2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题1_第2讲_不等式与线性规划(含答案)

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普通高中2015届高三数学(理)二轮速成复习(专题三不等式及线性规划问题)学生版

普通高中2015年高考数学（理）增分直通车专题3 不等式及线性规划问题1．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )．A.14 B ．4 C.12 D ．22.【2012重庆】不等式0121≤+-x x 的解集为（） A.⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121, 对3.【2012四川】某公司生产甲、乙两种桶装产品。

已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克。

每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。

公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。

通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）A 、1800元B 、2400元C 、2800元D 、3100元4.【2012江西】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入减去总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为A ．50，0B ．30，20C ．20，30D ．0，505.【2012湖北】设,,,,,a b c x y z 是正数，且22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则a b cx y z++=++ （）A ．14B ．13 C ．12 D ．346.【2012福建】若函数y=2x图像上存在点（x ，y ）满足约束条件 30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为（） A ．12 B.1 C. 32D.27.【2013山东】设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=,则当xy z 取得最大值时,212x y z+-的最大值为（）A ．0B ．1C ．94D ．38．【2013湖南】若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,2x y +则的最大值是（）A ．5-2B ．0C ．53D ．529．【2013江西】函数ln(1-x)的定义域为（）A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]10.【2014安徽】若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( )A ．5或8B ．－1或5C ．－1或－4D ．－4或811．【2013四川】已知()f x 是定义域为R 的偶函数,当x ≥0时,2()4f x x x =-,那么,不等式(2)5f x +<的解集是____________.12.【2013湖南】已知222,,,236,49a b c R a b c b c ∈++=++则a 的最小值为 ___ __.13.【2014新课标全国】不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是（）A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P14.【2014辽宁】已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a15.【2014安徽卷】 x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－116.【2014北京】若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－1217．【2014福建】若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．18．【2014广东】若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m和n ，则m －n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．819．【2014全国】设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤3，x －2y ≤1，则z ＝x ＋4y 的最大值为________．20．【2014天津】设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．521.【2014浙江】当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．。

2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题2_第1讲_函数、基本初等函数的图象与性质(含答案)

第1讲函数、基本初等函数的图象与性质考情解读 1．高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下. 2．函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．1．函数的三要素定义域、值域及对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数． 2．函数的性质（1）单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．（2）奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．（3）周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f (a ＋x )＝f (x )(a 不等于0)，则其一个周期T ＝|a |. 3．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换． 4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质（1）指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．（2）幂函数y ＝x α的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种情况.热点一函数的性质及应用例1 （1）(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．（2）设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32的值等于________．思维启迪 (1)利用数形结合，通过函数的性质解不等式；(2)利用f (x )的性质和x ∈[0，12]时的解析式探求f (3)和f (－32)的值．思维升华函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．（1）(2013·重庆)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))等于( ) A ．－5 B ．－1 C ．3 D ．4（2）已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为_________．热点二函数的图象例2 （1）(2014·烟台质检)下列四个图象可能是函数y ＝10ln|x ＋1|x ＋1图象的是()（2）已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c思维启迪（1）可以利用函数的性质或特殊点，利用排除法确定图象．（2）考虑函数f (x )的单调性．思维升华（1）作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系．（2）识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．（3）用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．（1）函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝21－x 在同一直角坐标系中的图象大致是( )（2）(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]热点三基本初等函数的图象及性质例3 （1）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)（2）已知α，β∈[－π2，π2]且αsin α－βsin β>0，则下面结论正确的是( )A ．α>βB ．α＋β>0C ．α<βD ．α2>β2思维启迪 (1)可利用函数图象或分类讨论确定a 的范围；(2)构造函数f (x )＝x sin x ，利用f (x )的单调性．思维升华（1）指数函数、对数函数、幂函数和三角函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．（2）比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．（1）设15<(15)b <(15)a <1，那么( )A ．a a <a b <b aB ．a b <a a <b aC ．a a <b a <a bD ．a b <b a <a a（2）已知函数f (x )＝2x －12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________．1．判断函数单调性的常用方法（1）能画出图象的一般用数形结合法去观察．（2）由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题．（3）对于解析式较复杂的一般用导数法．（4）对于抽象函数一般用定义法． 2．函数奇偶性的应用函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )． 3．函数图象的对称性（1）若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．提醒：函数y＝f (a ＋x )与y ＝f (a －x )的图象对称轴为x ＝0，并非直线x ＝a .（2）若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．（3）若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则该函数图象关于点(a ，b )成中心对称．4．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中．5．指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围．比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与0比较或与1比较．6．解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用.真题感悟1．(2014·安徽)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________.2．(2014·福建)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则所给函数图象正确的是()押题精练1．已知函数f (x )＝e |ln x |－⎪⎪⎪⎪x －1x ，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为()2．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是( )A ．[23，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)3．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( ) A ．有最小值－1，最大值1 B ．有最大值1，无最小值 C ．有最小值－1，无最大值 D ．有最大值－1，无最小值(推荐时间：40分钟)一、选择题1．下列函数f (x )中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)时，均有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0”的是( ) A ．f (x )＝12 B ．f (x )＝x 2－4x ＋4 C ．f (x )＝2x D ．f (x )＝log 12x2．(2014·浙江)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是()3．已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100的值等于( ) A.1lg 2 B ．－1lg 2 C ．lg 2 D ．－lg 2 4．若a >b ，则下列不等式成立的是( )A ．ln a >ln bB ．0.3a>0.3bC ．1122a b > D ．3a >3b5．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x－4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}等于( )A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2} 6．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0) C ．(－2,0) D ．[－2,0)7．下列函数中，与函数f (x )＝2x －1－12x 1的奇偶性、单调性均相同的是()A ．y ＝e xB ．y ＝ln(x ＋x 2＋1)C ．y ＝x 2D ．y ＝tan x8．(2013·天津)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2]B ．⎝⎛⎦⎤0，12C ．⎣⎡⎦⎤12，2 D ．(0,2] 二、填空题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧13e x (x ≥2)f (x ＋1)(x <2)，则f (ln 3)＝________.10．已知函数f (x )＝x |x －a |，若对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立，则实数a 的取值范围为________．11．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．12．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件： ①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1＜x 2≤2，都有f (x 1)＜f (x 2)； ③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则判断f (4.5)，f (6.5)，f (7)的大小关系为________．13．设函数f (x )＝1＋(－1)x 2(x ∈Z )，给出以下三个结论：①f (x )为偶函数；②f (x )为周期函数；③f (x ＋1)＋f (x )＝1，其中正确结论的序号是________．例1 (1)(－1,3) (2)－14 变式训练1 (1)C (2)⎝⎛⎭⎫－2，23 例2 答案 (1)C (2)D 变式训练2 (1)C (2)D 例3 (1)C (2)D 变式训练3 (1)B (2)0 1．516 2．B 1．A 2．D 3．CCDDDB ABC9．e 10．{a |a ≤2} 11．－10 12．f (4.5)＜f (7)＜f (6.5) 13．①②③。

2015高考数学大二轮总复习课件：第1部分专题1第2讲

当且仅当 x＝3 时取“＝”．答案 C
热点聚焦 ·题型第九页，编归辑于纳星期总五：结十五·点思四分。
热点二含参不等式恒成立问题 [微题型 1] 运用分离变量解决恒成立问题【例 2－1】关于 x 的不等式 x＋4x－1－a2＋2a＞0 对 x∈(0，＋∞)恒成立，则实数 a 的取值范围为________．解析设 f(x)＝x＋4x，因为 x＞0，所以 f(x)＝x＋4x≥2 x·4x＝ 4.又关于 x 的不等式 x＋4x－1－a2＋2a＞0 对 x∈(0，＋∞)恒成立，所以 a2－2a＋1＜4，解得－1＜a＜3，所以实数 a 的取值范围为(－1,3)．
答案 D
热点聚焦 ·题型第二十一页归，编纳辑于总星期结五：·十思五点四分。
1．利用基本不等式求最大值、最小值时应注意：一正、二定
、三相等，即：
(1)函数中的相关项必须是正数；
(2)求积xy的最大值时，要看和x＋
y是否为定值，求和x＋y的最小值时，要看积xy是否为定值，
求解时，常用到“拆项”“凑项”等解题技巧；
[微题型 2] 带有约束条件的基本不等式问题【例 1－2】若 x，y∈R＋，且 2x＋y＝3，则1x＋1y的最小值为 ________．解析 ∵2x＋y＝3，∴13(2x＋y)＝1. ∴1x＋1y＝1x＋1y·132x＋y ＝133＋yx＋2yx≥13(3＋2 2)．当且仅当 x＝3－322，y＝3 2－3 时等号成立．
热点聚焦 ·题型第十页，编归辑于纳星期总五：结十五·点思四分。
答案 (－1,3) 规律方法求解含参不等式恒成立问题的关键是过好双关：第一关是转化关，即通过分离参数，先转化为 f(a)≥g(x)(或 f(a)≤g(x)) 对 ∀ x ∈ D 恒成立，再转化为 f(a)≥g(x)max( 或 f(a)≤g(x)min)；第二关是求最值关，即求函数 g(x)在区间 D 上的最大值(或最小值)问题．

