沪教版八年级数学-特殊的平行四边形综合复习-学生版

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沪教版(上海)八年级第二学期22.3 特殊的平行四边形讲义(无答案)

特殊的平行四边形【要点梳理】要点一、矩形、菱形、正方形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形.要点二、矩形、菱形、正方形的性质矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.菱形的性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.正方形的性质：1.正方形四个角都是直角，四条边都相等.2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点三、矩形、菱形、正方形的判定矩形的判定：1. 有三个角是直角的四边形是矩形.2. 对角线相等的平行四边形是矩形.3. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.菱形的判定：1. 四条边相等的四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.要点诠释：前一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.后两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，正方形的判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形.2.有一个内角是直角的菱形是正方形.要点四、特殊平行四边形之间的关系要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.类型一、矩形的性质和判定1、如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm，则矩形对角线AC长为________ cm．2、已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连结AF、CE.（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论.【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.类型二、菱形的性质和判定3、如图所示，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝10．求：(1)AB的长．(2)菱形ABCD的面积．【变式】菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为________．4、如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗?试说明理由．类型三、正方形的性质和判定5、如图，在一正方形ABCD中．E为对角线AC上一点，连接EB、ED，（1）求证：△B EC≌△DEC；（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°．求∠AFE的度数．【变式】已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且CE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．【巩固练习】1.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（）①AC BD ⊥ ②90BAD ∠=o③AB BC = ④AC BD = A ．①③B ．②③C ．③④D ．①②③2. 下列说法正确的是（）A ．对角线相等且互相平分的四边形是菱形B ．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形C ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D ．对角线相等的四边形是等腰梯形3. 已知AC 为矩形ABCD 的对角线，则图中1∠与2∠一定不相等的是（）4. 如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（）A ．32 B ． 33 C ． 34 D ． 35. 如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( ) A. DE 是△ABC 的中位线 B. AA '是BC 边上的中线 C. AA '是BC 边上的高 D. AA '是△ABC 的角平分线6. 把长为8cm 的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，找开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6cm 2，则打开后梯形的周长是（）FADEBCABCDABCDE第5题A ．(10213)+cm B ．(1013)+cm C．22cm D．18cm7. 如图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E，则下列式子不成立．．．的是（）A. DEDA= B. CEBD= C. 90=∠EAC° D. EABC∠=∠29. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC BD，相交于点O E，为AB的中点，且OE a=，则菱形ABCD 的周长为（）A．16a B．12a C．8a D．4a10.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则∠ACP度数是．11. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连接CE，则CE的长________.3cm3cmD CBOAEB CDAP12. 如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A 点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动，行走2008厘米后停下，则这只蚂蚁停在点．13. 梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为．14. 如图，将矩形纸ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，若EH ＝3厘米，EF ＝4厘米，则边AD 的长是___________厘米.15. 如图，四边形ABCD ，EFGH ，NHMC 都是正方形，边长分别为a b c ，，；A B N E F ，，，，五点在同一直线上，则c （用含有a b ，的代数式表示）．16. 如图矩形ABCD 中，AB ＝8㎝，CB ＝4㎝， E 是DC 的中点，BF ＝41BC ，则四边形DBFE 的面积为。

沪教版八年级数学-四边形复习-学生版

四边形复习知识精要1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。

性质：性质定理1 平行四边形的对边相等。

性质定理2 平行四边形的对角相等。

性质定理3 平行四边形的对角线互相平分。

判定：判定定理1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

判定定理2 一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形。

判定定理3 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

一、特殊的平行四边形1、矩形：有一个内角是直角的平行四边形。

2、菱形：有一组邻边相等的平行四边形。

3、正方形：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形。

二、性质定理图形性质定理判定定理矩形1、四个角都是直角；2、两条对角线相等。

1、有三个内角是直角的四边形。

2、对角线相等的平行四边形。

菱形1、四条边都相等；2、对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角。

1、四条边都相等的四边形。

2、对角线互相垂直的平行四边形。

正方形1、四个角都是直角，四条边都相等；2、对角线相等，且互相垂直，每条对角线平分一组内角。

1、一组邻边相等的矩形；2、有一个内角是直角的菱形。

6、梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

平行的两边叫做梯形的底，不平FEGDACB6、如图，四边形ABCD为直角梯形，ADBCBCCDBCAD2,,//=⊥，对角线相交于点E，EF//BC 交AB于点F。

求证：四边形BCFE为等腰梯形。

E FDAB C7、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD交AC于O。

求证：CO=CD。

8、已知，如图在四边形ABCD中，AC=BD，且点E、F分别为AB、CD的中点，联接EF，分别与BD、AC交于点M、N。

证明ANEDMF∠=∠。

NMEFCBDA9、如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F，连接DF．（1）在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；（2）连接AE，试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论；（3）延长DF交BC于点M，试判断BM与MC的数量关系．（直接写出结论）精解名题例1、如图，平行四边形ABCD中，5,1,==⊥BCABACAB，对角线AC与BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F。

沪教版（上海）八年级数学第二学22.3（1）特殊的平行四边形单元课程教学设计

沪教版（上海）八年级数学第二学22.3（1）特殊的平行四边
形单元课程教学设计
特殊的平行四边形单元设计
第一章单元规划单元名称
特殊的平行四边形单元内容 1.内容出处与对应年级
本单元对应沪教版《数学》八年级第二学期第二十二章“四边形”：22.3特殊平行四边形.
2.知识结构图
单元类型
☑基于内容主题的单元口基于学习专题的单元单元结构☑线性结构口并列结构口中心结构
专题1：矩形和菱形的性质
专题2：矩形和菱形性质的简单运用
专题3：矩形和菱形的判定
专题4：正方形的性质与判定
专题5：特殊平行四边形性质判定的综合运用
单元目标
略单元总课时数
5课时梯形平面向量等腰梯形直角梯形向量的加法与减法多边形四边形平行四边形矩形菱形正方形
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沪教版八年级数学-特殊的平行四边形-讲义

知识精要一、特殊的平行四边形1、矩形：有一个内角是直角的平行四边形。

2、菱形：有一组邻边相等的平行四边形。

3、正方形：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形。

二、性质定理图形性质定理判定定理矩形1、四个角都是直角；2、两条对角线相等。

1、有三个内角是直角的四边形。

2、对角线相等的平行四边形。

菱形1、四条边都相等；2、对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角。

1、四条边都相等的四边形。

2、对角线互相垂直的平行四边形。

正方形1、四个角都是直角，四条边都相等；2、对角线相等，且互相垂直，每条对角线平分一组内角。

1、一组邻边相等的矩形；2、有一个内角是直角的菱形。

三、梯形（一）梯形的有关概念1、四边形的演变与汇总2、梯形：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形注：（1）梯形是特殊的四边形。

（2）有且只有一组对边平行。

3、梯形中平行的两边叫做梯形的底，短边为上底，长边为下底，与位置无关，不平行的两边叫做梯形的腰，梯形两底之间的距离叫做梯形的高，它是一底上的一点向另一底作的垂线段的长度。

4、梯形的分类梯形⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等腰梯形直角梯形特殊梯形一般梯形：（1）直角梯形：有一个角为直角的梯形为直角梯形（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形（二）梯形的性质1. 一般梯形的性质：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，则∠A+∠B=︒180，∠C+∠D=︒1802. 直角梯形具有的特征在直角梯形ABCD 中，若AD ∥BC ，∠B=︒90，则∠A=︒90，∠C+∠D=︒180 3. 等腰梯形具有的性质（1）性质定理1：等腰梯形同一底上的两个内角相等（2）性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等（3）等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，等腰梯形的对称轴是两底中点所在的直线。

4. 等腰梯形的判定（1）利用定义：（2）判定定理l ：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形（3）判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形热身练习：1. 如图，矩形的周长为24cm ，一边中点与对边两顶点边线成直角，则矩形的两邻边分别为4 cm 和8 cm 。

