重庆巴蜀中学高2021届高二上期末数学试卷.pdf
2021-2022学年重庆市部分区高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2021-2022学年重庆市部分区高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若直线的倾斜角为，则直线的斜率为( )A. B. C. D.2.，是椭圆的焦点，点P在椭圆上，点P到的距离为1，则P到的距离为( )A. 3B. 4C. 5D. 63.已知是直线l的方向向量，为平面的法向量，若，则y的值为( )A. B. C. 4 D.4.某工厂去年的电力消耗为m千瓦，由于设备更新，该工厂计划每年比上一年的电力消耗减少，则从今年起，该工厂第5年消耗的电力为( )A. 千瓦B. 千瓦C. 千瓦D. 千瓦5.在正方体中，，则( )A. B. C. D.6.等差数列中，为其前n项和，，则的值为( )A. 13B. 16C. 104D. 2087.直线平分圆C：的周长，过点作圆C的一条切线，切点为Q，则( )A. 5B.C. 3D.8.如图，过拋物线的焦点F的直线与拋物线交于两点，与其准线l交于点点B位于之间且于点D且，则等于( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.在四面体中，，，，，则以下选项正确的有( )A. B.C. D.10.对于直线以下说法正确的有( )A.的充要条件是 B. 当时，C. 直线一定经过点D. 点到直线的距离的最大值为511.椭圆的离心率为，短轴长为，则( )A. 椭圆的方程为B. 椭圆与双曲线的焦点相同C. 椭圆过点D. 直线与椭圆恒有两个交点12.若数列满足，，的前n项和为，下列结论正确的( )A. B. C. D.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知点，，则线段MN的垂直平分线的一般式方程为__________.14.已知数列的前n项和，则该数列的首项__________，通项公式__________.15.双曲线的左顶点为A，虚轴的一个端点为B，右焦点F到直线AB的距离为，则双曲线E的离心率为__________.16.如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，分别为的中点，连接，则点F到平面PCE的距离为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
2021-2022学年重庆市高二上学期期末数学试题解析
2021-2022学年重庆市高二上学期期末数学试题一、单选题1．直线310x -=的倾斜角为（ ） A ．60° B ．30° C ．120° D ．150°答案：C【解析】求出斜率，根据斜率与倾斜角的关系，即可求解. 解：3310x y +-=，即y =∴直线的斜率为即直线的倾斜角为120°. 故选：C.2．直线1y kx =+与圆22250x y y ++-=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．相交或相切答案：A由直线恒过定点()0,1A ，且定点()0,1A 在圆内，从而即可判断直线与圆相交. 解：因为直线1y kx =+恒过定点()0,1A ，而220121520++⨯-=-<， 所以定点()0,1A 在圆22250x y y ++-=内， 所以直线1y kx =+与圆22250x y y ++-=相交， 故选：A.3．设a 为实数，则曲线C ：22211yx a -=-不可能是（ ） A ．抛物线 B ．双曲线 C ．圆 D ．椭圆答案：A根据圆的方程、椭圆的方程、双曲线的方程和抛物线的方程特征即可判断.解：对A ：因为曲线C 的方程中,x y 都是二次项，所以根据抛物线标准方程的特征曲线C 不可能是抛物线，故选项A 正确；对B ：当210a ->时，曲线C 为双曲线，故选项B 错误； 对C ：当211a -=-时，曲线C 为圆，故选项C 错误；对D ：当210a -<且211a -≠-时，曲线C 为椭圆，故选项D 错误；故选：A.4．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是（ ） A ．4031B ．2031C ．1031D ．531答案：C根据等比数列求和公式求出首项即可得解.由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为1a ，公比为2q ，则()5112512a -=-，解得1531a =所以第二天织布的尺数为251023131a =⨯=. 故选：C5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是上底面1111D C B A 的中心，则异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为（ ）A 2B 2C 10D 6 答案：B建立空间直角坐标系，利用向量夹角求解.以D 为原点，1,,DA DC DD 为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2，()()()()12,0,0,1,1,2,0,0,2,2,2,0A E D B所以()()11,1,2,2,2,2AE D B =-=-，11423612AE D B AE D B⋅-==⨯⋅ 所以异面直线AE 与1BD 2. 故选：B6．双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 与y轴交于点A 、与双曲线右支交于点B ，若2ABF 为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2B 3C ．2 D 6答案：B由双曲线的定义知，122BF BF a -=，又2ABF 为等边三角形，所以11122AF BF BA BF BF a =-=-=，由对称性有212AF AF a ==，所以124,2BF a BF a ==，在直角三角形1AOF 中，求出1cos AFO ∠，在三角形12BF F 中，由余弦定理求出1cos AFO ∠，从而即可求解. 解：由双曲线的定义知，122BF BF a -=，又2ABF 为等边三角形， 所以11122AF BF BA BF BF a =-=-=，由对称性有212AF AF a ==， 所以124,2BF a BF a ==，在直角三角形1AOF 中，111cos 2F O cAF O AF a ∠==， 在三角形12BF F 中，由余弦定理有()()()22222222121211212423cos 22424F F F B F Bc a a a c AF O F F F Ba cac+-+-+∠===⨯⨯，所以22324c a c a ac +=，解得223c a=，所以双曲线C 的离心率3=c e a 故选：B.7．已知空间中四点()1,1,0A -，()2,2,1B ，()1,1,1C ，()0,2,3D ，则点D 到平面ABC 的距离为（ ） A 6 B 6C 6D ．0答案：C根据题意，求得平面ABC 的一个法向量(1,1,2)n =--，结合距离公式，即可求解. 由题意，空间中四点()1,1,0A -，()2,2,1B ，()1,1,1C ，()0,2,3D ， 可得(3,1,1),(2,0,1),(1,1,3)AB AC AD ===，设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =，则3020n AB x y z n AC x z ⎧⋅=++=⎨⋅=+=⎩，令1x =，可得1,2y z =-=-，所以(1,1,2)n =--，所以点D 到平面ABC 的距离为1166114n AD n⋅--==++. 故选：C.8．已知数列{}n a 的首项为1a ，且()*1111n n a a n N n +⎛⎫+-=∈ ⎪⎝⎭，若4n a a ≥，则1a 的取值范围是（ ） A ．925,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4981,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]6,10D ．25,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：C由题意，得到()11n n n a na n ++-=，利用叠加法求得112n a n a n-=+，结合由4n a a ≥，转化为1(4)42a n n n-≤-恒成立，分13n ≤≤，4n =和5n ≥三种情况讨论，即可求解. 因为()*1111n n a a n N n +⎛⎫+-=∈ ⎪⎝⎭，可得111n n n a a n ++-=，所以()11n n n a na n ++-=， 所以()21324121,322,4333,,11n n a a a a a a na n a n --=-=-=--=-，各式相加可得21(1)123(1)22n n n n nna a n ---=++++-==，所以112n a n a n -=+， 由4n a a ≥，可得1113224a a n n -+≥+恒成立，整理得1(4)42a n n n-≤-恒成立， 当13n ≤≤时，40n -<，不等式可化为12a n ≥恒成立，所以1max (2)6a n ≥=； 当4n =时，40n -=，不等式可化为00≤恒成立；当5n ≥时，40n ->，不等式可化为12a n ≤恒成立，所以1min (2)10a n ≥=， 综上可得，实数1a 的取值范围是[]6,10. 故选：C. 二、多选题9．若向量{},,a b c 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ） A ．a b +，a b -，2a b + B ．a b -，a c +，b c + C ．a b -，c ，a b c ++ D ．2a b -，b c +，a c b +-答案：ABD根据空间向量的基本定理和空间向量的基底，依次判断每个选项即可.解：对于A 选项，若()()2a b a b a b λμ+=++-，则12λμλμ+=⎧⎨-=⎩，解得3212λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故共面；对于B 选项，若()()b c a b a c λμ+=-++，则011λμλμ+=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得11λμ=-⎧⎨=⎩，故共面；对于C 选项，若()a b c a b c λμ++=-+，则111λλμ=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，无解，故不共面；对于D 选项，若()()2a c b b c a b λμ+-=-++，则1211λλμμ=⎧⎪-+=-⎨⎪=⎩，解得11λμ=⎧⎨=⎩，故共面；故选：ABD10．已知数列{}n a 、{}n b 都是公差不为0的等差数列，设n n n c a b =+，n n n d a b =，则关于数列{}n c 和{}n d ，下列说法中正确的是（ ） A ．数列{}n c 一定是等差数列 B ．数列{}n d 一定不是等差数列C ．给定1c ，2c 可求出数列{}n c 的通项公式D ．给定1d ，2d 可求出数列{}n d 的通项公式 答案：ABC根据等差数列性质可以判定AC ，结合通项公式特征判定BD.数列{}n a 、{}n b 都是公差不为0的等差数列，设其公差分别为12,m m ，且均不为0， 11112n n n n n n c c a a b b m m +++-=-+-=+，所以数列{}n c 一定是等差数列，给定1c ，2c 可求出数列{}n c 的通项公式，A ，C 选项正确； 设1122,n n a m n t b m n t =+=+，120m m ≠()()()2112212122112n d m n t m n t m m n mt m t n t t =++=+++一定是一个关于n 的二次函数，所以数列{}n d 一定不是等差数列，所以B 选项正确；根据二次函数性质，仅仅给定1d ，2d 不能求出数列{}n d 的通项公式，所以D 选项错误. 故选：ABC11．设圆O ：221x y +=与y 轴的正半轴交于点A ，过点A 作圆О的切线为l ，对于切线l 上的点B 和圆О上的点C ，下列命题中正确的是（ ）A ．若30ABO ∠=︒，则点B的坐标为)B ．若2OB =，则030OBC ︒≤∠≤︒C ．若30OBC ∠=︒，则2OB =D ．若60ABC ∠=︒，则2OB ≤ 答案：BD对A ：在直角三角形OAB 中即可求解；对B ：当BC 与圆О相切时，OBC ∠最大；当B 、O 、C 三点共线时，OBC ∠最小，分两种情况讨论即可；对C 、D ：当BC 与圆О相切时，OBC ∠最大，即ABC ∠最大，此时2ABC OBC ∠=∠，分析点B 在点()3,1-和()3,1之间变动即可求解.解：对A ：若30ABO ∠=︒，在直角三角形OAB 中，由1OA =可得3AB =，所以点B 的坐标为()3,1或()3,1-，故选项A 错误；对B ：当BC 与圆О相切时，OBC ∠最大，此时在直角三角形OCB 中，因为2,1OB OC ==，所以易得30OBC ∠=；当B 、O 、C 三点共线时，OBC ∠最小，此时0OBC ∠=.综上，030OBC ︒≤∠≤︒，故选项B 正确；对C 、D ：当BC 与圆О相切时，OBC ∠最大，即ABC ∠最大，此时2ABC OBC ∠=∠，当2OB =时，60ABC ∠=，30OBC ∠=.当点B 在点()3,1和)3,1之间变动时，60ABC ∠≥，30OBC ∠≥，所以若60ABC ∠=︒，即30OBC ∠=︒，则2OB ≤.故选项C 错误，选项D 正确. 故选项：BD.12．已知曲线C 的方程为214x x y +=，点1,0A ，则（ ）A ．曲线C 上的点到A 点的最近距离为1B ．以A 为圆心、1为半径的圆与曲线C 有三个公共点 C ．存在无数条过点A 的直线与曲线C 有唯一公共点D ．存在过点A 的直线与曲线C 有四个公共点 答案：BC原方程等价于22221,041,04x y x x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=<⎪⎩，然后对各选项逐一分析判断即可得答案. 解：原方程2||14x x y +=等价于22221,041,04x y x x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=<⎪⎩， 对A ：由题意，当(,)P x y 为曲线C 在第一象限上的点时才有P 点到A 点的最近距离，此时22223||(1)22(02)4PA x y x x x =-+=-+，所以2min 2||3PA =，min ||PA =故选项A 错误； 对B1<，且椭圆右顶点、上顶点到点A 的距离分别为1三个点到A 的距离为1，故选项B 正确；对C ：由于221(0)4xy x -=<与(1)y k x =-无交点时，联立221(0)4(1)x y x y k x ⎧-=<⎪⎨⎪=-⎩， 有222212104k x k x k ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭，由∆<0可得k <<，此时直线只与椭圆部分有一个交点，故选项C 正确；对D ：双曲线的渐近线斜率为12±，当过A 点的直线斜率1k或1k ≤-时，直线与曲线C 的椭圆部分有两个交点，与双曲线部分无交点；当11k -≤≤时，直线与曲线C 的椭圆部分有一个交点，与双曲线部分最多两个交点，所以与曲线C 至多有三个公共点，故选项D 错误. 故选：BC. 三、填空题13．已知直线210mx y +-=与()120x m y +++=平行，则实数m 的值为_____________. 答案：2-或1根据平行线的性质进行求解即可.因为直线210mx y +-=与()120x m y +++=平行，所以有：(1)21212m m m m +=⨯⎧⎪⇒=-⎨≠-⎪⎩或1m =， 故答案为：2-或114．写出一个数列{}n a 的通项公式n a =____________，使它同时满足下列条件：①1n n a a +<，②n n S a ≤，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和.（写出满足条件的一个答案即可）答案：1n ⎛⎫- ⎪⎝⎭(答案合理即可)当1n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时满足，利用作差比较法即可证明.解：当1n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时满足条件①②，证明如下：因为()1111110111n n a a n n n n n n +⎛⎫⎛⎫=---=-=> ⎪ ⎪⎭-+++⎝⎝⎭，所以1n n a a +>； 当1n =时，11110S a a a -=-=； 当2n ≥时，1211110121n n n S a a a a n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝-=++=⎭+； 综上，n n S a ≤.故答案为：1n ⎛⎫- ⎪⎝⎭(答案合理即可).15．在空间直角坐标系Oxyz 中，点()1,2,3P -在x ，y ，z 轴上的射影分别为A ，B ，C ，则四面体PABC 的体积为______________. 答案：2将物体放入长方体中，切割处理求得体积.如图所示：四面体PABC 可以看成以1,2,3为棱长的长方体切去四个全等的C AOB -三棱锥，所以四面体PABC 的体积为111234123232⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=.故答案为：216．已知离心率为1e 的椭圆1C ：()2211221110x y a b a b +=>>和离心率为2e 的双曲线2C ：()2222222210,0x y a b a b -=>>有公共的焦点，其中1F 为左焦点，P 是1C 与2C 在第一象限的公共点.线段1PF 的垂直平分线经过坐标原点，则22124e e +的最小值为_____________.答案：924.5设2F 为右焦点，半焦距为c ，12,PF x PF y ==，由题意，12PF PF ⊥，则222124,2,2x y c x y a x y a +=+=-=，所以()()222122224a a c +=⋅，从而有2212112e e +=，最后利用均值不等式即可求解.解：设2F 为右焦点，半焦距为c ，12,PF x PF y ==，由题意，12PF PF ⊥，则222124,2,2x y c x y a x y a +=+=-=，所以()()222122224a a c +=⋅，即2212112e e +=，故()2222121122222212212441145529e e e e e e e e e e ⎛⎫++=+++= ⎪⎝⎭，当且仅当21e ==等，所以2212942e e +， 故答案为：92.四、解答题17．已知数列{}n a 满足13n n a a +-=，且1a ，5a ，8a 成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最小值及此时n 的值. 答案：(1)351n a n =- (2)408-；16n =或17（1）由题意得到数列{}n a 为公差为3的等差数列，结合1a ，5a ，8a 成等比数列，列出方程求得1a ，即可得到数列{}n a 的通项公式；（2）由351n a n =-，得到116n ≤≤时，0n a <，当17n =时，0n a =，当18n ≥时，0n a >，结合等差数列的求和公式，即可求解. (1)解：由题意，数列{}n a 满足13n n a a +-=，所以数列{}n a 为公差为3的等差数列，又由1a ，5a ，8a 成等比数列，可得2518a a a =，即2111(12)(21)a a a +=+，解得148a =-，所以数列{}n a 的通项公式48(1)3351n a n n =-+-⨯=-. (2)解：由数列{}n a 的通项公式351n a n =-， 令0n a ≤，即3510n -≤，解得17n ≤， 所以当116,n n N +≤≤∈时，0n a <； 当17n =时，0n a =； 当18,n n N +≥∈时，0n a >，所以当16n =或17时，n S 取得最小值，最小值为161717(48)4082S S ⨯-===-. 18．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点是圆2220x y x +-=与x 轴的一个交点.(1)求抛物线C 的方程;(2)若过点()8,0的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A 、B ，О为坐标原点，证明：OA OB ⊥.答案：(1)28y x = (2)证明见解析（1）由圆与x 轴的交点分别为(0,0),(2,0)，可得抛物线的焦点为(2,0)，从而即可求解； （2）设直线为8x my =+，联立抛物线方程，由韦达定理及1212OA OB x x y y ⋅=+，求出0OA OB ⋅=即可得证.(1)解：由题意知，圆与x 轴的交点分别为(0,0),(2,0)，则抛物线的焦点为(2,0)，所以22p=， 所以抛物线方程为28y x =； (2)证明：设直线为8x my =+，联立方程288x my y x =+⎧⎨=⎩，有28640y my --=，所以12128,64y y m y y +==-，所以()212121212064y y OA OB x x y y y y ⋅=+=+=，所以OA OB ⊥.19．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且()*1211,n n S S n n N -=+>∈.(1)证明：数列{}1n S +为等比数列；(2)若226n n n b S a =-，是否存在正整数k ，使得n k b b ≥对任意*n N ∈恒成立?若存在、求k的值；若不存在，说明理由. 答案：(1)证明见解析 (2)3k =（1）由已知条件有()1121n n S S -+=+，根据等比数列的定义即可证明；（2）由（1）求出n S 及n a ，进而可得n b ，利用二次函数的性质即可求解n b 的最小值，从而可得答案. (1)证明：因为121n n S S -=+，所以()1121n n S S -+=+，又因为112S +=，所以1121n n S S -+=+，所以数列{}1n S +是首项为2公比为2的等比数列； (2)解：由（1）知，11222n n n S -+=⋅=，所以21n n S =-，所以()1122n n n n a S S n --=-=≥，检验1n =时也满足上式，所以()1*2n n a n -=∈N ,所以41521n n n b =-⋅+，令2n t =，所以2151,{2,4,8,16,}n b t t t =-+∈⋯，故当8t =即3n =时，n b 取得最小值， 所以3k =.20．已知圆C 经过点()2,3A -和()0,1B ，且圆心C 在直线10x y ++=上. (1)求圆C 的方程;(2)过原点的直线l 与圆C 交于M ，N 两点，若CMN △l 的方程. 答案：(1)22(2)(1)4x y ++-=(2)直线l 的方程为0y =或43y x =-或(2y x =-±（1）由弦AB 的中垂线与直线10x y ++=的交点为圆心即可求解； （2）由1sin 2CMNSCM CN MCN =⋅⋅∠=3MCN π∠=或23MCN π∠=，进而有d =1d =，显然直线斜率存在，设直线:l y kx =，由点到直线的距离公式求出k 的值即可得答案.(1)解：设弦AB 的中点为D ，则有(1,2)D -， 因为31120AB k -==---，所以直线:1AB y x =-+， 所以直线AB 的中垂线为1:3l y x =+，则圆心C 在直线1l 上，且在直线10x y ++=上，联立方程310y x x y =+⎧⎨++=⎩解得圆心(2,1)C -， 则圆的半径为()()2220112r BC ==--+-=，所以圆方程为22(2)(1)4x y ++-=； (2)解：设圆心到直线l 的距离为d ，因为1sin 32CMNS CM CN MCN =⋅⋅∠=， 所以3MCN π∠=或23MCN π∠=，所以3d =或1d =，显然直线斜率存在，所以设直线:l y kx =，则2|21|31k d k --==+或2|21|11k d k --==+， 解得26k =-±或0k =或43k =-，故直线l 的方程为0y =或43y x =-或(26)y x =-±.21．如图，直角梯形AEFB 与菱形ABCD 所在的平面互相垂直，AE BF ∥，AE AB ⊥，2AB AE ==，1BF =，120ABC ∠=︒，M 为AD 中点.(1)证明：直线BM ∥面DEF ； (2)求二面角M EC F --的余弦值. 答案：(1)证明见解析 231（1）由平面AEFB ⊥平面ABCD ，可得AE ⊥平面ABCD ，连接BD ，可得BM AD ⊥，以M为原点，,MB MD 为,x y 轴，竖直向上为z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法计算BM 与平面DEF 的法向量()1111,,n x y z =的数量积为0即可得证；（2）分别计算出平面MEC 和平面ECF 的法向量()()22223333,,,,,n x y z n x y z ==，然后利用向量夹角公式即可求解. (1)证明：因为平面AEFB ⊥平面ABCD ，平面AEFB ⋂平面ABCD AB =，且AE AB ⊥， 所以AE ⊥平面ABCD ，连接BD ，则ABD △为等边三角形，所以BM AD ⊥，以M 为原点，,MB MD 为,x y 轴，竖直向上为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0,1,0),(3,0,0),(3,2,0),(0,1,0),(0,1,2),(3,0,1)A B C D E F --，设()1111,,n x y z =为平面DEF 的法向量，因为(0,2,2),(3,1,1)DE DF =-=-，则有1100DE n DF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 取1(0,1,1)n =，又因为(3,0,0)BM =-，所以10BM n ⋅=， 因为BM ⊄平面DEF ，所以//BM 平面DEF ；(2)解：分别设()()22223333,,,,,n x y z n x y z ==为平面MEC 和平面ECF 的法向量， 因为(0,1,2),(3,2,0)ME MC =-=，则有2200ME n MC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，取2(4,23,3)n =-，因为(3,3,2),(0,2,1)EC CF =-=-，则有3300EC n CF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，取33,23)n =，所以23232231cos 31n n n n θ⋅===⋅M EC F --为锐二面角，所以二面角M EC F --231. 22．在平面直角坐标系xOy 中，已知点)6,0A ，()6,0B ，过点A 的动直线1l 与过点B 的动直线2l 的交点为P ，1l ，2l 的斜率均存在且乘积为12-，设动点Р的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程;(2)若点M 在曲线C 上，过点M 且垂直于OM 的直线交C 于另一点N ，点M 关于原点O 的对称点为Q .直线NQ 交x 轴于点T ，求QT TN ⋅的最大值.答案：(1)221(63x y x +=≠（1）设P点坐标为(,)(x y x ≠，根据两直线的斜率之积为12-得到方程，整理即可；（2）设()00,M x y ，()00,Q x y --，()11N x y ,，根据设M 、N 在椭圆上，则12NQ MN k k ⋅=-，再由1MQ MN k k ⋅=-，则12NQ MQ k k =，即可表示出直线NQ 、MN 的方程，联立两直线方程，即可得到N 点的纵坐标，再根据弦长公式得到()()22002024734Q y y y T TN-⋅=-，令204y t -=，则1163273Q t t T TN ⎛⎫⋅=-- ⎪⎝⎭，最后利用基本不等式计算可得；(1)解：设P点坐标为(,)(x y x ≠，定点)0A，()B ，直线PA 与直线PB 的斜率之积为12-，12-，∴221(63x y x +=≠ (2)解：设()00,M x y ，()00,Q x y --，()11N x y ,，则2200163x y +=，2211163x y +=，所以220122101010222210101010332212NQ MNx x y y y y y y k k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭⋅=⋅===--+-- 又1MQ MN k k ⋅=-，所以12NQ MQ k k =，又00MQ y k x =即002NQ y k x =，则直线NQ ：()00002yy y x x x +=+，直线MN ：()0000x y y x x y -=--，由()()000000002x y y x x y y y y x x x ⎧-=--⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，解得3020123y y y =-，即3020123N y y y =-，所以()()22224000000222000247412334N y y y Q x y y y T TN y y -+⋅==⋅=--令204y t -=，则()1,4t ∈，所以()()74411632733Q t t t t T T tN --⎛⎫⋅==-- ⎪⎝⎭ 因为167t t +≥=，当且仅当167t t =即()1,4t 时取等号，所以QT TN ⋅。