2015届高三数学二轮专项复习课件：专题6 第1讲不等式与线性规划

专题六第一讲
第十六页，编辑于星期五：八点四十五分。
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[解析] (1)若a>b，则①a>b>0，此时a|a|>b|b|；②a>0>b，显然有a|a|>b|b|；③0>a>b，此时0<|a|<|b|，∴a|a|>a|b|>b|b|，综上a>b时，有a|a|>b|b|成立．
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(2014·济南三月模拟)在△ABC 中，E 为 AC 上一点，且A→C＝
4A→E，P 为 BE 上一点，且满足A→P＝mA→B
＋nA→C(m>0，n>0)，则m1 ＋1n取最小值时，
向量 a＝(m，n)的模为________．
专题六第一讲
第十页，编辑于星期五：八点四十五分。
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5．简单线性规划 (1)应用特殊点检验法判断二元一次不等式表示的平面区域． (2)简单的线性规划问题解线性规划问题，关键在于根据条件写出线性约束关系式及目标函数，必要时可先做出表格，然后结合线性约束关系式作出可行域，在可行域中求出最优解．
(2)以客观题形式考查基本不等式的应用． (3)以客观题形式考查线性规划知识，主要是求目标函数的最值问题或求平面图形的面积． (4)不等式恒成立问题与函数、导数、数列等知识结合作为大题的一问，或将不等式有关知识分散在几个题中，间接考查，一般不单独命制大题．
专题六第一讲
第六页，编辑于星期五：八点四十五分。
解法 2：取 a＝2，b＝－1 知 A 错；取 a＝－1，b＝－2 知 B、C 错，故选 D.

2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题1_第1讲_集合与常用逻辑用语(含答案)

专题一集合与常用逻辑用语、不等式第1讲集合与常用逻辑用语考情解读 1．集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题.2．高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断．1．集合的概念、关系（1）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验．（2）集合与集合之间的关系：A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C ，空集是任何集合的子集，含有n 个元素的集合的子集数为2n ，真子集数为2n －1，非空真子集数为2n －2. 2．集合的基本运算（1）交集：A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }．（2）并集：A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }．（3）补集：∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．重要结论：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 3．四种命题及其关系四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理． 4．充分条件与必要条件若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p ⇔q ，则p ，q 互为充要条件． 5．简单的逻辑联结词（1）命题p ∨q ，只要p ，q 有一真，即为真；命题p ∧q ，只有p ，q 均为真，才为真；綈p 和p 为真假对立的命题．（2）命题p ∨q 的否定是(綈p )∧(綈q )；命题p ∧q 的否定是(綈p )∨(綈q )． 6．全称量词与存在量词“∀x ∈M ，p (x )”的否定为“∃x 0∈M ，綈p (x 0)”；“∃x 0∈M ，p (x 0)”的否定为“∀x ∈M ，綈p (x )”.热点一集合的关系及运算例1 （1）(2014·四川)已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B 等于( ) A ．{－1,0,1,2} B ．{－2，－1,0,1} C ．{0,1} D ．{－1,0}（2）(2013·广东)设整数n ≥4，集合X ＝{1,2,3，…，n }，令集合S ＝{(x ，y ，z )|x ，y ，z ∈X ，且三条件x <y <z ，y <z <x ，z <x <y 恰有一个成立}．若(x ，y ，z )和(z ，w ，x )都在S 中，则下列选项正确的是( ) A ．(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∉S B ．(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∈S C ．(y ，z ，w )∉S ，(x ，y ，w )∈S D ．(y ，z ，w )∉S ，(x ，y ，w )∉S 思维启迪明确集合的意义，理解集合中元素的性质特征．思维升华 (1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．（1）已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{x ∈Z |1<x <4}，则( )A ．M ⊆NB ．N ＝MC ．M ∩N ＝{2,3}D ．M ∪N ＝(1,4)（2）(2013·山东)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9 热点二四种命题与充要条件例2 （1）(2014·天津)设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件（2）(2014·江西)下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2≥cb 2”的充要条件是“a >c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β思维启迪要明确四种命题的真假关系；充要条件的判断，要准确理解充分条件、必要条件的含义．思维升华 (1)四种命题中，原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价；(2)充要条件的判断常用“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，判断一个命题为假可以借助反例．（1）命题“若a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是________．（2）“log 3M >log 3N ”是“M >N 成立”的________条件．(从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写) 热点三逻辑联结词、量词例3 （1）已知命题p ：∃x ∈R ，x －2>lg x ，命题q ：∀x ∈R ，sin x <x ，则( )A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(綈q )是真命题D ．命题p ∨(綈q )是假命题（2）(2013·四川)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B 思维启迪（1）先判断命题p 、q 的真假，再利用真值表判断含逻辑联结词命题的真假；（2）含量词的命题的否定既要否定量词，还要否定判断词．思维升华（1）命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；（2）判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．（1）已知命题p ：在△ABC 中，“C >B ”是“sin C >sin B ”的充分不必要条件；命题q ：“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是( ) A ．p 真q 假 B ．p 假q 真 C ．“p ∧q ”为假 D ．“p ∧q ”为真（2）已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，20x ＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(綈p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤2或1≤a ≤2C ．a >1D ．－2≤a ≤11．解答有关集合问题，首先正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键；其次关注元素的互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助数轴和Venn 图加以解决．2．判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法．3．含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断．4．一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否定是互相对立的、一真一假的.真题感悟1．(2014·浙江)设全集U ＝{x ∈N |x ≥2}，集合A ＝{x ∈N |x 2≥5}，则∁U A 等于( ) A ．∅ B ．{2} C ．{5} D ．{2,5}2．(2014·重庆)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．綈p ∧綈q C ．綈p ∧q D ．p ∧綈q 押题精练1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,1) D ．(1，＋∞)2．若命题p ：函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x －1x 的单调递增区间是[1，＋∞)，则( )A ．p ∧q 是真命题B ．p ∨q 是假命题C ．綈p 是真命题D ．綈q 是真命题3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．0<a <12 C.12<a <1 D ．a ≤0或a>1(推荐时间：40分钟)一、选择题1．(2014·陕西)设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(0,1] D ．(0,1)2．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{5,6,7}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈B }，则C 中所含元素的个数为( ) A ．5 B ．6 C ．12 D ．133．设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为()A ．3B ．4C ．7D ．8 4．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知命题p ：∃x ∈(0，π2)，使得cos x ≤x ，则该命题的否定是( )A ．∃x ∈(0，π2)，使得cos x >xB ．∀x ∈(0，π2)，使得cos x ≥xC ．∀x ∈(0，π2)，使得cos x >xD ．∀x ∈(0，π2)，使得cos x ≤x6．在△ABC 中，“A ＝60°”是“cos A ＝12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．(2013·湖北)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |(12)x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩∁R B 等于( )A ．{x |x ≤0}B ．{x |0≤x <2或x >4}C ．{x |2≤x ≤4}D ．{x |0<x ≤2或x ≥4}8．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1，x ，y ∈R }，则集合A ∩B 的元素个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．39．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真10．已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．(－∞，－2]D ．[－1,1] 二、填空题11．已知集合P ＝{x |x (x －1)≥0}，Q ＝{x |y ＝ln(x －1)}，则P ∩Q ＝__________.12．已知集合A ＝{x |x >2或x <－1}，B ＝{x |a ≤x ≤b }，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |2<x ≤4}，则ba ＝________.13．由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a 的值是________． 14．给出下列四个命题：①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题；②“∃x 0∈R ，使得20x －x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2－x <0”；③命题“x 2＝4”是“x ＝－2”的充分不必要条件；④p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a }⊆{a ，b ，c }，p 且q 为真命题．其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号)15．已知集合M 为点集，记性质P 为“对∀(x ，y )∈M ，k ∈(0,1)，均有(kx ，ky )∈M ”．给出下列集合：①{(x ，y )|x 2≥y }，②{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，③{(x ，y )|x 2＋y 2＋x ＋2y ＝0}，④{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，其中具有性质P 的点集序号是________．例1 (1)A (2)B 变式训练 (1)C (2)C例2 (1)C (2)D 变式训练2 (1)若a ＋b 不是偶数，则a ，b 不都是偶数 (2)充分不必要例3(1)C (2)D 变式训练3 (1)C (2)C BD BDA BDCBC CBCCA11．(1，＋∞) 12．－4 13．1 14．①④ 15．②④。

