2013届高考数学考点回归总复习《第十三讲 函数模型及其应用》课件
2013届高考数学第一轮基础复习课件函数与方程、函数模型及其应用
两个零点，二次函数的图象(抛物线)与 x 轴相交．若该交
点分别为
A、B，则
A、B
之间的距离为|AB|＝
Δ |a|
二、用二分法求方程近似解 用二分法求方程 f(x)＝0 近似解的一般步骤： 第一步：确定一个区间[a，b]，使得 f(a)·f(b)<0，令 a0＝a，b0＝b. 第二步：取区间(a0，b0)的中点 x0＝12(a0＋b0)． 第三步：计算 f(x0)的值，得到下列相关结论．
第九节
函数与方程、 函数模型及其应用
重点难点 重点：1.函数的零点和方程解的联系 2．运用数形结合判定方程解的分布 3．掌握几种常见的函数模型： (1)一次函数 (2)二次函数 (3)分式函数 (4)指数 函数 (5)对数函数 (6)分段函数 (7)幂函数 (8)三角 函数．
难点：1.二次方程根的分布问题 2．二分法的应用 3．实际问题中，如何选择模拟函数，建立函数关系 式．
2．当 Δ＝b2－4ac＝0 时，一元二次方程 ax2＋bx＋c ＝0 有两个相等的实根，二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 有一 个零点，二次函数的图象(抛物线)与 x 轴相切；
3．当 Δ＝b2－4ac>0 时，一元二次方程 ax2＋bx＋c ＝0 有两个不相等的实根，二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 有
P(12)＝18040≈1.19，Q(13)＝2107≈1.18. 即 F(12)>F(13)． 所以用 13 名工人制作课桌，17 名工人制作椅子完成 任务最快.
二次函数模型
[例 4] 某市现有从事第二产业人员 100 万人，平均 每人每年创造产值 a 万元(a 为正常数)，现在决定从中分 流出 x 万人去加强第三产业．分流后，继续从事第二产业 的人员平均每人每年创造产值可增加 2x%(0<x<100)，而 分流出的从事第三产业的人员，平均每人每年可创造产值 1.2a 万元．在保证第二产业的产值不减少的情况下，分流 出多少人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多？
高考数学一轮复习 2.13 函数模型的应用课件 理
函数为增函数得到
x
的不等式
g x <h x 或
n∈Z，求 n 的值； (3)若函数 f(x)＝log2(4x＋a·2x＋a＋1)有不动点，求
实数 a 的取值范围.
【解析】(1)由已知可得，问题等价于 f(x)＝x 无 实数根，
即 x2＋(a－1)x＋a＝0 无实数根，
∴Δ＝(a－1)2－4a<0，3－2 2<a<3＋2 2.
(2)令 f(x)＝x，∴－ln x＋3＝x，即 ln x＋x－3＝0， 令 g(x)＝ln x＋x－3，g(x)在(0，＋∞)上递增， g(2)<0，g(3)>0，x0∈(2，3)，n＝2.
【解析】(1)令 f(x)＝0，从而可知 a＝－3x2， ∵x∈(0，2)，∴－3x2∈(－12，0)，故满足 f(x) 在(0，2)上无零点的实数 a 的取值范围是(－∞，－ 12]∪[0，＋∞). 若 a＝0，|g(x)|＝1，在(0，2)上无单调性； 若 a>0，|g(x)|＝|2ax＋1|＝2ax＋1，在(0，2)上单 调递增；
∴f(3x＋6)>f9－f1x＝f9x，由函数 f(x)为增函数 可得 3x＋6>9x>0，∴0<x<1，不等式解集为(0，1).
