13.4-1平行线的判定

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平行线的性质与判定

平行线的性质与判定平行线在几何学中具有重要的性质和判定方法。

本文将介绍平行线的定义、性质以及常见的判定方法，并且给出相应的几何证明。

一、平行线的定义平行线是位于同一平面内并且不会相交的两条直线。

平行线之间的距离在任意两点上保持恒定。

二、平行线的性质1. 平行线具有等夹角性质：当一条直线与两条平行线相交时，所形成的内错角（夹角在两条平行线之间）互相相等，外错角（夹角在两条平行线之外）互相相等。

2. 平行线具有内错角性质：当一条直线与两条平行线相交时，内错角（夹角在两条平行线之间）之和等于180度。

3. 平行线具有对应角性质：当两条平行线被一条交线切割时，所形成的对应角（位于两条平行线的同一侧，一条在交线上，另一条在交线外）互相相等。

4. 平行线具有平行四边形性质：在平行四边形中，对边平行且相等，对角线互相等分。

三、平行线的判定方法1. 通过角度判定：若两条直线被一条第三线切割时，相应角、内错角或外错角相等，则可以判定这两条直线是平行的。

2. 通过距离判定：若两条直线上的任意两点之间的距离相等，则可以判定这两条直线是平行的。

3. 通过斜率判定：若两条直线的斜率相等，则可以判定这两条直线是平行的。

四、性质与判定的应用举例1. 平行线的性质在证明中常被用来推导其他几何结论。

例如，在证明三角形相似时，可以利用平行线的对应角性质。

2. 平行线的判定方法在几何问题中起到重要的作用。

例如，在解决平行四边形问题时，可以通过判定四边形的对边平行来证明它是平行四边形。

举例一：判断两条直线是否平行已知直线l1过点A(2, 4)和点B(6, 9)，直线l2过点C(-1, 1)和点D(3, 5)。

通过斜率判定来判断直线l1和l2是否平行。

解：直线的斜率可以通过两点的坐标计算得到。

计算直线l1的斜率m1，可以用点斜式公式：m1 = (y2 - y1) / (x2 - x1)，代入A(2, 4)和B(6, 9)的坐标：m1 = (9 - 4) / (6 - 2) = 5 / 4同理，计算直线l2的斜率m2，代入C(-1, 1)和D(3, 5)的坐标：m2 = (5 - 1) / (3 - (-1)) = 4 / 4 = 1由于斜率m1 ≠ m2，所以直线l1和l2不平行。

数学《平行线的判定》知识点初一年级

2019数学《平行线的判定》知识点初一年级查字典数学网给大家整理平行线的判定知识点，大家可以参考阅读，希望能帮助大家取得好成绩。

1、平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

平行用符号‖表示，如AB‖C D，读作AB平行于CD。

同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。

注意：(1)平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。

(2)当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。

2、平行线公理及其推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

3、平行线的判定平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。

简称：同位角相等，两直线平行。

平行线的两条判定定理：(1)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。

简称：内错角相等，两直线平行。

(2)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。

简称：同旁内角互补，两直线平行。

补充平行线的判定方法：(1)平行于同一条直线的两直线平行。

(2)垂直于同一条直线的两直线平行。

(3)平行线的定义。

4、平行线的性质(1)两直线平行，同位角相等。

(2)两直线平行，内错角相等。

观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。

随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。

我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。

看得清才能说得正确。

在观察过程中指导。

我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。

数学平行线的判定方法

数学平行线的判定方法
1.垂直线判定法：
如果两条直线相交的交角为直角（即交角为90度），则这两条直线
是垂直的，不平行。

2.构造平行线判定法：
（1）平行线的定义：若两直线在同一个平面内，且不相交，则这两
条直线是平行的。

（2）构造平行线的方法：在给定的直线外分别作直线与给定直线相交，并且使得交点与给定直线上一定的点连线平行，如果这两条直线相互
平行，则可以判定给定直线与新作的直线平行。

3.同位角判定法：
同位角是指两条直线被一条交线分成的对应角，如果两条直线被一条
平行于它们的直线所截，则对应的同位角相等，从而能判定两条直线平行。

4.内角判定法：
```
a-----b
/
/
c----d
```
若角a等于角d（内角）或角b等于角c（内角），则可以判定两条线段ab和cd平行。

5.倾斜角判定法：
可以通过计算两条直线的倾斜角来判断其是否平行。

若两条直线的倾斜角相等且都不为垂直，那么这两条直线是平行的。

6.向量判定法：
设两条直线分别为l1和l2，分别取l1和l2上的两个点A、B，分别向两个方向生成向量v1和v2、如果v1与v2平行，则可以判定l1和l2平行。

这些方法是数学中常用的平行线判定方法，可以根据具体问题选择合适的方法进行判断。

在判定时需要注意条件的准确性以及合理性，不同判定方法可能在不同情况下适用。

平行线的判定定理和公理

平行线的判定定理和公理平行线的判定定理和公理平行线在几何学中非常重要，因为它对于正常的几何学、计算机图形学和其他相关领域都有重要的应用。

平行线的判定定理和公理是我们在几何学中学习平行线性质的基础知识。

本文将对平行线的判定定理和公理进行详细介绍，使读者对平行线的理解更加深入。

1.平行线的定义和性质在平面上给定一直线l和一点A，如果不过A的任意一条直线与l相交时，交点 angles 都等于90度，那么我们称直线l与A平行，并表示为l || A。

这是平行线的定义。

平行线的性质包括：(1) 平面上任意两条直线，要么相交成交角不为90度的两条直线，要么平行；(2) 如果一条直线与一组平行线相交，那么相交角相等；(3) 平面上有一条直线与平行于它的一组直线相交，那么两条直线被这组平行线所分成的对应角相等。

平行线的定义和性质是评估平行线的判定定理和公理的关键。

2. 平行线的判定定理平行线的判定定理有三种形式：点斜式判定、截距式判定和两线夹角判定。

点斜式判定：如果直线l与曲线y=mx+n平行，那么m 是l的斜率。

在平面上的一个点(x1, y1)，如果有一直线斜率为m，那么直线的点斜式的方程是：y-y1=m(x-x1)如果直线l与曲线y=mx+n平行，那么它们垂直的方向相同，即斜率m相同。

