均为严格增数列 且对任意正整数n 都存在正整数m 使得b m ∈[c n ，c n+1] 则称数列{b n }为数列{c n }的“M 数列”．已知数列{a n }的前n 项和为S n 则下列选项中为假命题的是（ ）A ．存在等差数列{a n } 使得{a n }是{S n }的“M 数列”B ．存在等比数列{a n } 使得{a n }是{S n }的“M 数列”C ．存在等差数列{a n } 使得{S n }是{a n }的“M 数列”D ．存在等比数列{a n } 使得{S n }是{a n }的“M 数列”2．已知函数f(x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R 记g(x)=f ′(x)．若f(x +3)为奇函数 g(32+2x)为偶函数 且g(0)=−3 g(1)=2 则∑g 2023i=1(i)=（ ） A ．670B ．672C ．674D ．6763．我们知道按照一定顺序排列的数字可以构成数列 那么按照一定顺序排列的函数可以构成函数列.设无穷函数列{f n (x)}（n ∈N +）的通项公式为f n (x)=n 2+2nx+x 2+1(n+x)(n+1)x ∈(0，1) 记E n 为f n (x)的值域 E =U n=1+∞E n 为所有E n 的并集 则E 为（ ）A ．(56，109)B ．(1，109)C ．(56，54)D ．(1，54)4．已知等比数列{x n }的公比q >−12则（ ）A ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 100|<1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 100|<10B ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 100|>1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 100|>10C ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 101|<1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 101|<10D ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 101|>1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 101|>105．已知数列{a n } {b n }满足a 1=2 b 1=12 {a n+1=b n +1an b n+1=a n +1bn,，,n ,∈,N ∗ 则下列选项错误的是（ ） A ．a 2b 2=14B ．a 50⋅b 50<112C ．a 50+b 50=52√a 50⋅b 50D ．|a 50−b 50|≤156．已知数列{a n }满足：a 1=2 a n+1=13(√a n +2a n )(n ∈N ∗)．记数列{a n }的前n 项和为S n 则（ ）A ．12<S 10<14B ．14<S 10<16C ．16<S 10<18D ．18<S 10<207．已知数列 {a n } 满足： a 1=100，a n+1=a n +1an则（ ）A ．√200+10000<a 101<√200.01+10000B ．√200.01+10000<a 101<√200.1+10000C ．√200.1+10000<a 101<√201+10000D ．√201+10000<a 101<√210+100008．已知数列 {a n } 满足 a 1=a(a >0) √a n+1a n =a n +1 给出下列三个结论：①不存在 a 使得数列 {a n } 单调递减；②对任意的a 不等式 a n+2+a n <2a n+1 对所有的 n ∈N ∗ 恒成立；③当 a =1 时 存在常数 C 使得 a n <2n +C 对所有的 n ∈N ∗ 都成立.其中正确的是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③9．已知F 为抛物线y 2=4x 的焦点 点P n (x n ，y n )(n =1，2，3，⋯)在抛物线上.若|P n+1F|−|P n F|=1 则（ ） A ．{x n }是等差数列 B ．{x n }是等比数列 C ．{y n }是等差数列D ．{y n }是等比数列10．已知数列 11 21 12 31 22 13 41 32 23 14… 其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数 并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数 并且从大到小排列 依次类推.此数列第n 项记为 a n 则满足 a n =5 且 n ≥20 的n 的最小值为（ ） A ．47B ．48C ．57D ．5811．已知△A n B n C n (n =1，2，3，⋯)是直角三角形 A n 是直角 内角A n ，B n ，C n 所对的边分别为a n ，b n ，c n 面积为S n ．若b 1=4，c 1=3，b n+12=a n+12+c n 23，c n+12=a n+12+b n 23则下列选项错误的是（ ）A ．{S 2n }是递增数列B ．{S 2n−1}是递减数列C ．数列{b n −c n }存在最大项D ．数列{b n −c n }存在最小项12．已知数列{a n }的各项都是正数 a n+12−a n+1=a n (n ∈N ∗)．记b n =(−1)n−1a n −1数列{b n }的前n 项和为S n 给出下列四个命题：①若数列{a n }各项单调递增 则首项a 1∈(0，2)②若数列{a n }各项单调递减 则首项a 1∈(2，+∞)③若数列{a n }各项单调递增 当a 1=32时 S 2022>2④若数列{a n }各项单调递增 当a 1=23时S2022<−5则以下说法正确的个数（）A．4B．3C．2D．113．已知正项数列{a n}对任意的正整数m、n都有2a m+n≤a2m+a2n则下列结论可能成立的是（）A．a nm+a mn=a mn B．na m+ma n=a m+n C．a m+a n+2=a mn D．2a m⋅a n=a m+n14．古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从A点走向B点要先走完总路程的三分之一再走完剩下路程的三分之一如此下去会产生无限个“剩下的路程” 因此他有无限个“剩下路程的三分之一”要走这个人永远走不到终点．另一方面我们可以从上述第一段“三分之一的路程”开始通过分别计算他在每一个“三分之一距离”上行进的时间并将它们逐个累加不难推理出这个人行进的总时间不会超过一个恒定的实数．记等比数列{a n}的首项a1=13公比为q 前n项和为S n则造成上述悖论的原理是（）A．q=16，∃t∈R，∀n∈N ∗，Sn<t B．q=13，∃t∈R，∀n∈N∗，S n<tC．q=12，∃t∈R，∀n∈N ∗，Sn<t D．q=23，∃t∈R，∀n∈N∗，S n<t15．已知sinx，siny，sinz依次组成严格递增的等差数列则下列结论错误的是（）A．tanx，tany，tanz依次可组成等差数列B．cosx，cosy，cosz依次可组成等差数列C．cosx，cosz，cosy依次可组成等差数列D．cosz，cosx，cosy依次可组成等差数列16．记U={1，2，⋯，100}．对数列{a n}(n∈N∗)和U的子集T 若T=∅定义S T=0；若T={t1，t2，⋯，t k}定义S T=a t1+a t2+⋯+a tk．则以下结论正确的是（）A．若{a n}(n∈N∗)满足a n=2n−1，T={1，2，4，8}则S T=15B．若{a n}(n∈N∗)满足a n=2n−1则对任意正整数k(1≤k≤100)，T⊆{1，2，⋯，k}，S T< a kC．若{a n}(n∈N∗)满足a n=3n−1则对任意正整数k(1≤k≤100)，T⊆{1，2，⋯，k}，S T≥a k+1D ．若{a n }(n ∈N ∗)满足a n =3n−1 且C ⊆U ，D ⊆U ，S C ≥S D 则S C +S C∩D ≥2S D17．已知数列 {a n }、{b n }、{c n } 满足 a 1=b 1=c 1=1，c n =a n+1−a n ，c n+2=bn+1b n ⋅c n (n ∈N ∗)，S n =1b 2+1b 3+⋯+1b n （n ≥2），T n =1a 3−3+1a 4−4+⋯+1a n −n （n ≥3） 则下列有可能成立的是（ ）A ．若 {a n } 为等比数列 则 a 20222>b 2022B ．若 {c n } 为递增的等差数列 则 S 2022<T 2022C ．若 {a n } 为等比数列 则 a 20222<b 2022D ．若 {c n } 为递增的等差数列 则 S 2022>T 202218．已知数列{a n }满足a 1=1 a n =a n−1+4(√a n−1+1√an−1)(n ∈N ∗，n ≥2) S n 为数列{1a n }的前n 项和 则（ ） A ．73<S 2022<83B ．2<S 2022<73C ．53<S 2022<2 D ．1<S 2022<5319．已知数列{a n }满足a n ⋅a n+1⋅a n+2=−1(n ∈N ∗)，a 1=−3 若{a n }的前n 项积的最大值为3 则a 2的取值范围为（ ） A ．[−1，0)∪(0，1] B ．[−1，0)C ．(0，1]D ．(−∞，−1)∪(1，+∞)20．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n (a n +1)2=4S n 记b n =S n ⋅sin nπ2+S n+1⋅sin (n+1)π2若数列{b n }的前n 项和为T n 则T 100=（ ） A ．-400B ．-200C ．200D ．40021．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和 a 2=−7 S 5=2a 1 当|S n |取得最小值时 n =（ ）A ．10B ．9C ．8D ．722．已知数列{a n }中 a 2+a 4+a 6=285 na n =(n −1)a n+1+101(n ∈N ∗) 当数列{a n a n+1a n+2}(n ∈N ∗)的前n 项和取得最大值时 n 的值为（ ） A ．53B ．49C ．49或53D ．49或5123．定义在R 上的函数序列{f n (x)}满足f n (x)<1nf n ′(x)（f n ′(x)为f n (x)的导函数） 且∀x ∈N ∗ 都有f n (0)=n ．若存在x 0>0 使得数列{f n (x 0)}是首项和公比均为q 的等比数列 则下列关系式一定成立的是（ ）．A ．0<q <2√2e x 0B ．0<q <√33e x 0C ．q >2√2e x 0D ．q >√33e x 024．已知数列{a n }的前n 项和为S n 满足a 1=1 a 2=2 a n =a n−1⋅a n+1(n ≥2) 则（ ）A ．a 1：a 2：a 3=a 6：a 7：a 8B ．a n ：a n+1：a n+2=1：2：2C ．S 6 S 12 S 18成等差数列D ．S 6n S 12n S 18n 成等比数列25．已知S n 为数列{a n }的前n 项和 且a 1=1 a n+1+a n =3×2n 则S 100=（ ）A ．2100−3B ．2100−2C ．2101−3D ．2101−226．已知 {a n } 为等比数列 {a n } 的前n 项和为 S n 前n 项积为 T n 则下列选项中正确的是（ ）A ．若 S 2022>S 2021 则数列 {a n } 单调递增B ．若 T 2022>T 2021 则数列 {a n } 单调递增C ．若数列 {S n } 单调递增 则 a 2022≥a 2021D ．若数列 {T n } 单调递增 则 a 2022≥a 2021二、多选题27．“冰雹猜想”也称为“角谷猜想” 是指对于任意一个正整数x 如果x 是奇数㩆乘以3再加1 如果x 是偶数就除以2 这样经过若干次操作后的结果必为1 犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想” 提出了如下问题：设k ∈N ∗ 各项均为正整数的数列{a n }满足a 1=1 a n+1={a n2，a n 为偶数，a n +k ，a n 为奇数，则（ ）A ．当k =5时 a 5=4B ．当n >5时 a n ≠1C ．当k 为奇数时 a n ≤2kD ．当k 为偶数时 {a n }是递增数列28．已知数列{a n } a 2=12且满足a n+1a n 2=a n −a n+1 n ∈N ∗ 则（ ） A ．a 4−a 1=1929B ．a n 的最大值为1C ．a n+1≥1n+1D ．√a 1+√a 2+√a 3+⋅⋅⋅+√a 35>1029．已知数列{a n }的前n 项和为S n a 1=1 且4a n ⋅a n+1=a n −3a n+1（n =1 2 …） 则（ ）A ．3a n+1<a nB ．a 5=1243C ．ln(1an )<n +1D ．1≤S n <171430．如图 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1顶点处有一质点Q 点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动 且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q 的初始位置位于点A 处 记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为P n 则下列说法正确的是（ ）A ．P 2=59B ．P n+1=23P n +13C ．点Q 移动4次后恰好位于点C 1的概率为0D ．点Q 移动10次后仍在底面ABCD 上的概率为12(13)10+1231．已知数列{a n } {b n } 有a n+1=a n −b n b n+1=b n −a n n ∈N ∗ 则（ ）A ．若存在m >1 a m =b m 则a 1=b 1B ．若a 1≠b 1 则存在大于2的正整数n 使得a n =0C ．若a 1=a a 2=b 且a ≠b 则b 2022=−b ×22020D ．若a 1=−1 a 2=−3 则关于x 的方程2a 3+(2a 3+1)cosx +2cos2x +cos3x =0的所有实数根可构成一个等差数列32．已知△A n B n C n (n =1，2，3，⋯)是直角三角形 A n 是直角 内角A n 、B n 、C n 所对的边分别为a n 、b n 、c n 面积为S n 若b 1=4 c 1=3 b n+12=a n+12+c n 23 c n+12=a n+12+b n 23则（ ） A ．{S 2n }是递增数列 B ．{S 2n−1}是递减数列 C ．{b n −c n }存在最大项D ．{b n −c n }存在最小项33．已知S n 是数列{a n }的前n 项和 且S n+1=−S n +n 2 则下列选项中正确的是（ ）.A ．a n +a n+1=2n −1（n ≥2）B ．a n+2−a n =2C ．若a 1=0 则S 100=4950D ．若数列{a n }单调递增 则a 1的取值范围是(−14，13)三、填空题34．已知n ∈N ∗ 将数列{2n −1}与数列{n 2−1}的公共项从小到大排列得到新数列{a n } 则1a 1+1a 2+⋯+1a 10= .35．若函数f(x)的定义域为(0，+∞) 且f(x)+f(y)=f(xy) f(a n )=n +f(n) 则∑f ni=1(a i i )= ．36．在数列{a n }中 a 1=1 a n+1=a n +1an（n∈N ∗） 若t ∈Z 则当|a 7−t|取得最小值时 整数t 的值为 .37．已知函数f(x)满足f(x −2)=f(x +2)，0≤x <4时 f(x)=√4−(x −2)2 g(x)=f(x)−k n x(n ∈N ∗，k n >0)．若函数g(x)的图像与x 轴恰好有2n +1个不同的交点 则k 12+k 22+⋅⋅⋅+k n 2= ．38．已知复数z =1+i 对于数列{a n } 定义P n =a 1+2a 2+⋅⋅⋅+2n−1a n n为{a n }的“优值”．若某数列{a n}的“优值”P n =|z|2n 则数列{a n }的通项公式a n = ；若不等式a n 2−a n +4≥(−1)nkn 对于∀n ∈N ∗恒成立 则k 的取值范围是 ．39．数列{a n }是公比为q(q ≠1)的等比数列 S n 为其前n 项和. 已知a 1⋅a 3=16 S3q=12 给出下列四个结论： ①q <0 ；②若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最大 则m 的一个可能值是3； ③若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最大 则m 的一个可能值是4； ④若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最小 则m 的值只能是2． 其中所有正确结论的序号是 .40．如图 某荷塘里浮萍的面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）满足关系式：y =a t lna （a 为常数） 记y =f(t)（t ≥0）．给出下列四个结论：①设a n=f(n)(n∈N∗)则数列{a n}是等比数列；②存在唯一的实数t0∈(1，2)使得f(2)−f(1)=f′(t0)成立其中f′(t)是f(t)的导函数；③常数a∈(1，2)；④记浮萍蔓延到2m23m26m2所经过的时间分别为t1t2t3则t1+t2>t3．其中所有正确结论的序号是．41．在现实世界很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列{a n}{b n}分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度数列模型：a n+1=2a n+b n，b n+1=a n+2b n(n=1，2⋯)描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足a1>b1则在该模型中关于两组信息给出如下结论：①∀n∈N∗，a n>b n；②∀n∈N∗，a n+1>a n，b n+1>b n；③∃k∈N∗使得当n>k时总有|a nb n−1|<10−10④∃k∈N∗使得当n>k时总有|a n+1a n−2|<10−10．其中所有正确结论的序号是答案解析部分1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】A9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】B12．【答案】B13．【答案】D14．【答案】D15．【答案】B16．【答案】D17．【答案】B18．【答案】D19．【答案】A20．【答案】C21．【答案】C22．【答案】D23．【答案】D24．【答案】C25．【答案】D26．【答案】D27．【答案】A,C,D28．【答案】B,C,D29．【答案】A,D30．【答案】A,C,D 31．【答案】A,C,D 32．【答案】A,C,D 33．【答案】A,C 34．【答案】102135．【答案】n(n+1)236．【答案】4 37．【答案】n 4(n+1) 38．【答案】n+1；[−163，5] 39．【答案】①②③ 40．【答案】①②④ 41．【答案】①②③。

