教案平面向量的概念及线性运算
平面向量的概念及线性运算
富县高级中学集体备课教案年级：高三科目：数学授课人：课题第一节 ►►平面向量的概念及线性运算第 1 课时三维目标(1)考查平面向量的概念、线性运算；(2)考查向量运算的几何意义，向量共线的应用．重点重视向量的概念，熟练掌握向量加减法及几何意义；中心发言人难点理解应用向量共线和点共线、直线平行的关系.教具多媒体课型复习课课时安排2 课时教法引导点拨学法合作探究个人主页教学过程知识梳理1．向量的有关概念向量的定义： 相等向量：零向量：相反向量：单位向量：平行向量：共线向量：2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和运算______法则__________法则(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得________. 二、处理学情自测 三、典例精析 1.平面向量的概念【例1】 给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .其中正确命题的序号是________． 2.平面向量的线性运算 【例2】 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.减法求a 与b 的相反向量－b 的和________法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向____；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向____；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa)＝λμa ；(λ＋μ)a ＝______； λ(a ＋b)＝______3.共线向量定理及应用【例3】设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线；(2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．思维启迪：解决点共线或向量共线的问题，要结合向量共线定理进行．4.易错警示（忽视零向量与实数0的区别致误） 【示例】 下列命题正确的是( )A ．向量a 、b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b ＝λaB ．在△ABC 中，AB →＋BC →＋CA →＝0C ．不等式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |中两个等号不可能同时成立D ．向量a 、b 不共线，则向量a ＋b 与向量a －b 必不共线 教 后 反 思审核人签字： 年 月 日。
《平面向量》第1讲 平面向量的概念和线性运算
小结
1. 基本概念.
2. 向量的线性运算(加法、减法、数乘).
运算结果仍然是一个向量.
3. 两个向量共线的充要条件.
三点共线的应用.
一.向量的基本概念
[例题1]. 下列说法正确的是 .
(1).0 的方向是任意的；
(2).0// a;
(3). 0 0;
(4).0 a a 0 a;
(5). 0 0; (6).0 a 0.
二.向量的线性运算
[例题2]. 设O是正六边形ABCDEF的中点. (1) 与 OA 相等的向量有 (2) 设 AC a, BD b, 请用这两个向量表示 CD . .
课题：
向量的基本概念与线性运算
知识点1.向量的基本概念
(1) 既有大小，又有方向的量叫向量. (2) 长度为0的向量叫零向量． (3) 长度等于1的向量单位向量．
[ [
Y Y
] ]
[ (4) 方向相同的非零向量叫平行向量. [ (5) 平行向量又叫共线向量． [ [ (6) 长度相等的向量叫相等向量．
BC CD
(2) 证明：A、B、D三点共线.
(3) 试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线．
二.向量的线性运算
变式1. 设 a , b 是两个非零的不共线向量 . 且向量 a , b 的起点相同，当t= 时，
1 ab 三个向量 a , tb, 3
的终点共线 .
二.向量的线性运算
(7) 方向相反的向量叫相反向量．
[
Y ] N ] Y ] N ] N ]
知识点2、向量的线性运算.
类型 加 法 代数运算
几何运算
a
坐标运算
平面向量基本定理教案(精选10篇)
平面向量基本定理教案(精选10篇)(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中数学_《平面向量的概念及其线性运算》教学设计学情分析教材分析课后反思
《平面向量的概念及其线性运算》教学设计一、教材分析：本节课对平面向量的概念及其线性运算的复习，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习平面向量的总结和探索。
正确理解和熟练掌握平面向量的概念及其线性运算是之后学好空间向量的关键。
二、学情分析：本节课是在学习平面向量的概念及其线性运算，继续深入学习，是一节复习课。
学生已经掌握了平面向量的概念及其线性运算的基础知识，，这为本节课的学习提供了一定的知识保障，在此基础上，本节课将继续加深学生对基础知识的理解，加强平面向量的线性运算，这也是为后面学习空间向量内容做好知识储备的课．为了让学生能更加直观、形象地理解平面向量的概念及其线性运算，将采用多媒体课件进行演示，以提高学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。
三、教学目标：1、了解向量的实际背景；2、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3、理解向量的几何表示；4、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5、掌握向量数乘的运算及其儿几何意义,理解两个向量共线的含义；6、了解向量线性运算的性质及其几何意义；四、教学重点和教学难点：（一）教学重点：1、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；2、理解向量的几何表示；3、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；4、掌握向量数乘的运算及其儿几何意义,理解两个向量共线的含义；5、了解向量线性运算的性质及其几何意义；（二）教学难点：平面向量的线性运算以及共线定理的应用五、教学工具：多媒体、粉笔等。
