微分方程和随机微分方程

x ∈ Rn, t > 0,
• Stationary Fokker-Planck equation: Under
some conditions, u(x, t) → u(x) as t → +∞, and
u(x) satisfies
Lu =:
n
∂i2j(aiju) − div(Vu) = 0,
– Existence in an unbounded domain requires additional conditions. For instance, no solution exists for
u = 0, x ∈ Rn, u(x) ≥ 0, Rn u(x)dx = 1.
2. Itoˆ微积分-随机微积分
通常连锁法则不成立！
设n = 1, u : R1 → R1光滑, X(·)是SDE的解, 那 么Y(t) := u(X(t))适合什么方程？
dY = u dX = u (Vdt + GdW) wrong !
Itoˆ公式
事实上
dW ≈ (dt)1/2 in some sense
• General dynamics issues: stochastic stability: Classify “dynamics" which are “robust" under the noise perturbations.
– General dynamics subjects are invariant
“无记忆”，“无后效”
Itoˆ积分
t 0
GdW
Stochastic process X solves SDE
dX(t) = V(X(t))dt + G(X(t))dW(t), t > 0
if
t
t
X(t) = X(0)+ V(X(s))ds+ G(X(s))dW(s) a.s.
0
0
注：被积函数是随机过程，不一定可微。
2) The case of bounded domains in Rn with L uni. elliptic. Existence of weak stationary solutions follows from classical work of Trudinger (1973, for non-homogeneous Dirichlet boundary condition) and Amann (1983, for homogeneous Robin boundary condition).
∀x ∈ U.
注：Brown运动的generator
L∗
=
1 2
，
即V = 0，G = I的情形。
转移概率
在一定条件之下，可证：
(i) 如果Xs,x是在区间[s, T)上的唯一解，适 合X(s) = x。则
P(s, x, t, B) = Pr {Xs,x(t) ∈ B}, B ⊂ B 是转移概率（transition probability）函数。
P(X ∈ B) = f (x)dx
B
∀B ∈ B
如果X : Ω → R1具有密度函数
f (x) = √ 1
e−
|x−m|2 2σ2
2πσ2
x ∈ R1
称X具 高斯(或正则)分布，记N(m, σ2)
Brown运动，Wiener过程
R.Brown (1826-27) 花粉颗粒 不规则，无切线，相互独立
极限与τk的选择有关!
Itoˆ的定义：取λ = 0
s
t
W dW
=
W(t)2
− 2
W(s)2
−
t
− 2
s.
What are the advantages of taking λ = 0?
基本结果
• Itoˆ公式: 非平凡连锁法则→generator L∗ 在一定的条件下
• 初值问题解的存在性，唯一性， • 解对参数的依赖性， • 样本路径γ−Ho¨lder连续(for γ < 1/2)a.s. • 渐近行为 随机动力系统方法 Stratonovich积分 G(X) ◦ dW • 应用到PDE
Observation
t
WdW =?
0
Riemann Sums：
0 = t0 < t1 < · · · < tm = t, τk := (1 − λ)tk + λtk+1
Σmk=−01W(τk)(W(tk+1) − W(tk))
→
W (t)2 2
+
(λ
−
1 2
)t
in L2(Ω), as maxk |tk+1 − tk| → 0.
measures (and invariant sets) of ODE.
Fokker-Planck方程
ut = Lu =:
n
∂i2j(aiju) − div(Vu),

