平面直角坐标系中的距离
平面直角坐标系中的距离公式和中点公式
求下列各点关于坐标原点的对称点： A(2，3)，B(－3，5)，C(－2，－4)，D(3，－5)．
求下列各点关于 x 轴和 y 轴的对称点的坐标：
A(2，3)，B(－3，5),C(－2，－4)，D(3，－5)．
已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，0)，B(2，－4)，C(6，2)，
求顶点 D 的坐标．
1．直角坐标系中两点间的距离公式． 2．直角坐标系中两点的中点公式． 3．点的对称 距离公式和中点公式
1.数轴上的距离公式
一般地，如果 A(x1)，B(x2) ，则这两点的距离公式为 |AB|＝|x2－x1|．
2.数轴上的中点公式
一般地，在数轴上，A(x1)，B(x2) 的中点坐标 x 满足关系式
x1 x2 ． x= 2
求两点之间的距离的计算步骤：
S1 给两点的坐标赋值： x1＝？，y1＝？，x2＝？，y2＝？
S2 计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即
dx＝x2－x1，dy＝y2－y1；
2 2 S3 计算 d＝ d x dy
；
S4 给出两点的距离d．
求两点之间的距离：
（1）A（6，2），B（－2，5）； （2）C（2，－4），D（7，2）．
平面直角坐标系中的距离公式
在直角△P1QP2中，
P2
2
N2
P1P2 P1Q QP2
2
2
P1Q M1M 2 x 2 x1 QP2 N1N 2 y 2 y1
M1 O
M2 N1 P1
x
Q
P1P2
x 2 x1 y2 y1
2
2
一、两点间的距离公式
两点 A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 ) 间的距离公式
平行直线间的距离
点到直线的距离
例3. 已知直线l1：2x－3y－8＝0， l2：6x－9y－3＝0， l1与l2是否平行？
若平行，求l1与l2间的距离.
分析：在直线l1上取点(4, 0)，其到直线l2的距离
d | 6 4 9 0 3 | 6 2 ( 9) 2 7 13 13
| AB | ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
练1、已知点A（-1，2），B（2， 7 ），在x 轴上求一点P，使 PA PB ，并求 PA 的值。
例1、证明：平行四边形四条边的平方和等于 两条对角线的平方和。
y
D(b,c) C(a+b,c)
坐标法
A(0,0) B(a,0) x
的距离
d Ax0 By0 C A B
2 2
练2. 求点P0(0, 5)到直线y＝2x的距离. 例2. 已知A(2, 1)，直线BC的方程是 x＋y＝1，求△ABC的BC边上的高. 练3. 已知点A(1, 3)，B(3, 1)，C(－1, 0)，
求△ABC的面积.
讨 论：
两条平行直线间的距离怎样求？
即为直线l1与直线l2间的距离。
思考. 已知直线l1：Ax+By+C1＝0， l2：Ax+By+C2＝0，(C1≠ C2) 求l1与l2间的距离.
【数学】2.1.5 平面直角坐标系中的距离 课件(北师大必修2)
4.我们两条 平行直线间的距离便成为新的课题.
