高考数学一轮复习 2.11导数的概念及运算 文
高三数学导数知识点归纳总结
高三数学导数知识点归纳总结导数作为高中数学的一个重要概念，是微积分的基础知识之一。
在高三数学学习的过程中，导数的应用几乎贯穿了整个学期的内容。
为了帮助同学们更好地掌握导数的知识，以下是对高三数学导数知识点的归纳总结。
一、导数的概念和定义导数是刻画函数局部变化率的工具，用来描述函数的瞬时变化速度。
对于函数y=f(x)，在某一点x处的导数可以用极限表示：f'(x) = lim┬(Δx→0)(f(x+Δx)-f(x))/Δx。
二、导数的计算法则1. 基本初等函数的导数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数都有相应的计算公式。
2. 基本运算法则：和差法则、积法则、商法则等，使我们能够对两个或多个函数进行加、减、乘、除的运算，并得到相应的导数。
3. 复合函数的导数：复合函数的导数可以通过链式法则求得，即若y=f(g(x))，则y' = f'(g(x)) * g'(x)。
三、导数的几何意义导数表征了函数图像在某一点处的切线斜率。
具体来说，导数大的正值表示函数在该点处增长快，导数小的正值表示函数在该点处增长慢，而导数为0表示函数在该点处取极值（极大值或极小值），导数为负表示函数在该点处减小。
四、导数的应用1. 极值问题：导数可以帮助我们判断函数在某个区间上的极大值和极小值，常用的方法是求出临界点，并通过一阶导数的符号进行分类讨论。
2. 函数的单调性：通过一阶导数的正负来判断函数在某个区间上的增减性，从而求出函数的单调区间。
3. 函数的图像：利用导数的几何意义，我们可以绘制函数图像的大致形态，包括切线、拐点以及凹凸性等。
4. 最值问题：通过导数判断函数在某个闭区间上的最大值和最小值，在一阶导数和二阶导数的变号处可以找到极值点。
5. 泰勒展开：利用导数的概念和定义，我们可以将一个函数在某个点附近展开成无穷项的幂级数，从而近似计算函数的值。
总结起来，高三数学导数知识点的归纳总结涉及导数的概念和定义、计算法则、几何意义以及应用。
新高考导数知识点
新高考导数知识点导数是高中数学中的重要概念，它在数学和科学中有广泛的应用。
导数的概念和方法是新高考数学中需要掌握的知识点之一。
本文将介绍导数的概念、性质以及一些常用的求导法则。
一、导数的概念导数是函数在某一点处的变化率，也可以理解为函数图像上某一点的切线斜率。
设函数y=f(x)，则函数在某点x=a的导数记作f'(a)，其定义为：f'(a) = lim┬(h→0)(f(a+h)-f(a))/h其中，h为自变量x的增量。
这一定义可以解释为函数图像上某一点处的切线斜率。
二、导数的性质1. 导数的存在性：如果函数在某一点处可导，则导数存在；反之，如果导数存在，则函数在该点可导。
2. 导数的代数运算：导数具有线性性质，具体表现为：(1) (cf(x))' = cf'(x)，其中c为常数；(2) (f(x)+g(x))' = f'(x)+g'(x)；(3) (f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；(4) (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2，其中g(x)≠0。
3. 导数的乘法法则：设函数u(x)和v(x)都在点x处可导，则(uv)' = u'v+uv'。
4. 导数的链式法则：设函数y=f(u)和u=g(x)都在某一点x处可导，则复合函数y=f(g(x))在该点可导，且其导数为：(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)。
三、常用的求导法则在求解导数时，有一些常用的求导法则是非常有用的。
下面介绍几种常见的求导法则：1. 幂函数求导法则：设常数a和自然数n，函数y = xⁿ，则有y' = nxⁿ⁻¹。
2. 指数函数求导法则：设常数a，函数y = aˣ，则有y' = aˣlna。
新高考导数知识点归纳总结
新高考导数知识点归纳总结随着新高考制度的实施，越来越多的学生开始接触到导数这一概念。
导数在数学中具有重要的地位，不仅仅是高考数学的考点，更是解决实际问题的有力工具。
为了帮助学生更好地掌握导数的知识，本文将对新高考导数知识点进行归纳总结，并提供相关的解题技巧和注意事项。
一、导数的定义和求导法则1. 导数的定义：导数是函数在某一点处的变化率，即斜率。
用数学符号表示为f'(x)，或者dy/dx。
2. 求导法则：- 常数法则：如果f(x) = C，其中C为常数，则f'(x) = 0。
- 幂函数法则：如果f(x) = x^n，其中n为正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。
- 乘法法则：如果f(x) = u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)为函数，则f'(x)= u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。
- 除法法则：如果f(x) = u(x)/v(x)，其中u(x)和v(x)为函数，v(x) ≠ 0，则f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x))/v(x)^2。
- 反函数法则：如果f(x)和g(x)互为反函数，则f'(x) = 1/g'(f(x))。
二、导数的计算和性质1. 高阶导数：- 一阶导数：f'(x)表示函数f(x)的一阶导数。
- 二阶导数：f''(x)表示函数f(x)的二阶导数。
- 高阶导数：f^n(x)表示函数f(x)的n阶导数。
2. 导数的计算：- 函数的和、差、积的导数：如果f(x)和g(x)的导函数存在，则(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)，(f-g)'(x) = f'(x) - g'(x)，(fg)'(x) = f'(x)g(x) +f(x)g'(x)。
- 复合函数的导数：如果y = f(g(x))，其中f(x)和g(x)均可导，则y' = f'(g(x))g'(x)。
导数的概念及其意义、导数的运算课件-高三数学一轮复习
y′
⋅
u′
u
x
间具有关系′ =__________,这个关系用语言表达就是“对的
导数等于对的导数与对的导数的乘积”
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］
已知函数f x =
[解析] f 6 = 108,f 2 =
2
3x ，则y
=f x
24
在[2,6]上的平均变化率为____.
2−x
e
= 3−
2
x
2−x
e .
探究点二 导数的几何意义
角度1 求切线方程
例2（1）
[2023·南京模拟] 函数f x =
方程为(
)
B
A.y = −2x − 1
4
x
B.y = −2x + 1
−
3
2x 的图象在点
C.y = 2x − 3
1, f 1 处的切线
D.y = 2x + 1
［思路点拨］（1）利用导数的几何意义求切线的斜率，从而求切线的方程.
e .故选C.
=
m
e
m
e
+m=
m
e
− 1)(x − m .
− 1)(e − m ，
e+1
e
− 1)(x − e − 1 − e − 1，
角度2 求切点坐标
例3
已知f x =
3
x
−
2
3x
+ ax − 1，若曲线y = f x 在点 x0 , f x0 处的切线经
1
1或−
过坐标原点，则x0 =_________.
2
［思路点拨］ 根据导数的几何意义及切线过原点写出切线方程，由切线过切点
高考数学复习讲义：导数的概念及运算、定积分
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[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点． ( ) (2)求曲线过点 P 的切线时 P 点一定是切点． ( ) 答案：(1)√ (2)×
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看成常数，再求导 复合函数 确定复合关系，由外向内逐层求导
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[针对训练]
1．设 f(x)＝x(2 019＋ln x)，若 f′(x0)＝2 020，则 x0 等于( )
A．e2
B．1
C．ln 2
D．e
解析：f′(x)＝2 019＋ln x＋1＝2 020＋ln x，由 f′(x0)＝ 2 020，得 2 020＋ln x0＝2 020，则 ln x0＝0，解得 x0＝1. 答案：B
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2．曲线 y＝log2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的 面积等于________． 解析：∵y′＝xln1 2，∴切线的斜率 k＝ln12，∴切线方程为 y＝ln12(x－1)，∴所求三角形的面积 S＝12×1×ln12＝2ln1 2＝ 1 2log2e. 答案：12log2e
二、填空题 1．已知函数 f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若 f(x)的图象在 x＝1
处的切线方程为 2x－y＝0，则 a＋b＝________. 解析：由题意，得 f′(x)＝aln x＋a，所以 f′(1)＝a，因为函 数 f(x)的图象在 x＝1 处的切线方程为 2x－y＝0，所以 a＝2， 又 f(1)＝b，则 2×1－b＝0，所以 b＝2，故 a＋b＝4. 答案：4
答案：－xsin x 2．已知 f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则 x0＝________.
