胡广书《现代信号处理教程》第二章
现代信号处理方法2-2
2.2 Radon-Wignel 变换2.2.1 Wigner-Ville 分布的时频聚集性时变信号中，线性调频（LFM ）信号特别引人关注：首先， LFM 信号广泛用于各种信息系统，如通信、雷达和地震勘探等；其次，探测系统的目标多普勒频率与目标速度近似成正比，当目标作等加速运动时，回波即为线性调频；再次，复杂运动目标回波在一段短的时间里，常可用线性调频作为其一阶近似；另外，对于空间线性阵列，若信号源位于近场，则沿阵列分布的信号也近似为线性调频。
因此深入研究线性调频信号具有重大的理论价值与实际应用价值。
用Ville Wigner -分布研究单分量LFM 信号是十分有效的：现考虑幅度为1的单分量信号)5.0(220)(m t t f j et z +=π （2.2.1） 因为 τπττπττπττ)(2])2(21)2([2])2(21)2([2*02020)2()2(mt f j t m t f j t m t f j e e et z t z +-+--+++=⋅=-+ （2.2.2） 故根据（1.3.32）可求得其Ville Wigner -分布为⎰∞∞--+⋅=τπττπd e e f t W f j mt f j LFM 2)(20),()]([0mt f f +-=δ （2.2.3） 从（2.2.3）说明单分量LFM 信号的Ville Wigner -分布是沿直线mt f f +=0分布的冲激线谱，即分布的幅值集中出现在表示信号的瞬时频率变化率的直线上，因此，从最佳展现LFM 信号的频率调制率这一意义上讲Ville Wigner -分布具有理想的时频聚集性。
在实际中由于LFM 信号的长度有限，其Ville Wigner -分布往往显示为背鳍状如图2.2.1所示，能够看出信号的能量集中于瞬时频率附近。
图2.2.1 实际LFM 信号的Ville Wigner -分布呈背鳍状 若所研究的LFM 信号是多分量的，那么信号各分量之间的交叉项就会使时－频平面变得模糊不清，尤其是在信噪比不高的情况下，甚至难于区分各个LFM 信号分量。
现代信号处理方法1_2
1.3.4 核函数的基本性质要求
由（1.3.5）式
( , v)
P(t , f )e j 2 ( vt f ) dtdf Az ( , v) P (t , f )e j 2 ( vt f ) dtdf
则（1.3.1)式化为
1 * 1 j 2f P(t , f ) z (t ) z (t )e d 2 2
（1.3.2）
上式就是著名的Wigner-Ville分布 .
记
上式是一个双线性变换（双时间信号）。关于 时间t作Fourier反变换
k z (t , ) z (t ) z (t ) 2 2
j 2 ( vt f )
如果时－频分布 p (t , 核函数的性质要求.
P (t , f )e z (u 2 ) z (u 2 )e
*
dtdf
（1.3.5）
j 2vu
du
f )有特定性质要求, 由上式可决定对
互时－频分布定义
两个连续信号 x(t )，y(t )的互时－频分布定义为：
P(t , ) 0
在上面的特性中，边缘特性和非负特性保 证了时－频分布准确反映信号的谱能量、瞬 时功率和总能量。边缘特性可以保证信号的 总体量（平均时间、平均频率、时宽和带宽 等）正确给定。非负性则可以进一步保证分 布的条件期望是切合实际的和物理解释。非 负性和边缘特性一起可以保证时－频分布的 强有限支撑。
2 2 * 1 2 z1 , z2 * 2 1 z2 , z1
现代数字信号处理
无线信道的估计、均衡与信道分配
4/5G移动通信中的多用户检测和智能天线 软件无线电技术
加密、认证
网络信号处理
4.3 信号处理发展趋势
随机信号 处理
统计信号 处理
确定性信号处理 Deterministic Signal processing
Statistical SP
技术分类
统 计 过 程 分 析
3.2 主要方法 (2/4)
基于模型的方法 信号产生过程的参数模型 分析: 线性预测 参数谱估计 滤波: 最优线性滤波器 维纳滤波器，卡尔曼滤波器 自适应滤波器
3.3 主要方法 (3/4)
统计信号处理方法 信号统计模型 贝叶斯估计 分析: 参数估计 隐马尔科夫模型 滤波: MAP, ML, LS
现代信号处理
教材事项
教材：
① 《现代数字信号处理》 姚天任等编，华中科技大学出 版社 ② 《现代数字信号处理》王炳和 西安电子科技大学出版 社 参考书： ①张贤达，现代信号处理，北京：清华大学出版社， 2002年10月。 ②Mitra，数字信号处理，北京：清华大学出版社， 2001年9月（影印版）。 ③胡广书，现代信号处理教程，北京：清华大学出版社， 2004年11月。 ④皇甫堪等，现代数字信号处理，北京：电子工业出版 社，2004年6月。
4.1 信号处理与现代通信
新的信号处理方法：
高阶统计量方法 盲信号处理方法 小波变换 神经网络信号处理方法 量子信号处理方法
4.2 信号处理与现代通信
信号处理在现代通信中的应用： 接入网的宽带化－ADSL
CDMA 语音、图像和视频信息的压缩与传输，分发，转码
现代信号处理方法2-1
第二章 Radon-Wignel 变换2.1 Radon 变换Radon 变换是Radon J .于1917年提出的，随着快速Fourier 变换广泛应用和改进，Radon 变换已成为医学成像和其它许多遥感成像等的主要工具而受到广泛重视，诸如医学上的X 射线层析成像（CT ）就是Radon 变换的应用之一。