沪教版上海八年级下册数学 223 特殊的平行四边形同步练习包含答案

同步练习 22.3 特殊的平行四边形选择题一.( )1.下列关于矩形的说法中正确的是 B．对角线互相平分的四边形是矩形A．对角线相等的四边形是矩形 D．矩形的对角线相等且互相平分C．矩形的对角线互相垂直且平分cmcm 2.矩形一个角的平分线分矩形一边为和3）两部分，则它的面积为（ 122222cmcmcmcmcm或A.312D. 4B. 4C. 12cm（）两条对角线的长度比为3：4，403．已知菱形的周长为那么两条对角线的长分别为，cmcmcmcmcmcmcmcm A．6，832 B. 3 D. 24，4 C. 12，，16 ）＝O4.如图，菱形ABCD中对角线交于点，且OE⊥AB，若AC＝8，BD6，则,OE的长是（ 2.4 D．不确定A．2.5 B．5 C．P15.如图，E是边长为的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，）RQ，PR⊥BE于点，则PQ+PR的值是（于点为CE上任意一点，PQ⊥BC312 D. B.A C.223面积为ABCD＝ADDC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形6. 如图，四边形ABCD中，，则DE的长为（ 16）A．3 B．2 C．4 D．8二.填空题42，BC=12，∠ABC=45°， AB=ABCD7．如图四边形中，．BD= ，则AD=CD°，ADC=90∠．，、F，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，8．如图，矩形ABCD中，AB＝2BC＝3 ．CE 连结，则CE的长______cm的面积为且DE⊥AB，则菱形ABCD9．如图，菱形ABCD的边长是2E，是AB中点，2cm.______cm1∶2，则菱形的两条对角线的长的周长为20，且相邻两内角之比是10．已知菱形ABCD ．和面积分别是11.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O、O是其中两个正方形的中心，则阴影21部分的面积是_______．l，l，l，l是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是条直线12. 如图，平面内414213个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点Ａ、Ｃ分ll上，该正方形的面积是平方单位．和别在直线41解答题三. DE=BC，且∠BAD=∠CAE．AD=AE．如图，AB=AC，，13 1）求证：△ABE≌△ACD；（ BCDE 是矩形．（2）求证：四边形，分别交BD 作直线EF ⊥，过点AC 、BD 相交于OO 如图，在平行四边形14.ABCD 中，对角线. 是菱形F ，求证：四边形BEDFAD 、BC 于点E 和点Q ．交AC 于点B 在AB 上从A 向运动，连结DP 中，在边长为15．如图，4的正方形ABCD 点P；≌△ABQAB 试证明：无论点P 运动到上何处时，都有△ADQ(1)1；的面积是正方形ABCD 面积的上运动到什么位置时，△当点(2)P 在ABADQ 6(3)若点P 从点A 运动到点B ，再继续在BC 上运动到点C ，在整个运动过程中，当点P 运动到什么位置时，△ADQ 恰为等腰三角形．参考答案选择题一. ；1.【答案】D ；2.【答案】D3. 3，也可能是，所以面积为4×1或4× 【解析】矩形的短边可能是1 3.【答案】C ；22????2kk 6,810?3k 4?k 2k ?，所以两条，∴【解析】设两条对角线的长为.所以有16.对角线的长为12 ， 4.【答案】C ； S=24，【解析】在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴AO=4，BO=3，ABCD菱形1211 ．，∴EO=4，∴5EO ＝×3AB ·∴AB=5，S=6EO=AO ·，∵BO AOB △522 ；【答案】D5..CM ⊥BDC 作【解析】连接BP ，过=BE×CM×，+BE×PR×=BC×（PQ+PR）×=BC×PQ×S=S+S△BPC△BPE△BCE BC=BE，∵∴PQ+PR=CM，BC=，∵BE=BC=1，且正方形对角线BD= 又∵BC=CD，CM⊥BD，中点，又△BDC为直角三角形，∴M为BDBD=，∴CM=即PQ+PR=．．故选：D ；6.【答案】C的垂线，交BC的延长线于作BCF，利用互余关系可得∠A＝∠FCD，如图，【解析】过点D又∠AED＝∠F＝90°，AD＝DC，利用AAS可以判断△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，SS＝16，DE＝4＝．DEBF正方形ABCD四边形二.填空题234；【答案】 7．【解析】解：如图，作AM⊥BC，DN⊥BC，DH⊥MA，∵∠H=∠HMN=∠DMN=∠DNM=90°，∴四边形MNDH是矩形，=90°，NDH∴∠．ADC=90°，∵∠NDH=∠，∴∠HDA=∠CDN 中，在△ADH和△CDN DNC??H???CDN?ADH??，??DCDA??），∴△ADH≌△CDN（AAS DH=DN，∴是正方形，MNDH∴四边形．∴MN=MH24x，∠AB=ABM=45AH=NC=设°，，在Rt△ABC中，xxx BN=10，，∴=2AH=NC=2，∴∴BM=AM=4，CM=84+，=8-MN=DN=6，∴，∴342.BD=∴13；8.【答案】6132??222??x?3x?x x x3?. ，，DE＝，【解析】设AE＝CE＝2 9.【答案；3.60 【解析】由题意∠A＝°，DE＝32535 10.【答案】5；；；235，面积为和，所以两条对角线长为5 【解析】菱形一个内角为60°，边长为5125?5?53?3. 2211.【答案】2；11＝×【解析】阴影部分面积等于正方形面积的 4＝2. 22；【答案】12.5ll≌△D 【解析】过点作直线ADE，与交于点EEF与平行线垂直，与．易证△F交于点41．25?CD得正方形的面积．，DF＝2．根据勾股定理可求，得DFCCF＝1解答题三.【解析】13. ）证明：∵∠BAD=∠CAE，（1 ∴∠EAB=∠DAC，中在△ABE和△ACDAE=AD ∵AB=AC，∠EAB=∠DAC，；SAS）∴△ABE≌△ACD（）∵△ABE≌△ACD，（2 ∴BE=CD，，又DE=BC BCDE为平行四边形．∴四边形∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB ∵△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACD，∴∠EBC=∠DCB BCDE为平行四边形，∵四边形∴EB∥DC，∴∠EBC+∠DCB=180°，∴∠EBC=∠DCB=90°， BCDE是矩形．四边形 14.【解析】是平行四边形ABCD证明：∵四边形OD ＝BC，OB∴AD∥OFB ＝∠FBO, ∠OED∵∠EDO＝∠OFB≌△∴△OEDBF ＝∴DEBF∥又∵ED BEDF∴四边形是平行四边形BDEF⊥∵. BEDF是菱形∴平行四边形．【解析】15 是正方形，证明：∵四边形(1)ABCDAQ AQ°，＝DAC＝∠BAC＝45AB ∴AD＝，∠；（ABQSAS）∴△ ADQ≌△x y．F轴于点⊥QF，E轴于点⊥QE作Q为原点建立如图所示的直角坐标系，过点A以(2)．4181S QE＝＝＝∴ADQE×ABCD正方形362344)(,在正方形对角线AC上∴Q点的坐标为∵点Q3344)Q(,x y4??2x?y，4)2，∴过点D(0，当，＝两点的函数关系式为：0时，＝331；即P运动到AB中点时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的6(3)若△ADQ是等腰三角形，则有QD＝QA 或DA＝DQ或AQ＝AD①当点P运动到与点B重合时，由四边形ABCD是正方形知 QD＝QA此时△ADQ是等腰三角形；②当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，此时DA＝DQ，△ADQ是等腰三角形；x时，有AD＝＝AQ P在BC边上运动到CP③如图，设点∵AD∥BC ∴∠ADQ＝∠CPQ．又∵∠AQD＝∠CQP，∠ADQ＝∠AQD，∴∠CQP＝∠CPQ．x．＝CQCP＝∴42，AQ＝AD＝4．＝∵AC42x－4． AC∴＝CQ＝－AQ＝42－4时，△ADQ＝即当CP是等腰三角形．。

