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振动力学第三章_ppt课件
位移向量：
2018/11/16 《振动力学》
x1 { x} x2
激励向量：
F1 {F } F2
10
3.1 两自由度系统的运动微分方程
振动方程：
m x ( cc ) xc x ( kk ) xk x F 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 m xc x ( c ) x k x ( k k ) x F 2 2 2 1 2 c 3 2 2 1 2 3 2 2
c u u f (t) 1 d 2 f (t) u 2
16
3.2 无阻尼系统的自由振动
令
c u u a u1 b u 2 2 1 d 2 u u1 2
2 f() t f() t 0
则有 其解为： 由第一式：
ft ( ) C c o s ( t )
振动方程两个同步解为：
( 1 ) ( 1 ) x () t u o s ( t ) 1 1C 1c 1 1 (1 ) ( 1 ) x () t u C o s ( t ) 2 1 r 1 1c 1 1
( 2 ) ( 2 ) x () t u o s ( t ) 1 1 C 2c 2 2 (2 ) ( 2 ) x () t u o s ( t ) 2 1 rC 2 2c 2 2
( 2 ) 2 u a c 2 2 r 2 ( 2 ) 2 u b d 1 2
2018/11/16 《振动力学》
18
3.2 无阻尼系统的自由振动
由上述分析可知： 1.系统的固有频率仅与系统的物理有关。 2.系统按任一固有频率做同步运动时，m 1 和m 2 振具有确定比值的一对常数u 1( 1 ) 、u 2( 1 ) 或 u 1 、 的振动形态，称之为固有振型。 向量形式：
2018/11/16 《振动力学》
x1 { x} x2
激励向量：
F1 {F } F2
10
3.1 两自由度系统的运动微分方程
振动方程：
m x ( cc ) xc x ( kk ) xk x F 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 m xc x ( c ) x k x ( k k ) x F 2 2 2 1 2 c 3 2 2 1 2 3 2 2
c u u f (t) 1 d 2 f (t) u 2
16
3.2 无阻尼系统的自由振动
令
c u u a u1 b u 2 2 1 d 2 u u1 2
2 f() t f() t 0
则有 其解为： 由第一式：
ft ( ) C c o s ( t )
振动方程两个同步解为：
( 1 ) ( 1 ) x () t u o s ( t ) 1 1C 1c 1 1 (1 ) ( 1 ) x () t u C o s ( t ) 2 1 r 1 1c 1 1
( 2 ) ( 2 ) x () t u o s ( t ) 1 1 C 2c 2 2 (2 ) ( 2 ) x () t u o s ( t ) 2 1 rC 2 2c 2 2
( 2 ) 2 u a c 2 2 r 2 ( 2 ) 2 u b d 1 2
2018/11/16 《振动力学》
18
3.2 无阻尼系统的自由振动
由上述分析可知： 1.系统的固有频率仅与系统的物理有关。 2.系统按任一固有频率做同步运动时，m 1 和m 2 振具有确定比值的一对常数u 1( 1 ) 、u 2( 1 ) 或 u 1 、 的振动形态，称之为固有振型。 向量形式：
《振动力学基础》课件
非耦合振动
各自由度之间相互独立，可分别进行分析。
固有频率和主振型
多自由度系统具有多个固有频率和相应的主振型 。
连续系统的振动
分布参数系统
描述长弦、长杆等连续介质的振动，需要考虑空间位 置的变化。
集中参数系统
将连续介质离散化，用弹簧、质量等元件模拟，适用 于简单模型。
波的传播
连续系统中振动能量的传播形式，如声波、地震波等 。
线性振动和非线性振动
线性振动
满足叠加原理，各激励之间互不影响，系统响应与激励成正比。
非线性振动
不满足叠加原理，激励之间存在相互作用，系统响应与激励不成正 比。