1962年，Hough P .又从图形特征检测角度提出了Hough 变换。
由于以直线图形为特征的Radon 变换与Hough 变换相当，所以在有些文献里，把Radon 变换与Hough 变换视为等同概念。
Radon 变换是一种直线积分的投影变换。
如图2.1.1所示，将原直角坐标旋转α角得到新的直角坐标),(v u ，这时以不同的u 值平行于v 轴积分，所得的结果即为Radon 变换。
由图2.1.1可以看出，实际上Radon 变换相当于广义的边缘积分，也相当于一种投影积分（对u 积分投影）。
为在一般意义上讨论Radon 变换，设二维平面),(ωt 有一任意的二维函数（如非平稳信号的时－频分布）),(ωt f ，则其Radon 变换可写成⎰=线PQ dv t f u P ),()(ωα （2.1.1） 利用三角运算，可以得出),(ωt 与),(v u 两平面坐标之间的关系为: ⎩⎨⎧+=-=ααωααcos sin sin cos v u v u t （2.1.2）将（2.1.2）代入（2.1.1）得⎰+-=线PQ dv v u v u f u P )cos sin ,sin cos ()(ααααα （2.1.3） 由（2.1.3）可以看出Radon 变换)(u P α是关于α和u 的二维函数，通常用符号),(αu P f 表图2.1.1 Radon变换的几何关系 ωf示),(ωt f 的Radon 变换。
若用ℜ表示Radon 变换算子，则（2.1.3）可换写成 ⎰+-==ℜ线PQ f dv v u v u f u P t f )cos sin ,sin cos (),()],([αααααω ''''''')()cos sin ,sin cos (⎰⎰∞∞-∞∞--+-=dv du u u v u v u f δαααα （2.1.4）而Hough 变换是一种特征检测方法，它可以将平面（可以推广为空间）里符合某种特征的图形映射为另一个二维平面上的一个点。
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33及 ∑+==NL n nx x d 122),(α（1.7.8）此即信号正交分解的最小平方近似性质。
我们在有限项傅立叶级数的近似中曾经遇到过[19]。
现推导（1.7.7）及（1.7.8）两式。
将（1.7.6）式展开，有∑∑∑∑+-==jj Li i i nnn n x n x x x d 2122))()()((2|)(|),(βϕβ （1.7.9）将上式对k β求偏导，并使之为零，则有02)()(2),(2=+-=∑∂∂k n k x x d n n x kβϕβ及k nk k n n x αββ==∑)()(将此结果代入（1.7.9）式，即得（1.7.8）式。
若空间X 由向量N ϕϕϕ,......,,21张成，即},......,,{21N span X ϕϕϕ=，并有},......,,{211L span X ϕϕϕ=及},......,,{212N L L span X ϕϕϕ++=，我们称1X 和2X 是X 的子空间。
如果：1．021=X X ，即1X 和2X 没有交集；2．21X X X =，即X 是1X 和2X 的并集；这时，我们称X 是1X 和2X 的直和，记作：21X X X ⊕=（1.7.10）这些概念我们将在小波变换中用到。
性质5：将原始信号x 经正交变换后得到一组离散系数N ααα,......,,21。
这一组系数具有减少x 中各分量的相关性及将x 的能量集中于少数系数上的功能。
相关性去除的程度及能量集中的程度取决于所选择的基函数}{n ϕ的性质。
这一性质是信号与图像压缩编码的理论基础。
有关这一点，我们在本节还要继续讨论。
作为正交变换的最后一个性质，由于其重要性，我们现用定理的方式给出：定理 1.2：)(t ϕ是一个原型函数，其傅立叶变换为)(ΩΦ，若)}({k t -ϕ，Z k ∈是一组正交基，则34∑=+ΩΦkk 1|)2(|2π（1.7.11）若)(1k t -ϕ，)(2k t -ϕ是两组正交基，即0)(),(2211>=--<k t k t ϕϕ 21,k k ∀则0)2()2(*21=+Φ+Φ∑kk k πωπω（1.7.12）证明[13,21,8]：因为}),({Z k k t ∈-ϕ是一正交基，设x 是它构成空间中的一个元素，则x 可表示为)(k t -ϕ的线性组合，即∑-=kk k t a x )(ϕ（1.7.13）由性质3，有∑=kkax 22||||||，对（1.7.13）式两边作傅立叶变换，有∑∑⎰Ω-Ω-ΩΦ=-=Ωkjk k ktj k e a j dt ek t a j X )()()(ϕ（1.7.14）注意，该式是傅立叶变换（FT ）和离散时间傅立叶变换（DTFT ）的混合表达式。
【现代信号处理】第二章 现代信号处理基础
S () | H () |2 S () S (s) H (s)H (s)S (s)
y
x
y
x
s j
2. 输入与输出的互功率谱
Rxy ( ) h( )* Rx ( )
LT ILT
S (s) H(s)S (s)
xy
x
S () H ()S () S (s) H (s)S (s)
xy
x
xy
x
s j
y
E[