沪教版初二上册特殊的平行四边形(提高)知识讲解

沪教版初二数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习特殊的平行四边形（提高）【学习目标】1. 理解矩形、菱形、正方形的概念.2. 掌握矩形、菱形、正方形的性质定理与判定定理.3. 了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系.【要点梳理】要点一、矩形、菱形、正方形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形.要点二、矩形、菱形、正方形的性质矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.菱形的性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.正方形的性质：1.正方形四个角都是直角，四条边都相等.2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点三、矩形、菱形、正方形的判定矩形的判定：1. 有三个角是直角的四边形是矩形.2. 对角线相等的平行四边形是矩形.3. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.菱形的判定：1. 四条边相等的四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.要点诠释：前一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.后两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，正方形的判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形.2.有一个内角是直角的菱形是正方形.要点四、特殊平行四边形之间的关系要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、矩形的性质和判定1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．【思路点拨】(1)矩形的四个内角都等于90°，利用条件△PBC和△QCD都是等边三角形，容易求得∠PBA和∠PCQ度数；(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进一步证明△PAB≌△PQC(SAS)，从而证得PA＝PQ．【答案与解析】证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°．∵△PBC和△QCD是等边三角形，∴∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°，∴∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝30°，∠PCD＝∠BCD－∠PCB＝30°．∴∠PCQ＝∠QCD－∠PCD＝30°，故∠PBA＝∠PCQ＝30°(2)∵四边形ABCD是矩形，∴ AB＝DC．∵△PBC和△QCD是等边三角形，∴ PB＝PC，QC＝DC＝AB．∵ AB＝QC，∠PBA＝∠PCQ，PB＝PC．∴△PAB≌△PQC，∴ PA＝PQ．【总结升华】利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可．举一反三：【变式】如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点处，点A落在点处．(1)求证：；(2)设AE＝，AB＝，BF＝，试猜想之间有何等量关系，并给予证明．【答案】证明：(1)由折叠可得．∵ AD∥BC，∴，∴，∴．(2)猜想．理由：由题意，得，．由(1)知．在中，∵，，，，∴．2、（2015春•青山区期中）如图1，已知AB∥CD，AB=CD，∠A=∠D．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠DFC=2∠BCE．①如图2，若F为AD中点，DF=1.6，求CF的长度：②如图2，若CE=4，CF=5，则AF+BC=________，AF=_________．【答案与解析】（1）证明：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵∠A=∠D，∠A+∠D=180°，∴∠A=90°，∴四边形ABCD为矩形；（2）解：①延长DA，CE交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠B=90°，AD∥BC，∴∠GAE=90°，∠G=∠ECB，∵E是AB边的中点，∴AE=BE，在△AGE和△BCE中，，∴△AGE≌△BCE（AAS），∴AG=BC，∵DF=1.6，F为AD中点，∴BC=3.2，∴AG=BC=3.2，∴FG=3.2+1.6=4.8，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠BCF，∵∠DFC=2∠BCE，∴∠BCE=∠FCE，∵AD∥BC，∴∠BCE=∠G，∴CF=FG=4.8；②若CE=4，CF=5，由①得：AG=BC，CF=FG，GE=CE=4，AG=AD，∴CG=8，AF+BC=AF+AG=FG=CF=5；故答案为：5；设DF=x，根据勾股定理得：CD2=CF2﹣DF2=CG2﹣DG2，即52﹣x2=82﹣（5+x）2，解得：x=，∴DG=5+=，∴AD=DG=，∴AF=AD﹣DF=；故答案为：．【总结升华】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理的运用；本题有一定难度.举一反三：【变式】已知ABCD的对角线AC，BD相交于O，△ABO是等边三角形，AB＝4，求这个平行四边形的面积.【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形.∴△ABO≌△DCO又∵△ABO是等边三角形∴△DCO也是等边三角形，即AO＝BO＝CO＝DO∴AC＝BD∴ ABCD为矩形.∵AB＝4，AC＝AO＋CO∴AC＝8在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝∴矩形ABCD的面积为：AB·BC＝16类型二、菱形的性质和判定3、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°．求∠CEF的度数．【思路点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF ＝60°．【答案与解析】解：连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．又∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．又∵∠EAF＝∠BAC＝60°∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF．∴ AE＝AF．∴△AEF为等边三角形．∴∠AEF＝60°．又∵∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，∴∠CEF＝18°．【总结升华】当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系．4、矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F 两点．(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形，并证明你的结论．【答案与解析】(1)证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，BO＝OD，∴∠BEO＝∠DFO，∠EBO＝∠FDO（两直线平行，内错角相等），∴△BOE≌△DOF(AAS)．(2)当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．证明：由(1)知，△BOE≌△DOF，∴ OE＝OF．又∵矩形ABCD中，OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．又∵ EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．【总结升华】要证明四边形是菱形，先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.举一反三：【变式】（2016•准格尔旗一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．（1）证明：四边形ADCE是菱形；（2）证明：DE=BC；（3）若∠B=60°，BC=6，求菱形ADCE的高（计算结果保留根号）．【答案】（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴CD=AD，∴四边形ADCE是菱形；（2）证明：∵四边形ADCE是菱形，∴AC⊥DE．∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∴DE∥BC，∵CE∥AB，∴四边形BCED是平行四边形，∴DE=BC；（3）解：过点D作DE⊥CE，如图所示，∴DF是菱形ADCE的高，∵∠B=60°，CD=BD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，∵CE∥AB，∴∠DCE=60°，∴DF=．类型三、正方形的性质和判定5、如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE＝CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．求证：AM⊥DF．【思路点拨】根据DE=CF，可得出OE=OF，继而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE=∠ODF，然后利用等角代换可得出∠DME=90°，即得出了结论．【答案与解析】证明：∵ABCD是正方形，∴OD＝OC，又∵DE＝CF，∴OD－DE＝OC－CF，即OE＝OF，在Rt△AOE和Rt△DOF中，，∴△AOE≌△DOF，∴∠OAE＝∠ODF，∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，∴∠O DF＋∠DEM＝90°，即可得AM⊥DF．【总结升华】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是通过全等的证明得出∠OAE＝∠ODF，利用等角代换解题．举一反三：【变式】如图四边形ABCD是正方形，点E、K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝BK＝AG．以线段DE、DG为边作DEFG．(1)求证：DE＝DG，且DE⊥DG．(2)连接KF，猜想四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴ DC＝DA，∠DCE＝∠DAG＝90°．又∵ CE＝AG，∴△DCE≌△DAG，∴∠EDC＝∠GDA，DE＝DG．又∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠ADE＋∠GDA＝90°，∴ DE⊥DG．(2)四边形CEFK为平行四边形．证明：设CK，DE相交于M点，∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴ AB∥CD，AB＝CD，EF＝DG，EF∥DG；∵ BK＝AG，∴ KG＝AB＝CD．∴四边形CKGD为平行四边形．∴ CK＝DG＝EF，CK∥DG∥EF∴四边形CEFK为平行四边形．6、如图所示，已知矩形ABCD的各内角平分线AQ、DF、BE、CH分别交BC、AD于点Q、F、E、H，试证明它们组成的四边形MNPO是正方形．【思路点拨】矩形的各内角平分线将每个内角分成45°，它们和矩形的边组成了等腰直角三角形，所以围成的图形为矩形，再证明一组邻边相等，得出结论．【答案与解析】解：∵四边形ABCD为矩形，∴ AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，∴∠1＝∠2＝∠DAB＝45°，∠3＝∠4＝∠ABC＝45°，∴∠OMN＝∠AMB＝90°．同理∠MNP＝90°，∠NPO＝90°，∴四边形MNPO为矩形．又∵∠2＝∠4，∠5＝∠6，AD＝BC，∴△AOD≌△BNC，∴ AO＝BN．又∵∠1＝∠3，∴ AM＝BM，∴ AO－AM＝BN－BM，即MN＝MO．∴矩形MNPO为正方形．【总结升华】(1)灵活运用角平分线的性质，等腰直角三角形的性质及判定，矩形的判定方法和正方形的判定方法．(2)本题解题思路：矩形＋邻边相等正方形．。

上海八年级下册特殊的平行四边形讲义

学科教师辅导讲义教学目标1了解平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系，了解四边形的不稳定性。

2理解并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念和特征3灵活应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的基本特征进行简单的数学说理和推理和推理教学内容一、知识回顾矩形、菱形、正方形1、菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．、菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．③具有平行四边形所有性质．③具有平行四边形所有性质．2．菱形的判定：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．．菱形的判定：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．③四条边都相等的四边形是菱形．③四条边都相等的四边形是菱形．3．矩形的性质：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质． 4．矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．．矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．5．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．6．正方形的判定：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．．正方形的判定：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形．课前练习: 1 1．已知平行四边形．已知平行四边形ABCD 的周长是28cm 28cm，，CD-AD=2cm CD-AD=2cm，那么，那么AB=______cm AB=______cm，，BC=______cm BC=______cm．． 2．菱形的两条对角线分别是6cm 6cm，，8cm 8cm，则菱形的边长为，则菱形的边长为，则菱形的边长为_______________，一组对边的距离为，一组对边的距离为，一组对边的距离为_______________ 3．在菱形ABCD 中，∠中，∠ADC=120ADC=120ADC=120°，则°，则BD BD：：AC 等于等于________ ________4．已知正方形的边长为a ，则正方形内任意一点到四边的距离之和为，则正方形内任意一点到四边的距离之和为_______________．． 5．矩形ABCD 被两条对角线分成的四个小三角形的周长之和是86cm ，对角线长是13cm ，则矩形ABCD 的周长是的周长是6．如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开，可以拼出不同形状的四边形，．如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开，可以拼出不同形状的四边形，请写出其中两个不同的四边形的名称：请写出其中两个不同的四边形的名称：．7．如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD ，BC 边的中点，将C 点折叠至MN 上，落在P 点的位置，折痕为BQ ，连结PQ ，则PQ =8．如图，梯形ABCD 中，1AD BC AB CD AD ===∥，，60B Ð=，直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一点，那么PC PD +的最小值为的最小值为．9．如图，．如图，OBCD OBCD 是边长为1的正方形，∠的正方形，∠BOx=60BOx=60BOx=60°，则点°，则点C 的坐标为的坐标为________________________ＭＤＱＣＮＢＡ10．如图，把正方形ABCD 沿着对角线AC 的方向移动到正方形D C B A ¢¢¢¢的位置，它们的重叠部分的面积是正方形ABCD 面积的一半，若AC ＝2，则正方形移动的距离A A ¢是D ¢C ¢B ¢A ¢第3题图题图DCBA二、例题讲解矩形例1．如图，已知矩形ABCD 的纸片沿对角线BD 折叠，使C 落在C ’处，BC BC’’边交AD 于E ，AD=4，CD=2 （1）求AE 的长的长（2）△BED 的面积的面积巩固练习：1．如图，矩形ABCD 中，中，AD=9AD=9AD=9，，AB=3AB=3，将其折叠，使其点，将其折叠，使其点D 与点B 重合，折痕为EF 求求DE 和EF 的长。