周期性振动和非周期性振动
根据振动是否具有周期性进行分类。
CHAPTER 03
振动分析方法
频域分析法
01
频域分析法是一种通过将时间域的振动问题转换为频率域的振动问题 ，从而利用频率特性来分析振动的方法。
CHAPTER 02
振动的基本原理
单自由度系统的振动
自由振动
无外力作用下的振动，系统具有固有频率和固有振型。
强迫振动
在外力作用下产生的振动，其频率与外力频率相同或相近。
阻尼振动
由于系统内部摩擦或外部阻尼作用导致的振动，能量逐渐耗散。
多自由度系统的振动
耦合振动
多个自由度之间相互影响，振动频率和振型较为 复杂。
汽车悬挂系统和路面激励会导致车内振动，影响乘客舒适性。
船舶与海洋工程
船舶和海洋结构的振动会影响其性能和安全性，需要进行有效的振 动控制。
建筑领域
结构健康监测
对建筑物和桥梁等大型结构进行振动监测，可以评估其健康状况和 安全性。
地震工程
地震引起的振动对建筑结构的影响非常大，需要进行抗震设计和分 析。
各自由度之间相互独立，可分别进行分析。
固有频率和主振型
多自由度系统具有多个固有频率和相应的主振型 。
连续系统的振动
分布参数系统
描述长弦、长杆等连续介质的振动，需要考虑空间位 置的变化。
集中参数系统
将连续介质离散化，用弹簧、质量等元件模拟，适用 于简单模型。
波的传播
连续系统中振动能量的传播形式，如声波、地震波等 。
线性振动和非线性振动
线性振动
满足叠加原理，各激励之间互不影响，系统响应与激励成正比。
非线性振动
不满足叠加原理，激励之间存在相互作用，系统响应与激励不成正 比。
周期性振动和非周期性振动
根据振动是否具有周期性进行分类。
CHAPTER 03
振动分析方法
频域分析法
01
频域分析法是一种通过将时间域的振动问题转换为频率域的振动问题 ，从而利用频率特性来分析振动的方法。
CHAPTER 02
振动的基本原理
单自由度系统的振动
自由振动
无外力作用下的振动，系统具有固有频率和固有振型。
强迫振动
在外力作用下产生的振动，其频率与外力频率相同或相近。
阻尼振动
由于系统内部摩擦或外部阻尼作用导致的振动，能量逐渐耗散。
多自由度系统的振动
耦合振动
多个自由度之间相互影响，振动频率和振型较为 复杂。
汽车悬挂系统和路面激励会导致车内振动，影响乘客舒适性。
船舶与海洋工程
船舶和海洋结构的振动会影响其性能和安全性，需要进行有效的振 动控制。
建筑领域
结构健康监测
对建筑物和桥梁等大型结构进行振动监测，可以评估其健康状况和 安全性。
地震工程
地震引起的振动对建筑结构的影响非常大，需要进行抗震设计和分 析。
(优质)大学物理(振动学)PPT课件
)
速度 振幅
m
A
加速度 振幅
a m
2 A
5
三条特征
简 谐
F kx
简简
振
谐谐
动
振
的 普 遍
(
d2 dt
x
2
2
x
0
)
动 三 条
振 动 的 定
定
判义
义
据式
式 x Acos(t )
6
二点说明
(1）特征方程成立的条件: 坐标原点取在平衡位置 （2）证明一种振动是简谐振动的一般步骤
a）确定研究对象，找平衡位置 b）建立以平衡位置为原点的坐标系 c）进行受力分析
d）利用牛顿定律或转动定律写出物体在任一位置 的动力学方程
e）根据判据判断该振动是否为简谐振动
7
二 描述简谐振动的物理量 x Acos(t )
1、振幅：表示物体离开平衡位置的最大距离——A
2 周期 频率 圆频率 回到原来的运动状态 r,,a T :完成一次全振动所用时间 x( t T ) x( t )
（优质）大学物理(振动学)PPT 课件
1
弹簧振子的振动
l0 k
A
x0 F 0
m
x
o
A
2
7.1 简谐振动的描述
一、简谐振动的特征方程
弹
k km F m
簧
振
子
ox
物体所受合外 力为零的位置
平衡位置
k
x
x 0o x
m F
m
1 回复力 F kx
x
竖 直
F
mg
k(x
x 0
)
kx
斜放
3
《振动》学习课件
旋转矢量转动过程所用的时间：
t 5s 6
x=0.12cos( t )m
3
2
3
A o
x
2
这就是谐振动质点从x=-0.06m, 且向x轴负方向运动时刻回
到平衡位置所需的最短时间。