x
T
x
]
0
0
E[
y
T
y
]
x
0
0
y
T
y
]T
随机矢量及其统计特性
z x 的概率密度函数即
和 y 的联合概率密度函数：
T
p(z) p{[x
T
y
]T
}
1
NM
(2 ) 2
1T exp( z
1z)
1
2
z
2zx来自1NM1
(2 ) 2 x 2
exp{
1
[
T
x
T
y ]
1
2
2
即从N个数据所得估计量的集平均等于待估计量的真值。
若
lim
N
E[
xˆN
]=x，则称xˆN
是x的渐进无偏估计。
2. 有效性（方差）
D(xˆN ) E[(xˆN E(xˆN ))2 ]
表明估计值偏离均值（对无偏估计即为真值）的分散程度。
随机信号的估计评价
E(xˆN )
b
x
(a)
x
(b) 方差小，偏差大
x
(c) 偏差小，方差大
现代信号处理02
第二章噪声中信号波形的检测假设检验理论-------->信号波形的检测输入的是信号加噪声，此任务就是按某一准则来设计最佳检测器或称为最佳接收机。
这种最佳检测器常常用匹配滤波器来构造。
故匹配滤波器的概念是很重要的。
通信中许多接收机都可以，用此模型来表示。
滤波器可实现滤波、平滑和预测等信息处理的基本任务。
如果滤波器的输出是滤波器输入的线性函数，则称为线性滤波器；否则为非线性滤波器。
若滤波器的冲激响应是无限长，称为无限冲激响应滤波器，反之，为有限冲激响应滤波器。
如果滤波器是在时间域、频率域或空间域实现，则分别称为时域、频域、空间域滤波器。
简单地说，滤波器就是信号抽取器，它的作用是从被噪声污染的信号中抽取出原来的信号，因此，信号的提取必须满足一定的优化准则，对于连续时间滤波器有两种最优化设计准则。
一种准则是：使滤波器的输出到达最大的信噪比，称为匹配滤波器；另一种是使输出滤波器的均方估计误差为最小，称为Wiener滤波器。
§2-1匹配滤波器在波形检测中，经常用匹配滤波器来构造最佳检测器，匹配滤波器理论在信号检测理论中占有独特的重要地位。
在通信系统中，许多常用的接收机，均可简化成由一个线性滤波器和一个判决电路两部分组成，如下图所示线性滤波器的作用是对接收机的信号进行某种方式的加工处理，使之增加正确的判决概率。
而判决电路一般为一个非线性装置，最简单的判决电路就是一个门限电路。
为了增大信号相对于噪声的强度，以利于判决，要求线性滤波器是最优的。
若输入信号已知，且线性时不变滤波器的输入为加性平稳噪声（白噪声），此时，输出信噪比为最大的滤波器，就是一个与输入信号相匹配的最佳滤波器――匹配滤波器。
())12()(.----=⎰∞∞--dt et h H tj ωω())22()(21.----=⎰∞∞-dt eH t h tj ωωπ滤波器输入为：Z (t )=s (t )+n (t )-----(2-3)其中s (t )是有用的已知信号，n (t )-零均值平稳噪声.利用叠加原理可以分别计算出s 0(t ), n 0(t ) .若输入信号的傅氏变换存在())42()(.----=⎰∞∞--dt et s S tj ωω())52()()(21.0----=⎰∞∞-dt e S H t s tj ωωωπ若s 0(t )在t 0处出现峰值，即：())62()()(210.00----=⎰∞∞-dt e S H t s t j ωωωπ输入噪声n (t ) 的功率谱密度为P n (ω) 输出噪声n 0(t )的功率谱密度为P n 0(ω)()())72()(20----=ωωωn n P H P滤波器输出噪声的平均功率为：())82()()(21)(21][202----==⎰⎰∞∞-∞∞-ωωωπωωπd P H d P t n E n n 定义：输出信噪比＝输出信号峰值功率/输出噪声平均功率[])92()()(21)()(21)()(222002000-⎭⎬⎫⎩⎨⎧==⎰⎰∞∞-∞∞-ωωωπωωωπωd P H d e S H t n E t S SNR n tj要使此式达到最大值，可利用Schwarz 不等式⎰⎰⎰∞∞∞∞∞∞-∙≤－－－)102..()()(*)()(*)()(*2dx x x dx x F x F dx x x F θθθF (x ),θ(x )为两个复函数，*－共轭且当θ(x )=αF (x ), α为任意常数时，上式中等号成立。
现代信号处理教程_-_胡广书(清华)
- 352 -
a1 (n)
a 0 ( n)
H0 (z-1)
′ ( n) a1
↑2
H0(z)
↓2
ˆ 0 ( n) a
d 1 2
H1(z)
↓2
图 12.1.1 双正交滤波器组
a1 ( n ) = a0 ( n ) ∗ h0 ( 2n )
= ∑ a0 ( k )h0 ( k − 2n ) = a0 ( k ), h0 ( k − 2n )
- 355 -
(12.1.14a)
ˆ 1 ( z ) = z − ( 2 l +1) H 0 ( − z −1 ) H
假定 l = 0 ，它们对应的时域关系是
(12.1.14b)
ˆ (1 − n ) h1 ( n ) = ( −1) n +1 h 0
ˆ ( n ) = ( −1) n +1 h (1 − n ) h 1 0
重建的充要条件是：
* ˆ 0 (ω ) + H 1* (ω + π ) H ˆ 1 (ω ) = 0 H 0 (ω + π ) H
(12.1.6a) (12.1.6b)
及