知识探究（一）：点到直线的距离
思考1:你能设计一个方案求点P(x0，y0) 到直线l：Ax+By+C=0的距离吗？
y
B Q
P o
A l
x
思考2:根据上述分析，点P(x0，y0)到直 线l：Ax +By +C=0的距离为：
第二章 解析几何初步
2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式
一、两点间的距离:连结两点的线段的长度
A B
如图：线段AB的长就是点A、B之间的距离
A B
二、数轴上两点间的距离公式为： AB x x
B A
平面内任意两点间的距离
例如：已知平面上两点P1（x1,y1)， P2（x2,y2),如 何求P1,P2的距离 P1P2 ？ y P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
o
x
| P P | 1 2
( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2
2
特别地，原点O（0，0）与任意一点P(x,y)的距离为
练习
OP
x y
2
2
1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0) (2)、A(0，-4),B(0，-1)
(3)、A(6，0),B(0，-2)
d | Ax0 By0 C | A B
2 2
这是点到直线的距离公式.当直线l平行 于坐标轴时，公式是否成立？
知识探究（二）：两平行直线的距离
思考1:两条平行直线的相对位置关系常 通过距离来反映，两平行直线间的距离 的含义是什么？
A
B
思考2:根据上述思路，你能推导出两平 行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0 （C1≠C2）之间的距离d的计算公式吗？
c 平面坐标系距离公式
c 平面坐标系距离公式一、两点间距离公式。
（一）在平面直角坐标系中。
1. 公式内容。
- 设平面直角坐标系中有两点A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，则两点间的距离d(A,B)=√((x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2)。
2. 推导过程。
- 以A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)两点为例，过A，B两点分别向x轴和y轴作垂线，两垂线相交于点C。
- 则AC = x_2 - x_1，BC=y_2 - y_1。
- 根据勾股定理，在直角三角形ABC中，AB^2 = AC^2+BC^2。
- 所以AB=√(AC^2 + BC^2)=√((x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2)。
3. 应用示例。
- 例：已知A(1,2)，B(4,6)，求A，B两点间的距离。
- 解：根据两点间距离公式d(A,B)=√((x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2)，这里x_1 = 1,y_1 = 2,x_2 = 4,y_2 = 6。
- 则d(A,B)=√((4 - 1)^2+(6 - 2)^2)=√(3^2+4^2)=√(9 + 16)=√(25)=5。
（二）在平面极坐标系中。
1. 公式内容。
- 设平面极坐标系中有两点A(ρ_1,θ_1)，B(ρ_2,θ_2)，则两点间的距离d(A,B)=√(ρ_1^2)+ρ_2^{2-2ρ_1ρ_2cos(θ_2-θ_1)}。
2. 推导过程（略，超出高中基础要求，可作为拓展知识）3. 应用示例。
- 例：已知A(2,(π)/(3))，B(3,(π)/(6))，求A，B两点间的距离。
- 解：根据公式d(A,B)=√(ρ_1^2)+ρ_2^{2-2ρ_1ρ_2cos(θ_2-θ_1)}，这里ρ_1 = 2,θ_1=(π)/(3),ρ_2 = 3,θ_2=(π)/(6)。
- 首先计算cos(θ_2-θ_1)=cos((π)/(6)-(π)/(3))=cos(-(π)/(6))=cos(π)/(6)=(√(3))/(2)。
平面直角坐标系中的基本公式
平面直角坐标系中的基本公式
平面直角坐标系是用来描述平面上点的位置的一种坐标系统。
该坐标
系由两个互相垂直的坐标轴组成，通常称为x轴和y轴。
任意点在该坐标
系中的位置可以由该点在x轴和y轴上的坐标表示。
在平面直角坐标系中，有一些基本的公式可以帮助我们计算点之间的距离、角度等几何性质。
1.平面直角坐标系中的点表示：
在平面直角坐标系中，任意一点的位置可以由它在x轴和y轴上的坐
标表示。
常用的表示方法是(x,y)，其中x表示该点在x轴上的坐标，y
表示该点在y轴上的坐标。
2.点之间的距离：
d=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)
3.点关于原点的对称点：
4.点的中点：
M=((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)
5.点的斜率：
斜率=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)
6.点的直线方程：
y-y₁=k(x-x₁)
7.点关于x轴的对称点：
8.点关于y轴的对称点：
9.点关于原点的对称点：
10.点关于一条直线的对称点：
P' = (x - 2 * (m * (mx + c - y) / (1 + m²)), y - 2 * (m * (mx + c - y) / (1 + m²)))
以上是平面直角坐标系中的一些基本公式。
这些公式在求解点之间距离、点关于直线的对称点等问题时非常有用，对于解决各种几何问题具有重要的参考价值。
平面直角坐标系中的距离公式(经典)
例2. 已知直线l1：2x－3y－8＝0， l2：6x－9y－3＝0， l1与l2是否平行？ 若平行，求l1与l2间的距离.