(3)函数 f x 在 x∈(0，3]上是递增函数，因此最大
值为 f3＝1，所以不等式 f(x)≤m2－2am＋1 恒成立转 化为 1≤m2－2am＋1 对所有 a∈[－1，1]恒成立， ∴m2－2am≥0 恒成立，设 ga＝－2ma＋m2，所以需 满足gg－1≥1≥0，0，
A.f(x)＞g(x)＞h(x) B.g(x)＞f(x)＞h(x) C.g(x)＞h(x)＞f(x) D.f(x)＞h(x)＞g(x)
2013届高考数学基础巩固课件4.4《三角函数的应用及三角函数模型的简单应用》理新人教版
换．这些变换在顺序上是不确定的．一般 来说，我们常采用先相位(左右平移)变换，
(即时巩固详解为教师用书独有)
» 考点一 三角函数图象的变换
【案例 1】 已知函数 f(x)＝sinωx＋π4(x∈R，ω>0)
的最小正周期为 π.为了得到函数 g(x)＝cos ωx 的图象，只
图象相同，则 y＝f(x)的函数表达式为
()
A．y＝12sin12x－π2 C．y＝12sin12x＋π2
B．y＝12sin 2x＋π2 D．y＝12sin2x－π2
• 解析：要注意先平移再伸缩和先伸缩 再平移的区别，代入各选项验证即可得正 确答案为D. • 答案：D
• 【即时巩固4】 如图，某 大风车的半径为2 m，每12 s旋 转一周．它的最低点O离地面 0.5 m．风车圆周上一点A从最 低点O开始，运动t(s)后与地面 的距离为h(m)．求函数h＝f(t)的 关系式．
– 解：如图，以O为原点，以 过点O的圆的切线为x轴建立直角 坐标系．
– 设点A的坐标为(x，y)， – 则h＝y＋0.5.
＝sin2x＋π8＋π4，可知由 f(x) ＝sin2x＋π4的图象向左平
移π8个单位长度可得 g(x)的图象，故选 A. 答案 A
【即时巩固 1】 已知函数 y＝f(x)图象上每个点的纵 坐标保持不变，将横坐标伸长到原来的 2 倍，然后将整个
图象沿 x 轴向左平移π2个单位，得到的图象与 y＝12sin x 的
• 【即时巩固3】 已知某海滨浴场的海 浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时) 的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时的 浪高数t(时据) ：0 3 6 9 12 15 17 21 24
高考文科数学《函数模型及其应用》课件
故今后最多还能砍伐 15 年．
点 拨： 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型 y＝N(1＋p)x(其 中 N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂型函数模型 y＝a(1＋x)n(其中 a 为基
础数，x 为增长率，n 为时间)的形式表示．解题时，往往用到对数运算．
直到达到规定人数 75 人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机 费 15 000 元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解：(1)设旅游团人数为 x 人，由题得 0＜x≤75，飞机票价格为 y 元， 则 y＝990000，－010＜（x≤x－303，0），30＜x≤75，
某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水 中杂质 20%，要使水中杂质减少到原来的 10%以下，则至少需过滤的次数
为________．(参考数据：lg2≈0.301 0)
解：设过滤次数为 x(x∈N*)，原有杂质为 a，则 a(1－20%)x<a·10%，
所以 x>1－13lg2≈10.3，即至少需要过滤 11 次．故填 11.
当且仅当 x＝40 x000，即 x＝200 时取等号．故选 A.
(教材改编题)某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，
仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．105 元
B．106 元
C．108 元
D．118 元
解：设进货价为 a 元，由题意知 132×(1－10%)－a＝10%·a， 解得 a＝108.故选 C.
单调____ 函数
相对平稳
高三数学一轮复习 2.10函数模型及其应用课件
地表示这些数据的规律(guīlǜ)，其中最接近的一个是
________．
x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12
y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61
①y＝2x；
②y＝log2x；
③y＝12(x2－1) ；
④y＝2.61cos x
解析：通过检验可知，y＝log2x较为(jiào wéi)
函数模型的建立以及函 数模型中的最值问题， 命题的热点是二次函数 的最值或利用基本不等 式求解最值，如2012年 江苏高考T17,2010年高
考T14等． 2.考查(kǎochá)题型以解答
题为主.
第二页，共50页。
[归纳(guīnà) 知识整合] 1．几种常见(chánɡ jiàn)的函数模型
函数模型
第十七页，共50页。
Байду номын сангаас
(1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略(hūlüè)其大小)，其 飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮 弹可以击中它？请说明理由． [自主解答] (1)令 y＝0，得 kx－210(1＋k2)x2＝0，由实 际意义和题设条件知 x＞0，k＞0， 故 x＝12＋0kk2＝k2＋01k≤220＝10，当且仅当 k＝1 时取等号． 所以炮的最大射程为 10 千米．
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4．某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售， 后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利________ 元． 解析(jiě xī)：九折出售时价格为100×(1＋25%)×90%＝ 112.5元，此时每件还获利112.5－100＝12.5元． 答案：12.5
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第一页，共50页。
2013版高考数学 3.4.2 函数模型及其应用课件 苏教版必修1
1 求利润函数P x 及边际利润函数 MP x ; 2 利润函数P x 与边际利润函数MP x 是否具有相同的最大
值?