ˆ 0 (ω ) + H 1 (ω ) H ˆ 1 (ω ) = 2 H 0 (ω ) H
* *
证明：仿照(7.1.5)式的导出，有
ˆ ∗ (ω + π ) H 1 (ω ) = e − j ( 2 l +1)ω H 0 ˆ (ω ) = e − j ( 2 l +1)ω H ∗ (ω + π ) H 1 0
或
(12.1.13a) (12.1.13b)
ˆ 0 ( − z −1 ) H 1 ( z ) = z − ( 2 l +1) H
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81 为了看清图3.3.4中交叉项的行为，我们将该图作了旋转，因此，水平方向为频率，垂直方向为时间。
图3.3.3 例3.3.3的WVD 图3.3.4 例3.3.4的WVD例3.3.5 令 ()2142t x t e ααπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭（3.3.5）可求出其WVD 为 ()22,2exp[]x W t t ααΩ=--Ω（3.3.6）这是一个二维的高斯函数，，且是恒正的，如图3.3.5所示。
()Ω,t W x 由该图可以看出，该高斯信号的WVD 的中心在处，峰值为2。
参数控()()0,0,=Ωt α制了WVD 在时间和频率方向上的扩展。
越大，在时域扩展越小，而在频域扩展越大，反α之亦然。
其WVD 的等高线为一椭圆。
当WVD 由峰值降到时，该椭圆的面积。
1-e π=A 它反映了时－频平面上的分辨率。
如果令 ，，则的谱图()2142t h t e ααπ-⎛⎫=⎪⎝⎭()2142t x t eββπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭()t x ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡Ω+-+-+=Ω2221exp 2,βαβααββααβt t STFT x82（3.3.7）图3.3.5 例3.3.5的WVD,（a ）高斯信号，（b ）高斯信号的WVD它也是时－频平面上的高斯函数。
当其峰值降到时，椭圆面积。
这一结果说明，1-e π2=A WVD 比STFT 有着更好的时－频分辨率。
如果令 ()()tj et t x t x 001Ω-=（3.3.8）式中是（3.3.5）式的高斯函数。
是的时移加调制，其WVD 是：()t x ()t x 1()t x （3.3.9）()12200,2exp[()()/]x W t t t ααΩ=---Ω-Ω它将（3.3.6）式的由移至处。
其WVD 图形请读者()Ω,t W x ()()0,0,=Ωt ()()00,,Ω=Ωt t 自己画出。
83例3.3.6令 ()2201422j tt j t z t ee e αβαπΩ-⎛⎫=⎪⎝⎭（3.3.10）它是由（3.3.5）式的与()t x ()202j t j t y t Aee βΩ=（3.3.11）相乘而得到的（在（3.3.9）式中，A=1）。
现代信号处理_02
则有
Bm ( z ) z i wmi H i ( z M ) , w e
i 0
M 1
j
2 M
22
矩阵形式：
1 1 H0 (zM ) B0 ( z ) 1 B ( z ) 1 W W M 1 z 1 H1 ( z M ) 1 M 1 ( M 1) 2 ( M 1) M W H M 1 ( z ) z BM 1 ( z ) 1 W
31
多相分解应用－高效实现取样速率变换
取样速率增加的多相网络实现（如图） 取样速率下降的多相网络实现（如图） 参考文献:
M.G.Bellager,etc, Digital filtering by polyphase network: Applicationto sample-rate alteration & filterbank, IEEE T-ASSP,24(2),1976
11
多速率系统（续）
• 多速率构件的互连 :
例1: u[k]=1,2,3,4,5,6,7,8,9,… (L=2,N=3)
例 2: u[k]=1,2,3,4,5,6,7,8,9,… (L=2,N=4)
12
多速率系统（续）
• 多速率构件的互连 :
13
多速率系统（续）
参考文献：A.N.Akansu: Multiresolution signal Decoposition,
如果输入信号占据频带大于 2 / N 抽取将引入混迭 (aliasing) 因而抽取通常置于抗混迭滤波器之后。
8
抽取和内插的说明
9
多速率信号处理系统及其实现
《现代信号处理》课程教学大纲
(2) 熟悉线性时不变系统对随机信号的响应；(3) 了解估计子的性能评价标准，熟悉Cramer-Rao界；(4) 了解bayes估计和最大似然估计；(5)掌握线性均方估计和最小二乘估计。
2．重、难点提示(1) 重点是随机过程的时域、频域表示，线性均方估计和最小二乘估计；(2) 难点是随机过程相关函数与功率谱之间的关系，线性均方估计和最小二乘估计在滤波中的应用。
第2章功率谱估计（5学时）1．教学内容(1) 熟悉经典功率谱估计的方法及缺点；(2) 掌握现代功率谱估计的方法——参数模型法；(3) 掌握AR模型的Yule—Walker方程的导出；(4) 熟悉Levinson—Durbin算法；(5) 了解AR谱估计的性质和AR模型参数提取方法；(6) 掌握Capon谱估计方法。