六、教学过程：向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba+=+；(2)结合律：cbacba++=++)()(减法求a与b的相反向量－b的和的运算)(baba-+=-相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量的相反向量为0教师展示表格，布置任务学生加深学生对新知识的理解共线．其中错误说法的序号是________． 考点二 平面向量的线性运算(基础之翼练牢固)[题组练通]1．在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EC EB 4=，则ED ＝ ( ) A. AD AB 3465- B. AD AB 6534- C. AD AB 3465+ D. AD AB 6534+2．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE 等于 （ ）A.AD AB 2132+ B.AD AB 3221+ C.AD AB 3165+ D.AD AB 6531+ 3．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若BC AB AO μλ+=，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ等于 ( )教师板书讲题过程教师提出问题学生自主完成，并回答问题培养学生语音表达能力，激发学生七、板书设计：平面向量的概念及其线性运算一、知识梳理二、典例分析1、向量的有关概念考点一：2、向量的线性运算考点二：3、共线向量定理考点三：八、教学反思：总体情况良好，基本满意，大多数学生可以换换掌握！九、作业反馈：分析作业中存在的问题，查找原因，并进行总结和反馈。
平面向量的概念及线性运算
一、平面向量的线性运算（三角形重心问题）
例 1、在△ABC 中，D、E 分别为 BC，AC 边上的中点，G 为 BE 上一点，且 GB=2GE，设
AB a ， AC b ，试用 a ， b 表示 AD ， AG 。
变式 1： （2007 年高考北京卷）已知 O 是△ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边中点，且
2OA OB OC 0 ，那么（
A、 AO OD
） C、 AO 3OD D、 2 AO OD ）
B、 AO 2OD
变式 2：G 为△ABC 内一点，且满足 GA GB GC 0 ,则 G 为△ABC 的（ A、外心 B、内心 C、垂心 D、重心
变式 3：若 OA OB OC 0 ，且 OA OB OC ，则△ABC 是
D、
4 3 a b 5 5
AB AC m AM 成立，则 m=
A、5 B、4 C、3 D、2 变式 6：在△ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分∠ACB，若 CB a ， CA b ， a 1 ，
b 2 ，则 CD =（
A、 a
） B、
1 3
2 b 3
2 1 a b 3 3
C、
3 4 a b 5 5
三角形；
变 式 4 ： 设 G 是 ABC 的 重 心 ， a, b, c 分 别 是 角 A, B, C 的 对 边 ， 若
3 aGA bGB cGC 0 则角 A （ 3 A、 90 B、 60
） C、 45
D、 30
变 式 5 ： 已 知 △ ABC 和 点 M 满 足 MA MB MC 0 ， 若 存 在 实 数 m 使 得
平面向量的概念及线性运算(基础)-教案
学员编号：年级：高一课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第07讲---平面向量的概念及线性运算授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①了解向量、向量的相等、共线向量等概念；②掌握向量、向量的相等、共线向量等概念；③熟练掌握向量的线性运算法则：加法法则，减法法则，数乘法则。
授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1一、平面向量的概念：1、平面向量：在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a．2、向量的模长：向量的大小叫做向量的模．向量a,AB的模依次记作a，AB．3、零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．知识梳理aAB图7－2、平行四边形法则：如图7－4所示，这说明，在平行四边形ABCD aa起点相同的两个向量a、b，其差a－b仍然是一个向量，的终点，终点是被减向量a的终点．()()3a a a λμλμ+=+ ；()()a b a b λλλ+=+４ ．考点一：平面向量的基本概念 例1、给出下列六个命题：① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ② 若|a |＝|b |，则a ＝b ；③ 若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形； ④ 在ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ⑤ 若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中错误的命题有________．(填序号)【解析】两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a 、b 不一定相等，故②不正确；AB →＝DC →，可能有A 、B 、C 、D 在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a ∥b ，b ∥c 时，若b ＝0，则a 与c 不一定平行，故⑥不正确．故答案为①②③⑥；例2、在平行四边形ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点．（1）找出与向量DA 相等的向量； （2）找出向量DC 的负向量；（3）找出与向量AB 平行的向量．【解析】要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．解： 由平行四边形的性质，得（1）CB =DA ；（2）BA =DC -,CD DC =-；（3）BA //AB ,DC //AB ，CD //AB ． 考点二：平面向量的线性表示例1、一艘船以12 km/h 的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h ，求该船的实际航行速度．典例分析ADCB图7－5O【解析】如图7－10所示，AB 表示船速，AC 为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD 是船的实际航行速度，显然22AD AB AC =+=22125+=13．又512tan =∠CAD ，利用计算器求得6723CAD '∠≈︒． 即船的实际航行速度大小是13km/h ，其方向与河岸线(水流方向)的夹角约6723'︒．例2、 用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k ，两条绳子与垂线的夹角为θ，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力1F 与2F 的大小． 【解析】利用平行四边形法则，可以得到1212cos F F F k +==θ，所以 12cos k F =θ．例3、已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量a －b ．【解析】如图7－14（2）所示，以平面上任一点O 为起点，作OA =a ，OB =b ，连接BA ，则向量BA 为所求的差向量，即BA = a －b ．