线性代数 矩阵的相似对角化

好处 (之一)
若存在可逆矩阵 P 使
P 1 AP B , 则 A PBP1 ,
Ak PBP1 PBP 1 PBP1 PBk P 1 .
k
特别地， 若
a1 B Λ
a2
, an
则
a1k Ak P Λk P 1 P
a2k
P 1.
ank
例 证明矩阵
a 1
A
a 不能1 相似对角化。
1. 问题分析
(1) L 如何构成？
所考虑的问题是寻找可逆的 n 阶方阵 P ，使得
P
1 A P
a1 0
0
0 a2 0
0
0
an
记为
Λ.
由于 a1 , a2 ,,是anL 的 n 个特征值， 因此 a1 , a2 ,,就a是n A 的 n 个特征值 .
而 A 与 L 相似， 即
L 的主对角线上的元素由 A 的全部特征值构成。
定理
P145 定理 5.6
n 阶矩阵 A 能够相似于对角矩阵 的充分必Λ要条件是
A 有 n 个线性无关的特征向量，
即 A 每个特征值所对
应的线性无关的特征向量的个数必须恰好等于该特征
值的重数。
P146 推论2
推论 如果 n 阶矩阵 A 有 n 个不同的特征值，则矩阵 A 可以
P145 相似对角化。 推论1
因此矩阵 A 不能相似对角化。
例 将矩阵
相似对角化，并求
A100 .
解 (1)由 | I A| 0 , 得 A 的特征值为
1 2 , 2 1,
(单根) (重根)
对 1 2 , 取特征向量 X1 (1, 1, 1)T ,
则以这些特征向量作为列向量构成矩阵 P，
从而有 P 1 A P Λ;
三、矩阵相似对角化的方法步骤
步骤 (4) 若 ti si (i 1, 2, , r) ,
则以这些特征向量作为列向量构成矩阵 P，
从而有 P 1 A P Λ;
其中
Λ
s1个
s2
个
sr 个
三、矩阵相似对角化的方法步骤
三、矩阵相似对角化的方法步骤
步骤 (1) 求 n 阶方阵 A 的特征值
1, 2,, r ,
其重数分别为 s1, s2 , , sr ;
(2) 对每一个特征值 求矩i 阵, A 特征向量，
并找出其中线性无关的特征向量，其最大个数为
ti ;
(3) 若 ti si则, A 不能相似对角化； (4)ห้องสมุดไป่ตู้若 ti si (i 1, 2, , r) ,
| P1( A I )P || P 1 | | A I | | P |
| A I |.
即 A 与 B 有相同的特征多项式。
二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
定义 对于 n 阶矩阵 A，
若存在可逆的 n 阶方阵 P， 使得
P145 定义 5.3
记为
Λ.
则称 A 可相似对角化 ；
▲
二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
定理
若 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 有相同的特征多项式,
从而 A 与 B 有相同的特征值。
P144 定理5.5 (3)
证明 因 A 与 B 相似，即存在可逆的矩阵 P 使得
P 1 AP B ,
故 | B I | | P 1 AP I | | P1 AP P1 I P |
于是有 A pi ai pi (i 1,2,, n),
又因为 P 可逆， 故 pi 0 , 且 p1 , p2 ,, 线pn性无关，
因此 p1 , p2 ,,是pnA 的 n 个线性无关的特征向量 .
即
P 的列向量由 A 的线性无关的特征向量构成。
二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
1. 问题分析 2. 矩阵可相似对角化的条件
a
证 (反证法) 假设存在可逆矩阵 P ，使得
P
1 A
P
a1
由矩阵 A 与 L 相似，
a2
Λ,
A P Λ P 1,
a3
故它们有相同的特征值，
即得
a1 a2 a3 a , Λ a I , A P(a I )P 1 a I , 矛盾！
故矩阵 A 不能相似对角化。
二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
(3) 传递性
A ~ A; 若 A ~ B则, B ~ A; 若 A ~ B , B ~ C则, A ~ C .
P144 (4) 若 A ~ B则,
定理
5.5 (5) 若 A ~ B则,
r( A) r(B). | A| |B|.
一、相似矩阵的基本概念与性质
1. 相似矩阵的概念
2. 相似矩阵的性质
二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
1. 问题分析
(2) P 如何构成？
设 P ( p1, p2 ,, pn ) , 则由 P 1 AP 有Λ AP PΛ, 即 A( p1, p2 ,, pn ) ( p1, p2 ,, pn ) Λ,
( A p1, A p2 ,, A pn ) (a1 p1, a2 p2 ,, an pn ) ,
则 Λ是唯一的。
故 p的i
所以
例 试将矩阵
a
A
a相1似对角化。
a
解 令 | I A| 0 , 得 A 的特征值为
1 a , (三重根)
由 ( 1 I A)X 0, 得 A 的特征向量为
1 0
X
k1
0 0
k2
1 0
,
(k12 k22 0) ,
显然，最多能找到两个线性无关的特征向量，
§5.2 矩阵的相似对角化
一、相似矩阵的基本概念与性质 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析 三、矩阵相似对角化的方法步骤 四、矩阵相似对角化的应用
一、相似矩阵的基本概念与性质
1. 相似矩阵的概念
定义 对于 n 阶矩阵 A 和 B ，
若存在可逆的 n 阶方阵 P 使得
P144 定义
P 1 A P B ,
5.2 则称 A 与 B 相似，
或者称 A 相似于 B，
记为 A~ B .
称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵。
称对 A 所进行的运算
P为1对AAP进行相似变换。
注 矩阵相似是矩阵等价的一种特殊情况。
一、相似矩阵的基本概念与性质
1. 相似矩阵的概念 2. 相似矩阵的性质
性质 (1) 反身性 P144 (2) 对称性
几点说明
(1) P 中的列向量(即特征向量) 特征值的顺序一致。
p1 , p2 ,, pn 的排列顺序要与
(2) 因 p是i ( A I ) X的基0础解系中的解向量，
取法不是唯一的。
因此 P 也不是唯一的。
(3) 由于 | A I |的根0只有 n 个(重根按重数计算)，
如果不计特征值的排列顺序，