2．重、难点提示(1) 重点是现代功率谱估计的方法——参数模型法、Levinson—Durbin算法、Capon谱估计；(2) 难点是AR模型的Yule—Walker方程推导、Capon谱估计算法推导。
第3章维纳滤波与卡尔曼滤波（6学时）1．教学内容(1) 了解维纳滤波的条件，掌握维纳霍夫方程；(2) 掌握FIR维纳滤波器的求解，了解因果IIR滤波器的求解；(3) 掌握均方误差的概念，均方误差性能曲面及其性质；(4) 掌握FIR维纳滤波器的设计；(5) 熟悉标量卡尔曼滤波器，了解矢量卡尔曼滤波器；(6) 了解维纳滤波器和卡尔曼滤波器的应用。
2．重、难点提示(1) 重点是维纳滤波的条件、维纳滤波器求解思路、FIR滤波器的求解；(2) 难点是维纳滤波标准方程的导入、FIR滤波器的求解思路。
第4章自适应滤波器（6学时）1．教学内容(1) 熟悉自适应滤波器的原理，掌握自适应线性组合器的实现；(2) 熟悉最陡下降法的基本思想；(3) 熟悉学习曲线和收敛速度的概念及与迭代次数的关系；(4) 掌握LMS算法，了解LMS算法的改进；(5) 掌握RLS算法，了解RLS算法的改进；(6) 了解自适应滤波器应用——谱线增强器和陷波器。
现代信号处理教程-胡广书(清华)
现代信号处理教程-胡广书(清华)jtt2g t， g，ed qt2q（4.4.2）式中g t，由（4.3.7）式定义。
由（4.3.8）和（4.3.9）及上式结果，有Cx t，21jxu2xu2qt u2qt u2dued，则上式变成令u2，u2Cx t，1j x x qt qt ed d21j jx qt ed x qt ed（4.4.3）221Xq2于是结论得证。
式中Xq是x t乘上窗函数q t后的傅立叶变换。
该式说明，如果g，是某一函数的模糊函数，那么用此g，所得到的Cx t，等效于谱图。
因此，谱图也是Cohen类成员。
2．P1，实值性，即Cxt，R，t，，Q１：g，g，证明：由（4.1.1）式，t，Cx12j t u xu2xu2g，ed du d 令，，则上式变为t，Cx12j t uxu2xu2g，ed dud显然，如要求t，Cx t，，必有g，g，Cx3、时移：P2：若s t x t t0，则Cs t，Cx t t0，Q2： g，不决定于t证明：因为g 4、频移：，处于，域，和t无关，所以它不影响分布的时移性质；若sP3：t x t ej t，则Cs t，Cx t，0Q3：g，与无关性质P2与P3称为Cohen类时－频分布的“移不变”性质，它包含了时移和频移。
5、时间边缘条件，即12Ct，d xtP4：x2Q4：g，0 1证明：将（4.1.1）式两边对积分，有Cx t，d12j t uxu2xu2g，edud d dx u2x u2g，e j t u dud d x u g，0e j t u dud2欲使上式的积分等于x t，必有欲使该式成立，必有j(t u)g(,0)ed2(t u)01，也就是说，为保证C t，具有WVD的边界性质，g，xg，在轴上始终为1。
6、频率边缘条件，即P5： Q5：Cx t，dt Xg0， 12其证明请读者自己完成。
112前已述及，为了有限的抑制AF中远离，0，0的互项，希望g，应为，平面上的2－D低通函数。
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现代信号处理教程-胡广书(清华)jtt2g t， g，ed qt2q（4.4.2）式中g t，由（4.3.7）式定义。
由（4.3.8）和（4.3.9）及上式结果，有Cx t，21jxu2xu2qt u2qt u2dued，则上式变成令u2，u2Cx t，1j x x qt qt ed d21j jx qt ed x qt ed（4.4.3）221Xq2于是结论得证。
式中Xq是x t乘上窗函数q t后的傅立叶变换。
该式说明，如果g，是某一函数的模糊函数，那么用此g，所得到的Cx t，等效于谱图。
因此，谱图也是Cohen类成员。
2．P1，实值性，即Cxt，R，t，，Q１：g，g，证明：由（4.1.1）式，t，Cx12j t u xu2xu2g，ed du d 令，，则上式变为t，Cx12j t uxu2xu2g，ed dud显然，如要求t，Cx t，，必有g，g，Cx3、时移：P2：若s t x t t0，则Cs t，Cx t t0，Q2： g，不决定于t证明：因为g 4、频移：，处于，域，和t无关，所以它不影响分布的时移性质；若sP3：t x t ej t，则Cs t，Cx t，0Q3：g，与无关性质P2与P3称为Cohen类时－频分布的“移不变”性质，它包含了时移和频移。
5、时间边缘条件，即12Ct，d xtP4：x2Q4：g，0 1证明：将（4.1.1）式两边对积分，有Cx t，d12j t uxu2xu2g，edud d dx u2x u2g，e j t u dud d x u g，0e j t u dud2欲使上式的积分等于x t，必有欲使该式成立，必有j(t u)g(,0)ed2(t u)01，也就是说，为保证C t，具有WVD的边界性质，g，xg，在轴上始终为1。
6、频率边缘条件，即P5： Q5：Cx t，dt Xg0， 12其证明请读者自己完成。
112前已述及，为了有限的抑制AF中远离，0，0的互项，希望g，应为，平面上的2－D低通函数。