例4、在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．求出向量AC 与【解析】因为12AO AC =,12OD BD =，所以需要首先分别BD .AC ＝a ＋b ,BD ＝b −a ，BbOaAba（1）（2）图7－14ABD CF 1F 2kθ 图7－11图7－16因为O 分别为AC ，BD 的中点，所以 1122==AO AC （a ＋b ）＝12a ＋12b ，OD ＝12BD ＝12（b −a ）＝−12a +12b ． 例5、平行四边形OADB 的对角线交点为C ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.【解析】BA →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .OD →＝a ＋b ，ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD→＝23OD →＝23a ＋23b .MN →＝ON →－OM →＝12a －16b . 考点三：共线向量例1、设两个非零向量a 与b 不共线．(1) 若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2) 试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．【解析】(1) 证明：∵ AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，∴ BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴ AB →，BD →共线．又它们有公共点B ，∴ A 、B 、D 三点共线． (2) 解：∵ k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴ 存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a 、b 是两不共线的非零向量， ∴ k －λ＝λk －1＝0. ∴ k 2－1＝0.∴ k ＝±1.例2、已知a 、b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )，当A 、B 、C 三点共线时λ、μ满足的条件为________．【解析】由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )及A 、B 、C 三点共线得AB →＝tAC →，所以λa ＋b ＝t(a ＋μb )＝t a＋tμb ，即可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝tμ，所以λμ＝1.考点四：向量共线的应用例1、如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________． 【解析】如图所示，设M 是AC 的中点，则OA →＋OC →＝2OM →. 又OA →＋OC →＝－2OB →， ∴ OM →＝－OB →， 即O 是BM 的中点， ∴ S △AOB ＝S △AOM ＝12S △AOC ，即S △AOB S △AOC ＝12. 例2、如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ；在BN的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．【解析】∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋CN →)＝12BC →， QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.P (Practice-Oriented)——实战演练➢ 课堂狙击1．在下列判断中，正确的是( )①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③单位向量的长度都相等； ④单位向量都是同方向； ⑤任意向量与零向量都共线． A ．①②③ B ．②③④ C ．①②⑤D ．①③⑤【解析】由定义知①正确，②由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确．显然，③、⑤正确，④不正确，所以答案是D. 2．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →等于( )A ．BC →B ．AB →C ．AC →D ．AM →【解析】原式＝AB →＋BC →＋MB →＋BO →＋OM →＝AC →＋0＝AC →；故选C 。
平面向量的线性运算教学设计
平面向量的线性运算【教学目标】1．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；2．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两向量共线的含义．【教学重点】1．了解向量的实际背景；2．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；3．理解向量的几何表示．【教学难点】1．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；2．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两向量共线的含义．3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．【高考动向】1．本节课是高考考查的重点和热点；2．考查的题型多为选择题、填空题；向量与三角函数、解析几何交汇命题时，则出现在解答题中，难度一般不大，属中低档题．【教学过程】一、近三年平面向量真题展示（5.3复习资料P82，略）二、知识讲解1. 平面向量的两种表示：①向量的几何表示：常用表示；②向量的字母表示：（1）印刷体；（2）手写体．2. 平面向量的概念：⃗⃗⃗⃗⃗ 的也就是向量的长度（或模）．①向量的长度（模）：向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ |或|a⃗|．记作：|AB②两个特殊向量：（1）零向量：长度（模）为的向量，记作：0⃗；（2）单位向量：长度（模）为个单位的向量；（3）平行向量（又叫共线向量）：方向或的非零向量，记作：a⃗//b⃗ //c⃗；（4）相等向量：长度且方向的向量，记作：a⃗=b⃗ =c⃗．规定：0⃗与任一向量平行．3. 【露他一小手儿】 例1. 下列说法中：① 相等向量一定是平行向量； ② 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是单位向量，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 也是单位向量； ③ 向量的模是一个非负实数； ④ 共线向量一定在同一直线上． 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 变1. 下列结论中，正确的是（ ） A ． 若a ⃗ =b ⃗ ，则a ⃗ ，b ⃗ 的长度相等，且方向相同或相反B ． 