时间数列分析(精)
时间数列分析
14
a 1 ,a 2 , ,a N 1 ,a N （ N 项数据）
最初水平 中间水平 最末水平
或：a 0 ,a 1 , ,a n 1 ,a n （ n+1 项数据）
09.05.2020
15
例：我国1995-1999年我国进出口总额
年份
1995
进出口总额 (人民币亿元) 23500
1996 24134
a =（766 + 664 + 843 + 578 + 639）/ 5 =
698（万元）
例2: 某股票连续 5 个交易日价格资料如下：
09.05.2020
22
解 aa N
16.216.717.518.217.817.28(元) 5
09.05.2020
23
间隔登记时，采用加权算术平均法
m
aa1f1 a2 f2 amfm f1 f2 fm
❖ 时点数列的序时平均数
时 点 数 列
09.05.2020
连续时点 数列
按日登记
间断时点 数列
按年或月登记
逐日登记 间隔登记 间隔相等 间隔不等
20
2、时点数列计算平均发展水平
（1）连续的时点数列
逐日登记时，采用简单算术平均 法
aa1a2Lan a
n
n
09.05.2020
21
例 1 ： 某 商 业 银 行 某 年 1 月 13 日 —17 日 的 存 款 余 额 （万元）分别为：766、664、843、578、639， 则这5天的平均余额为：
1997 26967
1998 26858
1999 29896
在本例中，如果以1995年作为基期水平，记为a0,则 1996年、1997年、1998年、1999年进出口总额分别
应用统计学时间数列分析
应用统计学时间数列分析时间数列分析是统计学中的一项重要内容，通过对时间序列数据进行分析，可以揭示数据之间的内在关联和规律。
本文将探讨时间数列分析在实际应用中的重要性和方法。
什么是时间数列分析时间数列（Time Series）指的是按时间顺序排列的一系列数据观测值。
时间数列分析是指根据时间数列数据进行的统计分析方法，旨在发现数据中存在的趋势、季节性、周期性等规律，以便进行预测和决策。
时间数列分析的重要性时间数列分析在许多领域都有广泛的应用，包括经济学、金融、医学、气象等。
通过时间数列分析，我们可以：•发现数据中的趋势和规律•预测未来数据走势•制定决策和策略•检验模型的有效性•揭示不同变量之间的关联时间数列分析方法1. 平稳性检验平稳性是时间数列分析的前提条件之一，可以通过单位根检验、ADF检验等方法来判断时间数列是否平稳。
如果时间数列不平稳，需要进行差分处理或其他转换方法使其平稳化。
2. 自相关性分析自相关性分析是检验数据是否存在自相关性（即相邻数据之间的相关性）的方法，可以通过自相关图和偏自相关图来判断数据中的自相关性程度。
3. 移动平均法移动平均法是一种基本的时间数列预测方法，通过计算一定窗口内的数据均值来平滑数据曲线，以便更好地观察数据走势和预测未来走向。
4. 季节性调整在时间数列分析中，常常需要对数据进行季节性调整，以消除季节性影响，使预测结果更为准确。
应用实例1. 股票价格预测时间数列分析在金融领域有着广泛的应用。
通过分析股票价格的时间数列数据，可以预测股价的未来走势，指导投资决策。
2. 气象预测气象数据也是时间数列数据的一种，通过对气象数据进行时间数列分析，可以预测未来的气候变化和天气情况，为灾害预警和农业生产提供依据。
3. 经济指标分析经济数据的时间数列分析可以揭示经济增长趋势、波动周期等信息，帮助政府和企业做出相应决策。
结语时间数列分析是统计学中一个重要的分析方法，通过对时间序列数据进行分析，可以揭示数据之间的规律、趋势和关联。
第10章-时间序列分析
67885
•1991～1996年平均国内生产总值：
•时期数列
•2023/5/3
•【例】
年份
•19941998年中 国能源生产 总量
1994 1995 1996 1997 1998
能源生产总量（万吨标 准煤） 118729 129034 132616 132410 124000
•2023/5/3
❖2.绝对指标时点数列的序时平均数
如：1991—1996年间，我国逐年的GDP，构
成一个时间序列。
记：a1 , a2 , … , an ( n项 ) 或：a0 , a1 , a2 , … , an ( n+1项 )
•2023/5/3
•
时间数列的构成要素：