这意味着直线的点斜式方程中的m 值必须等于y = mx+n的方程中m的值。

因此，点斜式判定定理可以表示为：若直线l与曲线y=mx+n平行，则l的斜率m=n。

截距式判定：如果直线l与直线y=mx+b平行，那么b 是l的截距。

对于一个斜率为m的直线和一个截距为b的直线，它们可以表示为：y=mx+b当这两个直线平行时，它们将有相同的斜率，因此它们的截距也必须相等。

换句话说，如果直线l与直线y=mx+b平行，则l的截距b=mx0+ b,其中(x0, y0)是直线l 的一个点。

两线夹角判定：如果两条直线l1，l2与第三条直线l3垂直，那么l1，l2互相平行。

平行线的判定与性质

平行线的判定与性质在几何学中，平行线是指在同一个平面内，永远不会相交的两条直线。

平行线的判定是几何学中的一个重要概念，也是许多定理的基础。

本文将探讨平行线的判定方法以及它们的性质。

一、平行线的判定方法在几何学中，常用的平行线判定方法有以下几种：1.对应角相等当两条直线被一条横截线所剖分时，如果对应角相等，那么这两条直线就是平行线。

2.同位角相等当两条直线被多条平行线所剖分时，如果同位角相等，那么这两条直线就是平行线。

3.内错角相等当两条直线被一条横截线所剖分时，如果内错角相等，那么这两条直线就是平行线。

4.斜率相等当两条直线的斜率相等时，这两条直线就是平行线。

斜率是描述直线倾斜程度的数值。

以上是常用的平行线判定方法，通过这些方法我们可以方便地判断两条直线是否平行。

二、平行线的性质平行线具有一些独特的性质，下面我们将介绍其中几个常见的性质。

1.平行线的任意两个内错角、外错角和同位角之和都等于180度。

2.当一条直线与两条平行线相交时，位于两平行线之间的对应角相等。

3.平行线与一条横截线相交时，内错角相等，外错角相等。

4.平行线的斜率相等。

这些性质使得平行线在几何学中具有重要的地位。

我们可以通过运用这些性质来解决与平行线相关的问题，比如证明两条直线平行或者计算平行线的角度。

总结通过对平行线的判定方法与性质的介绍，我们可以看到平行线在几何学中的重要性。

判定平行线的方法不仅有助于我们解决各种几何问题，而且能够帮助我们更好地理解几何学中的各种规律与定理。

同时，深入了解平行线的性质也有助于我们在实际生活中运用几何学知识分析和解决问题。

希望通过本文的介绍，读者能够对平行线的判定与性质有更清晰的理解。

平行线的性质与判定

平行线的性质与判定平行线是几何学中的重要概念，它们具有独特的性质和判定方法。

本文将对平行线的性质和判定进行详细讨论。

一、平行线的性质1.1 同位角性质平行线的同位角是指两条平行线被一条截线所切割形成的内角对。

同位角具有以下性质：- 同位角相等：如果一条截线与两条平行线相交，那么同一侧的同位角是相等的。

- 内错角性质：同位角与其不相邻的内错角互补，即它们的和是180度。

1.2 对应角性质对应角是指两条平行线被一条截线所切割形成的对应的内角对。

对应角具有以下性质：- 对应角相等：如果一条截线与两条平行线相交，那么对应角是相等的。

1.3 平行线的距离平行线之间的距离始终保持相等。

无论平行线在空间中如何延伸，它们之间的距离始终不变。

1.4 平行线与平面的交点一条与两条平行线相交的直线，称为平行线与平面的交点。

平行线与平面的交点具有以下性质：- 当平行线与平面相交时，交点与平行线上的任何一点之间的直线距离是相等的。

二、平行线的判定2.1 同位角判定法通过测量同位角来判断两条线是否平行。

如果两条直线被一条截线所切割形成的同位角相等，那么这两条直线是平行的。

2.2 对应角判定法通过测量对应角来判断两条线是否平行。

如果两条直线被一条截线所切割形成的对应角相等，那么这两条直线是平行的。

2.3 平行线的垂线判定法如果两条直线之间存在一条垂直于它们的直线，并且这条垂线与两条直线的交点相同，那么这两条直线是平行的。

2.4 平行线的等斜判定法如果两条直线的斜率相等，并且没有交点，那么这两条直线是平行的。

斜率指的是直线上任意两点之间的垂直于X轴的距离与水平距离之比。

三、平行线的应用平行线的应用非常广泛，涉及到几何学、物理学、工程学等多个领域。

以下是一些典型的应用场景：- 在建筑工程中，利用平行线的性质可以设计出稳定的结构。

- 在地图测绘中，通过平行线的判定，可以准确测量距离和角度。

- 在电路设计中，平行线的应用可以保证信号的稳定传输。

平行线的判定方法

平行线的判定方法平行线是指在同一个平面上，永远不会相交的两条直线。

在几何学中，判定两条直线是否平行是一个很基础但又很重要的问题。

下面我们将介绍几种判定平行线的方法。

1. 直线与直线的判定。

当两条直线的斜率相等时，这两条直线是平行的。

斜率是指直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。

假设有两条直线分别为y1 = kx1 + b1和y2 = kx2 + b2，如果k1 = k2，则这两条直线平行。

举个例子，如果直线y = 2x + 3和直线y = 2x + 5，它们的斜率都为2，因此这两条直线是平行的。

2. 直线与平行线的判定。

如果一条直线与一组平行线相交时，相交线与其中任意一条平行线的交角相等，则这条直线与这组平行线平行。

举个例子，如果一条直线与一组平行线相交，交角分别为60度，而这组平行线之间的夹角也为60度，那么这条直线与这组平行线平行。

3. 平行线的性质。

两条平行线被一条横穿它们的直线所切割，相交角相等。

两条平行线被一条横穿它们的直线所切割，对应角相等。

两条平行线被一条横穿它们的直线所切割，内错角之和为180度。

4. 实际应用。

平行线的概念在现实生活中有着广泛的应用。

例如在建筑工程中，为了保证建筑物的结构稳定，往往需要保证某些构件是平行的，这就需要工程师们灵活运用平行线的判定方法来进行设计和施工。

总结。

通过上述介绍，我们可以清晰地了解到平行线的判定方法，包括直线与直线的判定、直线与平行线的判定，以及平行线的性质。

这些方法和性质在数学和现实生活中都有着重要的应用价值，希望本文能够对读者有所帮助。

平行线的判定及性质

授课主题平行线教学目的1.理解平行线的概念;掌握平行公理及其推论；2.掌握平行线的判定方法及性质;并能进行简单的推理3. 掌握命题的定义;知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成;对于给定的命题;能找出它的题设和结论；教学重点平行线的判定及性质教学内容知识梳理要点一、平行线1．定义：在同一平面内;不相交的两条直线叫做平行线;如果直线a与b平行;记作a∥b．要点诠释：1平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交;三者缺一不可；2有时说两条射线平行或线段平行;实际是指它们所在的直线平行;两条线段不相交并不意味着它们就平行．3在同一平面内;两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地;重合的直线视为一条直线;不属于上述任何一种位置关系．2．平行公理：经过直线外一点;有且只有一条直线与这条直线平行．3．推论：如果两条直线都与第三条直线平行;那么这两条直线也互相平行．要点诠释：1平行公理特别强调“经过直线外一点”;而非直线上的点;要区别于垂线的第一性质．2公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．3“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点二、直线平行的判定判定方法1：同位角相等;两直线平行.如上图;几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD同位角相等;两直线平行判定方法2：内错角相等;两直线平行.如上图;几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD内错角相等;两直线平行判定方法3：同旁内角互补;两直线平行.如上图;几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD同旁内角互补;两直线平行要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补;得出平行;即由数推形.要点三、平行线的性质性质1：两直线平行;同位角相等；性质2：两直线平行;内错角相等；性质3：两直线平行;同旁内角互补.要点诠释：1“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容;切不可忽视前提“两直线平行”．2从角的关系得到两直线平行;是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系;是平行线的性质．要点四、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线;并且夹在这两条平行线间的线段的长度;叫做这两条平行线的距离．要点诠释：1求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点;向另一条直线作垂线;垂线段的长度就是两条平行线的距离．2两条平行线的位置确定后;它们的距离就是个定值;不随垂线段的位置的改变而改变;即平行线间的距离处处相等．要点五、命题、定理、证明1.命题：判断一件事情的语句;叫做命题．要点诠释：1命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成;题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项.2命题的表达形式：“如果……;那么…….”;也可写成：“若……;则…….”3真命题与假命题：真命题：题设成立结论一定成立的命题;叫做真命题.假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题;叫做假命题.2.定理：定理是从真命题公理或其他已被证明的定理出发;经过推理证实得到的另一个真命题;定理也可以作为继续推理的依据.3.证明：在很多情况下;一个命题的正确性需要经过推理;才能作出判断;这个推理过程叫做证明.要点诠释：1证明中的每一步推理都要有根据;不能“想当然”;这些根据可以是已知条件;学过的定义、基本事实、定理等.2判断一个命题是正确的;必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题;只需列举一个反例即可．要点六、平移1. 定义：在平面内;将一个图形沿某个方向移动一定的距离;图形的这种移动叫做平移．要点诠释：1图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．2图形的平移不改变图形的形状与大小;只改变图形的位置.2. 