18
例5: 质点作谐振动, t=0时向右通过A点，经2s第一次通过B
点，再经2s质点第二次通过B点，A=B，AB=10cm，求振动
x0 2m, υ0 2 2m / s, 求振动方程。
解：
2 2,
T
A
x02
2 0
2
2,
arctan( 0 ) arctan(1) x0
且 x0<0, 0<0
显然 在第2象限 + 3
4
4
代入：x =Acos( t+ ) x 2cos(2t 3 )m
4
8
2. 旋转矢量法(几何表示法)
x0 =Acos v0 = - Asin
6
x0 =Acos v0 = - Asin
于是可求得：
A
x02
2 0
2
arctan( 0 ) x0
Ⅱ
x0<0, 0<0
x0<0,0>0
Ⅲ
注意！
Ⅰ
x0>0, 0< 0
x0>0, 0>0
Ⅳ
学会根据x0和0的正负正确判断 所在象限，如图期T=s, t=0时，
位置：x =Acos( t+ ) 速度： Asin(t )
• ( t+ )=0, x=A,=0 ——正最大 • ( t+ )=+/2, x=0, < 0 ——平衡位置 • ( t+ )= , x= -A, =0 ——负最大 • ( t+ )= 3/2, x=0, > 0 ——平衡位置 • ( t+ )=2 , x=A, =0 ——正最大
t 5s 6
x=0.12cos( t )m
3
2
3
A o
x
2
这就是谐振动质点从x=-0.06m, 且向x轴负方向运动时刻回
到平衡位置所需的最短时间。
18
例5: 质点作谐振动, t=0时向右通过A点，经2s第一次通过B
点，再经2s质点第二次通过B点，A=B，AB=10cm，求振动
x0 2m, υ0 2 2m / s, 求振动方程。
解：
2 2,
T
A
x02
2 0
2
2,
arctan( 0 ) arctan(1) x0
且 x0<0, 0<0
显然 在第2象限 + 3
4
4
代入：x =Acos( t+ ) x 2cos(2t 3 )m
4
8
2. 旋转矢量法(几何表示法)
x0 =Acos v0 = - Asin
6
x0 =Acos v0 = - Asin
于是可求得：
A
x02
2 0
2
arctan( 0 ) x0
Ⅱ
x0<0, 0<0
x0<0,0>0
Ⅲ
注意！
Ⅰ
x0>0, 0< 0
x0>0, 0>0
Ⅳ
学会根据x0和0的正负正确判断 所在象限，如图期T=s, t=0时，
位置：x =Acos( t+ ) 速度： Asin(t )
• ( t+ )=0, x=A,=0 ——正最大 • ( t+ )=+/2, x=0, < 0 ——平衡位置 • ( t+ )= , x= -A, =0 ——负最大 • ( t+ )= 3/2, x=0, > 0 ——平衡位置 • ( t+ )=2 , x=A, =0 ——正最大
振动力学教程PPT课件
动的叠加-----------谐波分析
•
2、非周期：利用傅立叶积分作谐波分析
• δ函数又称为单位脉冲函数-----它的性质、应用
示成一系列简谐振
第22页/共35页
第一节：简谐振动及其表示方法
•一、简谐振动的表示方法
• （一）正弦函数表示
2、A、ω、Φ ------简谐振动三要素
第23页/共35页
第24页/共35页
船舶的模态分析和强度分析，飞行器的结构振动和声疲劳分析等。
3） 在土木建筑、地质工程中：建筑、桥梁等结构物的模态分析，地震
引起结构物的动态响应，爆破技术的研究等。
4） 在医学、生物工程中：脑电波、心电波、脉搏波动等的信号处理等。
第12页/共35页
2途径：
1）从具体的工程对象提炼出力学模型 2）建立数学模型------应用力学知识建立所研究问题的数学模型 3）对数学模型进行分析和计算，求出请确、近似或数值解。 4） 比较------将计算结果与工程问题的实际现象或实验研究的测试结果进行 比较，考察理论结果是否解决该工程问题，如不能解决而数学模型及求解均无错 误，则需要修改力学模型重复上述过程。
第9页/共35页
5 随机振动