1. 现象所属的时间；
2. 不同时间的具体指标数值。
•2023/5/3
例如
年底人数
（万 人）
8350 9949 11828 14071 16851 18375
间隔年数 3 2 3 2 2
•间断时点数列（间隔不等）
•2023/5/3
•我国第三产业平均从业人数：
•2023/5/3
•【例】 •某地区1999年社会劳动者人数资料如下
：
•单位：万人
时间 1月1日 5月31日 8月31日 12月31日
•2023/5/3
•定基和环比发展速度相互关系
•2023/5/3
【例】
❖ 某产品外贸进出口量各年环比发展速度资料如下: ❖ 1996年为103.9%，1997年为100.9%， ❖ 1998年为95.5%，1999年为101.6%，2000年为
108%，试计算2000年以1995年为基期的定基发 展速度。 ❖ (109.57%)
第10章时间数列分析及答案
第十章时间数列分析一、本章重点1．时间数列的意义和种类。
时间数列是同一社会经济现象的统计指标按一定的时间顺序排列而成的数列，时间数列有绝对数时间数列、相对数时间数列和平均数时间数列。
绝对数时间数列是基础数列，相对数时间数列和平均数时间数列是派生数列。
绝对数时间数列又分时期数列和时点数列。
2．序时平均数的计算。
序时平均数是本章的重点和难点，要区分绝对数时间数列、相对数时间数列和平均数时间数列，在绝对数时间数列计算序时平均数时有间隔相等的连续时点数列、间隔不等的连续时点数列、间隔相等的间断时点数列和间隔不等的间断时点数列。
由平均数时间数列计算序时平均数时有一般平均数时间数列和序时平均数时间数列两种形势。
3．平均发展速度的计算。
平均发展速度是速度指标的基础，平均增长速度就是根据平均发展速度计算出来的。
平均发展速度的计算方法有两种：几何平均法（水平法）和方程法（累计法）。
这两种方法的应用条件要弄清楚。
4．长期趋势的测定，主要是移动平均法。
长期趋势的测定是时间数列分解的基础，有时距扩大法和移动平均法两种，同时应掌握季节变动测定的两种方法：按月（季）平均法和移动平均趋势剔除法。
二、难点释疑1.对于序时平均数的计算，关键是要掌握什么是时期指标，什么是时点指标，如果是时点指标，要分清是连续时点还是间断时点。
凡是逐日登记的，就是连续时点指标，若是每隔一段时间登记一次，则是间断时点指标。
在进行计算的时候，要一步一步来，理清头绪，问题便容易解决了。
2.对平均发展速度的计算，只要把握住各自的使用条件就可以了。
三、练习题（一）填空题1．时间数列的两个构成要素是（时间）和（指标数值）。
2．如果某种经济现象的发展变化比较稳定，则宜利用（几何平均法）来计算平均发展速度。
3．编制时间数列的基本原则是（可比性）、（时期长短要一致）、（总体范围一致）、（指标的经济内容要相同）和（指标的计算价格、计量单位和计算方法要一致）。
4．时间数列按其数列中所排列的指标性质的不同，可以分为（绝对数）时间数列、（相对数）时间数列和（平均数）时间数列三种。
时间数列分析
第六章时间数列分析第一节时间数列分析概述一、时间数列的概念我们对现象总体的数量方面进行分析研究时，通常需要掌握和积累现象各个时期的统计资料，从时间上反映和研究现象发展变化的过程、趋势及其规律。
所谓时间数列也称动态数列，它是指各个不同时间的社会经济统计指标，按时间先后顺序排列而形成的一列数.表6—1显示的都是我国1995年—2005年若干统计指标的时间数列，从中可以看出时间数列有两个基本要素构成：一是统计指标所属的时间；二是统计指标在特定时间的具体指标值。
表6—1 中国的国内生产总值、人口及第三产业产值注：人均国内生产总值按年平均人口数计算资料来源：《中国统计年鉴》（2006）,北京:中国统计出版社研究时间数列具有重要的作用，通过时间数列的编制和分析:⑴可以描述社会经济现象的发展状况和结果；⑵可以研究社会经济现象的发展速度、发展趋势，探索现象发展变化的规律,并据以进行统计预测；⑶分析长期趋势、季节变动和循环变动等了解和分析社会现象发展变化的规律性。
二、时间数列的种类时间数列按照其指标的性质，可以分为总量指标、相对指标和平均指标时间数列等三大类型。
总量指标时间数列也称绝对数时间数列，是基本的时间数列，相对指标和平均指标时间数列都是在总量指标时间数列的基础上派生出来的。
㈠总量指标时间数列总量指标时间数列是指把一系列同类的总量指标按时间先后顺序排列起来形成的时间数列。