2023年高考数学(文科)一轮复习——导数的概念及运算
第1节导数的概念及运算考试要求 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3，y＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).2.函数y＝f(x)的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，称它为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos__x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin__x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln__a f (x )＝ln xf ′(x )＝1x f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0).1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f （x ）′＝－f ′（x ）[f （x ）]2(f (x )≠0).3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( )(2)函数f (x )＝sin(－x )的导数f ′(x )＝cos x .( ) (3)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0).( )(4)曲线y ＝f (x )在某点处的切线与曲线y ＝f (x )过某点的切线意义是相同的.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)f ′(x 0)表示y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f (x )＝sin(－x )＝－sin x ，则f ′(x )＝－cos x ，(2)错. (3)求f ′(x 0)时，应先求f ′(x )，再代入求值，(3)错.(4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，在曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，(4)错.2.某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h (t )＝10－4.9t 2＋8t (距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为( ) A.9.1米/秒 B.6.75米/秒 C.3.1米/秒D.2.75米/秒答案 C解析 h ′(t )＝－9.8t ＋8， ∴h ′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1.3.(2022·银川质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≤0，－x 2＋ax ，x >0为奇函数，则曲线f (x )在x ＝2处的切线斜率等于( ) A.6 B.－2C.－6D.－8答案 B解析 f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x ). 取x >0，得x 2－2x ＝－(－x 2＋ax )，则a ＝2. 当x >0时，f ′(x )＝－2x ＋2.∴f ′(2)＝－2.4.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝e x x ＋a .若f ′(1)＝e4，则a ＝________.答案 1 解析 由f ′(x )＝e x （x ＋a ）－e x（x ＋a ）2，可得f ′(1)＝e a （1＋a ）2＝e 4，即a （1＋a ）2＝14，解得a ＝1.5.(2021·全国甲卷)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为________.答案 5x －y ＋2＝0解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －1x ＋2′＝（2x －1）′（x ＋2）－（2x －1）（x ＋2）′（x ＋2）2＝5（x ＋2）2， 所以k ＝y ′|x ＝－1＝5（－1＋2）2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.6.(易错题)设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.答案 － 2解析 由f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2·cos π2－sin π2，解得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2.考点一 导数的运算1.下列求导运算不正确的是( ) A.(sin a )′＝cos a (a 为常数)B.(sin 2x )′＝2cos 2xC.(x )′＝12xD.(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x 答案 A解析 ∵a 为常数，∴sin a 为常数，∴(sin a )′＝0，故A 错误.由导数公式及运算法则知B 、C 、D 正确.2.若f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2，则f ′(x )＝________.答案 1－1x －2x 2＋2x 3解析 由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2.∴f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3.3.设f ′(x )是函数f (x )＝cos xe x ＋x 的导函数，则f ′(0)的值为________. 答案 0 解析 因为f (x )＝cos xe x＋x ， 所以f ′(x )＝（cos x ）′e x －（e x ）′cos x （e x ）2＋1＝－sin x －cos xe x ＋1， 所以f ′(0)＝－1e 0＋1＝0.4.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f (1)＝________. 答案 －234解析 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ， ∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x .令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，则f ′(2)＝－94. ∴f (1)＝1＋3×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－94＋0＝－234.感悟提升 1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. 考点二 导数的几何意义 角度1 求切线的方程例1 (1)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为________.答案 (1)3x －y ＝0 (2)x －y －1＝0 解析 (1)y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝3e x (x 2＋3x ＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k ＝e 0×3＝3，所以所求切线方程为3x －y ＝0.(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0). 又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x . ∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 角度2 求曲线的切点坐标例2 (2022·皖豫名校联考)若曲线y ＝e x ＋2x 在其上一点(x 0，y 0)处的切线的斜率为4，则x 0＝( ) A.2 B.ln 4 C.ln 2D.－ln 2答案 C解析 ∵y ′＝e x ＋2，∴e x 0＋2＝4，∴e x 0＝2，x 0＝ln 2. 角度3 导数与函数图象问题例3 已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.答案 0解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13. ∵g (x )＝xf (x )， ∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题意可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.感悟提升 1.求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P 处的导数不存在，则切线垂直于x 轴，切线方程为x ＝x 0.2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.训练1 (1)(2022·沈阳模拟)曲线f (x )＝2e x sin x 在点(0，f (0))处的切线方程为( ) A.y ＝0 B.y ＝2x C.y ＝xD.y ＝－2x(2)(2021·长沙检测)如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋3是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线，令h(x)＝f（x）x，h′(x)是h(x)的导函数，则h′(1)的值是()A.2B.1C.－1D.－3答案(1)B(2)D解析(1)∵f(x)＝2e x sin x，∴f(0)＝0，f′(x)＝2e x(sin x＋cos x)，∴f′(0)＝2，∴所求切线方程为y＝2x.(2)由图象知，直线l经过点(1，2).则k＋3＝2，k＝－1，从而f′(1)＝－1，且f(1)＝2，由h(x)＝f（x）x，得h′(x)＝xf′（x）－f（x）x2，所以h′(1)＝f′(1)－f(1)＝－1－2＝－3.考点三导数几何意义的应用例4 (1)已知曲线f(x)＝x ln x在点(e，f(e))处的切线与曲线y＝x2＋a相切，则实数a 的值为________.(2)(2022·河南名校联考)若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________.答案(1)1－e(2)[2，＋∞)解析(1)因为f′(x)＝ln x＋1，所以曲线f(x)＝x ln x在x＝e处的切线斜率为k＝2，又f(e)＝e，则曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝2x －e. 由于切线与曲线y ＝x 2＋a 相切，故可联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋a ，y ＝2x －e ，得x 2－2x ＋a ＋e ＝0，所以由Δ＝4－4(a ＋e)＝0，解得a ＝1－e. (2)∵直线2x －y ＝0的斜率为k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，∴f ′(x )＝1x ＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x －2，x >0. 又4x ＋1x ≥24x ·1x ＝4，当且仅当x ＝12时取“＝”.∴a ≥4－2＝2.∴a 的取值范围是[2，＋∞).感悟提升 1.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上.2.利用导数的几何意义求参数范围时，注意化归与转化思想的应用.训练2 (1)(2021·洛阳检测)函数f (x )＝ln x －ax 在x ＝2处的切线与直线ax －y －1＝0平行，则实数a ＝( ) A.－1 B.14 C.12D.1(2)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b ＝________. 答案 (1)B (2)1解析 (1)∵f (x )＝ln x －ax ，∴f ′(x )＝1x －a .