若向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >CD ⃗⃗⃗⃗⃗C ． 若a ⃗ =b ⃗ ，则a ⃗ //b ⃗D ． 由于零向量的方向不定，故零向量不能与任一向量平行 变2. 下列说法正确的是（ ）A ．若a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，则a ⃗ //c ⃗B ．向量a⃗ 与b ⃗ 平行，则a ⃗ 与b ⃗ 的方向相同或相反 C ．向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度与向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度相等 D ．若四边形ABCD 是平行四边形，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 变3. 下列说法正确的是（ ） A ．平行向量不一定是共线向量B ．两个有共同终点的向量，一定是共线向量C ．共线向量都相等D ．模为0的向量与任意一个向量平行 4.向量的两个法则 ①向量加法三角形法则口诀：尾首相连，由起点指向终点.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =②向量加法平行四边形法则 口诀：起点相同，对角为和.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ③向量减法三角形法则口诀：共起点，连终点，方向指向被减向量.OA⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A5.重要结论在∆ABC 中，若D 为BC 边的终点，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 6. 【露他一小手儿】例2.（2018全国卷Ⅰ）在∆ABC 中，AD 为中线，E 为AD 的中点，则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A ．34AB ⃗⃗⃗⃗ −14AC ⃗⃗⃗⃗ B ．34AB ⃗⃗⃗⃗ +14AC⃗⃗⃗⃗ C ．14AB ⃗⃗⃗⃗ −34AC ⃗⃗⃗⃗ D ．14AB ⃗⃗⃗⃗ +34AC⃗⃗⃗⃗ 变1. 在∆ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，若点D 满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A ．23b ⃗ +13c B ．53b ⃗ −23c C ．23b ⃗ −13c D ．13b ⃗ +23c 7.向量共线定理向量a ⃗ （a ⃗ ≠0⃗ ）与b ⃗ 共线，当且仅当有唯一实数λ，使 ．即a ⃗ 与b ⃗ 共线⇔ （a ⃗ ≠0⃗ ）．8. 【露他一小手儿】例3.设a ⃗ 与b ⃗ 是两个不共线，且a ⃗ +λb ⃗ 与2a ⃗ −b ⃗ 共线，则λ= ． 变1. 设e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 是两个不共线向量，且3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 与m e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ 共线，则m = ． 9. 平面向量基本定理如果e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内任一向量a⃗ ，有且只有一对实数λ1，λ2使 ．其中，不共线的两个向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 叫做一组 ．10. 【露他一小手儿】例4.已知向量e 1⃗⃗⃗ ≠0⃗ ，e 2⃗⃗⃗ ≠0⃗ ，λ∈R ，a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +λe 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ ，若a ⃗ 与b ⃗ 共线，则下列关系一定成立的是( )A ．e 1⃗⃗⃗ ∥e 2⃗⃗⃗B ．e 2⃗⃗⃗ =0⃗C ．λ=0D ．e 1⃗⃗⃗ ∥e 2⃗⃗⃗ 或λ=0变1.已知向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 不共线，实数x ，y 满足（2x −3 y ）e 1⃗⃗⃗ +(3x −4y )e 2⃗⃗⃗ =6e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗ ，则x = ，y= ．ＡＢＣＤＡＢＣＤ。
平面向量的概念及线性运算教案
【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算【教学目标】知识目标：（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念； （2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念． 能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．【教学重点】向量的线性运算．【教学难点】已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．【教学设计】从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念． 向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a ＞b ”没有意义，而“︱a ︱＞︱b ︱”才是有意义的.教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a -b =a +(-b )，它可以通过几何作图的方法得到，即a -b 可表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.实数λ乘以非零向量a ，是数乘运算，其结果记作λa ，它是一个向量，其方向与向量a 相同，其模为a 的λ倍．由此得到λ⇔=a b a b ∥．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a 、b ”与“0λ≠ ”等条件.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过程行为行为意图间7.1 平面向量的概念及线性运算*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1 介绍播放课件引导分析了解观看课件思考自我分析从实例出发使学生自然的走向知识点3*动脑思考探索新知【新知识】在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a．图7－2向量的大小叫做向量的模．向量a,AB的模依次记作a，AB．