沪教版八年级下册第二十二章四边形第二节平行四边形复习课件

平行四边形的定义
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
如图：四边形ABCD是平行四边形 A
D
记作： □ABCD
O
B
C
线段AC、BD就是□ABCD的两条对角线。
A D
B
C
四边形ABCD
如果
AB∥CD AD∥BC
A
B ABCD
D C
平行四边形的性质
A
O
边平行四边形的对边平行且相等
D
﹦ ﹦ ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB ∥CD，AD ∥ BC
求证：四边形BFDE是平行四边形
证法1：
∵四边形ABCD是平行四边形
AD ∥ BC且AD =BC
手A
E
B
EAD=FCB
D 在AED和CFB中
AE=CF
F
EAD=FCB
AD=BC
C
AED ≌ CFB(SAS)
DE=BF
同理可证：BE=DF
四边形BFDE是平行四边形
已知：E、F是平行四边形ABCD对角线
谢谢！
大 AC上的两点，并且AE=CF。
显求证：四边形BFDE是平行四边形
身
证法2：联结BD，交AC于点O。
手A E
D ∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AO=CO，BO=DO
OF
∵AE=CF
B
C
∴AO-AE=CO-CF
∴EO=FO
又 BO=DO
∴ 四边形BFDE是平行四边形
小组讨论
如图,D,E在三角形ABC的边BC上，F、G分别在AC、
一条路，可以把菜地分成面积相等的两部分. 同学
们，你知道聪明的小明是怎么帮妈妈分的吗？

特殊平行四边形的性质教案沪教版(上海)数学八年级第二学期

22.3（1）特殊的平行四边形教学目标：通过三角形知识的学习路径，类比学习平行四边形，构建知识树；经历从平行四边形到矩形、菱形的研究过程，理解矩形、菱形的概念，体验“从一般到特殊”的研究方法；通过猜想、验证、归纳的过程，掌握矩形、菱形的性质定理，感悟类比思想；在小组探究中，提高主动探究的习惯和合作交流的意识；通过理解特殊平行四边形之间的内在联系，强化数学的辩证观点.教学重点：理解矩形、菱形的性质，知道它们与平行四边形之间的区别和联系.教学难点：自主探究“菱形小档案”.教学过程设计意图一、知识的联想与建构回顾三角形的学习路径引入的特殊的平行四边形——矩形、菱形定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形揭示课题：特殊的平行四边形——矩形、菱形类比学习三角形学习路径探究平行四边形的知识内容二、新知的探究与归纳问题1：回顾平行四边形的性质活动1：探究矩形的性质提出你的猜想，并证明你的猜想要求：复习平行四边形性质，为研究矩形、菱形性质做铺垫探究矩形的特殊性质1、学生独立思考2、师生共同交流3、总结归纳矩形的性质活动2：小组合作探究菱形的性质要求：1、学生独立思考2、小组交流讨论3、小组分享成果4、总结归纳菱形的性质教师给出研究图形性质的范例，学生自主研究菱形性质三、新知的运用与联系1、判断题：（1）矩形的对角线互相平分且相等（）（2）菱形的对角线互相平分且垂直（）（3）矩形的两条对角线把矩形分成四个直角三角形（）（4）菱形的两条对角线把菱形分成四个直角三角形（）2、已知四边形ABCD是矩形，（1）若AO=5，那么OD= ，OB= ；（2）若AO=5，AB=6，那么BC= ；（3）若AO=5，∠COB=120°，那么AB= .3、已知四边形ABCD是菱形，（1）若∠BAC=26°，复习巩固矩形菱形的性质，深入研究矩形菱形与直角三角形、等腰三角形之间的内在联系教案设计说明：单元设计背景下的特殊平行四边形教学的再认识特殊的平行四边形这节课是在上海沪教版教材八年级第二学期第二十二章《四边形》。

初二数学(沪教版)平行四边形的复习总结

操作单：例1：如图，在四边形AECF中，点B、D在直线EF上，且BE=DF．（1）若四边形AECF是平行四边形，四边形ABCD是平行四边形吗？说明理由。

（2）若四边形AECF是菱形，那么四边形ABCD也是菱形吗？说明理由。

（3）若四边形AECF是矩形，那么四边形ABCD也一定为矩形吗？说明理由。

例2：菱形ABCD中，DE⊥AB于E, BF⊥CD于F, G、H分别是AD和BC边上两点(G与A、D不重合，H与B、C不重合)．联结EG、GF、FH、HE.(1) 当线段AG= 时,可以判定四边形GEHF是平行四边形．证明你的结论．(2) 在(1)的条件下,当线段AG= 时, 可以判定四边形GEHF是矩形．证明你的结论．(3) 拓展与思考：在(2)的条件下,当∠A=度时，可以判定四边形GEHF是正方形．证明你的结论．A DC BA DC BAC BABD作业： ABC △是等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B C 、重合），ADE △是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，分别交射线AB AC 、于点F G 、，连接BE ．（1）如图（a ）所示，当点D 在线段BC 上时． ①求证：AEB ADC △≌△；②探究四边形BCGE 是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（b ）所示，当点D 在BC 的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？（3）在（2）的情况下，当点D 运动到什么位置时，四边形BCGE 是菱形？并说明理由．AG CDBF E 图（a ）ADCBF EG图（b ）平行四边形复习教学目标：1.能综合运用平行四边形及特殊平行四边形的判定定理解决有关的证明问题．2. 经历条件的改变证明一个特殊平行四边形的探索过程,发展推理论证的探索分析能力和逻辑表达能力．3. 经历添加适当的条件使四边形变为特殊平行四边形的探索过程,领会转化的思想．教学重点，难点：添加适当的条件使四边形变为特殊平行四边形的应用．教学过程：一．回顾四边形添加条件后变为特殊平行四边形二．小练习(1) 一组对边相等,另一组对边的四边形是平行四边形． (2) 对角线的四边形是矩形． (3) 的平行四边形是菱形．（或者） (4)有一个内角是的菱形是正方形．三.例题讲解例1：如图，在四边形AECF 中，点B 、D 在直线EF 上，且BE=DF ．（1）若四边形AECF 是平行四边形，四边形ABCD 是平行四边形吗？说明理由．（2）若四边形AECF 是菱形，那么四边形ABCD 也是菱形吗？说明理由．（3）若四边形AECF 是矩形，那么四边形ABCD 也一定为矩形吗？说明理由．例2：菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E, BF ⊥CD 于F , G 、H 分别是AD 和BC 边上两点(G 与A 、D 不重合，H 与B 、C 不重合)．联结EG 、GF 、FH 、HE .(1) 当线段AG = 时, 可以判定四边形GEHF 是平行四边形．证明你的结论．(2) 在(1)的条件下,当线段AG = 时, 可以判定四边形GEHF 是矩形．证明你的结论．A B C DA DCA D CB(3)拓展与思考在(2)的条件下,当∠A= 度时，可以判定四边形GEHF 是正方形．证明你的结论．四．小结五．作业布置ABC △是等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B C 、重合），ADE △是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，分别交射线AB AC 、于点F G 、，连接BE ．（1）如图（a ）所示，当点D 在线段BC 上时． ①求证：AEB ADC △≌△；②探究四边形BCGE 是怎样特殊的四边形？并说明理由．（2）如图（b ）所示，当点D 在BC 的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？（3）在（2）的情况下，当点D 运动到什么位置时，四边形BCGE 是菱形？并说明理由．AG CDBF E 图（a ）ADCBF EG图（b ）A D C B。

沪教版(上海)数学八年级第二学期- 第22章特殊四边形的判定复习教案

特殊四边形的判定复习1学情分析学生在新课学习时，已经学习了平行四边形和特殊平行四边形的概念、相关性质和判定方法，初步具有几何直观、应用意识、逻辑推理能力，但是判定方法较多，容易混淆，在应用判定时，容易出现错用、多用或少用条件的现象。