信号处理技术chapter2 [兼容模式]
![信号处理技术chapter2 [兼容模式]](https://img.taocdn.com/s3/m/0588ff3f43323968011c9289.png)
1 [v (v 2 1) / 2]( z v) dv, | | 1 2j c (v )(1 v)( z v)v I
H ( z ) Re R s[G (v), ) vk ]
k
m(v)
z Re(v)
V平面的4个极点分布：
v , v 0; v 1 / , v z
1 cos j [例题]已知： H R (e ) 1 2 cos 2 , | | 1
式中，HR(v)是he(n)的z变换（用v平面表示）；
U ( z ) u ( n) z
n 0 n ( 6b )
2z
n 1
n
z 2z
j R r r 实数
1 2
H R ( e j )
1 r 1e j ( ) d 1 r 1e j ( )
其中， 记为 1 r 1e j ( ) 1 r 2 Re P r ( ) 2 1 j ( ) 1 1 r e 1 r cos( ) r 记为 1 r 1e j ( ) 2r 1 sin( ) Im Q r ( ) 1 j ( ) 1 2 1 r e 1 r cos( ) r
Im[ H ( e j )]
IFT
(5)
FT
取实部
为方便，式(4)可写为： h(n) he (n)u (n) 记：
2, n 0 u (n) 1, n 0 0, n 0
(6 ) (6a)
式(5)可写为：
(6b)
h(n) ho (n)u (n) h(0) (n)
胡广书《现代信号处理教程》第二章
mn
[
x(t)
g* m,n
(t
)dt
]hm
,n
(t
)
mn
x(t)[
g
* m,n
(t)hm,n
(t
)]dt
mn
if x(t) t h e n
gm *,n(t)hm ,n(t)(tt)
Байду номын сангаасmn
m
n
gm *,n(t)hm ,n(t)(tt)
假定内积 结果就是
x(t),gm,n(t)
x(t)g*(tna)ej2mbtdtCm,n
目标：找到 g(t), h(t) 的关系：
x(t)
Cm,nhm,n(t)
mn
Cm,nx(t),gm,n(t)
x(t)
x(t), gm,n (t) hm,n (t)
右 边 2 1 x()g(t)ej() dd
x ( ) g ( t) ( ) d x ( ) g ( t)
l e t
t
x(t)2g 1(0) STFTx(t,)ejtd
STFT的一维反变换表示
STFT的二维反变换来表示 ：
0.4 0.3 0.2 0.1
0 168 84 0
Frequency [Hz]
20
40
60
80
100 120
Time [s]
例4 令 g()()，则 STFT x(t, )x(t)ej t
可准确地实现时域定位，但无法实现频域定位。
Energy spectral density
Linear scale
现代信号处理的理论和方法》2
c4 x 1 , 2 cum x1 , x2 , x3 , x4 E x t x t 1 x t 2 x t 3 E x t x t 1 E x t 2 x t 3 E x t x t 2 E x t 1 x t 3 E x t x t 3 E x t 1 x t 2 E x1 , x2 , x3 , x4 cum x1 , x2 , x3 , x4 cum x1 , x2 cum x3 , x4 cum x1 , x3 cum x 2 , x4 cum x1 , x4 cum x2 , x3
应用：
高阶谱可以自动抑制各种加性高斯噪声； 高阶谱可以用来重构信号的幅度和相位； 高阶谱可以用来检测时间序列的非线性结构。
高阶矩与高阶累积量的定义
单个随机变量x的高阶矩与高阶累积量：
函数g(x)的均值： E g x f ( x) g x dx
def
q
注：求和取遍所有可能的划分。
集合I={1,2,3}的分割
（1）、分割为一个子集合：q=1
I 1,2,3 mx I cumx t x t 1 x t 2
（2）、分割为两个子集合：q=2
I1 1 , 2,3 mx I1 cum x t cum x t 1 x t 2 I 2 2 , 1,3 mx I 2 cum x t 1 cum x t x t 2 I 3 3 , 1, 2 mx I 3 cum x t 2 cum x t x t 1
现代信号处理_04
11
小波变换
小波基函数
在小波变换中，小波基函数由某函数伸缩平移得到：
1 t b ha ,b (t ) h( ) a a
式中 a为标度因子(scaling factor)起着类似于频率的作用 h(t) —— 小波母函数，简称母函数 ha,b(t)—— 小波基函数，简称基函数 易见，基函数与标度因子有着密切关系： - 对于大的a, 基函数是母函数的展宽型，是一低频函数 - 对于小的a, 基函数是母函数的缩小型，是一高频函数
2 2 4 2 2 / 2 ˆ ( ) e 3
ˆ ( ) t 这是高斯函数的二阶导数，在信号与图象的边缘提取中有重要的应用。 主要应用于屋脊型边界和Dirac边缘的提取。
特性： 指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局 部化；关于0轴对称。
23
常用的基本小波(1/10)