它反映社会经济现象在各个时期达到的绝对水平及其变化发展的状态。
表6—1中的国内生产总值、年末人口和第三产业产值都属于总量指标时间数列。
按照总量指标所反映的内容的不同，可以分为总体单位总量和总体标志总量两种。
年末人口数是总体单位总量指标，而国内生产总值和第三产业产值是总体标志总量指标.根据总量指标反映的社会经济现象所属的时间不同，又可将总量指标时间数列分为时期数列和时点数列。
下面来讨论时期数列和时点数列的特点.⒈时期序列各项指标都是反映某种现象在一段时期内发展过程的总量,该时间数列称为时期序列。
时间数列分析
时间数列分析时间数列是指按时间顺序排列的一列数据。
通过对时间数列的分析，可以了解事件发展的趋势和规律，为预测未来的发展提供参考。
下面将从数列的统计特征、趋势分析和周期性分析三个方面对时间数列进行详细分析。
一、数列的统计特征统计特征是指对时间数列的基本特征进行概括和描述。
常见的数列统计特征包括最大值、最小值、平均值、中位数和标准差等。
最大值是数列中最大的一个数，它反映了事件最高点的出现时间。
最小值是数列中最小的一个数，它反映了事件最低点的出现时间。
平均值是数列中所有数的和除以总数，它反映了事件整体水平的时间变化趋势。
中位数是将数列按大小排列，位于中间位置的数，它反映了事件的中点出现时间。
标准差是用来衡量数列离散程度的指标，它反映了事件的波动程度和不确定性。
通过计算和比较这些统计特征，我们可以对事件发展的整体情况有一个大致的了解。
最大值和最小值可以帮助我们确定事件最高点和最低点的时间范围，平均值可以告诉我们事件发展的平均速度和趋势，中位数可以帮助我们确定事件的中期发展阶段，标准差可以帮助我们评估事件的波动程度和风险。
二、趋势分析趋势分析是指通过时间数列的走势和变化规律，预测事件未来的发展趋势。
常用的趋势分析方法有线性回归分析和移动平均法等。
线性回归分析是一种通过拟合直线来描述事件发展趋势的方法。
它适用于数列具有线性关系的情况，可以通过计算回归方程来预测未来的数值。
线性回归分析的关键是选取合适的变量和确定最佳的拟合直线。
移动平均法是一种通过计算某一时间段内的平均值来描述事件发展趋势的方法。
它适用于数列存在周期性变化的情况，可以抹平季节性波动，更好地反映长期趋势。
移动平均法的关键是选择合适的时间段和计算平均值的方法。
通过趋势分析，我们可以判断事件的增长趋势、下降趋势或者稳定趋势，进而预测事件未来的发展趋势。
趋势分析对于决策制定和未来规划具有重要的参考价值。
三、周期性分析周期性分析是指通过时间数列的周期性变化规律，寻找事件发展的周期性和循环特征。
应用统计学时间数列分析精品文档
以排列后形成的数列。 理解什么是“动态”“动态分析法”。现象在时间上的
动态变化
二、时间数列的构成 由时间数列的概念可知，时间数列由互相配对的
两个数列构成的，一是反映时间变化顺序的数列；二 是反映各个时间指标值变化的数列。
简单地说，时间数列是由两个基本要素构成，一 是时间名称，二是指标数值。
计算公式：
n
aa1a2 an i 1ai a
n
nn
式中： a 平均发展水平（序均时数平） ai－各期发展水平 n时期项数
【参前例或书中260面例子】
②由时点数列计算序时平均数
ⅰ.根据连续时点数列计算序时平均数
a. 对连续变动的连续时点数列求序时平均数
含义：如果连续时点数列每日的指标数值都有变动， 称为连续变动的连续时点数列。
b. 对非连续变动的连续时点数列求序时平均数
含义：如果被研究现象不是逐日变动，而是间隔几 天变动一次，这样的连续时点数列称为非连续变动的连 续时点数列。
计算方法：用加权算术平均法计算。
计算公式：
n
aa1f1a2f2anfn f1f2fn
ai fi i1
n
fi
i1
式中： a平均发展水平（均 序数 时） 平 ai－各时点上的发展水平 fi 时点间隔日数
B:其共同点是：
它们都是将各个变量值差异抽象化。
3、平均发展水平（序时平均数）的计算 时间数列的种类不同，计算其序时平均数的方法 也不同。序时平均数可以根据绝对数时间数列来计算， 也可以根据相对数时间数列或平均数时间数列来计算。 根据绝对数时间数列来计算是最基本的方法。 ⑴根据绝对数时间数列计算序时平均数 ①由时期数列计算序时平均数 计算方法：直接用数列中各时期指标数值之和除 以时期项数即得序时平均数。 【参照前面的例子，可以得到其计算公式】