重庆市2021-2022学年高二上学期期末数学试题(解析版)
2021年秋高二（上）期末联合检测试卷数学数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试卷上作答，答案无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线3x+3y−1=0的倾斜角为（）A. 60°B. 30°C. 120°D. 150°【答案】C【解析】【分析】求出斜率，根据斜率与倾斜角的关系，即可求解.【详解】解：∵3x+3y−1=0，即y=−3x+3，3∴直线的斜率为−3，即直线的倾斜角为120°.故选：C.2. 直线y=kx+1与圆x2+y2+2y−5=0的位置关系是（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 相交或相切【答案】A【解析】【分析】由直线恒过定点A(0,1)，且定点A(0,1)在圆内，从而即可判断直线与圆相交.【详解】解：因为直线y=kx+1恒过定点A(0,1)，而02+12+2×1−5=−2<0，所以定点A(0,1)在圆x2+y2+2y−5=0内，所以直线y=kx+1与圆x2+y2+2y−5=0相交，故选：A.3. 设a为实数，则曲线C：x2−y21−a2=1不可能是（）A. 抛物线B. 双曲线C. 圆D. 椭圆【答案】A【解析】【分析】根据圆的方程、椭圆的方程、双曲线的方程和抛物线的方程特征即可判断.【详解】解：对A：因为曲线C的方程中x,y都是二次项，所以根据抛物线标准方程的特征曲线C不可能是抛物线，故选项A正确；对B：当1−a2>0时，曲线C为双曲线，故选项B错误；对C：当1−a2=−1时，曲线C为圆，故选项C错误；对D：当1−a2<0且1−a2≠−1时，曲线C为椭圆，故选项D错误；故选：A.4. 我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是（）A. 4031B. 2031C. 1031D. 531【答案】C【解析】【分析】根据等比数列求和公式求出首项即可得解.【详解】由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为a1，公比为q=2，则a1(1−25)1−2=5，解得a1=531所以第二天织布的尺数为a2=531×2=1031.故选：C5. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是上底面A1B1C1D1的中心，则异面直线AE与B D1所成角的余弦值为（）A.24B.23C.104D.63【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角求解.【详解】以D DA ,DC ,DD 1为x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2，A (2,0,0),E (1,1,2),D 1(0,0,2),B (2,2,0)所以AE =(−1,1,2),D 1B =(2,2,−2)，|AE D 1B |AE |⋅|D B ||=|−46×12|=23所以异面直线AE 与B D 1所成角的余弦值为23.故选：B6. 双曲线C ：x 2a2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 与y 轴交于点A 、与双曲线右支交于点B ，若△AB F 2为等边三角形，则双曲线C的离心率为（）A. 2 B. 3C. 2D. 6【答案】B 【解析】【分析】由双曲线的定义知，|BF 1|−|BF 2|=2a ，又△AB F 2为等边三角形，所以|AF 1|=|BF 1|−|BA |=|BF 1|−|BF 2|=2a ，由对称性有|AF 2|=|AF 1|=2a ，所以|BF 1|=4a,|BF 2|=2a ，在直角三角形AO F 1中，求出cos ∠A F 1O ，在三角形B F 1F 2中，由余弦定理求出cos ∠A F 1O ，从而即可求解.【详解】解：由双曲线的定义知，|BF 1|−|BF 2|=2a ，又△AB F 2为等边三角形，所以|AF 1|=|BF 1|−|BA |=|BF 1|−|BF 2|=2a ，由对称性有|AF 2|=|AF 1|=2a ，所以|BF 1|=4a,|BF 2|=2a ，在直角三角形AO F 1中，cos ∠A F 1O =|F 1O ||AF 1|=c2a ，在三角形B F 1F 2中，由余弦定理有cos ∠A F 1O =|F 1F 2|2+|F 1B |2−|F 2B |22|F 1F 2||F 1B |=(2c )2+(4a )2−(2a )22×4a ×2c=3a 2+c 24ac，所以c2a =3a 2+c 24ac，解得c 2a 2=3，所以双曲线C 的离心率e =ca =3，故选：B.7. 已知空间中四点A (−1,1,0)，B (2,2,1)，C (1,1,1)，D (0,2,3)，则点D 到平面ABC 的距离为（ ）A 6B.63C.66D. 0【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得平面ABC 的一个法向量n =(1,−1,−2)，结合距离公式，即可求解.详解】由题意，空间中四点A (−1,1,0)，B (2,2,1)，C (1,1,1)，D (0,2,3)，可得AB =(3,1,1),AC =(2,0,1),AD =(1,1,3)，设平面ABC 的法向量为n =(x,y,z)⋅AB =3x +y +z =0n ⋅AC =2x +z =0，令x =1，可得y =−1,z =−2，所以n =(1,−1,−2)，所以点D 到平面ABC 的距离为|n ⋅AD ||n |=|1−1−6|1+1+4=66.故选：C..【8. 已知数列{a n}的首项为a1，且1n−1−a n=1(n∈N∗)，若a n≥a4，则a1的取值范围是（）A. B.C. [6,10]D.【答案】C【解析】【分析】由题意，得到(n+1)a n−1−n a n=n，利用叠加法求得a n=n−12+a1n，结合由a n≥a4，转化为a1(n−4)2n≤n−4恒成立，分1≤n≤3，n=4和n≥5三种情况讨论，即可求解.【详解】因为1+n−1−a n=1(n∈N∗)，可得n+1na n−1−a n=1，所以(n+1)a n−1−n a n=n，所以2a n−1−a n=1,3a n−1−2a n=2,4a n−1−3a n=3,⋯,n a n−1−(n−1)a n=n−1，各式相加可得n a n−a1=1+2+3+⋯+(n−1)=n(n−1)2=n2−n2，所以a n=n−12+a1n，由a n≥a4，可得n−12+a1n≥32+a14恒成立，整理得a1(n−4)2n≤n−4恒成立，当1≤n≤3时，n−4<0，不等式可化为a1≥2n恒成立，所以a1≥(2n)max=6；当n=4时，n−4=0，不等式可化为0≤0恒成立；当n≥5时，n−4>0，不等式可化为a1≤2n恒成立，所以a1≥(2n)min=10，综上可得，实数a1的取值范围是[6,10].故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 若向量{a,b,c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A. a+b，a−b，a+2bB. a−b，a+c，b+cC. a−b，c，a+b+cD. a−2b，b+c，a+c−b【答案】ABD【解析】【分析】根据空间向量的基本定理和空间向量的基底，依次判断每个选项即可.【详解】解：对于A选项，若a+2b=λ(a+b)+μ(a−b)，则λ+μ=1λ−μ=2，解得λ=32μ=−12，故共面；对于B选项，若b+c=λ(a−b)+μ(a+c)，则λ+μ=0−λ=1μ=1，解得λ=−1μ=1，故共面；对于C选项，若a+b+c=λ(a−b)+μc，则λ=1−λ=1μ=1，无解，故不共面；对于D选项，若a+c−b=λ(a−2b)+μ(b+c)，则λ=1−2λ+μ=−1μ=1，解得λ=1μ=1，故共面；故选：ABD10. 已知数列{a n}、{b n}都是公差不为0的等差数列，设c n=a n+b n，d n=a n b n，则关于数列{c n}和{d n}，下列说法中正确的是（）A. 数列{c n}一定是等差数列B. 数列{d n}一定不等差数列C. 给定c1，c2可求出数列{c n}的通项公式D. 给定d1，d2可求出数列{d n}的通项公式【答案】ABC【解析】【分析】根据等差数列性质可以判定AC，结合通项公式特征判定BD.【详解】数列{a n}、{b n}都是公差不为0的等差数列，设其公差分别为m1,m2，且均不为0，c n+1−c n=a n+1−a n+b n+1−b n=m1+m2，所以数列{c n}一定是等差数列，给定c1，c2可求出数列{c n}的通项公式，A，C选项正确；设a n=m1n+t1,b n=m2n+t2，m1m2≠0d n=(m1n+t1)(m2n+t2)=m1m2n2+(m1t2+m2t1)n+t1t2一定是一个关于n的二次函数，所以数列{d n}一定不是等差数列，所以B选项正确；根据二次函数性质，仅仅给定d1，d2不能求出数列{d n}的通项公式，所以D选项错误.故选：ABC11. 设圆O：x2+y2=1与y轴的正半轴交于点A，过点A作圆О的切线为l，对于切线l上的点B和圆О上的点C，下列命题中正确的是（）A. 若∠ABO=30°，则点B ,1B. 若|OB|=2，则0°≤∠OBC≤30°C. 若∠OBC=30°，则|OB|=2D. 若∠ABC=60°，则|OB|≤2【答案】BD【解析】【分析】对A：在直角三角形OAB中即可求解；对B：当BC与圆О相切时，∠OBC最大；当B、O、C三点是共线时，∠OBC 最小，分两种情况讨论即可；对C 、D ：当BC 与圆О相切时，∠OBC 最大，即∠ABC 最大，此时∠ABC =2∠OBC ，分析点B 在点−3,1,1之间变动即可求解.【详解】解：对A ：若∠ABO =30°，在直角三角形OAB 中，由|OA |=1可得|AB |=3，所以点B ,1或−3,1，故选项A 错误；对B ：当BC 与圆О相切时，∠OBC 最大，此时在直角三角形OCB 中，因为|OB |=2,|OC |=1，所以易得∠OBC =30∘；当B 、O 、C 三点共线时，∠OBC 最小，此时∠OBC =0∘.综上，0°≤∠OBC ≤30°，故选项B 正确；对C 、D ：当BC 与圆О相切时，∠OBC 最大，即∠ABC 最大，此时∠ABC =2∠OBC ，当|OB |=2时，∠ABC =60∘，∠OBC =30∘.当点B 在点−3,1,1之间变动时，∠ABC ≥60∘，∠OBC ≥30∘，所以若∠ABC =60°，即∠OBC =30°，则|OB |≤2.故选项C 错误，选项D 正确.故选项：BD.12. 已知曲线C 的方程为x |x |4+y 2=1，点A (1,0)，则（ ）A. 曲线C 上的点到A 点的最近距离为1B. 以A 为圆心、1为半径的圆与曲线C 有三个公共点C. 存在无数条过点A 的直线与曲线C 有唯一公共点D. 存在过点A 的直线与曲线C 有四个公共点【答案】BC 【解析】+y 2=1,x⩾0x 24=1,x <0，然后对各选项逐一分析判断即可得答案.【详解】解：原方程x|x|4+y 2=1y 2=1,x⩾0x 24=1,x <0，对A ：由题意，当P(x,y)为曲线C 在第一象限上的点时才有P 点到A 点的最近距离，此时|PA |2=(x−1)2+y 2=34x 2−2x +2(0⩽x⩽2)，所以|PA |2min =23，|PA |min =63，故选项A 错误；对B ：因为63<1，且椭圆右顶点、上顶点到点A 的距离分别为1、2，故椭圆上恰有三个点到A 的距离为1，故选项B 正确；对C ：由于y 2−x 24=1(x <0)与y =k(x−1)无交点时，联立y 2−x 24=1(x <0)y =k(x−1)，有k 22−2k 2x +k 2−1=0，由Δ<0可得−55<k <55，此时直线只与椭圆有一个交点，故选项C 正确；对D ：由于过A 点的直线与椭圆只有一个交点，与双曲线最多两个交点，所以与曲线C 至多有三个公共点，故选项D 错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知直线mx +2y−1=0与x +(1+m )y +2=0平行，则实数m 的值为_____________.【答案】−2或1【解析】【分析】根据平行线的性质进行求解即可.【详解】因为直线mx +2y−1=0与x +(1+m )y +2=0平行，所以有：m(m +1)=2×1m ≠−12⇒m =−2或m =1，故答案为：−2或114. 写出一个数列{a n }的通项公式a n =____________，使它同时满足下列条件：①a n <a n +1，②S n ≤a n ，其中S n 是数列{a n }的前n 项和.（写出满足条件的一个答案即可）【答案】−答案合理即可)【解析】【分析】当a n =−.【详解】解：当a n =−因为a n +1−a n =−=1n −1n +1=1n (n +1)>0，所以a n +1>a n ；当n =1时，S 1−a 1=a 1−a 1=0；当n ≥2时，S n −a n =a 1+a 2+⋯+a n−1=−+−+⋯+−<0；综上，S n ≤a n .故答案为：−答案合理即可).15. 在空间直角坐标系Oxyz 中，点P (−1,2,3)在x ，y ，z 轴上的射影分别为A ，B ，C ，则四面体PABC 的体积为______________.【答案】2【解析】【分析】将物体放入长方体中，切割处理求得体积.【详解】如图所示：四面体PABC 可以看成以1,2,3为棱长的长方体切去四个全等的C−AOB 三棱锥，所以四面体PABC 的体积为1×2×3−4×13×12×1×2×3=2.故答案为：216. 已知离心率为e 1的椭圆C 1：x 2a 21+y 2b 21=1(a 1>b 1>0)和离心率为e 2的双曲线C 2：x 2a 22−y 2b22=1(a 2>0,b 2>0)有公共的焦点，其中F 1为左焦点，P 是C 1与C 2在第一象限的公共点.线段P F 1的垂直平分线经过坐标原点，则4e 12+e 22的最小值为_____________.【答案】92##4.5【解析】【分析】设F 2为右焦点，半焦距为c ，P F 1=x,P F 2=y ，由题意，P F 1⊥P F 2，则x 2+y 2=4c 2,x +y =2a 1,x−y =2a 2，所以(2a 1)2+(2a 2)2=2⋅4c 2，从而有1e 21+1e 22=2，最后利用均值不等式即可求解.【详解】解：设F 2为右焦点，半焦距为c ，P F 1=x,P F 2=y ，由题意，P F 1⊥P F 2，则x 2+y 2=4c 2,x +y =2a 1,x−y =2a 2，所以(2a 1)2+(2a 2)2=2⋅4c 2，即1e 21+1e 22=2，故(4e 21+e 22+=5+4e 21e 22+e 22e 21⩾5+24e 21e 22⋅e 22e 21=9，当且仅当e 2=2e 1=62时取等，所以4e 21+e 22⩾92，故答案为：92.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列{a n}满足a n+1−a n=3，且a1，a5，a8成等比数列.（1）求数列{a n}的通项公式;（2）设数列{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值及此时n的值.【答案】（1）a n=3n−51（2）−408；n=16或17【解析】【分析】（1）由题意得到数列{a n}为公差为3的等差数列，结合a1，a5，a8成等比数列，列出方程求得a1，即可得到数列{a n}的通项公式；（2）由a n=3n−51，得到1≤n≤16时，a n<0，当n=17时，a n=0，当n≥18时，a n>0，结合等差数列的求和公式，即可求解.【小问1详解】解：由题意，数列{a n}满足a n+1−a n=3，所以数列{a n}为公差为3的等差数列，又由a1，a5，a8成等比数列，可得a25=a1a8，即(a1+12)2=a1(a1+21)，解得a1=−48，所以数列{a n}的通项公式a n=−48+(n−1)×3=3n−51.【小问2详解】解：由数列{a n}的通项公式a n=3n−51，令a n≤0，即3n−51≤0，解得n≤17，所以当1≤n≤16,n∈N+时，a n<0；当n=17时，a n=0；当n≥18,n∈N+时，a n>0，=−408.所以当n=16或17时，S n取得最小值，最小值为S16=S17=17×(−48)218. 已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点是圆x2+y2−2x=0与x轴的一个交点.的（1）求抛物线C方程;（2）若过点(8,0)的直线l与抛物线C交于不同的两点A、B，О为坐标原点，证明：OA⊥OB.【答案】（1）y2=8x（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由圆与x轴的交点分别为(0,0),(2,0)，可得抛物线的焦点为(2,0)，从而即可求解；（2）设直线为x=my+8，联立抛物线方程，由韦达定理及OA⋅OB=x1x2+y1y2，求出OA⋅OB=0即可得证.【小问1详解】解：由题意知，圆与x轴的交点分别为(0,0),(2,0)，则抛物线的焦点为(2,0)，所以p2=2，所以抛物线方程为y2=8x；【小问2详解】证明：设直线为x=my+8，联立方程x=my+8y2=8x，有y2−8my−64=0，所以y1+y2=8m,y1y2=−64，所以OA⋅OB=x1x2+y1y2=(y1y2)264+y1y2=0，所以OA⊥OB.19. 设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，且S n=2S n−1+1(n>1,n∈N∗).（1）证明：数列{S n+1}为等比数列；（2）若b n=S2n−26a n，是否存在正整数k，使得b n≥b k对任意n∈N∗恒成立?若存在、求k的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）k=3【解析】【分析】（1）由已知条件有S n+1=2(S n−1+1)，根据等比数列的定义即可证明；（2）由（1）求出S n及a n，进而可得b n，利用二次函数的性质即可求解b n的最小值，从而可得答案.【小问1详解】证明：因为S n=2S n−1+1，所以S n+1=2(S n−1+1)，又因为S1+1=2，所以S n+1S n−1+1=2，所以数列{S n+1}是首项为2公比为2的等比数列；【小问2详解】解：由（1）知，S n+1=2⋅2n−1=2n，所以S n=2n−1，所以a n=S n−S n−1=2n−1(n≥2)，检验n=1时也满足上式，所以a n=2n−1(n∈N∗),所以b n=4n−15⋅2n+1，令t=2n，所以b n=t2−15t+1,t∈{2,4,8,16,…}，故当t=8即n=3时，b n取得最小值，所以k=3.20. 已知圆C经过点A(−2,3)和B(0,1)，且圆心C在直线x+y+1=0上.（1）求圆C的方程;（2）过原点直线l与圆C交于M，N两点，若△CMN的面积为3，求直线l的方程.的【答案】（1）(x +2)2+(y−1)2=4（2）直线l 的方程为y =0或y =−43x 或y =(−2±6)x 【解析】【分析】（1）由弦AB 的中垂线与直线x +y +1=0的交点为圆心即可求解；（2）由S △CMN =12CM ⋅CN ⋅sin ∠MCN =3，可得∠MCN =π3或∠MCN =2π3，进而有d =3或d =1，显然直线斜率存在，设直线l:y =kx ，由点到直线的距离公式求出k 的值即可得答案.【小问1详解】解：设弦AB 的中点为D ，则有D(−1,2)，因为k AB =3−1−2−0=−1，所以直线AB:y =−x +1，所以直线AB 的中垂线为l 1:y =x +3，则圆心C 在直线l 1上，且在直线x +y +1=0上，联立方程y =x +3x +y +1=0解得圆心C(−2,1)， 则圆的半径为r =|BC |=(−2−0)2+(1−1)2=2， 所以圆方程为(x +2)2+(y−1)2=4；【小问2详解】解：设圆心到直线l 的距离为d ，因为S △CMN =12CM ⋅CN ⋅sin ∠MCN =3，所以∠MCN =π3或∠MCN =2π3，所以d =3或d =1，显然直线斜率存在，所以设直线l:y =kx ，则d =|−2k−1|k 2+1=3或d =|−2k−1|k 2+1=1，解得k =−2±6或k =0或k =−43，故直线l 的方程为y =0或y =−43x 或y =(−2±6)x .21. 如图，直角梯形AEFB 与菱形ABCD 所在的平面互相垂直，AE ∥BF ，AE ⊥AB ，AB =AE =2，BF =1，∠ABC =120°，M 为AD 中点.（1）证明：直线BM ∥面DEF ；（2）求二面角M−EC−F 的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）23131【解析】【分析】（1）由平面AEFB ⊥平面ABCD ，可得AE ⊥平面ABCD ，连接BD ，可得BM ⊥AD ，以M 为原点，MB,MD 为x,y 轴，竖直向上为z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法计算BM 与平面DEF 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1)的数量积为0即可得证；（2）分别计算出平面MEC 和平面ECF 的法向量n 2=(x 2,y 2,z 2),n 3=(x 3,y 3,z 3)，然后利用向量夹角公式即可求解.【小问1详解】证明：因为平面AEFB ⊥平面ABCD ，平面AEFB ∩平面ABCD =AB ，且AE ⊥AB ，所以AE ⊥平面ABCD ，连接BD ，则△ABD 为等边三角形，所以BM ⊥AD ，以M 为原点，MB,MD 为x,y 轴，竖直向上为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,−1,0),B(3,0,0),C(3,2,0),D(0,1,0),E(0,−1,2),F(3,0,1)，设n 1=(x 1,y 1,z 1)为平面DEF 的法向量，因为DE =(0,−2,2),DF =(3,−1,1)，则有DE ⋅n 1=0DF ⋅n =0， 取n 1=(0,1,1)，又因为BM =(−3,0,0)，所以BM ⋅n 1=0，因为BM⊄平面DEF ，所以BM //平面DEF ；【小问2详解】解：分别设n 2=(x 2,y 2,z 2),n 3=(x 3,y 3,z 3)为平面MEC 和平面ECF 的法向量，因为ME =(0,−1,2),MC =(3,2,0)n 2=0n 2=0，取n 2=(−4,23,3)，因为EC =(3,3,−2),CF =(0,−2,1)n 3=0n 3=0，取n 3=(1,3,23)，所以cos θ=n ⋅n |n|⋅|n |=231=23131，由图可知二面角M−EC−F 为锐二面角，所以二面角M−EC−F 的余弦值为23131.22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点,0，B −6,0，过点A 的动直线l 1与过点B 的动直线l 2的交点为P ，l 1，l 2的斜率均存在且乘积为−12，设动点Р的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程;（2）若点M 在曲线C 上，过点M 且垂直于OM 的直线交C 于另一点N ，点M 关于原点O 的对称点为Q .直线NQ 交x 轴于点T ，求|QT |⋅|TN |的最大值.【答案】（1）x 26+y 23=1(x ≠±6)（2）32−873【解析】【分析】（1）设P 点坐标为(x,y)(x ≠±6)，根据两直线的斜率之积为−12得到方程，整理即可；（2）设M (x 0,y 0)，Q (−x 0,−y 0)，N (x 1,y 1)，根据设M 、N 在椭圆上，则k NQ ⋅k MN =−12，再由k MQ ⋅k MN =−1，则k NQ =12k MQ ，即可表示出直线NQ 、MN 的方程，联立两直线方程，即可得到N 点的纵坐标，再根据弦长公式得到|QT |⋅|TN |=(24−7y 02)y 023(4−y 02)，令4−y 02=t ，则|QT |⋅|TN |等式计算可得；【小问1详解】解：设P 点坐标为(x,y)(x ≠±6)，∵定点,0，B −6,0，直线PA 与直线PB 的斜率之积为−12，∴yx +6×yx−6=−12，∴x 26+y 23=1(x ≠±6)【小问2详解】解：设M (x 0,y 0)，Q (−x 0,−y 0)，N (x 1,y 1)，则x 026+y 023=1，x 126+y 123=1，所以k NQ ⋅k MN =y 1−y 0x1−x 0⋅y 1+y 0x1+x 0=y 12−y 02x 12−x 02=10=−12又k MQ ⋅k MN =−1，所以k NQ =12k MQ ，又k MQ =y 0x 0即k NQ =y 02x 0，则直线NQ ：y +y 0=y 02x 0(x +x 0)，直线MN ：y−y 0=−x 0y 0(x−x 0)，由y−y 0=−x 0y 0(x−x 0)y +y 0=y 02x 0(x +x 0)，解得y =y 0312−3y 02，即y N=y 0312−3y 02，所以|QT |⋅|TN |=1+4x 02y 02|−y 0|×1+4x 02y 02|y N |=y 02+4x 02y 02⋅y412−3y 02=(24−7y 02)y 023(4−y 02)令4−y 02=t ，则t ∈(1,4)，所以|QT |⋅|TN |=(7t−4)(4−t )3t=因为7t+16t ≥27t⋅16t=87，当且仅当7t=16t即t=47∈(1,4)时取等号，所以|QT|⋅|TN|的最大值为32−873；。