分析：本题为信息题目，应理解题意将本题转化为二次
函数求最值问题，二次函数问题为考试中的热点。
解 由题意知,x 1,100 ,且 x N .
2、某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为 3000元时,可全部租出; 当每辆车的月租金每增加50元时, 未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费 150元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元.
(1)当每月每辆车的租金定为3600元时,能租出多少辆车?
(2)当每辆车的月租金定为多少元时, 租赁公司的月收益
建立相应的数学模型； ③解模：求解数学模型，得出数学结论；
④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际 问题的意义．
拿一张纸，对折7次就有1厘米厚，如果把这张纸对 折27次（假设可以做到）之后的高度，是否比珠穆朗玛 峰（8848米）高呢？（220 =1048756） 解：设纸张的厚度为k米，则k×27＝0.01m
一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示. (1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义; (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这 段路程前的读数为2004km,试建立行驶这 段路程时汽车里程表读数s km与时间t h 的函数解析式,并作出相应的图象.
90 80 70
v/(km· h-1)
f (x) a (x 1)
a 2a , g (x) (x 2) 2 3
∴x≥1． g（x）≥f（x），
因此，当家庭只有1个孩子时，两家随便选择，当孩
而x>0,且520-40x>0,即0 x 13
2013届高考数学考点回归总复习课件12
【典例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点. (1)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]; (2)f(x)=x3-x-1,x∈[-1,2]; (3)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]; (4)f(x)=
1 -x,x∈(0,1). x
[解](1)∵f(1)=-20<0,f(8)=22>0, ∴f(1)·f(8)<0, 故f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上存在零点.
答案:C
类型一
函数零点存在性的判断与方法
解题准备:函数零点个数的判定有下列几种方法: (1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个 零点.
(2)零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连
续的曲线,且f(a)•f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如 单调性)才能确定函数有多少个零点. (3)画两个函数图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐 标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
解析:由方程x2+2x+a=0的判别式小于0可得a>1.
答案:B
5.三次方程x3+x2-2x-1=0在下列哪些连续整数之间没有根 ( A.-2与-1之间 B.-1与0之间 C.0与1之间 D.1与2之间 )
解析:∵f(-2)·f(-1)<0,f(-1)·f(0)<0,f(1)·f(2)<0,∴f(x)在(-2,1),(-1,0),(1,2)内均有根.故只有C选项符合题意.
类型二
二分法求方程的近似解
解题准备:1.用二分法求函数的零点时,最好是利用表格,将计 算过程所得到各个区间､中点坐标､区间中点的函数值等置 于表格中,可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程,
高三数学函数模型及应用PPT优秀课件
双基回顾
1.某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑 步前进，跑累了再走余下的路程，下图中，纵轴 表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则
下列四个图形中较符合该学生的走法的是： D
2.某种放射性元素，100年后只剩原来 质量的一半，现有这种元素1克，三年 后剩下：D
2.解答数学应用题的关键有两点：
一是认真读题，缜密审题，确切理解题意， 明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、 概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；
二是要合理选取参变数，设定变元后， 就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的 代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、 方程、不等式等数学模型；最终求解数学模 型使实际问题获解.
单利问题：本金为P，期利率为r，经n期后 本利和为： P=（1+nr） ；
例4 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分 别为1万件、1.2万件、1.3万件。为了估计以后 每月的产量，以这三个月的产品数量为依据， 用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的 关系，模拟函数可以选择二次函数或函数 y=a.bx+c（其中a,b,c为常数），已知4月份该 产品的产量为1.37万元，试问用以上哪个函数 作为模拟函数较好？并说明理由。
【解题回顾】看似繁杂的文字题，其背景不过是两个一次 函数，当然因x∈N*，故实际上是两个等差数列.
例3 截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今 后能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后， 我国人口为y（亿）；
（1）求y与x的函数关系式y=f(x)； （2）求函数y=f(x)的定义域； （3）判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出
2013届高考数学考点回归总复习课件33
解析:图中两直线方程分别为x+y-1=0和x-2y+2=0.因为阴影 部分在x+y-1=0的右上方,x-2y+2=0的右下方,所以x+y1≥0,x-2y+2≥0. 答案:A
x y 1≤0, y 2.若实数x, y满足 x 0, 则 的取值范围是( x y≤2, A. 0, 2 B. 0, 2 C. 2, D. 2,
x y 5≥0 所以, 不等式组 x y≥0 表示的平面区域如图所示. x≤3 5 结合图中可行域得x ,3 , y [3,8]. 2
2.基本概念 (1)线性约束条件:由x,y(或方程)组成的不等式组,是关于x 与y的一次不等式(或等式). (2)目标函数:要求最大值或最小值的函数如z=2x+y,z=x2+y2.