2024届高考数学专项练习压轴题型03 函数与导数经典常考压轴小题(解析版)

2024届高考数学专项练习压轴题型03 函数与导数经典常考压轴小题(解析版)

压轴题型03 函数与导数经典常考压轴小题命题预测有关函数与导数常见经典压轴小题的高考试题，考查重点是零点、不等式、恒成立等问题，通常与函数性质、解析式、图像等均相关，需要考生具有逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养. 同时，对于实际问题，需要考生具有数据分析、数学建模核心素养.预计预测2024年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为：（1）导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小．（2）应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题． 高频考法（1）函数嵌套、零点嵌套问题 （2）零点问题（3）导数的同构思想 （4）双重最值问题 （5）构造函数解不等式01函数嵌套、零点嵌套问题解决嵌套函数零点个数的一般步骤(1)换元解套,转化为()t g x =与()y f t =的零点.(2)依次解方程,令()0f t =,求t ,代入()t g x =求出x 的值或判断图象交点个数.【典例1-1】（上海市浦东新区上海市实验学校2024届高三学期第三次月考数学试题）已知函数()f x 是2024届高考数学专项练习定义在R 的偶函数，当0x ≥时，()()3πcos 1,012211,12xx x f x x ⎧⎡⎤−≤≤⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若函数()()()()()25566g x f x a f x a a ⎡⎤=−++∈⎣⎦R 有且仅有6个不同的零点，则实数a 取值范围 .【答案】(]30,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】因为()()()()()()25566560g x f x a f x a f x f x a =−++=−⋅−=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 由()0g x =，可得()65f x =或()f x a =， 由函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()3πsin ,012211,12xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩， 当01x ≤≤时，ππ022x ≤≤，如下图所示：因为1112x⎛⎫+> ⎪⎝⎭，由图可知，直线65y =与函数()f x 的图象有4个交点，所以，直线y a =与函数()f x 的图象有2个交点，由图可得(]30,12a ⎧⎫∈⋃⎨⎬⎩⎭.综上所述，实数a 的取值范围是(]30,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案为：(]30,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【典例1-2】（安徽省合肥市六校联盟2023-2024学年高三学期期中联考数学试题）已知函数()42,13,1x x f x x x ⎧−<⎪=⎨−≥⎪⎩，()22g x x ax =++，若函数()()y g f x =有6个零点，则实数a 的取值范围为 .【答案】(3,2−−【解析】画出()42,13,1x x f x x x ⎧−<⎪=⎨−≥⎪⎩的图象如下：因为()22g x x ax =++最多两个零点，即当280a ∆=−>，2a >22a <−时，()22g x x ax =++有两个不等零点12,t t ，要想()()y g f x =有六个零点，结合函数图象，要()1f x t =和()2f x t =分别有3个零点， 则()12,0,2t t ∈且12t t ≠，即()22g x x ax =++的两个不等零点()12,0,2t t ∈，则要满足()()2Δ800222000a a g g ⎧=−>⎪⎪<−<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，解得322a −<<− 故实数a 的取值范围为(3,2−− 故答案为：(3,22−−【变式1-1】（海南省琼中黎族苗族自治县琼中中学2024届高三高考全真模拟卷（二）数学试题）已知函数()23,369,3x x f x x x x ⎧−≤=⎨−+−>⎩，若函数()()()22g x f x af x ⎡⎤=−+⎣⎦有6个零点，则a 的值可能为（ ） A ．1− B ．2−C ．3−D ．4−【答案】C【解析】由题可得，()()330f f =−=，()f x 在()(),0,3,−∞+∞上单调递减，在()0,3上单调递增，则据此可作出函数()f x 大致图象如图所示，令()f x t =，则由题意可得220t at −+=有2个不同的实数解1t ，2t ，且()12,3,0t t ∈−，则()()2121212Δ80601122203331130a t t a a t t t t a ⎧=−>⎪−<+=<⎪⇒−<<−⎨=>⎪⎪++=+>⎩3a =−满足题意. 故选：C ．【变式1-2】（河南省部分重点高中2023-2024学年高三阶段性考试（四）数学试题）已知函数()2ln ,0,43,0,x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩若函数()()()241g x f x f x m =−++⎡⎤⎣⎦恰有8个零点，则m 的最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】设()f x t =，因为()g x 有8个零点，所以方程()f x t =有4个不同的实根，结合()f x 的图像可得2410t t m −++=在(]0,3内有4个不同的实根，即214m t t +=−+在(]0,3内有2个不同的实根，可知314m ≤+<，即可求得结果．画出函数()2ln ,043,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，，的图像如图所示，设()f x t =，由()()()2410g x f x f x m =−++=⎡⎤⎣⎦，得2410t t m −++=.因为()g x 有8个零点，所以方程()f x t =有4个不同的实根，结合()f x 的图像可得在(]03t ∈,内有4个不同的实根.所以方程2410t t m −++=必有两个不等的实数根，即214m t t +=−+在(]03t ∈,内有2个不同的实根，结合图像由图可知，314m ≤+<，故23m ≤<，即m 的最小值是2. 故选：B02 零点问题（1）直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决；（3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 【典例2-1】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数()()()lg ,011,022,2x x f x x x f x x ⎧−<⎪=−−≤<⎨⎪−≥⎩的图象在区间(),(0)t t t −>内恰好有5对关于y 轴对称的点，则t 的值可以是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】令()()11,022,2x x g x g x x ⎧−−≤<⎪=⎨−≥⎪⎩，()lg m x x =，因为()lg m x x =与()lg y x =−的图象关于y 轴对称，因为函数()()()lg ,011,022,2x x f x x x f x x ⎧−<⎪=−−≤<⎨⎪−≥⎩的图象在区间(),(0)t t t −>内恰好有5对关于y 轴对称的点，所以问题转化为()lg m x x =与()()11,022,2x x g x g x x ⎧−−≤<⎪=⎨−≥⎪⎩的图象在()0,(0)t t >内有5个不同的交点，在同一平面直角坐标系中画出()lg m x x =与()()11,022,2x x g x g x x ⎧−−≤<⎪=⎨−≥⎪⎩的图象如下所示：因为()10lg101m ==，当10x >时()1m x >，()()()()()()13579111g g g g g g ======， 结合图象及选项可得t 的值可以是6，其他值均不符合要求,. 故选：C【典例2-2】（2024·四川成都·三模）若函数()2e xf x kx =−大于0的零点有且只有一个，则实数k 的值为（ ） A ．4 B ．2e C ．e 2D ．2e 4【答案】D【解析】函数()f x 有且仅有一个正零点，即方程2ex k x=有且仅有一个正根，令()2e xg x x =，则()()3e 2x x g x x ='−，当0x <时，()0g x '>，当02x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，即函数()g x 在(),0∞−和()2,∞+上单调递增，在()0,2上单调递减，且()2e24g =，0x →时，()g x ∞→+，x →−∞时，()0g x →，x →+∞时，()g x ∞→+，可作出图象如下，方程2e x k x =有且仅有一个正根，所以2e 4k =.故选：D.【变式2-1】（2024·北京海淀·一模）已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（ ） A ．1,1 B ．1,2 C ．2,1 D ．2,2【答案】B【解析】令()0f x =，即0x ≤时，30x =，解得0x =， 0x >时，()lg 10x +=，无解，故1m =，设过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的切点为()00,x y ，当0x <时，()23f x x '=，则有()320003y x x x x −=−，有()3200023x x x −=−，整理可得301x =−，即01x =−，即当00x <时，有一条切线，当0x >时，()lg e1f x x '=+，则有()()000lg 1e lg 1y x x x x −=−++， 有()()000l 2g elg 11x x x −+=−+，整理可得()()()000221lg 10lg e x x x ++−++=， 令()()()()()2l 0g 2l 1e 1g g x x x x x =++−++>， 则()()2lg 1g x x '=−+， 令()0g x '=，可得99x =，故当()0,99x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,99上单调递增， 当()99,x ∈+∞时，()0g x '<，即()g x 在()99,∞+上单调递减， 由()()992lg e 99220099lg e 0g =+⨯+−=>，()02020g =−=>，故()g x 在()0,99x ∈上没有零点， 又()()9992lg e 999210003999lg e 10000g =+⨯+−⨯=−<， 故()g x 在()99,999上必有唯一零点， 即当00x >时，亦可有一条切线符合要求， 故2n =.故选：B.【变式2-2】（2024·甘肃武威·模拟预测）已知函数()4ln 12f x ax a x ⎛⎫=−−+ ⎪⎝⎭有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．(),1−∞−D ．(),2−∞−【答案】C【解析】将()y f x =的图象向左平移2个单位长度，可得函数()()22ln 2xg x f x ax x−=+=−+的图象， 所以原题转化为“函数()2ln2xg x ax x−=−+有3个零点”， 即研究直线y ax =与函数()2ln2xh x x−=+图象交点的个数问题． 因为()h x 的定义域为()2,2−，且()()22ln ln ln1022x xh x h x x x+−−+=+==−+， 所以()h x 为奇函数．因为()22222440222(2)4x x x h x x x x x x '+−+−⎛⎫=⋅=⨯=< ⎪−+−+−⎝⎭'， 所以()h x 在区间()2,2−上为减函数，且曲线()y h x =在点()0,0处的切线方程为y x =−． 当0x =时，2112xx x−+⨯=−+； 当02x <<时，2ln2xx x−<−+； 当20x −<<的，2ln2xx x−>−+， 作出()h x 的图象．如图：由图知：当1a <−时，直线y ax =与函数()2ln2xh x x−=+的图象有3个交点．故实数a 的取值范围是(),1∞−−． 故选：C.03 导数的同构思想同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程()0f a =和()0f b =呈现同构特征，则,a b 可视为方程()0f x =的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。

高考数学压轴题100题汇总(含答案)

高考数学压轴题100题汇总(含答案)

高考数学压轴题100题汇总(含答案)1. 设函数f(x) = x^3 3x + 1，求f(x)的极值点和极值。

答案：f(x)的极值点为x = 1和x = 1，极值分别为f(1) = 1和f(1) = 3。

2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn = n^2 + n，求该数列的通项公式。

答案：an = 2n + 1。

3. 已知三角形ABC中，AB = AC = 5，BC = 8，求三角形ABC的面积。

答案：三角形ABC的面积为12。

4. 设直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 1相切，求k和b的值。

答案：k = ±√3/3，b = ±√6/3。

5. 已知函数f(x) = log2(x^2 + 1)，求f(x)的导数。

答案：f'(x) = 2x/(x^2 + 1)ln2。

6. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (1, 4)，求向量a和向量b的夹角。

答案：向量a和向量b的夹角为arccos(1/√5)。

7. 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，求矩阵A的逆矩阵。

答案：矩阵A的逆矩阵为[4 2; 3 1]。

8. 已知函数f(x) = x^3 6x^2 + 9x + 1，求f(x)的零点。

答案：f(x)的零点为x = 1和x = 3。

9. 已知函数f(x) = sin(x) cos(x)，求f(x)在区间[0, π/2]上的最大值。

答案：f(x)在区间[0, π/2]上的最大值为√2。

10. 已知函数f(x) = x^2 + 4x + 4，求f(x)的顶点坐标。

答案：f(x)的顶点坐标为(2, 0)。

高考数学压轴题100题汇总(含答案)11. 已知函数f(x) = e^x 2x，求f(x)的导数。

答案：f'(x) = e^x 2。

12. 已知函数f(x) = x^2 4x + 4，求f(x)的极值点和极值。

答案：f(x)的极值点为x = 2，极值为f(2) = 0。

压轴题02 数列压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)

压轴题02 数列压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)