性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离;平移不改变线段、角的大小;具体来说：1平移后;对应线段平行且相等；2平移后;对应角相等；3平移后;对应点所连线段平行且相等；4平移后;新图形与原图形是一对全等图形.典型例题类型一、平行线例1．下列说法正确的是A．不相交的两条线段是平行线.B．不相交的两条直线是平行线.C．不相交的两条射线是平行线.D．在同一平面内;不相交的两条直线叫做平行线.答案D例2．在同一平面内;下列说法：1过两点有且只有一条直线；2两条直线有且只有一个公共点；3过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；4过一点有且只有一条直线与已知直线平行..其中正确的个数为：A．1个B．2个C．3个D．4个答案B解析正确的是：13.变式1下列说法正确的个数是1直线a、b、c、d;如果a∥b、c∥b、c∥d;则a∥d.2两条直线被第三条直线所截;同旁内角的平分线互相垂直.3两条直线被第三条直线所截;同位角相等.4在同一平面内;如果两直线都垂直于同一条直线;那么这两直线平行．A．1个 B .2个C．3个D．4个答案B类型二、两直线平行的判定例3. 如图;给出下列四个条件：1AC＝BD； 2∠DAC＝∠BCA；3∠ABD＝∠CDB；4∠ADB＝∠CBD;其中能使AD∥BC的条件有.A．12 B．34 C．24 D．134答案C变式2一个学员在广场上驾驶汽车;两次拐弯后;行驶的方向与原来的方向相同;这两次拐弯的角度可能是A．第一次向左拐30°;第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°;第二次向左拐130°C．第一次向右拐50°;第二次向右拐130°D．第一次向左拐50°;第二次向左拐130°例4.如图所示;已知∠B＝25°;∠BCD＝45°;∠CDE＝30°;∠E＝10°．试说明AB∥EF的理由．解法1：如图所示;在∠BCD的内部作∠BCM＝25°;在∠CDE的内部作∠EDN＝10°．∵∠B＝25°;∠E＝10°已知;∴∠B＝∠BCM;∠E＝∠EDN等量代换．∴AB∥CM;EF∥DN内错角相等;两直线平行．又∵∠BCD＝45°;∠CDE＝30°已知;∴∠DCM＝20°;∠CDN＝20°等式性质．∴∠DCM＝∠CDN等量代换．∴CM∥DN内错角相等;两直线平行．∵AB∥CM;EF∥DN已证;∴AB∥EF平行线的传递性．解法2：如图所示;分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点．∵∠BCD＝45°;∴∠NCB＝135°．∵∠B＝25°;∴∠CNB＝180°-∠NCB-∠B＝20°三角形的内角和等于180°．又∵∠CDE＝30°;∴∠EDM＝150°．又∵∠E＝10°;∴∠EMD＝180°-∠EDM-∠E＝20°三角形的内角和等于180°．∴∠CNB＝∠EMD等量代换．所以AB∥EF内错角相等;两直线平行．变式3已知;如图;BE平分∠ABD;DE平分∠CDB;且∠1与∠2互余;试判断直线AB、CD的位置关系;请说明理由．解：AB∥CD;理由如下：∵BE平分∠ABD;DE平分∠CDB;∴∠ABD＝2∠1;∠CDB＝2∠2．又∵∠1+∠2＝90°;∴∠ABD+∠CDB＝180°．∴AB∥CD同旁内角互补;两直线平行．变式4已知;如图;AB⊥BD于B;CD⊥BD于D;∠1+∠2=180°;求证：CD//EF．答案证明：∵AB⊥BD于B;CD⊥BD于D;∴AB∥CD．又∵∠1+∠2=180°;∴AB∥EF．∴CD//EF．类型三、平行线的性质例5．如图所示;如果AB∥DF;DE∥BC;且∠1＝65°．那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗为什么．解：∵DE∥BC;∴∠4＝∠1＝65°两直线平行;内错角相等．∠2+∠1＝180°两直线平行;同旁内角互补．∴ ∠2＝180°-∠1＝180°-65°＝115°．又∵ DF ∥AB 已知;∴ ∠3＝∠2两直线平行;同位角相等．∴ ∠3＝115°等量代换．变式5如图;已知1234//,//l l l l ;且∠1=48°;则∠2＝ ;∠3＝ ;∠4＝ .答案48°;132°;48°变式6如图所示;直线l 1∥l 2;点A 、B 在直线l 2上;点C 、D 在直线l 1上;若△ABC 的面积为S 1;△ABD 的面积为S 2;则A ．S 1＞S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1＜S 2D ．不确定答案B类型四、命题例6．判断下列语句是不是命题;如果是命题;是正确的还是错误的①画直线AB ；②两条直线相交;有几个交点；③若a ∥b;b ∥c;则a ∥c ；④直角都相等；⑤相等的角都是直角；⑥如果两个角不相等;那么这两个角不是对顶角．答案①②不是命题；③④⑤⑥是命题；③④⑥是正确的命题；⑤是错误的命题．变式8把下列命题改写成“如果……;那么……”的形式．1两直线平行;同位角相等；2对顶角相等；3同角的余角相等.答案解：1如果两直线平行;那么同位角相等.2如果两个角是对顶角;那么这两个角相等.3如果有两个角是同一个角的余角;那么它们相等.类型四、平移例7．湖南益阳如图所示;将△ABC 沿直线AB 向右平移后到达△BDE 的位置;若∠CAB ＝50°;∠ABC ＝100°;则∠CBE 的度数为________．答案30°变式9 上海静安区一模如图所示;三角形FDE 经过怎样的平移可以得到三角形ABCA ．沿EC 的方向移动DB 长B ．沿BD 的方向移动BD 长C ．沿EC 的方向移动CD 长D ．沿BD 的方向移动DC 长答案A类型五、平行的性质与判定综合应用例8、如图所示;AB∥EF;那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝A．180°B．270°C．360°D．540°答案C解析过点C作CD∥AB;∵CD∥AB;∴∠BAC+∠ACD=180°两直线平行;同旁内角互补又∵EF∥AB∴EF∥CD．∴∠DCE+∠CEF=180°两直线平行;同旁内角互补又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°课后作业一、选择题1.下列说法中正确的有①一条直线的平行线只有一条．②过一点与已知直线平行的直线只有一条．③因为a∥b;c∥d;所以a∥d．④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个2．如果两个角的一边在同一直线上;另一边互相平行;则这两个角A．相等B．互补C．互余D．相等或互补3．如图;能够判定DE∥BC的条件是A．∠DCE+∠DEC＝180°B．∠EDC＝∠DCBC．∠BGF＝∠DCB D．CD⊥AB;GF⊥AB4．一辆汽车在广阔的草原上行驶;两次拐弯后;行驶的方向与原来的方向相同;那么这两次拐弯的角度可能是．A．第一次向右拐40°;第二次向右拐140°．B．第一次向右拐40°;第二次向左拐40°．C．第一次向左拐40°;第二次向右拐140°．D．第一次向右拐140°;第二次向左拐40°．5．如图所示;下列条件中;不能推出AB∥CE成立的条件是A．∠A＝∠ACE B．∠B＝∠ACE C．∠B＝∠ECD D．∠B+∠BCE＝180°6.绍兴学习了平行线后;小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法;她是通过折一张半透明的纸得到的如图;1—4:从图中可知;小敏画平行线的依据有①两直线平行;同位角相等．②两直线平行;内错角相等．③同位角相等;两直线平行．④内错角相等;两直线平行．A.①②B. ②③C. ③④D. ④①二、填空题7. 在同一平面内的三条直线;它们的交点个数可能是________．8．如图;DF平分∠CDE;∠CDF＝55°;∠C＝70°;则________∥________．9．规律探究：同一平面内有直线a1;a2;a3…;a100;若a1⊥a2;a2∥a3;a3⊥a4…;按此规律;a1和a100的位置是________．10．已知两个角的两边分别平行;其中一个角为40°;则另一个角的度数是11．直线l同侧有三点A、B、C;如果A、B两点确定的直线l'与B、C两点确定的直线l''都与l平行;则A、B、C三点;其依据是12.如图;AB⊥EF于点G;CD⊥EF于点H;GP平分∠EGB;HQ平分∠CHF;则图中互相平行的直线有．三、解答题13.如图;∠1＝60°;∠2＝60°;∠3＝100°;要使AB∥EF;∠4应为多少度说明理由．14．小敏有一块小画板如图所示;她想知道它的上下边缘是否平行;而小敏身边只有一个量角器;你能帮助她解决这一问题吗15．如图;把一张长芳形纸条ABCD沿AF折叠;已知∠ADB＝20°;那么∠BAF为多少度时;才能使AB′∥BD16．如图所示;由∠1＝∠2;BD平分∠ABC;可推出哪两条线段平行;写出推理过程;如果推出另两条线段平行;则应将以上两条件之一作如何改变答案与解析一、选择题1. 答案A解析只有④正确;其它均错．2. 答案D3. 答案B解析内错角相等;两直线平行．4. 答案B5. 答案B解析∠B和∠ACE不是两条直线被第三条直线所截所得到的角．6. 答案C解析解决本题关键是理解折叠的过程;图中的虚线与已知的直线垂直;过点P的折痕与虚线垂直．二、填空题7. 答案0或1或2或3个；8. 答案BC; DE；解析∠CFD＝180°－70°－55°＝55°;而∠FDE＝∠CDF＝55°;所以∠CFD＝∠FDE．9. 答案a1∥a100；解析为了方便;我们可以记为a1⊥a2∥a3⊥a4∥a5⊥a6∥a7⊥a8∥a9⊥a10…∥a97⊥a98∥a99⊥a100;因为a1⊥a2∥a3;所以a1⊥a3;而a3⊥a4;所以a1∥a4∥a5．同理得a5∥a8∥a9;a9∥a12∥a13;…;接着这样的规律可以得a1∥a97∥a100;所以a1∥a100．10.答案40°或140°11.答案共线;平行公理；解析此题考查是平行公理;它是论证推理的基础;应熟练应用．12.答案AB∥CD;GP∥HQ；解析理由：∵AB⊥EF;CD⊥EF．∴∠AGE＝∠CHG＝90°．∴AB∥CD．∵AB⊥EF．∴∠EGB＝∠2＝90°．∴GP平分∠EGB．∴∠1＝12EGB＝45°．∴∠PGH＝∠1+∠2＝135°．同理∠GHQ＝135°;∴∠PGH＝∠GHQ．∴GP∥HQ．三、解答题13. 解析解：∠4＝100°．理由如下：∵∠1＝60°;∠2＝60°;∴∠1＝∠2;∴AB∥CD又∵∠3＝∠4＝100°;∴CD∥EF;∴AB∥EF．14．解析解：如图所示;用量角器在两个边缘之间画一条线段MN;用量角器测得∠1＝50°;∠2＝50°;因为∠1＝∠2;所以由内错角相等;两直线平行;可知画板的上下边缘是平行的．15. 解析解：要使AB′∥BD;只要∠B′AD＝∠ADB＝20°;∠B′AB＝∠BAD+∠B′AD＝90°+20°＝110°．∴∠BAF＝12∠B′AB＝12×110°＝55°．16．解析解：可推出AD∥BC．∵BD平分∠ABC已知．∴∠1＝∠DBC角平分线定义．又∵∠1＝∠2已知;∴∠2＝∠DBC等量代换．∴AD∥BC内错角相等;两直线平行．。