通过此次复习，知识的系统性、综合性、技巧性等方面都要在原来的基础上有所提升。

教学目标1、进一步正确理解、掌握、灵活应用特殊平行四边形的判定方法；2、通过几何证明的思路分析，学习找准问题的切入口，对方法进行优化，加强几何证明的表达。

教学重点进一步正确理解、掌握、灵活应用特殊平行四边形的判定方法。

教学难点加强几何证明的表达。

教学过程一、复习引入1、下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是_________________①AB∥DC，AD∥BC ②AB=DC，AD=BC③AB∥DC，AB=DC ④AB∥DC，AD=BC⑤∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC ⑥OA=OC，OB=OD答案：①②③⑤⑥设计意图：复习平行四边形的判定方法。

2、在四边形ABCD中AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是________(写一种即可)设计意图：先判断四边形ABCD是平行四边形，复习从平行四边形到矩形的判定方法。

3、已知ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC=900；②AC⊥BD；③AB=BC；④AC平分∠BAD；⑤AO=DO；能使ABCD是菱形的序号是____________________.设计意图：复习从平行四边形到菱形的判定方法。

4、在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是________A、AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD；B、AD∥BC，∠A＝∠C；C、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD；D、AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC；设计意图：复习正方形的判定方法。

第1题第2题第3题第4题二、归纳整理、形成体系三、综合训练例题：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE 的延长线于点F，联结CF. 试判断四边形ADCF的形状；变式一：请在原题的基础上，在△ABC的边角上增加一个条件，使得四边形ADCF是菱形；变式二：请在原题的基础上，在△ABC的边角上增加一个条件，使得四边形ADCF是矩形；变式三：请在原题的基础上，在△ABC的边角上增加一个条件，使得四边形ADCF是正方形；四、课堂小结五、课后练习1、如图，在ABC △中，点ED F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．．的是（） A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．如果90BAC ∠=，那么四边形AEDF 是矩形C ．如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形D ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是正方形2、如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ．（1）探究：线段OE 与OF 的数量关系并加以证明；（2）当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形BCFE 会是菱形，并说明理由．（3）当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 会是矩形，并说明理由．（4）当点O 运动到何处，且△ABC 满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？ＡＦＣＤＢＥ3、将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边长为1．图130图2BB图3B图4B(1)试判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论；(2)如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由；(3)在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当BB1为何值时，四边形ABC1D1为矩形；(4)在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当BB1为何值时，四边形ABC1D1为菱形.五、课后反思本节课首先通过4道题目，以题代纲，梳理知识，归纳总结几种特殊四边形的判定方法，得到结构图；接着通过例题，创设了引人入胜步步深化的练习，旨在让不同层次学生都学有所获，形成激发学生主动参与、积极思维、合作学习解决问题的良好教学氛围。

上海市八年级平行四边形综合复习(基础)

辅导讲义学员__ 课时数: 2小时授课类型：小班年级科目：八年级数学学科教师：授课时间：课题平行四边形阶段性复习教学内容一、多边形的内角和和外角和n边形的内角和等于(n−2)∙180°多边形外角和360°.二、平行四边形从边、角、对角线的角度来考虑问题1.平行四边形性质：〔边、角、对角线〕平行四边形的性质{两组对边平行（AB∥CD，AD∥BC）两组对边相等（AB=CD，AD=BC）两组对角相等−−−−≫邻角互补(∠A=∠C，∠B=∠D；)∠A+∠D=180°，∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°，∠B+∠C=180°对角线互相平分（OA=OC，OB=OD）中心对称2.平行四边形判定：〔边、角、对角线〕两组对边分别平行（定义）两组对边分别相等一组对边平行且相等两组对角分别相等对角线相互平分}判定−−−−平行四边形Ⅰ.知识梳理A BD CO从边、角、对角线的角度来考虑问题1.矩形的定义与性质1)定义：有一个角是直角的平行四边形2)矩形的性质：矩形具有平行四边形的一切性质〔边、角、对角线〕,还具备一些特殊的性质a)矩形的四个角都是直角；〔∠A=∠C=∠B=∠D=90°〕b)矩形的对角线相等；〔AC=BD〕c)矩形即是轴对称图形又是中心对称图形.2.矩形的判定矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形矩形的判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形矩形的判定定理〔定义法〕：有一个角是直角的平行四边形是矩形四、菱形1.菱形的定义与性质1)定义：有一组邻边相等的平行四边形2)性质：矩形具有平行四边形的一切性质〔边、角、对角线〕,还具备一些特殊的性质a)菱形的四条边都相等；AB=BC=CD=ADb)菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.〔AC⊥BD；AC平分∠BAD、∠BCD；BD平分∠ABC、∠ADCc)菱形即是轴对称图形又是中心对称图形.2.菱形的判定菱形的判定定理1：对角线相互垂直的平行四边形是菱形菱形的判定定理2：四条边都相等的四边形是菱形菱形的判定定理〔定义法〕：邻边相等的平行四边形是菱形A B D COAB DCO1. 正方形的性质正方形的性质定理1：正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等；正方形的性质定理2：正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角；2. 正方形的判定判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形；判定定理2：有一个角是直角的菱形是正方形；正方形的其他判定方法：1. 对角线相互垂直的矩形是正方形；2. 对角线相等的菱形是正方形；六、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系从内角、边的角度来考虑上述4类四边形的关系：ABD CO平行四边形矩形正方形菱形一个角是直角一组邻边相等平行四边形正方形一组邻边相等矩形菱形一个角是直角一个角是直角且一组邻边相等从对角线的角度来考虑上述4类四边形的关系：例题：1. 矩形的对称轴有__________条2. 已知一个菱形的周长是20厘米,两条对角线的比是3:4,则这个菱形的面积是_________平方厘米对角线__________的四边形是菱形3. 正方形的一条对角线长为2√2,这个正方形的边长为__________4. 在四边形ABCD 中,AB ∥CD ,要使四边形ABCD 是平行四边形,只需添加一个条件,这个条件可以是__________〔只需要填写一种情况〕5. 已知E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点,且BE =BA ,则∠DAE =__________6. 如果一个菱形的一条对角线长为10厘米,面积为60平方厘米,那么这个菱形的另一条对角线长为__________厘米7. 矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,AB =4厘米,∠AOD =120°,则矩形ABCD 的面积是__________8. 在四边形ABCD 中,AC =BD ，AB =CD ,要使四边形ABCD 是矩形,只需添加一个条件,这个条件可以是__________〔只需要填写一种情况〕9. 如图,菱形ABCD 中,AE 垂直平分BC ,垂足为E ,AB =4厘米,则菱形ABCD 的面积是__________,对角线BD 的长是__________10. 如图,EFGH 分别为正方形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点,且AE =BF =CG =DH =13AB ,则图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为__________11. 如图,四边形ABCD 中,AB =BC ,∠ABC =∠CDA =90°,BE ⊥AD 于点E ,且四边形ABCD 的面积为8,则BE 长为对角线相等对角线垂直平行四边形正方形矩形对角线垂直对角线垂直且相等对角线相等菱形ABDCEA BDCEHGF__________12. 下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是〔〕A 平行四边形B 矩形C 等边三角形D 菱形 13. 下列命题中,真命题是〔〕A 对角线相等的四边形是矩形B 对角线互相垂直平分的四边形是正方形C 对角线相互垂直的四边形是菱形D 对角线相互平分的四边形是平行四边形 14. 正方形具有而菱形不一定有的性质是〔〕A 对角线相等B 对角线互相垂直平分C 对角线平分一组对角D 四条边相等 15. 如图,将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开,得到四张小纸片,用这四张小纸片一定可拼成〔〕A 正方形B 矩形C 菱形D 平行四边形16. 如图,矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 的交点为E 、F 求证：四边形AFCE 是菱形17. 如图,将平行四边形ABCD 的边DC 延长到点E ,是CE =DC ,联结AE ,交BC 于点FABCDEFO〔1〕求证：△ABF ≌△ECF〔2〕若∠AFC =2∠D ,联结AC 、BE ,求证：四边形ABEC 是矩形1. 如图,在△ABC 中,点O 是AC 边上〔端点除外〕的一个动点,过点O 作直线MN ∥BC ,设MN 交∠BCA 的平分线于点E ,交∠BCA 的外角平分线于点F ,联结AE 、AF .那么当点O 运动到何处时,四边形AECF 是矩形？并证明你的结论.2. 如图,正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转n °后得到正方形AEFG ,FG 与CD 交于点O〔1〕以图中标有字母的点为端点连接两条线段〔正方形的对角线除外〕,要求所连接的两条线段相交且互相垂直,并说ABCDEFABNM EOFC明这两条线段互相垂直的理由〔2〕若正方形的边长为2厘米,重叠部分〔四边形AEOD 〕的面积为4√33平方厘米,求旋转的角度n3. 如图,以△ABC 的三边为边BC 的同侧分别作三个等边三角形,即△ABD 、△BCE 、△ACF ,请回答下列问题：〔1〕四边形ADEF 是什么四边形？并说明理由〔2〕当△ABC 满足什么条件时,四边形ADEF 是菱形〔直接写出答案〕〔3〕当△ABC 满足什么条件时,以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形不存在〔直接写出答案〕CABOFDGECBA DEF1. 以四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边分别向外侧做等腰直角三角形,直角顶点分别为EFGH ,顺次连接这四个点,得四边形EFGH〔1〕如图1,当四边形ABCD 为正方形时,我们发现四边形EFGH 是正方形；如图2,当四边形ABCD 为矩形时,请判断：四边形EFGH 的形状〔不要求证明〕〔2〕如图3,当四边形ABCD 为一般平行四边形时,设∠ADC =α〔0°< α <90°〕①试用含α的代数式表示∠HAE ②求证：HE =HG③四边形EFGH 是什么四边形？说明理由ADBCEGHF图 1ADBCEGHF 图 2ADBCEGHF 图 2。