20世纪50年代，航空和航天工程的发展对振动力学提出了更高 的要求，确定性的力学模型无法处理包含随机因素的工程问题----如大气湍流引起的飞机颤振、喷气噪音导致飞行器表面结构 的声疲劳、火箭运载工具有效负荷的可靠性等。工程的需要迫使 人们用概率统计的方法研究承受非确定性载荷的机械系统和结构 的响应、稳定性和可靠性等， 从而 形成了随机振动这一振动力 学的重要组成部分。 在工程问题中振动信号的采集和处理是随机振动理论应用的前提， 由于计算机的迅速发展和快速第1傅0页/立共35叶页 变换算法的出现，随机振动
振动力学课件
振动的基本理论
F(t)
f0
已知周期函数如图1-6所示 所示， 例1-1 已知周期函数如图 所示， 试对其作谐波分析 解： 0<t <π f
F (t ) = − f0
0
−2π
−π
π
2π
t
π < t < 2π
a0 =
an =
bn =
1
π
1
∫
0
2π
−f0
0
F (t ) dt = 0
图1-6 周期性矩形波 πbn
τ τ
2 2
试求图1-8所示的单个矩形脉冲的频谱图 例 1-2 试求图 所示的单个矩形脉冲的频谱图 τ 解： 0 − ∞ < t < −
− < t <
τ
2
2
E
τ
2
−
τ
2
t
< t < +∞
G (ω ) =
∫
τ
2
−τ 2
Ee − jω t dt =
+∞ −∞
2E
ω
sin
ωτ
2
jω t
图1-8 矩形脉冲示意图
An
ϕn
A1 A2
A3
ϕ1
ϕ2
ϕ3
ω1 2ω 1 3ω 1
nω1
ω 1 2 ω 1 3ω 1
nω 1
相位频谱图 幅值频谱图 频谱分析：利用频谱说明组成函数的简谐成分,反映该周期函 频谱分析：利用频谱说明组成函数的简谐成分 反映该周期函 数的特性方法。 数的特性方法。
10 太原科技大学应用科学学院
第一章
t 0
∞ − st 0
《振动力学结构力学》课件
静力学基础
静力学基本概念：力的平衡、力矩平衡、力系平衡等 静力学基本原理：牛顿三大定律、胡克定律等 静力学基本方法：力法、位移法、能量法等 静力学基本应用：结构分析、结构设计等
弹性力学基础
弹性力学的定义：研究弹性体在外力作用下的变形和应力分布的学科 弹性力学的基本假设：连续性假设、小变形假设、均匀性假设、各向同性假设 弹性力学的基本方程：胡克定律、泊松比定律、弹性模量定律 弹性力学的应用：结构设计、地震工程、航空航天等领域
相位：振动 的起始位置
振型：振动 的形态和形 状
阻尼：振动 的衰减程度
共振：振动 的放大效应
振动系统的基本组成
阻尼：阻碍振动的力，影响 振动的衰减和能量损失
弹簧：连接物体和支撑物的 弹性元件，影响振动的频率 和振幅
质量：物体本身的质量，影 响振动的频率和振幅
支撑物：支撑物体的物体， 影响振动的频率和振幅
振添加动副力标学题 结构力学 PPT课件
汇报人：
目录
PART One
振动力学概述
PART Two
结构力学基本概念
PART Three
振动力学中的基本 理论
PART Five
振动力学与结构力 学的应用
PART Four
结构力学中的基本 理论
PART Six
案例分析
振动力学概述
振动的定义和分类
振动：物体 在平衡位置 附近做往复 运动
振动分类： 自由振动物体在平衡 位置附近做 往复运动， 没有外力作 用
受迫振动： 物体在平衡 位置附近做 往复运动， 受到外力作 用
自激振动： 物体在平衡 位置附近做 往复运动， 没有外力作 用，但受到 自身振动的 影响
振动的物理量描述
《振动力学结构力学》课件
2
来分析振动系统。
介绍如何使用强度准则等方法来计算
阻尼比，并将其应用在结构设计中。
3
振动测试技术
讨论了如何通过测试和测量来评估和 优化结构阻尼，以及如何使用主动振 动控制。
地震响应分析
地震的概念
解释了地震是如何发生的，以 及为什么结构必须考虑地震响 应。
地震波的类型
结构抗震
探索了地震波的前、横、纵波， 以及它们对结构的影响。
描述了如何通过结构修改来提 高结构的抗震能力。
稳定性分析和控制方法
1 平衡状态和稳定性
介绍了结构的平衡状态和稳定边界，以及如何使用状态空间法和增益调节来分析和控制。
2 非线性稳定性
讨论了非线性系统的稳定性和卡亚平面，并介绍了极限环的概念。
3 动态响应
演示了如何用MATLAB分析系统的稳态和动态响应，以及如何应用控制策略来改进系统响 应。