(3)4)可行解:满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解.
(5)可行域,由所有的可行解组成的集合叫做可行域. (6)最优解:使目标函数达到最大值或最小值的可行解叫最优 解. (7)线性规划问题:在线性约束条件下求线性目标函数的最大
值或最小值的问题叫做线性规划问题.
考点陪练
1.如图,阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示 的是( ) x y 1≤0 B. x 2 y 2≤0 x y 1≤0 D. x 2 y 2≥0 x y 1≥0 A. x 2 y 2≥0 x y 1≥0 C. x 2 y 2≤0
1 指出x, y的取值范围; 2 平面区域内有多少个整点?
[分析](1)数形结合;(2)整点是指横､纵坐标均为整数的点.
[解](1)不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及右下方的点 的集合.x+y≥0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合, x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合.
2013高考数学一轮复习课件：第十节函数模型及其应用(精)
并以此三角形的直角为矩形的一个角．问怎样剪，
才能使剩下的残料最少？
解：如图，剪出的矩形为CDEF， 设CD＝x，CF＝y， 则AF＝40－y. AF FE ∵△AFE∽△ACB，∴AC＝BC， 40－y x 2 即 40 ＝60.∴y＝40－3x.剩下的残料面积为 1 2 2 S＝2×60×40－x· y＝3x －40x＋1 200
________，________.
解析：由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B(30,35)， 1 1 C(30，15)分别代入y1，y2得k1＝5，k2＝2. 1 1 ∴y1＝5x＋29，y2＝2x.
1 1 答案：y1＝5x＋29 y2＝2x
2．(2012· 抚州质检)一块形状为直角三角形的铁皮，直
y＝logax(a>1) 增函数 越来越慢
y＝xn(n>0)
增函数 相对平稳
随x增大逐渐表 随x增大逐渐表 随n值变化
现为与 y轴平行 现为与x轴平行 而不同
2．三种增长型函数之间增长速度的比较 (1)指数函数y＝ax(a>1)与幂函数y＝xn(n>0) 在区间(0
3 (3)∵t∈[0,10]时，smax＝2×102＝150<650， t∈(10,20]时，smax＝30×20－150＝450<650， ∴当t∈(20,35]时，令－t2＋70t－550＝650. 解得t1＝30，t2＝40. ∵20<t≤35，∴t＝30. ∴沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城．
其规划方案为：在规划前后对该项目每年都投入60万元的销售投 资，在未来10年的前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建 一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的 5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收 159 119 2 益为：每年投入x万元，可获利润Q＝－ 160 (60－x) ＋ 2 (60－x)万 元．问从10年的总利润看，该规划方案是否具有实施价值？
2012高考数学考点回归总复习课件第十三讲《函数模型及其应用》
800元不超过4000元的按超过800元的14%纳税,超过4000元 的按全稿费的11%纳税.某人出了一本书,共纳税420元,这个 人的稿费为()
A.3600元
B.3800元
C.4000元
D.4200元
答案:B
5.某人若以每股17.25元购进股票一万股,一年后以每股18.96 元抛售,该年银行月利率0.8%,按月计算,为获取最大利润,某 人应将钱((1+0.8%)12≈1.10034)()
【典例4】2008年9月25日,我国成功发射了“神舟” 七号载人飞船,这标志着中国科技又迈出了具有历 史意义的一步.若已知火箭的起飞重量M是箭体(包 括搭载的飞行器)的重量m和燃料重量x之和,在不 考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度y关 于x的函数关系式为: (其中k≠0).当燃料重量为
y k[lnm x ln( 2m)] 4ln2( 吨e (e1为)m自然对数
[分析]由图可知,两种方案都因时间段的不同导致收费不同, 因此,需分段列式.
[解]由图可知,两种方案都是由线性函数组成的分段函数,不 妨用待定系数法,结合图形,先求出函数解析式,再根据题意 解题.
