圆复习课课件(精)

．
O A l
∟
∵OA是半径,OA⊥ l ∴直线l是⊙O的切线.
切线的性质: (1)圆的切线垂直于经过切点的半径.
(2)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点.
(3)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
． O ．
A
∟
∵直线l是⊙O的切线,切 点为A
l
∴ OA⊥ l
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们 的切线长相等；这点与圆心的连线平分 这两条切线的夹角。
第24章圆知识体系复习
本章知识结构图
圆的基本性质
圆的对称性
弧、弦圆心角之间的关系 同弧上的圆周角与圆心角的关系
点和圆的位置关系 三角形的外接圆 切线
与圆有关的位置关系
直线和圆的位置关系
三角形内切圆
圆
正多边形和圆
圆和圆的位置关系
等分圆
弧长 有关圆的计算 扇形的面积 圆锥的侧面积和全面积
一.圆的基本概念:
O R 1 d a A 2 C a
边心Байду номын сангаасr
边
1 2 ( a) d 2 R 2 2
B
四.圆中的有关计算:
1.圆的周长和面积公式
周长C=2πr
2.弧长的计算公式
面积s=πr2
r ． O
L=
S=
3.扇形的面积公式
nπr 180
nπr2
360
或
S=
1
2
lr
4.圆柱的展开图: A h
D
B
r
C
S侧 =2πr h S全=2πr h+2 π r2
l 上，按顺
时针方向转动一次,使它转到 ABC 的位置。若 BC=1,∠A=300。求点A运动到A′位置时，点A经过 的路线长。 A′ C A
B
C′
l
4.如下图，所示的三角形铁皮余料，剪下扇形制 成圆锥形玩具，已知∠C=90度，AC=BC=4cm， 使剪下的扇形边缘半径在三角形边上，弧与其 他边相切，设计裁剪的方案图，直接写出扇形 的半径长。
圆与圆的位置关系:
. .
外离
外切
.
.
.
相交
内切
内含
． O
1
． O
2
． O
1
． O
2
． ． O
1
O2
． ． O
O2
1
． ． O
2 O 1
两圆的位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
数量关系及识别方法 d＞R+r d=R+r R-r＜d＜R+r d=R-r d＜R-r
1.如图， ⊙O1和⊙O2内切于点T， ⊙O2的弦TA，TB分别交⊙O1于C， D，连接AB，CD
不在同一直线上的三点确定一个圆.
特别的: 等边三角形的外心与内心重合. 内切圆半径与外接圆半径的比是1:2. A
O
B
D
C
二、过三点的圆及外接圆
无数 个 1.过一点的圆有________ 无数 个，这些圆的圆心 2.过两点的圆有_________ 的都在_______________ 连结着两点的线段的垂直平分线 上. 0或1 3.过三点的圆有______________ 个
1.圆的定义:到定点的距离等于定长的点的 集合叫做圆. 2.有关概念: (1)弦、直径(圆中最长的弦)
(2)弧、优弧、劣弧、等弧
． O
(3)弦心距
二. 圆的基本性质
1.圆的对称性: (1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直 线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. (2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转 任何一个角度都能与自身重合,即圆具 有旋转不变性.
(2)若弦AB=80cm,AB的中点C到AB的距离是 20cm,求该零件所在的半径长.
基础题：
1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是正方形 ______. 2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm, 22cm 则此三角形的周长是_______. 3.⊙O边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,E、F切⊙O 2cm 于P点，交AB、BC于E、F，则△BEF的周长是_____.
A
O
B C
G D
2.半径：正多边形外接圆的半径叫做这 E 个正多边形的半径． 3.中心角：正多边形每一边所对的外接圆 的圆心角叫做这个正多边形的中心角． 4.边心距：中心到正多边形一边的距离 叫做这个正多边形的边心距．
3 正多边形和圆
（1）.有关概念
（2）.常用的方法
E
D
O.