第三章 时间数列分析
具体地应注意下列几点：
15
时间长短应该前后一致
在时期数列中各个指标数值的大小与时期长短 有直接的关系，如果各个指标所属的时期长短 不等，一般就难作直接比较。但这个原则也不 能绝对化。
对时点数列来说，由于各个指标数值都表明一 定瞬间的状态，不存在时期长短应该相等的问 题。但是，为了便于分析，时点数列指标数值 间的间隔最好能相等。 16
50
发展速度的分类
发展速度由于计算时基期的不同而
分为环比发展速度和定基发展速度。
51
定基发展速度
定基发展速度是各报告期水平同某一固 定基期水平对比，说明现象在较长时期 内发展的总速度。 特点：基期固定
计算方法：
定基发展速度=
ai a0
52
环比发展速度
环比发展速度是报告期水平与前一期水 平之比，反映现象在前后两期的发展变 化情况。 特点：基期不固定 计算方法： 环比发展速度=
第三章
时间数列分析
1
一、时间数列的概念和种类
㈠ ㈡
时间数列的概念 时间数列的种类
2
㈠
时间数列的概念
时间数列又称动态数列，它是指某社会经济 现象在不同时间上的一系列统计指标值按时间 先后顺序加以排列后形成的数列。
例：下表是一个时间数列。
3
构成时间数列的两个要素
时间数列由两部分构成：
是反映时间顺序变化的数列，
是反映各个指标值变化的数列。
4
㈡ 时间数列的种类
按其指标表现形式的不同分为三种：
总量指标时间数列 相对指标时间数列 平均指标时间数列
时间数列分析
时间数列分析时间数列分析时间是我们生活中不可或缺的一部分，它们组成了我们的回忆和经历。
时间数列分析是研究时间序列的变化和规律的一种方法。
通过对时间数列进行分析，我们可以了解时间的特性和变化趋势，从而为我们的生活和决策提供有益的信息。
在本文中，我们将详细分析时间数列分析的方法和应用。
时间数列分析是一种数学和统计学的工具，它通过对时间序列进行数学建模和统计分析，揭示时间变量之间的关系和规律。
常见的时间数列分析方法包括趋势分析、周期分析和季节性分析。
首先，趋势分析是指对时间序列数据的长期变化趋势进行分析和预测。
通过观察和分析时间序列的变化趋势，我们可以了解一项事物的增长或下降的速度和方向。
常见的趋势分析方法包括简单移动平均法、指数平滑法和趋势线拟合法。
简单移动平均法是将一段时间内的数据求平均值，作为该时段的预测值。
通过不断滚动窗口，我们可以得到整个时间序列的预测值。
指数平滑法则是通过对历史数据进行加权平均，得到未来的预测值。
这种方法更重视近期的数据，更能反映变化的趋势。
趋势线拟合法则是根据时间序列的变化趋势，拟合出一条线性或非线性曲线，来描述趋势的变化。
周期分析是指对时间序列中的周期性变化进行分析和预测。
周期变化是指在一定时间内重复出现的变化。
对于有明显周期性的数据，周期分析可以帮助我们预测未来的变化趋势。
常见的周期分析方法包括傅里叶分析和自回归移动平均模型（ARMA）。
傅里叶分析是将时间序列数据分解成一系列的频率分量，从而揭示数据的周期性变化。
这种方法可以将复杂的时间序列分解为多个简单的周期波动，进而进行预测和分析。
ARMA模型则是一种统计方法，它结合了自回归（AR）和移动平均（MA）模型，用于预测时间序列的未来值。
通过分析时间序列的自相关性和移动平均性，我们可以建立ARMA模型，进而进行预测。
季节性分析是指对时间序列中的季节性变化进行分析和预测。
季节性变化是指在一年内周期性出现的变化。
对于受季节因素影响较大的数据，季节性分析可以帮助我们了解季节的变化规律，并进行未来的预测。
第4章时间数列分析精品文档
2．时间数列的经典模式：
（1）加法模型：各个组成部分所具有的变动数值是各自独立，彼此相
加的，从而整个时间数列数值与各种构成之间的数量
关系表现为下列公式：
计量单位相同的总 量指标
Y=T+S+C+I
是对长期趋势所产生的 偏差，（+）或（-）
（2）乘法模型：各个组成部分所具有的变动数值是相互依存，彼此相乘 的，从而整个时间数列数值与各种构成之间的数量关系 应该表现为下列公式：
ynabt ty at bt2
当 t = 0时，有：
ynabt ty at bt2
b n ty t y
n t2 ( t)2
例
a y bt
y na ty b t2
b ty t2
a
y y
n