2015年高考理科数学(全国通用)二轮专题配套word版练习12份

目录选择题的解法 (1)概率与统计 (12)函数与导数 (26)活用“审题路线图”，破解高考不再难 (40)集合与常用逻辑用语 (59)解答题的八个答题模板 (65)解析几何 (95)立体几何 (107)三角函数、解三角形、平面向量 (121)数列、不等式 (131)填空题的解法 (140)推理与证明、复数、算法 (149)选择题的解法【题型特点概述】高考数学选择题主要考查对基础知识的理解、基本技能的熟练程度、基本计算的准确性、基本方法的正确运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面，注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识、解决数学问题的能力．选择题是属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，所以解答选择题的基本策略是：充分地利用题干和选择支两方面的条件所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等．解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏．初选后认真检验，确保准确．解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答，因此，我们还要研究解答选择题的一些技巧．总的来说，选择题属小题，解题的原则是：小题巧解，小题不能大做．方法一直接法直接法就是从题干给出的条件出发，进行演绎推理，直接得出结论．这种策略多用于一些定性的问题，是解选择题最常用的策略．这类选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的，可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然后与选择支对照，从而作出相应的选择．例1 数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，且对任意正整数m 、n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若S n <a 恒成立，则实数a 的最小值为( ) A.12 B.23 C.32D ．2解析对任意正整数m 、n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，取m ＝1，则有a n ＋1＝a n ·a 1⇒a n ＋1a n ＝a 1＝13，故数列{a n }是以13为首项，以13为公比的等比数列，则S n ＝13(1－13n )1－13＝12(1－13n )<12，由于S n <a对任意n ∈N *恒成立，故a ≥12，即实数a 的最小值为12，选A.答案 A思维升华直接法是解答选择题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错．将函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象分别向左平移m (m >0)个单位、向右平移n (n >0)个单位所得到的图象都与函数y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )的图象重合，则|m －n |的最小值为( ) A.π6 B.5π6 C.π3 D.2π3答案 C解析函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位可得y ＝sin 2(x ＋m )＝sin(2x ＋2m )的图象，向右平移n (n >0)个单位可得y ＝sin 2(x －n )＝sin(2x －2n )的图象．若两图象都与函数y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )的图象重合，则⎩⎨⎧2m ＝π3＋2k 1π，2n ＝－π3＋2k 2π，(k 1，k 2∈Z )即⎩⎨⎧m ＝π6＋k 1π，n ＝－π6＋k 2π.(k 1，k 2∈Z )所以|m －n |＝|π3＋(k 1－k 2)π|(k 1，k 2∈Z )，当k 1＝k 2时，|m －n |min ＝π3.故选C.方法二特例法特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．例2 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( ) A ．130 B ．170 C ．210 D ．260(2)如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P 、Q 满足A 1P ＝BQ ，过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( ) A ．3∶1 B ．2∶1 C ．4∶1D.3∶1解析 (1)取m ＝1，依题意a 1＝30，a 1＋a 2＝100，则a 2＝70，又{a n }是等差数列，进而a 3＝110，故S 3＝210，选C.(2)将P 、Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有1C AA B V -＝1A ABC V -＝1113ABC A B C V -，故选B.答案 (1)C (2)B思维升华特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，∠A＝60°，cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝2m ·AO →，则m 的值为( ) A.32B. 2 C ．1 D.12答案 A解析如图，当△ABC 为正三角形时，A ＝B ＝C ＝60°，取D 为BC 的中点， AO →＝23AD →，则有13AB →＋13AC →＝2m ·AO →， ∴13(AB →＋AC →)＝2m ×23AD →，∴13·2AD →＝43mAD →，∴m ＝32，故选A. 方法三排除法(筛选法)例3 函数y ＝x sin x 在[－π，π]上的图象是( )解析容易判断函数y＝x sin x为偶函数，可排除D；时，y＝x sin x>0，排除B；当0<x<π2当x＝π时，y＝0，可排除C；故选A.答案 A思维升华排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法．函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,16]，a变动时，方程b＝g(a)表示的图形可以是()答案 B解析研究函数y ＝2|x |，发现它是偶函数，x ≥0时，它是增函数，因此x ＝0时函数取得最小值1，而当x ＝±4时，函数值为16，故一定有0∈[a ，b ]，而4∈[a ，b ]或者－4∈[a ，b ]，从而有结论a ＝－4时，0≤b ≤4，b ＝4时，－4≤a ≤0，因此方程b ＝g (a )的图形只能是B. 方法四数形结合法(图解法)在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来，通过对规范图形或示意图形的观察分析，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决，这种方法称为数形结合法．例4 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx (－2≤x ≤4)的所有零点之和等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8解析由f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx ＝0，得⎝⎛⎭⎫12|x －1|＝－2cos πx ，令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)， h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)，又因为g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －1， 1≤x ≤4，2x －1，－2≤x <1.在同一坐标系中分别作出函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)和h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图象(如图)，由图象可知，函数g(x)＝⎝⎛⎭⎫1x－1|关于x＝1对称，2|又x＝1也是函数h(x)＝－2cos πx(－2≤x≤4)的对称轴，所以函数g(x)＝⎝⎛⎭⎫1x－1|(－2≤x≤4)和h(x)＝－2cos πx(－2≤x≤4)的交点也关于x＝1对称，2|且两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6.答案 C思维升华本题考查函数图象的应用，解题的关键是将零点问题转化为两图象的交点问题，然后画出函数的图象找出零点再来求和．严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，但它在解有关选择题时非常简便有效．运用图解法解题一定要对有关函数的图象、方程曲线、几何图形较熟悉．图解法实际上是一种数形结合的解题策略．过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A.33B．－33C．±33D．－ 3答案 B解析由y＝1－x2，得x2＋y2＝1(y≥0)，其所表示的图形是以原点O为圆心，1为半径的上半圆(如图所示)．由题意及图形，知直线l的斜率必为负值，故排除A，C选项．当其斜率为－3时，直线l的方程为3x＋y－6＝0，点O到其距离为|－6|3＋1＝62>1，不符合题意，故排除D选项．选B.方法五估算法由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程．因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．例5 若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为( ) A.34 B ．1 C.74D ．2 解析如图知区域的面积是△OAB 去掉一个小直角三角形．阴影部分面积比1大，比S △OAB ＝12×2×2＝2小，故选C 项．答案 C思维升华 “估算法”的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义．本题的关键在于所求值应该比△AOB 的面积小且大于其面积的一半．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(π2<θ<π)，则tan θ2等于( )A.m －39－mB.m －3|9－m |C.13 D ．5答案 D解析利用同角正弦、余弦的平方和为1求m 的值，再根据半角公式求tan θ2，但运算较复杂，试根据答案的数值特征分析．由于受条件sin2θ＋cos2θ＝1的制约，m为一确定的值，进而推知tanθ2也为一确定的值，又π2<θ<π，因而π4<θ2<π2，故tanθ2>1.1．解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、估算法、验证法和数形结合法．但大部分选择题的解法是直接法，在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、“小题巧做”上做文章，切忌盲目地采用直接法．2．由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会误入“陷阱”，应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证，既谨慎选择，又大胆跳跃．3．作为平时训练，解完一道题后，还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，并注意及时总结，这样才能有效地提高解选择题的能力．概率与统计1．随机抽样方法简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且是不放回抽样．[问题1] 某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭．在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次抽取的总户数为________．答案 24解析由抽样比例可知6x ＝480－200－160480，则x ＝24.2．对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提取有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率．茎叶图没有原始数据信息的损失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了． [问题2] 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为________．答案 203．众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．平均数：样本数据的算术平均数，即x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小距形底边中点的横坐标之和．标准差的平方就是方差，方差的计算(1)基本公式s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．(2)简化计算公式①s 2＝1n [(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x 2]，或写成s 2＝1n (x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x 2，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方．[问题3] 已知一个样本中的数据为0.12,0.15,0.13，0.15，0.14,0.17,0.15,0.16,0.13,0.14，则该样本的众数、中位数分别是________．答案 0.15、0.145 4．变量间的相关关系假设我们有如下一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )．回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n(x i－x )2＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i－n x2，a ^＝y －b ^x .[问题4] 回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^必经过点________．答案 (x ，y )5．独立性检验的基本方法一般地，假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表如表：y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋d根据观测数据计算由公式k ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(a ＋c )(b ＋d )(c ＋d )所给出的检验随机变量K 2的观测值k ，并且k 的值越大，说明“X 与Y 有关系”成立的可能性越大，可以利用数据来确定“X 与Y 有关系”的可信程度．[问题5] 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计302050则至少有________的把握认为喜爱打篮球与性别有关．(请用百分数表示) 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )P (K 2>k 0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.828答案 99.5%6．互斥事件有一个发生的概率P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) (1)公式适合范围：事件A 与B 互斥． (2)P (A )＝1－P (A )．[问题6] 抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率之和为________．答案 237．古典概型P (A )＝mn (其中，n 为一次试验中可能出现的结果总数，m 为事件A 在试验中包含的基本事件个数)[问题7] 若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为________．答案1128．几何概型一般地，在几何区域D 内随机地取一点，记事件“该点在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为P (A )＝d 的度量D 的度量.此处D 的度量不为0，其中“度量”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的度量分别为长度、面积和体积等．即P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积和体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积和体积)[问题8] 在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.π12 B ．1－π12C.π6 D ．1－π6答案 B解析记“点P 到点O 的距离大于1”为A ， P (A )＝23－12×43π×1323＝1－π12. 9．解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．解排列、组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配分步法；综合问题先选后排法；至多至少问题间接法． (1)排列数公式A m n ＝n (n －1)(n －2)…[n －(m －1)]＝n ！(n －m )！，其中m ，n ∈N *，m ≤n .当m ＝n 时，A n n ＝n ·(n－1)·……·2·1＝n ！，规定0！＝1. (2)组合数公式C mn ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…[n －(m －1)]m ！＝n ！m ！(n －m )！. (3)组合数性质C m n ＝C n－mn，C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1，规定C 0n ＝1，其中m ，n ∈N *，m ≤n .[问题9] (1)将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有________种．(2)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有________种．答案 (1)35 (2)70 10．二项式定理(1)定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n －1n ab n －1＋C n nb n (n ∈N *)．通项(展开式的第r ＋1项)：T r ＋1＝C rna n －r b r ，其中C r n (r ＝0,1，…，n )叫做二项式系数． (2)二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，C 2n ＝C n －2n ，…，C r n ＝C n －r n. ②二项式系数的和等于2n (组合数公式)，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n＝2n . ③二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1. 特别提醒：二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念，在求法上也有很大的差别，往往因为概念不清导致出错． [问题10] 设⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中x 3的系数为A ，二项式系数为B ，则A ∶B ＝________. 答案 4∶1解析 T r ＋1＝C r 6x6－r (－1)r ⎝⎛⎭⎫2x r＝C r 6(－1)r 2r362r x-，6－32r ＝3，r ＝2，系数A ＝60，二项式系数B ＝C 26＝15，所以A ∶B ＝4∶1. 4∶1.11．要注意概率P (A |B )与P (AB )的区别：(1)在P (A |B )中，事件A ，B 发生有时间上的差异，B 先A 后；在P (AB )中，事件A ，B 同时发生．(2)样本空间不同，在P (A |B )中，事件B 成为样本空间；在P (AB )中，样本空间仍为Ω，因而有P (A |B )≥P (AB )．[问题11] 设A 、B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为12，则事件A 发生的概率为________．答案 3512．求分布列，要检验概率的和是否为1，如果不是，要重新检查修正．还要注意识别独立重复试验和二项分布，然后用公式．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k ·(1－p )n －k . [问题12] 若随机变量ξ的分布列如下表，则E (ξ)的值为________.ξ 0 1 2 3 4 5 P2x3x7x2x3xx答案209解析根据概率之和为1，求出x ＝118，则E (ξ)＝0×2x ＋1×3x ＋…＋5x ＝40x ＝209.13．一般地，如果对于任意实数a <b ，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝ʃba φμ，σ(x )d x ，则称X 的分布为正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N (μ，σ2)．如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2)．满足正态分布的三个基本概率的值是： ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6；②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4；③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.[问题13] 已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)等于( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2 答案 C解析 ∵P (ξ<4)＝0.8，∴P (ξ>4)＝0.2，由题意知图象的对称轴为直线x ＝2， P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝0.2，∴P (0<ξ<4)＝1－P (ξ<0)－P (ξ>4)＝0.6. ∴P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝0.3.易错点1 统计图表识图不准致误例1 如图所示是某公司(共有员工300人)2012年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的大约有________人．错解由频率分布直方图，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－(0.02＋0.08＋0.10＋0.10＋0.08)＝0.62.∴估计年薪在1.4万元～1.6万元之间约有300×0.62＝186(人)．找准失分点本题主要混淆频率分布直方图与条形图纵轴的意义，频率分布直方图中，纵轴(矩形高)表示“频率组距”，每个小矩形的面积才表示落在该区间上的频率，由于概念不清，识图不准导致计算错误．正解由所给图形可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－(0.02＋0.08＋0.08＋0.10＋0.10)×2＝0.24.所以员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有300×0.24＝72(人)．答案 72易错点2 在几何概型中“测度”确定不准致误例2 如图所示，在等腰Rt △ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM <AC 的概率．错解记AM <AC 为事件E ，设CA ＝CB ＝a ，因为△ABC 是直角三角形，所以，AB ＝2a ，在AB 上取一点D ，使AD ＝AC ＝a ，那么对线段AD 上的任意一点M 都有AM <AD ，即AM <AC ，因此AM <AC 的概率为P (E )＝AD AB ＝a 2a ＝22. 找准失分点据题意，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，射线CM 在∠ACB 内部均匀分布，但是点M 在AB 上的分布不是均匀的．正解在AB 上取一点D ，使AD ＝AC ，因为AD ＝AC ＝a ，∠A ＝π4，所以∠ACD ＝∠ADC ＝3π8，则P (E )＝∠ACD ∠ACB ＝3π8π2＝34.易错点3 分不清是排列还是组合致误例3 如图所示，A ，B ，C ，D 是海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有多少种？错解对于有一个中心的结构形式有A 44，对于四个岛依次相连的形式有A 44，∴共有2A 44＝48(种)．找准失分点没有分清是排列还是组合．正解由题意可能有两种结构，如图：第一种：，第二种：对于第一种结构，连接方式只需考虑中心位置的情况，共有C 14种方法．对于第二种结构，有C 24A 22种方法． ∴总共有C 14＋C 24A 22＝16(种)．易错点4 均匀分组与非均匀分组混淆致误例4 4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的4个盒中，则恰有1个空盒的放法共有________种．(用数字作答) 错解 288错误!未找到引用源。