半径R
F
中心角
C
（3）.正多边形的作图
C C C
三角形叫做圆的内接三角形。
A A A O O O C
B B
B
问题1：如何作三角形的外接圆？ 如何找三角形的外心？
问题2：三角形的外心一定 ∠C＝90°O ▲ ABC 是锐角三角形 ▲ ABC 是钝角三角形 A 在三角形内吗？
B
3.如图,是某机械厂的一种零件平面图. (1)请你根据所学的知识找出该零件所在圆的 圆心(要求正确画图,不写做法,保留痕迹).
求证：AB//CD
B D
A
o2
· · o1
T
C
典型例题:
1.如图, ⊙O的直径AB=12,以OA为直径的 ⊙O1交大圆的弦AC于D,过D点作小圆的 切线交OC于点E,交AB于F.
C D A
O1
E O F
B
(1)说明D是AC的中点. (2)猜想DF与OC的位 置关系,并说明理由. (3)若DF=4,求OF的长.
B
O A
圆周角的性质: 性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角). 性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的直径.
C
∵AB是⊙O的直径 ∴ ∠ACB=900
B
A
O
15
3.6
A
•
B
作圆的直径与找90度的圆周 角也是圆里常用的辅助线
O
C D
1. 在⊙O中，弦AB所对的圆心角∠AOB=100°，则 0或1300 50 弦AB所对的圆周角为____________.（05年上海） 2.如图，AB是⊙O的直径,BD是 ⊙O的弦，延长BD到点C,使 DC=BD,连接AC交⊙O与点F. （1）AB与AC的大小有什么关 系?为什么? （2）按角的大小分类, 请你判断 △ABC属于哪一类三角形， 并说明理由.(05宜昌)
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
A
C
O
D B
C
O
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A B 圆心到弦的距离d、弦长a中， D 任意知道两个量，可根据 垂径 定理求出第三个量：
3、如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝ AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。 关于弦的问题，常常需 B 要过圆心作弦的垂线段， 这是一条非常重要的辅 助线。 圆心到弦的距离、半径、 弦长构成直角三角形， 便将问题转化为直角三 角形的问题。
5.圆锥的展开图:
a h r S侧 =πr a S全=πr a+ π r2 底面 a 侧面
1、 扇形AOB的半径为12cm,∠AOB=120°,求 扇形的面积和周长.
2、 如图,当半径为30cm的转动轮转过120°时, 传送带上的物体A平移的距离为______.
A
3：如图，把Rt△ABC的斜边放在直线
7．如图，⊙M与x 轴相交于点A（2，0），B （8，0），与y轴相切于点C，求圆心M的坐 标 y
C
O
A
.M
B
x
6.小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测量锅盖的 直径(锅边所形成的圆的直径),而小红家只有一把长20cm 的直尺,根本不够长,怎么办呢?小红想了想,采取以下方 法:首先把锅平放到墙根,锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴 墙面量得MA的长,即可求出锅盖的直径,请你利用图乙,说 明她这样做的道理.
D ∵ ∠COD =∠AOB O
∴
B
︵ ︵ AB = CD
C ∴AB=CD
A
1、如图,已知⊙O的半径OA长 AC=BC 为5,弦AB的长8,OC ⊥AB于C, 则OC的长为 _______. 3
A
O
弦心距
半径
C 半弦长 B
E
2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D， 求半径OC的长。
4.如何作过不在同一直线上的三点的圆（或三 角形的外接圆、找外心、破镜重圆、到三个村 庄距离相等） 内 ，直角三角 5.锐角三角形的外心在三角形____ 在斜边的中点上 _，钝角 形的外心在三角形___ 外。 三角形的外心在三角形____
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆， 外接圆的圆心叫做三角形的外心，
点与圆的位置关系
d与r的关系
．
C
．
A ．
． B
点在圆内 点在圆上 点在圆外
d＜r d＝r d＞r
7.在Rt△ ABC中，∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,D 为AB的中点，E为AC的中点，以B为圆心，BC为 半径作⊙B， 问：（1）A、C、D、E与⊙B的位置关系如何？ （2）AB、AC与⊙B的位置关系如何？

M O
A
P
4.圆周角:
定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的 角，叫做圆周角. 性质:(1)在同一个圆中,同弧所对的圆周 角等于它所对的圆心角的一半.