u(x,
t)
≥
i,j=1
0,
Rn u(x, t)dx = 1,
where
(aij)
=
GG 2
.
Assume (aij) > 0 everywhere.
微分方程和随机微分方程
吉敏 中国科学院数学与系统科学研究院
March 5, 2013
随机现象无处不在
考虑常微分方程ODE x˙ = V(x),
其中V : Ω → Rn连续。
x ∈ Ω ⊂ Rn
用此方程刻划某物理现象，作为物体的运动轨 迹，其解x(t)，t ≥ 0，是t的光滑曲线。 然而在许多应用中，从实验所观测到的轨迹，却 远不如上述确定性方程所描述的那样，是不光 滑的。
P : U→ [0, 1] 是U上概率测度。
术语：
A ∈ U 事件;
ω ∈ Ω 样本点；
Baidu Nhomakorabea
P(A)
事件A的概率。
例：
设B为Rn中所有Borel子集，如果f ≥ 0, fdx = 1, 命
P(B) = fdx ∀B ∈ B.
B
则(Rn, B, P) 是概率空间，称f 为P的密度函数。
定义：给定(Ω, U, P)概率空间
L.Bachelier (1900) 股票价格 A.Einstein (1905) 墨滴，随机散步
密度函数服从扩散方程 → 正态分布 N.Wiener (1920’s) 严格数学基础
一维Brown运动，Wiener过程
定义：(n=1)
随机过程W (·)称为Brown运动，或Wiener过程， 如果 (i) W(0) = 0 a.s., (ii) W(t) − W(s)具正态分布N(0, t − s), ∀t ≥ s ≥ 0, (iii) （增量独立性）对0 < t1 < · · · < tk, W(t1),
• Regularity Theorem (Bogachev-Krylov-Röckner, 01): Assume aij ∈ Wl1o,cp, V ∈ Llpoc (p > n). Then measure solutions are weak solutions.
Existence
1) The case of compact manifolds. With V, G smooth, the FP equation defined on a compact manifold admits a unique strong stationary solution (Zeeman, 1988).
Modeling & Dynamics Issues
• Modeling issues: – Noise is everywhere. So when can one use deterministic models? (Over a finite time interval, small noise can often be neglected) – When does noise impact become truly essential? (Over an infinite time interval, noise can be significant)
Rn
– Restrictions are needed on not only noise but also dynamics.
• PDE approach:
考虑相应的Fokker-Planck方程, 特别 对non-Lipschiz V (e.g. integrable ) and less regular G
问题：
• 数学上如何严格定义“白噪音”ξ(·)？ • 作为一个随机过程，“X(·) solves SDE" 是什
么意思？
一些试探
1.在特殊情形：X(0) = 0, m = n, V ≡ 0, G ≡ I, 解是Brown运动W(·), 或Wiener过程，
dW(·) = ξ(·)
“白噪音”是Brown运动对时间的“导数”
i,j=1
operator.
• Weak solution: A positive function u ∈ Wl1o,cp (p > n) s.t. µ(dx) = udx, i.e. u is the density function of a measure solution.
– When coefficients are smooth, u becomes a classical solution.
(ii) 若 P(s, x, t, B) = p(s, x, t, y)dy,
B
则密度函数p是Fokker-Planck方程的核(kernel).
• Probability approach:
考虑由转移概率生成的半流
πt : M(Rn) → M(Rn) : πtµ(B) = P(0, x, t, B)µ(dx).
W(t2) − W(t1), · · · , W(tk) − W(tk−1)是独立的随 机变量。
Ho¨lder连续性
Kolmogorov Theorem: 如果X(·)几乎处处的样本 路径是连续的，且对某α > 0, β > 0,
E(|X(t) − X(s)|β) ≤ C|t − s|1+α.
则对0 < γ < α/β，T > 0，以及几乎处处的ω， 样本路径X(·, ω)在[0, T]上一致γ−Ho¨lder连续。
(1)称映射X : Ω → Rn为随机变量，如果U−可
测，即
X−1(B) ∈ U
∀B ∈ B
(2)随机变量族{X(t)|t ≥ 0}称为随机过程. (3)固定ω ∈ Ω, 称映射t → X(t, ω)为样本路径。
数学期望:
方差:
E(X) := XdP
Ω
V(X) := |X − E(X)|2dP
Ω
称f 是X的 密度函数，如果

u(x)
i,j=1
≥ 0,
Rn u(x)dx = 1.
x ∈ Rn
Steady States
• measure solution: A probability measure µ on Rn s.t.
L∗fdµ = 0,
Rn
∀f ∈ C0∞(Rn)
n
where L∗f := aij∂i2jf + V · ∇f is the adjoint FP
dY
= =
u u
dX
+
1 2
(Vdt +
u (dX)2 +
GdW )
+
1 2
·· u
· (Vdt
+
GdW )2
+
·
·
·
=
u
V
+
1 2
G2u
dt + u GdW + · · ·
dY =
u
V
+
1 2
G2u
dt + u GdW
什么是“随机”？
概率空间：(Ω, U, P)
Ω 是给定集合； U 是Ω之子集的σ-代数；
应用到Brown运动
Theorem： 对γ < 1/2，以及几乎处处的ω，样本 路径W(·, ω)是γ−Ho¨lder连续。
处处不可微
Theorem：对1/2 ≤ γ ≤ 1，以及几乎处处的ω， 样本路径W(·, ω)处处不可能γ−Ho¨lder连续，从而 处处不可微。
概率解释
Theorem：任何维的Brown运动W (·)是一 个Markov过程。
这是因为现实世界中，难免有各种随机因素，例
如噪音等因素的干扰。
随机微分方程SDE
有必要修改ODE为SDE，考虑随机因素的干扰。
dX(t) = V(X(t))dt + G(X(t))ξ(t), 其中G(X) : n × m矩阵,
t>0
ξ(·) := m-dimensional "white noise" .
例：PDE解之概率表达
设U ⊂ Rn有界开，有光滑边界，u是唯一解
−
1 2
u = 1 in U
u = 0 on ∂U.
对x ∈ U, 记X(·)是“从x出发的Brown运动”, 即
X(·) = W(·) + x.
命 τx := first time X(·) hits ∂U
Theorem(Feynman-Kac): u(x) = E(τx)