(1)由图知点M(60,98),N(500,230),C(500,168),
MN∥CD. 设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)、
到1年); (4)如果20年后该城市人口不超过120万人,年自然增长率应控
制在多少?
[解](1)y=100(1+1.2%)x(x≥0); (2)令x=10,得y=100(1+1.2%)10≈112.7(万人); (3)令y=120,得100(1+1.2%)x=120, ∴x=log1.0121.2≈15(年); (4)设年自然增长率为x,由题意,得 100(1+x)20≤120,∴(1+x)20≤1.2,
高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章 函数与导数第13课时 函数模型及其应用.pdf
函数与导数第13课时 函数模型及其应用(对应学生用书(文)、(理)33～36页) 考情分析考点新知函数模型应用问题的考查是江苏高考比较固定的考查题型要非常重视复习时应在准确把握各种函数的特征基础上根据具体实际问题的情境建立相关函数模型利用函数知识分析解决问题． 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.了解函数模型(如二次函数、指., 1. (必修1练习1)某地高山上温度从山脚起每升高降低0.6 已知山顶的温度是14.6 山脚的温度是26 则此山的高为________答案：1 900解析：(26－14.6)÷0.6×100＝1 900.(必修1习题10改编)已知某种产品今年产量为1 000件若计划从明年开始每年的产量10%，则3年后的产量为________件．答案：1 331解析：1 000×(1＋10)3＝1 331.(必修1练习3改编)已知等腰三角形的周长为20底边长y是关于腰长x的函数则该函数的定义域为________答案：(5) 4. (必修1复习10)在不考虑空气阻力的情况下火箭的最大速度v(单位：)和燃料的质量M(单位：)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：)的函数关系式为v＝.当燃料质量是火箭质量的________倍时火箭的最大速度可以达到12 答案：－1解析：由2 000＝12 000得＋＝所以＝－1.(必修1练习3改编)某商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系为P＝且该商品Q与时间t(天)的函数关系为Q＝－t＋40(0<t≤30)，则这种商品日销量金额最大的一天是30天中的第________天．答案：25解析：设日销量金额为W元则W＝P·Q＝当0<t<25时(t)1)，y＝(a>1)和y＝x(n>0)都是增函数但是它们的增长速度不同而且不在同一个“档次上”．随着x的增大＝a(a>1)的增长速度越快会越过并远远大于y＝x(n>0)的增长速度；而y＝(a>1)的增长速度会越慢．因此总会存在一个x当x>x时有a>logax0(比较a，logax0的大小)．函数模型的应用实例的基本题型 (1) 给定函数模型解决实际问题．(2) 建立合适的函数模型解决问题．(3) 建立拟合函数模型解决实际问题．函数建模的基本程序 题型1 一次、二次函数模型例1 市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x(x>0)，销售数量就减少kx(其中k为正常数)．目前该商品定价为每个a元统计其销售数量为b个．(1) 当k＝时该商品的价格上涨多少才能使销售的总金额达到最大？(2) 在适当的涨价过程中求使销售总金额不断增加时k的取值范围. 解：由题意价格上涨x以后销售总金额为y＝a(1＋x)·b(1－kx)＝[－kx＋100(1－k)x＋10 000]．(1) 当k＝时＝(－＋50x＋)＝[22 500－(x－50)]， 因此当x＝50即价格上涨50时取最大值(2) y＝[－kx＋100(1－k)x＋10 000]此二次函数的图象开口向下对称轴为x＝在适当涨价的过程中销售总金额不断增加即要求此函数当自变量x在{x|x>0}的一个子集内增大时也增大因此解得0<k0)表示的曲线上其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1) 求炮的最大射程；(2) 设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)其飞行高度为3.2 试问它的横坐标a不超过多少时炮弹可以击中它？请说明理由． 解：(1) 令y＝0得kx－(1＋k)x2＝0由实际意义和题设条件知x>0故x＝＝＝10.当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10 (2) 因为a>0所以炮弹可击中目标存在k>0使3.2＝ka－(1＋k)a2成立关于k的方程a－20ak＋a＋64＝0有正根判别式＝(－20a)－4a(a2＋64)≥0所以当a不超过6()时可击中目标．题型2 指数、对数函数模型例2 设在海拔x处的大气压强是y与x之间的函数关系为y＝ce其中c、k为常量．已知某天的海平面的大气压为1.01×高空的大气压为0.90×求600高空的大气压强．(保留3位有效数字)解：将x＝0时＝1.01×和x＝时＝0.90×分别代入函数式y＝ce得＝1.01×＝＝＝，用计算器算得k≈－1.154×－4＝1.01×－1.154×－4将x＝600代入上述函数式得y≈即在600m高空的大气压强约为 我国辽东半岛普兰附近的泥炭层中发掘出的古莲子至今大部分还能发芽开花这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代可用放射性碳法．