2015年全国各地高考模拟数学试题汇编不等式及线性规划(理卷B)-推荐下载

且不等式 x y m2 3m 有解，则实数 m 的取值范围是（） 4
A. (1,4)
C. (4,1)
B. (,1) (4,)
D. (,0) (3,)
17．(2015 济宁市曲阜市第一中学高三校模拟考试·8)若正数 x, y 满足 x2 6xy 1 0 ，
y a z x 2 y 的最大值为 9，则 a 的值为（）
A.0
B.3
二、非选择题（50 分）
11.(2015·北京市东城区综合练习二·10）已知正数 x, y 满足 x y xy ，那么 x y 的最
小值为
．
12．（2015·肇庆市高中毕业班第三次统一检测题·13）已知为不等式组
一、选择题（每题 5 分，共 50 分）
专题 2 不等式、函数与导数
第 1 讲不等式及线性规划(B 卷)
1.（2015·山东省实验中学第二次考试·2）“ 2a 2b ”是“ ln a ln b ”的（）
A.充分不必要条件
C.充要条件
2.（2015·海南省高考模拟测试题·9）已知 O 为坐标原点，A，B 两点的坐标均满足不等
3
C．
4
3
C．
3
A
为不等式组
7
D．
4
x 0,

y

y x 2
23
D．
3
0,
表示的
18．(江西省九江市
2015
届高三第三次模拟考试·10)已知点
点 P 的直线与圆 x2 y2 14 相交于 A、B 两点，则| AB | 的最小值为（）
A．2
19．(2015
B． 2 6