压轴题02数列压轴题题型/考向一：多选、填空综合题型/考向二：数列通项公式与数列求和题型/考向三：数列与其他知识综合一、等差数列、等比数列的基本公式1.等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；2.等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1.3.等差数列的求和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d ；4.等比数列的求和公式：S na 1－a n q1－q ，q ≠1，二、等差数列、等比数列的性质1.通项性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则对于等差数列，有a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k ，对于等比数列，有a m a n ＝a p a q ＝a 2k .2.前n 项和的性质(m ，n ∈N *)：对于等差数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列；对于等比数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列(q ＝－1且m 为偶数情况除外).三、数列求和的常用方法热点一分组求和与并项求和1.若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，或c nn ，n 为奇数，n ，n 为偶数，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.2.若数列的通项公式中有(－1)n 等特征，根据正负号分组求和.热点二裂项相消法求和裂项常见形式：(1)分母两项的差等于常数1（2n －1）（2n ＋1）＝1n （n ＋k ）＝(2)分母两项的差与分子存在一定关系2n （2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1；n ＋1n 2（n ＋2）2＝141n 2－1（n ＋2）2.(3)分母含无理式1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .热点三错位相减法求和如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，那么求数列{a n ·b n }的前n 项和S n 时，可采用错位相减法.用其法求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)在写“S n ”和“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“S n －qS n ”的表达式.○热○点○题○型一多选题综合一、多选题1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12321a a a ++=，525S =，下列说法正确的是（）A ．23n a n =+B ．210n S n n=-+C ．{}n S 的最大值为5S D ．11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1099-【答案】BCD【详解】根据等差中项，1232213a a a a ++==，解得27a =，()()512345315243255S a a a a a a a a a a a ==++++=++++=，解得35a =，设等差数列{}n a 的公差为d ，则322d a a =-=-，于是等差数列的通项公式为：2(2)112n a a n d n =+-=-，故A 选项错误；2．数列n 是等差数列，8，则下列说法正确的是（）A ．36a a +为定值B ．若1272a =，则5n =时n S 最大C ．若12d =，使n S 为负值的n 值有3个D ．若46S =，则1212S =111的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动n次后还在底面ABC的概率为n P，则下列说法正确的是（）A．11 2P=B．213 25P=C．12nP⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列D．11111052nnP-⎛⎫=-⨯-+⎪⎝⎭4．已知函数()f x 的定义域为()1,1-，对任意的(),1,1x y ∈-，都有()()1f x f y f xy --= ⎪-⎝⎭，且112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当()0,1x ∈时，()0f x >，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()00f =C ．当A ，B 是锐角ABC 的内角时，()()cos sin f B f A <D ．当0n x >，且21112n n n x x x ++=，112x =时，()12n n f x -=5．已知定义在[]0,1上的函数()0,010,1,1,,,,f x p p x p q q q q ⎧==⎪=⎛⎫⎨= ⎪⎪⎝⎭⎩或或为内的无理数为正整数为既约真分数该函数称为黎曼函数．若数列{}n a 满足1n n a f n ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．0n a >B ．1n na a +>C ．11nn i a =<∑D ．1112nn n i a a +=<∑二、填空题6．艾萨克牛顿是英国皇家学会会长，著名物理学家，他在数学上也有杰出贡献.牛顿用“作切线”的方法求函数()f x 零点时给出一个数列{}()()1:n n n n n f x x x x f x +-'=，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数()2(0)f x ax bx c a =++>有两个零点1和2，数列{}n x 为牛顿数列.设2ln 1nn nx a x -=-，已知11a =，2n x >，{}n a 的前n 项和为n S ，则2023S =__________.【答案】202321-##202312-+7．对任意*n ∈N ，任意[1,2]a ∈，都有2112e 3ax x a n ⎛⎫+≤-+- ⎪⎝⎭恒成立（注：e 为自然对数的底数），则实数x 的取值范围是__________．123新编辑，编辑新序列为*234123,,,a a a A a a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，它的第n 项为1n na a +，若序列()**A 的所有项都是2，且41a =，532a =，则1a =__________．9．黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想涉及到很多领域的应用，有些数学家将黎曼猜想的攻坚之路趣称为：“各大行长躲在银行保险柜前瑟瑟发抖，不少黑客则潜伏敲着键盘蓄势待发”.黎曼猜想研究的是无穷级数()1111123ss s s n s n ξ∞-===+++∑ ，我们经常从无穷级数的部分和1111123s s s sn ++++ 入手.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则12400111S S S ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦ ______（其中[]x 表示不超过x 的最大整数）.10．南宋数学家杨辉善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题，在他的专著《详解九章算法·商功》中给出了著名的三角垛公式()()()()()1112123123126n n n n ++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=++，则数列{}22n n +的前n项和为____________．○热○点○题○型二数列通项公式与数列求和11．已知数列{}n a 满足1322a a a +=，13,2,n n na n a a n +⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，数列{}n c 满足21n n c a -=．(1)求数列{}n c 和{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S ．【详解】（1）13,2,n n n a n a a n +⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，得213213,232a a a a a ==+=+，因为1322a a a +=，即111326a a a ++=，解得11a =，由21n n c a -=，得111211,n n c a c a ++===，12．在①n b =②11n n n b a a +=；③2nn n b a =，这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解答问题．已知数列{}n a 的前n 项和23322n n S na n n =-+．(1)证明：数列{}n a 是等差数列；(2)若12a =，设___________，求数列{}n b 的前n 项和n T ．13．在数列n a 中，19a =，2313912n n n n a n a ++⋅+=+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设{}n a 的前n 项和为n S ，证明：525443n nn S +<-⋅.○热○点○题○型三数列与其他知识综合14．已知函数()y f x =是定义在()(),00,∞-+∞U 上的偶函数，当0x >时，()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，()n a f n =（n 为正整数）.(1)当20x -≤<时，求()y f x =的解析式；(2)若函数()()g x f x m =-存在零点，且零点个数不超过10，求实数m 的取值范围；(3)求数列{}n a 的前n 项和为,n n S S 是否存在极限？若存在，求出这个极限；若不存在，请说明理由【详解】（1）当20x -≤<时，()02,x y f x <-≤= 是偶函数，()()11|2121x x f x f x --+∴=-=-=-∣（2）0x >，当()222N,1k x k k k -<≤∈≥时，()0212x k <--≤，()()()()()()2321111112222322211212122x k k k f x f x f x f x f x k -+--∴=-=-⨯=-⨯=⎡⎤=--=-⎣⎦ ，∴当02x <≤时，()[]1|210,1x f x -=-∈∣，当24x <≤时，()()()|31112210,222x f x f x -⎡⎤=-=-∈⎢⎥⎣⎦∣，当24x <≤时，()()()521114210,244x f x f x -⎡⎤=-=-∈⎢⎥⎣⎦，图像如图所示：若1m =，函数()()g x f x m =-有1个零点2x =；若112m <<，函数()()g x f x m =-有2个零点；若12m =，函数()()g x f x m =-有3个零点；15．若无穷数列n 的各项均为整数．且对于,,i j i j *∀∈<N ，都存在，使得k j i j i a a a a a =--，则称数列{}n a 满足性质P ．(1)判断下列数列是否满足性质P ，并说明理由．①n a n =，1n =，2，3，…；②2n b n =+，1n =，2，3，…．(2)若数列{}n a 满足性质P ，且11a =，求证：集合{}3∣n n a *∈=N 为无限集；(3)若周期数列{}n a 满足性质P ，请写出数列{}n a 的通项公式（不需要证明）．【详解】（1）对①，取1i =，对,1j j *∀∈>N ，则11,j i j a a a ===，可得11j j i i j a a a j a =---=--，显然不存在,k j k *>∈N ，使得1k a =-，所以数列{}n a 不满足性质P ；对②，对于,,i j i j *∀∈<N ，则2i b i =+，2j b j =+，故()()()()2222j i i j i j i j i j i j b b b b --=++-+-+=⋅++()22i j i j =⋅++-+，因为,,1,2i j i j *∈≥≥N ，则()2i j i j *⋅++-∈N ，且()()2123i j i j i j j ⋅++-=++-≥，所以存在()2k i j i j *=⋅++-∈N ，k j >，使得()22j k i j i b b i b j i j b b =⋅++-=--+，故数列{}n b 满足性质P ；（2）若数列{}n a 满足性质P ，且11a =，则有：取111,1,i j j j *==>∈N ，均存在111,k j k *>∈N ，使得111111k j j a a a a a =--=-，取2121,,i j j k j *==>∈N ，均存在2212,k j k k *>>∈N ，使得222111k j j a a a a a =--=-，取121,i k j k k ==>，均存在1211,m k m *>>∈N ，使得112123m k k k k a a a a a =--=，故数列{}n a 中存在n *∈N ，使得3n a =，即{}3∣n n a *∈=≠∅N ，反证：假设{}3∣n n a *∈=N 为有限集，其元素由小到大依次为()12,,,1l l n n n n >L ，取1,1l l i j n n ==+>，均存在1,L l L k n k *>+∈N ，使得11111Lllk n n a a a a a ++=--=-，取1,1L i j k ==+，均存在111,L L L k k k *++>+∈N ，使得111111L L L kk k a a a a a +++=--=-，取1,L L i k j k +==，均存在111,l L l l n k n n *+++>>∈N ，使得1113l LL LL n k k k ka a a a a +++=--=，即{}13∣l n n n a *+∈∈=N 这与假设相矛盾，故集合{}3∣n n a *∈=N 为无限集.（3）设周期数列{}n a 的周期为1,T T *≥∈N ，则对n *∀∈N ，均有n n T a a +=，设周期数列{}n a 的最大项为,,1M a M M T *∈≤≤N ，最小项为,,1N a N N T *∈≤≤N ，即对n *∀∈N ，均有N n M a a a ≤≤，若数列{}n a 满足性质P ：反证：假设4M a ≥时，取,i M j M T ==+，则,k M T k *∃>+∈N ，使得22k M M T M M T M M a a a a a a a ++=--=-，则()2330k M M M M M a a a a a a -=-=->，即k M a a >，这对n *∀∈N ，均有N n M a a a ≤≤矛盾，假设不成立；则对n *∀∈N ，均有3n a ≤；反证：假设2N a ≤-时，取,i N j N T ==+，则,k N T k *∃>+∈N ，使得224k N N T N N T N N a a a a a a a ++=--=-≥，这与对n *∀∈N ，均有3n a ≤矛盾，假设不成立，即对n *∀∈N ，均有1n a ≥-；综上所述：对n *∀∈N ，均有13n a -≤≤，反证：假设1为数列{}n a 中的项，由（2）可得：1,3-为数列{}n a 中的项，∵()13135-⨯---=-，即5-为数列{}n a 中的项，这与对n *∀∈N ，均有13n a -≤≤相矛盾，即对n *∀∈N ，均有1n a ≠，同理可证：1n a ≠-，∵n a ∈Z ，则{}0,2,3n a ∈，当1T =时，即数列{}n a 为常数列时，设n a a =，故对,,i j i j *∀∈<N ，都存在k j >，使得22i k i j j a a a a a a a a =--=-=，解得0a =或3a =，即0n a =或3n a =符合题意；当2T ≥时，即数列{}n a 至少有两个不同项，则有：①当0,2为数列{}n a 中的项，则02022⨯--=-，即2-为数列{}n a 中的项，但{}20,2,3-∉，不成立；②当0,3为数列{}n a 中的项，则03033⨯--=-，即3-为数列{}n a 中的项，但{}30,2,3-∉，不成立；③当2,3为数列{}n a 中的项，则23231⨯--=，即1为数列{}n a 中的项，但{}10,2,3∉，不成立；综上所述：0n a =或3n a =.16．如果数列{}n a 对任意的*N n ∈，211n n n n a a a a +++->-，则称{}n a 为“速增数列”.(1)判断数列{}2n是否为“速增数列”？说明理由；(2)若数列{}n a 为“速增数列”.且任意项Z n a ∈，121,3,2023k a a a ===，求正整数k 的最大值；(3)已知项数为2k （2,Z k k ≥∈）的数列{}n b 是“速增数列”，且{}n b 的所有项的和等于k ，若2n bn c =，1,2,3,,2n k = ，证明：12k k c c +<.即32121k k k k k k b b b b b b +--+++>+>+，同理可得：211k m m k k b b b b -+++>+，*N m ∈，11m k ≤≤-，故()()()()1221222111k k k k k k k k b b b b b b b b b k b b -++=+++=++++++>+ ，故11k k b b ++<，1112222kk kk b b b bk k c c ++++=⨯=<，得证.。

高考数学压轴题精选100题汇总(含答案)

高考数学压轴题精选100题汇总(含答案)

7. 已知动圆过定点 P（1，0），且与定直线 L:x=-1 相切，点 C 在 l 上. (1)求动圆圆心的轨迹 M 的方 程； (2)设过点 P,且斜率为 3 的直线与曲线 M 相交于 A, B 两点. （i）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点 C 的坐标；若不能，说明理由 （ii）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点 C 的纵坐标的取值范围.
1
1
n 1 1
（Ⅱ）已知各项不为零的数列an 满足 4Sn f ( ) 1 ，求证： ln
；
an
an1
n
an
（Ⅲ）设 bn 1 ， Tn 为数列bn 的前 n 项和，求证： T2008 1 ln 2008 T2007 ．
ba b a
2
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 AB 过椭圆的焦点 F（0，c），（c 为半焦距），求直线 AB 的斜率 k 的值；
（3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
5．已知数列{an}中各项为： 12、1122、111222、……、111 22 2 ……
n
T 2n 1 ．
n
3
26. 对于函数 f (x) ，若存在 x0 R ，使 f (x0 ) x0 成立，则称 x0 为 f (x) 的不动点．如果函数
f (x) x2 a (b, c N*) 有且仅有两个不动点 0 、 2 ，且 f (2) 1 ．
bx c
2
（Ⅰ）试求函数 f (x) 的单调区间；
a2 a3
an1 3
14．已知函数gx a2 x3 a x 2 cxa 0,
32
（I）当a 1 时，若函数 gx在区间1,1上是增函数，求实数c的取值范围；