在动植物的体内都含有微量的放射性动植物死亡后停止了新陈代谢不再产生且原有的会自动衰变经过5570年(叫做的半衰期)它的残余量只有原始量的一半经过科学家测定知道若的原始含量为a则经过t年后的残余量a′(与a之间满足a′＝a·e－kt)．现测得出土的古莲子中残余量占原量的87.9%试推算古莲子的生活年代．解：因a′＝a·e－kt即＝ekt. 两边取对数得lg＝－ktlge又知的半衰期是5570年即t＝5570时＝故lg＝－5即klge＝代入①式并整理得t＝－这就是利用放射性碳法计算古生物年代的公式．现测得古莲子的是0.879代入公式得t＝－即古莲子约是1 036年前的遗物．题型3 分段函数模型例3 已知美国苹果公司生产某款手机的年固定成本为40万美元每生产1万只还需另投入16万美元．设苹果公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完每万只的销售收入为R(x)万美元且R(x)＝(1) 写W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；(2) 当年产量为多少万只时苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．解：(1) 当040＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋7 360.所以＝(2) ① 当040时＝－－16x＋7 360由于＋16x≥2＝1 600当且仅当＝16x即x＝50∈(40＋∞)时取最大值为5 760.综合①②知当x32时取最大值为6 104. 经市场调查某种商品在过去50天的销量和价格均为销售时间t(天)的函数且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200()，前30天价格为g(t)＝＋30(1≤t≤30)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50)．(1) 写出该种商品的日销售额S与t的函数关系式；(2) 求日销售额S的最大值．解：(1)根据题意得＝即S＝(2)①当1≤t≤30时＝－(t－20)＋6当t＝20时的最大值为6；当31≤t≤50时＝－90t＋9为减函数当t＝31时的最大值是6当t＝20时日销售额S有最大值6题型4 分式函数模型例4 如图是正方形空地边长为30电源在点P处点P到边AD、AB距离分别为9、3某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF＝16∶9.线段MN必须过点P端点M、N分别在边AD、AB上设AN＝x()，液晶广告屏幕MNEF的面积为(m2)．(1) 用x的代数式表示AM；(2) 求S关于x的函数关系式及该函数的定义域；(3) 当x取何值时液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？ 解：(1) AM＝(10≤x≤30)．(2) MN2＝AN＋AM＝x＋＝16∶9＝＝MN·NE＝＝定义域为[10]．(3) S′＝＝， 令S′＝0得x＝0(舍)或＋3当10≤x0得0＜x<4(x)在(04)上是增函数在(4)上是减函数．(4)＝2－2＝4－2.(10分)由条件③得f(10)＝10－2＋a≤8解得a≤2－2.另一方面由x－2＋a≤x得a≤2在x∈[2]上恒成立(12分)综上所述的取值范围为[4－2]， ∴ 满足条件的整数a的值为1.(14分) 1. (2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)则其边长x为________()． 答案：20解析：设矩形花园的宽为y 则＝所以y＝40－x所以矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x＋40x＝－(x－20)＋400当x＝20时面积最大．(2013·通州模拟)将一个边长分别为a、b(00；当3at－1<0即0<t<时(t)<0. ∴ 当t＝时(t)有最小值．已知在t＝处(t)取得最小值故有＝＝故当a＝＝时(t)min＝S＝＝ 1. 与函数有关的应用型问题函数模型可以是已知条件中给出其表达式也可以是由已知条件建立函数模型显然后者难度较大在解题过程中不要忘记考虑函数的定义域．解应用问题首先应通过审题分析原型结构深刻认识问题的实际背景确定主要矛盾提出必要假设将要能顺利解答一个应用问题重点要过三关：(1) 事理关：通过阅读知道讲的是什么培养学生独立获取知识的能力；(2) 文理关：需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言用数学式子表达数学关系；(3) 数理关：在构建数学模型的过程中要求学生有对数学知识的检索能力认定或构建相应的数学模型完成由实际问题向数学问题的转化构建了数学模型后要正确解出数学问题的答案需要扎实的基础知识和较强的数理能力．请使用课时训练()第13课时(见活页)．[备课札记]。
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【典例4】2008年9月25日,我国成功发射了“神舟”
七号载人飞船,这标志着中国科技又迈出了具有历
史意义的一步.若已知火箭的起飞重量M是箭体(包 括搭载的飞行器)的重量m和燃料重量x之和,在不 考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度y关 于x的函数关系式为: (其中k≠0).当燃料重量为
y k[ln m x ln( 2m)] 4ln2( e 1)m
类型一
一次函数与分段函数
解题准备:分段函数模型: ①分段函数在不同的区间中具有不同的解析式. ②分段函数是一个函数,其定义域为各段自变量取值集合的 并集,其值域为各段值的集合的并集.