解：(方法一) 由k1=k2 可得： l1//l2
在直线l1上取点(4, 0)，其到直线l2的距离
d | 6 4 9 0 3 | 7 13
62 (9)2
13
∴直线l1与l2间的距离
d 7 13 13
例2. 已知直线l1：2x－3y－8＝0， l2：6x－9y－3＝0， l1与l2是否平行？ 若平行，求l1与l2间的距离.
解：(方法二) 由k1=k2 可得： l1//l2
将l2的方程变形为 ： 2x－3y－1＝0
∴直线l1与l2间的距离：
d | -18 | 7 13
22 (-3)2
想一想：
怎样用坐标的方法求点P(-3, 5)到直线 3x-4y＋5＝0的距离？P y
o
x
点ห้องสมุดไป่ตู้0(x0, y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离呢?
写出直线PQ的方程，
与l 联立求出点Ｑ的坐标，
然后用两点间的距离公式求得 |PQ|
.
y
P
l
Q
o
x
二、点到直线的距离公式：
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
二、点到直线的距离公式
d Ax0 By0 C . A2 B2
三、两条平行直线间的距离公式
d | C1 C2 | A2 B2
课后练：
1. 求过点M(－2, 1)，且与A(－1, 2)， B(3, 0)距离相等的直线方程.
2. 求与直线 l：5x－12y＋6＝0 平行且到 l 的距离为2的直线的方程.
平面直角坐标系中的距离公式及应用教案
平面直角坐标系中的距离公式及应用教案引言平面直角坐标系中距离公式是高中数学中的重要内容之一，该内容的重要性不仅在于它是数学基础的一部分，还在于它在实际应用中的广泛性。
本文将基于二元一次方程的平面直角坐标系中的距离公式，详细介绍该公式的基本原理以及其在实际应用中的具体运用。
第二部分：基本原理在平面直角坐标系中，两点的距离可以通过勾股定理求得，勾股定理就是数学中著名的毕达哥拉斯定理。
而二元一次方程又可以描述平面直角坐标系中的任意一条直线，因此可以利用二元一次方程求解两点之间的距离。
设平面直角坐标系中两点分别为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，则它们之间的距离可表示为：$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$这就是平面直角坐标系中的距离公式。
其中，$d$表示两点之间的距离，$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$表示两点的坐标。
由于平面直角坐标系中的距离公式是基于勾股定理推导出来的，因此也被称为勾股定理公式。
第三部分：具体运用在实际应用中，平面直角坐标系中的距离公式具有广泛应用。
以下是该公式在实际问题中的几个具体应用。
1.判断三角形是否为等边三角形对于平面直角坐标系中给定的三个点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$和$(x_3,y_3)$，如果这三个点构成的三角形的三条边相等，则这个三角形就是等边三角形。
利用平面直角坐标系中的距离公式可以判断三角形的三条边是否相等。
具体步骤如下：-计算出三角形的三个顶点之间的距离，即$d_{12}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，$d_{23}=\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}$，$d_{31}=\sqrt{(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2}$。
-判断$d_{12}$、$d_{23}$和$d_{31}$是否相等。
如果相等，则表示这个三角形是等边三角形。
平面直角坐标系中的距离公式和中点公式
A A2
（3）M2是A2，B2的中点吗？它们的
A1 O M1 B1 x 坐标有怎样的关系？
（4）你能写出点 M 的坐标吗？
精品
中点公式
在坐标平面内，两点 A(x1，y1)，B(x2，y2) 的中点 M(x，y) 的坐标之间满足：
x x1 x2 ， y y1 y2 ．
2
2
精品