又曲线y ＝f (x )在x ＝2处切线的斜率k ＝f ′(2)， 因此12－a ＝a ，∴a ＝14.(2)y ＝x 3＋ax ＋b 的导数为y ′＝3x 2＋a ， 可得在点(1，1)处切线的斜率为k ＝3＋a ，又k ＋1＝3，1＋a ＋b ＝3，解得k ＝2，a ＝－1，b ＝3，即有2a ＋b ＝－2＋3＝1.公切线问题求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，其中直线与抛物线相切可用判别式法. 一、共切点的公切线问题例1 设点P 为函数f (x )＝12x 2＋2ax 与g (x )＝3a 2ln x ＋2b (a >0)的图象的公共点，以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切，则实数b 的最大值为( ) A.23e 34 B.32e 34 C.43e 23D.34e 23答案 D解析 设P (x 0，y 0)，由于P 为公共点， 则12x 20＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋2b .又点P 处的切线相同，则f ′(x 0)＝g ′(x 0)， 即x 0＋2a ＝3a 2x 0，即(x 0＋3a )(x 0－a )＝0.又a >0，x 0>0，则x 0＝a ，于是2b ＝52a 2－3a 2ln a .设h (x )＝52x 2－3x 2ln x ，x >0， 则h ′(x )＝2x (1－3ln x ).可知：当x ∈(0，e 13)时，h (x )单调递增；当x ∈(e 13，＋∞)时，h (x )单调递减. 故h (x )max ＝h (e 13)＝32e 23， 于是b 的最大值为34e 23，选D. 二、切点不同的公切线问题例2 曲线y ＝－1x (x <0)与曲线y ＝ln x 的公切线的条数为________. 答案 1解析 设(x 1，y 1)是公切线和曲线y ＝－1x 的切点， 则切线斜率k 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′|x ＝x 1＝1x 21，切线方程为y ＋1x 1＝1x 21(x －x 1)，整理得y ＝1x 21·x －2x 1.设(x 2，y 2)是公切线和曲线y ＝ln x 的切点， 则切线斜率k 2＝(ln x )′|x ＝x 2＝1x 2，切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，整理得y ＝1x 2·x ＋ln x 2－1.令1x 21＝1x 2，－2x 1＝ln x 2－1，消去x 2得－2x 1＝ln x 21－1.设t ＝－x 1>0，即2ln t －2t －1＝0，只需探究此方程解的个数.易知函数f (x )＝2ln x －2x －1在(0，＋∞)上单调递增，f (1)＝－3<0，f (e)＝1－2e >0，于是f (x )＝0有唯一解，于是两曲线的公切线的条数为1.1.函数f (x )＝x 2＋ln x ＋sin x ＋1的导函数f ′(x )＝( ) A.2x ＋1x ＋cos x ＋1 B.2x －1x ＋cos x C.2x ＋1x －cos xD.2x ＋1x ＋cos x答案 D解析 由f (x )＝x 2＋ln x ＋sin x ＋1得f ′(x )＝2x ＋1x ＋cos x . 2.曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( )A.2B.－2C.12D.－12答案 D解析 y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2（x －1）2，故曲线在点(3，2)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－12. 3.(2021·安徽皖江名校联考)已知f (x )＝x 3＋2xf ′(0)，则f ′(1)＝( ) A.2 B.3C.4D.5答案 B解析 f ′(x )＝3x 2＋2f ′(0)， ∴f ′(0)＝2f ′(0)，解得f ′(0)＝0， ∴f ′(x )＝3x 2，∴f ′(1)＝3.4.(2022·豫北十校联考)已知f (x )＝x 2，则过点P (－1，0)，曲线y ＝f (x )的切线方程为( ) A.y ＝0 B.4x ＋y ＋4＝0 C.4x －y ＋4＝0 D.y ＝0或4x ＋y ＋4＝0 答案 D解析 易知点P (－1，0)不在f (x )＝x 2上，设切点坐标为(x 0，x 20)，由f (x )＝x 2可得f ′(x )＝2x ，∴切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝2x 0. ∵切线过点P (－1，0)，∴k ＝x 20x 0＋1＝2x 0，解得x 0＝0或x 0＝－2，∴k ＝0或－4，故所求切线方程为y ＝0或4x ＋y ＋4＝0.5.(2022·昆明诊断)若直线y ＝ax 与曲线y ＝ln x －1相切，则a ＝( ) A.e B.1C.1eD.1e 2答案 D解析 由y ＝ln x －1，得y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0－1)，则⎩⎨⎧ax 0＝ln x 0－1，a ＝1x 0，解得a ＝1e 2. 6.已知函数f (x )在R 上可导，其部分图象如图所示，设f （4）－f （2）4－2＝a ，则下列不等式正确的是( )A.a <f ′(2)<f ′(4)B.f ′(2)<a <f ′(4)C.f ′(4)<f ′(2)<aD.f ′(2)<f ′(4)<a 答案 B解析 由函数f (x )的图象可知，在[0，＋∞)上，函数值的增长越来越快，故该函数图象在[0，＋∞)上的切线斜率也越来越大. 因为f （4）－f （2）4－2＝a ，所以f ′(2)<a <f ′(4).7.函数f (x )＝(2x －1)e x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为________. 答案 π4解析 由f (x )＝(2x －1)e x ， 得f ′(x )＝(2x ＋1)e x ，∴f ′(0)＝1，则切线的斜率k ＝1， 又切线倾斜角θ∈[0，π)， 因此切线的倾斜角θ＝π4.8.已知曲线f (x )＝13x 3－x 2－ax ＋1存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围是________. 答案 (－4，＋∞) 解析 f ′(x )＝x 2－2x －a ，依题意知x 2－2x －a ＝3有两个实数解， 即a ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4有两个实数解， ∴y ＝a 与y ＝(x －1)2－4的图象有两个交点， ∴a >－4.9.(2021·济南检测)曲线y ＝f (x )在点P (－1，f (－1))处的切线l 如图所示，则f ′(－1)＋f (－1)＝________.答案－2解析∵直线l过点(－2，0)和(0，－2)，∴直线l的斜率f′(－1)＝0＋2－2－0＝－1，直线l的方程为y＝－x－2.则f(－1)＝1－2＝－1.故f′(－1)＋f(－1)＝－1－1＝－2.10.已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程.解(1)因为f′(x)＝3x2－8x＋5，所以f′(2)＝1，又f(2)＝－2，所以曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y －4＝0.(2)设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)，因为f′(x0)＝3x20－8x0＋5，所以切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)，所以x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)·(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，所以经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.11.已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.解(1)根据题意，得f′(x)＝3x2＋1.所以曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率k＝f′(2)＝13，所以所求的切线方程为13x－y－32＝0.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，所以直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.又直线l过点(0，0)，则(3x20＋1)(0－x0)＋x30＋x0－16＝0，整理得x30＝－8，解得x0＝－2，所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，l的斜率k′＝13，所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26).12.若函数f(x)＝a ln x(a∈R)与函数g(x)＝x在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为()A.4B.12 C.e2 D.e答案 C解析由已知得f′(x)＝ax，g′(x)＝12x，设切点横坐标为t，∴⎩⎨⎧a ln t＝t，at＝12t，解得t＝e2，a＝e2.13.曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是________. 答案 2解析设曲线在点P(x0，y0)(x0>0)处的切线与直线x－y－2＝0平行，则y′|x＝x0＝⎝⎛⎭⎪⎫2x－1x| x＝x0＝2x0－1x0＝1.∴x0＝1，y0＝1，则P(1，1)，则曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离d＝|1－1－2|12＋（－1）2＝ 2.14.(2021·宜昌质检)已知函数f(x)＝1x＋1＋x＋a－1的图象是以点(－1，－1)为对称中心的中心对称图形，g(x)＝e x＋ax2＋bx，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处的切线互相垂直，求a＋b的值.解由y＝x＋1x的图象关于点(0，0)对称，且y＝f(x)的图象可由y＝x＋1x的图象平移得到，且函数f(x)＝1x＋1＋x＋a－1＝1x＋1＋(x＋1)＋a－2的图象是以点(－1，－1)为对称中心的中心对称图形，得a－2＝－1，即a＝1，所以f(x)＝1x＋1＋x.对f(x)求导，得f′(x)＝1－1（x＋1）2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率k1＝f′(1)＝1－14＝3 4.对g(x)求导，得g′(x)＝e x＋2x＋b，则曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处的切线斜率k2＝g′(0)＝b＋1.由两曲线的切线互相垂直，得(b＋1)×34＝－1，即b＝－73，所以a＋b＝1－73＝－43.。
导数的概念及其意义 、导数的运算(高三一轮复习)
；
gfxx′＝f′xgx[g－xf]2xg′x(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝ 16 cf′(x)
．
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数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
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5．复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝ 17 f(g(x)) ．
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数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
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命题点2 导数的几何意义
考向1 求切线方程
例2
(1)(2022·湖南衡阳二模)函数f(x)＝xln(－2x)，则曲线y＝f(x)在x＝－
e 2
处的
切线方程为 4x－2y＋e＝0
.