2021-2022学年重庆市巴蜀中学高二上学期期末数学试题解析
2021-2022学年重庆市巴蜀中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知椭圆方程为2212x y +=，则该椭圆的焦距为（ ）A ．1B ．2CD ．答案：B根据椭圆中,,a b c 之间的关系，结合椭圆焦距的定义进行求解即可.解：由椭圆的标准方程可知：222222,11a b c a b ==⇒=-=，则焦距为22c =， 故选：B.2．下列说法正确的是（ ） A ．空间中的任意三点可以确定一个平面 B ．四边相等的四边形一定是菱形 C ．两条相交直线可以确定一个平面 D ．正四棱柱的侧面都是正方形 答案：C根据立体几何相关知识对各选项进行判断即可.解：对于A ，根据公理2及推论可知，不共线的三点确定一个平面，故A 错误； 对于B ，在一个平面内，四边相等的四边形才一定是菱形，故B 错误； 对于C ，根据公理2及推论可知，两条相交直线可以确定一个平面，故C 正确； 对于D ，正四棱柱指上、下底面都是正方形且侧棱垂直于底面的棱柱，侧面可以是矩形，故D 错误. 故选：C3．已知数列{}n a 中，1111,31n na a a +==-，则5a =（ ） A ．13B ．32-C ．2-D ．32答案：D由数列{}n a 的递推公式依次去求，直到求出5a 即可. 解：由1111,31n na a a +==-，可得2111311213a a ===--，321123112a a ===---， 3411111(2)3a a ===---， 4511311213a a ===-- 故选： D.4．已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若m n ⊥，n ⊂α，则m α⊥ B ．若m n ∥，n ⊂α，则m α∥ C ．若m n ⊥，n α⊥，则m α∥ D ．若m n ∥，n α⊥，则m α⊥答案：D根据空间直线与平面间的位置关系判断． 解：若m n ⊥，n ⊂α，也可以有m α⊂，A 错； 若m n ∥，n ⊂α，也可以有m α⊂，B 错； 若m n ⊥，n α⊥，则m α∥或m α⊂，C 错；若m n ∥，n α⊥，则m α⊥，这是线面垂直的判定定理之一，D 正确 故选：D ．5．《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问第11日到第20日这10日共织布（ ） A ．30尺 B ．40尺C ．6尺D ．60尺答案：A由题意可知，每日的织布数构成等差数列，由等差数列的求和公式得解. 解：由题女子织布数成等差数列，设第n 日织布为n a ，有1305,1a a ==，所以()()1120111220130105302a a a a a a a ++++=⨯=+=，故选:A.6．已知正三棱柱111ABC A B C -中，12,1AB AA ==，点D 为AB 中点，则异面直线BC 与1C D 所成角的余弦值为（ ）A ．34BC．3D ．12答案：A根据异面直线所成角的定义，取AC 中点为E ，则1EDC ∠为异面直线BC 和1C D 所成角或其补角，再解三角形即可求出．解：如图所示：设AC 中点为E ，则在三角形ABC 中，,D E 为中点，DE 为中位线，所以有//DE BC ，112DE BC ==，所以1EDC ∠为异面直线BC 和1C D 所成角或其补角，在三角形1EDC 中，112,2DC C E ==22211113cos 24C D DE C E EDC DE C D ∠+-==⋅， 故选：A.7．已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，直线l 过点F 与抛物线C 相交于,A B 两点，且3AF FB =，则直线l 的斜率为（ ）A ．3B ．3C ．±1D ．3答案：B设直线倾斜角为θ，由3AF FB =，及112AF BF p +=，可求得13313AF BF ==⨯=，当点A 在x 轴上方，又1cos p AF θ=-，求得1cos ,tan 32θθ==，利用对称性即可得出结果.解：设直线倾斜角为θ，由3AF FB =，所以3AF BF =，由12p =， 112411433BF AF BF p BF +=⇒⨯=⇒=∣，所以13313AF BF ==⨯=，当点A 在x 轴上 方，又1cos p AF θ=-，所以1cos ,tan 32θθ=，所以由对称性知，直线l 的斜率3故选：B.8．已知四面体P ABC -中，,2,23PC a PA PB AC BC a AB a ======，若该四面体的外接球的球心为O ，则OAC 的面积为（ ） A 273 B 215 C 230 D 23a答案：C根据四面体的性质，结合线面垂直的判定定理、球的性质、正弦定理进行求解即可. 解：由图设点D 为AB 中点，连接,PD CD ，由PA PB AC BC ===，所以,PD AB CD AB ⊥⊥，,,PD CD D PD CD ⋂=⊂面PCD ，则AB ⊥面PCD ，且PAB ABC ≌，所以球心O ∈面PCD ，所以平面PCD 与球面的截面为大圆，CD 延长线与此大圆交 于E 点.在三角形ABC 中，由2,23AC BC a AB a ===，所以130,120,sin 22A B C CD BC B a a =====⨯=，由正弦定理知：三角形ABC 的外接圆半径为122sin120ABr a =⨯=，设三角形ABC 的外接圆圆心为点M ，则OM ⊥面ABC ，有2r ME MC a ===，则MD a =，设PAB △的外接圆圆心为点N ，则ON ⊥面PAB ，由正弦定理知：三角形PAB 的外接圆半径为122sin120ABr a =⨯=，所以OM ON =，又三角形PDC 中，PC PD CD a ===， 所以OD 为PDC ∠的角平分线，则30ODM ∠=， 在直角三角形OMD 中，3tan 303OM MD ==， 在直角三角形OED 中，22222213433a R OM EM a a =+=+=，在三角形OAC 中，取中点S ，由OA OC OS AC =⇒⊥2222131033OS OA AS a a a =-=-=，所以211303022233OACSAC OS a a a =⨯=⨯⨯=， 故选：C.【点睛】关键点睛：运用正弦定理、勾股定理、线面垂直的判定定理是解题的关键. 二、多选题9．如图，正四棱锥P ABCD -中，O 为正方形ABCD 的中心，2PA AB ==，点,E F 分别为侧棱,PA PB 的中点，则（ ）A ．OE PA ⊥B ．//OF PDC ．四棱锥P ABCD -的体积为43D ．AC ⊥平面PBD 答案：ABD证明OP ⊥平面ABCD ，OP OA =，故选项A 正确；证明//OF PD ，故选项B 正确； 42P ABCD V -=，故选项C 错误；证明,OP AC BD AC ⊥⊥，则AC ⊥平面PBD 即得证，故选项D 正确.解：由点O 为正方形ABCD 的中心，则OP ⊥平面ABCD ，直角三角形POA 中，2212,22OA AC OP PA OA ==-所以OP OA =，当E 为中点时，OE PA ⊥，故选项A 正确；在三角形PBD 中，,O F 为中点，所以//OF PD ，故选项B 正确；11422433P ABCD ABCD V OP S -=⨯==C 错误； 由OP ⊥面,,ABCD OP AC BD AC ⊥⊥，,,OP BD O OP BD =⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ，故选项D 正确. 故选：ABD.10．已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上第一象限的点，点12,A A 为双曲线的左右顶点，过点P 向x 轴作垂线，垂足为点Q ，记212PQt AQ A Q =⋅，则（ ）A ．bt a=B ．双曲线的离心率为1e t =+C ．当1t =时，双曲线的渐近线互相垂直 D ．t 的值与P 点在双曲线上的位置无关 答案：BCD根据双曲线左右顶点坐标，结合双曲线的离心率公式、渐近线方程进行逐一判断即可. 解：因为点12,A A 为双曲线的左右顶点，所以12(,0),(,0)A a A a -设点()12,(0,0),,,p x y x y PQ y AQ x a A Q x a >>==+=-， 则222212||PQ y t AQ A Q x a ==⋅-，又点P 在该双曲线上，满足22221x y a b -=，所以2222222212(1)||x b PQ b a t A Q A Q x a a-===⋅-，所以选项A 错，选项D 对；又c e a ==B 对，对选项C ，221b t a ==，则1b a =，双曲线的渐近线方程为y x =±，故C 对.故选：BCD11．已知欧拉函数()()*n n N ϕ∈的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互素的正整数的个数.例如：()11ϕ=，()42ϕ=，设数列{}n a 中：()()*n a n n N ϕ=∈，则（ ） A ．数列{}n a 是单调递增数列 B ．{}n a 的前8项中最大项为7a C ．当n 为素数时，1n a n =- D ．当n 为偶数时，2n n a = 答案：BC根据欧拉函数的概念可写出数列{}n a 的前8项，根据前8项，可判断选项A,B,D ；根据n 为素数时，n 与前1n -个数都互素，从而可判断选项C.解：由题知数列{}n a 前8项为：1,1,2,2,4,2,6,4，不是单调递增数列，故选项A 错误； 由选项A 可知，{}n a 的前8项中最大项为76a =，故选项B 正确； 当n 为素数时，n 与前1n -个数互素，故1n a n =-，所以C 对正确； 因为62a =，故选项D 错误. 故选：BC .12．已知正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，点E 是棱1DD 的中点，点F 在正方体表面上运动，以下命题正确的有（ ） A ．平面1A BE 截正方体所得的截面面积为92B ．三棱锥1B ACE -C ．当点F 在棱1CC 运动时，平面1FA B 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值可以取到2D ．当点F 在底面ABCD 上时，直线1B F 与1CC 所成角为30，则动点F答案：ACD对于选项A ，取CD 中点为N ，则1//EN A B ，可知平面1A BE 截正方体所得的截面为梯形1A BNE ，由对称性知，梯形1A BNE 为等腰梯形，利用平面几何知识即可求出梯形1A BNE 的面积，进而判断A 是否正确；对于B ，设点M 为AC 中点，AC ⊥面1B ME ，再根据内切球的性质和几何体提及的关系1=3V rS （其中V ,S ，r 分别是几何体的的体积、表面和内切球的半径），由此即可判断B 是否正确；对于C ，利用空间向量法求二面角，即可判断C 是否正确；对于D ，由于11//BB AA ，可得130BB F ∠=，所以123tan 303BF BB ==，可知点F 的轨迹为以点B 为圆心，半径为233的圆上，作出草图，即可求出动点F 的轨迹长度，进而判断D 是否正确.解：选项A ，设CD 中点为N ，连接,BN EN ，则1//EN A B ，所以平面1A BE 截正方体所得的截面为梯形1A BNE ，由对称性知，梯形1A BNE 为等腰梯形，过点E 作1EG A B ⊥，在直角三角形1GA B 中，1125,EA AG == 所以2211922EG EA AG =-所以()1139322222ABNE S EN AB EG =+⨯=⨯⨯=，所以A 正确； 选项B ，在三棱锥1B ACE -中，11122,5,3B A BC AC EA EC B E ====== 设点M 为AC 中点，所以1,B M AC EM AC ⊥⊥，则AC ⊥面1B ME ，16,3B M EM ==，所以11,11122632332A B CE B MEV AC S-=⨯=⨯⨯⨯⨯= 又三棱锥1B ACE -表面积为1116236ACB ACEB EB CE S S SSS =+++=++表面和又1123A B CE V r S -=⨯=表面积，则666236621r ==++++，故B 错误；选项C ，以点B 为坐标原点，1,,BC BA BB 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设点()()2,0,,02F t t ≤≤，则()()12,0,,0,1,1==BF t BA ， 设平面1FA B 的法向量为(),,nx y z =，所以1200⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n BF x tz n BA y z ，取2=-=y z ，则x t =，所以平面1FA B 的法向量为(),2,2n t =-，又平面ABCD 法向量为()0,0,1m =平面1FA B 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值2211cos ,328m n m nt θ⋅⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦⋅+∣ 又()111232,32322⎡⎤-=∈⎢⎥+⎣⎦，所以选项C 正确； 选项D ，11//BB CC ，所以1∠BB F 直线1B F 与1CC 所成角，即130BB F ∠=， 所以123tan 303BF BB ==， 所以点F 的轨迹为以点B 为圆心，半径为233BF =的圆上， 又点F 在底面ABCD 上，如下图所示：所以动点F 2332ππ=，故D 正确； 故选：ACD. 三、填空题13．已知圆锥底面半径为13_____． 答案：2π由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解．解：由已知可得r=1，3132+=, ∴圆锥的侧面积S=πrl=2π． 故答案为2π．【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=πrl.14．已知数列{}n a 满足下列条件：①数列{}n a 是等比数列；②数列{}n a 是单调递增数列；③数列{}n a 的公比q 满足01q <<.请写出一个符合条件的数列{}n a 的通项公式__________.答案：12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（答案不唯一）根据题意判断数列特征，写出一个符合题意的数列{}n a 的通项公式即可.解：因为数列{}n a 是等比数列，数列{}n a 是单调递增数列，数列{}n a 的公比q 满足01q <<，所以等比数列{}n a 公比01q <<，且各项均为负数， 符合题意的一个数列{}n a 的通项公式为12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故答案为：12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（答案不唯一）15．已知数列{}n a 满足()()11121,2n n n a n a a ++=+=，则320222023212320222023a a aa a +++++=__________. 答案：20232024由题112n n n a a n ++=+，用累乘法求得通项公式：11n a n =+，则()11111n a n n n n n ==-++，通过裂项求和即可得出结果. 解：由题112n n n a a n ++=+，所以累乘法求通项公式： 2132123,,341n n n a a a a a a n -==⋯=+，所以12313411n n a a n n =⨯⨯⨯=++，经验证1n =时，112a =符合. 所以()11111n a n n n n n ==-++，则3202220232111111120231123202220232232023202420242024a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：2023202416．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点为1F ，2F ，直线(0)y kx k =>与双曲线交于,M N 两点，且2OM OF =，O 为坐标原点，又()222216MF NMF NF S +=，则该双曲线的离心率为__________.根据直线和双曲线的对称性，结合圆的性质、双曲线的定义、三角形面积公式、双曲线离心率公式进行求解即可.解：由直线(0)y kx k =>与双曲线的对称性可知，点M 与点N 关于原点对称， 在三角形2MF N ∆中，2OM OF =，所以22MF NF ⊥， ,M N 是以12F F 为直径的圆与双曲线的交点，不妨设()11,M x y 在第一象限， 212NF MMF F SS=，因为圆是以12F F 为直径，所以圆的半径为c ，因为点()11,M x y 在圆上，也在双曲线上，所以有221122222111x y a b x y c⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，联立化简可得()222222211b c y a y a b --=，整理得2222222211b c a bb y a y ，242211,b b c y y c==，所以2121122MF F Sc y b =⋅⋅=，由()2222216MF NMF NF S b +==所以124MF MF b ，又因为122MF MF a ，联立121242MF MF bMF MF a +=⎧⎨-=⎩可得12MF b a ，22MF b a ，因为12F F 为圆的直径，所以2221212MF MF F F +=，即222222222(2)(2)4,824,42b a b a c b a c b a c ++-=+=+=，222222223442,23,2c c a a c c a a -+===，所以离心率62cea .【点睛】关键点睛：利用直线和双曲线的对称性，结合圆的性质进行求解是解题的关键. 四、解答题17．已知公差不为0的等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，首项为12a =，且1241,1,1a a a +++成等比数列. (1)求n a 和n S ；(2)设(1)1nn n b a =-+，记12n n T b b b =+++，求n T .答案：(1)2331,2n n n na n S +=-=(2)**1,,25,,2n n n N n T n n N n +⎧-∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩为奇数为偶数（1）由题意解得等差数列{}n a 的公差d ，代入公式即可求得n a 和n S ； （2）把n 分为奇数和偶数两类，分别去数列{}n b 的前n 项和n T . (1)设等差数列{}n a 公差为d ，由题有()()()2214111a a a +=++，即()2(3)333d d +=+，解之得3d =或0，又0d ≠，所以3d =，所以()()2113131,22n n n a a n n n a a n d n S ++=+-=-==. (2)()(1)1(1)311n n n n b a n =-+=--+，当n 为正奇数，()()11(1)(1)313113n n n n a a n n ++-+-=--++-=，()()()12123421n n n n n T b b b a a a a a a a n --=+++=-++-+++-+-+()1133122n n n n -+=⨯--+=- 当n为正偶数，()()()12123415322n n n n n nT b b b a a a a a a n n -=+++=-++-+++-++=⨯+=， 所以**1,,25,,2n n n N n T n n N n +⎧-∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩为奇数为偶数18．如图①，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，,E F 分别为AB CD ､的中点，224CD AB EF ===，现将四边形BEFC 沿EF 折起，使平面BEFC ⊥平面AEFD ，得到如图②所示的多面体，在图②中：(1)证明：平面//AEB 平面DFC ；(2)求四棱锥F ABCD -的体积. 答案：(1)证明见解析. (2)2（1）根据面面平行的判定定理结合已知条件即可证明； （2）将所求四棱锥F ABCD -的体积转化为求32E CDF V -即可.(1)证明：因为//AE DF ，AE ⊄面DFC ，DF ⊂面DFC ， 所以//AE 面DFC ， 同理//BE 面DFC ， 又因为,AE BE ⊂面ABE ,AE BE E =所以面//ABE 面DFC . (2)解：因为在图①等腰梯形ABCD 中，,E F 分别为,AB CD 的中点， 所以EF CD ⊥，在图②多面体中，因为,EF DF EF FC ⊥⊥，,DF FC ⊂面DFC ，DF FC F ⋂=， 所以EF ⊥面DFC .因为CF EF ⊥，面BEFC ⊥面AEFD ，CF ⊂面BEFC ，面BEFC ⋂面AEFD EF =, 所以CF ⊥面AEFD ， 又因为DF ⊂面AEFD ， 所以CFDF ，在直角三角形DFC 中，因为2DF FC ==,所以CD =，同理，AB = 所以2CD AB =， 则2ACDABCSS=，有32ABCD ABC ACD ACD S S S S =+=△△△△， 所以33331222223F ABCD F ACD A CDF E CDFCDF V V V V EF S ----⎛⎫====⨯⨯= ⎪⎝⎭△. 所以四棱锥F ABCD -的体积为2.19．已知抛物线2:2C y px =的焦点F ，点()2,2M 在抛物线C 上. (1)求MF ；(2)过点M 向x 轴作垂线，垂足为N ，过点N 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，证明：AOB 为直角三角形（O 为坐标原点）.答案：(1)52(2)证明见解析（1）点代入即可得出抛物线方程，根据抛物线的定义即可求得MF .（2）由题()2,0N ，设直线AB 的方程为：2x my =+，与抛物线方程联立，可得2240y my --=，利用韦达定理证得0OA OB ⋅=即可得出结论.(1)点()2,2M 在抛物线2:2C y px =上.∴44p =，则1p =，所以252,22M p y x MF x ==+=. (2)证明：由题()2,0N ，设直线AB 的方程为：2x my =+，点()()1122,,,A x y B x y联立方程222x my y x =+⎧⎨=⎩，消x 得：2240y my --=，由韦达定理有121224y y m y y +=⎧⎨=-⎩，由22y x =，所以221212422y y x x =⨯=，所以1212440OA OB x x y y ⋅=+=-=，所以OA OB ⊥，所以AOB 为直角三角形. 20．三棱锥P ABC -中，PAB PAC ≅△△，2BC AB ，PA AB ⊥，直线PC 与平面ABC 所成的角为3π，点D 在线段PA 上.(1)求证：BD AC ⊥； (2)若点E 在PC 上，满足34PE PC =，点D 满足(01)AD AP λλ=<<，求实数λ使得二面角A BE D --的余弦值为25.答案：(1)证明见解析； (2)12λ=.（1）证明AC ⊥平面PAB ，利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）设1AB AC ==，以点A 为坐标原点，AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得出关于实数λ的等式，即可解得实数λ的值. (1)证明：因为PAB PAC ≅△△，PA AB ⊥，则PA AC ⊥且AB AC =， AB AC A ⋂=，PA ∴⊥平面ABC ，所以PCA ∠为直线PC 与平面ABC 所成的线面角，即3PCA π∠=，22BC AB AC ==，故222AB AC BC +=，AC AB ∴⊥，PA AB A =，AC ∴⊥平面PAB ， BD ⊂平面PAB ，因此，BD AC ⊥.(2)解：设1AB AC ==，由（1）可知3PCA π∠=且PA AC ⊥，tan33PA AC π∴==，因为PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，以点A 为坐标原点，AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0B 、()0,1,0C 、(3P 、330,4E ⎛ ⎝⎭、()()301D λλ<<，设平面ABE 的法向量为()111,,m x y z =，()1,0,0AB =，330,4AE ⎛= ⎝⎭，则1113304m AB x y z m AE ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，取1y =，可得(0,1,3m =， 设平面BDE 的法向量为()222,,n x y z =，()1,0,3DB λ=-，331,4BE ⎛=- ⎝⎭， 由22222303304n DB x z n BE x y λ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取23x λ=，则(3,43n λλ=-，由已知可得2412cos ,522584m n m n m nλλλ⋅-<>===⋅-+，解得12λ=.当点D 为线段AP 的中点时，二面角A BE D --的平面角为锐角，合乎题意. 综上所述，12λ=.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率32e =.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P 在椭圆22149x y +=上，且在第一象限内，点12,A A 分别为椭圆C 的左､右顶点，直线12,PA PA 分别与椭圆C 交于点,M N ，过2A 作直线1PA 的平行线与椭圆C 交于点D ，问直线DN 是否过定点，若经过定点，求出该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.答案：(1)2214x y +=(2)过定点，8,05⎛⎫⎪⎝⎭（1）根据椭圆上的点及离心率求出a ,b 即可；（2）设点()()()112200,,,,,D x y N x y P x y ，设直线DN 的方程为x t my =+，联立方程，得到根与系数的关系，利用条件122212,PA DA DA NA PA PA k k k k k k =⋅=⋅化简，结合椭圆方程，求出t 即可得解.(1) 由2223c e a b c a ===+，有2a b =， 又221341a b+=，所以22a b ==，椭圆C 的标准方程为2214x y +=.(2)设点()()()112200,,,,,D x y N x y P x y ，设直线DN 的方程为x t my =+. 如图，联立2214x y x t my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消x 有：()2224240m y mty t +++-=，韦达定理有：()()1222222212224*,Δ4444044mt y y m m t t m t y y m ⎧+=-⎪⎪+=--+>⎨-⎪=⎪+⎩由12//PA DA ，所以()()122212222000,224PA DA DA NA PA PA y y k k k k k k x x x =⋅=⋅==-+-， 又()22220000914494x y y x +=⇒=-，所以222020944DA NA y k k x ⋅==-- 又221212,22DA NA y yk k x x ==--， 所以()()2211129224DA NA y y k k x x ⋅==---.又()()()()()()221212121222222(2)x x my t my t m y y m t y y t --=+-+-=+-++-所以有()()2212121242(2)9y y m y y m t y y t -=+-++-， 把()*代入有：()22444(2)9t t --=-， 解得85t =或2，又直线DN 不过右端点，所以2t ≠，则85t =， 所以直线DN 过定点8,05⎛⎫⎪⎝⎭.22．已知函数()ln 1f x x x =+.(1)求函数()y f x =在x e =处的切线方程；(2)设()f x '为()y f x =的导数，若方程()'2a f x a x =+的两根为12,x x ，且12x x <，当0t >时，不等式()122a t x tx <-+对任意的()12,(0,x x ∞∈+恒成立，求正实数t 的最小值. 答案：(1)21y x e =-+ (2)1（1）先求导数，根据导数的几何意义可求得切线方程； （2）将已知方程结合其两根，进行变式，求得()21212ln x x a x x -=，利用该式再将不等式()122a t x tx <-+变形，然后将不等式的恒成立问题变为函数的最值问题求解.(1)由题意可得()()()ln 1,2,1f x x f e f e e '+'===+， 所以切点为(),1e e +，则切线方程为：()2121y x e e x e =-++=-+. (2)由题意有：()ln 12a x x a +=+，则ln 2a x x =， 因为12,x x 分别是方程ln 20a x x -=的两个根，即1122ln 2,ln 2a x x a x x ==.两式相减()()2121ln ln 2a x x x x -=-， 则()21212ln x x a x x -=， 则不等式()122(0)a t x tx m <-+>，可变为()()21122122ln x x t x tx x x -<-+， 两边同时除以1x 得，212211212ln x x txt x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<-+，令21x k x =，则()212ln k t tk k-<-+在()1,k ∈+∞上恒成立. 整理可得()21ln 02k k t tk-->-+，在()1,k ∈+∞上恒成立，令()()21ln 2k h k k t tk-=--+，则()()()22222222(2)11(2)14(2)(2)(2)t t k k k t k t t h k k t tk k t tk k t tk ⎡⎤---⎢⎥⎡⎤---⎣⎦⎣⎦=-==-+-+-+'， ①当22(2)1t t -≤，即1t ≥时，()0h k '>在()1,+∞上恒成立，则()h k 在()1,+∞上单调递增，又()10h =，则()0h k >在()1,+∞上恒成立；②当22(2)1t t ->，即01t <<时，当22(2)1,t k t ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭时，()0h k '<， 则()h k 在22(2)1,t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则()()10h k h <=，不符合题意.综上：1t ≥，所以t 的最小值为1.。