2022-2023年上海沪教版八年级第二学期期末考试汇编-核心考点04 特殊的平行四边形(原卷版)

核心考点04特殊的平行四边形目录考点一：菱形的性质考点二：菱形的判定考点三：菱形的判定与性质考点四：矩形的性质考点五：矩形的判定考点六：矩形的判定与性质考点七：正方形的性质考点八：正方形的判定考点九：正方形的判定与性质考点考向特殊的平行四边形（1）矩形{{⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩定义：有一个内角是的；性质矩形的四个角都是；矩形的两对角线；判定有的四边形；对角直角平行四边形直角相等三个内角是直角相线的等平行；四边形①②①②（2）菱形{⎧⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎩定义：有的；菱形的四条边；性质菱形的对角线，且每一条对角线平分；判定相等的四边形；一组邻边相等平行四边形都相等互相垂直一组对角四条边互相垂直对角线的；平行四边形①②①②（3）正方形{⎧⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎩一组邻边相等一个内角是直角平行四边形直角相等相等垂直一组对角定义：有且有的；正方形的四个角都是，四条边都；性质正方形的两对角线，且互相，每条对角线平分；判定有的；有一个内角一组邻边相等矩形直角菱.形是的①②①②考点精讲一．菱形的性质（共7小题）1．（2022春•青浦区校级期中）如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，延长BC 至点E ，使CE ＝BC ，联结DE ，若∠E ＝70°，则∠OBC ＝．2．（2022春•杨浦区校级期中）菱形的边长为10厘米，一条对角线为16厘米，它的面积是平方厘米．3．（2022春•徐汇区期末）如图，菱形ABCD 中，如果AB ＝3，BD ＝2，那么菱形ABCD 的面积为．4．（2022春•上海期中）已知菱形ABCD 中，对角线AC ＝12，BD ＝16，则菱形ABCD 的面积是．5．（2022春•虹口区期中）如果菱形的边长为5，相邻两内角的度数之比为1：2，那么该菱形较长的对角线长为．6．（2022春•青浦区校级期中）菱形ABCD 中，∠B ＝60°，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且∠EAF ＝60°．求证：AE ＝AF．7．（2022春•杨浦区校级期中）已知：如图菱形ABCD，点E，F分别为边BC，CD上的动点（不与端点重合），且∠EAF＝∠B＝60°．（1）求证：AE＝AF；（2）如果AB＝8，设BE＝x，AE＝y，求y与x的函数关系式和定义域；与S△CEF面积比值为7．（3）在（2）的基础上，当x取何值时，S△AEF二．菱形的判定（共5小题）8．（2022春•青浦区校级期中）下列命题是真命题的是（）A．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．两条对角线相等的四边形是矩形C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形9．（2022春•奉贤区校级期末）如图，直线y＝−x+2与x轴，y轴分别交于点A、B，点C在y轴上，点D 为平面内一点，若四边形ACDB恰好构成一个菱形，请写出点D的坐标．10．（2022春•虹口区期中）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E是AC上一点，AE＝AB，EF∥BC 交AD于F，BE与AD交于G．求证：四边形BDEF是菱形．11．（2021春•杨浦区期末）如图，已知BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，垂足分别为E、D，联结CD、DE，DE与AB交于点O，CD∥AB．求证：四边形OBCD是菱形．12．（2021春•奉贤区期中）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为BC中点，BD⊥DC，EA平分∠DEB．（1）求证：AE＝DC；（2）求证：四边形ABED是菱形．三．菱形的判定与性质（共3小题）13．（2021春•黄浦区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，点E为BC的中点（1）求证：四边形AECD（2）联结BD，如果BD平分∠ABC，AD＝2，求BD的长．14．（2021春•徐汇区期中）如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如果DA平分∠BDE，AB＝5，AD＝6，求AC的长．15．（2021春•普陀区期中）已知，如图，在▱ABCD中，分别在边BC、AD上取两点，使得CE＝DF，连接EF，AE、BF相交于点O，若AE⊥BF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若四边形ABEF的周长为16，∠BEF＝120°，求AE的长．四．矩形的性质（共6小题）16．（2022春•青浦区校级期中）下面性质中菱形有而矩形没有的是（）A．邻角互补B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相平分17．（2022春•杨浦区校级期中）矩形的一条边长是a，两条对角线的夹角为60°，则矩形的另外一条边长等于（）A．a B．a C．a或a D．2a18．（2022春•长宁区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，点E、F分别在OA、OD上，EF ∥BC，求证：四边形BCFE是等腰梯形．19．（2022春•徐汇区期末）如图，将矩形ABCD的边BC延长至点E，使CE＝BD，联结AE交对角线BD 于点F，交边CD于点G，如果∠ADB＝38°，那么∠E的大小为．20．（2022春•宝山区校级月考）如图：在直角坐标系里点B（0，4），已知ABDO为矩形，∠DBO＝30°，则点A坐标为．21．（2021春•杨浦区校级期中）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，以AO，AB为邻边作平行四边形ABC1O，AC1交OB于点O1；以AO1，AB为邻边作平行四边形ABC2O1…，若S矩形ABCD＝a，则＝．五．矩形的判定（共6小题）22．（2022春•杨浦区校级期中）下列条件不能判定一个四边形是矩形的是（）A．四个内角都相等B．四条边都相等C．对角线相等且互相平分D．对角线相等的平行四边形23．（2022春•青浦区校级期中）四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，可添加条件（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB∥CD D．AC⊥BD24．（2021春•奉贤区期中）下列说法不正确的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．一个角是直角的四边形是矩形D．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形25．（2022春•虹口区期中）如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O，点O为CD的中点．求证：四边形DECF是矩形．证明：∵CE平分∠BCD，∴＝．∵EF∥BC，∴＝．于是，＝．同理，＝．（请继续完成证明过程）26．（2022春•奉贤区校级月考）如图，已知：在四边形ABCD中，E为边CD的中点，AE与边BC的延长线相交于点F，且AE＝EF，BC＝CF．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）当AF＝2BE时，求证：四边形ABCD是矩形．27．（2022春•静安区期中）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，点G、H分别在边AB、CD上，且AG＝CH．（1）求证：△AGE≌△CHF；（2）若∠AEG+∠BFG＝90°，求证：四边形EGFH是矩形．六．矩形的判定与性质（共3小题）28．（2022春•青浦区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，M为斜边AB上一动点，过点M分别作MD⊥AC于点D，作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为．29．（2022春•杨浦区校级期中）已知，如图，BE，BD是△ABC中∠ABC的内、外角平分线，AD⊥BD于D，AE⊥BE于点E，延长AE交BC的延长线于点N．求证：DE＝BN．30．（2022春•青浦区校级期中）如图，在四边形ABCD的中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝CO，△OAB是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是矩形；＝4，求BD的长．（2）若S四边形ABCD七．正方形的性质（共5小题）31．（2022春•静安区期中）如图，正方形ABCD中，延长BC到E，使CE＝CA，AE交CD于F，那么∠AFD＝．32．（2022春•浦东新区校级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为5厘米，EG∥AD，点H在边AD上，△CEH的面积为8平方厘米，则FG＝厘米．33．（2022春•杨浦区校级期中）如图，E为正方形ABCD外一点，AE＝AD，BE交AD于点F，则∠BED ＝°．34．（2022春•浦东新区校级期中）已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠ADE的度数是．35．（2022春•上海期中）在正方形ABCD中，边长为8，点P是对角线AC上一点，CP＝2，E是射线AB上一点，联结PE，射线PF⊥PE交直线AD于F，当AC＝CE时，AF＝．八．正方形的判定（共4小题）36．（2022春•长宁区校级期末）在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°．如果再添加一个条件可证明四边形是正方形，那么这个条件可以是（）A．AB＝BC B．AB＝CD C．AC＝BD D．∠D＝90°37．（2022春•杨浦区校级期中）下列命题为假命题的是（）A．四个内角相等的四边形是矩形B．对角线的交点到各边距离都相等的四边形是菱形C．有两组邻边相等的四边形是平行四边形D．一组邻边相等的矩形是正方形38．（2022春•宝山区校级月考）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．39．（2022春•上海期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为点N．（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？给出证明．九．正方形的判定与性质（共1小题）40．（2019•杨浦区二模）已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D、E分别是边AB、BC 的中点，点F、G是边AC的三等分点，DF、EG的延长线相交于点H，连接HA、HC．求证：（1）四边形FBGH是菱形；（2）四边形ABCH是正方形．巩固提升一、单选题1．（2022春·上海青浦·八年级校考期中）下面性质中菱形有而矩形没有的是（）A ．邻角互补；B ．对角线互相垂直；C ．对角线相等；D ．对角线互相平分．2．（2022秋·上海·八年级上外附中校考期末）如图，已知双曲线(0)ky x x=>经过矩形OABC 边AB 的中点F 且交BC 于E ，四边形OEBF 的面积为2，则()k =A ．