第四节 季节变动、循环变动和剩余变动的测定
（二）长期趋势的数学模型（以时间t为自变量构造趋势方程）
yˆ f (t)
yˆ （长期）趋势值、预测（估计）值
t
时间序号（按序随意编制）
时间
t1 t2 t3 t4 t5 t6
t7
序号
1 2 3 4 5 6 7
数列
y1 y2
y3 y4
y5 y6
y7
时间 t1 t2 t3 t4 t5 t6
t7
序号 -3 -2 -1 0 1
a0 + nD= an
D = an - a0 n
总和法
D= （ 2 ? ai na0） n(n+ 1)
原理：按此平均增长量推算的理论水平之和等于实际水平之和
a 0 + ( a 0 + D ) ++ ( a 0 + n D ) = a 0 + a 1 ++ a n D= （ 2 ? ai na0） n(n+ 1)
第八章 时间数列分析
2020/10/30
8
（%）
长三角地区产业发展趋势图
70
60
50
40
30
20
10
0
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
第一产业
第二产业
第三产业
时间
2020/10/30
9
四、时间数列类型
7
注意：
要发挥时间数列的作用，最好把指标体系 与时间数列结合分析。因为如果仅限于讲 时间数列的特点，列一个时间数列就可以 了，而把指标体系与时间数列结合起来更 为重要，而只有对指标体系的时间数列进 行计算、观察和研究，以便发现它们之间 的关系。同时研究时间数列最好也与图形 结合，特别是把指标体系绘制在一个图形 上，能对我们分析问题有很大帮助。
浙江省1990---2005年GDP时间数列 （ 亿元）
年份
GDP
1990
897.99
1991
1081.75
1992
1365.06
1993
1909.49
1994
2666.86
1995
3524.79
1996
4146.06
1997
4638.24
1998
4987.50
1999
5364.89
2000
6036.34
2020/10/30
5
二、特点
▪ 把静态和动态两方面的变量数列放在一起，才能 对变量数列有完整的理解，因此时间数列的特点：
▪ 时间数列是变量数列，因而把品质标志分组形成 的数列剔除，时间数列是可以计算的。
第7章 时间数列分析[155页]
![第7章 时间数列分析[155页]](https://img.taocdn.com/s3/m/85d606e577232f60dccca171.png)
4000
季
节
3000
2000
1000
5000
季
4000
节
3000
与
2000
趋
1000
势
0
9 - 12 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
统计学
STATISTICS
时间序列的分析目的
分析目的
分析过去
描述动态变化
9 - 13
认识规律
揭示变化规律
统计学
STATISTICS
国内生产总值（亿元）
350000.0
300000.0
250000.0
200000.0
150000.0
100000.0
50000.0
0.0
9 - 9年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
第一节 时间数列及分析方法概述
一、时间数列的概念及分类 二、编制时间数列应注意的问题 三、时间数列常用的分析方法
9 -5
S统TAT计一IST学IC、S 时间数列的概念及分现动 态性。
同一现象在不同时间上的相继观察值排列 而成的数列称为时间数列或时间序列或动 态数列。
年末职工人数 （万人）
14792 14849 14849 14908 时14点845数数146列68
国有经济单位职工 工资总额所占比重 78.45
(％)
77.55
77.78
45.06 相74对.81数7数6.6列9
9 - 16
第10章时间数列分析(部分)
(B)间隔不等
公式为：
∑af a＝─── ∑f
②由间断时点数列计算平均发展水平
(A)间隔相等的间断时点数列。若掌握的是间隔
相等的期初或期末时点资料，则采用“首末折半法”
B)间隔不等的间断时点数列。
(a1＋a2)f1＋(a2＋a3)f2＋……＋(a n-1＋an)f n-1 a ＝─────────────────────── 2∑f n-1