初中数学平行线的判定定理有哪些

初中数学平行线的判定定理有哪些平行线的判定定理是初中数学中的一个重要概念，用于判断两条直线是否平行。

在本文中，我将详细介绍平行线的判定定理，包括定义、相关定理以及实际应用。

同时，我还会提供一些示例和习题，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

1. 同位角定理：如果两条直线被一条横截线所切，且同位角相等，则这两条直线是平行线。

即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠B，则l||m。

2. 平行线的性质：如果两条直线l和m都与第三条直线n平行，那么l和m也是平行线。

即如果l||n且m||n，则l||m。

3. 垂直定理的逆定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线相互垂直，则l||m。

即如果l∠n且m∠n，则l||m。

4. 对顶角定理：如果两条直线l和m被一条横截线所切，且对顶角相等，则这两条直线是平行线。

即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠C，则l||m。

5. 平行线的传递性：如果直线l||m，且直线m||n，那么直线l||n。

即如果l||m且m||n，则l||n。

6. 锐角等于直角的定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线与另一条直线的某一角度相等，则l||m。

即如果l∠n且∠A=90°，则l||m。

7. 平行线的平行线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n 的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l||m。

8. 平行线的交角定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l与m不平行。

9. 平行线的平行截线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且直线l与n的交点A与直线m与n的交点B之间的线段AB与直线n的某一条垂线相交于点C，则直线l和直线m平行。