讨论了当系统的响应超出其线性范围 时会发生什么，以及如何预测和控制
这种行为。
单自由度振动系统
自由振动
描述了如何使用拉格朗日 方程来建模自由振动，并 演示了振子的周期性运动。
强制振动
讨论了当外力施加在简谐 振动系统上时何时会出现 共振现象，并介绍了振动 吸收器的作用。
阻尼振动
深入探讨了系统响应的逐 渐减弱，并讨论了如何使 用对数减速图来分析振动 系统。
振动力学结构力学
本课程通过多种方式介绍了结构力学和振动学的基本知识，以及如何应用这 些知识来分析和控制结构振动。
振动基础知识
1
简介
解释了为什么振动是如此重要以及振
基础概念
2
动分析所需的数学知识。
探索了相位、频率、振幅等基本术语
梁的弯曲振动-振动力学课件
(x) 由边界条件确定。
常见的约束状况与边界条件
1. 固定端条件（位移边界） 挠度和转角等于零
y(x,t) 0 y '(x,t) 0
(x) 0
'(x) 0 x 0，l
2. 简支端（铰支）（位移、力混界）
挠度和弯矩等于零
y(x,t) 0 M (x,t) 0
(x) 0
EIy"(x) 0
伯努利－欧拉梁（Bernoulli-Euler Beam）
y x,t 距原点 x处的截面在 t 时刻的横向位移
微段受力分析
FS , M 截面上的剪力和弯矩
l
(
x)
2 t
y
2
微段的惯性力
f x,t 微段所受的外力
l
(
x)
2 t
y
2
动力平衡关系由达朗贝尔原理得
l (x)
2 y t 2
dx
Fs
解：固定端：(0) 0 '(0) 0
自由端： 弯矩为零，剪力与质量惯性力平衡
EI "(l) 0 EIl m02 l
利用相同的方法，得频率方程：
cos lchl 1 l sin lcoshl cos l sinh l
其中： m0 为集中质量与梁质量之比
m m Sl 为梁质量
说明：
以上分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响， 因此以上有关梁的分析只适用于细长梁（梁的长度大于梁 高度5倍以上） 若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响
Fs
Fs x
dx
f
( x, t )dx
l
(
x)
2 t
y
2
Fs x
f (x,t)
常见的约束状况与边界条件
1. 固定端条件（位移边界） 挠度和转角等于零
y(x,t) 0 y '(x,t) 0
(x) 0
'(x) 0 x 0，l
2. 简支端（铰支）（位移、力混界）
挠度和弯矩等于零
y(x,t) 0 M (x,t) 0
(x) 0
EIy"(x) 0
伯努利－欧拉梁（Bernoulli-Euler Beam）
y x,t 距原点 x处的截面在 t 时刻的横向位移
微段受力分析
FS , M 截面上的剪力和弯矩
l
(
x)
2 t
y
2
微段的惯性力
f x,t 微段所受的外力
l
(
x)
2 t
y
2
动力平衡关系由达朗贝尔原理得
l (x)
2 y t 2
dx
Fs
解：固定端：(0) 0 '(0) 0
自由端： 弯矩为零，剪力与质量惯性力平衡
EI "(l) 0 EIl m02 l
利用相同的方法，得频率方程：
cos lchl 1 l sin lcoshl cos l sinh l
其中： m0 为集中质量与梁质量之比
m m Sl 为梁质量
说明：
以上分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响， 因此以上有关梁的分析只适用于细长梁（梁的长度大于梁 高度5倍以上） 若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响
Fs
Fs x
dx
f
( x, t )dx
l
(
x)
2 t
y
2
Fs x
f (x,t)
振动力学第五章课件-PPT
力所作的功亦为最大值，
W1 20lm (x)g(x)d x1 2i n1Fii
这时系统的动能除了分布质量m(x)的动能外，还应
包括各集中质量mi(i1,2, ,n) 的动能，即
T1
2
l m(x)v2dx1 n
0
2 i1
mivi2