2.由相对数时间数列或平均数时间数列计算 平均发展水平。 其计算公式如下：
c＝a／b
c：相对数时间数列或平均数时间 数列平均发展水平。 a：分子数列的平均发展水平。 b：分母数列的平均发展水平。
二、增长量和平均增长量
增长量是以绝对数形式表示的动态指 标，它是报告期水平与基期水平之差，表明现象在一定时 期内增加或减少的绝对数量
累计增长量 定基增长速度＝───────＝定基发展速度－1 固定基期水平
(三)增长1％的绝对值
它是一个把速度和水平相结合的指标，它用 逐期增长量与环 比增长速度对比求得。用公式表 示为： 逐期增长量
前一期水平
增长1 ％的绝对值＝────── ＝───────
环比增长速度
100
第十一章 时间数列分析
第一节时间数列及其分析方法
一、时间数列的概念与分类 (一)时间数列的概念。 时间数列是指将同类指标在不同时间 上的数值，按时间先后顺序排列而形成 成的统计数列，又称为时间序列或动态 数列。
(二)时间数列的种类。
1.绝对数时间数列。是把一系列的同类 总量指标，按时间先后顺序排列而成的数 列，反应了现象在不同时间上所达到的总 量水平。 (1)时期数列 (2)时点数列 2.相对数时间数列。是把一系列相对指 标按时间先后顺序排列而成的数列。 3. 平均数时间数列。是把一系列平均指 标按时间先后顺序排列而成的数列。
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Statistics
• 半数平均法是测定时间数列趋势方程最为简便的一 种方法。对于直线趋势方程，即把时间数列分成相 等的两段，计算每一段观测值的算术平均数，作为 趋势线的两点，连接两点构成的直线就是它的趋势 线。 用半数平均法求解参数的步骤为：
（1）将时间数列分成相等的两部分。 （2）分别计算两部分指标值和时间变量的简单算术平均 数 (t1, y1 ) ， ( t2 , y2 ) 。这两个点就是两部分数据的“重心”。所求 的直线趋势方程必须“经过”这两点。
Statistics
• 移动平均法的关键是移动项数。应用时，还需要注 意以下一些特点：
（1）移动平均的项数越多，对数列修匀的作用也越大。 （2）移动平均的项数可以是奇数，也可以是偶数，如果为奇数项 移动平均，则移动一次就可以得出趋势值，如果移动项数是偶 数， 则需进行校正，再做一次项数相同的移动平均。 （3）如何确定移动平均的项数应视具体情形而定，一般当时间数 列的数值存在自然周期的，移动项数应与其自然周期相一致。 （4）由于移动平均值的计算采用了简单算术平均，因此各期指标 值对趋势值的影响被等权处理了，实践中也可以采取“加权” 方式计算移动平均值，以体现“厚古薄今”的原则。
• 平均增长量=逐期增长量之和÷逐期增长量个数 水平法
平均增长量
(a a
i 1 i
n
i 1
)
n
an a0 n
累计法
(a0 ) (a0 2) na0 (1 2
n
( a0 n ) a1 a2
n i 1
an
n) ai
ˆ t 1 y
yt yt 1 yt 2 k
yt k 1
(t k )
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• 数学模型法测定长期趋势最广泛适用的方法，是采 用适当的数学模型（函数）给动态数列拟合一个方 程式，并据此计算各期的趋势值。模型可以有线性 的，也可以有非线性模型，但前者是基础。模型参 数可以是通过确定若干个“点”来求解，也可以基 于某一最优化目标函数求解，前者通常根据方程待 定参数多少把时间数列划分为相应“段”，求出每 一段的“重心”位置坐标（即“平均点”），要求 所拟合的方程经过这些点，解相应的联立方程组即 可确定参数值，后者通常采用“误差平方和最小” 这一目标函数，故称为“最小平方法”。
•
n y y2 n / 2 ... yn 1 y2 yi 1 n / 2 n / 2 i 1 n / 2 n/2
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（3）由上述两点即可唯一确定一直线方程。即利用（2）中的两点 估计参数a,b。得到趋势方程 y a bt 。 （4）利用趋势方程一方面可以导出各期趋势值的估计值 ——只需把 ˆi a bti 。另一方面，可以对现象今 t值代入趋势方程即可： y 后发展趋势作出粗略预测。此外，还可以对参数a、b的经济含 义作出适当的解释。特别是b通常可解释为平均增长量。