(2)(2y0＝22－·新1e高x 考Ⅱ卷.)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为
(2)f1x′＝－f[′fxx]2(f(x)≠0)． (3)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次函数的图 象相切只有一个公共点． (4)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变 化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越 “陡”．
f(x)＝xα(α∈Q且α≠0) f′(x)＝ 7αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝ 8 cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝ 9 －sin x
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f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝ 10 axln a
年高考第一轮复习数学资料导数的概念与运算
※第十四章 导数●网络体系总览 ●考点目标位定位要求：（1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.（2）熟记基本求导公式〔C ，x m （m 为有理数），sin x ,cos x ,e x ,a x ,ln x ,log a x 的导数〕，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.（3）了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.●复习方略指南深入理解和正确运用极限的概念、法则是本章学习的基础,能对简单的初等函数进行求导是本章学习的重点,能把实际问题转化为求解最大（小）值的数学模型,应用导数知识去解决它是提高分析问题、解决问题能力,学好数学的关键.1.熟练记忆基本求导公式和函数的求导法则,是正确进行导数运算的基础.2.掌握导数运算在判断函数的单调性、求函数的极大（小）值中的应用,尤其要重视导数运算在解决实际问题中的最值问题时所起的作用.导数的概念与运算●知识梳理1.导数的概念：（1）如果当Δx →0时，xy∆∆有极限，我们就说函数y =f （x ）在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ′（x 0），即f ′（x 0）=lim →∆xx y∆∆=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00. （2）如果函数f （x ）在开区间（a ,b ）内每一点都可导，就说f （x ）在开区间（a ,b ）内可导.这时对于开区间（a ,b ）内每一个确定的值x 0,都对应着一个确定的导数f ′（x 0）,这样就在开区间（a ,b ）内构成一个新的函数，这一新函数叫做f （x ）在开区间（a ,b ）内的导函数，记作f ′（x ）,即f ′（x ）= 0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(，导函数也简称导数.2.导数的几何意义：函数y =f （x ）在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y =f （x ）在点P （x 0,f （x 0））处的切线的斜率.3.几种常见的导数：C ′=0（C 为常数）;（x n ）′=nx n －1;（sin x ）′=cos x ;（cos x ）′=－sin x ;（e x ）′=e x ; （a x ）′=a x ln a ;（ln x ）′=x 1;（log a x ）′=x1log a e.4.导数的四则运算法则： 设u 、v 是可导函数，则（u ±v ）′=u ′±v ′;（uv ）′=u ′v +uv ′;（vu）′=2vv u v u '-' （v ≠0）. 特别提示f （x ）在x =x 0处的导数f ′（x 0）的实质是“增量之比的极限”，但在计算中取它的应用含义：f ′（x 0）是函数f （x ）的导函数f ′（x ）当x =x 0时的函数值.●点击双基1.在曲线y =x 2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx ,2+Δy ）,则yx ∆∆为 A.Δx +x ∆1+2 B.Δx －x∆1－2 C.Δx +2 +Δx －x∆1解析: y x ∆∆=xx ∆+-+∆+)11(1)1(2=Δx +2.答案:C2.设函数f （x ）在x =x 0处可导,则0lim →h hx f h x f )()(00-+A.与x 0,h 都有关B.仅与x 0有关而与h 无关C.仅与h 有关而与x 0无关D.与x 0、h 均无关 答案:B3.设f （x ）=ax 3+3x 2+2,若f ′（－1）=4,则a 的值等于A.319 B.316C.313 D.310 解析:f ′（x ）=3ax 2+6x ,f ′（－1）=3a －6=4,所以a =310.答案:D4.函数y =x 2的曲线上点A 处的切线与直线3x －y +1=0的夹角为45°,则点A 的坐标为___________.解析:设点A 的坐标为（x 0,y 0）,则y ′|x =x 0=2x |x =x 0=2x 0=k 1,又直线3x －y +1=0的斜率k 2=3. ∴tan45°=1=|1|||1212k k k k ++-=|006123x x +-|.解得x 0=41或x 0=－1.∴y 0=161或y 0=1,即A 点坐标为（41，161）或（－1，1）. 答案:（41，161）或（－1，1）●典例剖析【例1】 若f ′（x 0）=2,求0lim →k kx f k x f 2)()(00--.剖析:根据导数的定义.解:f ′（x 0）= 0lim→k kx f k x f ---+)()]([00（这时Δx =－k ）.∴0lim →k kx f k x f 2)()(00--=0lim →k ［－21·kx f k x f ---)()(00］=－21·0lim →k k x f k x f ---)()(00=－21f ′（x 0）=－1.评述:注意f ′（x 0）= 0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00中Δx 的形式的变化,在上述变化中可以看到Δx =－k ,k →0⇒－k →0,∴f ′（x 0）= 0lim→k k x f k x f 3)()3(00---,还可以写成f ′（x 0）= 0lim →k kx f k x f 3)()3(00---或f ′（x 0）=∞→k lim ［f （x 0+k1）－f （x 0）］等.【例2】 若f （x ）在R 上可导，（1）求f （－x ）在x =a 处的导数与f （x ）在x =－a 处的导数的关系；（2）证明：若f （x ）为偶函数，则f ′（x ）为奇函数.剖析:（1）需求f （－x ）在x =a 处的导数与f （x ）在x =－a 处的导数；（2）求f ′（x ），然后判断其奇偶性.（1）解:设f （－x ）=g （x ）,则g ′（a ）= 0lim→∆x x a g x a g ∆-∆+)()(=0lim →∆x xa f x a f ∆--∆--)()( =－0lim →∆-x xa f x a f ∆---∆--)()(=－f ′（－a ）.∴f （－x ）在x =a 处的导数与f （x ）在x =－a 处的导数互为相反数. （2）证明:f ′（－x ）= 0lim→∆x xx f x x f ∆--∆+-)()(=0lim→∆x xx f x x f ∆--∆-)()(=－0lim →∆x xx f x x f ∆--∆-)()(=－f ′（x ）. ∴f ′（x ）为奇函数.评述:用导数的定义求导数时，要注意Δy 中自变量的变化量应与Δx 一致.（2）中若f （x ）为奇函数，f ′（x ）的奇偶性如何？ 【例3】 求下列函数的导数： （1）y =x 2sin x ;（2）y =ln （x ＋21x +）;（３）y =1e 1e -+x x ;（４）y =xx xx sin cos ++.解:（1）y ′=（x 2）′sin x ＋x 2（sin x ）′=2x sin x ＋x 2cos x . （2）y ′=211x x ++·（x ＋21x +）′=211x x ++（1＋21xx+）=211x+.（３）y ′=2)1e ()1e )(1e ()1e ()1e (-'-+--'+x x x x x=2)1(e e 2--x x . （4）y ′=2)sin ()sin )(cos ()sin ()cos (x x x x x x x x x x +'++-+'+=2)sin ()cos 1)(cos ()sin )(sin 1(x x x x x x x x +++-+- =2)sin (1cos sin sin cos x x x x x x x x +--+--.思考讨论函数f （x ）在点x 0处是否可导与是否连续有什么关系？夯实基础1.（2004年全国Ⅱ,文3）曲线y =x 3－3x 2+1在点（1，－1）处的切线方程为 =3x －4 =－3x +2 =－4x +3 =4x －5 解析:y ′=3x 2－6x ,∴y ′|x =1=－3.∴在（1,－1）处的切线方程为y +1=－3（x －1）. 答案:B2.（2004年全国Ⅳ,文4）函数y =（x +1）2（x －1）在x =1处的导数等于解析:y ′|x =1=［（x 2+2x +1）（x －1）］′|x =1=［x 3+x 2－x －1］′|x x =1=（3x 2+2x －1）| x =1=4. 答案:D3.（2004年湖北,文3）已知函数f （x ）在x =1处的导数为3,则f （x ）的解析式可能为（x ）=（x －1）2+3（x －1） （x ）=2（x －1） （x ）=2（x －1）2 （x ）=x －1 答案:A4.（2004年重庆,理14）曲线y =2－21x 2与y =41x 3－2在交点处的切线夹角是__________.（以弧度数作答）解析:由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=242232x y x y 得x 3+2x 2－16=0,（x －2）（x 2+4x +8）=0,∴x =2.∴两曲线只有一个交点.∵y ′=（2－21x 2）′=－x ,∴y ′|x =2=－2.又y ′=（43x －2）′=43x 2,∴当x =2时,y ′=3.∴两曲线在交点处的切线斜率分别为－2、3, |3)2(132⨯-+--|=1.∴夹角为4π.答案:4π5.设f （x ）在x =1处连续，且f （1）=0,1lim→x 1)(-x x f =2,求f ′（1）. 解:∵f （1）=0, 1lim→x 1)(-x x f =2,∴f ′（1）= 0lim →∆x xf x f ∆-∆+)1()1(=1lim →x 1)1()(--x f x f =1lim →x 1)(-x x f =2. 6.设函数y =ax ３＋bx 2＋cx ＋d 的图象与y 轴交点为P 点，且曲线在P 点处的切线方程为12x －y －４=0.若函数在x =2处取得极值0，试确定函数的解析式.解:∵y =ax 3+bx 2+cx +d 的图象与y 轴的交点为P ，∴P 的坐标为P （0,d ）.又曲线在点P 处的切线方程为y =12x －４，P 点坐标适合方程，从而d =－４.又切线斜率k =12，故在x =0处的导数y ′｜x =0=12,而y ′=３ax 2＋2bx ＋c ，y ′｜x =0=ｃ，从而 c =12.又函数在x =2处取得极值0，所以 y ′｜x =2=0, f （2）=0,即 12a ＋４b ＋12=0, ８a ＋４b ＋20=0. 解得a =2，b =－9.∴所求函数解析式为y =2x 3－9x 2＋12x －４. 培养能力7.已知函数f （x ）=e －x （cos x +sin x ）,将满足f ′（x ）=0的所有正数x 从小到大排成数列｛x n ｝.求证：数列｛f （x n ）｝为等比数列.证明:f ′（x ）=－e －x （cos x +sin x ）+e －x （－sin x +cos x ）=－2e －x sin x , 由f ′（x ）=0,即－2e －x sin x =0,解得x =n π,n ∈Z .