2021-2022学年重庆市部分区高二(上)期末数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年重庆市部分区高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为( )A. √3B. −√3C. √33D. −√332. F 1，F 2是椭圆x 29+y 24=1的焦点，点P 在椭圆上，点P 到F 2的距离为1，则P 到F 1的距离为( )A. 3B. 4C. 5D. 63. 已知u ⃗ =(1,2,1)是直线l 的方向向量，v ⃗ =(2,y,2)为平面α的法向量，若l//α，则y 的值为( )A. −2B. −12C. 4D. 144. 某工厂去年的电力消耗为m 千瓦，由于设各更新，该工厂计划每年比上一年的电力消耗减少10%，则从今年起，该工厂第5年消耗的电力为( )A. 0.14m 千瓦B. 0.15m 千瓦C. 0.94m 千瓦D. 0.95m 千瓦5. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则(x,y,z)=( )A. (1,1,1)B. (1,1,0)C. (1,1,−1)D. (1,0,−1)6. 等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，2a 8−a 9=16，则S 13的值为( )A. 13B. 16C. 104D. 2087. 直线x +2y −6=0平分圆C ：x 2−4x +y 2−2by +3+b 2=0的周长，过点P(−1,−b)作圆C 的一条切线，切点为Q ，则|PQ|=( )A. 5B. 2√6C. 3D. 2√28. 如图，过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，与其准线l 交于点C(点B 位于A ，C 之间)且CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⊥l 于点D 且|AD|=4，则|OF|等于( )A. 23 B. 43 C. 83二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 在四面体P −ABC 中，P(0,0,3)，A(2,2,5)，B(1,3,2)，C(3,1,2)，则以下选项正确的有( )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−3)B. |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |C. PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =11 10. 对于直线l 1：ax +2y +3a =0，l 2：3x +(a −1)y +3−a =0.以下说法正确的有( )A. l 1//l 2的充要条件是a =3B. 当a =25时，l 1⊥l 2 C. 直线l 1一定经过点M(3,0)D. 点P(1,3)到直线l 1的距离的最大值为511. 椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，短轴长为2√3，则( )A. 椭圆的方程为x 24+y 23=1B. 椭圆与双曲线2y 2−2x 2=1的焦点相同C. 椭圆过点(1,−32)D. 直线y =k(x +1)与椭圆恒有两个交点12. 若数列{a n }满足a 1=2，a n +a n+1=3n(n ≥1,n ∈N ∗)，{a n }的前n 项和为S n ，下列结论正确的有( )A. a 2022=3031B. a 2n−1=3n −1C. a n+1−a n =1D. S 2n =3n 2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知点M(2,3)，N(−3,1)，则线段MN 的垂直平分线的一般式方程为______． 14. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2，则该数列的首项a 1=______，通项公式a n =______． 15. 双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，虚轴的一个端点为B ，右焦点F 到直线AB 的距离为3b2，则双曲线E 的离心率为______． 16. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PA =AB =1，AD =2，E ，F 分别为AB ，离为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.等差数列{a n}的前n项和记为S n，已知a3=6，S10=−15．(1)求{a n}的通项公式；(2)求S n，并求n为何值时S n的值最大．18.圆心在x轴正半轴上、半径为2的圆C与直线l1：√2x−4y=0相交于A，B两点且|AB|=2√3．(1)求圆C的标准方程；(2)若直线l2//l1，圆C上仅有一个点到直线l2的距离为1，求直线l2的方程．19.双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√5，虚轴的长为4．(1)求a，b的值及双曲线C的浙近线方程；(2)直线y=kx−2与双曲线C相交于互异两点，求k的取值范围．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，∠APD=90°，AB⊥AD，BC//AD，PA=PC=PD=2√2，AD=2AB=2BC，O为AD的中点，连接OC，OP．(1)求证：PO⊥平面ABCD；(2)求平面PAD与平面PBC的夹角的余弦值．21.已知等差数列{a n}满足：a2+4，a5，a6成等差数列，a4，a7，a12成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)在数列{a n}的每相邻两项a t与a t+1间插入2t个3(t=1,2,3,⋯)，使它们和原数列{a n}的项构成一个新数列{b n}，数列{b n}的前n项和记为S n，求b18及S2022．22.椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点到F2的距离为2√2，且椭圆E过点(√6,1)，过F1且不与两坐标轴平行的直线l交椭圆E于A，B两点，点B与点M关于x轴对称．(1)求椭圆E的方程；(2)当直线l的斜率为1时，求△ABF2的面积；(3)若点N(−4,0)，求证：A，M，N三点共线．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为直线的斜率等于直线倾斜角的正切值，所以直线l的斜率k=tan120°=tan(180°−60°)=−tan60°=−√3．故选：B．根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，根据tan120°利用诱导公式及特殊角的三角函数值得到直线l的斜率即可．此题比较简单，要求学生掌握直线的斜率等于直线倾斜角的正切值，以及灵活运用诱导公式及特殊角的三角函数值进行化简求值．2.【答案】C【解析】解：由题意得a2=9，得a=3，因为|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF2|=1，所以|PF1|=5，故选：C．利用椭圆的定义直接求解．本题主要考查椭圆的定义及其应用，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：u⃗=(1,2,1)是直线l的方向向量，v⃗=(2,y,2)为平面α的法向量，l//α，∴u⃗⊥v⃗，∴u⃗⋅v⃗=1×2+2y+1×2=0，解得y=−2．故选：A．由l//α，得到u⃗⊥v⃗，由此能求出y的值．本题考查实数值的求法，考查平面的法向量等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解析】解：某工厂去年的电力消耗为m 千瓦，由于设各更新，该工厂计划每年比上一年的电力消耗减少10%，∴今年的电力消耗为a 1=m(1−10%)=0.9m ，∴从今年起，该工厂第5年消耗的电力为a 5=0.9m(1−10%)4=0.95m. 故选：D ．今年的电力消耗为a 1=m(1−10%)=0.9m ，利用等比数列通项公式求出从今年起，该工厂第5年消耗的电力．本题考查等比数列的运算，等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】A【解析】解：∵正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1， ∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(x,y,z)=(1,1,1)， 故选：A ．利用空间向量的线性运算求解即可． 本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，2a 8−a 9=16， ∴2(a 1+7d)−(a 1+8d)=a 1+6d =16， S 13=132(a 1+a 13)=132(2a 1+12d)=13×16=208．故选：D ．利用等差数列的通项公式、前n 项和公式直接求解．本题考查等差数列的前13项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解析】解：由x 2−4x +y 2−2by +3+b 2=0⇒(x −2)2+(y −b)2=1， 所以该圆的圆心为C(2,b)，半径为1，因为直线x +2y −6=0平分圆C ：x 2−4x +y 2−2by +3+b 2=0的周长， 所以圆心在直线x +2y −6=0上，故2+2b −6=0⇒b =2， 因此P(−1,−2)，C(2,2)，所以有|PC|=√(−1−2)2+(−2−2)2=5， 所以|PQ|=√|PC|2−12=√25−1=2√6， 故选：B ．根据圆的性质，结合圆的切线的性质进行求解即可．本题主要考查直线与圆的位置关系，两点之间距离公式及其应用等知识，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：设BE ⊥l 于点E ，准线l 交x 轴于点G ，则|BE|=|BF|，又CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴|BC|=3|BE|，|CF|=3|GF|，又AD ⊥l 于点D 且|AD|=4， ∴BE//AD ，∴|AC|=|AD|+|CF|=|AD|+3|GF|=3|AD|，即3p =2|AD|=2×4， ∴p =83，故选：B ．由题可得|AC|=3|AD|，然后结合条件可得p =83，即可得|OF|的值．本题主要考查直线与抛物线的综合问题，圆锥曲线与向量的综合问题等知识，属于中等题．9.【答案】AB【解析】解：在四面体P −ABC 中，P(0,0,3)，A(2,2,5)，B(1,3,2)，C(3,1,2)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−3)，故A 正确；|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+1+9=√11，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,−3)，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+1+9=√11， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |，故B 正确； PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1,−1)，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5≠0，∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直，故C 错误； AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1−1+9=7，故D 错误． 故选：AB ．利用向量坐标运算法则、向量数量积公式、向量的模直接求解．本题考查命题真假的判断，考查利用向量坐标运算法则、向量数量积公式、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】BD【解析】解：A ：由a(a −1)−6=0，解得a =3或a =−2，经验证a =3，a =−2时两条直线平行，∴A 错误，B ：当a =25时，则l 1：x +5y +3=0，l 2：15x −3y +13=0，∵1×15+5×(−3)=0，∴l 1⊥l 2，∴B 正确，C ：∵直线l 1：ax +2y +3a =0，则a(x +3)+2y =0，∴x +3=0且y =0，∴x =−3，y =0，∴直线l 1过定点(−3,0)，∴C 错误，D ：∵直线l 1过定点N(−3,0)，∴点P(1,3)到直线l 1的距离的最大值为PN =√(1+3)2+32=5，∴D 正确， 故选：BD ．利用直线的平行判断A ，利用直线的垂直判断B ，利用直线过定点判断C ，利用两点间的本题考查了两条直线平行，垂直的充要条件，考查了直线过定点，两点间的距离公式，属于中档题．11.【答案】ACD【解析】解：因为椭圆的短轴长为2√3，所以有2b =2√3⇒b =√3⇒a 2−c 2=3， 而椭圆的离心率为12，所以c a =12⇒a =2c ⇒a 2=4c 2， 所以可得：c 2=1，a 2=4，b 2=3．A ：因为a 2=4，b 2=3，所以该椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1，因此本选项正确；B ：由2y 2−2x 2=1⇒y 212−x 212=1，该双曲线的焦点在纵轴上，而椭圆x 24+y 23=1的焦点在横轴，所以本选项说法不正确；C ：因为124+(−32)23=1，所以点(1,−32)在该椭圆上，因此本选项说法正确；D ：直线y =k(x +1)恒过点(−1,0)，而(−1)24+023<1，所以点(−1,0)在椭圆内部，因此直线y =k(x +1)与椭圆恒有两个交点，所以本选项说法正确， 故选：ACD ．根据椭圆离心率公式、短轴长定义，结合双曲线焦点公式、代入法、直线点斜式方程的性质逐一判断即可．本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等知识，属于中等题．12.【答案】BD【解析】解：∵数列{a n }满足a 1=2，a n +a n+1=3n(n ≥1,n ∈N ∗)， ∴a n+1+a n+2=3(n +1)， ∴a n+2−a n =3，又a 1+a 2=3×1=3⇒a 2=1，故数列{a n }的奇数项构成首项为2，公差为3的等差数列， 偶数项构成首项为1，公差为3的等差数列， ∴a 2n =2+3(n −1)=3n −1， a 2n−1=1+3(n −1)=3n −2，S2n=2+3+6+....+(3n−1)+1+4+....+(3n−2)=n(2+3n−1)2+n(1+3n−2)2=3n2，故选：BD．根据递推关系得到数列{a n}的奇数项构成首项为2，公差为3的等差数列，偶数项构成首项为1，公差为3的等差数列，进而求出数列的通项公式，即可求解结论．本题主要考查数列递推关系式的应用，考查通项公式的求解，属于中档题目．13.【答案】10x+4y−3=0【解析】解：设P为点M(2,3)，N(−3,1)的中点，则P(−12,2)，∵点M(2,3)，N(−3,1)，∴k MN=3−12−(−3)=25，∴线段MN的垂直平分线的斜率为−52，∴线段MN的垂直平分线的方程为y−2=−52(x+12)，即10x+4y−3=0．故答案为：10x+4y−3=0．根据已知条件，结合中点公式，以及两直线垂直的性质，即可求解．本题主要考查垂直平分线的求解，考查计算能力，属于基础题14.【答案】3{3,n=12n−1,n≥2【解析】解：∵S n=n2+2，∴n=1时，a1=S1=3；n≥2时，a n=S n−S n−1=2n−1，a1=3不满足上式，∴a n={3,n=12n−1,n≥2，故答案为：3，{3,n=12n−1,n≥2．根据S n=n2+2，再写一式，两式相减，可得{a n}的通项公式，进而求解结论．本题主要考查数列递推关系式的应用以及通项公式的求解，考查计算能力，属于基础题目．15.【答案】2【解析】解：双曲线E ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，虚轴的一个端点为B ，则A(−a,0)，不妨设B(0,b)，∴直线AB 的方程为y =ba (x +a)，即bx −ay +ab =0， ∵F(c,0)， ∴|bc+ab|√a 2+b 2=32b ，即c+a c=32，∴c =2a ， ∴e =ca =2． 故答案为：2．先求出直线AB 的方程，根据点到直线的距离公式可得|bc+ab|√a 2+b 2=32b ，化简整理可得e =c a=2．本题考查了双曲线的方程和性质，考查了运算求解能力，属于基础题．16.【答案】4√105105【解析】解：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则E(12,0,0)，P(0,0,1)，D(0,2,0)，C(1,2,0)，F(0,1,12)，EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,0,1)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,2,0)．设平面PCE 的法向量为n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−12x +z =012x +2y =0，取y =−1，得n⃗ =(4,−1,2)． 又PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−12)， ∴点F 到平面PCE 的距离为：d =∣n ⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣n ⃗⃗ ∣=√1+4×√14+1+4=4√105105．故答案为：4√105105． 以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出点F 到平面PCE 的距离．本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17.【答案】解：(1)a 3=6，S 10=−15，∴{a 1+2d =610a 1+45d =−15， 解得d =−3，a 1=12，∴a n =12−3(n −1)=−3n +15； (2)S n =12n −3n(n−1)2=−32(n 2−9n)=−32[(n −92)2−814]，当n =4或5时，S n 的值最大， 故S n =−32n 2+272n ，当n =4或5时，S n 的值最大．【解析】(1)根据通项公式和求和公式列出方程组解得即可求出首项和公差； (2)根据求和公式和二次函数的性质即可求出．本题考查了等差数列的通项公式和求和公式，以及二次函数的性质，属于基础题．18.【答案】解：(1)因为圆心在x 轴正半轴上、半径为2，所以设圆的方程为(x −a)2+y 2=4(a >0)，圆心C(a,0)， 圆心C 到直线l 1：√2x −4y =0的距离d =√2a √2+16=a3，又因为|AB|=2√3，所以2√4−d 2=2√3，所以4−a 29=3，解得a =3或a =−3(舍去)， 所以圆C 的标准方程为(x −3)2+y 2=4； (2)由(1)可知d =∣√2a ∣√2+16=a3=1，圆C 的半径为2，因为线l 2//l 1，所以设直线线l 2的方程为√2x −4y +m =0，因为圆C 上仅有一个点到直线l 2的距离为1，所以直线l 2与该圆相离， 当两平行线间的距离为2，于是有0−m √2+16=2，所以m =±6√2， 当m =6√2时，圆心C 到直线l 2的距离为：3√2+6√2∣√2+16=3>2，符合题意，当m =−6√2时，圆心C 到直线l 2的距离为：3√2−6√2∣√2+16=1<2，不符合题意， 故直线l 2的方程为√2x −4y +6√2=0．当两平行线间的距离为4，于是有√2+16=4，所以m =±12√2， 当m =12√2时，圆心C 到直线l 2的距离为：∣3√2+12√2∣√2+16=5>2×2，不符合题意，当m =−12√2时，圆心C 到直线l 2的距离为：3√2−12√2∣√2+16=3>2，符合题意， 故直线l 2的方程为√2x −4y −12√2=0．综上所述：直线l 2的方程为√2x −4y −12√2=0或√2x −4y +6√2=0．【解析】(1)根据圆的弦长公式进行求解即可；(2)根据平行线的性质，结合直线与圆的位置关系进行求解即可． 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意可得e =ca =√5，2b =4，即b =2，又a 2+b 2=c 2， 解得a =1，c =√5， 则双曲线的方程为x 2−y 24=1，渐近线方程为y =±2x ；(2)联立{y =kx −24x 2−y 2=4，可得(4−k 2)x 2+4kx −8=0， 由直线y =kx −2与双曲线C 相交于互异两点，可得4−k 2≠0，且Δ=16k 2+32(4−k 2)>0，解得−2√2<k <2√2，且k ≠±2，所以k 的取值范围是(−2√2,−2)∪(−2,2)∪(2,2√2).【解析】(1)由双曲线的离心率公式和虚轴的概念、a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到渐近线方程；(2)联立直线y =kx −2与双曲线的方程，消去y ，可得x 的二次方程，运用判别式大于0，注意二次项的系数不为0，解不等式可得所求范围．本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20.【答案】(1)证明：因为AD =2BC ，O 为AD 的中点，所以AO =BC ，而AD//BC ，所以四边形AOCB 是平行四边形，因此AB =OC =2， 因为∠APD =90°,PA =PD =2√2,O 为AD 的中点， 所以AD ⊥PO ，PO =12AD =12√PA 2+PD 2=12×√8+8=2，而PC =2√2，因为PC 2=PO 2+CO 2，所以OC ⊥PO ，而AD ∩CO =O ，AD ，CO ⊂平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ；(2)解：根据(1)，建立如图所示的空间直角坐标系，P(0,0,2)，A(0,−2,0)，D(0,2,0)，B(−2,2,0)，C(2,0,0)，于是有：PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −(0,−2,−2),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ −(0,2,−2),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,−2),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−2)， 设平面PAD 的法向量为：n =(x 1,y 1,z 1)，所以{n⃗ ⊥PA ⃗⃗⃗⃗⃗ n ⃗ ⊥PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒{n ⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{−2y 1−2z 1=02y 1−2z 1=0⇒n ⃗ =(1,0,0)， 设平面PBC 的法向量为：m −(x 2,y 2,z 2)，所以{m⃗⃗⃗ ⊥PB ⃗⃗⃗⃗⃗ m ⃗⃗⃗ ⊥PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒{m ⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −0m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ −0⇒{−2x 2+2y 2−2z 2=02x 2−2z 2=0⇒m ⃗⃗⃗ =(1,2,1)， 设平面PAD 与平面PBC 的夹角为θ， 所以cosθ=n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗|n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=1×√12+22+12−√66．