2015届高考数学(理)二轮复习总结专题综合检测试题：不-等-式

2015届高考数学（理）二轮复习专题综合检测试题：不等式(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“a ＞b ＞0”是“ab＜a 2＋b22”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ＞b ＞0 ab ＜a 2＋b 22，而ab ＜a 2＋b22a ，b ∈R 且a≠b，但不能推出a ＞b ＞0.答案：A2．下列函数中，y 的最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4x B ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)C ．y ＝e x＋4e x D ．y ＝log 2x ＋4log 2x解析：A 成立需x ＞0；B 取不到等号；D 成立需x ＞1. 答案：C3．不等式4x 2－12x ＋9≤0的解集为( )A ．B ．RC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠ 32 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫32答案：D4．不等式x －1x ≥2的解集为( )A ．[－1，0)B ．[－1，＋∞)C ． (－∞，－1]D ．(－∞，－1]∪(0，＋∞)解析：x －1x ≥2x －1x －2≥0 －x －1x≥0 ⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋1）≤0，x ≠0 －1≤x ＜0.答案：A5．若不等式mx 2＋x ＋n>0的解集是{x|－13＜ x ＜12}，则m ，n 分别是( )A ．6，－1B ．－6，－1C ．6，1D ．－6，1答案：D6．下列函数中，最小值是2的是( ) A ．y ＝ 2x＋2－xB ．y ＝x 2＋2＋1x 2＋2C ．y ＝sin x ＋1sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2D ．y ＝x 2＋2x答案：A7．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表所示.植面积(单位：亩)分别为( )A ．50，0B ．30，20C ．20，30D ．0，50解析：本题考查线性规划知识在实际问题中的应用，同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力．设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，总利润为z 万元，则目标函数为z ＝(0.55×4x－1.2x)＋(0.3×6y －0.9y)＝x ＋0.9y.线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤50，1.2x ＋0.9y≤54，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤50，4x ＋3y≤180，x ≥0，y ≥0，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤50，4x ＋3y≤180，x ≥0，y ≥0表示的可行域(如图)，易求得点A(0，50)，B(30，20)，C(45，0)．平移直线z ＝x ＋0.9y ，可知当直线z ＝x ＋0.9y 经过点B(30，20)，即x ＝30，y ＝20时，z 取得最大值，且z max ＝48 万元．答案：B8．(2014·湖北卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤4，x －y≤2，x ≥0，y ≥0，则2x ＋y 的最大值是( )A ．2B ．4C ．7D ．8解析：不等式组表示的平面区域如图的四边形OABC(包括边界)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，x ＋y ＝4，得点B(3，1)，令z ＝2x ＋y ，平移直线z ＝2x ＋y 经过点B 使得z 取最大值，即z max ＝2×3＋1＝7.故选C.答案：C9．已知向量a ＝(x ，2)，b ＝(1，y)，其中x ＞0，y ＞0.若a·b ＝4，则1x ＋2y 的最小值为( )A.32 B ．2 C.94 D ．2 2 答案：C10．(2013·新课标Ⅱ卷)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x ＋y≤3，y ≥a （x －3）.若z ＝2x ＋y的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2 解析：本题可先画出可行域，然后根据图形确定出最小值点进行解答．作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a （x －3），得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ， ∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.故选B.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11. 已知x ＞2，则2x2x －2的最小值是________．解析：2x 2x －2＝2（x －2）2＋8（x －2）＋8x －2＝2(x －2)＋8x －2＋8≥22（x －2）·8x －2＋8＝16，当且仅当2(x －2)＝8x －2即x ＝4时等号成立．答案：1612．(2014·福建卷)已知圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝1，设平面区域Ω＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0，若圆心C∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为________．解析：a 2＋b 2即圆心(a ，b)到原点O 距离的平方．画出可行域，由已知，当圆心为A(6，1)时，|OA|最大，此时(a 2＋b 2)max ＝62＋11＝37.答案：3713．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a ＞0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案：(0，8)14．若不等式x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a<0的解集为A ，不等式x 2－5x ＋4≥0的解集为B ，且AB ，则实数a 的取值范围是________．答案：(－∞，0]∪[4，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)已知函数y ＝(k 2＋4k －5)x 2＋4(1－k)x ＋3的图象都在x 轴上方，求实数k 的取值范围．解析：①由k 2＋4k －5＝0，得k ＝－5或k ＝1，当k ＝1时，y ＝3，满足题意；当k ＝－5时，y ＝24x ＋3，不合题意． ②当k 2＋4k －5≠0，即k≠－5且k≠1时，函数的图象都在x 轴上方，则⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋4k －5＞0，Δ＝16（1－k ）2－12（k 2＋4k －5）＜0，解得1＜k ＜19.综上所述，k 的取值范围是(1，19)．16. (12分) 已知直线过点P(3，2)且与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于A 、B 两点． (1)求△AOB 面积的最小值及此时直线l 方程(O 为原点)； (2)求直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值．解析：(1)设直线l 的方程x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)．则3a ＋2b＝1≥26ab，ab ≥26，ab ≥24.S ＝12ab ≥12. 仅当3a ＝2b ＝12，即a ＝6，b ＝4，S min ＝12.此时l ：x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.(2)∵3a ＋2b ＝1，∴a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2b (a ＋b)＝5＋3b a ＋2a b ≥5＋2 6. 仅当3b a ＝2ab 时，即a ＝3＋ 6 ，b ＝2＋6时，(a ＋b)min ＝5＋2 6.17．(14分)设f(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ，若a ＋b ＋c ＝0，f(0)＞0，f(1)＞0，求证： (1)a ＞0且－2＜ba＜－1；(2)方程f(x)＝0在(0，1)内有两个实根．证明：(1)∵f(0)＞0，f(1)＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＞0，3a ＋2b ＋c ＞0. 又∵a＋b ＋c ＝0，∴b ＝－a －c ，代入不等式组得a ＞c ＞0. 要证－2＜ba＜－1，∵a ＞0，∴只需证－2a ＜b ＜－a ，即需证⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＞0，a ＋b ＜0.又∵a＋b ＝－c ＜0，∴2a ＋b ＝a ＋(a ＋b)＝a －c ＞0. ∴原不等式成立，即－2＜ba ＜－1.(2)证法一 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3a4＋b ＋c ＝－14a ＜0，又因为f(0)＞0，f(1)＞0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f(0)＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f(1)＜0，且f(x)为连续函数，所以方程f(x)＝0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12与⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内分别有一个实根，故方程f(x)＝0在(0，1)内有两个实根．证法二 ∵－2＜ba ＜－1，∴对称轴x ＝－b 3a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，又∵b＝－a －c.∴Δ＝4b 2－12ac ＝4(－a －c)2－12ac ＝4(a 2＋c 2－ac)＞0. 由⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＞0，Δ＞0，得方程f(x)＝0在(0，1)内有两个实根．18. (14分)某公司计划2015年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500 元/分钟和200 元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？分析：先列出约束条件，建立目标函数；然后求解．解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，收益为z 元．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤300，500x ＋200y≤90 000，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3 000x ＋2 000y.二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤300，5x ＋2y≤900，x ≥0，y ≥0，作二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如右图．作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0，即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线过点M 时，目标函数取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900，解得x ＝100，y ＝200. ∴点M 的坐标为(100，200)．∴z max ＝700 000 元，即该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，才能使公司的收益最大，最大收益是70万元．19. (14分)某厂家拟在2015年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2015年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2015年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2015年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解析：(1)由题意可知当m ＝0时，x ＝1 万件， ∴1＝3－kk ＝2，∴x ＝3－2m ＋1.每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx元，2015年的利润y ＝x·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1.5×8＋16x x －(8＋16x ＋m)＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m≥0)．(2)当m≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1m ＝3 万元时，y max ＝21 万元．∴促销费用投入3 万元时，厂家的利润最大．20．(14分)已知函数f(x)＝x2ax ＋b (a ，b 为常数)且方程f(x)－x ＋12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设k ＞1，解关于x 的不等式：f(x)＜（k ＋1）x －k2－x .解析：(1)将x 1＝3，x 2＝4分别代入方程 x2ax ＋b －x ＋12＝0得⎩⎪⎨⎪⎧93a ＋b ＝－9，164a ＋b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.所以f(x)＝x 22－x(x≠2)．(2)不等式即为x 22－x ＜（k ＋1）x －k2－x ，可化为x 2－（k ＋1）x ＋k2－x ＜0，即(x －2)(x －1)(x －k)＞0.①当1＜k ＜2时，解集为{}x|1＜x ＜k 或x ＞2；②当k ＝2时，不等式化为(x －2)2(x －1)＞0，解集为{}x|x ＞1且x≠2；③当k ＞2时，解集为{}x|1＜x ＜2或x ＞k .。

2015届高考二轮数学文科金版学案专题复习课件4.2线性规划、基本不等式与不等式的证明

4 3 4b 3a 所以 a ＋ b ＝ (a ＋ b) a＋b ＝ 7 ＋ a ＋ b ≥ 7 ＋
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2
4b 3a a · b ＝7＋4 3，
4b 3a 当且仅当 a ＝ b 时，等号成立．故选 D.
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高考热点突破
突破点1
不等式正、误的辨别与大小比较问题
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主干考点梳理
考点1
线性规划问题
1．设出变量 x，y，列出变量x ， y函数值为0的直线l.
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3．利用直线l确定最优解对应的点，从而求
出最优解．
主干考点梳理
考点2
基本不等式的应用问题
ab.
a＋b 1．基本不等式： ≥ 2
B )
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主干考点梳理
解析：画出不等式表示的平面区域，如图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝
－x的图象，当它的平行线经过A(2，0)时，z 取得最小值，最小值为z＝2，无最大值．故选B.
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2 2 2 ． 2．若 x＞0，则 x＋x的最小值为________
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x＋2y≤8，解析：作出不等式组 0≤x≤4，所表示的可行域 0≤y≤3，如下图所示．
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直线x＝4交直线x＋2y＝8于点A(4，2)，作
直线l：z＝2x＋y，则z为直线l在y轴上的截距，当直线经过可行域上的点A时，直线l 在y轴上的截距最大，此时z取最大值，即 zmax＝2×4＋2＝10.故选C.
解析：
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2 2 ∵x＞0⇒x＋ ≥2 2，当且仅当 x＝ ⇒x＝ 2时取等号． x x

2015届高考数学(理)二轮复习专题综合检测试题：不等式

2015届高考数学必考题型过关练：专题二不等式与线性规划学生版概述.