例4 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(－3，0)， B(2，－2)，C(5，2)，求顶点 D 的坐标．
解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同， 所以它们的坐标也相同． 设点 D 的坐标为 (x，y) ，则
x2 2 y2
35 1 2
02 1
2
2
解得
x 0
y
4
所以顶点 D 的坐标为 (0，4) ．
精品
已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，0)，B(2，－4)，C(6，2)， 求顶点 D 的坐标．
S3
计算 d＝
d
2 x
d
2 y
；
S4 给出两点的距离d．
精品
例1 已知 A(2，－4)，B(－2，3) ，求 |AB| ． 解： 因为
x1＝2，x2＝－2，y1＝－4，y2＝3， 所以
dx＝x2－x1＝－2－2＝－4， dy＝y2－y1＝3－(－4)＝7． 因此 |A| Bdx 2dy 2(4)2726． 5
x=
x1 x 2 ． 2
精品
如图所示．设 A(-1，1)，B(2，3) ．
y
B2
B
A A2 A1 O
C B1 x
过 A，B 分别向 x 轴作垂线 AA1，BB1，垂足分别为 A1，B1 ；
2.1.5平面直角坐标系中的距离公式
x1 x2 5 x1 x2 3
2
| AB | 1 k | x1 x2 | 1 k ( x1 x2 ) 4 x1 x2
1 2 5 4 3 65
2 2
抽象概括
1. 平面上，点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的距离为：
§1.5 平面直角坐标系中的
距离公式
（一）
分析理解
1. x轴上，点P1(x1，Fra bibliotek)和P2(x2，0)的距离为：
|P1P2|=|x1-x2|
y轴上，点P1(0，y1)和P2(0，y2)的距离为：
|P1P2|=|y1-y2|
2. 平面上，点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的距离为：
| PP 1 2 | ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
| x2 x1 | ( x1 x2 ) 4 x1 x2
2
例题分析
例6 设直线2 x y 1 0与抛物线y x 3x 4
2
相交于点A、B，求 | AB | 的值.
2x y 1 0 2 解：由 x 5x 3 0 2 y x 3x 4
解：设P( x, y), 则
| PA |2 | PB |2 10 y2 18 y 10
9 9 19 当P为( , )时，最小值为 . 5 10 10
几何意义：AB的中点M 与P的连线MP l.
例题分析
变式：已知等边三角形ABC的边长为a，P为ABC 平面内一点，求 | PA | | PB | | PC | 的最小值.
（ 2）点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : y y1 的距离是 d y0 y1 。
平面直角坐标系中的距离公式
2 2
y
1 3 C( ， ) 2 2
O
B( 1， 0)
x
1 3 1, 4
AB 2，
3 3 AC 2 2
2
2
3,
2
所以 AC BC AB . 即ABC是直角三角形 .
34 . 5
l1 : 5x 12y 9 0的距离 . 例18 (1)求原点到直线
(2)求P(1 ， 2)到直线l2 : 2 x y 10 0的距离.
解 (1)原点到直线的距离为
d 5 0 12 0 9
9 . . 2 13 52 （ 12）
(2)点P到直线l2的距离为
d 2 (1) 2 10 2 1
2 2
2 5.
Ax0 By0 C 1.求下列点到直线的距离 . d . 2 2 （ 1 ）（0,0）， 3x 2 y 4 0; A B 解 (1)点(0,0)到直线的距离为
d 3 0 (2) 0 4
2 32 （ 2）
用上述方法可以得到
d
Ax0 By0 C A B
2 2
.
即点P到直线Ax By C 0的距离公式 .
点P(3,5)到直线l： 3x 4 y 5 0的距离 .
3 （ 3） （ 4） 5 （ 5） d . 2 2 （ 3） （ 4）
9 20 5 9 16 .
P78练习
4 4 13 . 13 13
（3）（2,3），x y; 解 (3)点(2,3)到直线的距离为
d 1 2 (1) (3) 0 1 （ 1 ）
平面直角坐标系中的距离公式和中点公式
如图所示．设 M(x，y) 是 A(-1，1)，B(2，3) 的中点
．
y
（1）你能说出垂足A1，A2，B1，B2，
B2
B
M2 M
M1，M2的坐标吗？ （2）点M是AB中点，M1是A1，B1
的
A A2
中（点3）吗M？2它是们A2的，坐B2标的有中怎点样吗的？关它系们？的
dx＝x2－x1，dy＝y2－y1；
S3
计算 d＝
d
2 x
d
2 y
；
S4 给出两点的距离d．
例1 已知 A(2，－4)，B(－2，3) ，求 |AB| ．
解： 因为
x1＝2，xБайду номын сангаас＝－2，y1＝－4，y2＝3，
所以
dx＝x2－x1＝－2－2＝－4， dy＝y2－y1＝3－(－4)＝
因7．此
|A| Bdx 2dy 2( 4)2726． 5
1．直角坐标系中两点间的距离公式． 2．直角坐标系中两点的中点公式． 3．点的对称．
P 71 练习 A 第 1 题，第 2 题；
求两点之间的距离：
强 （1）A（6，2），B（－2，5）；
化 练
（2）C（2，－4），D（7，2）．
习
如图所示．设 M(x，y) 是 A(-1，1) ，B(2，3) 的中点．
y
B2
B
M2 M
A A2
A1 O M1 B1 x
过 A，B，M 分别向 x 轴作垂线 AA1，BB1， MM1，垂足分别为 A1， B1 ，M1 ；
解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同， 所以它们的坐标也相同．
平面直角坐标系中的距离公式
平面直角坐标系中的距离公式在平面直角坐标系中，可以使用勾股定理来计算两点之间的距离。
平面直角坐标系由x轴和y轴构成，每个点都有唯一的坐标表示(x,y)。
设两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，根据勾股定理，两点之间的距离可以表示为：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)根据这个公式，我们可以计算出平面直角坐标系中任意两点之间的距离。
下面我们通过几个例子来说明如何使用距离公式。
例1：计算两点之间的距离设点A(2,3)和点B(5,7)。
我们可以使用距离公式来计算两点之间的距离。
根据公式：d=√((5-2)²+(7-3)²)=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5所以点A和点B之间的距离为5个单位。
例2：判断点的位置关系设点A(0,0)和点B(3,4)。
我们可以使用距离公式来计算两点之间的距离。
根据公式：d=√((3-0)²+(4-0)²)=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5所以点A和点B之间的距离为5个单位。
如果我们进一步观察可以发现，点A到原点(0,0)的距离也是5个单位。
这说明点A和点B在平面上的位置关系是相等距离，也即位于同一个圆上。
这是因为在平面直角坐标系中，两点之间的距离就是它们在平面上的直线距离。
所以两点的距离可以帮助我们判断它们在平面上的位置关系。
例3：计算线段长度除了计算两点之间的距离，距离公式还可以用于计算线段的长度。
线段的长度是线段上各个点之间的距离之和。
设有线段AB的两个端点坐标分别为A(x1,y1)和B(x2,y2)。
要计算线段AB的长度，可以计算每个相邻点之间的距离，然后将它们的距离相加。
设有n个相邻点，距离公式可以表示为：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) + √((x3 - x2)² + (y3 - y2)²) + ... + √((xn - xn-1)² + (yn - yn-1)²)这样就可以计算出线段的长度。
高中数学课件-平面直角坐标系中的距离公式
A．1
B．2
1 C.2
D．4
B [∵63＝m4 ≠－143，∴m＝8，直线 6x＋my＋14＝0 可化为 3x＋
4y＋7＝0，两平行线之间的距离 d＝|－332＋－472|＝2.]
21
3．已知两平行直线，其距离可利用公式 d＝ |CA1－2＋CB2|2求解，也可 在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离．
|Ax0＋By0＋C| A2＋B2
.
思考：点到直线的距离公式对于 A＝0 或 B＝0 时的直线是否仍 然适用？
4
提示：仍然适用，①当 A＝0，B≠0 时，直线 l 的方程为 By＋C ＝0，
即 y＝－CB，d＝y0＋CB＝|By|0B＋| C|，适合公式． ②当 B＝0，A≠0 时，直线 l 的方程为 Ax＋C＝0，x＝－CA，d＝ x0＋CA＝|Ax|0A＋| C|，适合公式．
则这两条直线间的距离是________． 5 [d＝|3－(－2)|＝5.]
8
两点间的距离公式
【例 1】 (1)若 x 轴的正半轴上的点 M 到原点的距离与点(5，－
3)到原点的距离相等，则点 M 的坐标为( )
A．(－2,0)
B．(1,0)
C.32，0
D．( 34，0)
(2)直线 2x＋my＋2＝0(m≠0)与两坐标轴的交点之间的距离为
5
3．两平行线间的距离公式
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的
距离d＝
|C1－C2| A2＋B2
.
6
1．已知 A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则||CACB||的值为( )
1 A.3 C．3
1 B.2 D．2
平面直角坐标系中的距离公式和中点公式
B(x2，y2)
A(x2 ，y2)
O
x
求两点之间的距离的计算步骤：
S1 给两点的坐标赋值：
x1＝？，y1＝？，x2＝？，y2＝？ S2 计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即
dx＝x2－x1，dy＝y2－y1；
S3 计算 d＝
；
S4 给出两点的距离d．
例1 已知 A(2，－4)，B(－2，3) ，求 |AB| ． 解： 因为
例2 求证：平面直角坐标系内，点P（x，y）与 点Q（-x，-y）关于坐标原点成中心对称。 证明：设P与Q的对称中心为（x0，y0），则
X0 = X+(-X) =0 2
Y0 = Y+(-Y) =0 2
所以坐标原点为P与Q的对称中心。
例3 已知坐标平面内的任意一点P（a，b）， 分别求它关于x轴的对称点M，关于y轴对称点 N的坐标。
y
B2
B
A A2 A1 O
C B1 x
过 A，B 分别向 x 轴作垂线 AA1，BB1，垂足分别为 A1，B1 ；
过 A，B 分别向 y 轴作垂线 AA2，BB2，垂足分别为 A2，B2 ；
其中直线 BB1 和 AA2 相交于 点C．
如图所示．设 A(-1，1)，B(2，3) ．
y B2
A A2 A1 O
解：设点的坐标为M（m1，m2） ∵ P与M关于X轴对称 ∴PM⊥X轴 ∴ m1 =a；
如图所示，PM与X轴交点为C ∴点C为PM的中点，纵坐标为0
由中点公式可得：
y N
O
P
C
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b+ m2 2
=0
M
解得： m2 = -b
平面直角坐标系与距离公式
平面直角坐标系与距离公式在数学中，平面直角坐标系是一种用来描述平面上点位置的坐标系统。
平面直角坐标系由两个相互垂直的坐标轴组成，通常表示为x轴和y轴。
这种坐标系可以帮助我们准确地确定平面上点的位置，以及计算点与点之间的距离。
平面直角坐标系由于其简洁和易用的特点，在数学、物理、工程学等领域得到广泛应用。
在平面直角坐标系中，每个点的位置由一个有序数对(x, y)来表示，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
距离公式是在平面直角坐标系中计算两点之间距离的公式。
在平面直角坐标系中，假设有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)分别表示在坐标系中的两个点的位置。
根据勾股定理可以得到以下距离公式：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)其中d表示点A和点B之间的距离。
通过这个公式，我们可以很方便地计算任意两个点之间的距离。
为了更好地理解平面直角坐标系和距离公式的应用，我们举个例子来说明。
假设有两个点A(2, 3)和B(5, 7)，我们想要计算这两个点之间的距离。
根据距离公式，我们可以计算出：d = √((5 - 2)^2 + (7 - 3)^2)= √(3^2 + 4^2)= √(9 + 16)= √25= 5因此，点A和点B之间的距离为5个单位。
通过这个例子，我们可以看到距离公式的实际应用和计算过程。
除了计算两点之间的距离，平面直角坐标系还可以进行其他各种运算，例如确定一条线段的长度、求解三角形的面积等等。
通过合理利用平面直角坐标系和距离公式，我们可以更方便地解决各种数学和科学问题。
总结一下，平面直角坐标系是一种简洁有效的坐标系统，可以用来准确描述平面上点的位置。
距离公式是计算平面直角坐标系中两点之间距离的公式，帮助我们进行各种数学和科学计算。
通过学习和应用平面直角坐标系和距离公式，我们可以更好地理解和解决各种与平面几何相关的问题。
平面直角坐标系中的距离公式和中点公式
x2 35 1
2
2
y2 02 1
2
2
解得
x 0
y
4
所以顶点 D 的坐标为 (0，4) ．
已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，0)，B(2，－4)，C(6，2)， 求顶点 D 的坐标．
1．直角坐标系中两点间的距离公式． 2．直角坐标系中两点的中点公式． 3．点的对称．
必做题：P 70 练习 A 第 1 题，第 2 题； 选做题：P 70 练习 B 第 3 题．
（1）A（6，2），B（－2，5）； （2）C（2，－4），D（7，2）．
如图所示．设 M(x，y) 是 A(x1，y1) ，B(x2，y2) 的中点．
y
B2
B
M2 M
A A2
A1 O M1 B1 x
过 A，B，M 分别向 x 轴作垂线 AA1，BB1， MM1，垂足分别为 A1， B1 ，M1 ；
关于坐标原点成中心对称．
证明 设 P 与P 的对称中心为(x0，y0)，则 x (x)
x0 2 0,
y0
y ( y) 2
0.