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• 时间数列的种类
时期数列 时点数列 相对数时间数列 平均指标时间数列
总量指标时间数列
时间数列
性质
时间状态
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• 时间数列的影响要素
长期趋势 季节变动 循环变动
不规则变动
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• 将时间数列的变动分解成上述四种因素，为描述时间 序列提供了方便。时间数列的波动可以解释为这四种 变动的综合后果。 • 加法模式：当时间数列的四种变动因素相互独立时，
• 为便于区别，习惯上常把时间数列中第一项的水平称 为最初水平，用（时点数列）或（时期数列）来表示。 最末一项的水平称为最末水平，用表示，中间各项则 称中间水平。同时，一般把被研究的时期称为“报告 期”，相应的发展水平称为“报告期发展水平”，而 把研究中作为比较基数的时期称为“基期”，相应的 发展水平称为“基期发展水平”。
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第八章 时间数列分析
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 时间数列的基本问题 时间数列的水平分析 时间数列的速度分析 长期趋势的测定 季节变动的测定 循环变动的测定
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第一节 时间数列的基本问题
• • • • 一、时间数列的含义及其类型 二、时间数列的种类 三、时间数列的影响要素 四、时间数列的编制原则
•
•
一般方程中有几个未知参数，就将原始数列分成几 等份，再求解方程组。 同样的，对于修正指数曲线、逻辑曲线、龚伯兹曲 线的参数估计原理也与此类似。
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• 最小平方法亦称最小二乘法 ，其基本思路是：拟合 一条趋势线，使原数列各点到该趋势线的距离平方 各最短。
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第四节 长期趋势的测定
• 一、移动平均法 • 二、数学模型法
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• 长期趋势是时间数列变动影响因素中最基本、最常 见的因素。测定长期的目的在于从起伏激宕的序列 过程中归纳总结出现象变化的基本走势。采用一定 的方法对时间数列进行修匀，使修匀后的数列排除 季节变动、循环变动、不规则变动等因素的影响， 就可以凸现其基本趋势或长期趋势。
•
长期趋势的测定方法随手描绘法 、时距扩大法 、移 动平均法 、数学模型法 。下面仅就移动平均法与数
学模型法进行介绍。
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• 移动平均法是通过对时间数列计算移动平均的方式， 消除数列中隐藏的季节变动、循环变动和不规则变 动的影响，进而反映长期趋势的方法。它的操作思 路是，对原有时间数列的数据逐项递推移动（如k项 数据移动），计算一系列的序时平均数，并以这些 移动平均数作为对应时期的趋势值。
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• 事物总是发展的，统计研究的具体对象也是如此。从 一段较长的时间上观察一个现象的发展变化，可以更 好地把握其发展规律。 • 时间数列是某一指标数值按时间先后顺序加以排列而 形成的统计序列。由于时间数列是从动态上反映社会 经济现象的数量发展变化的，所以又称动态数列。
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（一）、连续登记间隔相同的时点数列 （二）、连续登记间隔不同的时点数列 （三）、不连续登记间隔相等的时点数列
（四）、不连续登记间隔不等的时点数列