8
傅立叶分析及其局限性
傅立叶分析局限性小结
特点 - 定义了频率概念 - 分析了信号能量在各频率成分中的分布 局限 - 只能获得信号的整体频谱特性 - 不能获得信号的局部频谱特性 - 不能描述和分析非平稳信号 典型例子 傅立叶变换常用于进行谐波分析。但当傅立叶变换结 果谐波幅度很小，甚至可能被淹没时，利用传统的傅 立叶变换就很难获得可靠的结果，为此有必要研究信 号的局部特性，故引入小波变换。
第二章 多速率信号处理 与小波变换
郑宝玉
2010.3.23
1
瞬变的世界
我们应该都有这样的经历，在餐厅与朋友聊天时，开始觉 得很吵，一会儿后觉得听不到周围其他人的说话声音便不 觉得吵; 然而倘若我们突然停止谈话，我们很快就会在 意周围人们的交谈。很明显，我们的注意力被突然的环境 改 变所吸引。我们周围每天都有很多信息在交流，而我们只 将注意力集中在周围环境的突然改变上，这很可能是我们 的感知系统从大量信号中选择重要信息的一种方法。 ——S. Mallat (A Wavelet Tour of Signal Processing)
现代信号处理2
二次型损失函数的Bayes估计
ˆ
MMSE
f ( x1 ,, x N )d
E ( x1 ,, x N )
适定方程：未知参数个数与方程个数相等，矩阵
A非奇异，解为 A b 超定方程：方程个数多于未知参数个数，矩阵A 的行数多于列数（“高矩阵”）； 欠定方程：方程个数少于未知参数个数，矩阵A 的行数少于列数（“扁矩阵”）；
1
最小二乘估计 ˆLS ：
使其损失函数（误差的平方和） e i2 最小，即解方 i 1 程 ˆ AT A AT b
Cramer-Rao不等式：令 x ( x1 ,, x N )为样本 向量。若参数估计 ˆ 是真实参数 的无偏估 f ( x ) f (x ) 计，且 和 存在，则 ˆ 的均方 误差所能达到的下界（ Cramer-Rao下界） 等于Fisher信息的倒数
2 2
无偏估计与渐近无偏估计 估计子定义：由N个样本获得的真实参数 1 ,, p 的估计子是一个将N维样本空间 N 映射为p维 参数空间的函数T，记作： : N 。 T
估计子偏差:该估计子误差的期望值，即
ˆ ˆ ˆ b( ) E{ } E{ } 无偏估计子：估计子的偏差等于零
新的误差向量 其最小二乘估计
x B
N
例. 令 x1 , , x N是从一个具有概率密度函数
f ( x, , 2 )
2 2 1 e ( x ) /(2 ) 2
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2
|| g ( ) || 1
S
x
(t , )dtd E x
谱图是信号能量的分布。
STFT和谱图的性质
若 y (t ) x(t )e ，则
j0t
STFTy (t , ) STFTx (t , 0 )
S y ( t , ) S x ( t , 0 )
0.1
0
20
40
60 80 Time [s]
100
120
例4
令 g ( ) ( ) ，则 STFTx (t , ) x (t )e jt
可准确地实现时域定位，但无法实现频域定位。
Signal in time
Real part
0.5 0 -0.5 |STFT| , Lh=0, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%
t1 , t2 , , tn
频率中心 v0由G(v)的中心决定，即
1 , 2 , , n
时宽：2 带宽：
2
1 2
2
| g ( ) | d
2
与时移 t 无关
| G( ) | d
2 2
思考： 各与什 么有关
与频移 无关
STFT的基函数
gtk ,l ( ) g( tk )e
第2章 短时傅立叶变换与 Gabor变换
2.1 2.2 2.3 2.4 连续信号的短时傅立叶变换 短时傅立叶反变换 离散信号的短时傅立叶变换 Gabor变换的基本概念
2.5 临界抽样时连续信号展开系数的计算 2.6 过抽样情况下连续信号展开系数的计算
2．1 连续信号的短时傅立叶变换
（Short Time Fourier Transform，STFT） 概念：
Signal in time
Real part
0.5 0 -0.5 |STFT| , Lh=63, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%
2
Linear scale
Energy spectral density
0.4
Frequency [Hz]
168 84 0
0.3
0.2
j0
，则
j0
STFTx (t , ) e
g ( t )e j d
G ( 0 )e j ( 0 )t
STFT的频率分辨率由 g ( ) 频谱的宽度来决定。
例3
若 g ( ) 1 ，则 ， G() () STFTx (t , ) X () 这时，STFT减为简单的FT，这将给不出任何的时间 定位信息。其实，由于 g ( ) 为无限宽的矩形窗，故 等于没有对信号作截短。 高斯Chirp调制信号
用 g (t ) 的对偶函数 h(t ) 来表示
1 x( ) 2
区别
STFTx (t , )h ( t )e
j
dtd
* g ( t ) h (t )dt 1
2.3 离散信号的短时傅立叶变换
STFTx (m, ) x(n) g * (n mN )e j n