【解析】(1)根据平行四边形的判定定理和性质，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；(2)利用空间向量夹角公式进行求解即可．本题主要考查线面垂直的证明，面面角的计算等知识，属于中等题．21.【答案】解：(1)设等差数列的公差d，因为a2+4，a5，a6成等差数列，所以有2a5=a6+a2+4⇒2(a1+4d)=a1+5d+a1+d+4⇒d=2，因为a4，a7，a12成等比数列，所以a72=a4a12⇒(a1+6×2)2=(a1+3×2)(a1+11×2)⇒a1=3，所以a n=3+(n−1)⋅2=2n+1；(2)由题意可知：在3和5之间插入2个3，在5和7之间插入22个3，⋯，在19和21之间插入29个3，此时共插入3的个数为：2(1−29)1−2=210−2=1022<2022，在21和23之间插入210个3，此时共插入3的个数为：2(1−210)1−2=211−2=2046>2022，因此b1=3，在3和5之间插入2个3，在5和7之间插入22个3，在7和9之间插入23个3，第18项为9，即b18=9，S2022=(3+5+⋯+21)+(2022−10)×3=(3+21)×102+2012×3=6156．【解析】(1)根据等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可；(2)根据等差数列的通项公式，结合等比数列的前n项和公式进行求解即可．本题考查了等差数列与等比数列的综合以及数列的求和问题，属于中档题．22.【答案】(1)解：因为短轴的一个端点到F2的距离为2√2，所以a=2√2，又椭圆E过点(√6,1)，所以(2√2)2+1b2=1，解得b2=4，故椭圆E的方程为x28+y24=1．(2)解：由题意知，F1(−2,0)，F2(2,0)，当直线l的斜率为1时，其方程为y=x+2，联立{y=x+2x28+y24=1，解得x=0或−83，不妨取A(0,2)，B(−83,−23)，故△ABF 2的面积为S =12|F 1F 2|⋅|y A −y B |=12×4×|2−(−23)|=163．(3)证明：设直线l 的方程为y =k(x +2)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则M(x 2,−y 2)， 联立{y =k(x +2)x 28+y 24=1，得(2k 2+1)x 2+8k 2x +8k 2−8=0，所以x 1+x 2=−8k 22k 2+1，x 1⋅x 2=8k 2−82k 2+1，所以k AN −k MN =y 1x1+4−−y 2x2+4=y 1(x 2+4)+y 2(x 1+4)(x 1+4)(x 2+4)，因为y 1(x 2+4)+y 2(x 1+4)=k(x 1+2)(x 2+4)+k(x 2+2)(x 1+4)=2k ⋅x 1x 2+6k(x 1+x 2)+16k=2k ⋅8k 2−82k 2+1+6k ⋅(−8k 22k 2+1)+16k =16k 3−16k−48k 3+32k 3+16k2k 2+1=0，所以k AN −k MN =0，即直线AM ，MN 的斜率相等， 故A ，M ，N 三点共线．【解析】(1)易知a =2√2，将点(√6,1)代入椭圆方程求出b 的值后，即可得解； (2)直线l 的方程为y =x +2，将其与椭圆方程联立，求得A ，B 两点的坐标，再利用分割法，由S =12|F 1F 2|⋅|y A −y B |，得解；(3)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线l 的方程为y =k(x +2)，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理，证明k AN −k MN =0，即可．本题考查直线与椭圆的位置关系，熟练掌握椭圆的几何性质，分割法求三角形面积，以及三点共线的证明方法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。
重庆市巴蜀中学高二年级上学期期末考试数学[理]试题整理
![重庆市巴蜀中学高二年级上学期期末考试数学[理]试题整理](https://img.taocdn.com/s3/m/11ca502552d380eb62946dd2.png)
重庆市巴蜀中学高二上期末考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知函数在处取得极值，则（）A. B. C. D.2. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.3. 命题“，均有”的否定形式是（）A. ，均有B. ，使得C. ，均有D. ，使得4. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在其所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一例，则输出的的值为（）A. B. C. D.6. 函数的导函数的图像如图所示，则的图像可能是（）A. B. C. D.7. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中错误的（）A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，则D. 若，，，则8. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.9. 如图所示程序框图输出的结果是，则判断狂内应填的条件是（）A. B. C. D.10. 已知点为椭圆上第一象限上的任意一点，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线与交于点，直线与轴交于点，则的值为（）A.2B.C. 3D.11. 已知点在正方体的线段上，则最小值为（）A. B. C.0.3 D.12. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为，若是以为底边的等腰三角形.椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若双曲线的离心率为，则__________．14. 已知抛物线，焦点为，为平面上的一定点，为抛物线上的一动点，则的最小值为__________．15. 三棱锥中，垂直平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为__________．16. 已知函数，，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，第一个大题10分，其他题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应的位置上.）17. 如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）当且为的中点时，求与平面所成角的大小.18. 已知焦点为的抛物线：过点，且.（1）求；（2）过点作抛物线的切线，交轴于点，求的面积.19. 已知函数在处切线为.（1）求；（2）求在上的值域。
2021-2022学年重庆市高二(上)期末数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年重庆市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.直线3x+√3y+1=0的倾斜角是()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2.直线y=kx+1与圆x2+y2+2y−5=0的位置关系是()A. 相交B. 相切C. 相离D. 相交或相切3.设a为实数，则曲线C：x2−y21−a2=1不可能是()A. 抛物线B. 双曲线C. 圆D. 椭圆4.我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几何？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是()A. 4031B. 2031C. 1031D. 5315.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是上底面A1B1C1D1的中心，则异面直线AE与BD1所成角的余弦值为()A. √24B. √23C. √104D. √636.双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l与y轴交于点A、与双曲线右支交于点B，若△ABF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √67.已知空间中四点A(−1,1,0)，B(2,2,1)，C(1,1,1)，D(0,2,3)，则点D到平面ABC的距离为()A. √6B. √63C. √66D. 08.已知数列{a n}的首项为a1，且(1+1n)a n+1−a n=1(n∈N∗)，若a n⩾a4，则a1的取值范围是()A. [92,252] B. [498,818] C. [6,10] D. [254,9]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.若向量{a⃗,b⃗ ,c⃗ }构成空间的一个基底，则下列向量共面的是()A. a⃗+b⃗ ，a⃗−b⃗ ，a⃗+2b⃗B. a⃗−b⃗ ，a⃗+c⃗，b⃗ +c⃗C. a⃗−b⃗ ，c⃗，a⃗+b⃗ +c⃗D. a⃗−2b⃗ ，b⃗ +c⃗，a⃗+c⃗−b⃗10.已知数列{a n}、{b n}都是公差不为0的等差数列，设c n=a n+b n，d n=a n b n，则关于数列{c n}和{d n}，下列说法中正确的是()A. 数列{c n}一定是等差数列B. 数列{d n}一定不是等差数列C. 给定c1，c2可求出数列{c n}的通项公式D. 给定d1，d2可求出数列{d n}的通项公式11.设圆O：x2+y2=1与y轴的正半轴交于点A，过点A作圆O的切线为l，对于切线l上的点B和圆O上的点C，下列命题中正确的是()A. 若∠ABO=30°，则点B的坐标为(√3,1)B. 若|OB|=2，则0°⩽∠OBC⩽30°C. 若∠OBC=30°，则|OB|=2D. 若∠ABC=60°，则|OB|⩽212.已知曲线C的方程为x|x|4+y2=1，点A(1,0)，则()A. 曲线C上的点到A点的最近距离为1B. 以A为圆心、1为半径的圆与曲线C有三个公共点C. 存在无数条过点A的直线与曲线C有唯一公共点D. 存在过点A的直线与曲线C有四个公共点三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线mx−2y−1=0与x+(1−m)y+2=0平行，则实数m的值为______．14.写出一个数列{a n}的通项公式a n=______，使它同时满足下列条件：①a n<a n+1，②S n⩽a n，其中S n是数列{a n}的前n项和．(写出满足条件的一个答案即可)15.在空间直角坐标系Oxyz中，点P(−1,2,3)在x，y，z轴上的射影分别为A，B，C，则四面体PABC的体积为______．16.已知离心率为e1的椭圆C1：x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)和离心率为e2的双曲线C2：x2a22−y2b22=1(a2>0,b2>0)有公共的焦点，其中F1为左焦点，P是C1与C2在第一象限的公共点，线段PF1的垂直平分线经过坐标原点，则4e12+e22的最小值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列{a n}满足a n+1−a n=3，且a1，a5，a8成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值及此时n的值．18.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点是圆x2+y2−2x=0与x轴的一个交点．(1)求抛物线C的方程；(2)若过点(8,0)的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：OA⊥OB．19.设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，且S n=2S n−1+1(n>1,n∈N∗).(1)证明：数列{S n+1}为等比数列；(2)若b n=S n2−26a n，是否存在正整数k，使得b n≥b k对任意n∈N∗恒成立？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．20.已知圆C经过点A(−2,3)和B(0,1)，且圆心C在直线x+y+1=0上．(1)求圆C的方程；(2)过原点的直线l与圆C交于M，N两点，若△CMN的面积为√3，求直线l的方程．21.如图，直角梯形AEFB与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AE//BF，AE⊥AB，AB=AE=2，BF=1，∠ABC=120°，M为AD中点．(1)证明：直线BM//平面DEF；(2)求二面角M−EC−F的余弦值．22.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(√6,0)，B(−√6,0)，过点A的动直线l1与过点B，设动点P的轨迹为曲线C．的动直线l2的交点为P，l1，l2的斜率均存在且乘积为−12(1)求曲线C的方程；(2)若点M在曲线C上，过点M且垂直于OM的直线交C于另一点N，点M关于原点O的对称点为Q，直线NQ交x轴于点T，求|QT|⋅|TN|的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：直线3x+√3y+1=0的斜率为：−√3，直线的倾斜角为：θ，tanθ=−√3，可得θ=120°．故选：C．求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角．本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查计算能力．2.【答案】A【解析】解：圆x2+y2+2y−5=0即x2+(y+1)2=6，表示以(0,−1)为圆心，半径等于√6的圆．直线y=kx+1恒过(0,1)点，圆心到(0,1)的距离为2<√6，故直线和圆相交，故选：A．根据圆的方程，先求出圆的圆心和半径，求出直线y=kx+1恒过的定点，利用圆心与定点的距离，与半径比较，即可判断直线与圆的位置关系．本题主要考查求圆的标准方程的特征，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题．3.【答案】A=1化为x2+y2=1，方程表示圆．【解析】解：当a=±√2时，曲线C：x2−y21−a2a2>2时，方程表示椭圆，a∈(−√2,√2)且a≠±1时，方程表示双曲线，故选：A．通过a的范围，判断曲线的形状，即可得到选项．本题考查曲线与方程的应用，圆锥曲线的判断，是基础题．4.【答案】C【解析】解：设第二天织布的x 尺，则由题意得，12x +x +2x +4x +8x =5，解得x =1031， 故选：C ．设第二天织布的x 尺，由等比数列的性质写出每天织布尺数，从而建立方程求解． 本题考查了等比数列性质的应用，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：建立如图的坐标系，设正方体棱长为2，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，D 1(0,0,2)，E(1,1,2)， 则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,2)，BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,2)， 则|AE|=√1+1+4=√6，|BD 1|=√4+4+4=2√3，则cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2−2+4√6×2√3=46√2=4√212=√23， 即异面直线AE 与BD 1所成角的余弦值为√23，故选：B ．建立空间直角坐标系，求出向量坐标，利用向量法进行求解即可．本题主要考查空间异面直线所成角的求解，建立坐标系，利用坐标系和向量法是解决本题的关键，是中档题．6.【答案】B【解析】解：由题意，因为△ABF 2为等边三角形，所以|AF 2|=|BF 2|=|AB|，∠BAF 2=∠ABF 2=∠AF 2B =60°， 因为△F 1AO≌△F 2AO ，所以∠AF 1F 2=30°，∠BF 2F 1=90°，即BF 2⊥F 1F 2，故点B(c,b 2a )，因为tan∠AF 1F 2=tan30°=b 2a2c=c 2−a 22ac=√33， 则e −1e =2√33，解得e =√3．故选：B ．利用等边三角形的性质以及三角形全等，结合双曲线的几何性质，求出双曲线的离心率e ．本题考查双曲线的几何性质的运用，双曲线离心率的求法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,1)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,3)， 令m⃗⃗⃗ =(−1,1,2)， 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，所以m ⃗⃗⃗ 是平面ABC 的法向量， 所以|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=6√6=√6，故选：A ．用向量数量积计算点到平面距离即可． 本题考查了点到平面距离问题，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：因为(1+1n )a n+1−a n =1(n ∈N ∗)，可得n+1na n+1−a n =1，所以(n +1)a n+1−na n =n ，所以2a 2−a 1=1，3a 3−2a 2=2，4a 4−3a 3=3，⋯，na n −(n −1)a n−1=n −1，各式相加可得na n−a1=1+2+3+⋯+(n−1)=n(n−1)2=n2−n2，所以a n=n−12+a1n，由a n≥a4，可得n−12+a1n≥32+a14恒成立，整理得a1(n−4)2n≤n−4恒成立，当1≤n≤3时，n−4<0，不等式可化为a1≥2n恒成立，所以a1≥(2n)max=6；当n=4时，n−4=0，不等式可化为0≤0恒成立；当n≥5时，n−4>0，不等式可化为a1≤2n恒成立，所以a1≤(2n)min=10，综上可得，实数a1的取值范围是[6,10]．故选：C．由题意，得到(n+1)a n+1−na n=n，利用累加法求得a n=n−12+a1n，结合由a n≥a4，转化为a1(n−4)2n≤n−4恒成立，分1≤n≤3，n=4和n≥5三种情况讨论，即可求解．本题考查累加法，考数列的通项公式，考查学生的推理能力，属于难题．9.【答案】ABD【解析】解：对于A：由于向量{a⃗,b⃗ ,c⃗ }构成空间的一个基底，且满足a⃗+2b⃗ =32(a⃗+b⃗ )−12(a⃗−b⃗ )，故A正确；对于B：由于a⃗−b⃗ =(a⃗+c⃗ )−(b⃗ +c⃗ )，故B正确；对于C：由于a⃗+b⃗ +c⃗≠m(a⃗−b⃗ )+n c⃗，故C错误；对于D：由于a⃗−2b⃗ =(a⃗+c⃗−b⃗ )−(a⃗−2b⃗ )，故D正确．故选：ABD．直接利用向量的基底和向量的线性运算的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的基底，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】ABC【解析】解：设{a n}、{b n}公差分别为d1，d2，且都不为0，AC：∵c n+1−c n=a n+1+b n+1−a n−b n=d1+d2，∴数列{c n}为等差数列，给定c1，c2可求出数列{c n}的通项公式，∴AC正确，B：设a n=d1n+t1，b n=d2n+t2，∴d n=a n b n=(d1n+t1)⋅(d2n+t2)=(d1d2)n2+(d1t2+d2t1)n+t1t2为二次函数，∴数列{d n }一定不为等差数列，∴B 正确，D ：根据二次函数的性质，仅仅给定d 1，d 2不能求出数列{d n }的通项公式，∴D 错误， 故选：ABC ．利用等差数列的通项公式，等差数列的定义判断即可．本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的定义，是中档题．11.【答案】BD【解析】解：对于A ，若∠ABO =30°，则可得|OB|=2，所以√x B 2+1=2，解得x B =±√3，所以点B 的坐标为(±√3,1)，故A 错误； 对于B ：若|OB|=2，则∠ABO =30°，又因为∠OBC ≤∠ABO ，所以0°⩽∠OBC ⩽30°，故B 正确；对于C ：过B 作圆O 的两条切线B A 、M B ，切点分别为A 、M ，若在圆O 上存在点C ，使∠ OBC =30°，则∠ OMB ≥∠ OBM =30°，所以∠ ABO ≥30°，又OAOB =sin∠ABO ，所以|OB|≤2，故C 错误．对于D ：在圆C 上存在点C 使∠ABC =60°，则∠ABM ≥60°，则∠ABO ≥30°，所以|OB|⩽2，故D 正确． 故选：BD ．利用数形结合法，对每一个选项逐一计算可判断结果． 本题考查点与圆的位置关系，属中档题．12.【答案】BC【解析】解：原方程x|x|4+y 2=1等价于{x 24+y 2=1,x ⩾0y 2−x 24=1,x <0， 对A ：由题意，当P(x,y)为曲线C 在第一缘限上的点时才有P 点到A 点的最近距离，此时|PA|2=(x −1)2+y 2=34x 2−2x +2(0⩽x ⩽2)，所以|PA|min 2=23, 故|PA|min =√63，故选项A 错误；对B ：因为√63<1，且椭圆右顶点、上顶点到点A 的距离分别为1、√2，故椭图上恰有三个点到A 的距离为1，故选项B 正确； 对C ：由于y 2−x 24=1(x <0)与y =k(x −1)无交点时，联立{y 2−x 24=1(x <0)y =k(x −1)，有(k 2−14)x 2−2k 2x +k 2−1=0，由Δ<0，可得−√55<k <√55，此时直线只与椭圆有一个交点，故选项C 正确；对D ：由于过A 点的直线与椭圆只有一个交点，与双曲线最多两个交点，所以与曲线C 至多有三个公共点，故选项D 错误， 故选：BC ．原方程等价于{x 24+y 2=1,x ⩾0y 2−x 24=1,x <0，然后对各选项逐一分析判断即可得答案． 本题考查了曲线与方程的相关知识，属于中档题．13.【答案】2或−1【解析】解：∵直线mx −2y −1=0与x +(1−m)y +2=0平行， ∴m(1−m)=−2×1，解得m =2或−1，经检验，当m =2或−1时，直线mx −2y −1=0与x +(1−m)y +2=0不重合， 故答案为：2或−1．根据已知条件，结合两直线平行的性质，即可求解． 本题主要考查两直线平行的性质，属于基础题．14.【答案】−1n【解析】解：写出一个数列{a n }的通项公式a n ，使它同时满足下列条件：①a n <a n+1，②S n ⩽a n ，条件①a n <a n+1，表明数列{a n }是单调递增数列， 条件②S n ⩽a n ，表明首项不能为0或正数．因此可取a n=−1n．故答案为：−1n．根据条件①a n<a n+1，表明数列{a n}是单调递增数列；条件②S n⩽a n，表明首项不能为0或正数，进而得出结论．本题考查了数列的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：空间直角坐标系Oxyz中，点P(−1,2,3)在x，y，z轴上的射影分别为A，B，C，把四面体PABC补成棱长为1、2、3的直四棱柱，如图所示：则四面体PABC是直四棱柱CMPN−OAQB截去四个体积相等的三棱锥余下的部分，所以四面体PABC的体积为V四面体PABC =V四棱柱CMPN−OAQB−4V三棱锥C−OAB=1×2×3×−4×13×12×1×2×3=2．故答案为：2．根据题意画出图形，结合图形，利用分割补形法求出四面体PABC的体积．本题考查了空间几何体的结构特征与几何体体积计算问题，是中档题．16.【答案】92【解析】解：设F2为右焦点，半焦距为c，PF1=x，PF2=y，由题意，PF1⊥PF2，则x²+y²=4c²，x+y=2a1，x−y=2a2，所以(2a1)²+(2a2)²=2×4c²，从而有1e 12+1e 22=2，故(4e 12+e 22)(1e 12+1e 22)=5+4e 12e 22+e 22e 12≥5+2√4e 12e 22⋅e 22e 12=9，当仅当e 2=√2e 1=√62时取等，所以4e 12+e 22≥92， 故答案为：92．设F 2为右焦点，半焦距为c ，PF 1=x ，PF 2=y ，由题意，PF 1⊥PF 2，则x²+y²=4c²，x +y =2a 1，x −y =2a 2，所以(2a 1)²+(2a 2)²=2×4c²，从而有1e 12+1e 22=2，最后用均值不等式即可求解．本题考查椭圆的定义，双曲线的定义，椭圆离心率、双曲线离心率的取值范围，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵a n+1−a n =3，∴数列{a n }的公差为3， 故a n =a 1+3(n −1)， 又∵a 1，a 5，a 8成等比数列， ∴(a 1+12)2=a 1(a 1+21)， 解得a 1=−48，故a n =a 1+3(n −1)=3n −51；(2)由题意得，S n 取最小值时，即a n 变号时， 令a n =3n −51=0得，n =17； 故S n 的最小值为S 16=S 17=−408； 此时n 的值为16或17．【解析】(1)由题意得数列{a n }的公差为3，再由a 1，a 5，a 8成等比数列得(a 1+12)2=a 1(a 1+21)，从而解得；(2)由等差数列性质知，当S n 取最小值时，即a n 变号时，从而确定最小值． 本题考查了等差数列与等比数列的性质应用，属于基础题．18.【答案】解：(1)由题意知，圆与x 轴的交点分别为(0,0)，(2,0)，则抛物线的焦点为(2,0)，所以p2=2，即p =4，所以抛物线方程为y 2=8x ； (2)证明：设直线为x =my +8， 联立方程{x =my +8y 2=8x ，有y 2−8my −64=0，所以y 1+y 2=8m ，y 1y 2=−64，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=(y 1y 2)264+y 1y 2=0， 所以OA ⊥OB ．【解析】(1)由圆与x 轴的交点分别为(0,0)，(2,0)，则抛物线的焦点为(2,0)，从而即可求解；(2)设直线为x =my +8，联立抛物线方程，由韦达定理及OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2，求出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0可得证． 