模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是不确定的．总结归纳仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析引导式启发学生得出结果10aABAB与MN，它们所在的直线平行，两个向量的方向相同；向量CD与PQ所在的直线平行，两个AB与MN，方向相同，模相等；平HG与TK，方向相反，模相等．我们所研究的向量只有大小与方向两个要素．的模相等并且方向相同时，称向量b．也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种性质的向量叫做自由向量．AB = MN ，GH = －TK ． ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点DA 相等的向量； DC 的负向量；）找出与向量AB 平行的向量要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．CB =DA ；BA =DC -,CD DC =-； BA //AB ,DC //AB ，CD //AB ． 强化练习如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写EF 相等的向量；AD 共线的向量OC 相等的向量；）OC 的负向量；OC 共线的向量．巡视指导A D E FAB DAC 叫做AB 与位BC 的和AC =AB +BC ．AB =a , BC =b ，则向量AC 叫做向量＋b ，即b =AB ＋BC =AC （求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方三角形法则．可以看到：依照三角形法则进行向量abaAD=BC，AB＋AD=AB＋BC=AC这说明，在平行四边形AC所表示的向量就是AB与AD的和．这种求和向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：总结归纳AB表示船速，AC 为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD 是船的实际航行速度，显然22AD AB AC=+=12又512tan =∠CAD ，利用计算器求得6723'≈︒1．即船的实际航行速度大小是流方向)的夹角约6723'︒．过程行为行为意图间图7-12 讲解说明思考求解62*运用知识强化练习练习7.1.21．如图，已知a，b，求a＋b．2．填空（向量如图所示）：（1）a＋b =_____________ ,（2）b＋c =_____________ ,（3）a＋b＋c =_____________ ．3．计算：（1）AB＋BC＋CD；（2）OB＋BC＋CA．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳65*创设情境兴趣导入在进行数学运算的时候，减去一个数可以看作加上这个数的相反数．质疑引导分析思考参与分析引导启发学生思考66*动脑思考探索新知与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即总结归纳（图1－15）bbaa （1）（2）第1题图=OA，b OB，则OA OB OA OB OA BO BO OA BA-=+-+=+=．()=-=BA（7．OA OB观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a、b，b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减的终点，终点是被减向量a的终点．OA=a，OB=b，连接BA为所求的差向量，即BA= a－b ．【想一想】当a与b共线时，如何画出 b ．*运用知识-=_______________AB AD过 程行为 行为 意图 间（2）BC BA -=______________， （3）OD OA -=______________．2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB = a ,AD = b ，试用a , b 表示向量AC 、BD 、DB ．启发 引导 提问 巡视 指导 思考 了解 动手 求解可以 交给 学生 自我 发现 归纳72 *创设情境 兴趣导入观察图7－15可以看出，向量OC 与向量a 共线，并且OC ＝3a ．图7−15质疑 引导 分析思考 参与 分析引导启发学生思考74 *动脑思考 探索新知一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为||||||a a λ=λ （7．3） 若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有 λ⇔=a b a b ∥ （7．4）一般地，有 0a = 0,λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对总结 归纳思考 归纳带领 学生 分析a a aaOAB C过 程行为 行为 意图 间于任意向量a , b 及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则：()()111=-=-a a a a ， ；()()()()2a a a λμλμμλ== ；()()3a a a λμλμ+=+ ；()()a b a b λλλ+=+４ ． 【做一做】请画出图形来，分别验证这些法则．向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的．仔细 分析 讲解 关键 词语理解 记忆 理解 记忆引导 启发 学生 得出 结论78 *巩固知识 典型例题例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．分析 因为12AO AC =,12OD BD =，所以需要首先分别求出向量AC 与BD .解 AC＋b ,BD ＝b −a ，＝a 因为O 分别为AC ，BD 的中点，所以1122==AO AC （a ＋b ）＝12a ＋12b ，强调 含义 说明思考 求解 领会注意 观察 学生 是否 理解 知识 点图7－16OD＝12BD＝12（a＋12b和−12a+12AO、OD可以用向量λa＋μb叫做a, b的一个．如果l ＝λa＋μb向量的加法、减法、数乘运算都叫做OA，使OA＝12（向量、向量的模、向量相等是如何定义的？向量的大小叫做向量的AB的模依次记作AB．a与向量的模相等并且方向相同时，称向量相等，记作*归纳小结本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？过程AB＋BC＋CD；（OB＋BC＋CA．活动探究读书部分：教材书面作业：教材习题7．A组（必做）；7．1 B 【教师教学后记】。
平面向量教案3篇
平面向量教案3篇平面向量教案1一、教学目标：1. 理解平面向量的定义及相关术语；2. 掌握平面向量的基础运算和性质，如向量的加、减、数乘、模长等；3. 能够利用向量解决几何、三角学以及力学等问题。
二、教学重难点：教学重点：向量的基础运算和性质；教学难点：向量问题的解答。
三、教学方法：讲述法、举例法、实验法。
四、教学过程：1. 前置知识概括为了有利于学生对本次课程的学习，首先需要对平面向量有一定的了解。