③分段函数模型的表示形式通常写成如下形式 : f1 x , x D1 , f 2 x , x D 2 , y f x , x D . n n 其中D1 , D 2 , , D n 表示区间.
【典例1】电信局为了配合客户不同需要,设有A､B两种优惠 方案,这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关 系如图所示(实线部分).(注:图中MN∥CD)试问:
(1)若通话时间为2小时,按方案A､B各付话费多少元? (2)方案B从500分钟以后,每分钟收费多少元?
(3)通话时间在什么范围内,方案B才会比方案A优惠?
(2)随着x的增大,y=ax(a>1)的图象逐渐表现为与y轴趋近平行
.而y=logax(a>1)的图象逐渐表现为与x轴趋近平行.
(3)当a>1,n>0时,对于函数y=xn,y=ax,y=logax在x∈(0,+∞)时, 函数y=ax的增长速度远远大于函数y=xn的增长速度.而函 数y=xn的增长速度远远大于函数y=logax的增长速度.因此 总会存在一个x0;当x>x0时,总有ax>xn>logax.
3 3 3 f B x 1 f B x ( x 1) 18 x 18 0.3 元 10 10 10 方案B从500分钟以后, 每分钟收费0.3元.
3由图知,当0 x 60时, f A x f B x ;
3 当60 x 500时, f A x x 80, f B x 168, 10 1 1 联立得x 293 ,因此当60 x 293 时, 3 3 1 f A x f B x ;当293 x≤500时, f B x f A x ; 3 当x 500时, 显然f B x f A x . 1 综上所述, 当x 293 分钟, 3 1 、即通话时间为293 分钟以上时, 方案B才会比方案A优惠 3
[反思感悟]建立二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际 中的最优化问题,但要注意自变量的取值范围,利用二次函 数配方法通过对称轴与单调性求解是这一类函数的特点.
类型三
指数函数模型
解题准备:(1)增长率问题应用非常广泛,如存款或贷款的复利 计算问题,国民经济增长率问题. (2)对于函数未知的应用题,这类问题的一般方法是:①审清题
a 2.形如f(x)=x+ (a>0,x>0)的函数模型有广泛应用 x ,利用基本不等式可求其最小值为 2 a .
3.用已知函数模型解决实际问题的基本步骤是:第一步,审题, 设出变量;第二步,根据所给模型,列出函数关系式;第三步,
解函数模型;第四步,再将所得结论转译成具体问题的解答.
考点陪练
1.下列函数中随x的增大而增大速度最快的是()
8
2 设应装载x吨燃料方能满足题意,
此时m 544 x, y 8, 代入函数关系式 544 m x y ln 1, , 得ln 544 x m 解得x 344吨.
8
故应装载344吨燃料方能顺利地把飞船发 送到预定的轨道.
类型五
幂函ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ模型
解题准备:幂函数模型:能用幂函数表达的函数模型叫做幂函 数模型,幂函数模型中最常见的是二次函数模型.
第十三讲函数模型及其应用
回归课本
1.三种常见的函数模型 (1)在区间(0,+∞)上,函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和 y=xn(n>0)都是增函数,但它们的增长速度不同.随着x的增 大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于 y=xn(n>0)的增长速度,表现为指数爆炸.随着x的增大 ,y=logax(a>1)的增长速度会越来越慢.
第二､三产业的总产值增加最多?
[分析]“保证第二产业的产值不减少”转译的数学语言是一 个“二次不等式模型”,“该市第二､三产业的总产值增加 最多”转译为数学语言是一个“二次函数的最值问题”.