第4练再谈“三个二次”的转化策略题型一函数与方程的转化例1 设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为________．题型二函数与不等式的转化例2 已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12}，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >lg 2}B ．{x |－1<x <lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}题型三方程与不等式的转化例3 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围； (2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的取值范围．总结提高 “三个二次”是一个整体，不可分割．有关“三个二次”问题的解决办法通常是利用转化与化归思想来将其转化，其中用到的方法主要有数形结合、分类讨论的思想，其最基本的理念可以说是严格按照一元二次不等式的解决步骤来处理．1．若A ＝{x |x 2＋(p ＋2)x ＋1＝0，x ∈R }，B ＝{x |x >0}，且A ∩B ＝∅，则实数p 的取值范围是( ) A ．p >－4 B ．－4<p <0 C ．p ≥0 D ．R2．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上的最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为( ) A ．[1，＋∞) B ．[0,2] C ．(－∞，－2] D ．[1,2]3．方程x 2－32x －m ＝0在x ∈[－1,1]上有实根，则m 的取值范围是( )A ．m ≤－916B ．－916<m <52C ．m ≥52D ．－916≤m ≤524．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，x 2－2x ＋1，x >0，若关于x 的方程f 2(x )－af (x )＝0恰有5个不同的实数解，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2) D ．(0,3)5．(2013·重庆)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2.若f (x 1)＝x 1<x 2，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．67．若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是__________． 8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，则a 的取值范围________． 9．已知函数f (x )＝2ax 2＋2x －3.如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，则实数a 的取值范围为______________．10．已知定义在R 上的单调递增奇函数f (x )，若当0≤θ≤π2时，f (cos 2θ＋2m sin θ)＋f (－2m －2)<0恒成立，则实数m 的取值范围是________．11．已知函数f (x )＝2a sin 2x －2 3a sin x cos x ＋a ＋b (a ≠0)的定义域是⎣⎡⎦⎤0，π2，值域是[－5,1]，求常数a ，b 的值．12．已知函数f (x )＝ax 2＋ax 和g (x )＝x －a ，其中a ∈R ，且a ≠0.若函数f (x )与g (x )的图象相交于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点，试求△OAB 的面积S 的最大值．第5练如何用好基本不等式题型一利用基本不等式求解最大值、最小值问题例1 (1)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98 C ．2 D.94(2)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________．题型二利用基本不等式求最值的综合性问题例2 如图所示，在直角坐标系xOy 中，点P (1，12)到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点Q (m ，n )在直线OM 上．(1)求曲线C 的方程及t 的值； (2)记d ＝|AB |1＋4m2，求d 的最大值．总结提高 (1)利用基本不等式求函数或代数式的最大值、最小值时，注意观察其是否具有“和为定值”或“积为定值”的结构特点．在具体题目中，一般很少直接考查基本不等式的应用，而是需要将式子进行变形，寻求其中的内在关系，然后利用基本不等式求出最值．(2)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”，所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．若连续使用基本不等式求最值，必须保证两次等号成立的条件一致，否则最值就取不到．1．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a <v <abB ．v ＝abC.ab <v <a ＋b 2 D ．v ＝a ＋b22．若函数f (x )＝x ＋1x －2 (x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．43．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.144．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝x －2(x ≥12)，则m 与n 之间的大小关系为( )A ．m <nB ．m >nC ．m ≥nD ．m ≤n5．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立，则m 的最大值为( )A ．4B ．16C ．9D ．37．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．8．已知a >0，b >0，函数f (x )＝x 2＋(ab －a －4b )x ＋ab 是偶函数，则f (x )的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为________．9．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．10．(1)已知0<x <25，求y ＝2x －5x 2的最大值；(2)求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值．11．如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2 (k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．12．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会．首批计划用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．(1)若建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为y 万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出y ＝f (x )的表达式；(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？第6练处理好“线性规划问题”的规划题型一不等式组所确定的区域问题例1 已知点M (x ，y )的坐标满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0，则此不等式组确定的平面区域的面积S 的大小是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4题型二求解目标函数在可行域中的最值问题例2 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的和为________．题型三利用线性规划求解实际应用题例3 某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900人旅行，A ，B 两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200 元B ．36 000 元C ．36 800 元D ．38 400 元题型四简单线性规划与其他知识的综合性问题例4 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8，则lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为( )A ．[0,1－2lg 2]B ．[1，52]C ．[12，lg 2] D ．[－lg 2,1－2lg 2]总结提高 (1)准确作出不等式组所确定的平面区域是解决线性规划问题的基础．(2)求解线性目标函数的最大值或最小值时，一般思路是先作出目标函数对应的过原点的直线y ＝kx ，再平移此直线．(3)求解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出线性约束条件；③建立目标函数；④求出最优解；⑤转化为实际问题．1．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥|x －1|，y ≤1，则不等式组所围成图形的面积为( )A ．4B ．2 C.12D ．12．已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2] 3．(2014·广东)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m－n 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 4．设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为( )A ．(1,1＋2)B ．(1＋2，＋∞)C ．(1,3)D ．(3，＋∞)5．若P 是满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y －2≤0，y >0表示的平面区域内的任意一点，点P 到直线3x ＋4y －12＝0的距离为d ，则d 的取值范围是( )A ．[1，125]B ．[1，125)C ．(1，65)D ．(34，1]6．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m的取值范围是( )A ．(－∞，－43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值为________．8．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ＋y ＋2≥0，kx －y ≥0表示的平面区域为Ω，其中k ≥0，则当Ω的面积取得最小值时，k 的值为________．9．4件A 商品与5件B 商品的价格之和不小于20元，而6件A 商品与3件B 商品的价格之和不大于24，则买3件A 商品与9件B 商品至少需要________元． 10．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)的最大值为8，则a ＋b 的最小值为________．11．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线． 12．已知t 是正实数，如果不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤t ，x －y ≤0，x ≥0表示的区域内存在一个半径为1的圆，则t 的最小值为________．。