以上是一些常见的平行线的判定定理，可以根据不同的条件来判断两条直线是否平行。

沪教版(上海)数学七年级下册-13.4 平行线的判定(1) 课件

1 2 a / /b
（等量代换）. (同位角相等,两直线平行).
归纳为：在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行.
★符号语言：
a c,b c, (已知)
a / /b
(垂直于同一条直线的两条直线平行)
例题讲解
例题如图，直线 l 与直线 a 、 b 、c 分别相交，且∠1=∠2=∠3 .
（1）从∠1=∠2可以得出哪两条直线平行？为什么？
线 a 的那一边，画直线b .
A
B
a
画一条已知直线的平行线的要点：
C
“一靠、二移、三画”
已知直线 a，请用直尺和三角尺画一条直线 b ，使 a 与 b平行。
b
A
B
a
C
l
a 1
b 2
实际操作
“三线八角” 图
观察及思考
1、在平行线的操作过程中，三角尺做了哪种运动？起什么了作用？
l
A
B
b
C
A
Ba
C
a
经过直线外一点 P 画直线 a 的平行线，可以画几条？
平行线的基本性质：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
P
b
A
B
a
C
课堂练习——课本p53页第2题
如图，在同一个平面内，a c，b c 说明a // b的理由.
ab
a c（已知）
c
1
2
1 90° （垂直的意义）. 同理: 2 90° （垂直的意义）.
思考2：如果通过概念中的“不相交” 来判定，可行吗？
动手试一试：画平行线
已知直线 a，请用直尺和三角尺画一条直线 b ，使 a 与 b平行。
步骤：（1）将三角尺的一边 AB 紧

平行线的判定和性质(精选.)

直线平行的条件知识精点通过本节的学习，要了解两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角的定义，掌握平行线的识别方法，理解由角的关系得到两条直线的平行关系．本节的主要概念：1．同位角、内错角、同旁内角的概念——两条直线被第三条直线所截，构成八个角，俗称“三线八角”．其中分别在两条直线的同一侧，并且在第三条直线的同旁的一对角叫同位角；在两条直线之间．但分别在第三条直线的两旁的一对角叫内错角．在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁的一对角，叫同旁内角．2．平行线的判定方法：方法1：同位角相等，两直线平行；方法2：内错角相等，两直线平行．方法3：同旁内角互补，两直线平行．重、难、疑点：重点：同位角、内错角、同旁内角的定义及平行线的判定方法．难点：1．同位角、内错角、同旁内角的正确识别； 2．平行线判定方法的运用．疑点：1．在不同的图形中，识别同位角、内错角、同旁内角容易出现混淆； 2．平行线的判定与性质在运用过程中易出现错误．典例精讲例1 根据右图，回答下列问题：（1）由∠C=∠1，可以判断哪两条直线平行？说明理由？（2）由∠1=∠2，可以判断哪两条直线平行？说明理由？（3）由∠D+∠C=180°，可以判断哪两条直线平行？说明理由？举一反三（贵阳市中考题）如图，已知同一平面内的直线1l 、2l 、3l ，如果3221,l l l l ⊥⊥，那么1l 与3l 的位置关系是（）A ．平行B ．相交C ．垂直D ．以上全不对例2如图，写出所有能够推得直线AB∥CD的条件．举一反三如图，直线c与a、b相交，形成∠1、∠2、…、∠8，请你填上适合的一个条件：____________，使得a∥b．例3 （黄冈市中考题）如图，已知∠1=∠2，问：再添加什么条件可使AB∥CD？举一反三如图，已知∠C=100°，若增加一个条件，使得AB∥CD，试写出所有符合要求的条件．例4 如图，已知点O在直线AB上，OF平分∠BOC，OE平分∠AOC，CF⊥OF于点F，求证：FC∥OE．举一反三如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2，求证：DF∥AE．例5 一个裁缝师傅随意地剪了一块六边形的布料，如图所示，经测量他发现∠ABC、∠BCD、∠CDE三角之和等于360°，他然后就说布料的两个边AB和ED是平行的．你知道为什么吗？举一反三如图，已知∠B+∠E+∠D=360°，求证：AB∥CD．知识网络学法点津1．识别同位角、内错角、同旁内角是本节的重点之一，掌握这项技能，首先要牢记“三线八角”的基本特征，抓住同位角、内错角、同旁内角的特征，找出哪条直线是截线，哪两条直线是被截直线，再得出正确的判断．同时，要善于用比较法来理解三种角的特征，培养自己在较复杂的图形中识别三种角的能力．2．在学习平行线的三种判定方法时，要结合实际条件，观察图形，通过同学间的合作、交流，将方法1、2、3融合贯通，培养自己会根据实际情况灵活选用判定方法的能力．强化练习1．具有下列关系的两角中，一定有公共顶点的是（）．A．互为余角B．同位角C．邻补角D．内错角2．已知a，b，c是同一平面内的三条直线，下列说法不正确的是（）．A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥cB．若a⊥b，b∥c，则a⊥cC．若a∥b，b∥c，则a∥cD．若a⊥b，b⊥c，则a∥c3．如图5-2-11，由A测B的方向是（）．A．南偏东30°B．南偏东60°C．北偏西30°D．北偏西60°4．一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍按原来的方向行驶，那么两次拐弯的角度可能是（）．A．先右转50°，再右转40°B．先左转50°，再左转40°C．先右转50°，再左转130°D．先右转50°，再左转50°5．如图5-2-12，直线l截直线a，b，得到8个角，其中（1）对顶角有__________对，它们是___________；（2）邻补角有______________对，它们是_____________；（3）同位角有______________对，它们是_____________；（4）内错角有______________对，它们是______________；（5）同旁内角有______________对，它们是_____________．6．在同一平面内，与已知直线a平行的直线有___________条，而经过直线a外一点P，与已知直线a平行的直线有且只有_____________条．7．如图5-2-13所示，长方体ABCD—A′B′C′D′中与棱AB平行的棱有____________条，它们是___________．8．如图5-2-14，若∠1=∠2，则_________∥____________；若∠3=∠4，则________∥_________；若∠5=∠6，则__________∥____________；若∠7=∠8，则___________∥_____________；若∠BAD+∠ABC=180°，则___________∥__________；若∠ABC+∠BCD=180°，则_________∥___________．9．如图5-2-15，因为∠1=∠3，∠2=∠3（已知），所以∠1=∠2（），所以AB∥__________（）．10．如图5-2-16，（1）如果∠B=∠1，那么根据______________，可得AD∥BC；（2）如果∠D=∠1，那么根据____________，可得AB∥CD．11．图5-2-17所示的6个角中，有多少对同位角？写出每对这样的角．有多少对内错角？写出每对这样的角．有多少对同旁内角？写出每对这样的角．12．如图5-2-18，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°．AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？为什么？13．读下列语句，并在图5-2-19上画出图形．（1）过△ABC的顶点C，画MN∥AB；（2）过△ABC的边AB的中点D，画平行于AC的直线，交BC于点E．14．如图5-2-20，（1）要判定AB∥CD，只需知道什么条件？（2）要判定AD∥BC，只需知道什么条件？（3）要判定AE∥CF，只需知道什么条件？15．如图5-2-21，已知∠1=∠2，∠3=∠4，说明AB∥EF．16．图5-2-22所示为一条街道的两个拐角∠ABC和∠BCD，若已知∠ABC=150°，要使街道AB与CD平行，∠BCD应为多少度？为什么？17．如图5-2-23，已知∠BED=∠B+∠D．试问：AB与CD平行吗？若平行，请说明理由．abc 1234d探索直线平行的性质一、学习目标1．掌握平行线的三个性质，并能解决一些问题． 2．理解平行线的判定与性质的区别与应用二、学习重点会用“两直线平行，同位角相等”、“ 两直线平行，内错角相等”和“两直线平行，同旁内角互补”来解决问题.三、学习难点探索平行线性质和平行线性质的运用四、学习过程交流合作、探索发现合作交流一：如图，猜一猜∠1和∠2相等吗？为什么？图中还有其它同位角吗？它们的大小有什么关系？是不是任意一条直线去截平行线a 、b 所得的同位角都相等呢？ [结论] 两条平行线被第三条直线所截，___________________. 简单说成：_____________________.符号语言:_________________________. 合作交流二：如图：已知a//b,那么∠2与∠ 3相等吗？为什么？[结论]两条平行线被第三条直线所截，____________________. 简单说成：________________________. 符号语言:_______________________________. 合作交流三：如图,已知a//b ，那么 ∠2与∠4有什么关系呢？[结论]两条平行线被第三条直线所截，______________________. 简单说成：_________________________________. 符号语言：______________________________. 五、例题讲解例1.如图1,已知直线a ∥b,∠1 = 500,求∠2的度数. 变式1.已知条件不变，求∠3，∠4的度数？变式2.如图2，已知∠3 =∠4， ∠1=47°，求∠2的度数？13 241 21324图1图2ab 1 3 2例2如图3，AD ∥BC ，∠A ＝∠C.试说明AB ∥CD.例3.如图4，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，∠B = 600。