向量是运用在三角学以及计算机科学中的一个概念，它表示一个方向和一个大小。
在二维空间中，向量通常用一个有序数对(x, y)表示，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
然而，在本课程中，我们将会介绍另一种同样重要的表现向量的方式：平面向量。
2. 讲解平面向量的定义及相关术语平面向量即为有向线段，表示为 $\vec{a}$，具有大小和方向。
平面向量有以下几个重要的术语：（1）起点：向量 $\vec{a}$ 的起点是线段的始点，表示为 $A$。
（2）终点：向量 $\vec{a}$ 的终点是线段的末点，表示为 $B$。
（3）长度：向量 $\vec{a}$ 的长度等于线段 $AB$ 的长度，可以用$|\vec{a}|$表示。
（4）方向角：向量 $\vec{a}$ 的方向角是向量与$x$轴正方向的夹角，通常用 $\theta$表示。
（5）方向余弦：向量 $\vec{a}$ 的方向余弦分别是向量在$x$和$y$轴上的投影与向量长度的比值，分别用 $\cos\alpha$ 和$\cos\beta$表示。
（6）坐标表示：用有序数对 $(a_x, a_y)$ 表示向量 $\vec{a}$，其中 $a_x$ 和 $a_y$ 分别表示向量在$x$轴和$y$轴上的分量。
3. 讲解向量的基本运算及性质（1）向量的加法：设 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 为两个向量，它们的和记为 $\vec{a}+\vec{b}$，可通过作一平行四边形得到。
平面向量的线性运算教案
平面向量的线性运算教案教案标题：平面向量的线性运算教学目标：1. 理解平面向量的基本概念和性质。
2. 掌握平面向量的线性运算，包括向量的加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够应用线性运算解决平面向量相关的问题。
教学重点：1. 平面向量的线性运算的定义和性质。
2. 向量的加法、减法、数乘和点乘的运算规则。
3. 运用线性运算解决平面向量的问题。
教学难点：1. 点乘的概念和应用。
2. 运用线性运算解决复杂的平面向量问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、平面向量的示意图、习题集。
2. 学生准备：纸笔、计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入平面向量的概念和基本性质，与学生进行互动讨论，激发学生的学习兴趣。
2. 回顾向量的表示方法和坐标表示，确保学生对向量的基本概念有清晰的理解。
二、讲解平面向量的线性运算（15分钟）1. 向量的加法和减法：介绍向量的加法和减法的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。
2. 向量的数乘：介绍向量的数乘的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。
3. 向量的点乘：介绍向量的点乘的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。
三、练习与讨论（20分钟）1. 给出一些简单的练习题，让学生进行个别或小组练习。
2. 针对学生的问题和困惑进行解答和讲解，引导学生理解和掌握平面向量的线性运算。
四、拓展应用（15分钟）1. 给出一些实际问题，引导学生运用平面向量的线性运算解决问题。
2. 分组讨论和展示解题过程和结果，促进学生的思维发散和创新。
五、归纳总结（5分钟）1. 对平面向量的线性运算进行总结和归纳，强化学生对知识点的理解和记忆。
2. 指导学生将所学知识进行整理和梳理，形成学习笔记或思维导图。
六、作业布置（5分钟）1. 布置适量的练习题，巩固学生对平面向量的线性运算的掌握。
2. 鼓励学生自主学习，拓展相关知识，提高问题解决能力。
教学反思：在教学过程中，要注重理论与实践的结合，通过示意图和实际问题的引导，帮助学生理解和应用平面向量的线性运算。
《4.1第一节 平面向量的概念及其线性运算》 教案
③若 a 与 a0 平行且|a|＝1，则 a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( A．0 B．1 C．2 D．3
)
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【答案】D 【解析】向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若
a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a＝－|a|a0，故②③也是假命 题．综上所述，假命题的个数是 3.
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证明：任取一点 O， KL ＝ OL － OK . ∵K、L 为 MN、PQ 的中点． 1 1 ∴ OK ＝2( OM ＋ ON )， OL ＝2( OP ＋ OQ )． 又∵M，N，P，Q 分别为 AB，CD，BC，DE 中点， 1 1 ∴ OM ＝2( OA ＋ OB )， ON ＝2( OC ＋ OD )， 1 1 OP ＝2( OB ＋ OC )， OQ ＝2( OD ＋ OE )． 1 ∴ KL ＝ OL － OK ＝2[－( OM ＋ ON )＋( OP ＋ OQ )] 1 ＝ [－( OA ＋ OB ＋ OC ＋ OD )＋( OB ＋ OC ＋ OD ＋ OE )] 4 1 1 ＝4(－ OA ＋ OE )＝4 AE .
复习预习 1．我们已经学习过位移、速度、力等，你能总结出它们的特点吗？特点为________________________________． 2．在学习三角函数线时，我们已经学习过有向线段了，你还记得吗？ 所谓有向线段就是________________________，三角函数线都是_____________．
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【例题 2】 【题干】如图，在△OAB 中，延长 BA 到 C，使 AC＝BA，在 OB 上取点 D，使 DB＝ OB.设 OA ＝a，
平面向量的基本概念及线性运算 教案
一.易忽视零向量这一特殊向量
二.准确理解向量的基本概念是解决类题目的关键.1.相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性.共线向量平行向量和相等向量均与向量的起点无关.
三.“向量”和“有向线段”是两个不同的概念，向量只有两个要素：大小、方向；而有向线段有三个要素：起点、方向、长度.
四.进行向量的线性运算时，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解.
对于B，由题意得 ，又 ，所以 共线，从而得到A、B、D三点共线，故B正确．
对于C，由题意得 ，又 ，所以 不共线，故A、C、D三点不共线，所以C不正确．
对于D，由题意得 不共线，所以B、C、D三点不共线．
故选B．
3.设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________.