(2 )
函数移动 的序号
m ：窗
的分点数。 窗函数宽度
2.4 Gabor变换的基本概念
早在1946年，Gabor就提出：可用时－频平面上离 散栅格上的点来表示一个连续的一维信号：
x(t )
mb
m n
C
m,n m,n
h (t )
m n
j 2 mbt C h ( t na ) e m,n
所以：
STFTx (t , ) e
jt
1 2
X ( )G * ( )e jt d
STFT的频域表达式 对 x( ) 在时域加窗 g ( t )
对 X (v) 在频域加窗 G (v )
等效
有了时－频定位功能，下面再关心其时－频分辨率。
时—频分辨率
时间中心 0 由 g ( ) 的中心位置所决定 ，即
b
a
a
na
：栅格的时间长度
t
b
：栅格的频率长度
x(t )
m n
C
m,n m,n
h (t )
h(t )
Cm,n
Gabor展开系数；
h(t )
h(t a)
h(t na)
0
a
h(t a) exp( j 2 bt )
na
t
母函数
t
hm,n (t ) h(t na )e
Signal in time 1
Signal in time 1
Real part
Real part
0.5 0 -0.5 |STFT| , Lh=27, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%
2
0.5 0 -0.5 |STFT| , Lh=6, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%
假定内积 结果就是
j 2 mbt
x(t ), g m,n (t ) x(t ) g * (t na)e j 2 mbt dt Cm,n
展开的基函数
j 2 mbt
h(t a) exp( j 2 mbt )
t
移位＋调制
1.如何选择 a 和b？ 2.如何选择母函数 h(t ) 3.如何求Cm,n?
4. 是否任一能量有限信
号都可作 Gabor 分解？ 5. 时－频平面离散栅格上的 任一个二维函数是否都唯一 地对应一个一 维 的 信 号 ？
STFT的一维反变换表示
STFT的二维反变换来表示 ：
STFTx (t , ) x( ) g ( t )e j d
1 x( ) 2
STFTx (t , ) g ( t )e j dtd
1 jt x(t ) STFT ( t , ) e d x 2 g (0)
2
Linear scale
Linear scale
Energy spectral density
Energy spectral density
0.4
0.4
Frequency [Hz]
Frequency [Hz]
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
4091 2045
0
0
20
40
60 80 Time [s]
*
j
x( ), g ( t )e j
x(τ )
x( ) g ( t1 )
x( ) g ( t2 )
x( ) g ( t3 )
0
t1
t2
t3
FT
τ
Ω
FT FT
0
t1
t2
t3
t
由于 g ( ) 是窗函数，因此它在时域应是有限支撑的; 同理，gt , ( ) g ( t )e
2.5 临界抽样情况下连续信号 Gabor展开系数的计算
x(t )
m n
C
m n
m,n m,n
h (t )
j 2 mbt C h ( t na ) e m,n
如何 计算
选择一母函数 g (t ) ，移位加调制：
gm,n (t ) g (t na)e
t1
t2
例1
令 x( ) ( 0 ) ，可以求出其
STFTx (t , ) ( 0 ) g ( t )e g ( 0 t )e j 0
j
d
该例说明，STFT的时间分辨率由窗函数 g ( ) 的 宽度而决定。
例2
若 x( ) e
jl
时间中心在 k 处 频率中心在 l处
分辨“细胞”为 v
t
tk 分辨“细胞”和
Ω2 Ω1
Gt , (v) Gt , (v)
v
gt , ( )
v
l 无关，即不
论 t k 和 l 处
在何处，分辨细
gt , ( )
胞的形状都保持 不变。这是STFT 的特点。
如果 ab 1 ，即栅格过稀，我们将缺乏足 够的信息来恢复原信号；
如果 ab 过小，必然会出现信息的冗余。类 似于对一维抽样时抽样频率过大的情况。
ab 1 ：临界抽样（Critical Sampling） ab 1 ：欠抽样（Undersampling） ab 1 ：过抽样（Oversampling）
let t
STFTx (t , ) x( ) g ( t )e j d
1 jt x(t ) STFT ( t , ) e d x 2 g (0)
x( ) g ( t ) ( )d x( ) g ( t )
2
Linear scale
Energy spectral density
0.4
Frequency [Hz]
167 84 0
0.3
0.2
0.1
0
20
40
60 80 Time [s]
100
120
Байду номын сангаас
例5
设 x(t ) 由两个时频“原子”构成, 一个时间中心 t1 50 处，时宽是32，另一个时间中心在 t2 90 处时宽也是32，调制信号的归一化频率都是0.25 。 选择 g ( )为Hanning窗