八年级平行线的判定知识点

八年级平行线的判定知识点平行线的判定在初中数学中是一个非常重要的知识点，特别是在八年级数学学习过程中更是如此。

本文将为读者介绍关于八年级平行线的判定知识点，希望能够对读者的学习有所帮助。

一、基本概念平行线是指在同一平面内没有交点的两条直线，其符号为 || 。

平行线之间的距离是两条平行线上任意一点到另一条平行线的距离。

平行线的判定有三种方法：直接判定法、间接判定法和含角判定法。

二、直接判定法直接判定法是指通过直接比较两条直线的斜率是否相等，从而确定它们是否平行。

当两条直线的斜率相等时，它们是平行线，反之则不是。

例如，设有两条直线 L1:y=x+1 和 L2:y=2x-1，比较它们的斜率，我们可以得出：直线 L1 的斜率为 1，直线 L2 的斜率为 2，所以两条直线不平行。

三、间接判定法间接判定法是指通过直线与另一条已知平行线的关系，从而判断一条直线与已知平行线是否平行。

它包括垂线判定法和平行四边形判定法两种方式。

垂线判定法：如果一条直线与一条已知平行线垂直，则这条直线与另一条平行线平行。

例如，设有一条已知平行线 L1:y=2x+1，另有一条直线 L2，使得 L2 上任意一点到直线 L1 的距离都相等，那么 L2 与 L1 平行。

平行四边形判定法：如果两条直线分别与另外两条平行线构成的四边形两组对边分别平行，则这两条直线平行。

例如，如图所示，ABCD为平行四边形，E、F分别为 AB 和CD 上的点，连接 EF，若 EF // BC，则 AB // CD。

image四、含角判定法含角判定法是指通过两个角的关系来判断两条直线之间的关系，它包括同位角、内错角、同旁内角、同旁外角和对顶角。

同位角：两条平行线上所对应的角互相相等。

内错角：两条平行线被另一条直线所相交，内错角互相相等。

同旁内角：两条平行线被另一条直线所相交，同旁内角互相补角。

同旁外角：两条平行线被另一条直线所相交，同旁外角互相相等。

对顶角：两条平行线被另一条直线所相交，对顶角互相相等。

平行线的判定课件

通过证明两条直线组成的图形是平行四边形，从而证明它们平行。
同位角相等法
通过证明两条直线的同位角相等来证明它们平行。
平行线定理的证明
1 2
两条直线平行，同位角相等
根据平行线的定义，证明两条平行线之间的同位角相等。
两条直线平行，内错角相等
根据平行线的定义，证明两条平行线之间的内错角相等。
3
两条直线平行，同旁内角互补
04 平行线的应用
平行线在几何中的应用
平行线的定义与性质
了解平行线的定义、性质以及判定方法，包括平行线的传递性、内错角相等、同位角相等、同旁内角互补等。
三角形中的平行线
了解三角形中平行线的应用，如角平分线定理、平行线分线段成比例定理等。
四边形中的平行线
掌握四边形中的平行线判定方法，如平行四边形、梯形的判定等。
交通运输
了解交通运输中平行线的应用，如铁路轨道的设计、高速公路的修建等。
05 总结与回顾
总结平行线的判定方法
平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线称为
平行线。
平行线的性质：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
平行线的判定方法
1. 同位角相等，两直线平行；
2. 内错角相等，两直线平行；
3. 同旁内角互补，两直线平行。
回顾平行线的性质与证明
平行线的性质
描述了平行线的一些基本性质，如等角性质、平行线之间的距离相等等。
平行的证明
提供了几种证明两条直线平行的方法，如利用同位角、内错角或同旁内角等。
深化对平行线及其应用的理解
平行线在几何学中的重要性
描述了平行线在几何学中的重要地位，如在证明定理、求解几何问题等方面的应用。

沪教版(上海)数学七年级第二教学设计：13.4平行线的判定

（3）针对学生的错误，进行错题分析，帮助学生找出错误原因，提高解题能力。
（五）总结归纳
1.教学活动设计：
在总结归纳环节，教师将引导学生回顾本节课所学内容，形成知识体系，提高学生的几何素养。
2.教学实施：
（1）教师引导学生回顾本节课的主要内容，如平行线的定义、判定方法等。
（2）学生分享学习心得，总结自己在学习过程中的收获和不足。
（3）学生展开讨论，教师巡回指导，解答学生疑问。
（4）各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。
（四）课堂练习
1.教学活动设计：
课堂练习环节旨在检验学生对平行线判定方法的掌握程度，通过分层练习，让学生在练习中巩固所学知识。
2.教学实施：
（1）设计基础题、提高题和拓展题，分别针对不同水平的学生。
（2）学生独立完成练习，教师巡回指导，解答学生疑问。
（3）教师点评，强调重点知识，指出学生在学习过程中应注意的问题。
（4）布置课后作业，巩固所学知识，为下一节课的学习做好铺垫。
五、作业布置
为了巩固本节课的学习内容，确保学生对平行线的判定方法有深入的理解和掌握，特布置以下作业：
1.基础巩固题：完成课本第13.4节后的练习题1、2、3，这些题目主要针对平行线的基础概念和判定方法，旨在帮助学生巩固基础知识。
5.思考总结题：要求学生撰写一篇关于平行线判定方法的学习心得，内容包括对平行线判定方法的理解、学习过程中的困难与收获，以及如何将所学知识应用到实际问题中。
作业布置要求：
1.学生需独立完成作业，确保作业质量。在完成作业过程中，遇到问题应主动思考、查阅资料或与同学讨论，以提高解决问题的能力。
2.家长应关注学生的学习情况，协助学生合理安排时间，确保作业按时完成。