从而x n =n π（n =1,2,3…）,f （x n ）=（－1）n e －πn . 所以)()(1n n x f x f +=－e －π.所以数列｛f （x n ）｝是公比q =－e －π的等比数列. 8.已知函数f （x ）=ln （e x +a ）（a ＞0）.（1）求函数y =f （x ）的反函数y =f －1（x ）及f （x ）的导数f ′（x ）;（2）假设对任意x ∈［ln （3a ）,ln （4a ）］，不等式|m －f －1（x ）|+ln （f ′（x ））＜0成立，求实数m 的取值范围.解:（1）由y =f （x ）=ln （e x +a ）， 得x =ln （e y －a ），所以y =f －1（x ）=ln （e x －a ）（x ＞ln a ）.f ′（x ）=［ln （e x+a ）］′=ax x +e e .（2）由|m －f －1（x ）|+ln （f ′（x ））＜0,得ln （e x －a ）－ln （e x +a ）+x ＜m ＜ln （e x －a ）+ln （e x +a ）－x .设ϕ（x ）=ln （e x －a ）－ln （e x +a ）+x , ϕ（x ）=ln （e x －a ）+ln （e x +a ）－x ,于是原不等式对于x ∈［ln （3n ）,ln （4a ）］恒成立.等价于ϕ（x ）＜m ＜ϕ（x ）.（*）由ϕ′（x ）=a x x -e e －ax x+e e +1,ϕ′（x ）= a xx -e e +ax x+e e －1,注意到0＜e x －a ＜e x ＜e x +a . 故有ϕ′（x ）＞0, ϕ′（x ）＞0,从而ϕ（x ）、ϕ（x ）均在［ln （3a ）,ln （4a ）］上单调递增,因此不等式（*）成立当且仅当ϕ（ln （4a ））＜m ＜ϕ（ln （3a ））,即ln （512a ）＜m ＜ln （38a ）.探究创新 9.利用导数求和：（1）S n =1+2x +3x 2+…+nx n －1（x ≠0,n ∈N *）.（2）S n =C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n （n ∈N *）.解:（1）当x =1时，S n =1+2+3+…+n =2n （n +1）,当x ≠1时，∵x +x 2+x 3+…+x n=xx x n --+11,两边对x 求导，得S n =1+2x +3x 2+…+nxn －1=(x x x n --+11)=21)1()1(1x nx x n n n -++-+.（2）∵（1+x ）n =1+C 1n x +C 2n x 2+…+C n n x n,两边对x 求导，得n （1+x ）n －1=C 1n +2C 2n x +3C 3n x 2+…+n C n n x n －1. 令x =1,得n ·2n －1=C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n , 即S n =C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n =n ·2n －1. ●思悟小结1.求函数y =f （x ）在点x 0处的导数通常有以下两种方法： （1）导数的定义，即求0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00的值.（2）利用导函数的函数值,即先求函数f （x ）在开区间（a ,b ）内的导函数f ′（x ）,再将x 0（x 0∈（a ,b ））代入导函数f （x ）,得函数值f ′（x 0）.2.求复合函数的导数的方法步骤：（1）分清复合函数的复合关系，选好中间变量.（2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数.（3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数.3.本单元重点体现了极限思想、函数思想及等价转化的思想，在学习过程中应用心体会.●教师下载中心 教学点睛1.在该节教学中要重视对导数的概念、导数的几何意义的理解，注重对导数基本公式的熟练运用.2.可补充导数的另一种定义形式：f ′（x 0）=0lim x x →00)()(x x x f x f --.拓展题例【例题】 讨论函数f （x ）=⎩⎨⎧>+≤+)0(1),0(12x x x x 在x =0处的可导性. 解:函数f （x ）在x =0处是否可导，即xf x f ∆-∆+)0()0(当Δx →0时的极限是否存在.∵+→∆0lim x xf x f ∆-∆+)0()0(=+→∆0lim x xx ∆-+∆11 =1, =-→∆0lim x xx ∆-+∆11)(2 =0, 又∵+→∆0lim x x f x f ∆-∆+)0()0(≠-→∆0lim x xf x f ∆-∆+)0()0(,∴x f x f ∆-∆+)0()0(当Δx →0时的极限不存在，因此f （x ）在x =0处不可导.。
高中数学导数定义与计算规则解析
高中数学导数定义与计算规则解析导数是高中数学中的一个重要概念，它在微积分中具有广泛的应用。
理解导数的定义和计算规则对于解题和应用都至关重要。
本文将对导数的定义和计算规则进行详细解析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用导数。
一、导数的定义导数的定义是描述函数在某一点处的变化率。
具体而言，对于函数f(x)，在点x=a处的导数可以表示为f'(a)或者dy/dx|_(x=a)。
导数表示了函数在该点附近的斜率，可以用来刻画函数的变化趋势。
例如，考虑函数f(x)=x^2，我们希望计算其在x=2处的导数。
根据导数的定义，我们可以使用极限的概念来计算导数。
通过计算函数在x=2处的斜率，我们可以得到f'(2)=4。
这意味着在x=2处，函数f(x)的变化率为4。
二、导数的计算规则导数的计算规则是一系列用于计算导数的公式和规律。
了解这些规则可以帮助我们更快地计算导数，解决各种与导数相关的问题。
1. 常数规则对于常数c，其导数为0。
例如，如果f(x)=3，那么f'(x)=0。
2. 幂函数规则对于幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，其导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
例如，如果f(x)=x^3，那么f'(x)=3x^2。
3. 和差规则对于函数f(x)和g(x)，有(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)和(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。
这意味着导数对于函数的和差运算是可分配的。
例如，如果f(x)=x^2和g(x)=2x，那么(f+g)'(x)=(x^2)' + (2x)' = 2x + 2 = 2(x+1)。
4. 乘积规则对于函数f(x)和g(x)，有(f*g)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
这意味着导数对于函数的乘法是可分配的。
例如，如果f(x)=x^2和g(x)=3x，那么(f*g)'(x)=(x^2)'*3x +x^2*(3x)' = 3x^3 + 2x^2。
导数的概念导数公式与应用
导数的概念导数公式与应用一、导数的概念导数是微积分中的重要概念之一，表示函数在其中一点处的变化率。
具体来说，对于函数f(x)，在点x处的导数可以用极限表示为：f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx) - f(x))/Δx 〗其中，Δx表示自变量x的一个增量。
导数表示了在自变量x发生微小变化的过程中，函数f(x)相应地发生的变化。
二、导数的公式1.常数的导数公式：如果f(x)=c是一个常数函数，其中c是常数，则f'(x)=0。
这是因为无论x如何变化，函数的值始终保持不变。
2.幂函数的导数公式：如果f(x)=x^n，其中n是任意实数，则f'(x)=nx^(n-1)。
3.指数函数的导数公式：如果f(x)=a^x，其中a>0且a≠1，则f'(x)=a^xln(a)。
这个公式表明指数函数的导数与指数函数的底数有关。
4.对数函数的导数公式：如果f(x)=logₐ(x)，其中a>0且a≠1，则f'(x)=1/((xln(a))。
5.三角函数的导数公式：- sin(x)的导数：(sin(x))'=cos(x)。
- cos(x)的导数：(cos(x))'=-sin(x)。
- tan(x)的导数：(tan(x))'=sec^2(x)。
6.反三角函数的导数公式：- arcsin(x)的导数：(arcsin(x))'=1/√(1-x^2)。
- arccos(x)的导数：(arccos(x))'=-1/√(1-x^2)。
- arctan(x)的导数：(arctan(x))'=1/(1+x^2)。
以及其他常用函数的导数公式，如指数函数、对数函数的复合函数求导法则等。
三、导数的应用导数作为一种变化率的度量，有许多实际应用。
1.切线与法线：通过计算函数的导数，可以求得函数曲线在特定点处的导数值，从而得到曲线上该点处的切线方程。
高中数学导数知识点归纳总结
高中数学导数知识点归纳总结在高中数学的学习过程中，导数是一个非常重要的概念和工具。
掌握导数的基本概念和运算方法，对于后续学习和应用都有着至关重要的作用。
本文将对高中数学中的导数知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握。
一、导数的定义导数是函数在某一点处的变化率，表示了函数在该点附近的变化趋势。
给定一个函数f(x)，在点x=a处的导数表示为f'(a)，可以通过求极限的方式进行定义，即：f'(a) = lim┬(x→a)(f(x)-f(a))/(x-a)二、导数的几何意义1. 斜率：导数可以表示函数图像在某一点处的切线的斜率。
对于一元函数来说，导数就是切线的斜率。
2. 切线和法线：导数为0的点对应函数图像上的极值点（极大值或极小值），而导数不存在的点对应函数图像上的拐点。
3. 减函数和增函数：如果导数大于0，则函数在该点处是增函数；如果导数小于0，则函数在该点处是减函数。
三、导数的基本运算法则1. 常数法则：f(x) = C，则f'(x) = 0，其中C为常数。
2. 基本导数公式：- f(x) = x^n，则f'(x) = nx^(n-1)，其中n为实数。
- f(x) = e^x，则f'(x) = e^x- f(x) = a^x，则f'(x) = ln(a)·a^x，其中a>0且a≠1。
- f(x) = log(a)(x)，则f'(x) = 1/(x·ln(a))，其中a>0且a≠1。
3. 乘法法则：(f(x)·g(x))' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)4. 除法法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x))/[g(x)]^2，其中g(x)≠0。
导数知识点总结与计算
导数知识点总结与计算导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
计算导数可以用于求解函数在某一点的切线斜率、最大值最小值以及函数的变化趋势等问题。
在实际应用中，导数也被广泛应用于物理、经济、工程等领域，因此对于导数的理解和掌握是十分重要的。
本文将对导数的基本概念、求导法则以及常见函数的导数进行总结，并进行详细的解释和示例计算，以便读者更好地掌握导数知识。
一、导数的基本概念1. 函数的导数在微积分中，函数f(x)在点x处的导数表示为f'(x)，即导数是函数在某一点的变化率。
可以用极限的概念来定义函数的导数：若函数f(x)在点x处的导数存在，则f'(x)=lim (Δx→0) (f(x+Δx)-f(x))/Δx其中Δx表示自变量x的增量。
当Δx趋于0时，函数在点x处的导数即为该点的切线斜率。
2. 导数的几何意义导数可以用几何意义来解释：函数f(x)在点x处的导数即为该点处曲线的切线斜率。
当导数为正时，函数在该点处是增加的；当导数为负时，函数在该点处是减少的；当导数为零时，函数在该点处取得极值。
因此，导数可以用于描述函数在某一点的变化趋势。
3. 导数的物理意义在物理学中，导数也具有重要的物理意义。
例如，当我们知道一个物体的位移函数时，可以通过求导得到该物体的速度函数；再对速度函数求导，可以得到该物体的加速度函数。
因此，导数可以帮助我们描述物体的运动规律。
二、求导法则对于常见的函数，我们可以通过一些基本的求导法则来求解其导数。
下面将介绍求导的基本法则及其示例计算。
1. 常数函数的导数若f(x)=c，其中c为常数，则f'(x)=0。
因为常数函数在任意点的变化率均为0。
示例计算：求函数f(x)=5的导数。
解：f'(x)=0。
2. 幂函数的导数若f(x)=x^n，其中n为正整数，则f'(x)=nx^(n-1)。
即幂函数的导数等于指数与原函数的指数减一的乘积。
导数高端知识点总结高中
导数高端知识点总结高中一、导数的概念1. 导数的定义在数学中，导数是函数变化率的量度，它表示函数在某一点的变化速率。
设函数y=f(x)，若极限f'(x)=lim[(f(x+Δx)-f(x))/Δx](Δx→0)存在，则称f(x)在点x处可导，并称这个极限为函数f(x)在点x处的导数，记为f'(x)。
导数的几何意义是函数在某一点处的切线斜率。
2. 导数的几何意义导数的几何意义可以从图像的角度来理解。
在函数图像的某一点A处，函数的导数f'(x)表示了曲线在A点的切线斜率，也就是函数在这一点处的变化速率。
如果导数为正，表示函数在该点处是递增的；如果导数为负，表示函数在该点处是递减的；如果导数为零，表示函数在该点处的变化率为零，即函数在该点处有极值。
3. 导数的物理意义导数在物理学中也有着重要的应用。
例如，物体的位移与时间的关系可以用函数来描述，而物体的速度就是位移对时间的导数，加速度就是速度对时间的导数。
因此，导数可以用来描述物体在某一时刻的速度和加速度，这对于研究物体的运动特性具有重要的意义。
二、导数的性质1. 导数存在的条件函数f(x)在点x处可导的条件是函数在该点处的左导数和右导数存在且相等。
这个条件可以用极限的形式来描述，即lim[Δx→0-(f(x+Δx)-f(x))/Δx]=lim[Δx→0+(f(x+Δx)-f(x))/Δx]。
2. 导数的四则运算性质导数具有四则运算的性质，即对于两个可导函数f(x)和g(x)，它们的和、差、积和商的导数可以通过原函数的导数来求得。
具体的性质如下：（1）和函数的导数：(f+g)'=f'+g'（2）差函数的导数：(f-g)'=f'-g'（3）积函数的导数：(fg)'=f'g+fg'（4）商函数的导数：(f/g)'=(f'g-fg')/g^23. 复合函数的导数如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))也是可导的，它的导数可以通过链式法则来求得。
【高中数学】高中数学导数的定义,公式及应用总结
【高中数学】高中数学导数的定义,公式及应用总结高中数学导数的定义,公式及应用总结导数的定义:当自变量的增量δx=x-x0，δx→0时函数增量δy=f(x)-f(x0)与自变量增量之比的音速存有且非常有限,就说道函数f在x0点可微，称作f在x0点的导数(或变化率).函数y=f(x)在x0点的导数f'(x0)的几何意义：表示函数曲线在p0[x0，f(x0)]点的切线斜率(导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率)。
通常地，我们得出结论用函数的导数去推论函数的多寡性(单调性)的法则：设y=f(x)在(a，b)内可微。
如果在(a，b)内，f'(x)>0,则f(x)在这个区间就是单调减少的(该点切线斜率减小，函数曲线显得“平缓”，持续上升状)。
如果在(a，b)内，f'(x)<0,则f(x)在这个区间就是单调增大的。
所以，当f'(x)=0时，y=f(x)存有极大值或极小值，极大值中最大者就是最大值，极小值中最轻者就是最小值求导数的步骤:求函数y=f(x)在x0处为导数的步骤：①求函数的增量δy=f(x0+δx)-f(x0) ②求平均变化率③取极限，得导数。
导数公式：①c'=0(c为常数函数); ②(x^n)'=nx^(n-1)(n∈q*);熟记1/x的导数③(sinx)'=cosx;(cosx)'=-sinx; (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2-(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanx·secx(cscx)'=-cotx·cscx(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=-1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(x(x^2-1)^1/2) (arccscx)'=-1/(x(x^2-1)^1/2) ④(sinhx)'=hcoshx(coshx)'=-hsinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2(sechx)'=-tanhx·sechx(cschx)'=-cothx·cschx(arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2-1)(x<1) (arcothx)'=1/(x^2-1)(x>1) (arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2)⑤(e^x)'=e^x;(a^x)'=a^xlna(ln为自然对数) (inx)'=1/x(ln为自然对数) (logax)'=(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1)(x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) (1/x)'=-x^(-2)导数的应用领域:1.函数的单调性(1)利用导数的符号推论函数的多寡性利用导数的符号推论函数的多寡性，这就是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用领域，它体现了数形融合的思想.通常地，在某个区间(a，b)内，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减;如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增. 如果在某个区间内恒存有f'(x)=0，则f(x)就是常数函数. 特别注意：在某个区间内，f'(x)>0就是f(x)在此区间上以增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在r内就是增函数，但x=0时f'(x)=0。
高考数学导数专题1：导数的概念及运算
导数的概念及运算1．导数的概念及几何意义(1)了解导数概念的实际背景．(2)理解导数的几何意义．2．导数的运算(1)能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x(1)，y＝x2，y＝x3，y＝的导数．(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．(3)能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．一导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0Δx(f(x0＋Δx)－f(x0))＝limΔx→0Δx(Δy)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0Δx(Δy)＝limΔx→0Δx(f(x0＋Δx)－f(x0)).(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝limΔx→0Δx(f(x＋Δx)－f(x))为f(x)的导函数．易错点1．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．2．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．二导数的运算1．基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则2．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)．3．复合函数的导数复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为yx ′＝yu ′·ux ′，即y 对x的导数等于y 对u 的导数与 u 对x 的导数的乘积． 易误提醒1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(xn)′＝nxn －1中n ≠0且n ∈Q ，(cos x)′＝－sin x.2．注意公式不要用混，如(ax)′＝axln a ，而不是(ax)′＝xax －1. 3．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆易误提醒1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(x n)′＝nxn －1中n ≠0且n ∈Q ，(cosx )′＝－sin x .2．注意公式不要用混，如(a x)′＝a xln a ，而不是(a x)′＝xax －1.3．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 题型一 导数的概念1.已知函数f(x)＝2ln 3x ＋8x ， 求f(1－2Δx)－f(1)Δx的值.解析f(1－2Δx)－f(1)Δx＝－2f(1－2Δx)－f(1)－2Δx＝－2f ′(1)＝－20.【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当Δx →0时， 平均变化率ΔyΔx2.某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可以近似地表示为f(t)＝t2100，则在时刻t ＝10 min 的降雨强度为( ) A.15 mm/min B.14 mm/min C.12mm/minD.1 mm/min【解析】选A.3．(2015·陕西一检)已知直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的一条切线，则m 的值为( )A ．0B ．2C ．1D ．3解析：因为直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的切线，所以令y ′＝2x －3x ＝－1，得x ＝1，x ＝－32(舍)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y ＝－x ＋m 上，所以m ＝2，故选B.4．(2015·洛阳期末)函数f (x )＝e xsin x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( )A.3π4 B.π3 C.π4D.π6解析：因为f ′(x )＝e xsin x ＋e xcos x ，所以f ′(0)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为1， 题型二 导数运算 1. 求下列函数的导数. (1)y ＝ln(x ＋1＋x2)； (2)y ＝(x2－2x ＋3)e2x ；(3)y ＝3x 1－x. 【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则.(1)y ′＝1x ＋1＋x2(x ＋1＋x2)′＝1x ＋1＋x2(1＋x 1＋x2)＝11＋x2. (2)y ′＝(2x －2)e2x ＋2(x2－2x ＋3)e2x ＝2(x2－x ＋2)e2x.Δlim →x 0Δlim →x 0Δlim →x(3)y ′＝13(x 1－x 1－x ＋x(1－x)2＝13(x 1－x1(1－x)2＝13x (1－x) 2. 如下图，函数f(x)的图象是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝（ ）；f(1＋Δx)－f(1)Δx＝（ ） (用数字作答).【解析】f(0)＝4，f(f(0))＝f(4)＝2， 由导数定义f(1＋Δx)－f(1)Δx＝f ′(1).当0≤x ≤2时，f(x)＝4－2x ，f ′(x)＝－2，f ′(1)＝－2.3．(2015·济宁模拟)已知f (x )＝x (2 014＋ln x )，f ′(x 0)＝2 015，则x 0＝( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：由题意可知f ′(x )＝2 014＋ln x ＋x ·1x＝2 015＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 015，得ln x 0＝0，解得x 0＝1.答案：B4．若函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________.解析：∵f ′(x )＝1x－2f ′(－1)x ＋3，∴f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，解得f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：85．下列求导运算正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3xlog 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x解析：选B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x 2；(log 2x )′＝1x ln 2；(3x )′＝3x ln 3；(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，故选B.32)-32)-32-34-0Δlim →x 0Δlim →x6．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C ∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．6．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A.193B.163C.133D.103解析：选D 因为f ′(x )＝3ax 2＋6x ， 所以f ′(－1)＝3a －6＝4， 所以a ＝103.4．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．解析：因为f (x )＝(2x ＋1)e x，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x， 所以f ′(0)＝3e 0＝3. 答案：3题型三 导数的几何意义导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题中前几问，难度较低．归纳起来常见的命题探究角度有： 1．求切线方程问题． 2．确定切点坐标问题． 3．已知切线问题求参数． 4．切线的综合应用．求切线方程问题1．(2015·云南一检)函数f (x )＝ln x －2xx的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )已知切线求参数范围3．(2015·河北五校联考)若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共切线，则a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 28，＋∞ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 28C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 24 解析：结合函数y ＝ax 2(a >0)和y ＝e x的图象可知，要使曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共切线，只要ax 2＝e x在(0，＋∞)上有解，从而a ＝ex x 2.令h (x )＝e x x 2(x >0)，则h ′(x )＝e x ·x 2－e x·2xx4＝x －2e x x 3，令h ′(x )＝0，得x ＝2，易知h (x )min ＝h (2)＝e 24，所以a ≥e 24.答案：C 切线的综合应用4．(2015·重庆一诊)若点P 是函数f (x )＝x 2－ln x 图象上的任意一点，则点P 到直线x －y －2＝0的最小距离为( )A.22B. 2C.12D ．3解析：由f ′(x )＝2x －1x＝1得x ＝1(负值舍去)，所以曲线y ＝f (x )＝x 2－ln x 上的切线斜率为1的点是(1,1)，所以点P 到直线x －y －2＝0的最小距离为|1－1－2|2＝2，故选B.答案：B导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下三个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f x 1－f x 0x 1－x 0求解．易错题：混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误1. 若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7[解析] 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2， 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1，所以选A.[答案] A2.(2015·兰州一模)已知直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1,3)，则实数b 的值为________．解析：因为函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为3＋a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋a ＝2，3＝1＋a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.答案：3[易误点评] 没有对点(1,0)的位置进行分析，误认为是切点而失误． [防范措施]对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．(2)对于已知的点，应首先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解． 随堂测试1、已知函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程x －2y ＋1＝0，则f (1)＋2f ′(1)的值是( ) A.12 B ．1 C ．32D ．2【答案】D【解析】∵函数y ＝f (x )的图象在点(1, f (1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0，∴f (1)＝1, f ′(1)＝12.∴f (1)＋2f ′(1)＝2.故选D.2、曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．3x －y ＋1＝0 【答案】C【解析】y ′＝cos x ＋e x ，故切线斜率为k ＝2，切线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0.3、.已知奇函数y=f (x )在区间(-∞,0]上的解析式为f (x )=x 2+x ,则曲线y=f (x )在横坐标为1的点处的切线方程是( ) A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 C.3x-y-1=0 D.3x-y+1=0【答案】B【解析】由函数y=f (x )为奇函数,可得f (x )在[0,+∞)内的解析式为f (x )=-x 2+x ,故切点为(1,0). 因为f'(x )=-2x+1, 所以f'(1)=-1,故切线方程为y=-(x -1), 即x+y -1=0.4、已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan 2x 的值是( )A ．－23B ．－43C ．43D ．34【答案】D【解析】因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x ＝2tan x1－tan 2x ＝－61－9＝34.故选D.5、过函数f (x )＝13x 3－x 2图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为( )A.⎣⎡⎦⎤0，3π4 B ．⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D ．⎝⎛⎦⎤π2，3π4 【答案】B【解析】设切线的倾斜角为α.由题意得k ＝f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，即k ＝tan α≥－1，解得0≤α<π2或3π4≤α<π，即切线倾斜角的范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.故选B. 6．(2015·长春二模)若函数f (x )＝ln xx ，则f ′(2)＝________.解析：由f ′(x )＝1－ln x x 2，得f ′(2)＝1－ln 24.答案：1－ln 247．如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任意一点的切线的倾斜角α的取值范围是________．解析：根据已知可得f ′(x )≥ 3，即曲线y ＝f (x )上任意一点的切线的斜率k ＝tan α≥ 3，结合正切函数的图象，可知α∈⎣⎡⎭⎫π3，π2.答案：⎣⎡⎭⎫π3，π28．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或1.(2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0，即4a 2＋4a ＋1>0， ∴a ≠－12.∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 94．(2016·临沂一模)已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围． 解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k <0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．。
高考数学一轮总复习课件：导数的概念与运算
(4)f(x)＝ 1－1 2x2；
π (5)f(x)＝cos(3x2－ 6 )．
【解析】 (1)∵f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′，
∴f′(x)＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.
(2)∵f(x)＝11＋ －
xx＋11＋－
x x
＝（1＋ 1－xx）2＋（1－ 1－xx）2
π 5．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝ 2 处的瞬时变化率为
k1，k2，则k1，k2的大小关系为( A )
A．k1>k2
B．k1<k2
C．k1＝k2
D．不确定
解析 ∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx. π
k1＝cos0＝1，k2＝cos 2 ＝0，∴k1>k2.
授人以渔
题型一 导数的概念(自主学习)
(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为k＝x02＝1， 解得x0＝±1，故切点为1，53或(－1，1)． 故所求切线方程为y－53＝x－1或y－1＝x＋1. 即3x－3y＋2＝0或x－y＋2＝0.
【答案】 (1)4x－y－4＝0 (2)4x－y－4＝0或x－y＋2＝0 (3)3x－3y＋2＝0或x－y＋2＝0
状元笔记
求曲线的切线方程的两种类型 (1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在 点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线， 一定是以点P为切点；过点P的切线，不确定点P在不在曲线上， 点P不一定是切点． (2)求曲线过点P(x0，y0)的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
数的平均变化率Δ Δyx的极限是否存在．
(2)利用导数定义求函数的导数时，先算函数的增量Δy，
高三数学一轮复习 《导数的概念及运算》教案 人教大纲版
高三一轮复习课堂讲义 导数的概念及运算★ 知 识 梳理 ★1.用定义求函数的导数的步骤.（1）求函数的改变量Δy ；（2）求平均变化率x y ∆∆.（3）取极限，得导数f '（x 0）=0lim →∆x xy ∆∆.2.导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，y 0）的切线的 物理意义：若物体运动方程是s =s （t ），在点P （i 0，s （t 0））处导数的意义是t =t 0处 的3. 几种常见函数的导数'c =0（c 为常数）；()n x '=1n nx -（R n ∈）；'(sin )x = ；'(cos )x = ；(ln )x '=1x ； (log )a x '=1log a e x； '()x e =xe ；'()x a =ln xa a .4.运算法则①求导数的四则运算法则：'()u v ±=''u v ±；'()uv = ；'u v ⎛⎫= ⎪⎝⎭(0)v ≠.考点1: 导数概念题型1.求函数在某一点的导函数值 [例1] 设函数()f x 在0x 处可导，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000等于A ．)('0x fB ．0'()f x -C ．0()f xD ．0()f x - 考点2.求曲线的切线方程[例2] 如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是 8+-=x y ，则)5()5(f f '+= .[例3]一球沿一斜面从停止开始自由滚下，10 s 内其运动方程是s =s (t )=t 2(位移单位：m ，时间单位：s )，求小球在t =5时的速度.1. 曲线1y x=和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 . 题型1:求导运算[例4] 求下列函数的导数：（1） cos xy e x = （2）2tan y x x =+导数在研究函数中的应用★ 知 识 梳理 ★1. 函数的单调性与导数的关系一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内 ；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内 . 判别f (x 0)是极大、极小值的方法若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 ，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是3．解题规律技巧妙法总结: 求函数的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) . (2)求方程f ′(x )=0的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查 f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值.4．求函数最值的步骤：（1）求出()f x 在(,)a b 上的极值.（2）求出端点函数值(),()f a f b . （3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值. 题型1.讨论函数的单调性例5． 求下列函数单调区间（1）5221)(23+--==x x x x f y （2）x x y 12-=（3）x xk y +=2)0(>k （4）αln 22-=x y题型2.由单调性求参数的值或取值范围例6: 若3()f x ax x =+在区间[－1,1]上单调递增，求a 的取值范围.题型3.借助单调性处理不等关系 例7．求证下列不等式 （1）当0x >，求证1xe x >+（2）πxx 2sin > )2,0(π∈x题型4导数与函数的极值和最大(小)值.例8．函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值、最小值分别是例9．已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间强化训练一、选择题：1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f x B ．'02()f x C ．'02()f x - D ．02．已知圆C 的圆心与点(2,1)P -关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ，则圆C 的方程为_______________________．3．下列求导运算正确的是( )A ．(x +211)1x x +=' B ．(log 2x )'=2ln 1x C ．(3x)'=3xlog 3e D ．(x 2cos x )'=－2x sin x 4．函数3yx x 的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞5．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0 7．函数323922yx x x x 有（ ）A ．极大值5，极小值27-B ．极大值5，极小值11-C ．极大值5，无极小值D ．极小值27-，无极大值8．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= 9．曲线3()2f x x x在0p 处的切线平行于直线41y x ，则0p 点的坐标为（ ）A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(1,4)--D ．(2,8)和(1,4)-- 10．函数x x y ln =的最大值为（ ）A ．1-e B ．e C ．2e D ．310 11．以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是A ．①、②B ．①、③C ．③、④D ．①、④12．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）二、填空题：13．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 14．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿．15．函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为________________。
完整版)高中数学导数知识点归纳总结
完整版)高中数学导数知识点归纳总结导数的定义：对于函数y=f(x)，在点x处的导数f'(x)定义为：f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Deltax}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}其中，$\Delta x$表示自变量的增量，$\Delta y$表示函数值的增量。
函数的连续性和可导性的关系：如果函数y=f(x)在点x处可导，则它在该点处必然连续。
但是，反过来并不成立，即函数在某点处连续并不一定可导。
导数的几何意义：函数y=f(x)在点x处的导数f'(x)表示曲线在该点处的切线的斜率。
因此，切线方程为：y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)其中，$y_0=f(x_0)$表示曲线在点$(x_0,y_0)$处的纵坐标。
导数的四则运算法则：对于任意可导函数f(x)和g(x)，有以下四则运算法则：1.$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$2.$(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)$3.$(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$4.$\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$其中，除法的分母$g(x)$不能为0.导数的应用：导数可以用来求函数的单调性、极值和最值。
函数单调递增的条件是导数大于0，函数单调递减的条件是导数小于0.函数在极值点处的导数为0，但反之不一定成立。
函数的最值可以通过求导数来确定。
注①：若点x是可导函数f(x)的极值点，则f'(x)=0.但反过来不一定成立。
对于可导函数，其一点x是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零。
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∴f′(e)＝－1e＝－e－1，选 C.
答案：C
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2．曲线 y＝x＋x 2在点(－1，－1)处的切线方程为(
)
A．y＝2x＋1
B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
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解析：∵y′＝x＋x＋2－22x＝x＋2 22， ∴在点(－1，－1)处的切线方程的斜率为－12＋22＝2. ∴切线方程为 y＋1＝2(x＋1)，即 y＝2x＋1. 答案：A
提示：不一定．还有可能有2个或3个或无数多个公共点．
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1．(2014·郑州质量预测)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且
满足 f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则 f′(e)＝( )
A．1
B．－1
C．－e－1
D．－e
解析：f′(x)＝2f′(e)＋1x，∴f′(e)＝2f′(e)＋1e，
(2)(2014·郑州质检)已知函数
f(x)＝f
′π2sin
x＋cos
x，则
π f4
＝________.
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解析：(1)f ′(x)＝2x－2－4x＝2x2－xx－2 ＝2x＋1xx－2(x>0)， ∵x>0，∴x＋1>0.∴f ′(x)>0⇔x－2>0⇔x>2. ∴f ′(x)>0 的解集为(2，＋∞)． (2)由已知：f ′(x)＝f ′π2cos x－sin x. 则 f ′π2＝－1，因此 f(x)＝－sin x＋cos x, fπ4＝0. 答案：(1)C (2)0
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3．若曲线 y＝ax2－ln x 在点(1，a)处的切线平行于 x 轴，则 a＝__________.
解析：因为 y′＝2ax－1x， 所以切线斜率为 2a－1， 又因为切线与 x 轴平行，所以 2a－1＝0， 即 a＝12. 答案：12
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考点
互动探究
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考点一 导数的运算 求函数的导数时，要准确地把函数分割为基本函数的和、差、
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3．基本初等函数的导数公式
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4.导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ；
(2)[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ；
f ′xgx－fxg′x
(3)gfxx′＝
[gx]2
(g(x)≠0)．
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问题探究2：过圆上一点P的切线与圆只有公共点P，过函数 y＝f(x)图象上一点P的切线与图象也只有公共点P吗？
积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数．对于不具 备求导法则结构形式的要适当恒等变形；对于比较复杂的函数， 如果直接套用求导法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出错，此 时，可将解析式进行合理变形，转化为较易求导的结构形式，再 求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．
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求导公式是解决导数问题的基础，应熟练掌握求导公式及求 导法则．
数，再求值．
【解析】
ห้องสมุดไป่ตู้
(1)f
′(x)＝ln
x′x2＋1－x2＋1′ln x2＋1′
x
＝1xx2＋x21＋－122xln
x ，则
f
′(1)＝24＝12.
(2)f ′(x)＝2 012＋ln x＋x·1x＝2 013＋ln x，
由 f ′(x0)＝2 013，得 ln x0＝0，解得 x0＝1. 【答案】 (1)A (2)B
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考点二 导数的几何意义 1.函数 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的导数 f ′(x0)表示函数 y
＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率，导数 f ′(x0)的几何意义就是函数 y＝f(x)在 P(x0，y0)处的切线的斜率，其切线方程为 y－y0＝f ′(x0)(x －x0)．
2．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤 (1)求出函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f ′(x0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程 y－y0＝f ′(x0)(x－ x0)．
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(1)已知 f(x)＝xl2n＋x1，则 f ′(1)＝(
)
1 A.2
1 B.ln 2
C．ln 2
D．－ln 2
(2)(2014·济宁模拟)已知 f(x)＝x(2 012＋ln x)，f ′(x0)＝2 013，
则 x0＝( )
A．e2
B．1
C．ln 2
D．e
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【思路启迪】 应用导数的运算法则及求导公式先求导函
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“过某点”与“在某点处”的切线是不同的，过某点的切 线，此点并不一定是切点，在某点处的切线才表明此点是切点．
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第
二
函数、导数及其应用
章
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第十一节
导数的概念及运算
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高考导航
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基础
知识回顾
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1．导数的概念 (1)函数f(x)从x1到x2的平均变化率 fx2－fx1 函数 f(x)从x1到x2的平均变化率为 x2－x1 ，若Δx＝x2－
Δy x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为 Δx .
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(2)f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝
Δy
lim
Δx→0
Δx
，称其为函数y＝f(x)
在x＝x0处的导数，记作f ′(x0)或 y′|x＝x0 ，
即f ′(x0)＝
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.
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(3)导函数
当x变化时，f ′(x)称为f(x)的导函数，则f ′(x)＝y′＝
fx＋Δx－fx
lim
Δx→0
Δx
.
问题探究1：f ′(x)与f ′(x0)有何区别？
提示：f ′(x)是一个函数，而f ′(x0)是常数， f ′(x0)是函
数f ′(x)在x＝x0处的函数值．
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2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x) 在点P(x0，y0)处的切线的 斜率 ，过点P的切线方程为 y－y0＝f_′(x0)(x－x0)．
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(1)熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是正确求 导的基础；(2)必要时对于某些求导问题可先化简函数解析式再求 导．
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(1)(2015·太原模拟)若 f(x)＝x2－2x－4ln x，则 f ′(x)>0 的
解集为( )
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)