全国卷Ⅰ2024年高考数学压轴卷理含解析

全国卷Ⅰ2024年高考数学压轴卷理含解析

（全国卷Ⅰ）2024年高考数学压轴卷 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合402x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．{}12 x x -≤≤B ．{}1,0,1,2-C ．{}2,1,0,1,2--D ．{}0,1,22．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（ ） A．B ．1-CD ．13．“0a ≤”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（ ）ABCD5．若221m n >>，则（ ） A ．11m n> B ．1122log log m n >C ．()ln 0m n ->D ．1m n -π>6．已知平面对量a ，b，满意(=a ，3=b ，()2⊥-a a b ，则-=a b （ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．执行右边的程序框图，输出的2018ln =S ,则m 的值为（ ） A ．2024 B ．2024 C ．2024D ．20248．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0055．，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为019．，现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能接着连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ）A ．67B ．335C ．1135D ．019．9．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 10．将()2sin22cos21f x x x =-+的图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，则下列关于函数()y g x =的说法错误的是（ ）A ．函数()y g x =的最小正周期是πB ．函数()y g x =的一条对称轴是π8x = C ．函数()y g x =的一个零点是3π8D ．函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线M A 的方程为（ ） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C ．22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12．定义在R 上的函数()f x 满意()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对[]12,0x ∀∈-，[]22,1x ∃∈-使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ B ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．(]0,8D ．11,,48⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎪⎝⎦⎡⎫⎢⎣⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 若21)(=αf 则=-)(αf 14．在()311nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的绽开式中，各项系数之和为256，则x 项的系数是__________． 15.知变量x ，y 满意条件236y xx y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数223x y z x y-=+的最大值为16．如图，在ABC △中，3sin23ABC ∠=，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，433BD =，则ABC △的面积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满意：113a b ==，24b a =， 且1a ，4a ，13a 成等比数列． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）某市实行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成果大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参与了初赛，全部学生的成果均在区间(]30,150内，其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参与学校座谈沟通，那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参与全市座谈沟通，设X 表示得分在区间(]130,150中参与全市座谈沟通的人数，求X 的分布列及数学期望()E X ．19．（本小题满分12分）如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（1）求证：AC ⊥平面BDE ； （2）求二面角F BE D --的余弦值．20．（本小题满分12分）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF FB =，ABC △的面积为83（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点F 的直线与抛物线交于M ，N 两点，抛物线在M ，N 点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 相交于P 点，1l 与x 轴交于Q 点，求证：2FQ l ∥．21．（本小题满分12分） 设函数()(2ln 1f x x x x =-++． （1）探究函数()f x 的单调性；（2）若0x ≥时，恒有()3f x ax ≤，试求a 的取值范围；请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分． 22.(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆C 的一般方程为2246120x y x y +--+=．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ，B ，P 为圆C 上的随意一点，求PA PB ⋅的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 设函数()21f x x =-．（1）设()()15f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 为正实数），求证：1118a b ca b c---⋅⋅≥．2024全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】集合{}{}40241,0,1,2,3,42x A x x x x ⎧-⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭ZZ ，{}14224B x x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，则{}1,0,1,2AB =-，故选B ．2．【答案】D 【解析】i 1i a +-是纯虚数，i 1+(+1)i=1i 2a a a +--，则要求实部为0，即1a =．故选D ． 3．【答案】C ．【解析】当0a =时，()|(1)|||f x ax x x =-=在区间(0,)+∞上单调递增；当0a <时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上单调递增，如图1-7(a)所示；当0a >时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上先增后减再增，不符合条件，如图1-7(b)所示.所以要使函数()|(1)|f x ax x =-在(0,)+∞上单调递增，只需0a ≥，即“0a ≥”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的充要条件.故选C.4．【答案】C【解析】由题意可设双曲线C 的右焦点(),0F c ，渐进线的方程为by x a=±，可得2d b a ===，可得c =，可得离心率ce a=C ．5．【答案】D【解析】因为221m n >>，所以由指数函数的单调性可得0m n >>， 因为0m n >>，所以可解除选项A ，B ；32m =，1n =时，可解除选项C ， 由指数函数的性质可推断1m n -π>正确，故选D ． 6．【答案】B【解析】由题意可得：2=a ，且：()20⋅-=a a b ，即220-⋅=a a b ，420-⋅=a b ，2⋅=a b ，由平面对量模的计算公式可得：3-=a b ．故选B ．7．【答案】B【解析】第一次循环，2,2ln ==i S 其次次循环，3,3ln ln 2ln 12ln 3232==+=+=⎰i x dx xS 第三次循环，4,4ln ln 2ln 13ln 4343==+=+=⎰i x dx xS 第四次循环，5,5ln ln 4ln 14ln 5454==+=+=⎰i x dx xS ……推理可得m=2024，故选B ．8．【答案】A【解析】设事务A 为48h 发病，事务B 为72h 发病，由题意可知：()0055P A =．，()019P B =．，则()0945P A =．，()081P B =．， 由条件概率公式可得：()()()()()0816|09457P AB P B P B A P A P A ====．．．故选A ． 9．【答案】C【解析】视察三视图可知，几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1，2的直角三角形，高为1．则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故本题答案选C ．10．【答案】D【解析】由题意可知：()2sin22cos212sin 4π21f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位的函数解析式为： ()ππ2sin 2112sin 244π4g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．则函数()g x 的最小正周期为2ππ2T ==，A 选项说法正确； 当π8x =时，22ππ4x +=，函数()y g x =的一条对称轴是π8x =，B 选项说法正确； 当3π8x =时，2π4πx +=，函数()y g x =的一个零点是3π8，C 选项说法正确； 若5π,128πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5π3π2,4122πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，D 选项说法错误；故选D ． 11．【答案】A 【解析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF ===∠∠，则当MA MF取得最大值时，M AF ∠必需取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k ∆=-=，得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．12．【答案】D【解析】因为()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增，所以()f x 在[]2,3上的值域是[]3,4，在(]3,4上的值域是119,32⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以函数()f x 在[]2,4上的值域是93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为()()22f x f x +=，所以()()()112424f x f x f x =+=+， 所以()f x 在[]2,0-上的值域是39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++， 所以3214918a a ≥-+≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得18a ≥；当0a <时，()g x 为减函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+， 所以3149218a a ≥+⎧⎪≤+⎨-⎪⎪⎪⎩，解得14a ≤-，当0a =时，()g x 为常函数，值域为{}1，不符合题意，综上，a 的范围是11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故选D ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13． 【答案】23【解析】解析：因为1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 的定义域为R,关于原点对称，21sin )1lg(1sin )1lg()()(22=+-++++++-+=-+）（x x x x x x f f αα故221)(=+-αf 则=-)(αf 2314．【答案】7【解析】令1x =可得各项系数和：()31112561n⎛+⨯= ⎝，据此可得：7n =，73x x ⎛+ ⎝绽开式的通项公式为：()721732177C C r r rr r r T xx x --+==， 令72102r -=可得：6r =，令72112r -=可得：407r =，不是整数解，据此可得：x 项的系数是67C 7=． 15.3【解析】作出236y x x y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，表示的可行域，如图变形目标函数，()()()2222223,1,32cos 31x y x y z x yx y θ-⋅-===++-⋅+，其中θ为向量)3,1=-a 与(),x y =b 的夹角，由图可知，()2,0=b 时θ有最小值6π， (),x y =b 在直线y x =上时，θ有最大值56412π+=ππ，即5612θπ≤≤π，5612θπ≤≤π， 目标函数223x y z x y-=+3C ．16．【答案】32 【解析】由3sin2ABC ∠=可得：6cos 2ABC ∠=， 则22sin 2sin cos 22ABC ABC ABC ∠∠∠==． 由32sin2ABC ∠<452ABC ∠<︒，则90ABC ∠<︒，由同角三角函数基本关系可知：1cos 3ABC ∠=． 设AB x =，BC y =，()30,0,0AC z x y z =>>>，在ABD △中由余弦定理可得：()22162cos z x BDA +-∠=，在CBD △中由余弦定理可得：2216cos z y BDC +-∠=由于180BDA BDC ∠+∠=︒，故cos cos BDA BDC ∠=-∠，()222216162z x z y +-+-=22216620z x y +--=．①在ABC △中，由余弦定理可知：()2221233x y xy z +-⨯=，则：2222246339z x y xy =+-，代入①式整理计算可得：2214416339x y xy ++=，由均值不等式的结论可得：4161699xy xy ≥=，故9xy ≤，当且仅当x =y =时等号成立，据此可知ABC △面积的最大值为：()max max 11sin 922S AB BC ABC =⨯⨯⨯∠=⨯= 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）【答案】（1）()32121n a n n =+-=+，3n n b =；（2）223n nn S +=-． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知得21134a a a =，即()()2331233d d +=+，解之得：2d =或0d =（舍），所以()32121n a n n =+-=+； 因为249b a ==，所以{}n b 的公比3q =，所以3n n b =． （2）由（1）可知213n nn c +=， 所以23357213333n n n S +=++++．．．，21572133333n n n S -+=++++．．．，所以12111211112121243323234133333313n n n n n n n n n S --⎛⎫⋅- ⎪+++⎛⎫⎝⎭=++++-=+-=- ⎪⎝⎭-．．．，所以223n n n S +=-．18.（本小题满分12分）【答案】（1）520人；（2）5人，2人；（3）()67E X =．【解析】（1）由题意知[)90,110之间的频率为：()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=，()0.30.01250.0050200.65++⨯=，获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=人．（2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=，在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．结果是5人，2人．（3）X 的可能取值为0，1，2，则：()305237C C 20C 7P X ===；()215237C C 41C 7P X ===；()125237C C 12C 7P X ===；故X 的分布列为：()20127777E X =⨯+⨯+⨯=．19．（本小题满分12分）【答案】（1）见解析（2（1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DE AC ⊥，又∵底面ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．∵BD DE D =，∴AC ⊥平面BDE ．（2）解：∵DA ，DC ，DE 两两垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒，∴3ED DB=， 由3AD =，可知32BD =36DE =6AF = 则(3,0,0)A ，6)F ，(0,0,36)E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ， ∴(0,6)BF =-，(3,0,26)EF =-．设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即360,360,y z x z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 令6z =(4,2,6)n =． ∵AC ⊥平面BDE ，∴CA 为平面BDE 的一个法向量，∴(3,3,0)CA =-，∴||13cos ,||||3226n CA n CA n CA ⋅<>===⋅⨯ ∵二面角F BE D --为锐角，∴二面角F BE D --的余弦值为1313． 20.（本小题满分12分） 【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析．【解析】（1）因为AF FB =，所以F 到准线的距离即为三角形ABC △的中位线的长，所以2AC p =，依据抛物线的定义AC AF =，所以24AB AC p ==，()()224223BC p p =-，1223832ABC S p =⋅⋅=△ 解得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =．（2）易知直线MN 的斜率存在，设直线:1MN y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y联立24 1x y y kx =+⎧⎪⎨⎪⎩=消去y 得2440x kx --=，得124x x =-， 24x y =，'2x y =，设()11,M x y ，()22,N x y ，111:22l y y xx +=，222:22l y y xx +=，()22212212112121121212442,22,12444p p p x x y y x x x x x x x x y x y x x x x ⎛⎫- ⎪-++⎝⎭===+⋅===---， 得P 点坐标21,12x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭，由111:22l y y xx +=，得1,02x Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 12QF k x =-，221141222l x k x x -==⋅=-，所以2QF l k k =，即2PQ l ∥． 21.（本小题满分12分）【答案】（1）增函数；（2）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）见解析． 【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ．由()'10f x =≥，知()f x 是实数集R 上的增函数．（2）令()()(33ln g x f x ax x x ax =-=--，则()2131'ax g x --，令())2131h x ax =--，则()()23169169'x a ax a x ax h x ⎡⎤----==．（i ）当16a ≥时，()'0h x ≤，从而()h x 是[)0,+∞上的减函数， 留意到()00h =，则0x ≥时，()0h x ≤，所以()'0g x ≤，进而()g x 是[)0,+∞上的减函数，留意到()00g =，则0x ≥时，()0g x ≤时，即()3f x ax ≤．（ii ）当106a <<时，在⎡⎢⎣上，总有()'0h x >，从而知，当x ⎡∈⎢⎣⎭时，()3f x ax >； （iii ）当0a ≤时，()'0h x >，同理可知()3f x ax >，综上，所求a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）【答案】（1）2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，20x y +-=；（2）44PA PB -⋅≤+ 【解析】（1）圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=（θ为参数）． 直线l 的直角坐标方程为20x y +-=．（2）由直线l 的方程20x y +-=可得点()2,0A ，点()0,2B ． 设点(),P x y ，则()()222,,2222412PA PB x y x y x y x y x y ⋅=--⋅--=+--=+-．由（1）知2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，则()4sin 2cos 44PA PB θθθϕ⋅=++=++．因为θ∈R ，所以44PA PB -≤⋅≤+23．（本小题满分10分）【答案】（1）55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）见解析．【解析】（1）()()15f x f x ++<即21215x x -++<， 当12x <-时，不等式化为12215x x ---<，∴5142x -<<-； 当1122x -≤≤时，不等式化为12215x x -++<，不等式恒成立； 当12x >时，不等式化为21215x x -++<，∴1524x <<． 综上，集合55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭．（2）由（1）知1m =，则1a b c ++=．则1a b c a a -+=1b b -≥1c c -≥则1118a b c a b c ---⋅⋅≥=，即8M ≥．。

2023届高考数学压轴题(函数整数解问题)专题练习(附答案)

2023届高考数学压轴题(函数整数解问题)专题练习(附答案)