1B ．2C ．4D ．83．（2022春·上海杨浦·八年级校考期中）下列条件不能判定一个四边形是矩形的是（）A ．四个内角都相等B ．四条边都相等C ．对角线相等且互相平分D ．对角线相等的平行四边形4．（2022春·上海·八年级上海市泗塘中学校考阶段练习）如图正方形ABCD 和正方形EFGH 全等，把点A 固定在正方形EFGH 的中心，当正方形ABCD 绕点A 转动时，两个正方形重叠部分的面积是正方形面积的（）A ．15B ．25C ．14D ．125．（2022春·上海·八年级上海市进才中学校考期中）下列命题不正确的是（）．A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B ．一组对角相等，一组邻角互补的四边形是平行四边形C ．一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形D ．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形6．（2022秋·上海·八年级阶段练习）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，动点P 满足S △PBC ＝14S 矩形ABCD ，则点P 到B ，C 两点距离之和PB +PC 的最小值为（）A B CD ．二、填空题7．（2022春·上海奉贤·八年级校考期中）在矩形ABCD 中∠ABC =90°，AC 和BD 相交于点O ，2AC AB =．则AOD ∠的度数等于_____．8．（2022春·上海·八年级校考期末）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，2COB AOB ∠=∠，8AB =，则BC 的长是______．9．（2022秋·上海杨浦·八年级校考期中）如图，把一张长方形的纸片ABCD 折叠起来，使其对角顶点A 、C 重合，若BC 长为a ，AB 长为()b a b >，其不重合部分的面积是_______．10．（2022春·上海青浦·八年级校考期末）如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，顺次联结▱ABCD 各边中点得到的一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①AC BD ⊥；②ABO CBO C C = ；③DAO CBO ∠=∠；④DAO BAO ∠=∠，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件可以是______．（填序号）11．（2022春·上海浦东新·八年级校考期中）如图所示，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =，P 为AB 上一动点(不与A 、B 重合)，作PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，连接EF ，则EF 的最小值是______．12．（2022春·上海青浦·八年级校考期末）已知：如图，在ABC 中，6AC =，8BC =，10AB =，点D 位于边AB 上，过点D 作边BC 的平行线交边AC 于点E ，过点D 作边AC 的平行线交边BC 于点F ，设AE x =，四边形CEDF 的面积为y ，则y 关于x 的函数关系式是______．（不必写定义域）13．（2022春·上海青浦·八年级校考期中）如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，延长BC 至点E ，使CE BC =，连接DE ，若70E ∠=︒，则OBC ∠=________．14．（2022春·上海·八年级上海市泗塘中学校考阶段练习）如图，菱形ABCD 中，BE AD ⊥于点E ，交AC 于F ，若E 为AD 中点，且4=AD ，则F 到AB 边的距离为____________．15．（2022春·上海·八年级校考期中）已知菱形ABCD 中，对角线12AC =，16BD =，则菱形ABCD 的面积是______．16．（2022春·上海宝山·八年级校考阶段练习）如图，ABC ∆中，已知AD 是BAC ∠的平分线，E 、F 分别是边AB AC 、的中点，联结DE DF 、，要使四边形AEDF 为菱形，ABC ∆需要满足一定的条件，该条件可以是______．17．（2022春·上海浦东新·八年级上海市张江集团中学校考期中）如图，在 ABCD 和 BEFG 中，AB ＝AD ，BG ＝BE ，点A 、B 、E 在同一直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG ，PC ．若∠ABC ＝∠BEF ＝60°，则PCPG=________．18．（2022春·上海·八年级上海市张江集团中学校考期中）如图，在 ABCD 和 BEFG 中，AB ＝AD ，BG＝BE ，点A 、B 、E 在同一直线上，P 是线段DF 的中点，联结PG ，PC ．若∠ABC ＝∠BEF ＝60°，则PCPG＝________．19．（2022春·上海青浦·八年级校考期中）如图，平面内直线1234l l l l ∥∥∥，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD 的4个顶点分别在4条平行线上，则正方形的面积为_________．20．（2022春·上海·八年级校考期中）如图，E 为正方形ABCD 外一点，AE AD =，BE 交AD 于点F ，则BED ∠= ______︒．21．（2022春·上海浦东新·八年级校考期中）如图，已知在矩形纸片ABCD 中，2AB =，BC =E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将AEF △沿EF 所在直线翻折，得到A EF '△，连接A C '，A D '，则当A DC '△是以A D '为腰的等腰三角形时，AF 的长是_______________．22．（2022春·上海·八年级校考期中）在正方形ABCD 中，边长为8，点P 是对角线AC 上一点，CP =E 是射线AB 上一点，联结PE ，射线PF PE ⊥交直线AD 于F ，当AC CE =时，AF =______．23．（2022春·上海长宁·八年级上海市民办新世纪中学校考期末）如图，四边形ABCD 中，AC a =，BD b =，顺次连接四边形ABCD 各边的中点，得到四边形1111D C B A ，再顺次连接四边形1111D C B A 各边的中点，得到四边形2222A B C D ；…；如此进行下去，得到四边形n n n n A B C D ，那么四边形15151515A B C D 的周长为________．三、解答题24．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）已知：如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2BC =．对角线AC 的垂直平分线分别交AB 、CD 于点E 、F ．求线段CF 的长．25．（2022春·上海宝山·八年级校考阶段练习）如图，已知梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 、G 分别是AB 、CD 的中点，点F 在边BC 上，且1()2BF AD BC =+．(1)求证：四边形AEFG 是平行四边形；(2)连接AF ，若AG 平分FAD ∠，求证：四边形AEFG 是矩形．26．（2022春·上海·八年级上海同济大学附属存志学校校考期中）如图1，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ．(1)当90ABC ∠=︒时，G 是EF 的中点，联结,DB DG （如图2），请直接写出BDG ∠的度数______．(2)当120ABC ∠=︒时，FG CE ∥，且FG CE =，分别联结DB 、DG （如图3），求BDG ∠的度数．27．（2022春·上海杨浦·八年级校考期中）已知：如图菱形ABCD ，点E ，F 分别为边BC ，CD 上的动点（不与端点重合），且∠EAF =∠B =60°．(1)求证：AE =AF ；(2)如果AB =8，设BE =x ，AE =y ，求y 与x 的函数关系式和定义域；(3)在（2）的基础上，当x 取何值时，AEF S △与CEF S △面积比值为7．28．（2022春·上海·八年级上海市泗塘中学校考阶段练习）如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是DB 延长线上一点，且ACE △是等边三角形．(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若2AEB EAB ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．29．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，过点A 作AE ∥BC ，过点D 作DE ∥AB ，DE 与AC 、AE 分别交于点O 、点E ，连接EC ．(1)求证：AD ＝EC ；(2)若BC ＝2AD ，AB ＝AO ＝m ，求证：S 四边形ADCE ＝m 2．（其中S 表示四边形ADCE 的面积）30．（2022春·上海·八年级校考阶段练习）如图，已知ABC ，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，点D 在边BC 上，DE AB ⊥，垂足为点E ，以DE 为边作正方形DEFG ，点F 在边AB 上，且位于点E 的左侧，联结AG ．(1)设DE x =，AG y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；(2)当四边形ABDG 是等腰梯形时，求DE 的长；(3)联结BG ，当AGB 是等腰三角形时，求正方形DEFG 的面积．31．（2022春·上海·八年级校考期中）如图，在ABC 中，=AB AC ，AD BC ⊥，垂足为点D AN ，是ABC 外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点N ．(1)求证：四边形ADCE为矩形；满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？给出证明．(2)当ABC32．（2022春·上海·八年级上海市泗塘中学校考阶段练习）如图：已知在平面直角坐标系中，OADC是矩形，OA=，52OC=，点P是边AD边上一动点，联结CP，将四边形AOCP沿CP所在直线翻折，落在EFCP的位置，点A、B的对应点分别为点E、F，边CF与边AD的交点为点G．(1)当P 坐标为()2,2时，求G 点坐标，和直线CF 的解析式．(2)过G 作GH PC ⊥交OC 于H ，若(),2P x ；(),0H y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；(3)联结OP 并延长与线段CF 交于点M ，当PGM △时以MG 为腰的等腰三角形时求P 点坐标．33．（2022春·上海·八年级上海市张江集团中学校考期末）【探究与应用】我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．例如：在平行四边形ABCD 中，AB BC ≠，将△ABC 沿直线AC 翻折至△AEC ，连结DE ，则AC ∥ED ．(1)如图1，若AD 与CE 相交于点O ，证明以上个结论；(2)如图2，AD 与CE 相交于点O ，若90B = ∠，2AB =，2BC =，求△AOC 的面积；(3)如果45B ∠= ，2BC =，当A 、C 、D 、E 为顶点的四边形是正方形时，请画图并求出AC 的长；(4)如果30B ∠= ，3AB =，当△AED 是直角三角形时，直接写出BC 的长．。