【创新设计】(人教通用)2015高考数学二轮复习专题整合 1-2 不等式及线性规划理(含最新原创

第2讲不等式及线性规划一、选择题1．(2014·某某综合测试)已知x ＞－1，则函数y ＝x ＋1x ＋1的最小值为( )． A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析 ∵x ＞－1，∴x ＋1＞0. ∴y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1， ≥2x ＋1·1x ＋1－1＝1，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时取等号．答案 C2．(2014·某某“江南十校”联考)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y的最小值是( )．A.53 B ．83 C ．8D ．24解析 ∵a ∥b ，∴3(y －1)＋2x ＝0，即2x ＋3y ＝3. ∵x ＞0，y ＞0，∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ·13(2x ＋3y ) ＝13⎝⎛⎭⎪⎫6＋6＋9y x ＋4x y ≥13(12＋2×6)＝8.当且仅当3y ＝2x 时取等号．答案 C3．(2014·某某卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5解析根据约束条件作出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z2.先画出直线y ＝－12x ，然后将直线y ＝－12x 进行平移．当直线过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x ＋y －2＝0得A (1,1)，故z 最小值＝1＋2×1＝3.答案 B4．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为( )． A ．1 B ．32 C ．2 D ．52解析 2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥2·2x －a ·2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，得a ≥32，即实数a 的最小值为32，故选B.答案 B5．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若对任意x ＞2，不等式(x －a )⊗x ≤a ＋2都成立，则实数a 的取值X 围是( )． A ．[－1,7] B ．(－∞，3]C ．(－∞，7]D ．(－∞，－1]∪[7，＋∞)解析由题意得(x －a )⊗x ＝(x －a )(1－x )，故不等式(x －a )⊗x ≤a ＋2可化为(x －a )(1－x )≤a ＋2，化简得x 2－(a ＋1)x ＋2a ＋2≥0.故原题等价于x 2－(a ＋1)x ＋2a ＋2≥0在(2，＋∞)上恒成立，由二次函数f (x )＝x 2－(a ＋1)x ＋2a ＋2的图象，知其对称轴为x ＝a ＋12，讨论得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12≤2，f 2≥0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12>2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12≥0，解得a ≤3或3<a ≤7，综上可得a ≤7.答案 C 二、填空题6．(2014·潍坊一模)已知a ＞b ＞0，ab ＝1，则a 2＋b 2a －b的最小值为________．解析 ∵a ＞b ＞0，ab ＝1，∴a 2＋b 2a －b ＝a －b 2＋2ab a －b ＝a －b 2＋2a －b ＝(a －b )＋2a －b≥2 2.当且仅当：a －b ＝2时取等号．答案 2 27．(2014·某某省实验中学)若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值是________．解析易知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的半径为2，圆心为(－1,2)，因为直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，所以直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)过圆心，把圆心坐标代入得：a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋ba＋a b ≥4，当且仅当b a ＝a b ，a ＋b ＝1，即a ＝b ＝12时等号成立．答案 48．已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋3＝xy ，且不等式(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则实数a 的取值X 围是________．解析要使(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则有(x ＋y )2＋1≥a (x ＋y )，即a ≤(x ＋y )＋1x ＋y恒成立．由x ＋y ＋3＝xy ，得x ＋y ＋3＝xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2－4(x ＋y )－12≥0，解得x ＋y ≥6或x ＋y ≤－2(舍去)．设t ＝x ＋y ，则t ≥6，(x ＋y )＋1x ＋y ＝t ＋1t .设f (t )＝t ＋1t ，则在t ≥6时，f (t )单调递增，所以f (t )＝t ＋1t的最小值为6＋16＝376，所以a ≤376，即实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，376. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，376三、解答题 9．已知函数f (x )＝2xx 2＋6. (1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3，或x >－2}，求k 的值； (2)对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值X 围．解 (1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0.由已知{x |x <－3，或x >－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2. 由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25.(2)因为x >0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤226＝66，当且仅当x ＝6时取等号．由已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立，故t ≥66，即t 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞. 10．如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米． (2)因为a >0，所以炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6. 所以当a 不超过6千米时，可击中目标．11．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )，对任意的x ∈R ，恒有f ′(x )≤f (x )．(1)证明：当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2；(2)若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式f (c )－f (b )≤M (c 2－b 2)恒成立，求M 的最小值．(1)证明易知f ′(x )＝2x ＋b .由题设，对任意的x ∈R ，2x ＋b ≤x 2＋bx ＋c ，即x 2＋(b －2)x ＋c －b ≥0恒成立，所以(b －2)2－4(c －b )≤0，从而c ≥b 24＋1，于是c ≥1，且c ≥2b 24×1＝|b |，因此2c －b ＝c ＋(c －b )＞0.故当x ≥0时，有(x ＋c )2－f (x )＝(2c －b )x ＋c (c －1)≥0.即当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2.(2)解由(1)知c ≥|b |.当c ＞|b |时，有M ≥f c －f b c 2－b 2＝c 2－b 2＋bc －b 2c 2－b 2＝c ＋2b b ＋c.令t ＝bc ，则－1＜t ＜1，c ＋2b b ＋c ＝2－11＋t. 而函数g (t )＝2－11＋t (－1＜t ＜1)的值域是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32.因此，当c ＞|b |时，M 的取值集合为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.当c ＝|b |时，由(1)知b ＝±2，c ＝2.此时f (c )－f (b )＝－8或0，c 2－b 2＝0，从而f (c )－f (b )≤32(c 2－b 2)恒成立．综上所述，M 的最小值为32.。

2015高考数学(新课标)大二轮复习配套课件：专题2 再谈数形结合的应用第6练

第十四页，编辑于星期五：十五点十二分。
题型三与函数定义域、值域综合考查
t 的最大值为 kCE＝4－2－1＝52，所以 t∈[1，52]. 又函数y＝lg x为(0，＋∞)上的增函数，
所以 lg t∈[0，lg 52]，
即
lg(y＋1)－lg x 的取值范围为[0，lg
5 2].
第十五页，编辑于星期五：十五点十二分。
答案 C
第二十一页，编辑于星期五：十五点十二分。
精题狂练
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
y≤x， 3.(2014·广东)若变量 x，y 满足约束条件x＋y≤1，且
y≥－1，
z＝2x＋y 的最大值和最小值分别为 m 和 n，则 m－n 等
于( )
A.5B.6C.7源自D.8第二十二页，编辑于星期五：十五点十二分。
y≤3x－2， x－2y＋1≤0， 2x＋y≤8，
则 lg(y＋1)－lg x 的
取值范围为( A.[0,1－2lg 2] C.[12，lg 2]
) B.[1，52]
D.[－lg 2,1－2lg 2]
破题切入点
先画出不等式组所确
定的可行域，将目标函
数化为lg y＋1 ，利用数
x
形结合的方法解t＝
y＋1
y≥x， 4.设 m>1，在约束条件y≤mx，
x＋y≤1
下，目标函数 z＝x＋
my 的最大值小于 2，则 m 的取值范围为( )
A.(1,1＋ 2)
B.(1＋ 2，＋∞)
C.(1,3)
D.(3，＋∞)
第二十五页，编辑于星期五：十五点十二分。
精题狂练
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2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：数列、不等式(含答案)

数列、不等式1．已知前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2).由S n 求a n 时，易忽略n ＝1的情况．[问题1] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________.2．等差数列的有关概念及性质（1）等差数列的判断方法：定义法a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)或a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)．（2）等差数列的通项：a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a m ＋(n －m )d . （3）等差数列的前n 项和：S n ＝n (a 1＋a n )2，S n ＝na 1＋n (n －1)2d .（4）等差数列的性质①当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 是关于n 的二次函数且常数项为0.②若公差d >0，则为递增等差数列；若公差d <0，则为递减等差数列；若公差d ＝0，则为常数列． ③当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ＋a n ＝2a p . ④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．[问题2] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝12，S 20＝17，则S 30为( ) A ．15 B ．20 C ．25 D ．30 3．等比数列的有关概念及性质（1）等比数列的判断方法：定义法a n ＋1a n ＝q (q 为常数)，其中q ≠0，a n ≠0或a n ＋1a n ＝a na n －1(n ≥2)．如一个等比数列{a n }共有2n ＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则a n ＋1＝56.（2）等比数列的通项：a n ＝a 1q n－1或a n ＝a m q n－m.（3）等比数列的前n 项和：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.易错警示：由于等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分q ＝1和q ≠1两种情形讨论求解．（4）等比中项：若a ，A ，b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项．值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±ab .如已知两个正数a ，b (a ≠b )的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为A >B . （5）等比数列的性质当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ·a n ＝a p ·a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ·a n ＝a 2p .[问题3] （1）在等比数列{a n }中，a 3＋a 8＝124，a 4a 7＝－512，公比q 是整数，则a 10＝________. （2）各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5·a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________.4．数列求和的方法（1）公式法：等差数列、等比数列求和公式；（2）分组求和法；（3）倒序相加法；（4）错位相减法；（5）裂项法；如：1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；1n (n ＋k )＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k .（6）并项法．数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．[问题4] 数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ，n ≥1)，若a 2＝1，S n 是{a n }的前n 项和，则S 21的值为________．5．在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示． [问题5] 不等式－3x 2＋5x －2>0的解集为________．6．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负．两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行．[问题6] 已知a ，b ，c ，d 为正实数，且c >d ，则“a >b ”是“ac >bd ”的________条件．7．基本不等式：a ＋b2≥ab (a ，b >0)（1）推广：a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ，b >0)．（2）用法：已知x ，y 都是正数，则①若积xy 是定值p ，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2p ； ②若和x ＋y 是定值s ，则当x ＝y 时，积xy 有最大值14s 2.易错警示：利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件．[问题7] 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则y ＝1a ＋4b 的最小值是________．8．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．[问题8] 设定点A (0,1)，动点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，则|P A |的最小值是________．易错点1 忽视对等比数列中公比的分类讨论致误例1 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则数列的公比q 是________．找准失分点当q ＝1时，符合要求．很多考生在做本题时都想当然地认为q ≠1.易错点2 忽视分类讨论或讨论不当致误例2 若等差数列{a n }的首项a 1＝21，公差d ＝－4，求：S k ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a k |. 找准失分点忽视了k ≤6的情况，只给出了k ≥7的情况．易错点3 忽视等比数列中的隐含条件致误例3 各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40＝________.找准失分点数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30的公比q 10>0.忽略了此隐含条件，就产生了增解－200.易错点4 忽视基本不等式中等号成立的条件致误例4 已知：a >0，b >0，a ＋b ＝1，求⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值．1．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7等于( ) A ．10 B ．18 C ．20 D ．282．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b 中，正确的不等式有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．已知，x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy 有( )A ．最小值eB ．最小值 eC ．最大值eD ．最大值 e4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．1∶35．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为( ) A ．195 B ．197 C ．392 D ．3966．已知点A (m ，n )在直线x ＋2y －1＝0上，则2m ＋4n 的最小值为________．7．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是________．8．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2y ≤2x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(4－a 2)x ＋4(x ≤6)，a x －5(x >6)(a >0，a ≠1)．数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是单调递增数列，则实数a 的取值范围是________．10．已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足8S n ＝a 2n ＋4a n ＋3，且a 2是a 1和a 7的等比中项．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）符号[x ]表示不超过实数x 的最大整数，记b n ＝[log 2(a n ＋34)]，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n .1．⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝12n －1， n ≥22．A 3．(1)512 (2)10 4．925．⎝⎛⎭⎫23，1 6．充分不必要 7．9 8．221．1或－1 2．S k ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2k 2＋23k (k ≤6)2k 2－23k ＋132 (k ≥7)3．150 4．252CBAAC 6．22 7．4 8．4 9．(4,8) 10．解 (1)由8S n ＝a 2n ＋4a n ＋3，① 知8S n －1＝a 2n －1＋4a n －1＋3(n ≥2，n ∈N )．② 由①－②得8a n ＝(a n －a n －1)(a n ＋a n －1)＋4a n －4a n －1，整理得(a n －a n －1－4)(a n ＋a n －1)＝0(n ≥2，n ∈N )． ∵{a n }为正项数列， ∴a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝4(n ≥2，n ∈N )．∴{a n }为公差为4的等差数列，由8a 1＝a 21＋4a 1＋3，得a 1＝3或a 1＝1. 当a 1＝3时，a 2＝7，a 7＝27，不满足a 2是a 1和a 7的等比中项．当a 1＝1时，a 2＝5，a 7＝25，满足a 2是a 1和a 7的等比中项． ∴a n ＝1＋(n －1)4＝4n －3.(2)由a n ＝4n －3得b n ＝[log 2(a n ＋34)]＝[log 2n ]，由符号[x ]表示不超过实数x 的最大整数知，当2m ≤n <2m＋1时，[log 2n ]＝m ，所以令S ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝[log 21]＋[log 22]＋[log 23]＋…＋[log 22n ] ＝0＋1＋1＋2＋…＋3＋…＋4＋…＋n －1＋…＋n . ∴S ＝1×21＋2×22＋3×23＋4×24＋(n －1)×2n －1＋n ，①2S ＝1×22＋2×23＋3×24＋4×25＋(n －1)×2n ＋2n .② ①－②得－S ＝2＋22＋23＋24＋…＋2n －1－(n －1)2n －n＝2(1－2n －1)1－2－(n －1)2n －n ＝(2－n )2n －n －2，∴S ＝(n －2)2n ＋n ＋2，即b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝(n －2)2n ＋n ＋2.。