式中vi为各集中质体的度 振。 动速 将振动速度代入得
T 12 cos2(t ) l m(x)2(x)dx
6
12
X
T 1
k
X
1
X
T 1
mX
1
精确解:
12 0.198k / m 1 0.445 k / m
14k 0.2k / m 1 0.447 k / m
70m
二，李兹能量法
李兹给出了级数形式的近似振型 (x)1f1(x)2 f2(x)n fn(x)
n
i fi(x) i1
其中， f1(x)，f2(x)， ，fn(x)为满足位移边界函 条数 件的
2 x 4EI 将
代入，算得
l
C EI (3 2)dx 梁求中得部 的有一集中质就量是M所a研，究大的小系等统于前梁n的个质自2量振2频率和振型0
l l l 于其中的每一个根 都可求得一组常数
，因
2 3
图（b）系统上外力所做的总功为
x ml 由 得到
l
4
D m (1 ) dx 所示
（ 为梁中点的最大 11
i1
D ij i j
(
D ij i j)2
0
i1 j1
i1 j1
(i1, 2,n , )
简化上式并将 2 代入得 n (C ij2D i)j j0 j1
( i1, 2,n, )
W1 20lm (x)g(x)d x1 2i n1Fii
这时系统的动能除了分布质量m(x)的动能外，还应
包括各集中质量mi(i1,2, ,n) 的动能，即
T1
2
l m(x)v2dx1 n
0
2 i1
mivi2
式中vi为各集中质体的度 振。 动速 将振动速度代入得
T 12 cos2(t ) l m(x)2(x)dx
6
12
X
T 1
k
X
1
X
T 1
mX
1
精确解:
12 0.198k / m 1 0.445 k / m
14k 0.2k / m 1 0.447 k / m
70m
二，李兹能量法
李兹给出了级数形式的近似振型 (x)1f1(x)2 f2(x)n fn(x)
n
i fi(x) i1
其中， f1(x)，f2(x)， ，fn(x)为满足位移边界函 条数 件的
2 x 4EI 将
代入，算得
l
C EI (3 2)dx 梁求中得部 的有一集中质就量是M所a研，究大的小系等统于前梁n的个质自2量振2频率和振型0
l l l 于其中的每一个根 都可求得一组常数
，因
2 3
图（b）系统上外力所做的总功为
x ml 由 得到
l
4
D m (1 ) dx 所示
（ 为梁中点的最大 11
i1
D ij i j
(
D ij i j)2
0
i1 j1
i1 j1
(i1, 2,n , )
简化上式并将 2 代入得 n (C ij2D i)j j0 j1
( i1, 2,n, )
第一节振动分类 振动力学课件
二． 相关函数性质
自相关函数是描述随机变量在不同时刻之间相关程度 的统计量。
1. Rx (0) E X 2它(t)是平均x2 能量或功率的一种测量。
当 时0的自相关函数称 随Rx机(0过) 程均方值（能量）。
2.
2 x
E[ X (t) x ]称随机x2 振 动x2过程的
方差。
X (t)
两个不同的随机过程在时差 的两 个时刻，两随机
变量的相关程度。
(2) 性质：
a． Rxy ( ) 为非奇非偶函数，但有 Rxy ( ) Ryx ( ) b． Rxy ( ) Rx (0)Ry (0) x y
c． Rxx (0) E X (t)X (t) 0
(3)表明：
平稳随机过程 X与(t它) 的导数过程 互不相关。
第五章 随机振动
振动分类：
确定性振动——振动的激励、系统、响应均为一确定性 函数，称之为确定性振动。
例如:单自由度系统的自由振动和简谐激励下的稳态响应，都 可以用正弦函数描述；
非周期函数激励作用下，可以用杜哈梅积分可以给出响 应表达式。
工程实际中的激励常常不能近似处理为确定性函 数，如汽车在不平路面上行驶，路况的不规则使得汽车 所受路面位移激励，表现为一随机过程。
如下图阴影部分
x2
即 P(x1 x x2 ) p(x)dx x1
累积分布也可定义为
x
P(x) p(x)dx
密度函数具有以下性质：
p(x) 0
lim p(x) 0
x
均值 与x p(x)
p(x)dx 1
x E
X (t)
lim n
1 n
n k 1
xk
(t
)
lim