[解]设分流出x万人,为保证第二产业的产值不减少,必须满足 (100-x)·a·(1+2x%)≥100a. 因为a>0,x>0,可解得0<x≤50,
意的是一定要分析自变量的取值范围,利用二次函数的配
方法通过对称轴与单调性求解是这一类函数问题的特点.
【典例2】某市现有从事第二产业人员100万人,平均每人每 年创造产值a万元(a为正常数),现在决定从中分流x万人去 加强第三产业.分流后,继续从事第二产业的人员平均每人 每年创造产值可增加2x%(0<x<100),而分流出的从事第三 产业的人员,平均每人每年可创造产值1.2a万元.在保证第 二产业的产值不减少的情况下,分流出多少人,才能使该市
吨(e为自
然对数的底数,e≈2.72)时,该火箭的最大速度为4
km/s.
(1)求火箭的最大速度y(千米/秒)与燃料重量x(吨)之间的关系 式y=f(x); (2)已知该火箭的起飞重量是544吨,则应装载多少吨燃料,才
能使该火箭的最大飞行速度达到8千米/秒,顺利地把飞船发
送到预定的轨道?
[分析]本题的函数模型已经给出,只需根据题设确定出参数, 然后根据函数关系及题设进行求解.
[解] 1 依题意, 把x ( e 1)m, y 4代入 函数关系式y k[ln m x ln( 2m)] 4ln 2, 解得k 8.所以所求的函数关系式为 y 8[ln m x ln ( 2m)] 4ln 2. m x 整理得y ln . m
[分析]由图可知,两种方案都因时间段的不同导致收费不同, 因此,需分段列式.
[解]由图可知,两种方案都是由线性函数组成的分段函数,不 妨用待定系数法,结合图形,先求出函数解析式,再根据题意 解题. (1)由图知点M(60,98),N(500,230),C(500,168),
MN∥CD.
设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)、 fB(x),
设该市第二､三产业的总产值增加f(x)万元,
则f(x)=(100-x)·a·(1+2x%)+1.2ax-100a, ∴f(x)=-0.02a(x2-110x)=-0.02a(x-55)2+60.5a, ∵x∈(0,50]且f(x)在(0,50]上单调递增, ∴当x=50时,f(x)max=60a,
因此在保证第二产业的产值不减少的情况下,分流出50万人, 才能使该市第二､三产业的总产值增加最多.
1 x≤20 1.2 1.2 1.009, x≤0.9%.
1 20
[答](1)经过x年后该城市的人口总数y万人与x的函数关系式 为y=100(1+1.2%)x;(2)10年后该城市的人口总数约为 112.7万人;(3)大约经过15年该城市人口将达到120万人 ;(4)如果20年后该城市人口不超过120万人,年自然增长率 应控制在0.9%.
A.3600元
C.4000元 答案:B
B.3800元
D.4200元
5.某人若以每股17.25元购进股票一万股,一年后以每股18.96 元抛售,该年银行月利率0.8%,按月计算,为获取最大利润, 某人应将钱((1+0.8%)12≈1.10034)() A.全部购买股票
B.全存入银行
C.部分购买股票､部分存入银行 D.购买股票或存入银行均一样 答案:B
98, 0≤x≤60, 则f A x 3 10 x 80, x 60. 168, 0≤x≤00, fB ( x ) 3 10 x 18, x 500. 通话2小时两种方案的话费分别为116元､ 8元. 16
2 当x 500元时,
1 x A. y e 100 C.y x100
答案:A
B. y 100lnx D.y 1002x
2.今有一组实验数据,如下表:
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
则最佳的体现这些数据关系的函数模型是( A.v=log2t B.v=2t-2
)
t 2 1 C.v= 2
[解](1)y=100(1+1.2%)x(x≥0); (2)令x=10,得y=100(1+1.2%)10≈112.7(万人); (3)令y=120,得100(1+1.2%)x=120, ∴x=log1.0121.2≈15(年); (4)设年自然增长率为x,由题意,得 100(1+x)20≤120,∴(1+x)20≤1.2,
意,引进数学符号;②正确建立函数关系式;③研究函数关系
式,作正确解答.
【典例3】某城市现有人口总数100万人,如果自然增长率为 1.2%. (1)写出经过x年后该城市的人口总数y万人与x的函数关系式;
(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人);
(3)计算大约经过多少年以后该城市人口将达到120万人(精确 到1年); (4)如果20年后该城市人口不超过120万人,年自然增长率应 控制在多少?