高考数学二轮复习专题一第2讲不等式及线性规划

第2讲不等式及线性规划一、选择题1.(2015·天津卷)设x ∈R ，则“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由|x －2|＜1得1＜x ＜3，由x 2＋x －2＞0，得x ＜－2或x ＞1，而1＜x ＜3x ＜－2或x ＞1，而x ＜－2或x ＞11＜x ＜3，所以，“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的充分而不必要条件，选A. 答案 A2.(2015·临汾模拟)若点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，则mn 的最大值是( )A.3B.4C.7D.12解析因为点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，所以m ，n ∈R ＋，且m 3＋n4＝1，所以m 3·n4≤(m 3＋n42)2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当m 3＝n 4＝12，即m ＝32，n ＝2时，取“＝”，所以m 3·n 4≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，即mn ≤3，所以mn 的最大值为3.答案 A3.(2015·广东卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )A.315B.6C.235D.4解析不等式组所表示的可行域如下图所示，由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z 2，依题意当目标函数直线l ：y ＝－32x ＋z 2经过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，45时，z取得最小值，即z min ＝3×1＋2×45＝235，故选C.答案 C4.已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为( ) A.1B.2C.3D.4解析 ∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋2y ≥22xy (当且仅当x ＝2y 时取等号). 又由x ＋22xy ≤λ(x ＋y )可得λ≥x ＋22xyx ＋y，而x ＋22xy x ＋y ≤x ＋（x ＋2y ）x ＋y＝2，∴当且仅当x ＝2y 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22xy x ＋y max＝2.∴λ的最小值为2. 答案 B5.(2015·衡水中学期末)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，ax －y ≥0，x ≤1表示的平面区域为D ，若区域D 内至少有一个点在函数y ＝e x的图象上，那么实数a 的取值范围为( ) A.[e ，4) B.[e ，＋∞) C.[1，3)D.[2，＋∞)解析如图：点(1，e)满足ax －y ≥0，即a ≥e.答案 B二、填空题6.(2015·福建卷改编)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于________.解析如图，可行域为阴影部分，线性目标函数z ＝2x －y 可化为y ＝2x －z ，由图形可知当y ＝2x －z 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12时z 最小，z min ＝2×(－1)－12＝－52.答案－527.(2015·浙江卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________.解析 f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号， ∴f (x )的最小值为22－3. 答案 0 22－38.(2015·南昌模拟)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________.解析由已知，得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，令x ＋3y ＝t ，则t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6或t ≤－18(舍)，即x ＋3y ≥6. 答案 6 三、解答题 9.已知函数f (x )＝2xx 2＋6. (1)若f (x )＞k 的解集为{x |x ＜－3，或x ＞－2}，求k 的值； (2)对任意x ＞0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围. 解 (1)f (x )＞k kx 2－2x ＋6k ＜0.由已知{x |x ＜－3，或x ＞－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2.由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25.(2)因为x ＞0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤226＝66，当且仅当x ＝6时取等号. 由已知f (x )≤t 对任意x ＞0恒成立，故t ≥66，即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞. 10.如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由. 解 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号. 所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋a ≤6.所以当a 不超过6千米时，可击中目标.11.已知函数f (x )＝13ax 3－bx 2＋(2－b )x ＋1在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，且0＜x 1＜1＜x 2＜2. (1)证明：a ＞0；(2)若z ＝a ＋2b ，求z 的取值范围. (1)证明求函数f (x )的导数f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b .由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，知x 1、x 2是f ′(x )＝0的两个根，所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2).当x ＜x 1时，f (x )为增函数，f ′(x )＞0，由x －x 1＜0，x －x 2＜0得a ＞0.(2)解在题设下，0＜x 1＜1＜x 2＜2等价于⎩⎪⎨⎪⎧f ′（0）＞0，f ′（1）＜0，f ′（2）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＞0，a －2b ＋2－b ＜0，4a －4b ＋2－b ＞0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＞0，a －3b ＋2＜0，4a －5b ＋2＞0.此不等式组表示的区域为平面aOb 上的三条直线：2－b ＝0，a －3b ＋2＝0，4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部，其三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫47，67，B (2，2)，C (4，2).z 在这三点的值依次为167，6，8.所以z 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫167，8.。

2015高考数学(新课标)大二轮复习配套课件：专题2 再谈数形结合的应用第4练

D.(0,3)
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解析设t＝f(x)，则方程为t2－at＝0，解得t＝0或t＝a，
即f(x)＝0或f(x)＝a.
如图，作出函数f(x)的图象，
由函数图象，可知f(x)＝0的解有两个，
故要使方程f2(x)－af(x)＝0恰有5个不同的解，
例 1 设定义域为 R 的函数 f(x)＝破题切入点
|lg x|，x>0，－x2－2x，x≤0，
则关于 x 的函数
将函数的零点问题转化为对应方程根的问题.
y＝2f2(x)－3f(x)＋1 的零点的个数为
________.
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题型一函数与方程的转化
解析
由y＝2f2(x)－3f(x)＋1＝0得f(x)＝
答案 A
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1 2 3 4 5x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2.若f(x1) ＝x1<x2，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根的个数为( )
A.3
B.4 C.5 D.6
f－21af1≤0，－1<－21a<1， f－1·f1>0，
解得
5 a>2.
综上，实数 a 的取值范围为12，＋∞. 答案 12，＋∞
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10.已知定义在R上的单调递增奇函数f(x)，若当0≤θ≤ 时π2 ， f(cos2θ＋2msin θ)＋f(－2m－2)<0恒成立，则实数m的取值范围