本题考查了直线与抛物线，第(2)问中将直线方程设为x =my +8就避免了讨论斜率存在与不存在这两种情况，属于基础题．19.【答案】证明：(1)∵S n =2S n−1+1(n >1,n ∈N ∗).∴1+S n =2S n−1+2=2(S n−1+1)， 则数列{S n +1}是公比为2的等比数列，解：(2)∵数列{S n +1}是公比为2的等比数列，首项S 1+1=1+1=2， ∴S n +1=2×2n−1=2n ，则S n =2n −1， 当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n −2n−1=2n−1， 又a 1=1满足a n =2n−1，∴a n =2n−1．则b n =S n 2−26a n =(2n −1)2−26×2n−1=4n −15×2n +1，令t =2n ，则b n =t 2−15t +1，t ∈{2,4,8,16,…,} 故当t =8时，即n =3时，b n 取得最小值，即此时k =3． 即存在k =3使得b n ≥b k 对任意n ∈N ∗恒成立．【解析】(1)利用等比数列的定义进行证明即可．(2)求出数列{a n }的通项公式以及S n ，求出b n 的通项公式，利用指数函数的性质，利用换元法转化为二次函数，利用二次函数的性质进行求解即可．本题主要考查递推数列的应用，根据等比数列的定义，以及指数函数的性质，利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键，是中档题．20.【答案】解：(1)设直线AB 的中点为D ，则有D(−1,2)，因为k AB =3−1−2−0=−1，所以直线AB 的方程为y =−x +1，所以直线AB 的中垂线为l 1：y =x +3，则圆心C 在直线l 1上，且在直线x +y +1=0上， 联立方程{y =x +3x +y +1=0，解得C(−2,1)，则圆的半径为r =2，所以圆的方程为(x +2)2+(y −1)2=4，(2)设圆心到直线的距离为d ，因为S △CMN =12CM ×CN ×sin∠MCN =√3，所以∠MCN =π3或2π3，所以d =√3或d =1，显然直线斜率存在，所以设直线l ：y =kx ， 则有d =∣−2k−1∣√k 2+1=√3或d =∣−2k−1∣√k 2+1=1，解得k =−2±√6或k =0或k =−43，故直线的方程为y =0或y =−43x 或y =(−2±√6)x ．【解析】(1)先求出直线AB 的方程，再求AB 中垂线方程l 1，再联立方程{y =x +3x +y +1=0，解得C(−2,1)，可求圆的半径，进而得圆的方程；(2)S △CMN =12CM ×CN ×sin∠MCN =√3，可得d =√3或d =1，设直线l ：y =kx ，进而可求k ，可求方程．本题考查直线与圆的位置关系，属中档题．21.【答案】(1)证明：取DE 中点N ，连接MN 、NF ， 因为M 为AD 中点，所以MN//AE ，MN =12AE ， 因为AE//BF ，AE =2，BF =1，所以MN//BF ，MN =BF ，所以四边形MNFB 是平行四边形，所以MB//NF ， 因为NF ⊂平面DEF ，BM ⊄平面DEF ，所以直线BM//平面DEF ．(2)解：因为平面AEFB ⊥平面ABCD ，平面AEFB ∩平面ABCD ，AE ⊥AB ，所以AE ⊥平面ABCD ，因为MN//AE ，所以MN ⊥平面ABCD ，所以MN ⊥MA ，MN ⊥MB ，因为ABCD 是菱形，∠ABC =120°，M 为AD 中点， 所以△ADB 是等边三角形，所以BM ⊥AD ，所以MA 、MB 、MN 两两垂直，建系如图，E(1,0,2)，C(−2,√3,0)，F(0,√3,1)，M(0,0,0)， CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−√3,2)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−√3,0)，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,1)， 令m ⃗⃗⃗ =(2√3,4,−√3)，n ⃗ =(−√3,1,2√3)，因为CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，所以m ⃗⃗⃗ 是平面CEM 的法向量， 因为CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，所以n ⃗ 是平面CEF 的法向量， 因为二面角M −EC −F 为钝角，所以二面角M −EC −F 的余弦值为−|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√31⋅√16=−2√3131．【解析】(1)只要证明BM 平行于平面DEF 内直线FN 即可；(2)用向量数量积计算二面角的余弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．22.【答案】解：(1)设P(x,y)，则有k PA ⋅k PB =x−√6x+√6=y 2x 2−6=−12，整理可得x 26+y 23=1(y ≠0,x ≠±√6)．(2)设M(x 0,y 0)，Q(−x 0,−y 0)，N(x 1,y 1)，则x 026+y 023=1,x 126+y 123=1，k NQ ⋅k NM =y 1−y 0x 1−x 0⋅y 1+y 0x 1+x 0=y 12−y 02x 12−x 02=(3−x 122)−(3−x 022)x 12−x 02=−12，又k MN ⋅k MQ =−1，故k NQ =12k MQ ，即k NQ =y2x 0，则直线NQ ：y +y 0=y 02x 0(x +x 0)，直线MN ：y −y 0=−xy 0(x −x 0)，联立解得交点N 点纵坐标为y 0312−3y 02，故|QT|⋅|TN|=√1+4x 02y 02|−y 0|⋅√1+4x 02y 02⋅|y N |=y 02+4x 02y 02⋅y 0412−3y 02=(24−7y 02)y 023(4−y 02)，令4−y 02=t ，则t ∈(1,4),|QT|⋅|TN|=(7t−4)(4−t)3t=13(32−7t −16t)，7t +16t≥8√7，当且仅当t =√7故|QT|⋅|TN|的最大值为32−8√73．当且仅当t =√7时等号成立，故|QT|⋅|TN|的最大值为32−8√73．【解析】(1)由题意得到关于x ，y 的等式，整理变形即可确定曲线C 的方程；(2)设出点的坐标，结合(1)中的结果将原问题转化为关于一个变量的最值问题，最后利用基本不等式求最值即可确定|QT|⋅|TN|的最大值．本题主要考查曲线方程的求解，圆锥曲线中的最值与范围问题等知识，属于中等题．。
重庆市2020_2021学年高二数学上学期期末考试试题(含答案)
重庆市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，集合，则等于A. B. C. D.2.已知实数a，b，m满足记满足此条件的m的值形成的集合为M，则函数，且的最小值为A. B. C. D.3.已知双曲线E：的右焦点为F，过F作过第一象限的渐近线的垂线，垂足为M，交另一条渐近线于点N，若，则E的离心率为A. B. C. D.4.已知焦点在x轴上且离心率为的椭圆E，其对称中心是原点，过点的直线与E交于A，B两点，且，则点B的纵坐标的取值范围是A. B. C. D.5.有下列命题：“或”是“”的必要不充分条件；已知命题对任意负实数x，都有，则是：存在非负实数x，满足；已知数列与满足，则“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的充分不必要条件；已知分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的动点，则的最小值为其中所有真命题的个数是A. 4B. 3C. 2D. 16.三棱锥的三个侧面两两垂直，则顶点P在底面ABC的射影为的A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心7.设圆C：，直线l：，点，若存在点，使得为坐标原点，则的取值范围是A. B. C. D.8.将参加数学竞赛决赛的500名同学编号为：001，002，，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到352在第二考点，从353到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为A. 14B. 15C. 16D. 17二、不定项选择题（本大题共4小题，共16.0分）9.下列命题正确的是A. 已知R，则“”是“”的充分不必要条件B. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若样本中心点为，则C. 若随机变量，且，则D. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为10.在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则下列说法正确的是A. 恰好取到一件次品有不同取法；B. 至少取到一件次品有不同取法；C. 两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有不同取法；D. 把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有不同种方式．11.已知函数满足，且在上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是A.B. 若，则C. 的最小正周期为4D. 在上的零点个数最少为1010个12.发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣．像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线．卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点焦点的距离之积为常数．已知：曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，则下列命题中正确的是A. 曲线C过坐标原点B. 曲线C关于坐标原点对称C. 曲线C关于坐标轴对称D. 若点在曲线C上，则的面积不大于三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，求曲线过点处的切线方程______．14.关于函数有如下四个命题：是的周期；的图象关于原点对称；的图象关于对称；的最大值为其中所有真命题是________填命题序号15.已知椭圆长轴的右端点为A，其中O为坐标原点，若椭圆上不存在点P，使AP垂直PO，则椭圆的离心率的最大值为____________．16.已知向量，，若函数在区间上是增函数，则t的取值范围为．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求角C的大小；若，，的周长为12，求的面积．18.已知数列满足：，且对任意的，都有1，成等差数列．证明数列等比数列；已知数列前n和为，条件：，条件：，请在条件中仅．选择一个条件作为已知条件．．．．．．．．．．．．来求数列前n和．19.已知中，，，，分别取边AB，AC的中点D，E，将沿DE折起到的位置，设点M为棱的中点，点P为的中点，棱BC上的点N满足．求证：平面；试探究在折起的过程中，是否存在一个位置，使得三棱锥的体积为18，若存在，求出二面角的大小，若不存在，请说明理由．20.某市高考模拟考试数学试卷解答题的网上评卷采用“双评仲裁”的方式：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和一、二评中较高的分数的平均分为该题得分．有的学生考试中会做的题目答完后却得不了满分，原因多为答题不规范，比如：语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等等，把这样的解答称为“缺憾解答”该市教育研训部门通过大数据统计发现，满分为12分的题目，这样的“缺憾解答”，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如表：教师评分11 10 9分数所占比例将这个表中的分数所占比例视为老师对满分为12分题目的“缺憾解答”所评分数的概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响．已知一个同学的某道满分为12分题目的解答属于“缺憾解答”．求该同学这个题目需要仲裁的概率；求该同学这个题目得分X的分布列及数学期望精确到整数．21.已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于两点．若l过点F，抛物线C在点P处的切线与在点Q处的切线交于点记点G的纵坐标为，求的值．若，点在曲线上且线段的中点均在抛物线C 上，记线段的中点为N，面积为用表示点N的横坐标，并求的值．22.已知函数．求不等式的解集；函数，若存在，，使得成立，求实数a的取值范围；答案和解析1.【答案】A【解析】【试题解析】【分析】本题考查交集及其运算，先分别得出集合A、B，再取交集即可，属于基础题．【解答】解：集合，，，故选A．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，涉及基本不等式与一元二次不等式的解法，是中档题．由已知得，结合，可求出m的取值范围求，设，求，研究的单调性和最值，从而可的单调性和最小值．【解答】解：根据题意，得又，当且仅当时等号成立，所以，所以，解得．因为，所以，设，则，当时，，当时，，所以当时，，即当时，恒成立，所以当且时，恒成立，所以在上单调递增，在上单调递增，所以当时，函数取得最小值，且．故选D．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的方程与性质，考查向量知识的运用，确定a，b，c之间的关系是关键，考查运算能力，属于中档题．设O为坐标原点，直线FM交y轴于点R，，，用a，b表示，，再求出，由，得，可得a，b，c的关系式，结合离心率公式即可得出所求值．【解答】解：设O为坐标原点，直线FM交y轴于点R，，，因为，，，所以，，，所以．又因为，所以．又由，得，即，结合整理可得，即离心率．故选B．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量法求解相关范围问题，属于中档题根据椭圆的离心率可设椭圆E的标准方程为，设，由向量关系得到然后将点的坐标代入椭圆方程，得到由即可得到答案．【解答】解：设，，则由，可得，解得，，即由题意可设椭圆E的标准方程为，所以消去，的平方项，得，由，即，解得，又，所以，所以，故选A．5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查命题的真假判定，属于中档题，分别进行充分性和必要性判断即可，根据全称量词命题否定判断即可，根据等差数列的定义结合充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可，由题意求出的最小值即可判断．【解答】解：充分性：当“且”时，令，，此时，不能推出””的结论，因此充分性不成立必要性：当“”时，令，，此时不能推出“且”的结论，因此必要性不成立。
(完整版)重庆市巴蜀中学高二上学期期末考试数学理试题
重庆市巴蜀中学高二上期末考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知函数在处取得极值，则（）A. B. C. D.2. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.3. 命题“，均有”的否定形式是（）A. ，均有B. ，使得C. ，均有D. ，使得4. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在其所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一例，则输出的的值为（）A. B. C. D.6. 函数的导函数的图像如图所示，则的图像可能是（）A. B. C. D.7. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中错误的（）A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，则D. 若，，，则8. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.9. 如图所示程序框图输出的结果是，则判断狂内应填的条件是（）A. B. C. D.10. 已知点为椭圆上第一象限上的任意一点，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线与交于点，直线与轴交于点，则的值为（）A.2B.C. 3D.11. 已知点在正方体的线段上，则最小值为（）A. B. C.0.3 D.12. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为，若是以为底边的等腰三角形.椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若双曲线的离心率为，则__________．14. 已知抛物线，焦点为，为平面上的一定点，为抛物线上的一动点，则的最小值为__________．15. 三棱锥中，垂直平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为__________．16. 已知函数，，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，第一个大题10分，其他题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应的位置上.）17. 如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）当且为的中点时，求与平面所成角的大小.18. 已知焦点为的抛物线：过点，且.（1）求；（2）过点作抛物线的切线，交轴于点，求的面积.19. 已知函数在处切线为.（1）求；（2）求在上的值域。
巴蜀中学高二(上)期末试题——数学文
重庆巴蜀中学高高二（上）期末考试数学试题（文科）一、选择题（每小题5分，12小题，共60分，每小题只有一个选项符合要求） 1．直线:20l x y -+=的倾斜角为 ( )A.30°B.45°C.60°D.90° 2．下列四个点中, 哪一个是抛物线21:4C y x =的焦点坐标 ( ) A.1(0,)16B. 1(,0)16C. (1,0)D. (0,1)正（主）视图 侧（左）视图3．一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形，该四棱锥的体积是 （ ） A B ．2 C D 俯视图 4．直线a b 、均在平面α外，若a b 、在平面α上的射影是两条平行直线，则a 和b 的位置关系是（ ）A ．异面直线B ．相交直线C ．平行直线D ．平行或异面直线5. 总体编号为01，02，…19，20的20个样本组成. 利用下面的随机数表选取5个样本，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个样本的编号为（ ）A. 08B. 07C. 02D. 016．函数]2,0[23)(3∈+-=x x x x f 在的最小值为 ( )A. -1 B ． 0 C ．2 D ．47．在生日聚会中人们会制作圆锥形的帽子来进行装扮。
已知一个圆锥形的帽子底面积为10，它的侧面展开成平面图后为一个半圆，则此圆锥的侧面积是 （ ）A ．10B ．20C ．30D ．40 8．按下列程序框图来计算：如果输入的x =5,应该运算_______次才停止。
（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 9. 1 1 ２２１１ １根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为y＝6.5x＋17.5，则表中m的值为（）A．20 B．30 C．40 D．5010．在长为12cm的线段AB上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为（）A. 16B.23C.13D.4511．已知F是双曲线C：223(0)xmy m m-=>的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）B.C．D12．已知函数()ln,111,14x xf xx x>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，()g x ax=，若方程()g x=()f x恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围是（）A．10,e⎛⎫⎪⎝⎭B．11,4e⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．10,4⎛⎤⎥⎝⎦D．1,4e⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答题卡相应位置上.13．已知xxf sin)(=，则3xπ=的导数)3('πf为__________14.某供电局收集了该区1000户家庭的用电情况，并根据这1000户家庭月平均用电量画出频率分布直方图（如图所示），则该地区1000户家庭中月平均用电度数在[70,80]的家庭有______户.156．现将水杯盛满水，然后平稳缓慢地将水杯倾斜让水流出，当水杯中的水是原来的56时，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为．16．已知函数1()(0,0)mxf x e m nn=->>的图象在0x=处的切线与圆221x y+=相切,则m n+的最大值是____A三、解答题：（本大题6个小题，共70分）（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 17.（本小题满分10分）为了贯彻“两学一做”精神，深入学习党章党规，争做合格党员。
2021-2022学年重庆市部分区高二(上)期末数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年重庆市部分区高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为( )A. √3B. −√3C. √33D. −√332. F 1，F 2是椭圆x 29+y 24=1的焦点，点P 在椭圆上，点P 到F 2的距离为1，则P 到F 1的距离为( )A. 3B. 4C. 5D. 63. 已知u ⃗ =(1,2,1)是直线l 的方向向量，v ⃗ =(2,y,2)为平面α的法向量，若l//α，则y 的值为( )A. −2B. −12C. 4D. 144. 某工厂去年的电力消耗为m 千瓦，由于设各更新，该工厂计划每年比上一年的电力消耗减少10%，则从今年起，该工厂第5年消耗的电力为( )A. 0.14m 千瓦B. 0.15m 千瓦C. 0.94m 千瓦D. 0.95m 千瓦5. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则(x,y,z)=( )A. (1,1,1)B. (1,1,0)C. (1,1,−1)D. (1,0,−1)6. 等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，2a 8−a 9=16，则S 13的值为( )A. 13B. 16C. 104D. 2087. 直线x +2y −6=0平分圆C ：x 2−4x +y 2−2by +3+b 2=0的周长，过点P(−1,−b)作圆C 的一条切线，切点为Q ，则|PQ|=( )A. 5B. 2√6C. 3D. 2√28. 如图，过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，与其准线l 交于点C(点B 位于A ，C 之间)且CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⊥l 于点D 且|AD|=4，则|OF|等于( )A. 23 B. 43 C. 83二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 在四面体P −ABC 中，P(0,0,3)，A(2,2,5)，B(1,3,2)，C(3,1,2)，则以下选项正确的有( )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−3)B. |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |C. PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =11 10. 对于直线l 1：ax +2y +3a =0，l 2：3x +(a −1)y +3−a =0.以下说法正确的有( )A. l 1//l 2的充要条件是a =3B. 当a =25时，l 1⊥l 2 C. 直线l 1一定经过点M(3,0)D. 点P(1,3)到直线l 1的距离的最大值为511. 椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，短轴长为2√3，则( )A. 椭圆的方程为x 24+y 23=1B. 椭圆与双曲线2y 2−2x 2=1的焦点相同C. 椭圆过点(1,−32)D. 直线y =k(x +1)与椭圆恒有两个交点12. 若数列{a n }满足a 1=2，a n +a n+1=3n(n ≥1,n ∈N ∗)，{a n }的前n 项和为S n ，下列结论正确的有( )A. a 2022=3031B. a 2n−1=3n −1C. a n+1−a n =1D. S 2n =3n 2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知点M(2,3)，N(−3,1)，则线段MN 的垂直平分线的一般式方程为______． 14. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2，则该数列的首项a 1=______，通项公式a n =______． 15. 双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，虚轴的一个端点为B ，右焦点F 到直线AB 的距离为3b2，则双曲线E 的离心率为______． 16. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PA =AB =1，AD =2，E ，F 分别为AB ，离为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.等差数列{a n}的前n项和记为S n，已知a3=6，S10=−15．(1)求{a n}的通项公式；(2)求S n，并求n为何值时S n的值最大．18.圆心在x轴正半轴上、半径为2的圆C与直线l1：√2x−4y=0相交于A，B两点且|AB|=2√3．(1)求圆C的标准方程；(2)若直线l2//l1，圆C上仅有一个点到直线l2的距离为1，求直线l2的方程．19.双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√5，虚轴的长为4．(1)求a，b的值及双曲线C的浙近线方程；(2)直线y=kx−2与双曲线C相交于互异两点，求k的取值范围．