2023届高考数学压轴题（函数整数解问题）专题练习1．已知函数1()()22x f x kx e x =+-，若()0f x <的解集中有且只有一个正整数，则实数k 的取值范围为() A．221[4e -，21)2e - B．221(4e -，21]2e - C．322121[,64e e -- D．32121[,62e e -- 【名师解析】解：()0f x <，即1(202x kx e x +-<，也就是1()22x kx e x +<，即122x xkx e +<，令2()x xg x e =，则2222(1)()x x x xe xe x g x e e --'==， 当(,1)x ∈-∞时，()0g x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<． ()g x ∴在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减． 作出函数()g x 与12y kx =+的图象如图： 12y kx =+的图象过定点1(0,2P ，2(1,A e ，24(2,B e， 21212102PAe k e -==--，2241212204PB e k e -==--． ∴实数k 的取值范围为221[4e -，21)2e -． 故选：A ．2．已知函数()(2)(0)x f x kx e x x =-->，若()0f x <的解集为(,)s t ，且(,)s t 中恰有两个整数，则实数k 的取值范围为( )A．211[1,2)e e++ B．431112[,)23e e ++ C．21(,1)e -∞+ D．32121[,1)3e e ++ 【名师解析】解：由()(2)0x f x kx e x =--<，得(2)x kx e x -<， 即2xxkx e -<，(0)x >， 设()xxh x e =，(0)x >， 21()()x x x x e xe xh x e e--'==，由()0h x '>得01x <<，函数()h x 为增函数， 由()0h x '<得1x >，函数()h x 为减函数， 即当1x =时，()h x 取得极大值，极大值为h （1）1e=， 要使2x xkx e-<，(0)x >，在s ，)t 中恰有两个整数，则0k …时，不满足条件． 则0k >，当2x =时，h （2）22e =，当3x =时，h （3）33e =，即22(2,)A e ，33(3,)B e， 则当直线()2g x kx =-在A ，B 之间满足条件，此时两个整数解为1，2， 此时满足232(2)3(3)g e g e ⎧<⎪⎪⎨⎪⎪⎩…，即23222332k e k e ⎧-<⎪⎪⎨⎪-⎪⎩…得2311213k e k e ⎧<+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩…，即3212113k e e +<+…， 即k 的取值范围是312[3e +，211)e+， 故选：D ．3．已知函数()x f x xe mx m =-+，若()0f x <的解集为(,)a b ，其中0b <；不等式在(,)a b中有且只有一个整数解，则实数m 的取值范围是( ) A．221(,)32e eB．221(,)3e eC．221[,)32e eD．221[,3e e【名师解析】解：设()x g x xe =，y mx m =-， 由题设原不等式有唯一整数解， 即()x g x xe =在直线y mx m =-下方，()(1)x g x x e '=+，()g x 在(,1)-∞-递减，在(1,)-+∞递增，故1()(1)min g x g e=-=-，y mx m =-恒过定点(1,0)P ，结合函数图象得PA PB K m K <…， 即22132m e e<…， ，故选：C ．4．已知函数()(2)(0)x f x x kx e x =+->，若()0f x >的解集为(,)a b ，且(,)a b 中恰有两个整数，则 实数k 的取值范围为( ) A．21(,)e -∞ B．411[2e +，312)3e +C．312[3e +，211)e + D．21[1e +，12)e+ 【名师解析】解：设()xxg x e =， 则1()xxg x e -'=当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<，所以函数()g x 在(0,1)为增函数，在(1,)+∞为减函数，()0f x >的解集为(,)a b 等价于(2)xxkx e >-的解集为(,)a b ， 即当且仅当在区间(,)a b 上函数()xxg x e =的图象在直线2y kx =-的上方， 函数()xxg x e =的图象与直线2y kx =-的位置关系如图所示， 由图可知：(1)2(2)22(3)32g k g k g k >-⎧⎪>-⎨⎪-⎩…，解得：3221113k e e+<+…， 故选：C ．5．已知函数2()(1)x f x mx e x =--，若不等式()0f x <的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数m 的取值范围( ) A．221(2e +，11)e + B．221[2e +，11)e + C．331[3e +，2212e + D．331(3e +，2212e + 【名师解析】解：函数2()(1)xf x mx e x =--，不等式()0f x <化为：21x x mx e -<．分别令()1f x mx =-，2()x x g x e =．(2)()xx x g x e -'=． 可得：函数()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减．(0)0g =，g （2）24e =．如图所示．不等式()0f x <的解集中恰有两个不同的正整数解，∴正整数解为1，2，∴(2)(2)(3)(3)f g f g <⎧⎨⎩…，即23421931m e m e ⎧-<⎪⎪⎨⎪-⎪⎩…． 解得：32312132m e e +<+…． ∴数m 的取值范围是331[3e +，221)2e +． 故选：C ．6．已知函数()()x f x x a e alnx =--，若恰有三个正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是( ) A．333(3e e ln +，444]22e e ln +B．412[42ln e +，313)33ln e +C．222(2e e ln +，444]22e e ln +D．313[33ln e +，212)22ln e+【名师解析】解：()f x 的定义域为(0,)+∞， 由()0f x <可得xalnxx a e -<， （1）显然0a =时，不等式在(0,)+∞上无解，不符合题意； （2）当0a <时，不等式为11x lnx x a e->， 令1()1f x x a =-，()x lnxg x e =，则当1x …时，()1f x <-，()0g x …，故不等式11x lnxx a e->没有正整数解，不符合题意；（3）当0a >时，不等式为11x lnx x a e-<， 显然1()1f x x a=-为增函数， 1()x xlnxg x xe -'=，令()1h x xlnx =-，则()(1)h x lnx '=-+， ∴当1x e >时，()0h x '<，故()h x 在1(e，)+∞上单调递减， 而h （1）10=>，h （2）12204eln ln =-=<， ∴存在0(1,2)x ∈使得0()0h x =，∴当[1x ∈，0)x 时，()0h x >，当0x x >时，()0h x <，即当[1x ∈，0)x 时，()0g x '>，当0x x >时，()0g x '<，()g x ∴在[1，0)x 上单调递增，在0(x ．)+∞上单调递减， 又g （1）0=，且1x >时，()0g x >， 故不等式11x lnxx a e-<的三个正整数解为1，2，3， ∴(1)(1)(3)(3)(4)(4)0f g f g f g a <⎧⎪<⎪⎨⎪⎪>⎩…，即34110331441a ln a e ln a e ⎧-<⎪⎪⎪-<⎨⎪⎪-⎪⎩…，解得：343434322e e a e ln e ln <++…． 故选：A ．7．已知函数若1()(34x f x kx e x =+-，若()0f x <的解集中恰有两个正整数，则k 的取值范围为( )A．331(12e -，231]8e - B．331[12e -，231)8e -C．231(8e -，314e - D．231[8e -，31)4e - 【名师解析】解：由()0f x <得1()()304x f x kx e x =+-<，即1()34x kx e x +<，即13(4x xkx e +<的解集中恰有两个正整数，设3()x x h x e =，则23333()()x x x xe xe xh x e e--'==， 由()0h x '>得330x ->得1x <，由()0h x '<得330x -<得1x >，即当1x =时函数()h x 取得极大值h （1）3e=， 设函数1()4g x kx =+， 作出函数()h x 的图象如图，由图象知当0k …，13()4x xkx e +<的解集中有很多整数解，不满足条件．则当0k >时，要使，13()4x xkx e+<的解集中有两个整数解，则这两个整数解为1x =和2x =， h （2）26e =，h（3）39e =，(2A ∴，26(3B e ，39)e ， 当直线()g x 过(2A ，26(3B e ，39)e 时，对应的斜率满足 21624A k e +=，31934B k e +=，得2318A k e =-，33112B k e =-， 要使，13()4x xkx e+<的解集中有两个整数解，则B A k k k <…，即323131128k e e -<-…， 即实数k 的取值范围是331[12e -，231)8e -， 故选：B ．8．已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有1()()(xf x f x e e '=-是自然对数的底数），(0)0f =，若不等式()0f x k ->的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是( )A．221[,)e eB．3232(,e e C．3232(,e e D．3232[,e e 【名师解析】解：设()()x g x e f x =， 则()[()()]1x g x e f x f x '='+=， 可设()g x x c=+，(0)(0)00g f c ==+= ． 0c ∴=，()g x x ∴=， ()xx f x e ∴=， 1()xxf x e -∴'=， 当1x <时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当1x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， ()max f x f ∴=（1）1e=， 当x →+∞时，()0f x →，不等式()0f x k ->的解集中恰有两个整数，结合图形可知，整数为1，2f ∴（3）k f <…（2）， ∴3232k e e <… 故选：D ．9．已知函数(2)()ln x f x x=，关于x 的不等式2()()0f x af x +>只有两个整数解，则实数a 的取值范围是( )A．1(2,6]3ln ln -- B．16(,3ln e --C．1[6,2)3ln lnD．62[,3ln e【名师解析】解：21(2)()ln x f x x -'=，令()0f x '=得2ex =， ∴当02ex <<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当2ex >时，()0f x '<，()f x 单调递减， 由当12x <时，()0f x <，当12x >时，()0f x >， 作出()f x 的大致函数图象如图所示：2()()0f x af x +> ，（1）若0a =，即2()0f x >，显然不等式有无穷多整数解，不符合题意； （2）若0a >，则()f x a <-或()0f x >，由图象可知()0f x >有无穷多整数解，不符合题意； （3）若0a <，则()0f x <或()f x a >-，由图象可知()0f x <无整数解，故()f x a >-有两个整数解， f （1）f =（2）2ln =，且()f x 在(2e，)+∞上单调递减，()f x a ∴>-的两个整数解必为1x =，2x =， 又f （3）63ln =， ∴623ln a ln -<…，解得623ln ln a -<-…． 故选：A ．10．函数()(4)(1)f x kx lnx x x =+->，若()0f x >的解集为(,)s t ，且(,)s t 中只有一个整数，则实数k 的取值范围为( ) A．1(22ln -，1433ln - B．1(22ln -，14)33ln - C．14(33ln -，11]22ln - D．14(33ln -，11)22ln - 【名师解析】解：令()0f x >，得：4xkx lnx+>， 令()xg x lnx =，则21()()lnx g x lnx -'=， 令()0g x '>，解得：x e >，令()0g x '<，解得：1x e <<， 故()g x 在(1,)e 递减，在(,)e +∞递增， 结合函数的单调性得：24(2)34(3)k g k g +>⎧⎨+⎩…，即22423343k ln k ln ⎧+>⎪⎪⎨⎪+⎪⎩…，解得：1142233k ln ln -<-…， 故选：A ． 11．已知函数()xxf x e =，若不等式()(1)0f x a x -+>的解集中有且仅有一个整数，则实数a 的取值范围是( ) A．211[,]e eB．211[,)e eC．221[,]32e eD．221[,)32e e【名师解析】解：1()xxf x e -'=， ∴当1x <时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，()f x ∴在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 作出()y f x =的函数图象如图所示：由()(1)0f x a x -+>仅有一个整数解得()(1)f x a x >+只有一整数解， 设()(1)g x a x =+，由图象可知：当0a …时，()()f x g x >在(0,)+∞上恒成立，不符合题意， 当0a >时，若()()f x g x >只有1个整数解，则此整数解必为1， ∴(1)(1)(2)(2)f g f g >⎧⎨⎩…，即21223a eae ⎧>⎪⎪⎨⎪⎪⎩…，解得22132a e e <…． 故选：D ．12．已知函数2()(31)x f x x x e k =++-有三个不同的零点，则实数k 的取值范围是( )A．415(,)e e-B．45(0,)e C．451(,e e -D．1(,)e-+∞【名师解析】解：函数2()(31)x f x x x e k =++-， 可得：2()(54)(1)(4)x x f x x x e x x e '=++=++，()f x 在(,4)-∞-和(1,)-+∞上是增函数；在(4,1)--上是减函数， 当x →-∞时()f x k →-，当x →+∞时()f x →+∞， 所以函数2()(31)x f x x x e k =++-有三个不同的零点， 只需：满足0k -<，45(4)0f k e -=->，1(1)0f k e-=--<，解得45(0,)k e∈ 故选：B．13．已知函数()(2)x f x x e ax a =---，若不等式()0f x >恰有两个正整数解，则a 的取值范围是( ) A．31[4e -，0)B．1[2e -，0)C．31[4e -，)2eD．31[4e -，2)【名师解析】解：令()(2)x g x x e =-，()h x ax a =+， 由题意知，存在2个正整数，使()g x 在直线()h x 的上方，()(1)x g x x e '=- ，∴当1x >时，()0g x '<，当1x <时，()0g x '>，()max g x g ∴=（1）e =，且(0)2g =，g （2）0=，g （3）3e =-， 直线()h x 恒过点(1,0)-，且斜率为a ， 由题意可知，3(1)(2)0(3)h e h h e <⎧⎪<⎨⎪-⎩…，故实数a 的取值范围是31[4e -，0)，故选：A ．14．已知函数2,0(),0x x x f x e x <⎧=⎨⎩…，且()||f x a x …有且只有一个整数解，则a 的取值范围是( )A．(2，]eB．(2，2]e C．(2，8]D．[e ，21)2e【名师解析】解：0a …时，||y a x =的图象在x 轴下方，不符题意； 0a >时，()||f x a x …有且只有一个整数解，即为x e ax …有且只有一个整数解， 由y ax =与x y e =相切，设切点为(,)m m e ， 可得mme e a m==，解得1m =，a e =， 由题意可得x e ax …有且只有一个整数解，且为1， 可得22e a >，即212a e <，且a e …，即212e a e <…，故选：D ．15．函数()(4)(1)f x kx lnx x x =+->，若()0f x >的解集为(,)s t ，且(,)s t 中恰有两个整数，则实数k 的取值范围为( ) A．11(2,1)222ln ln -- B．11(2,1]222ln ln -- C．141(,1)3322ln ln -- D．141(,1]3322ln ln -- 【名师解析】解：令()0f x >，得：4xkx lnx+>， 令()xg x lnx=，则21()()lnx g x lnx -'=，令()0g x '>，解得：x e >，令()0g x '<，解得：1x e <<， 故()g x 在(1,)e 递增，在(,)e +∞递减， 结合函数的单调性得44(4)34(3)k g k g +⎧⎨+>⎩…，即44443343k ln k ln ⎧+⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩…，解得：14113322k ln ln -<-…， 故选：D ．16．已知函数1()()23x f x kx e x =+-，若()0f x <的解集中有且只有一个正整数，则实数k 的取值范围为22121[,63e e -- ． 【名师解析】解： 且()0f x <的解集中有且只有一个正整数， ∴有且只有一个正整数使123xx kx e +<，令1()3g x kx =+，2()x xh x e =，易得()h x 的图象如图()g x 的图象恒过1(0,3，∴结合()g x 和()h x 的图象特点可知0k >．且()()()()212113221423k g h e g h k e ⎧+<⎪<⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎩⎪+⎪⎩即……． 故答案为：22121[,)63e e --． 17．已知函数()(1)(2)xf x m x x e e =----，若关于x 的不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则实数m 的取值范围是 3(,2e e e + ．【名师解析】解：()0f x >即为(1)(2)x m x x e e ->-+，设(1)y m x =-，()(2)x g x x e e =-+，()(1)x g x x e ∴'=-，当1x >时，()0g x '>，()g x 单增，当1x <时，()0g x '<，()g x 单减，()g x g ∴…（1）0=，当x →+∞时，()g x →+∞，当x →-∞时，()g x e →，函数(1)y m x =-恒过(1,0)， 分别画出函数(1)y m x =-及函数()g x的图象如图所示，由图可知，要使不等式()0f x >有且仅有一个正整数解，则(1)y m x =-的图象在函数()y g x =图象的上方只有一个正整数值2，2m g ∴…（3）3e e =+且m g >（2）e =， ∴32e ee m +<…． 故答案为：3(,]2e ee +．。

新高考数学高考数学压轴题 等差数列选择题专项训练分类精编及答案(2)

新高考数学高考数学压轴题 等差数列选择题专项训练分类精编及答案(2)

一、等差数列选择题1．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（ ） A ．3、8、13、18、23 B ．4、8、12、16、20 C ．5、9、13、17、21 D ．6、10、14、18、22解析：C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列， 则171,25a a ==，则712514716a a d --===-， 则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C2．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（ ） A ．15 B ．30C ．3D ．64解析：A 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式列方程组，求出1a 和d 的值，12111a a d =+，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则111681631a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，即117831a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得：174174d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以12117760111115444a a d =+=-+⨯==， 所以12a 的值是15， 故选：A3．若数列{}n a 满足121()2n n a a n N *++=∈，且11a =，则2021a =（ ） A ．1010 B ．1011 C ．2020 D ．2021解析：B 【分析】根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】由121()2n n a a n N *++=∈，则11()2n n a a n N *+=+∈， 即112n n a a +-=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公差的等差数列， 所以()()11111122n n a a n d n +=+-=+-⨯=， 所以2021a =2021110112+=. 故选：B4．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（ ） A ．36 B ．48 C ．56 D ．72解析：A 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，得出54a =，再由等差数列前n 项和公式，即可得出结果. 【详解】因为{}n a 为等差数列，25812a a a ++=， 所以5312a =，即54a =， 所以()1999983622a a S +⨯===. 故选：A . 【点睛】熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键.5．已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =，则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =（ ）A ．4或5B ．5或6C ．4D ．5解析：A 【分析】由2219a a =，可得14a d =-，从而得2922n d d S n n =-，然后利用二次函数的性质求其最值即可 【详解】解：设递减的等差数列{}n a 的公差为d （0d <），因为2219a a =，所以2211(8)a a d =+，化简得14a d =-，所以221(1)9422222n n n d d d dS na d dn n n n n -=+=-+-=-，对称轴为92n =， 因为n ∈+N ，02d<， 所以当4n =或5n =时，n S 取最大值， 故选：A6．在等差数列{}n a 中，()()3589133224a a a a a ++++=，则此数列前13项的和是（ ） A ．13 B ．26C ．52D ．56解析：B 【分析】利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果. 【详解】由等差数列的性质，可得3542a a a +=，891371013103a a a a a a a ++=++=， 因为()()3589133224a a a a a ++++=， 可得410322324a a ⨯+⨯=，即4104a a +=， 故数列的前13项之和()()11341013131313426222a a a a S ++⨯====. 故选：B.7．已知等差数列{}n a 中，161,11a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．53B ．2C ．8D ．13解析：B 【分析】设公差为d ，则615a a d =+，即可求出公差d 的值. 【详解】设公差为d ，则615a a d =+，即1115d =+，解得：2d =， 所以数列{}n a 的公差为2， 故选：B8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60 B ．120C ．160D ．240解析：B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()11515815152a a S a +==，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，2938a a a +=+，由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选：B.9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（ ） A ．214a =-B ．648211S S S =+ C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712D ．1121n n n n nT T T n n +-=++ 解析：D 【分析】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-代入120n n n a S S -+=可推导出数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，由221a S S =-可判断A 选项的正误；利用n S 的表达式可判断BC 选项的正误；求出n T ，可判断D 选项的正误. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-， 由120n n n a S S -+=可得111112020n n n n n nS S S S S S ----+=⇒-+=， 整理得1112n n S S --=（2n ≥且n +∈N ）. 则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以2为首项，以2为公差的等差数列()12122n n n S ⇒=+-⋅=，12n S n ∴=. A 中，当2n =时，221111424a S S =-=-=-，A 选项正确； B 中，1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，显然有648211S S S =+，B 选项正确； C 中，记()()1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=+-++，()()()1123111212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++，()()()1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=--=-<++++，故{}n b 为递减数列， ()1123max 111724612n b b S S S ∴==+-=+-=，C 选项正确； D 中，12n n S =，()()2212n n n T n n +∴==+，()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()11112112111n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=⋅++⋅++=+--+++++222122212n n n n n n T =-++=+-≠，D 选项错误.故选：D ． 【点睛】关键点点睛：利用n S 与n a 的关系求通项，一般利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解，在变形过程中要注意1a 是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用1n n n a S S -=-将递推关系转化为有关n S 的递推数列来求解. 10．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．16解析：A 【分析】 将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出22n n n a +=，从而得出()22n n n λ+≥，求出()max22n n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，即可得出答案. 【详解】 因为2n ≥时，11122n n n a a -=+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{}2n n a 是首项为3公差为1的等差数列，故22nn a n =+，从而22n n n a +=. 又因为n a n λ≥恒成立，即()22n n n λ+≥恒成立，所以()max22n n n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦.由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A11．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7解析：A 【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ，进一步求得2a ． 【详解】在等差数列{}n a 中，设公差为d ，由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩，24210a a d ∴=-=. 故选：A12．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则1215a b =（ ） A ．32B ．7059C ．7159D ．85解析：C 【分析】可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，进而求得n a 与n b 的关系式，即可求得结果． 【详解】因为{}n a ，{}n b 是等差数列，且3221n n S n T n +=+， 所以可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，又当2n 时，有1(61)n n n a S S k n -=-=-，1(41)n n n b T T k n -=-=-， ∴1215(6121)71(4151)59a k b k ⨯-==⨯-，故选：C ．13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（ ）A ．21B ．20C ．19D ．19或20解析：B 【分析】 由题得出1392a d =-，则2202n dS n dn =-，利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由11101921a a =得11102119a a =，则()()112110199a d a d +=+， 解得1392a d =-，10a <，0d ∴>，()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-，对称轴为20n =，开口向上， ∴当20n =时，n S 最小.故选：B. 【点睛】方法点睛：求等差数列前n 项和最值，由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 14．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（ ） A ．16 B ．-16 C ．4 D ．-4解析：A 【详解】 由()()18458884816222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足122527n na a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ）A ．6-B ．2-C ．1-D ．0解析：A 【分析】 转化条件为122527n na a n n +-=--，由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--，求得满足0n a ≤的项后即可得解.【详解】因为122527n n a a n n +-=--，所以122527n na a n n +-=--， 又1127a =--，所以数列27n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1-为首项，公差为2的等差数列， 所以()1212327na n n n =-+-=--，所以()()2327n a n n =--， 令()()23270n a n n =--≤，解得3722n ≤≤， 所以230,0a a <<，其余各项均大于0， 所以()()()3123min13316p q S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-.故选：A. 【点睛】解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项，即可得解.二、等差数列多选题16．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为（ ） A ．2 B ．5C ．3D ．4解析：BD 【分析】利用递推关系可得1211n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵23n n n S a +=， ∴2n ≥时，112133n n n n n n n a S S a a --++=-=-， 化为：112111n n a n a n n -+==+--， 由于数列21n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递减， 可得：2n =时，21n -取得最大值2． ∴1n n a a -的最大值为3． 故选：BD ．【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值解析：AC 【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定； 18．已知数列{}2nna n +是首项为1，公差为d 的等差数列，则下列判断正确的是（ ） A ．a 1＝3 B ．若d ＝1，则a n ＝n 2+2n C ．a 2可能为6D ．a 1，a 2，a 3可能成等差数列解析：ACD 【分析】利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解 【详解】 因为1112a =+，1(1)2n n a n d n =+-+，所以a 1＝3，a n ＝[1+(n -1)d ](n +2n ).若d ＝1，则a n ＝n (n +2n )；若d ＝0，则a 2＝6.因为a 2＝6+6d ，a 3＝11+22d ，所以若a 1，a 2，a 3成等差数列，则a 1+a 3＝a 2，即14+22d ＝12+12d ，解得15d =-. 故选ACD19．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ） A ．59823a a S += B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =解析：BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+， 因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S d -⨯==-，A 选项错误； 对于B 选项，()2229272d Sd -⨯==-，()2779772d Sd -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误； 对于D 选项，50a =，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.20．（多选题）在数列{}n a 中，若221n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则{}2n a 是等方差数列B ．(){}1n-是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 解析：BCD 【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项，取n a n =，则()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++不是常数，则{}2n a 不是等方差数列，A 选项中的结论错误；对于B 选项，()()22111110n n+⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数，则(){}1n-是等方差数列，B 选项中的结论正确；对于C 选项，若{}n a 是等方差数列，则存在常数p R ∈，使得221n n a a p +-=，则数列{}2na 为等差数列，所以()221kn k n a a kp +-=，则数列{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列，C 选项中的结论正确；对于D 选项，若数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则存在m R ∈，使得n a dn m =+，则()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++，由于数列{}n a 也为等方差数列，所以，存在实数p ，使得221n n a a p +-=，则()222d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立，则()2202d m d d p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得0p d ==，此时，数列{}n a 为常数列，D 选项正确.故选BCD. 【点睛】本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题.21．在数列{}n a 中，若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}()*,kn a k N k ∈为常数)也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 解析：BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可.【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}n a 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ，数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，，()()()()2222222212132221k k k k k k k k aa a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加得()()()()2222222212132221k kk k k k kk aa a a a a a a kp +++++--+-+-++-=，222k k aa kp ∴-=，()221kn k n a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确； 对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题.22．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（ ） A ．60a > B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C ．0nS <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 解析：ACD 【分析】 由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知得出2437d -<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d =-，可得出1na 在1,6n n N上单调递增，1na 在7nnN，上单调递增，可判断B ；由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ； 【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-，()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，故A 正确；由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d=-，所以[]1,6n ∈时，1>0na ，7n ≥时，10n a <，所以1na 在1,6n n N上单调递增，1na 在7n n N，上单调递增，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列，故B 不正确； 由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确 ；当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，0n S <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，0nnS a <，[]712n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项，故D 正确； 【点睛】本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题. 23．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ） A ．2n S n = B ．223n S n n =-C ．21n a n =-D ．35n a n =-解析：AC 【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =，∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得11a =，2d =，1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．()21212n n n S n +-==故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．24．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（ ） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 解析：ABCD 【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确． 【详解】∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0， 又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0．对于：7≤n ≤12时，nnS a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0，但是随着n 的增大而减小，可得：nnS a ＜0，但是随着n 的增大而增大． ∴n ＝7时，nnS a 取得最小值． 综上可得：ABCD 都正确． 故选：ABCD ． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．25．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（ ）A ．320n a n =-B ．325n a n =-+C ．当4n =时，n T 取最小值D ．当6n =时，n T 取最小值解析：AC 【分析】由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值． 【详解】解：在递增的等差数列{}n a 中， 由5105a a +=，得695a a +=，又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =， 则967(2)3963a a d ---===-，16525317a a d =-=--⨯=-． 173(1)320n a n n ∴=-+-=-．故A 正确，B 错误；12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正． 而5610820b b +=-=>．∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．。