平行线的判定与性质

平行线的判定与性质平行线在几何学中起着重要的作用，它们有着独特的性质和判定方法。

本文将介绍平行线的判定方法以及与平行线相关的性质。

一、平行线的判定方法1. 垂直判定法：如果两条线段相交，且相交的角度为90度，则这两条线段是平行线。

这是最基本的平行线判定方法，根据垂直直角的定义可以简单明了地判断两条线段是否平行。

2. 共垂线判定法：如果两条线段分别与一条直线相交，且这两条线段在相交处的对应角相等，则这两条线段平行。

这个方法利用了共垂线的性质，通过对应角相等关系来确定两条线段是否平行。

3. 锐角判定法：如果两条与一直线相交的线段，在直线的一侧分别作锐角，则这两条线段平行。

这个方法需要注意的是锐角的存在，通过作锐角可以确定线段的平行关系。

4. 曲线描点法：在平面上任意取一点，通过画出与已知直线相切的曲线，再经过已知点和曲线上的该点画一条直线，若该直线与已知直线平行，则已知曲线与已知直线平行。

这个方法常用于曲线与直线的平行关系判断。

二、平行线的性质1. 对应角相等性质：如果两条平行线被一条横截线所切，那么所得到的对应角是相等的。

这是平行线最基本的性质之一，也是平行线判定方法中常用的性质。

2. 内错角互补性质：如果两条平行线被一条横截线所切，那么所得到的内错角之和为180度。

这个性质是平行线性质中比较重要的一个，它可以用来证明一些平行线的性质。

3. 平行线的平移性质：平行线之间可以进行平移。

如果平行线上有一个点向某个方向平移，那么整条平行线也会向同一个方向平移同样的距离。

这个性质在几何证明中经常被应用，它帮助我们理解平行线的运动规律。

4. 平行线的比例性质：如果一条直线与一组平行线相交，那么相交线段之间的比例保持不变。

这个性质可以用来求解平行线上的线段长度比例，它是解决一些几何问题的重要思路。

总结：平行线是几何学中的重要概念，通过不同的判定方法可以准确地确定平行线的存在。

同时，平行线具有一系列的性质，这些性质在几何学推理中扮演着重要的角色。

平行线的判定条件和性质

平行线的判定条件和性质平行线是指在同一个平面内永不相交的两条直线。

平行线具有一些独特的判定条件和性质，本文将探讨这些条件和性质，帮助读者更好地理解和应用平行线的概念。

一、判定条件1.等角定理判定：如果两条直线与第三条直线交叉时，所夹的角对应相等或互补，则这两条直线是平行线。

即如果一对对应角相等或互补，则直线是平行的。

2.同位角定理判定：如果两条直线被一条横截线交叉时，同位角相等，则这两条直线是平行线。

同位角是指在两条直线上，分别位于两条横截线的同一侧且对应的角度。

3.转角定理判定：如果两条直线与第三条直线交叉时，其中一对内转角相等，则这两条直线是平行线。

内转角是指位于两条直线之间的角。

以上三种判定条件都是通过角度的性质来判断直线是否平行，通过角度的相等或特殊关系来推断直线的平行性。

二、性质1.同一平面内的平行线永不相交，并且在平面上的任一点，只有一条与给定直线平行的直线。

2.通过同一个点外一条直线上的垂线与该直线平行，则这两条直线互相平行。

3.平行线具有相同的斜率。

设有两条直线L1和L2，斜率分别为k1和k2，若k1 = k2，则直线L1与L2是平行线。

4.两条平行线被一条横截线所截时，对应角、同位角、内角均相等。

5.平行线间的距离在平面上始终保持不变。

即两条平行线的任意两个对应点的距离都相等。

6.平行线夹在两条直线上的外角是对应角的互补角，内角是对应角的同位角。

以上列举的是平行线的一些常见性质，这些性质在几何学和实际生活中都有广泛的应用。

对于判定两条直线是否平行，可以通过以上提到的判定条件来进行推演。

而了解平行线的性质，可以帮助我们理解形状和图形的关系，进而应用到建筑、工程和设计等领域中。

总结：平行线是几何学中重要的概念之一，判断两条直线是否平行可以通过等角定理、同位角定理和转角定理等几何学定理来确定。

平行线具有一些独特的性质，比如不相交、斜率相等、距离相等等，这些性质在实际生活中有广泛的应用。

平行线的判定定理

平行线分线段成比例定理重点难点解析重点：平行线分比例线段定理与三角形一边的平行线的性质和判定.难点：平行线分线段成比例定理及推论的应用.中考要求能灵活运用平行线粉线段成比例定理及推理证明线段成比例，线段相等等问题。

并会利用三角形一边平行线判定定理证明两直线平行命题趋势分析利用平行线分线段成比例定理及相关推论，进行证明和计算是考试热点，在中考中常以填空题、选择题、计算题、证明题和作图题出现，解题时要结合比例性质.相关知识点回顾1．平行线等分线段定理2．比例线段及其性质定理新知识归纳1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，对应线段是指一条直线被两条平行线截得的线段与另一条直线被这两条平行线截得的线段对应．2．平行线分线段成比例定理的推论(三角形一边平行线的性质定理)：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．3．平行线分线段成比例定理推论的逆命题(三角形一边平行线的判定定理)：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．4．相似三角形预备定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