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，∠APD=90°，AB⊥AD，BC//AD，PA=PC=PD=2√2，AD=2AB=2BC，O为AD的中点，连接OC，OP．(1)求证：PO⊥平面ABCD；(2)求平面PAD与平面PBC的夹角的余弦值．21.已知等差数列{a n}满足：a2+4，a5，a6成等差数列，a4，a7，a12成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)在数列{a n}的每相邻两项a t与a t+1间插入2t个3(t=1,2,3,⋯)，使它们和原数列{a n}的项构成一个新数列{b n}，数列{b n}的前n项和记为S n，求b18及S2022．22.椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点到F2的距离为2√2，且椭圆E过点(√6,1)，过F1且不与两坐标轴平行的直线l交椭圆E于A，B两点，点B与点M关于x轴对称．(1)求椭圆E的方程；(2)当直线l的斜率为1时，求△ABF2的面积；(3)若点N(−4,0)，求证：A，M，N三点共线．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为直线的斜率等于直线倾斜角的正切值，所以直线l的斜率k=tan120°=tan(180°−60°)=−tan60°=−√3．故选：B．根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，根据tan120°利用诱导公式及特殊角的三角函数值得到直线l的斜率即可．此题比较简单，要求学生掌握直线的斜率等于直线倾斜角的正切值，以及灵活运用诱导公式及特殊角的三角函数值进行化简求值．2.【答案】C【解析】解：由题意得a2=9，得a=3，因为|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF2|=1，所以|PF1|=5，故选：C．利用椭圆的定义直接求解．本题主要考查椭圆的定义及其应用，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：u⃗=(1,2,1)是直线l的方向向量，v⃗=(2,y,2)为平面α的法向量，l//α，∴u⃗⊥v⃗，∴u⃗⋅v⃗=1×2+2y+1×2=0，解得y=−2．故选：A．由l//α，得到u⃗⊥v⃗，由此能求出y的值．本题考查实数值的求法，考查平面的法向量等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解析】解：某工厂去年的电力消耗为m 千瓦，由于设各更新，该工厂计划每年比上一年的电力消耗减少10%，∴今年的电力消耗为a 1=m(1−10%)=0.9m ，∴从今年起，该工厂第5年消耗的电力为a 5=0.9m(1−10%)4=0.95m. 故选：D ．今年的电力消耗为a 1=m(1−10%)=0.9m ，利用等比数列通项公式求出从今年起，该工厂第5年消耗的电力．本题考查等比数列的运算，等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】A【解析】解：∵正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1， ∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(x,y,z)=(1,1,1)， 故选：A ．利用空间向量的线性运算求解即可． 本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，2a 8−a 9=16， ∴2(a 1+7d)−(a 1+8d)=a 1+6d =16， S 13=132(a 1+a 13)=132(2a 1+12d)=13×16=208．故选：D ．利用等差数列的通项公式、前n 项和公式直接求解．本题考查等差数列的前13项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解析】解：由x 2−4x +y 2−2by +3+b 2=0⇒(x −2)2+(y −b)2=1， 所以该圆的圆心为C(2,b)，半径为1，因为直线x +2y −6=0平分圆C ：x 2−4x +y 2−2by +3+b 2=0的周长， 所以圆心在直线x +2y −6=0上，故2+2b −6=0⇒b =2， 因此P(−1,−2)，C(2,2)，所以有|PC|=√(−1−2)2+(−2−2)2=5， 所以|PQ|=√|PC|2−12=√25−1=2√6， 故选：B ．根据圆的性质，结合圆的切线的性质进行求解即可．本题主要考查直线与圆的位置关系，两点之间距离公式及其应用等知识，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：设BE ⊥l 于点E ，准线l 交x 轴于点G ，则|BE|=|BF|，又CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴|BC|=3|BE|，|CF|=3|GF|，又AD ⊥l 于点D 且|AD|=4， ∴BE//AD ，∴|AC|=|AD|+|CF|=|AD|+3|GF|=3|AD|，即3p =2|AD|=2×4， ∴p =83，故选：B ．由题可得|AC|=3|AD|，然后结合条件可得p =83，即可得|OF|的值．本题主要考查直线与抛物线的综合问题，圆锥曲线与向量的综合问题等知识，属于中等题．9.【答案】AB【解析】解：在四面体P −ABC 中，P(0,0,3)，A(2,2,5)，B(1,3,2)，C(3,1,2)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−3)，故A 正确；|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+1+9=√11，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,−3)，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+1+9=√11， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |，故B 正确； PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1,−1)，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5≠0，∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直，故C 错误； AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1−1+9=7，故D 错误． 故选：AB ．利用向量坐标运算法则、向量数量积公式、向量的模直接求解．本题考查命题真假的判断，考查利用向量坐标运算法则、向量数量积公式、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】BD【解析】解：A ：由a(a −1)−6=0，解得a =3或a =−2，经验证a =3，a =−2时两条直线平行，∴A 错误，B ：当a =25时，则l 1：x +5y +3=0，l 2：15x −3y +13=0，∵1×15+5×(−3)=0，∴l 1⊥l 2，∴B 正确，C ：∵直线l 1：ax +2y +3a =0，则a(x +3)+2y =0，∴x +3=0且y =0，∴x =−3，y =0，∴直线l 1过定点(−3,0)，∴C 错误，D ：∵直线l 1过定点N(−3,0)，∴点P(1,3)到直线l 1的距离的最大值为PN =√(1+3)2+32=5，∴D 正确， 故选：BD ．利用直线的平行判断A ，利用直线的垂直判断B ，利用直线过定点判断C ，利用两点间的本题考查了两条直线平行，垂直的充要条件，考查了直线过定点，两点间的距离公式，属于中档题．11.【答案】ACD【解析】解：因为椭圆的短轴长为2√3，所以有2b =2√3⇒b =√3⇒a 2−c 2=3， 而椭圆的离心率为12，所以c a =12⇒a =2c ⇒a 2=4c 2， 所以可得：c 2=1，a 2=4，b 2=3．A ：因为a 2=4，b 2=3，所以该椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1，因此本选项正确；B ：由2y 2−2x 2=1⇒y 212−x 212=1，该双曲线的焦点在纵轴上，而椭圆x 24+y 23=1的焦点在横轴，所以本选项说法不正确；C ：因为124+(−32)23=1，所以点(1,−32)在该椭圆上，因此本选项说法正确；D ：直线y =k(x +1)恒过点(−1,0)，而(−1)24+023<1，所以点(−1,0)在椭圆内部，因此直线y =k(x +1)与椭圆恒有两个交点，所以本选项说法正确， 故选：ACD ．根据椭圆离心率公式、短轴长定义，结合双曲线焦点公式、代入法、直线点斜式方程的性质逐一判断即可．本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等知识，属于中等题．12.【答案】BD【解析】解：∵数列{a n }满足a 1=2，a n +a n+1=3n(n ≥1,n ∈N ∗)， ∴a n+1+a n+2=3(n +1)， ∴a n+2−a n =3，又a 1+a 2=3×1=3⇒a 2=1，故数列{a n }的奇数项构成首项为2，公差为3的等差数列， 偶数项构成首项为1，公差为3的等差数列， ∴a 2n =2+3(n −1)=3n −1， a 2n−1=1+3(n −1)=3n −2，S2n=2+3+6+....+(3n−1)+1+4+....+(3n−2)=n(2+3n−1)2+n(1+3n−2)2=3n2，故选：BD．根据递推关系得到数列{a n}的奇数项构成首项为2，公差为3的等差数列，偶数项构成首项为1，公差为3的等差数列，进而求出数列的通项公式，即可求解结论．本题主要考查数列递推关系式的应用，考查通项公式的求解，属于中档题目．13.【答案】10x+4y−3=0【解析】解：设P为点M(2,3)，N(−3,1)的中点，则P(−12,2)，∵点M(2,3)，N(−3,1)，∴k MN=3−12−(−3)=25，∴线段MN的垂直平分线的斜率为−52，∴线段MN的垂直平分线的方程为y−2=−52(x+12)，即10x+4y−3=0．故答案为：10x+4y−3=0．根据已知条件，结合中点公式，以及两直线垂直的性质，即可求解．本题主要考查垂直平分线的求解，考查计算能力，属于基础题14.【答案】3{3,n=12n−1,n≥2【解析】解：∵S n=n2+2，∴n=1时，a1=S1=3；n≥2时，a n=S n−S n−1=2n−1，a1=3不满足上式，∴a n={3,n=12n−1,n≥2，故答案为：3，{3,n=12n−1,n≥2．根据S n=n2+2，再写一式，两式相减，可得{a n}的通项公式，进而求解结论．本题主要考查数列递推关系式的应用以及通项公式的求解，考查计算能力，属于基础题目．15.【答案】2【解析】解：双曲线E ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，虚轴的一个端点为B ，则A(−a,0)，不妨设B(0,b)，∴直线AB 的方程为y =ba (x +a)，即bx −ay +ab =0， ∵F(c,0)， ∴|bc+ab|√a 2+b 2=32b ，即c+a c=32，∴c =2a ， ∴e =ca =2． 故答案为：2．先求出直线AB 的方程，根据点到直线的距离公式可得|bc+ab|√a 2+b 2=32b ，化简整理可得e =c a=2．本题考查了双曲线的方程和性质，考查了运算求解能力，属于基础题．16.【答案】4√105105【解析】解：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则E(12,0,0)，P(0,0,1)，D(0,2,0)，C(1,2,0)，F(0,1,12)，EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,0,1)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,2,0)．设平面PCE 的法向量为n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−12x +z =012x +2y =0，取y =−1，得n⃗ =(4,−1,2)． 又PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−12)， ∴点F 到平面PCE 的距离为：d =∣n ⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣n ⃗⃗ ∣=√1+4×√14+1+4=4√105105．故答案为：4√105105． 以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出点F 到平面PCE 的距离．本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17.【答案】解：(1)a 3=6，S 10=−15，∴{a 1+2d =610a 1+45d =−15， 解得d =−3，a 1=12，∴a n =12−3(n −1)=−3n +15； (2)S n =12n −3n(n−1)2=−32(n 2−9n)=−32[(n −92)2−814]，当n =4或5时，S n 的值最大， 故S n =−32n 2+272n ，当n =4或5时，S n 的值最大．【解析】(1)根据通项公式和求和公式列出方程组解得即可求出首项和公差； (2)根据求和公式和二次函数的性质即可求出．本题考查了等差数列的通项公式和求和公式，以及二次函数的性质，属于基础题．18.【答案】解：(1)因为圆心在x 轴正半轴上、半径为2，所以设圆的方程为(x −a)2+y 2=4(a >0)，圆心C(a,0)， 圆心C 到直线l 1：√2x −4y =0的距离d =√2a √2+16=a3，又因为|AB|=2√3，所以2√4−d 2=2√3，所以4−a 29=3，解得a =3或a =−3(舍去)， 所以圆C 的标准方程为(x −3)2+y 2=4； (2)由(1)可知d =∣√2a ∣√2+16=a3=1，圆C 的半径为2，因为线l 2//l 1，所以设直线线l 2的方程为√2x −4y +m =0，因为圆C 上仅有一个点到直线l 2的距离为1，所以直线l 2与该圆相离， 当两平行线间的距离为2，于是有0−m √2+16=2，所以m =±6√2， 当m =6√2时，圆心C 到直线l 2的距离为：3√2+6√2∣√2+16=3>2，符合题意，当m =−6√2时，圆心C 到直线l 2的距离为：3√2−6√2∣√2+16=1<2，不符合题意， 故直线l 2的方程为√2x −4y +6√2=0．当两平行线间的距离为4，于是有√2+16=4，所以m =±12√2， 当m =12√2时，圆心C 到直线l 2的距离为：∣3√2+12√2∣√2+16=5>2×2，不符合题意，当m =−12√2时，圆心C 到直线l 2的距离为：3√2−12√2∣√2+16=3>2，符合题意， 故直线l 2的方程为√2x −4y −12√2=0．综上所述：直线l 2的方程为√2x −4y −12√2=0或√2x −4y +6√2=0．【解析】(1)根据圆的弦长公式进行求解即可；(2)根据平行线的性质，结合直线与圆的位置关系进行求解即可． 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意可得e =ca =√5，2b =4，即b =2，又a 2+b 2=c 2， 解得a =1，c =√5， 则双曲线的方程为x 2−y 24=1，渐近线方程为y =±2x ；(2)联立{y =kx −24x 2−y 2=4，可得(4−k 2)x 2+4kx −8=0， 由直线y =kx −2与双曲线C 相交于互异两点，可得4−k 2≠0，且Δ=16k 2+32(4−k 2)>0，解得−2√2<k <2√2，且k ≠±2，所以k 的取值范围是(−2√2,−2)∪(−2,2)∪(2,2√2).【解析】(1)由双曲线的离心率公式和虚轴的概念、a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到渐近线方程；(2)联立直线y =kx −2与双曲线的方程，消去y ，可得x 的二次方程，运用判别式大于0，注意二次项的系数不为0，解不等式可得所求范围．本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20.【答案】(1)证明：因为AD =2BC ，O 为AD 的中点，所以AO =BC ，而AD//BC ，所以四边形AOCB 是平行四边形，因此AB =OC =2， 因为∠APD =90°,PA =PD =2√2,O 为AD 的中点， 所以AD ⊥PO ，PO =12AD =12√PA 2+PD 2=12×√8+8=2，而PC =2√2，因为PC 2=PO 2+CO 2，所以OC ⊥PO ，而AD ∩CO =O ，AD ，CO ⊂平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ；(2)解：根据(1)，建立如图所示的空间直角坐标系，P(0,0,2)，A(0,−2,0)，D(0,2,0)，B(−2,2,0)，C(2,0,0)，于是有：PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −(0,−2,−2),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ −(0,2,−2),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,−2),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−2)， 设平面PAD 的法向量为：n =(x 1,y 1,z 1)，所以{n⃗ ⊥PA ⃗⃗⃗⃗⃗ n ⃗ ⊥PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒{n ⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{−2y 1−2z 1=02y 1−2z 1=0⇒n ⃗ =(1,0,0)， 设平面PBC 的法向量为：m −(x 2,y 2,z 2)，所以{m⃗⃗⃗ ⊥PB ⃗⃗⃗⃗⃗ m ⃗⃗⃗ ⊥PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒{m ⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −0m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ −0⇒{−2x 2+2y 2−2z 2=02x 2−2z 2=0⇒m ⃗⃗⃗ =(1,2,1)， 设平面PAD 与平面PBC 的夹角为θ， 所以cosθ=n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗|n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=1×√12+22+12−√66．【解析】(1)根据平行四边形的判定定理和性质，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；(2)利用空间向量夹角公式进行求解即可．本题主要考查线面垂直的证明，面面角的计算等知识，属于中等题．21.【答案】解：(1)设等差数列的公差d，因为a2+4，a5，a6成等差数列，所以有2a5=a6+a2+4⇒2(a1+4d)=a1+5d+a1+d+4⇒d=2，因为a4，a7，a12成等比数列，所以a72=a4a12⇒(a1+6×2)2=(a1+3×2)(a1+11×2)⇒a1=3，所以a n=3+(n−1)⋅2=2n+1；(2)由题意可知：在3和5之间插入2个3，在5和7之间插入22个3，⋯，在19和21之间插入29个3，此时共插入3的个数为：2(1−29)1−2=210−2=1022<2022，在21和23之间插入210个3，此时共插入3的个数为：2(1−210)1−2=211−2=2046>2022，因此b1=3，在3和5之间插入2个3，在5和7之间插入22个3，在7和9之间插入23个3，第18项为9，即b18=9，S2022=(3+5+⋯+21)+(2022−10)×3=(3+21)×102+2012×3=6156．【解析】(1)根据等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可；(2)根据等差数列的通项公式，结合等比数列的前n项和公式进行求解即可．本题考查了等差数列与等比数列的综合以及数列的求和问题，属于中档题．22.【答案】(1)解：因为短轴的一个端点到F2的距离为2√2，所以a=2√2，又椭圆E过点(√6,1)，所以(2√2)2+1b2=1，解得b2=4，故椭圆E的方程为x28+y24=1．(2)解：由题意知，F1(−2,0)，F2(2,0)，当直线l的斜率为1时，其方程为y=x+2，联立{y=x+2x28+y24=1，解得x=0或−83，不妨取A(0,2)，B(−83,−23)，故△ABF 2的面积为S =12|F 1F 2|⋅|y A −y B |=12×4×|2−(−23)|=163．(3)证明：设直线l 的方程为y =k(x +2)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则M(x 2,−y 2)， 联立{y =k(x +2)x 28+y 24=1，得(2k 2+1)x 2+8k 2x +8k 2−8=0，所以x 1+x 2=−8k 22k 2+1，x 1⋅x 2=8k 2−82k 2+1，所以k AN −k MN =y 1x1+4−−y 2x2+4=y 1(x 2+4)+y 2(x 1+4)(x 1+4)(x 2+4)，因为y 1(x 2+4)+y 2(x 1+4)=k(x 1+2)(x 2+4)+k(x 2+2)(x 1+4)=2k ⋅x 1x 2+6k(x 1+x 2)+16k=2k ⋅8k 2−82k 2+1+6k ⋅(−8k 22k 2+1)+16k =16k 3−16k−48k 3+32k 3+16k2k 2+1=0，所以k AN −k MN =0，即直线AM ，MN 的斜率相等， 故A ，M ，N 三点共线．【解析】(1)易知a =2√2，将点(√6,1)代入椭圆方程求出b 的值后，即可得解； (2)直线l 的方程为y =x +2，将其与椭圆方程联立，求得A ，B 两点的坐标，再利用分割法，由S =12|F 1F 2|⋅|y A −y B |，得解；(3)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线l 的方程为y =k(x +2)，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理，证明k AN −k MN =0，即可．本题考查直线与椭圆的位置关系，熟练掌握椭圆的几何性质，分割法求三角形面积，以及三点共线的证明方法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。
2020-2021学年重庆蜀都中学高二数学理上学期期末试题含解析
2020-2021学年重庆蜀都中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知方程和，它们所表示的曲线可能是参考答案：B2. 从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程=0.56x+，据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为（）A．70.09kg B．70.12kg C．70.55kg D．71.05kg参考答案：B【考点】回归分析的初步应用．【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出的值，现在方程是一个确定的方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报身高为172cm的高三男生的体重【解答】解：由表中数据可得==170， ==69∵（，）一定在回归直线方程=0.56x+上故69=0.56×170+解得=﹣26.2故=0.56x﹣26.2当x=172时，=0.56×172﹣26.2=70.12故选B．3. 如图，甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则乙楼的高是（）A ．B ． C．40 D．参考答案：A4. .设随机变量服从标准正态分布N（0,1），已知等于A.0.025B. 0.950C. 0.050D.0.975参考答案：B略5. 已知椭圆的一个焦点为，离心率，则椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.参考答案：C6. 已知等比数列{a n }满足，，则（ ）A. 21B. 42C. 63D. 84参考答案：B由a 1+a 3+a 5=21得a 3+a 5+a 7=，选B.7. 五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自已的硬币，若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着，那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（ ）A ．B ．C.D ．参考答案：B8. 已知i 是虚数单位，，则计算的结果是（）A.B .C.D.参考答案：A 【分析】根据虚数单位的运算性质，直接利用复数代数形式的除法运算化简求值． 【详解】解：，，故选：A ．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 9. 函数有极值的充要条件是 （ ）A ．B ．C ．D ．参考答案：B10. 对于常数，“”是“方程的图像为椭圆”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：B 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.____ __.参考答案：12. 阅读下面程序．若a=4，则输出的结果是 ．参考答案：16【考点】伪代码．【专题】计算题；分析法；算法和程序框图．【分析】解：模拟执行程序代码，可得程序的功能是计算并输出a=的值，由a=4，即可得解．【解答】解：模拟执行程序代码，可得程序的功能是计算并输出a=的值，a=4不满足条件a ＞4，a=4×4=16． 故答案为：16．【点评】本题主要考查了条件语句的程序代码，模拟执行程序代码，得程序的功能是解题的关键，属于基础题．13. 抛物线y=ax 2（a≠0）的焦点坐标是 ．参考答案：（0，）【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得焦点坐标． 【解答】解：当a ＞0时，整理抛物线方程得x 2=y ，p= ∴焦点坐标为 （0，）．当a ＜0时，同样可得． 故答案为：（0，）．14. 已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），且椭圆C 经过点P （，），椭圆C 的方程为 ．参考答案：+y 2=1【考点】椭圆的标准方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的定义求出a ，从而可得b ，即可求出椭圆C 的方程．【解答】解：∵椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），且椭圆C 经过点P （，）， ∴2a=|PF 1|+|PF 2|=2．∴a=．又由已知c=1，∴b=1，∴椭圆C 的方程为+y 2=1．故答案为：+y 2=1．【点评】本题考查椭圆的标准方程与性质，正确运用椭圆的定义是关键．15. 已知，,分别为其左右焦点,为椭圆上一点,则的取值范围是_______.参考答案：略16. 函数y=+lg （2x+1）的定义域是 ．参考答案：{x|}【考点】4K ：对数函数的定义域；33：函数的定义域及其求法．【分析】由分式分母中的根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0，联立不等式组求解x 的取值集合即可得到函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，解得．∴函数y=+lg （2x+1）的定义域是{x|}．故答案为：{x|}．17. 以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过点（－2，－4）的抛物线方程是。