数学高考压轴题含答案

数学高考压轴题含答案

数学高考压轴题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、解答题1．已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值．(1)求a ；(2)证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．2．已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．(1)求l 的斜率；(2)若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．3．已知函数()e e ax x f x x =-．(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；(3)设n *∈Nln(1)n ++>+ ．4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为Q M .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.5．已知函数()e ln(1)x f x x =+．(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；(3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．6．如图，已知椭圆22112x y +=．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点0,21Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭在线段AB 上，直线,PA PB 分别交直线132y x =-+于C ，D两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；(2)求||CD 的最小值．7．设函数e()ln (0)2f x x x x=+>．(1)求()f x 的单调区间；(2)已知,a b ∈R ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭；（ⅱ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e 6e 6ea ax x a --+<+<-．（注：e 2.71828= 是自然对数的底数）参考答案：1．(1)1a =(2)见解析【解析】【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.（2）根据（1）可得当1b >时，e x x b -=的解的个数、ln x x b -=的解的个数均为2，构建新函数()e ln 2x h x x x =+-，利用导数可得该函数只有一个零点且可得()(),f x g x 的大小关系，根据存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点可得b 的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.(1)()e x f x ax =-的定义域为R ，而()e '=-x f x a ，若0a ≤，则()0f x '>，此时()f x 无最小值，故0a >.()ln g x ax x =-的定义域为()0,∞+，而11()ax g x a x x'-=-=.当ln x a <时，()0f x '<，故()f x 在(),ln a -∞上为减函数，当ln x a >时，()0f x '>，故()f x 在()ln ,a +∞上为增函数，故()min ()ln ln f x f a a a a ==-.当10x a <<时，()0g x '<，故()g x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，当1x a >时，()0g x '>，故()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，故min 11()1ln g x g a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.因为()e x f x ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值，故11lnln a a a a-=-，整理得到1ln 1a a a -=+，其中0a >，设()1ln ,01a g a a a a -=->+，则()()()222211011a g a a a a a --'=-=≤++，故()g a 为()0,∞+上的减函数，而()10g =，故()0g a =的唯一解为1a =，故1ln 1aa a-=+的解为1a =.综上，1a =.(2)由（1）可得e ()x x f x =-和()ln g x x x =-的最小值为11ln11ln 11-=-=.当1b >时，考虑e x x b -=的解的个数、ln x x b -=的解的个数.设()e xS x x b =--，()e 1x S x '=-，当0x <时，()0S x '<，当0x >时，()0S x '>，故()S x 在(),0∞-上为减函数，在()0,∞+上为增函数，所以()()min 010S x S b ==-<，而()e0bS b --=>，()e 2b S b b =-，设()e 2b u b b =-，其中1b >，则()e 20bu b '=->，故()u b 在()1,+∞上为增函数，故()()1e 20u b u >=->，故()0S b >，故()e xS x x b =--有两个不同的零点，即e x x b -=的解的个数为2.设()ln T x x x b =--，()1x T x x-'=，当01x <<时，()0T x '<，当1x >时，()0T x '>，故()T x 在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数，所以()()min 110T x T b ==-<，而()ee0bbT --=>，()e e 20b b T b =->，()ln T x x x b =--有两个不同的零点即ln x x b -=的解的个数为2.当1b =，由（1）讨论可得ln x x b -=、e x x b -=仅有一个零点，当1b <时，由（1）讨论可得ln x x b -=、e x x b -=均无零点，故若存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点，则1b >.设()e ln 2x h x x x =+-，其中0x >，故1()e 2xh x x'=+-，设()e 1x s x x =--，0x >，则()e 10xs x '=->，故()s x 在()0,∞+上为增函数，故()()00s x s >=即e 1x x >+，所以1()1210h x x x'>+-≥->，所以()h x 在()0,∞+上为增函数，而(1)e 20h =->，31e 333122(e 3e 30e e eh =--<--<，故()h x 在()0,∞+上有且只有一个零点0x ，0311ex <<且：当00x x <<时，()0h x <即e ln x x x x -<-即()()f x g x <，当0x x >时，()0h x >即e ln x x x x ->-即()()f x g x >，因此若存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点，故()()001b f x g x ==>，此时e x x b -=有两个不同的零点1010,(0)x x x x <<，此时ln x x b -=有两个不同的零点0404,(01)x x x x <<<，故11e xx b -=，00e x x b -=，44ln 0x x b --=，00ln 0x x b --=所以44ln x b x -=即44ex bx -=即()44e0x bx b b ----=，故4x b -为方程e x x b -=的解，同理0x b -也为方程e x x b -=的解又11e x x b -=可化为11e xx b =+即()11ln 0x x b -+=即()()11ln 0x b x b b +-+-=，故1x b +为方程ln x x b -=的解，同理0x b +也为方程ln x x b -=的解，所以{}{}1004,,x x x b x b =--，而1b >，故0410x x b x x b =-⎧⎨=-⎩即1402x x x +=.【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.2．(1)1-；(2)9．【解析】【分析】（1）由点(2,1)A 在双曲线上可求出a ，易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，再根据0AP BP k k +=，即可解出l 的斜率；（2）根据直线,AP AQ 的斜率之和为0可知直线,AP AQ的倾斜角互补，再根据tan PAQ ∠=,AP AQ 的斜率，再分别联立直线,AP AQ 与双曲线方程求出点,P Q 的坐标，即可得到直线PQ 的方程以及PQ 的长，由点到直线的距离公式求出点A 到直线PQ 的距离，即可得出PAQ △的面积．(1)因为点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上，所以224111a a -=-，解得22a =，即双曲线22:12x C y -=易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩可得，()222124220k x mkx m ----=，所以，2121222422,2121mk m x x x x k k ++=-=--，()()22222216422210120m k m k m k ∆=++->⇒-+>．所以由0AP BP k k +=可得，212111022y y x x --+=--，即()()()()122121210x kx m x kx m -+-+-+-=，即()()()1212212410kx x m k x x m +--+--=，所以()()2222242124102121m mk k m k m k k +⎛⎫⨯+-----= ⎪--⎝⎭，化简得，()2844410k k m k +-++=，即()()1210k k m +-+=，所以1k =-或12m k =-，当12m k =-时，直线():21l y kx m k x =+=-+过点()2,1A ，与题意不符，舍去，故1k =-．(2)不妨设直线,PA PB 的倾斜角为(),αβαβ<，因为0AP BP k k +=，所以παβ+=，因为tan PAQ ∠=，所以()tan βα-=，即tan 2α=-，2tan 0αα-=，解得tan α，于是，直线):21PA y x =-+，直线):21PB y x =-+，联立)222112y x x y ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩可得，(23211002x x +-+-=，因为方程有一个根为2，所以103P x -=，P y=53，同理可得，103Q x +=，Q y=53-．所以5:03PQ x y +-=，163PQ =，点A 到直线PQ的距离3d =，故PAQ △的面积为11623⨯=3．(1)()f x 的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞.(2)12a ≤(3)见解析【解析】【分析】（1）求出()f x ¢，讨论其符号后可得()f x 的单调性.（2）设()e e 1ax xh x x =-+，求出()h x ''，先讨论12a >时题设中的不等式不成立，再就102a <≤结合放缩法讨论()h x '符号，最后就0a ≤结合放缩法讨论()h x 的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得12ln t t t<-对任意的1t >恒成立，从而可得()ln 1ln n n +-的*n N ∈恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.(1)当1a =时，()()1e x f x x =-，则()e xf x x '=，当0x <时，()0f x ¢<，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞.(2)设()e e 1ax xh x x =-+，则()00h =，又()()1e e ax x h x ax '=+-，设()()1e e ax xg x ax =+-，则()()22e e ax xg x a a x '=+-，若12a >，则()0210g a '=->，因为()g x '为连续不间断函数，故存在()00,x ∈+∞，使得()00,x x ∀∈，总有()0g x ¢>，故()g x 在()00,x 为增函数，故()()00g x g >=，故()h x 在()00,x 为增函数，故()()01h x h >=-，与题设矛盾.若102a <≤，则()()()ln 11e e ee ax ax ax xx h x ax ++'=+-=-，下证：对任意0x >，总有()ln 1x x +<成立，证明：设()()ln 1S x x x =+-，故()11011x S x x x-'=-=<++，故()S x 在()0,+∞上为减函数，故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立.由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++-<-=-≤，故()0h x '≤总成立，即()h x 在()0,+∞上为减函数，所以()()01h x h <=-.当0a ≤时，有()e e e 1100ax x axh x ax '=-+<-+=，所以()h x 在()0,+∞上为减函数，所以()()01h x h <=-.综上，12a ≤.(3)取12a =，则0x ∀>，总有12e e 10x x x -+<成立，令12e x t =，则21,e ,2ln x t t x t >==，故22ln 1t t t <-即12ln t t t<-对任意的1t >恒成立.所以对任意的*n N ∈，有<整理得到：()ln 1ln n n +-()ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n n +-+-+++- ()ln 1n =+，故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.4．(1)2213y x -=(2)见解析【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得c 的值，利用渐近线方程求得,a b 的关系，进而利用,,a b c 的平方关系求得,a b 的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k ,M (x 0,y 0),由③|AM |=|BM |等价分析得到200283k x ky k +=-；由直线PM 和QM 的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ 的斜率03x m y =，由②//PQ AB 等价转化为003ky x =，由①M在直线AB 上等价于()2002ky k x =-，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.(1)右焦点为(2,0)F ，∴2c =,∵渐近线方程为y =，∴ba=b ，∴222244c a b a =+==，∴1a =，∴b =∴C 的方程为：2213y x -=；(2)由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而12x x =，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零.设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为()2y k x =-,则条件①M 在AB 上，等价于()()2000022y k x ky k x =-⇔=-；两渐近线的方程合并为2230x y -=,联立消去y 并化简整理得：()22223440k x k x k --+=设()()3334,,,A x y B x y ,线段中点为(),N N N x y ,则()2342226,2233N N N x x k kx y k x k k +===-=--,设()00,M x y ,则条件③AM BM =等价于()()()()222203030404x x y y x x y y -+-=-+-,移项并利用平方差公式整理得：()()()()3403434034220x x x x x y y y y y ⎡⎤⎡⎤--++--+=⎣⎦⎣⎦，()()3403403434220y y x x x y y y x x -⎡⎤⎡⎤-++-+=⎣⎦⎣⎦-,即()000N N x x k y y -+-=,即200283k x ky k +=-；由题意知直线PM 的斜率为直线QM ,∴由))10102020,y y x x y y x x -=--=-,∴)121202y y x x x -=+-,所以直线PQ的斜率)1201212122x x x y y m x x x x +--==--,直线)00:PM y x x y =-+,即00y y =,代入双曲线的方程22330x y --=,即)3yy +-=中，得：()()00003y y ⎡⎤-=⎣⎦,解得P的横坐标：100x y ⎛⎫=+⎪⎪⎭,同理：200x y ⎛⎫=⎪⎪⎭，∴0012012002222000033,2,33y x x x y x x x x y x y x ⎛⎫-=++-=--⎪--⎭∴03x m y =,∴条件②//PQ AB 等价于003m k ky x =⇔=，综上所述：条件①M 在AB 上，等价于()2002ky k x =-；条件②//PQ AB 等价于003ky x =；条件③AM BM =等价于200283kx ky k +=-；选①②推③:由①②解得：2200002228,433k k x x ky x k k =∴+==--,∴③成立；选①③推②：由①③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴003ky x =，∴②成立；选②③推①：由②③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴02623x k -=-，∴()2002ky k x =-，∴①成立.5．(1)y x=(2)()g x 在[0,)+∞上单调递增.(3)证明见解析【解析】【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；（3）令()()()m x f x t f x =+-，(,0)x t >，即证()(0)m x m >，由第二问结论可知()m x 在[0,+∞）上单调递增，即得证.(1)解：因为()e ln(1)x f x x =+，所以()00f =，即切点坐标为()0,0，又1()e (ln(1))1xf x x x=+++'，∴切线斜率(0)1k f '==∴切线方程为：y x =(2)解：因为1()()e (ln(1))1xg x f x x x=++'=+，所以221()e (ln(1))1(1)xg x x x x =++++'，令221()ln(1)1(1)h x x x x =++-++，则22331221()01(1)(1)(1)x h x x x x x +=-+=>++++'，∴()h x 在[0,)+∞上单调递增，∴()(0)10h x h ≥=>∴()0g x '>在[0,)+∞上恒成立，∴()g x 在[0,)+∞上单调递增.(3)解：原不等式等价于()()()(0)f s t f s f t f +->-，令()()()m x f x t f x =+-，(,0)x t >，即证()(0)m x m >，∵()()()e ln(1)e ln(1)x t x m x f x t f x x t x +=+-=++-+，e e ()e ln(1)e ln(1)()()11x t x x tx m x x t x g x t g x x t x++=++++-=+-++'+，由（2）知1()()e (ln(1))1xg x f x x x=++'=+在[)0,∞+上单调递增，∴()()g x t g x +>，∴()0m x '>∴()m x 在()0,∞+上单调递增，又因为,0x t >，∴()(0)m x m >，所以命题得证.6．(1)11；(2)5．【解析】【分析】（1）设,sin )Q θθ是椭圆上任意一点,再根据两点间的距离公式求出2||PQ ，再根据二次函数的性质即可求出；（2）设直线1:2AB y kx =+与椭圆方程联立可得1212,x x x x +，再将直线132y x =-+方程与PA PB 、的方程分别联立，可解得点,C D 的坐标，再根据两点间的距离公式求出CD ，最后代入化简可得231CD k =⋅+，由柯西不等式即可求出最小值．(1)设,sin )Q θθ是椭圆上任意一点,(0,1)P ,则222221144144||12cos (1sin )1311sin 2sin 11sin 111111PQ θθθθθ⎛⎫=+-=--=-+≤⎭+⎪⎝，当且仅当1sin 11θ=-时取等号，故||PQ (2)设直线1:2AB y kx =+,直线AB 方程与椭圆22112x y +=联立,可得22130124k x kx ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,设()()1122,,,A x y B x y ，所以12212211231412k x x k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎪⎨⎪=-⎛⎫⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎩，因为直线111:1y PA y x x -=+与直线132y x =-+交于C ,则111114422(21)1C x x x x y k x ==+-+-,同理可得,222224422(21)1D x x x x y k x ==+-+-.则224||(21)1C D x CD x k x =-=+-2=35161656565231555k =⋅=≥=+，当且仅当316k =时取等号，故CD 的最小值为5.【点睛】本题主要考查最值的计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较难题．7．(1)()f x 的减区间为e 02⎛⎫⎪⎝⎭,，增区间为e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）（ⅰ）由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，（ⅱ）31x k x =，1e a m =<，则题设不等式可转化为()()()2131313122236m m m t t m m t t --++--<+，结合零点满足的方程进一步转化为()()()()211312ln 0721m m m m m m ---++<+，利用导数可证该不等式成立.(1)()22e 12e 22xf x x x x -'=-+=，当e02x <<，()0f x ¢<；当e 2x >，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为e 02⎛⎫⎪⎝⎭,，()f x 的增区间为e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)（ⅰ）因为过(),a b 有三条不同的切线，设切点为()(),,1,2,3i i x f x i =，故()()()i i i f x b f x x a '-=-，故方程()()()f x b f x x a '-=-有3个不同的根，该方程可整理为()21e e ln 022x a x b x x x ⎛⎫----+= ⎪⎝⎭，设()()21e e ln 22g x x a x b x x x ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭，则()()22321e 1e 1e22g x x a x x x x x x⎛⎫'=-+-+--+ ⎪⎝⎭()()31e x x a x =---，当0e x <<或x a >时，()0g x ¢<；当e x a <<时，()0g x ¢>，故()g x 在()()0,e ,,a +∞上为减函数，在()e,a 上为增函数，因为()g x 有3个不同的零点，故()e 0g <且()0>g a ，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫---+> ⎪⎝⎭，整理得到：12e a b <+且()e ln 2b a f a a >+=，此时()1e 13e11ln ln 2e 2e 22e 222a a a b f a a a a a ⎛⎫⎛⎫---<-+-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()3e ln 22u a a a =--，则()2e-202au a a '=<，故()u a 为()e,+∞上的减函数，故()3eln e 022eu a <--=，故()1012e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭.（ⅱ）当0e a <<时，同（ⅰ）中讨论可得：故()g x 在()()0,,e,a +∞上为减函数，在(),e a 上为增函数，不妨设123x x x <<，则1230e x a x x <<<<<，因为()g x 有3个不同的零点，故()0g a <且()e 0g >，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫---+< ⎪⎝⎭，整理得到：1ln 2e 2ea ab a +<<+，因为123x x x <<，故1230e x a x x <<<<<，又()2e e 1ln 2a ag x x b x x+=-+-+，设e t x =，()0,1e a m =∈，则方程2e e 1ln 02a ax b x x+-+-+=即为：2e ln 0e 2ea at t t b +-+++=即为()21ln 02m m t t t b -++++=，记123123e e e ,,,t t t x x x ===则113,,t t t 为()21ln 02m m t t t b -++++=有三个不同的根，设3131e 1x t k t x a ==>>，1eam =<，要证：22122e 112e e 6e 6e a a x x a --+<+<-，即证13e 2e e 26e 6ea at t a --+<+<-，即证：13132166m mt t m --<+<-，即证：131********m m t t t t m --⎛⎫⎛⎫+-+-+< ⎪⎝⎭⎝⎭，即证：()()()2131313122236m m m t t m m t t --++--<+，而()21111ln 02m m t t t b -++++=且()23331ln 02mm t t t b -++++=，故()()()22131313ln ln 102m t t t t m t t -+--+-=，故131313ln ln 222t t t t m m t t -+--=-⨯-，故即证：()()()21313131312ln ln 236m m m t t m t t m t t --+--⨯<-+，即证：()()()1213313ln1312072t t t m m m t t t +--++>-即证：()()()213121ln 0172m m m k k k --+++>-，记()()1ln ,11k k k k k ϕ+=>-，则()()2112ln 01k k k kk ϕ⎛⎫'=--> ⎪⎝⎭-，设()12ln u k k k k =--，则()2122210u k k k k k'=+->-=即()0k ϕ'>，故()k ϕ在()1,+∞上为增函数，故()()k m ϕϕ>，所以()()()()()()22131213121ln 1ln 172172m m m m m m k k m m k m --+--++++>+--，记()()()()()211312ln ,01721m m m m m m m m ω---+=+<<+，则()()()()()()()2232322132049721330721721m mm m m mm m m m m ω---+-+'=>>++，所以()m ω在()0,1为增函数，故()()10m ωω<=，故()()()()211312ln 0721m m m m m m ---++<+即()()()213121ln 0172m m m m m m --+++>-，故原不等式得证：【点睛】思路点睛：导数背景下的切线条数问题，一般转化为关于切点方程的解的个数问题，而复杂方程的零点性质的讨论，应该根据零点的性质合理转化需求证的不等式，常用的方法有比值代换等.。