A C O
∠BAC= 1 ∠BOC
2
B
圆周角的性质(2)
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的 圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.
D E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB C 是同弧所对的圆周角 ∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
B
D
C
· E
A
2.如图,OA是⊙O的半径,已知AB=OA,试探 索当∠OAB的大小如何变化时点B在圆内? 点B在圆上?点B在圆外?
O •
A
B
2.直线和圆的位置关系:
．
O
．
O l
．
O l
l (1) 相离: 一条直线与一个圆没有公共点,叫做 直线与这个圆相离. (2) 相切: 一条直线与一个圆只有一个公共点,叫 做直线与这个圆相切. (3) 相交: 一条直线与一个圆有两个公共点,叫 做直线与这个圆相交.
G E
F H
4.如图， ⊙O为△ABC的内切圆，切点分 别为D，E，F，P是弧FDE上的一点，若 ∠A+ ∠C=110度，则∠FPE=_____度
A P D C
.o
F B E
5 ． 如 图 ， 已 知 △ ABC 的 三 边 长 分 别 为 AB=4cm ， BC=5cm ， AC=6cm ，⊙ O 是△ ABC 的内切圆，切点分 别是E、F、G，则AE= ，BF= ，CG= 。
直线与圆位置关系的识别:
r
．
O d
∟
r
l
l
设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则: (1)当直线与圆相离时d＞r; (2)当直线与圆相切时d =r; (3)当直线与圆相交时d＜r.
∟
∟
O d
．
r
dO
．
l
1.与圆有一个公共点的直线。 2.圆心到直线的距离等于圆的半 径的直线是圆的切线。 3.经过半径的外端且垂直于这条 半径的直线是圆的切线。
．
2.垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且 平分弦所对的两条弧.
C
．
A P D
∵CD是圆O的直 径,CD⊥AB ∴AP=BP, AD = BD B AC = BC
︵ ︵
︵ ︵
3.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:
(1)在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它所 对的弧相等,所对的弦相等. (2)在圆中,如果弧相等,那么它所对的圆心角相 等,所对的弦相等. (3)在一个圆中,如果弦相等,那么它所对的弧相 等,所对的圆心角相等.
A F O
B
D
C
3.如图在比赛中,甲带球向对方球门 PQ进攻,当他带球冲到A点时,同伴乙 已经助攻冲到B点,此时甲是直接射门 好,还是将球传给乙,让乙射门好?为什 么?
P A B Q
·
三.与圆有关的位置关系: 1.点和圆的位置关系 (1)点在圆内 (2)点在圆上 (3)点在圆外 如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径 为r,则d与r的大小关系为:
．A
∵PA、PB为⊙O的切线 ∴PA=PB, P ∠APO= ∠BPO
． O
．
B
1.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交 BC于D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D. 试说明:AC是⊙D的切线.
过D点作DF ^AC 于F点，然后证明 DF等于圆D的半 径BD
F
如图，AB在⊙O的直径，点D在AB的延长 线上,且BD=OB,点C在⊙O上,∠CAB=30°. (1)CD是⊙O的切线吗？说明你的理由; (2)AC=_____，请给出合理的解释.
2.如图,正方形ABCD的边长为2,P是线段 BC上的一个动点.以AB为直径作圆O,过点 P作圆O的切线交AD于点F,切点为E. C (1)求四边形CDFP的周长. E ． P (2)设BP=x,AF=y,求y关 Q 于x的函数解析式. B
D F A
．
O
三.正多边形:
１.中心：一个正多边形外接圆的圆心 F 叫做这个正多边形的中心．
C
只要连接OC， 而后证明OC 垂直CD
A
O
B
D
2.AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点,BC是 ⊙O的切线,AB交过C点的直径于点D, OA⊥CD,试判断△BCD的形状,并 说明你的理由.
三角形的外接圆与内切圆:
A．
B． O
A
．
． C
． O
B C
三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点. 三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.