三、相对数和平均数序时平均数的计算
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• 增长量=报告期发展水平—基期发展水平
逐期增长量=报告期发展水平 — 上一期发展水平
累计增长量=报告期发展水平 — 固定期发展水平
•
计算方法 （1）水平法 （2）累计法 （3）水平法与累计法的比较
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• 平均增长速度是说明现象在较长时期内逐期平均增 长的相对程度。 平均增长速度=平均发展速度 — 100%
•
计算平均增长速度应该注意的问题 由于平均发展速度有“水平法”与“累计法”之分， 因此平均增长速度也有“水平法”与“累计法”之 分。
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• 移动平均法的关键是移动项数。应用时，还需要注 意以下一些特点：
（5）移动平均法的主要缺点是，会损失时间数列的项数，而且移
动项数越多损失的趋势值也越多。为此，有人专门研究“首尾 缺失趋势值”的填补技术。 （6）如果每次都直接计算移动平均值，则会让计算工作变得十分 繁琐。其实，移动平均法也可以通过下面的方式加以简化：
t t ... tn / 2 1 n/2 t1 ti 1 2 n / 2 i 1 n/2 y y2 ... yn / 2 1 n/2 y1 yi 1 n / 2 i 1 n/2
n t t ... tn 1 t2 ti 1 n / 2 2 n / 2 n / 2 i 1 n / 2 n/2
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• 上述确定直线趋势方程的“半数平均法”还可以推 广到求解非线性趋势方程中的参数，例如：对变动 趋势属于二次曲线的情形，设 y a bt ct 2，求解参数 的思路是:
（1）、将时间数列分成相等的三部分 （2）、求出各部分的指标平均数和时间变量平均数 。 （3）、代入二次曲线方程，解联立方程，求出参数。
则 2 (ai a0 ) / n(n 1)
i 1
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第三节 时间数列的速度分析
• • • • 一、发展速度指标 二、增长速度指标 三、平均发展速度指标 四、平均增长速度
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• 发展速度是以相对数表现的动态分析指标，是报告 期发展水平与基期发展水平的商，说明报告期发展 水平是基期的多少倍或百分之几，亦称动态系数。 即： 报告期发展水平
•
基于增长量的相关指标
（1）年距增长量指标 年距增长量=报告期某月（季）发展水平 — 上年同月（季）
发展水平
（2）边际倾向指标 a a0 a m n bn b0 b 这一指标的含义是：指标每增加一个单位引起指标增加的绝对 量。因此它常常用来测度指标增长对指标增长的贡献大小。
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Ti yi yi 1
yi k 1 Ti 1 ( yi k 1 yi1 )(i 1, 2, , n k 1)
（7）由于移动平均法不能得到实际的方程式，因而无法作为预 测的常用工具，但当现象发展较稳定时，也可用来进行外推预 测。第t+1期的预测公式为：
• 构成时间数列有两个基本要素： 一、现象所属的时间，实践中，构成时间数列的时间 单位长短视研究目的与现象性质而定。 二、现象在相应时间所达到的水平（即指标数值）。
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• 时间数列的统计研究具有重要的意义。主要有： （1）通过观察时间数列，可以了解社会经济现象总体 的动态变化全过程，便于人们客观、全面地认识事物 的发展方向和速度。 （2）通过对时间数列的分析，可以研究哪些因素对时 间数列的指标数值大小在起作用，可以进一步掌握事 物发展变化的趋势和规律性。 （3）根据时间数列原有的发展变化规律，进行短期或 长期预测，是生产、管理、决策过程中不可缺少的有 利工具。