高考压轴高等数学试卷

高考压轴高等数学试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）A. f(x) = x² + 1B. f(x) = 1/xC. f(x) = √(x - 2)D. f(x) = |x|2. 函数f(x) = e^(2x)的导数为（）A. f'(x) = 2e^(2x)B. f'(x) = e^(2x)C. f'(x) = 4e^(2x)D. f'(x) = 2xe^(2x)3. 若lim(x→0) (f(x) - f(0))/(x - 0) = 2，则f'(0)等于（）A. 2B. -2C. 0D. 不存在4. 函数y = x^3 - 3x + 1在x = 0处的切线方程为（）A. y = 1B. y = xC. y = x + 1D. y = -x5. 下列极限计算正确的是（）A. lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = eB. lim(x→0) x / (sin x) = 1C. lim(x→0) (1 - cos x) / x = 1/2D. lim(x→0) (e^x - 1) / x = 16. 若函数f(x) = x²lnx在区间[1, 2]上单调递增，则f'(x)在区间[1, 2]上的符号为（）A. 恒正B. 恒负C. 先正后负D. 先负后正7. 函数y = sin(3x)的周期为（）A. π/3B. 2π/3C. πD. 2π8. 已知函数f(x) = x² + 2x + 1，则f(x)的极值点为（）A. x = -1B. x = 0C. x = 1D. x = -29. 下列级数收敛的是（）A. ∑(n=1 to ∞) 1/nB. ∑(n=1 to ∞) (-1)^n/nC. ∑(n=1 to ∞) n^2D. ∑(n=1 to ∞) 1/n²10. 曲线y = e^(-x)在x = 0处的切线斜率为（）A. 1B. -1C. 0D. 不存在二、填空题（每题5分，共50分）1. 函数f(x) = x³ - 3x² + 2x在x = 1处的二阶导数为__________。

2023届高考数学压轴题(函数对称问题)专题练习(附答案)

2023届高考数学压轴题(函数对称问题)专题练习(附答案)