向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
巧用系数判共线
＝λ ＋μ (λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1；反之，也成立．
【题干】给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量 与 相等.则所有正确命题的序号是()
A.①B.③C.①③D.①②
【题干】如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若 ＝λ ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ等于()
A.1B. C. D.
【答案】B
【解析】∵E＋ ＝λ ＋μ ，
∴λ＋μ＝ ＋ ＝ .
【题干】设平面向量 不共线，若 ＝ ＋5 ， ＝－2 ＋8 ， ＝3( )，则
平面向量的基本概念及线性运算
适用学科
高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案
高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案一、教学目标1.理解向量的加、减、数乘运算及其物理意义。
2.掌握平面向量的线性运算方法。
3.能够应用向量的线性运算解决实际问题。
二、教学重点平面向量的线性运算。
三、教学难点向量线性运算一个实际问题的解决。
四、教学方法讲授法，示范法，练习法，问题解决法。
五、教学工具黑板、多媒体投影仪等。
六、教学过程1.引入教师引导学生回忆已学过的向量概念以及向量的模、方向和共面等概念。
2.新课讲解（1）向量加法。
如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {BC}$ 表示两个向量，那么它们的和为 $\vec {AB} + \vec {BC} = \vec {AC}$，如图所示：向量和的性质：①结合律：$(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)$②交换律：$\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$③零向量的性质：$\vec a+\vec 0=\vec a$（2）向量减法。
如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {AC}$ 表示两个向量，那么它们的差为 $\vec {AB}-\vec {AC} = \vec {CB}$，如图所示：向量差的性质：$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$（3）向量数乘。
如果 $\vec a$ 表示一个向量，$\lambda$ 表示一个标量，那么$\vec a$ 与 $\lambda$ 的积为 $\lambda \vec a$，如图所示：向量数乘的性质：①交换律：$\lambda \vec a=\vec a \lambda$②系数倍数的分配律：$(k+l)\vec a=k\vec a+l\vec a$③数乘的分配律：$k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b$（4）向量共线和平行。
向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 共线的充要条件是 $\vec a = \lambda \vec b (\lambda \in R)$；向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 平行的充要条件是 $\vec a \times \vec b =\vec 0$（叉乘得到的是一个向量，如果结果为 $\vec 0$ 说明它们是平行的），或者 $\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|$。
2022年 《高三数学第一节 平面向量的概念及其线性运算》优秀教案
第一节平面向量的概念及其线性运算教学目标知识与技能：1.掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义；2.掌握平面向量的坐标运算；会根据向量的坐标，判断向量是否共线.过程与方法: 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念; 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.情感态度与价值观：培养学生认识客观事物的数学本质的能力及渗透类比的数学方法.[备考方向要明了]1．向量的有关概念23.向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.[例1] 给出以下命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②假设A，B，C，D是不共线的四点，那么＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③假设a与b同向，且|a|>|b|，那么a>b；④λ，μ为实数，假设λa＝μb，那么a与b共线．其中假命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4[自主解答] ①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线．②正确．∵＝，∴||＝||且∥.又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 是平行四边形．反之，假设四边形ABCD 是平行四边形，那么AB 綊DC 且与方向相同，因此＝.③不正确．两向量不能比拟大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． [答案] C[冲关锦囊]涉及平面向量有关概念的命题的真假判断，准确把握概念是关键；掌握向量与数的区别，充分利用反例进行否认也是行之有效的方法．[巧练模拟]1．给出以下命题：①向量与向量的长度相等，方向相反； ②＋＝0；③a 与b 平行，那么a 与b 的方向相同或相反； ④两个相等向量的起点相同，那么其终点必相同； ⑤与是共线向量，那么A ，B ，C ，D 四点共线． 其中假命题的个数是( B ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：选B ①正确；②中＋＝0，而不等于0，故②错误；③中a 或b 为零向量时满足a 与b 平行，但不能说a 与b 方向相同或相反，因为零向量的方向是任意的，故③错误；④正确；⑤中当与是共线向量时，与所在直线可能平行、可能重合，故⑤错误．因此假命题的个数为3.[例2] (1)(2021A ．0 B ． C ． D ．(2)如图，在△ABC 中，＝13，P 是BN 上的一点，假设＝m ＋211，那么实数m 的值为________．[自主解答] (1)如图，在正六边形ABCDEF 中，＝，＝，那么＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝. (2)由＝13，得＝14. ＝＋＝＋n＝＋n(－)＝(1－n) ＋14n＝m＋211，由14n＝211，得m＝1－n＝3 11 .[答案] (1)D (2)311[冲关锦囊]1．进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到平行四边形或三角形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线定理、相似多边形对应边成比例等性质，把未知向量用向量表示出来．2．向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用，运用上述法那么可简化运算．