2021-2022学年重庆八中高二(上)期末数学试卷及答案解析
2021-2022学年重庆八中高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.焦点坐标为(1,0)的抛物线的标准方程是()A. y2=−4xB. y2=4xC. x2=−4yD. x2=4y2.已知a⃗=(−1,−2,1)，b⃗ =(1,x,−2)且a⃗⋅b⃗ =−13，则x的值为()A. 3B. 4C. 5D. 63.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是()A. [0,π4] B. [0,π2)∪[34π，π)C. (π2,π) D. [34π,π)4.方程x=√1−y2表示的图形是()A. 两个半圆B. 两个圆C. 圆D. 半圆5.已知直线l：x+ay−1=0是圆C：x2+y2−6x−2y+1=0的对称轴，过点A(−1,a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=()A. 1B. 2C. 4D. 86.青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一.如图，是一青花瓷花瓶，其外形上下对称，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若该花瓶的瓶口直径为瓶身最小直径的2倍，花瓶恰好能放入与其等高的正方体包装箱内，则双曲线的离心率为()A. √3B. √62C. √213D. √727.圆x2+2x+y2+4y−3=0上到直线x+y+1=0的距离为√2的点共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.已知点F是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A. (1,+∞)B. (1,2)C. (1,1+√2)D. (2,1+√2)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有()A. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角B. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率C. 若一条直线的斜率为tanα，则该直线的倾斜角为αD. 若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则该直线的斜率为tanα10.已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，且2a1+3a3=S6，则下列结论正确的是()A. a10=0B. S10最小C. S7=S12D. S19=011.关于圆C：x2+y2−kx+2y+14k2−k+1=0，下列说法正确的是()A. k的取值范围是k>0B. 若k=4，过M(3,4)的直线与圆C相交所得弦长为2√3，其方程为12x−5y−16=0C. 若k=4，圆C与x2+y2=1相交D. 若k=4，m>0，n>0，直线mx−ny−1=0恒过圆C的圆心，则1m +2n≥8恒成立12.如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A1、A2分别为左、右顶点，B1、B2分别为上、下顶点，F1、F2分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则下列条件中能使得椭圆C的离心率为√5−12的有()A. |A1F1|⋅|F2A2|=|F1F2|2B. ∠F1B1A2=90°C. PF1⊥x轴，且PO//A2B1D. 四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线l1：3x+4y−8=0和l2：3x−ay+2=0，且l1//l2，则实数a=______ ，两直线l1与l2之间的距离为______ ．14.圆心为直线x−y+2=0与直线2x+y−8=0的交点，且过原点的圆的标准方程是______．15.已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若S nT n =2(n+2)3n−1，则a5b5=______ ．16.如图，在长方体ABCD−A′B′C′D′中，点P，Q分别是棱BC，CD上的动点，BC=4，CD=3，CC′=2√3，直线CC′与平面PQC′所成的角为30°，则△PQC′的面积的最小值是______．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，a1=b2=1，再从①a2+a4=10；②b2b4=4；③b4=a5这三个条件中选择____，____两个作为已知．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和．18.已知直线l1经过点A(−3,0)，B(3,2)，直线l2经过点B，且l1⊥l2．(1)求直线l1，l2的方程；(2)设直线l2与直线y=8x的交点为C，求Rt△ABC外接圆的方程．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=AP，E为棱PB的中点．(1)求直线PD与CE所成角的余弦值；(2)求直线CD与平面ACE所成角的正弦值；(3)求二面角E−AC−P的余弦值．20.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3n=3a n−2，且S5−S3=4a2．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{1S n }的前n项和为T n，证明：T n<34．21.已知O为坐标原点，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，若|OB|，|OF2|，|AB|成等比数列，椭圆C上的点到焦点F2的距离的最大值为2√6+4．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过该椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦MN与PQ，求|MN|+|PQ|的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由题意可设抛物线方程为y2=2px(p>0)，=1，即p=2．由焦点坐标为(1,0)，得p2∴抛物的标准方程是y2=4x．故选：B．由题意设抛物线方程为y2=2px(p>0)，结合焦点坐标求得p，则答案可求．本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的简单性质，是基础题．2.【答案】C【解析】解：a⃗=(−1,−2,1)，b⃗ =(1,x,−2)，所以a⃗⋅b⃗ =−1−2x−2=−13，解得x=5．故选：C．根据空间向量数量积的坐标运算，列方程求出x的值．本题考查了空间向量数量积的坐标运算问题，是基础题．3.【答案】D【解析】解：设直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角为α，α∈[0,π)．∈[−1,0)，则tanα=−1a2+1,π)．∴α∈[3π4故选：D．设直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角为α，α∈[0,π).可得tanα=−1，利用函数的a2+1性质、三角函数求值即可得出．本题考查了直线的斜率、函数的性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】D【解析】解：由x=√1−y2，两边平方得x2+y2=1(x≥0)．∴方程x=√1−y2表示的图形是半圆．故选：D．把已知方程两边平方，结合x的范围得答案．本题考查曲线方程，是基础题．5.【答案】C【解析】解：已知直线l：x+ay−1=0是圆C：x2+y2−6x−2y+1=0的对称轴，圆心(3,1)，半径r=3，所以直线l过圆心C(3,1)，故3+a−1=0，故a=−2，所以点A(−1,−2)，|AC|=√(3+1)2+(−2−1)2=5，|AB|=√52−32=4，故选：C．利用直线l：x+ay−1=0是圆C：x2+y2−6x−2y+1=0的对称轴，求出a，再利用几何法求出|AB|．考查直线与圆的位置关系，圆的切线长的计算，中档题．6.【答案】C【解析】解：由题意做出轴截面如图：M点是双曲线与截面正方形的交点之一，设双曲线的方程为：x2a2−y2b2=1,(a>0,b>0)．最短瓶口直径为A1A2=2a，则由已知可得M是双曲线上的点，且M(2a,2a)．故(2a)2a2−(2a)2b2=1，整理得4a2=3b2=3(c2−a2)，化简后得e2=c2a2=73，解得e=√213．故选：C．由题意做出轴截面，最短直径为2a，根据已知条件点(2a,2a)在双曲线上，代入双曲线的标准方程，结合a，b，c的关系可求得离心率e的值．本题考查双曲线的性质在实际问题中的应用，考查学生的运算能力和方程思想在解题中的体现．属于中档题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，是基础题．先求圆心和半径，再看圆心到直线的距离，和√2比较，可得结果．【解答】解：圆x2+2x+y2+4y−3=0的圆心(−1,−2)，半径是2√2，圆心到直线x+y+1=0的距离是|−1−2+1|√2=√2，故圆上的点到直线x+y+1=0的距离为√2的共有3个．故选：C．8.【答案】B【解析】解：根据双曲线的对称性，得△ABE中，|AE|=|BE|，∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角由此可得Rt△AFE中，∠AEF<45°，得|AF|<|EF|∵|AF|=b2a =c2−a2a，|EF|=a+c∴c2−a2a<a+c，即2a2+ac−c2>0两边都除以a2，得e2−e−2<0，解之得−1<e<2∵双曲线的离心率e>1∴该双曲线的离心率e的取值范围是(1,2)故选：B根据双曲线的对称性，得到等腰△ABE中，∠AEB为锐角，可得|AF|<|EF|，将此式转化为关于a、c的不等式，化简整理即可得到该双曲线的离心率e的取值范围．本题给出双曲线过一个焦点的通径与另一个顶点构成锐角三角形，求双曲线离心率的范围，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．9.【答案】AD【解析】解：∵平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，故A正确；但由于和x轴垂直的直线倾斜角等于90°，故它的斜率不存在，故B错误；若一条直线的斜率为tanα，则该直线的倾斜角为不一定是α，如α=330°时，此时，直线的倾斜角为30°．若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则该直线的斜率为tanα，故D正确，故选：AD．由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，得出结论轮．本题主要考查直线的倾斜角和斜率，属于基础题．10.【答案】ACD【解析】解：A.因为数列{a n}为等差数列，2a1+3a3=S6，即5a1+6d=6a1+15d，即a1+9d=a10=0，故A正确；B.因为a10=0，所以S9=S10，但是无法推出数列{a n}的单调性，故无法确定S10是最大值还是最小值．故B错误；C.因为a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0，所以S12=S7+a8+a9+a10+a11+a12=S7+0=S7，故C正确；×19=19a10=0，所以D正确．D.S19=a1+a192故选：ACD．根据题意，由2a1+3a3=S6⇒a10=0，然后逐项分析即可．本题考查了等差数列的前n项和，等差数列的通项，等差数列的性质．本题属于基础题．11.【答案】ACD【解析】解：圆C的标准方程为：(x−k2)2+(y+1)2=k，故A正确；当k=4时，圆C的圆心(2,−1)，半径为2，对于选项B，当直线为x=3时，该直线过点M，此时截得弦长为2√3，故选项B不正确；对于选项C，两圆的圆心距为√(2−0)2+(−1−0)2=√5，大于两圆半径之差的绝对值且小于两圆半径之和，故正确；对于选项D，易得2m+n−1=0，即2m+n=1，m>0，n>0，∴1m +2n=(1m+2n)(2m+n)=4+nm+4mn≥8，当且仅当nm =4mn，即n=2m=12时取等号，故正确．故选：ACD．将圆C的方程转化成圆的标准方程，再利用圆的性质，即可解出．本题考查了直线与圆的综合题，基本不等式的应用，学生的运算能力，属于基础题．12.【答案】BD【解析】解：由椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，可得A1(−a,0)，A2(a,0)，B1(0,b)，B2(0,−b)，F1(−c,0)，F2(c,0)，对于A，|A1F1|⋅|F2A2|=|F1F2|2，即为(a−c)2=(2c)2，所以a−c=2c，即e=ca =13，不符题意，A错误；对于B，若∠F1B1A2=90°，则|A2F1|2=|B1F1|2+|B1A2|2，即(a+c)2=a2+(a2+b2)，所以c2+ac−a2=0，即有e2+e−1=0，解得e=√5−12(−1−√52舍去)，符合题意，B正确；对于C，若PF1⊥x轴，且PO//A2B1，所以P(−c,b2a)，由k PO=k A2B1，可得b2a−c=b−a，解得b=c，又a2=b2+c2，所以e=ca=√2c=√22，不符题意，故C错误；对于D，若四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2，即四边形A1B2A2B1的内切圆的半径为c，则ab=c√a2+b2，结合b2=a2−c2，所以c4−3a2c2+a4=0，即e4−3e2+1=0，解得e2=3+√52(舍去)或e2=3−√52，所以e=√5−12，故D正确．故选：BD．由椭圆方程分别求得A 1(−a,0)，A 2(a,0)，B 1(0,b)，B 2(0,−b)，F 1(−c,0)，F 2(c,0)，对选项一一分析，结合两点的距离公式、直线的斜率公式和离心率公式，解方程即可得到结论．本题考查椭圆的方程和性质，以及“黄金椭圆”的理解和运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．13.【答案】−4 2【解析】解：∵直线l 1：3x +4y −8=0和l 2：3x −ay +2=0，且l 1//l 2， ∴33=−a 4≠2−8，求得a =−4．两直线l 1与l 2之间的距离为√9+16=2，故答案为：−4；2．由题意利用两条直线安平行的性质，求得a 的值，再利用两条平行直线间的距离公式，计算求得结果．本题主要考查两条直线安平行的性质，两条平行直线间的距离公式，属于基础题．14.【答案】(x −2)2+(y −4)2=20【解析】解：根据题意，{x −y +2=02x +y −8=0，解可得{x =2y =4，即圆心的坐标为(2,4)，设圆的方程为(x −2)2+(y −4)2=r 2， 将(0,0)代入上式得r 2=20，故答案为：(x −2)2+(y −4)2=20．根据题意，联立直线方程得到圆心坐标，代入原点坐标求出半径即可得到所求圆的方程． 本题考查圆的标准方程，涉及直线的交点，属于基础题．15.【答案】1113【解析】由等差数列的性质可得：a 5b 5=9(a 1+a 9)29(b 1+b 9)2=S 9T 9=2×113×9−1=1113，故答案为：1113．利用等差数列的性质求解本题考查的是等差数列的性质，属于基础题．16.【答案】8【解析】解：设直角三棱锥C −C′PQ 的高为ℎ，CQ =x ，CP =y ， 根据直角三棱锥的性质可知：1ℎ2=1x2+1y2+(2√3)2，∵直线CC’与平面C’PQ 成的角为30°， ∴ℎ=2√3sin30°=√3， ∴1x 2+1y 2=14，1x 2+1y 2≥2xy， ∴xy ≥8，再由体积可知：V C−C′PQ =V C′−CPQ ， 得13ℎS △C′PQ =16×2√3xy ，S △C′PQ =xy ， ∴△PQC′的面积的最小值是8． 故答案为：8．设直角三棱锥C −C′PQ 的高为ℎ，CQ =x ，CP =y ，根据直角三棱锥的性质可知1ℎ2=1x 2+1y 2+(2√3)2，由直线CC’与平面C’PQ 成的角为30°，得到xy ≥8，再由V C−C′PQ =V C′−CPQ ，能求出△PQC′的面积的最小值．本题考查三角形面积的最小值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．17.【答案】解：选条件①②，(1)设等差数列{a n }的公差为d ，所以a 1=1，a 2+a 4=2a 1+4d =10，解得a 1=1，d =2， 则a n =1+2(n −1)=2n −1，n ∈N ∗； (2)设等比数列{b n }的公比为q ，q >0， 所以{b 2=b 1q =1b 2b 4=b 12q 4=4，解得b 1=12，q =2， 设数列{b n }的前n 项和为S n ， 可得S n =12(1−2n )1−2=2n−1−12．选条件①③，(1)设等差数列{a n }的公差为d ，所以a 1=1，a 2+a 4=2a 1+4d =10，解得a 1=1，d =2， 则a n =1+2(n −1)=2n −1，n ∈N ∗；(2)b 4=a 5=9，设等比数列{b n }的公比为q ，q >0， 所以{b 2=b 1q =1b 4=b 1q 3=9，解得b 1=13，q =3， 设数列{b n }的前n 项和为S n ， 可得S n =13(1−3n )1−3=3n −16．选条件②③，(1)设等比数列{b n }的公比为q ，q >0，所以 {b 2=b 1q =1b 2b 4=b 12q 4=4，解得b 1=12，q =2，a 5=b 4=12×23=4， 设等差数列{a n }的公差为d ，所以a 5=a 1+4d =4，又a 1=1，故d =34， 所以a n =1+34(n −1)=3n+14．(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ， 由(1)可得S n =12(1−2n )1−2=2n−1−12．【解析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 分别选择①②③中的任两个，(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由等差数列的通项公式，解方程可得公差，进而得到所求；(2)设等比数列{b n }的公比为q ，q >0，由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式进而得到所求和．18.【答案】解：(1)∵直线l 1经过点A(−3,0)，B(3,2)，∴用两点式得直线l 1的方程为y−02−0=x+33+3 整理得直线l 1的方程为x −3y +3=0…(3分) 设直线l 2的方程3x +y +c =0把点B(3,2)代入上式得c =−11，即直线l 2的方程3x +y −11=0…(6分) (2)解{3x +y −11=0y =8x 得x =1，y =8，即C(1,8)…(7分) ∴|AC|=4√5，A 、C 的中点为(−1,4)∴Rt △ABC 的外接圆的圆心为(−1,4)，半径为2√5 ∴方程为(x +1)2+(y −4)2=20.…(12分)【解析】(1)利用两点式得直线l 1的方程，设直线l 2的方程3x +y +c =0，把点B(3,2)代入上式，可得直线l 2的方程；(2)确定圆心坐标与半径，即可得到结论．本题考查直线与圆的方程，考查学生的计算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)以A 为原点，以AB ，AD ，AP 为坐标轴建立空间直角坐标系A −xyz ，如图所示， 设AB =1，则P(0,0,1)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，E(12,0,12)， ∴PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−1)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−1,12)， ∴cos <PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE⃗⃗⃗⃗⃗ >=PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−32√2×√62=−√32， ∴直线PD 与CE 所成角的余弦值为√32．(2)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，设平面ACE 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x 1+y 1=0−12x 1−y 1+12z 1=0，令x 1=1可得m⃗⃗⃗ =(1,−1,−1)， ∴cos <DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ >=DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗ |DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=11×√3=√33， ∴直线CD 与平面ACE 所成角的正弦值为√33．(3)AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)，设平面PAC 的法向量为n ⃗ =(x 2,y 2,z 2)，则{n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即{x 2+y 2=0z 2=0，令x 2=1可得n⃗ =(1,−1,0)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=2√3×√2=√63． ∴二面角E −AC −P 的余弦值为√63．【解析】(1)建立空间坐标系，计算PD⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角得出直线PD 与CE 所成角； (2)求出平面ACE 的法向量m ⃗⃗⃗ ，计算CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与m ⃗⃗⃗ 的夹角得出直线CD 与平面ACE 所成的角； (3)求出平面PAC 的法向量n ⃗ ，计算m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 的夹角得出二面角E −AC −P 的大小．本题考查了空间向量在求空间角中的应用，属于中档题．20.【答案】(1)解：等差数列{a n }的公差为d ，由题设可得：{a 3n =3a n −2a 4+a 5=4a 2，即{a 1+(3n −1)d =3a 1+3(n −1)d −22a 1+7d =4a 1+4d ，解得：{a 1=3d =2， ∴a n =3+2(n −1)=2n +1； (2)证明：由(1)可得：S n =n(3+2n+1)2=n(n +2)，1S n=1n(n+2)=12(1n −1n+2)，∴T n =12(1−13+12−14+13−15+⋯+1n−1−1n+1+1n −1n+2)=12(1+12−1n+1−1n+2)<12(1+12)=34．【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题设求得d 与首项a 1，即可求得其通项公式； (2)先由(1)求得S n ，进而求得1S n，再利用裂项相消法求得其前n 项和T n ，即可证明结论．本题主要考查等差数列基本量的计算及裂项相消法在数列求和及不等式证明中的应用，属于中档题．21.【答案】解：(1)易知|OF 2|2=|OB|⋅|AB|，得c 2=b√a 2+b 2，则c a =√63，而a +c =2√6+4，又a 2=b 2+c 2，得a =2√6，b =2√2， 因此，椭圆C 的标准方程为x 224+y 28=1；(2)①当两条直线中有一条斜率为0时，另一条直线的斜率不存在， 由题意易得|MN|+|PQ|=16√63； ②当两条直线斜率都存在且不为0时，由(1)知F(4,0)，设M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)，直线MN 的方程为y =k(x −4)，则直线PQ 的方程为y =−1k (x −4)，将直线MN 方程代入椭圆方程并整理得：(1+3k 2)x 2−24k 2x +48k 2−24=0， 显然△>0，x 1+x 2=24k 23k 2+1，x 1x 2=48k 2−243k 2+1， ∴|MN|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√6(k 2+1)3k 2+1,同理得|PQ|=4√6(k 2+1)k 2+3， 所以，|MN|+|PQ|=4√6(k 2+1)3k 2+1+4√6(k 2+1)k 2+3=16√6(k2+1)2(3k2+1)(k2+3)，令t=k2+1>1，则1+3k2=3t−2，k2+3=t+2，设f(t)=(3t−2)(t+2)t2=−4t2+4t+3=−4(1t −12)2+4，∵t>1，所以，0<1t<1，所以，f(t)∈(3,4]，则|MN|+|PQ|=16√6f(t)∈[4√6,16√63)．综合①②可知，|MN|+|PQ|的取值范围是[4√6,16√63]．【解析】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查韦达定理的应用，考查计算能力与推理能力，属于难题．(1)根据已知条件列有关a、b、c的方程，解出a、b的值，即可得出椭圆C的方程；(2)对直线MN和PQ分两种情况讨论：一种是两条直线与坐标轴垂直，可求出两条弦长度之和；二是当两条直线斜率都存在时，设直线MN的方程为y=k(x−4)，将直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可计算出MN的长度的表达式，然后利用相应的代换可求出PQ的长度表达式，将两线段长度表达式相加，利用函数思想可求出两条弦长的取值范围．最后将两种情况的取值范围进行合并即可得出答案．。