2023届高考数学压轴题（函数对称问题）专题练习1．已知函数22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩…的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是( ) A．1(,1)2B．13(,)24C．1(,1)3D．1(,2)2【名师解析】解： 函数22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩…的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，而函数1y kx =-关于直线1y =-的对称图象为1y kx =--，22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪∴=⎨+⎪⎩…的图象与1y kx =--的图象有且只有四个不同的交点，作函数22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩…的图象与1y kx =--的图象如下， 易知直线1y kx =--恒过点(0,1)A -，设直线AC 与2y xlnx x =-相切于点(,2)C x xlnx x -， 1y lnx '=-， 故211xlnx x lnx x-+-=， 解得，1x =； 故1AC k =-； 设直线AB 与232y x x =+相切于点23(,)2B x x x +， 322y x '=+， 故2313222x x x x+++=， 解得，1x =-； 故31222AB k =-+=-； 故112k -<-<-，故112k <<； 故选：A ．2．已知函数24,0(),0x x x f x xlnx x ⎧+=⎨>⎩… 图象上有且仅有四个不同的点关于直线y e =的对称点在函数()21g x kx e =++的图象上，则实数k 的取值范围为( ) A．(1,2)B．(1,0)-C．(2,1)--D．(6,1)--【名师解析】解： 函数24,0(),0x x x f x xlnx x ⎧+=⎨>⎩… 图象上有且仅有四个不同的点关于直线y e =的对称点在函数()21g x kx e =++的图象上，而函数()21g x kx e =++关于直线y e =的对称图象为1y kx =--，∴函数24,0(),0x x x ff x xlnx x ⎧+=⎨>⎩… 图象与1y kx =--的图象有且只有四个不同的交点， 作函数24,0(),0x x x f x xlnx x ⎧+=⎨>⎩… 图象与1y kx =--的图象如下，，易知直线1y kx =--恒过点(0,1)A -， 设直线AC 与y xlnx =相切于点(,)C x xlnx ， 1y lnx '=+， 故11xlnx lnx x++=， 解得，1x =； 故1AC k =；设直线AB 与y xlnx =相切于点2(,4)C x x x +， 24y x '=+，故24124x x x x +++=，解得，1x =-； 故242AC k =-+=； 故12k <-<， 故21k -<<-； 故选：C ．3．已知函数24,0(),0x x x f x xlnx x ⎧+=⎨>⎩… 图象上有且仅有四个不同的点关于直线y e =的对称点在函数()21g x kx e =++的图象上，则实数k 的取值范围为( ) A．(1,2)B．(1,0)-C．(2,1)--D．(6,1)--【名师解析】解： 函数24,0(),0x x x f x xlnx x ⎧+=⎨>⎩… 图象上有且仅有四个不同的点关于直线y e =的对称点在函数()21g x kx e =++的图象上，而函数()21g x kx e =++关于直线y e =的对称图象为1y kx =--，∴函数24,0(),0x x x f x xlnx x ⎧+=⎨>⎩… 图象与1y kx =--的图象有且只有四个不同的交点，作函数24,0(),0x x x f x xlnx x ⎧+=⎨>⎩… 图象与1y kx =--的图象如下， 易知直线1y kx =--恒过点(0,1)A -， 设直线AC 与y xlnx =相切于点(,)C x xlnx ， 1y lnx '=+， 故11xlnx lnx x++=， 解得，1x =； 故1AC k =；设直线AB 与24y x x =+相切于点2(,4)B x x x +， 24y x '=+，故24124x x x x +++=，解得，1x =-； 故242AC k =-+=； 故12k <-<， 故21k -<<-； 故选：C ．4．已知函数22,0()3,0x xlnx x f x x x x ->⎧=⎨--⎩…的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =的对称点在1y kx =+的图象上，则实数k 的取值范围是( ) A．1(,1)2B．(1,1)-C．11(,)32-D．11(,)22-【名师解析】解：直线1y kx =+关于直线1y =的对称直线为1y kx =-+， 则直线1y kx =-+与()y f x =的函数图象有4个交点， 当0x >时，()1f x lnx '=-，∴当0x e <<时，()0f x '>，当x e >时，()0f x '<，()f x ∴在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减， 作出()y f x =与直线1kx y -+=的函数图象，如图所示：设直线1y kx =-+与2y x xlnx =-相切，切点为1(x ，1)y ，则11111121lnx k x x lnx kx -=-⎧⎨-=-+⎩，解得：11x =，1k =-，设直线1y kx =-+与23(0)y x x x =--<相切，切点为2(x ，2)y ， 则222222331x kx x kx --=-⎧⎨--=-+⎩，解得21x =-，1k =． 直线1y kx =-+与()y f x =有4个交点，∴直线1y kx =+与()y f x =在(,0)-∞和(0,)+∞上各有2个交点， 11k ∴-<<．故选：B ．5．已知函数22,0()2,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩…的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是( ) A．1(,1)2B．(0,1)C．1(,0)2-D．(1,0)-【名师解析】解： 已知函数22,0()2,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩…的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，而函数1y kx =-关于直线1y =-的对称图象为1y kx =--，∴已知函数22,0()2,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩…的图象与1y kx =--的图象有且只有四个不同的交点， 作函数()f x 的图象与1y kx =--的图象如下，易知直线1y kx =--恒过点(0,1)A -，设直线AC 与2y xlnx x =-相切于点(,2)C x xlnx x -， 1y lnx '=-，故211xlnx x lnx x-+-=， 解得，1x =；故1AC k =-；设直线AB 与22y x ax =+相切于点2(,2)B x x x +， 22y x '=+，故22122x x x x +++=，解得，1x =-； 故220AB k =-+=， 故10k -<-<， 故01k <<， 故选：B ．6．已知函数21(,0()24,0xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪--⎩…则此函数图象上关于原点对称的点有( )A．0对B．1对C．2对D．3对【名师解析】解：作出函数()y f x =图象如图所示：再作出()y f x -=-，即24y x x =-，恰好与函数图象位于y 轴左侧部分（对数函数的图象）关于原点对称，记为曲线C，发现1()2x y =与曲线C 有且仅有一个交点，因此满足条件的对称点只有一对，图中的A 、B 就是符合题意的点． 故选：B ．7．若直角坐标平面内的两个不同的点M 、N 满足条件： ①M 、N 都在函数()y f x =的图象上；②M 、N 关于原点对称．则称点对[M ，]N 为函数()y f x =一对“友好点对”（注：点对[M ，]N 与[N ，]M 为同一“友好点对” )．已知函数42(0)()6(0)log x x f x x x x >⎧=⎨--⎩…，此函数的友好点对有( ) A．0对B．1对C．2对D．3对【名师解析】解：令(M s ，)(0)t s >，(,)N s t --， 函数42(0)()6(0)log x x f x x x x >⎧=⎨--⎩…， 4log t s ∴=，26t s t -=-+，24log 6s s s ∴=-画出4log y x =，26(0)y x x x =->的图象， 由图象可得有两个交点．故该函数的友好点对有2对． 故选：C ．8．若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足： ①P ，Q 都在函数()f x 的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称点对(,)P Q 是函数()y f x =的一对“友好点对”．（注：点对(,)P Q 与(,)Q P 看作同一对“友好点对” )．已知函数22log ,0()4,0x x f x x x x >⎧=⎨--⎩…，则该函数的“友好点对”有( ) A．0对B．1对C．2对D．3对【名师解析】解：根据题意：当0x >时，0x -<，则22()()4()4f x x x x x -=----=-+， 可知，若函数为奇函数，可有2()4f x x x =-，则函数24(0)y x x x =--…的图象关于原点对称的函数是24y x x =- 由题意知，作出函数24(0)y x x x =->的图象，看它与函数2()log (0)f x x x =>交点个数即可得到友好点对的个数． 如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2． 即()f x 的“友好点对”有：2个． 故选：C ．9．若函数()y f x =图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A ，]B 是函数()y f x =的一对“黄金点对”（注：点对[A ，]B 与[B ，]A 可看作同一对“黄金点对” )．已知函数222,0()4,041232,4x x f x x x x x x x ⎧<⎪=-+⎨⎪-+>⎩剟，则此函数的“黄金点对“有( ) A．0对B．1对C．2对D．3对【名师解析】解：由题意知函数()2x f x =，0x <关于y 轴对称的函数为12()2x x y -==，0x >，作出函数()f x 和1(2x y =，0x >的图象，由图象知当0x >时，()f x 和1()2x y =，0x >的图象有3个交点．所以函数()f x 的““黄金点对“有3对． 故选：D ．10．函数3log ,0()cos ,0x x f x x x π>⎧=⎨<⎩的图象上关于y 轴对称的点共有( )A．0对B．1对C．2对D．3对【名师解析】解：函数图象关于y 轴对称点，就是把cos y x π=的图象在0x >的部分画出，与3log xy =的交点的个数，如图中的红色交点，共有3对． 故选D11．已知函数21()2()f x lnx x e e=剟，()1g x mx =+，若()f x 与()g x 的图象上存在关于直线1y =对称的点，则实数m 的取值范围是( ) A．2[,2]e e-B．2[3e --，3]eC．2[e --，3]eD．32[2,3]e e --【名师解析】解：设(,)a b 是函数()f x 上的点，则21a e e剟，2b lna =，则点(,)a b 关于1y =对应的点为(,2)a b -在()g x 上， 即21b am -=+有解， 即12lna am -=， 当0m =时，不满足条件． 当0m ≠时，12lnam a-=， 设h （a）12lnaa-=， 则h '（a）2222(12)121232a lna lna lnaa a a a -⨯--⨯--+-+===， 当21a e e剟时，12lna -剟，则，224lna -剟， 即由h '（a）0>，得320lna -+>，得32lna >，即322e a e <<，时，函数为增函数，由h '（a）0<，得320lna -+<，得32lna <，即321a e e <<时，函数为减函数，即当32a e =时，函数h （a）取得极小值同时也是最小值3332223212()2lne h e e e--==-，又2222123()lne h e e e--==，1121(31ln e h e e e-==，∴函数h （a）的最大值为3e ，即h （a）的取值范围是32[2,3]e e --， 则m 的取值范围是32[2,3]e e --， 故选：D ．12．已知函数21()(f x x ax x e e=-剟，e 为自然对数的底数）与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 取值范围是( ) A．[1，1]e e+B．[1，1]e e-C．1[e e -，1e e+D．1[e e-，]e【名师解析】解：若函数21()(f x x ax x e e=-剟，e 为自然对数的底数）与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则函数21()(f x x ax x e e=-剟，e 为自然对数的底数）与函数()h x lnx =的图象有交点， 即2x ax lnx -=，1()x e e剟有解，即lnx a x x =-，1()x e e 剟有解， 令lnx y x x =-，1()x e e剟， 则221x lnxy x-+'=， 当11x e<…时，0y '<，函数为减函数， 当1x e <…时，0y '>，函数为增函数， 故1x =时，函数取最小值1， 当1x e =时，函数取最大值1e e+， 故实数a 取值范围是[1，1e e+，故选：A ．13．已知函数()1f x kx =+，()1(11)x g x e x =+-剟，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ，N ，使得点M ，N 关于直线1y =对称，则实数k 的取值范围是( )A．1[,)e +∞B．1[,)e e-C．[e -，)+∞D．1(,][,)e e-∞-+∞【名师解析】解：由题意()f x ，()g x 图象上分别存在点M ，N ，使得点M ，N 关于直线1y =对称，则112x kx e +++=，即x e kx =-，所以指数函数x y e =与一次函数y kx =-在11x -剟恒有交点，画出图形， ①1x =-时，1k e =，即1k e=； ②1x =时，k e =-，综上，解得(k ∈-∞，]e -⋃，1[e，)+∞故选：D ．14．已知函数2()f x x m =+与函数11()3([,2])2g x ln x x x =--∈的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是( ) A．5[2,2]4ln +B．5[22,2]4ln ln -+C．5[2,22]4ln ln ++ D．[22ln -，2]【名师解析】解：由已知，得到方程22133x m ln x m lnx x x x +=+⇔=-+-在1[2，2]上有解．设2()3f x lnx x x =-+-，求导得：21231(21)(1)()32x x x x f x x x x x -+--'=-+-=-=-， 122x 剟， 令()0f x '=，解得12x =或1x =， 当()0f x '>时，112x <<函数单调递增， 当()0f x '<时，12x <<函数单调减， ∴在1x =有唯一的极值点，15()224f ln =+ ，f （2）22ln =-+，()f x f =极大值（1）2=，且知f （2）1()2f <，故方程23m lnx x x =-+-在1[2，2]上有解等价于222ln m -剟． 从而m 的取值范围为[22ln -，2]． 故选：D ．15．已知函数41()(0)2x f x x e x =+-<与4()()g x x ln x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A．(-∞B．(-∞C．(D．(【名师解析】解：()f x 与()g x 的图象上存在关于y 轴对称的点， 等价为()()f x g x -=在0x >时，有解即可， 则441()2x x e x ln x a -+-=++， 即1()2x e ln x a --=+，在(0,)+∞上有解即可， 设12x y e -=-，()()h x ln x a =+， 作出两个函数的图象如图： 当0x =时，1111222x y e -=-=-=， 当0a …，将lnx 的图象向右平移，此时()ln x a +一定与12x y e -=-有交点，满足条件， 当0a >时，则1(0)2h lna =<，得120a e <<=，综上a <即实数a的取值范围是(-∞ 故选：A ．16．已知函数22,0()5,04xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩…的图象上有且仅有两个不同的点关于直线2y =-的对称点在30kx y --=的图象上，则实数k 的取值范围是 34k <或1k > ． 【名师解析】解：函数3y kx =-关于直线2y =-的对称图象为1y kx =--， 所以条件等价于函数()f x 与1y kx =--有且仅有2个不同的交点，当0x >，()2f x xlnx x =-，则令()10f x lnx '=-=，解得x e =， 且当0x e <<，()f x 单调递减，当x e >，()f x 单调递增， 作出函数()f x 与1y kx =--图象如图：当1y kx =--是2y xlnx x =-切线时，设切点0(x ，0)y ，则01lnx k -=-， 且0000012y kx x lnx x =--=-，解得切点坐标为(1,2)-，1k -=-， 根据图象可知1k -<-，则1k >； 当1y kx =--是254y x x =+切线时，设切点0(x ，0)y ，则0524x k +=-，且20000514y x x kx =+=--，解得切点坐标为1(1,)4--，34k -=-，根据图象可知34k ->-，则34k <，综上，34k <或1k >， 故答案为：34k <或1k >．17．已知函数22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩…的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是 1(2，1) ．【名师解析】解： 函数22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩…的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，而函数1y kx =-关于直线1y =-的对称图象为1y kx =--，22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪∴=⎨+⎪⎩…的图象与1y kx =--的图象有且只有四个不同的交点，作函数22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩…的图象与1y kx =--的图象如下，易知直线1y kx =--恒过点(0,1)A -，设直线AC 与2y xlnx x =-相切于点(,2)C x xlnx x -， 1y lnx '=-，故211xlnx x lnx x-+-=， 解得，1x =，故1AC k =-； 设直线AB 与232y x x =+相切于点23(,)2B x x x +， 322y x '=+， 故2313222x x x x+++=， 解得，1x =-； 故31222AB k =-+=-， 故112k -<-<-，即112k <<； 故答案为1(2，1)．18．已知函数21()(f x x ax x e e =-剟，e 为自然对数的底数）与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 的取值范围是 [1，1e e+．【名师解析】解：若函数21()(f x x ax x e e=-剟，e 为自然对数的底数）与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点， 则函数21()(f x x ax x e e=-剟，e 为自然对数的底数）与函数()h x lnx =的图象有交点， 即2x ax lnx -=，1()x e e剟有解，即lnx a x x =-，1()x e e 剟有解， 令lnx y x x =-，1()x e e剟， 则221x lnxy x -+'=， 当11x e<…时，0y '<，函数为减函数， 当1x e <…时，0y '>，函数为增函数， 故1x =时，函数取最小值1，由于当1x e =时，1y e e =+；当x e =时，1y e e=-； 故当1x e =时，函数取最大值1e e+， 故实数a 取值范围是[1，1e e +，故答案为：[1，1]e e+．19．已知函数31()36f x x mx =-+，()54g x x lnx =-+，若函数()f x 的导函数()f x '与()([1g x x ∈，9])的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的最大值为 9832ln -+ ．【名师解析】解：因为31()36f x x mx =-+，所以21()2f x x m '=-．由题意知方程21()()5402f xg x x m x lnx '+=--+=在[1x ∈，9]上有解， 等价于21542m x x lnx =-+在[1x ∈，9]上有解， 令21()54([1,9])2h x x x lnx x =-+∈，则2454(1)(4)()5x x x x h x x x x x -+--'=-+==， 当14x <<时，()0h x '<，当49x <<时，()0h x '>． 所以函数()h x 在[1，4)上单调递减，在(4，9]上单调递增， 所以h （1）h >（4），因为1(4)165482128202h ln ln =⨯-⨯+=-+<，2199(9)959498380222h ln ln =⨯-⨯+=-+>-+>， 所以()h x 的最大值为9832ln -+，所以m 的最大值为9832ln -+．故答案为：9832ln -+．20．已知函数5()22x f x =-，0x <与4()log ()g x x a =-的图象上存在关于点(1,1)对称的点，则实数a 的取值范围是 (0,)+∞ 【名师解析】解：函数5()22x f x =-，0x <与4()log ()g x x a =-的图象上存在关于点(1,1)对称的点， 即为函数5()22x f x =-关于(1,1)对称的函数21()22x h x -=-，2x > 的图象与()y g x =的图象有交点， 由3(0,)2关于(1,1)的对称点为1(2,)2，代入()y g x =，可得41log (2)2a -=， 解得0a =，由图象平移可得()y g x =的图象向右平移，均有一个交点， 则a 的范围是0a >， 故答案为：(0,)+∞．。

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高考数学压轴题型专项练习（最新版）一．选择题（共6小题）1．（新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50 B．0 C．2 D．502．（新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P 在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．3．（上海）设D是函数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．04．（浙江）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4+3=0，则|﹣|的最小值是（）A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣5．（浙江）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（）A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ16．（浙江）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．7．（江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为．8．（江苏）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为．9．（天津）已知a＞0，函数f（x）=．若关于x的方程f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是．10．（北京）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为．11．（上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为．12．（上海）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=．13．（浙江）已知λ∈R，函数f（x）=，当λ=2时，不等式f（x）＜0的解集是．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是．14．（浙江）已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点A，B满足=2，则当m=时，点B横坐标的绝对值最大．15．（浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位数．（用数字作答）三．解答题（共2小题）16．（上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．17．（浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．高考数学压轴题小题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）=2，∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C．2．（新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P 在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），直线AP的方程为：y=（x+a），由∠F1F2P=120°，|PF2|=|F1F2|=2c，则P（2c，c），代入直线AP：c=（2c+a），整理得：a=4c，∴题意的离心率e==．故选：D．3．（上海）设D是函数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．4．（浙江）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4+3=0，则|﹣|的最小值是（）A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣【解答】解：由﹣4+3=0，得，∴（）⊥（），如图，不妨设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y=（x＞0）上．不妨以y=为例，则|﹣|的最小值是（2，0）到直线的距离减1．即．故选：A．5．（浙江）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（）A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1【解答】解：∵由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心．过E作EF∥BC，交CD于F，过底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N，连接SN，取AB中点M，连接SM，OM，OE，则EN=OM，则θ1=∠SEN，θ2=∠SEO，θ3=∠SMO．显然，θ1，θ2，θ3均为锐角．∵tanθ1==，tanθ3=，SN≥SO，∴θ1≥θ3，又sinθ3=，sinθ2=，SE≥SM，∴θ3≥θ2．故选：D．6．（浙江）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x=时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．二．填空题（共9小题）7．（江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为2．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y=x的距离为c，可得：=b=，可得，即c=2a，所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：2．8．（江苏）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为﹣3．【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①当a≤0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去；②当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，又f（x）只有一个零点，∴f（）=﹣+1=0，解得a=3，f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减，f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0，∴f（x）min=f（﹣1）=﹣4，f（x）max=f（0）=1，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：f（x）max+f（x）min=﹣4+1=﹣3．9．（天津）已知a＞0，函数f（x）=．若关于x的方程f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是（4，8）．【解答】解：当x≤0时，由f（x）=ax得x2+2ax+a=ax，得x2+ax+a=0，得a（x+1）=﹣x2，得a=﹣，设g（x）=﹣，则g′（x）=﹣=﹣，由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增，由g′（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x=﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）=4，当x＞0时，由f（x）=ax得﹣x2+2ax﹣2a=ax，得x2﹣ax+2a=0，得a（x﹣2）=x2，当x=2时，方程不成立，当x≠2时，a=设h（x）=，则h′（x）==，由h′（x）＞0得x＞4，此时递增，由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x=4时，h（x）取得极小值为h（4）=8，要使f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则由图象知4＜a＜8，故答案为：（4，8）10．（北京）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为2．【解答】解：椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（，），可得：，可得，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），解得e=．同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，可得：，即，可得双曲线的离心率为e==2．故答案为：；2．11．（上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为+．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．12．（上海）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=6．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为：613．（浙江）已知λ∈R，函数f（x）=，当λ=2时，不等式f（x）＜0的解集是{x|1＜x＜4} ．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是（1，3]∪（4，+∞）．【解答】解：当λ=2时函数f（x）=，显然x≥2时，不等式x﹣4＜0的解集：{x|2≤x＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化为：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，综上，不等式的解集为：{x|1＜x＜4}．函数f（x）恰有2个零点，函数f（x）=的草图如图：函数f（x）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4．故答案为：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．14．（浙江）已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点A，B满足=2，则当m=5时，点B横坐标的绝对值最大．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由P（0，1），=2，可得﹣x1=2x2，1﹣y1=2（y2﹣1），即有x1=﹣2x2，y1+2y2=3，又x12+4y12=4m，即为x22+y12=m，①x22+4y22=4m，②①﹣②得（y1﹣2y2）（y1+2y2）=﹣3m，可得y1﹣2y2=﹣m，解得y1=，y2=，则m=x22+（）2，即有x22=m﹣（）2==，即有m=5时，x22有最大值4，即点B横坐标的绝对值最大．故答案为：5．15．（浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成1260个没有重复数字的四位数．（用数字作答）【解答】解：从1，3，5，7，9中任取2个数字有种方法，从2，4，6，0中任取2个数字不含0时，有种方法，可以组成=720个没有重复数字的四位数；含有0时，0不能在千位位置，其它任意排列，共有=540，故一共可以组成1260个没有重复数字的四位数．故答案为：1260．三．解答题（共2小题）16．（上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+）+1=1﹣，∴sin（2x+）=﹣，∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=或x=﹣或x=﹣17．（浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．∴x=﹣，y=，r=|OP|=，∴sin（α+π）=﹣sinα=；（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，得，，又由sin（α+β）=，得=，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．∴cosβ的值为或．备注：本资料由呆哥数学亲自整理，如果需要更多的初中、高中、高考、中考干货资料，请按住CTRL并点击进行下载学习。

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