振动力学第五章 ppt课件

k
X
1
X
T 1
mX
1
1 0.445 k / m
14k 0.2k / m 1 0.447 k / m
70m
2.取直线
mk 3
1
X 1 2
3
12 0.214k / m 1 0.463 k / m
m m
k k
2 1
3.取常数
1
mg
y3
X 1 1 12 0.333k / m mg
y2
1 1 0.577 k / m mg
解:
m
m
Hale Waihona Puke Baidu
m
m
2 1 0
k 1 2 1 k
0 1 1
mk 3
m
2
k
m
1
k
1.取自重引起的位移
y13mg /k
mg
y3
y 2 y 1 2 m /k g 5 m /k g
mg
y2
y 3y 1 m/k g 6 m/k g
mg
y1
3
X 1 5
6
精确解:
12 0.198k / m
12
X
T 1
第五章 自振频率和振型的实用计算
第一节 能量法求自振频率
一，瑞利能量法 根据能量守恒，在任何瞬时（忽略能量散失）
T(t)V(t)常数
设图示系统中任一质点的运动方程为
y(x,t) (x)si n t ()
振动速度
v y ( x ,t ) ( x )co t )s(
(式y ( 中 x ,t)表 y ， (x ,t 示 )对t求 时偏 ) 间导
将运动方程代入得
V 1 2si2(n t )0 lE(xI)(x,t)2dx
当 sint()1时，应变能最大，即
Vmax1 20lE(Ix)(x,t)2dx
使 TmaxVmax ，即可得到
l EI(x)(x)2dx
2 0 l m(x)2(x)dx 0
瑞利商
用外力做功的数值代替系统应变能的数值 图（b）系统上外力所做的总功为
T1 2
l m(x)v2dx1
0
2
n i1
mivi2
式中vi为各集中质体的度 振。 动速 将振动速度代入得
T 12 cos2(t ) l m(x)2(x)dx
2
0
1 2
2
cos2
(t
)
n i1
mi
(i
)2
当cost ()1时，动能达最大值
Tma x1 22 0lm(x)2(x)dx1 22i n1mi(i)2
系统的动能
T1 lm(x)v2dx
20
将振动速度代入得
T12co 2( st)lm (x)2(x)dx
2
0
动能的最大值发生在 cost ()1 时刻，即
Tm ax 1 22
lm(x)2(x)dx
0
若只考虑弯曲变形的影响，系统的应变能为
V
1 2
l
2
E(Ix)y(x,t)dx
0
(式中y， (x,t)表示 y(x,t)对坐x求 标二阶偏导数）
Wmax
1 2
h
m(x)g (x)dx
0
1 2 h2
2 Eb12
根据Tm
axWm
得到
ax
1.58h1b2
E（ g 比精确3.0解 ％ 6 大 ）
y
例：等截面悬臂梁
端部有一集中质量 m 2Sl 0
x
m
用瑞利法估计基频
l
解：
选择等截面悬臂梁在均布载荷下的静挠度曲线作为试函数：
(x) A1(x4 4lx3 6l 2x2 )
W 1 20 lm (x)gy(x,t)d x1 2i n 1F iy(xi,t)
将运动方程代入上式得
y(x,t)为静荷载（自 重、F等）引起的位 移，如自重等
W 1 2 sitn )( 0 lm (x )g (x )d 1 x 2 sitn )i ( n 1F ii
式中g， :重力加速度
Wmax12 0lmgym51l46(x42lx3l3x)dx
0.32m0glm y24.6El3Iym 2
式中y， m
5mgl4 384EI
因为 TmaxWmax,可以解得
9.8 EI
l2 m
此值与精确解相比较，偏大约2％
例：计算重力坝沿水流方向 的自振频率时，可以取沿坝 轴线方向单位长度的坝体近 似地简化为图（a）所示的变 截面悬臂梁。试用瑞利法计 算其自振频率。
的挠曲线。分别计算自振频率，并将
所得结果进行比较。
解：（1）振型为(x)ymsinlx
T ma xm 220 l ymsiln x 2d xm 42ym 2l
从而得
V ma xE 20 Il yml2 2siln x 2d x4 E l3I4ym 2
2
EI 4l3
4
ym2
m 4
ym2
l
EI m
4
l4
自振频率
2 EI
l2 m
精确解
（2）取振型为梁在自重荷载上的挠曲线。图（c）所示为匀布 自重荷载作用下简支梁的静力挠曲线，即
(x)
ym
16 5l4
(x4
2lx3
l3x)
最大动能
Tmax
m2
2
l 0
ym
16 (x4 5l4
2lx3
l3x)2dx
0.252ml2 ym2
外力做功的最大值
解：选变截面悬臂梁在其自重作用下所引起的挠曲线作为
近似振型，如图（b）所示，即
(x)
y(x)
h2
Eb2
x2
式中， 为坝身材料单位重 体量 积。 的
从图（b）可以看出其分布质量为
m(x) b(hx)
hg 最大动能和外力功的最大值为
Tmax
1 2
2
h m(x) 2 (x)dx
0
1 2 3 h9
2 E2b3g 30
y1
3
X 1 5
6
12
X
T 1
k
X
1
X
T 1
mX
1
精确解:
12 0.198k / m 1 0.445 k / m
1 1.1908
EI
Sl 4
选择端部集中质量作用下的静挠度曲线作为试函数：
(x) A2 (3lx2 x3)
1 1.1584
EI
Sl 4
因集中质量大于梁的分布质量，选用后一种试函数好
Vmax
1 2
l EI2(x)dxT
0
*
1 2
l 0
S
2
(
x)dx
m
2
(
xa
)
R(
)
Vmax T*
14
例.用能量法计算图示体系的基频.
Fi :集中质 mi得 量重力荷Fi＝ 载mi（ g）
i :集中质量作用点振幅
当 sint()1时，应变能达到最大值，此时外
力所作的功亦为最大值，
W1 20lm (x)g(x)d x1 2i n1Fii
这时系统的动能除了分布质量m(x)的动能外，还应
包括各集中质量m i(i1,2, ,n) 的动能，即
由TmaxMmax 得到
l
n
2
m(x)g(x)dx
0
Fii
i1
l m(x)2(x)dx
0
n
mi (i )2
i1
例：如图（a） 所示均质等截面简支
梁。单位梁长的质量为 m ，其抗弯 刚所挠度示度E）(Ix和为)图常ym （数sc。in）l若x（所y振示m 为型梁梁分在中别自点为重的图作最（用大b下）