[例3] (1)(2021·南昌模拟)向量a，b不共线，c＝k a＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么( ) A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向(2)假设A，P，B三点共线，且＝m＋n (m，n∈R)，那么m＋n＝________.[自主解答] (1)∵c∥d，∴c＝λd.即k a＋b＝λ(a－b)．∴k＝λ＝－1.∴c＝－d，即c与d反向．(2)∵A，P，B三点共线∴存在λ∈R使＝λ.那么＝＋λ(－)＝(1－λ) ＋λ，∴m＋n＝1－λ＋λ＝1[答案] (1)D (2)1[冲关锦囊]1．向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b＝λa.要注意只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，求解时要注意待定系数法和方程思想的运用．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．[巧练模拟]2．设两个非零向量a与b不共线．(1)假设＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线．解：(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.∴，共线．又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)∵k a＋b与a＋k b共线，∴存在实数λ，使k a＋b＝λ(a＋k b)，即k a＋b＝λa＋λk b.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a、b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.板书设计：教学反思：。
《平面向量》优秀说课稿（通用3篇）
《平面向量》优秀说课稿（通用3篇）作为一位不辞辛劳的人民教师，就不得不需要编写说课稿，通过说课稿可以很好地改正讲课缺点。
那么什么样的说课稿才是好的呢？下面是小编为大家整理的《平面向量》优秀说课稿（通用3篇），希望对大家有所帮助。
《平面向量》说课稿1一、说教材平面向量的数量积是两向量之间的乘法，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算。
本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。
为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法。
本节内容也是全章重要内容之一。
二、说学习目标和要求通过本节的学习，要让学生掌握（1）：平面向量数量积的坐标表示。
（2）：平面两点间的距离公式。
（3）：向量垂直的坐标表示的充要条件。
以及它们的一些简单应用，以上三点也是本节课的重点，本节课的难点是向量垂直的坐标表示的充要条件以及它的灵活应用。
三、说教法在教学过程中，我主要采用了以下几种教学方法：（1）启发式教学法因为本节课重点的坐标表示公式的推导相对比较容易，所以这节课我准备让学生自行推导出两个向量数量积的坐标表示公式，然后引导学生发现几个重要的结论：如模的计算公式，平面两点间的距离公式，向量垂直的坐标表示的充要条件。
（2）讲解式教学法主要是讲清概念，解除学生在概念理解上的疑惑感；例题讲解时，演示解题过程！主要辅助教学的手段（powerpoint）（3）讨论式教学法主要是通过学生之间的相互交流来加深对较难问题的理解，提高学生的自学能力和发现、分析、解决问题以及创新能力。
四、说学法学生是课堂的主体，一切教学活动都要围绕学生展开，借以诱发学生的学习兴趣，增强课堂上和学生的交流，从而达到及时发现问题，解决问题的目的。
通过精讲多练，充分调动学生自主学习的积极性。
如让学生自己动手推导两个向量数量积的坐标公式，引导学生推导4个重要的结论！并在具体的问题中，让学生建立方程的思想，更好的解决问题！五、说教学过程这节课我准备这样进行：首先提出问题：要算出两个非零向量的数量积，我们需要知道哪些量？继续提出问题：假如知道两个非零向量的坐标，是不是可以用这两个向量的坐标来表示这两个向量的数量积呢？引导学生自己推导平面向量数量积的坐标表示公式，在此公式基础上还可以引导学生得到以下几个重要结论：（1）模的计算公式（2）平面两点间的距离公式。
高三数学《平面向量的概念及线性运算》教案
课题第1讲平面向量的概念及线性运算（一）教学目标知识与技能1.了解向量的实际背景．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．2. 理解向量的几何表示．3．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．4．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．5．了解向量线性运算的性质及其几何意义．过程与方法情感态度价值观教学重点与难点教学过程集体备课个性设计（手写补充）一、考纲要求：1．了解向量的实际背景．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．2．理解向量的几何表示．3．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．4．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．5．了解向量线性运算的性质及其几何意义．二、知识梳理：1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λ a |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 与a 的方向相同； 当λ<0时，λa 与 a 的方向相反；当λ＝0时，λ a ＝0λ(μ a )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μ_a ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ． 三、双基练习：1.教材习题改编 下列结论正确的是( )A ．若|a |＝0，则a ＝0B ．若a ，b 是两个单位向量，则a ＝bC ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cD ．若AB ＝AC ，则AB →＝AC →2.如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD →＝( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →＋12AB →C ．BC →－12BA →D ．.BC →＋12BA →3．(2017·东北三省四市联考)在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形4．已知平面内四点A ，B ，C ，D ，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ的值为________．5. 已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)． 四、[典例]考点一 平面向量的有关概念 例1给出下列命题：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c . 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 变式训练1给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④若λa ＝μb (λ，μ为实数)，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 考点二 平面向量的线性运算例1．(1)(2015·高考全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →。