高考数学一轮复习 2.11导数的概念及运算 文

积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数．对于不具 备求导法则结构形式的要适当恒等变形；对于比较复杂的函数， 如果直接套用求导法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出错，此 时，可将解析式进行合理变形，转化为较易求导的结构形式，再 求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．
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求导公式是解决导数问题的基础，应熟练掌握求导公式及求 导法则．
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“过某点”与“在某点处”的切线是不同的，过某点的切 线，此点并不一定是切点，在某点处的切线才表明此点是切点．
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(1)已知 f(x)＝xl2n＋x1，则 f ′(1)＝(
)
1 A.2
1 B.ln 2
C．ln 2
D．－ln 2
(2)(2014·济宁模拟)已知 f(x)＝x(2 012＋ln x)，f ′(x0)＝2 013，
则 x0＝( )
A．e2
B．1
C．ln 2
D．e
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【思路启迪】 应用导数的运算法则及求导公式先求导函
∴f′(e)＝－1e＝－e－1，选 C.
答案：C
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2．曲线 y＝x＋x 2在点(－1，－1)处的切线方程为(
)
A．y＝2x＋1
B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
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解析：∵y′＝x＋x＋2－22x＝x＋2 22， ∴在点(－1，－1)处的切线方程的斜率为－12＋22＝2. ∴切线方程为 y＋1＝2(x＋1)，即 y＝2x＋1. 答案：A
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3．若曲线 y＝ax2－ln x 在点(1，a)处的切线平行于 x 轴，则 a＝__________.
解析：因为 y′＝2ax－1x， 所以切线斜率为 2a－1， 又因为切线与 x 轴平行，所以 2a－1＝0， 即 a＝12. 答案：12
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考点
互动探究
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考点一 导数的运算 求函数的导数时，要准确地把函数分割为基本函数的和、差、
数，再求值．
【解析】
(1)f
′(x)＝ln
x′x2＋1－x2＋1′ln x2＋1′
x
＝1xx2＋x21＋－122xln
x ，则
f
′(1)＝24＝12.
(2)f ′(x)＝2 012＋ln x＋x·1x＝2 013＋ln x，
由 f ′(x0)＝2 013，得 ln x0＝0，解得 x0＝1. 【答案】 (1)A (2)B
第
二
函数、导数及其应用
章
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第十一节
导数的概念及运算
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
基础
知识回顾
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1．导数的概念 (1)函数f(x)从x1到x2的平均变化率 fx2－fx1 函数 f(x)从x1到x2的平均变化率为 x2－x1 ，若Δx＝x2－
Δy x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为 Δx .
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(2)f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝
Δy
lim
Δx→0
Δx
，称其为函数y＝f(x)
在x＝x0处的导数，记作f ′(x0)或 y′|x＝x0 ，
即f ′(x0)＝
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.
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(3)导函数
当x变化时，f ′(x)称为f(x)的导函数，则f ′(x)＝y′＝
fx＋Δx－fx
lim
Δx→0
Δx
.
问题探究1：f ′(x)与f ′(x0)有何区别？
提示：f ′(x)是一个函数，而f ′(x0)是常数， f ′(x0)是函
数f ′(x)在x＝x0处的函数值．
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2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x) 在点P(x0，y0)处的切线的 斜率 ，过点P的切线方程为 y－y0＝f_′(x0)(x－x0)．
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3．基本初等函数的导数公式
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4.导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ；
(2)[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ；
f ′xgx－fxg′x
(3)gfxx′＝
[gx]2
(g(x)≠0)．
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问题探究2：过圆上一点P的切线与圆只有公共点P，过函数 y＝f(x)图象上一点P的切线与图象也只有公共点P吗？
提示：不一定．还有可能有2个或3个或无数多个公共点．
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1．(2014·郑州质量预测)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且
满足 f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则 f′(e)＝( )
A．1
B．－1
C．－e－1
D．－e
解析：f′(x)＝2f′(e)＋1x，∴f′(e)＝2f′(e)＋1e，
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(1)熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是正确求 导的基础；(2)必要时对于某些求导问题可先化简函数解析式再求 导．
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(1)(2015·太原模拟)若 f(x)＝x2－2x－4ln x，则 f ′(x)>0 的
解集为( )
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
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考点二 导数的几何意义 1.函数 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的导数 f ′(x0)表示函数 y
＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率，导数 f ′(x0)的几何意义就是函数 y＝f(x)在 P(x0，y0)处的切线的斜率，其切线方程为 y－y0＝f ′(x0)(x －x0)．
2．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤 (1)求出函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f ′(x0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程 y－y0＝f ′(x0)(x－ x0)．
(2)(2014·郑州质检)已知函数
f(x)＝f
′π2sin
x＋cos
x，则
π f4
＝________.
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解析：(1)f ′(x)＝2x－2－4x＝2x2－xx－2 ＝2x＋1xx－2(x>0)， ∵x>0，∴x＋1>0.∴f ′(x)>0⇔x－2>0⇔x>2. ∴f ′(x)>0 的解集为(2，＋∞)． (2)由已知：f ′(x)＝f ′π2cos x－sin x. 则 f ′π2＝－1，因此 f(x)＝－sin x＋cos x, fπ4＝0. 答案：(1)C (2)0