所以坐标原点为 P 与 P 的对称中心．
求下列各点关于坐标原点的对称点： A(2，3)，B(－3，5)，C(－2，－4)，D(3，－5)．
例3 已知坐标平面内的任意一点 P(a，b)，
直线
圆
圆
直线
8.1.2平面直角坐标系中的
距离公式和中点公式
1.数轴上的距离公式
一般地，如果 A(x1)，B(x2) ，则这两点的距离公式为 |AB|＝|x2－x1|．
2.数轴上的中点公式
一般地，在数轴上，A(x1)，B(x2) 的中点坐标 x 满足关系式
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∴|AB|=|3|=3，|AC|=|y|，
∴S∆ABC=
1 2
AB
AC
1 2
3
|
y
|
5,
∴ | y | 10 , ∴ y 10 ,
3
3
∴点C (0, 10) 或(0, 10).
3
3
在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别是A(2,-3), B(5,-2),C(2,4),D(-2,2)求四边形ABCD的周长和面积．
y
x
如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,2),B(3,0),C(3,4)三点． （1）求△ABC的面积． （2）如果在第二象限内有一点P(m,12)是否存在点P，使四边 形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐 标；若不存在，请说明理由．
4
C
3
P
2A
1
B
123
1. 两点距离多用于求长度、周长和面积等； 2. x轴上的两点距离，为两点横坐标的差的绝对值；
y轴上的两点距离，为两点纵坐标的差的绝对值. 3. 求多边形的面积：使用“分割求和”或“补形作差”
来计算面积.
祝同学们学习进步哦！
y
. B(x2,y2)
|y1-y2|
|x1-x2|
| AB |
|x1-x2|
.A(x1,y1)
(x x )2 (y ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy )2
1
2
1
2
|y1-y2|
O
x
3. 坐标系中求线段长的方法：如果两个点的连线平行于x轴
或y轴，则其线段长等于大坐标－小坐标；如果不平行，则运
用两点之间的距离公式：L (x x )2 ( y y )2
1
2
1
2
若x轴上点P与点Q(-2,0)的距离是5，则点P的坐标是（ ）
A. (7,0) C. (3,0)
B. (-7,0)； D. (-7,0)或(3,0)
如果点A(0,0) ，B(3,0) ,点C在y轴上，且∆ABC的面积是5，求C点 的坐标．
解：由已知可知，A为原点，B在x轴正方向上,
∵点C在y轴上， ∴设C点坐标为(0,y)，
平面直角坐标系 中的距离
主讲教师：郑 丽
y
. A(a,b)
|a|
|b|
x
1. 每一个点（a,b）的坐标由两部分组成： A. 它的符号，由它在坐标系中的位置决定； B. 它的长度，
. y=b A(a,b)
.A2(-a,b)
. A1 (a,-b) x=a
. A3 (-a,-b)
2. 关于x轴对称的两个点，x相同，y相反；关于y轴对称的两 个点，x相反，y相同；关于原点对称的两个点，x、y都相反； 于x轴平行的直线，y相同，x不同，可表示为y=b；于y轴平行 的直线，x相同，y不同；可表示为x=a；