典型例题例1已知：如图5-19，AD为△ABC的角平分线，求证：AB∶AC=BD∶DC．分析一如图5-19（a），由求证及平行线分线段成比例定理的启发，如果通过C作AD 的平行线交BA的延长线于点E，则AB∶AE=BD∶DC，因此只要证明了AE=AC，问题就解决了．证法一如图5-19（a），通过C作AD的平行线交BA的延长线于点E，则AB∶AE=BD∶DC．但∠ACE=∠CAD，∠E=∠BAD，而∠CAD=∠BAD，所以∠ACE=∠E从而AE=AC．代入上式便得AB∶AC=BD∶DC．与分析一相仿，又得以下的证法二．证法二如图5-19（b），通过D作AC的平行线交AB于点F．以下请读者自己完成．分析二如图5-19（c），由于△ABD和△ACD的边BD，CD在同一直线上，从而这两个三角形的边BD，CD上的高相等．这就有S△ABD∶S△ACD=BD∶CD．如果再证明了S△ABD∶S△ACD=AB∶AC，问题就解决了．从D向AB，AC上分别引垂线段DH，DK，则又有DH=DK）．证法三从略．点评例1这个命题叫做“三角形内角平分线性质定理”．对于三角形的外角也有类似性质：设△ABC顶点A处外角的平分线交BC的延长线于点D′，则AB∶AC=BD′∶D′C．这个命题叫做“三角形外角平分线性质定理”．以上两个定理的逆命题也都成立．例2求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰距离的和等于一腰上的高．即图5-20中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，PR⊥AB于点R，PQ⊥AC于点Q，BH为腰上的高．求证：PQ+PR=BH．分析一如图5-20（a），要证明PQ+PR=BH，可在BH上取一线段等于PQ，然后证明BH 上余下的部分等于PR．证法一如图5-20（a），作PD⊥BH于点D，则由于四边形PQHD为矩形，所以PQ=DH．在直角△PBR和直角△BPD中，PB为公共边，∠PBR=∠BCA=∠BPD，所以△PBR≌△BPD，从而PR=BD．于是PQ+PR=DH+BD=BH．分析二如图5-20（b），要证明PQ+PR=BH，可延长QP到E，使延长部分等于PR，然后证明所得的线段EQ等于BH．证法二请读者自己完成．分析三如图5-20（c），连结线段AP，则AP把△ABC分为两个三角形，而PQ，PR分别是新出现的两个三角形的高，BH是原三角形的高．这三个三角形的底边都是原三角形的腰，而底边与高和三角形的面积密切联系，所以本例可利用三角形的面积证明．证法三如图5-20（c），连结线段AP，则而S△APC+S△APB=S△ABC，因为AB=AC，这就得PQ+PR=BH．分析四如图5-20（d），PQ∥BH，再作出AB上的高CK（=BH），则又出现PR∥CK．有平行线就会有成比例线段，本例可用平行线分线段成比例定理证明．证法四如图5-20（d），作CK⊥AB于点K，则PQ∶BH=PC∶BC，PR∶BH=PR∶CK=PB∶BC，从而PQ+PR=BH．点评要证明线段AB+CD=EF，可在EF上取点G，令EG=AB，然后证明GF=CD；或延长AB 到H，令BH=CD，然后证明AH=EF；或延长AB到H，令AH=EF，然后证明BH=CD；如此等等．例3已知：如图5-21，△ABC中，∠A为直角．以AB，AC分别为边向外侧作正方形ABDE，ACFG，线段CD，BF分别与AB，AC相交于点X，Y．求证：AX=AY．分析一如图5-21（a），由于AX∥ED，AY∥GF，所以出现了两组成比例线段，在这些成比例的线段中，除AX，AY外，其余的线段都是两个已知正方形的边，因此AX=AY应该能用平行线分线段成比例定理得到证明．证法一如图5-21（a），由于AX∥ED，AY∥GF，所以AX∶DE=AC∶CE，AY∶FG=AB∶BG，即 AX∶DE=AC∶CE，AY∶AB=FG∶BG．而 DE=AB，AC=FG，CE=BG．所以AX=AY．分析二如图5-21（b），连结线段EX，GY，得到△CEX和△BGY．这两个三角形的边CE=BG，又AX实际等于AY，所以△CEX和△BGY应该有相等的面积．反过来，如果证明了这两个三角形面积相等，问题也就解决了．而要证明这两个三角形面积相等，需要进行等积变形．这只要连结线段AD，AF，那么S△ACD=S△CEX，S△BAF=S△BGY，所以只需证明S△ACD=S△BAF．但这很简单了．证法二如图5-21（b），连结线段EX，GY，AD，AF，则S△ADX=S△AEX，所以S△ACD=S△C EX，同理S△ABF=S△BGY．而△ACD的底边、高（AC，DE）分别等于△ABF的高、底边（FG，AB），所以S△ACD=S△ABF，从而S△CEX=S△BGY而这两个三角形的底边CE=BG，所以底上的高AX=AY．例4已知：如图5-22，C为线段AB上任意一点，以AC，BC分别为边在AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，线段AE，CD相交于点P，线段BD，CE相交于点Q．求证：CP=CQ．分析一参阅例3的分析一．证法一如图5-22，由于CP∥BE，CQ∥AD，所以CP∶BE=AC∶AB，CQ∶AD=CB∶AB．即CP∶BE=AC∶AB，CQ∶CB=AD∶AB，而BE=CB，AC=AD，所以CP=CQ．分析二如图5-22，△ACP和△DCQ应该全等，反之，只要证明了它们全等，问题就解决了．在这两个三角形中，AC=DC，∠ACP=60°，∠DCQ=180°－∠ACD－∠BCE=180°－60°－60°=60°，从而∠ACP=∠DCQ．再证明了∠PAC=∠QDC问题就解决了．要证明这两个角相等，只要证明△ACE≌△DCB就可以了．证法二在△ACE和△DCB中，AC=DC，CE=CB，∠ACE=∠DCB（=120°），所以△ACE≌△DCB，从而∠PAC=∠QDC．在△ACP和△DCQ中，AC=DC，∠ACP=∠DCQ（=60°），∠PAC=∠QDC，所以△ACP≌△DCQ，从而CP=CQ．点评在本例的已知条件下，求证△CPQ为等边三角形，或在本例的已知条件下，求证PQ∥AB，都没有困难了．例5已知：如图5-23，在△ABC中，线段AD，BE，CF相交于分析如图5-23，直接证明以上等式成立，不易找到线索，因此需要把以上等式中的比用其他的比来代替．为此，作OH⊥BC于H，作AK⊥BC于K，则OD∶AD=OH∶AK，用OH∶AK 代替OD∶AD，仍得不到证明．但OH∶AK=S△OBC∶S△ABC，即OD∶AD可用两个三角形面积的比来代替．其他两个比OE∶BE，OF∶CF也用三角形面积的比来代替．然后证明三组面积比的和为1就可以了．证明请读者自己完成．例6已知：如图5-24，AM是△ABC的中线，任作一直线l分别交AB，AC，AM于点P，Q，N．求证：分析一由于原式不容易证明，但我们注意到所以要证明原式成立，只需证明这是一个比较复杂的线段比例式，这就使我们考虑到是否可应用平行线分线段成比例定理或相似三角形的性质定理来证明．但在原图形中既没有平行线，也没有相似三角形可以利用．为此，我们需要添加适当辅助线．由于在求证中出现的线段分布在边AB，AC及中线AM上，所以通过B，C分别作中线AM的平行线，设这两条平行线分别与l相交于点X，Y，这就得于是问题转变为求证这三个比的后项都相同，于是问题又转变为求证2NM=XB+YC．NM显然是梯形XBCY的中位线，所以这个等式成立，于是问题解决了．证明请读者自己完成．分析二由于比例式中出现的六条线段是由直线l截有共同端点的三条线段AM，AB，AC 得到的，因此通过B，C各向直线AM引平行于l的线段BX，CY，这就得于是问题转变为求证这三个比的后项都相同，于是问题又转变为求证2NM=NX+NY．要证明这个等式成立，就需要证明MX=YM．这只要利用全等三角形问题就解决了．证明请读者自己完成．规律方法总结本节主要学习平行线分线段成比例定理及推论，同时需掌握三角形一边平行线的判定定理，还要掌握两种基本图形，会在较复杂的比例式中，找出恰当的过渡比，在证明线段相等关系时，常用“过渡线段”为桥梁解题更方便些。

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