2023~2024学年新沪教版八年级下《22.3 特殊的平行四边形》易错题集二

2023~2024学年新沪教版八年级下《22.3 特殊的平行四边形》易错题集二考试总分：102 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 2 小题，每题 3 分，共计6分）1. 如图，是的中线，点是的中点，过点作交的延长线于点，连接，添加下列条件仍不能判断四边形是菱形的是 A.B.C.平分D.2. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A.四个角都是直角B.对角线互相垂直C.对角线互相平分D.对边平行且相等卷II （非选择题）二、填空题（本题共计 2 小题，每题 3 分，共计6分）3. 如图，在矩形中，,，是边的一个动点(不与重合).过点的反比例函数的图像与边交于点，使的面积最大的的值是________.AD △ABC O AC A AE//BC DO E CE AECD ()AB ⊥ACAB =ACAC ∠DAEA +A =B B 2C 2C 2OABC OA =2OC =4F BC F B ，C F y =(k >0)k xAB E △EFC k4. 如图，四边形中，对角线，相交于点，，，平分．欲使四边形是正方形，则还需添加添加________（写出一个合适的条件即可）三、解答题（本题共计 9 小题，每题 10 分，共计90分）5. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点与点关于原点对称．（1）直接写出点的坐标；（2）若正方形的顶点在轴左侧．①在坐标系中画出正方形；②直接写出边与轴交点的坐标． 6. 在中，，，为直线上一动点（点不与，重合）．以为边作正方形，连接．如图，当点在线段上时，求证：①．②．如图，当点在线段的延长线上时，其它条件不变，请直接写出，，三条线段之间的关系；如图，当点在线段的反向延长线上时，且点，分别在直线的两侧，其它条件不变：①请直接写出，，三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线，，交点为，连ABCD AC BD O AD //BC OA =OC AC ∠BAD ABCD A (−3,4)C A O C ABCD B y ABCD AB x M △ABC ∠BAC =90∘AB =AC D BC D B C AD ADEF CF (1)1D BC BD ⊥CF CF =BC −CD (2)2D BC CF BC CD (3)3D BC A F BC CF BC CD AE DF O OC △AOC接，探究的形状，并说明理由． 7.在四边形中，，平分，平分．（1）如图，求证：四边形是菱形；（2）如图，过点作交延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与面积相等的三角形（除外） 8. 已知在中，＝，以为直径的分别交于，于，连接．（1）求证：＝；（2）若＝，＝，求的长．9. 已知：如图，是正方形的边上任意一点，是边上的点，且平分．求证：．10. 如图，已知四边形为正方形，点为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接．求证：矩形是正方形；判断，与之间的数量关系，并给出证明．11. 如图，在中，，延长到点，使，点，分别为，的中点．OC △AOC ABCD AD //BC AC ∠BAD BD ∠ABC 1ABCD 2D DE ⊥BD BC E △CDE △CDE △ABC AB AC AB ⊙O AC D BC E ED ED EC CD 3EC 23–√AB E ABCD CD F AD BF ∠ABE BE =AF +CE ABCD E AC DE E EF ⊥DE BC F DE EF DEFG CG (1)DEFG (2)CE CG AB Rt △ABC ∠BAC =90∘BA D AD =AB 12E F BC AC求证：四边形是平行四边形；若，求的长；若，且，求四边形的面积． 12.如图，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．求证：；如图，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，证明：．13. 某校八年级数学兴经小组在研究等腿立角三角形与图形变换时，作了如下研究．在中，点为直线上一动点（点不与重创，以为腿作等腿直角三角意使．连接．如图．当点在线段上时．与的位置关系为________.之间的数量关系为________（直接与出结论）：(1)AEFD (2)BC =10cm DF (3)BC =10cm ∠C =30∘AEFD (1)1ABCD E AB F AD DF =BE CE =CF (2)2ABCD E AB G AD ∠GCE =45∘GE =BE +GD △ABC ∠EAC −90,AB =AC D BC D C B B AD DA ∠DDA =90.CF 1D BC (1)CF BC (2)CFDCBC参考答案与试题解析2023~2024学年新沪教版八年级下《22.3 特殊的平行四边形》易错题集二一、选择题（本题共计 2 小题，每题 3 分，共计6分）1.【答案】B【考点】菱形的判定【解析】此题暂无解析【解答】解：，,∵点是的中点，，，，四边形是平行四边形，当，即,是的中线，，四边形是菱形，故，选项不符合题意；若平分,则，，∴四边形是菱形，故选项不符合题意；当添加时，不能判断四边形是菱形，故选项符合题意.故选.2.【答案】A【考点】矩形的性质∵AE//BC ∴∠OAE =∠OCD,∠OEA =∠ODC O AC ∴OA =OC ∴△OAE ≅△OCD(AAS)∴OD =OE ∴AECD A +A =B B 2C 2C 2AB ⊥AC ∵AD △ABC ∴AD =BC =CD 12∴AECD A D AC ∠DAE ∠DAC =∠EAC =∠DCA ∴AD =CD AECD C AB =AC AECD B B菱形的性质【解析】总结出矩形和菱形的性质，再找出矩形具有而菱形不一定具有的性质即可．【解答】解：矩形的性质有①矩形的对边平行且相等，②矩形的对角相等，且四个角都是直角，③矩形的对角线互相平分且相等，菱形的性质有：①菱形的对边平行，且四条边都相等，②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分，且垂直，并且每一条对角线平分一组对角，∴矩形具有而菱形不一定具有的性质是：个角都是直角和对角线相等，∴选项，，都不对，只有选项对.故选.二、填空题（本题共计 2 小题，每题 3 分，共计6分）3.【答案】【考点】反比例函数综合题一元二次方程的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：根据图像可知点坐标为，由点和点在反比例函数上，则点横坐标为，点纵坐标为，∴,所以当时三角形面积最大.故答案为：.4.【答案】或4B C D A A 4B (2，4)F E y =k x F k 14E k 12=⋅k ⋅(4−k)S △EFC 121412=−(−8k +16)+1116k 2=−(k −4+1116)2k =44AC =BD ∠BAD =90∘【考点】正方形的判定与性质【解析】先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为菱形，根据正方形的判定，即可解答．【解答】解：∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∵平分∴，∵，∴，∴，∴，∴四边形为菱形，∴当或，四边形为正方形，故答案为：或．三、解答题（本题共计 9 小题，每题 10 分，共计90分）5.【答案】点的坐标为；①如图，正方形为所作；②设直线的解析式为＝，把，代入得，解得，ABCD ABCD AD //BC ∠DAO =∠BCO △AOD △COB ∠DAO =∠BCOOA =OC ∠AOD =∠COB△AOD ≅△COB OB =OD OA =OC ABCD AC ∠BAD∠DAC =∠BAC AD //BC ∠DAC =∠BCA ∠BAC =∠BCA BA =BC ABCD AC =BD ∠BAD =90∘ABCD AC =BD ∠BAD =90∘C (3,−4)ABCD AB y kx +b A(−3,4)B(−4,−3){ −3k +b =4−4k +b =−3{ k =7b =25AB所以直线的解析式为＝，当＝时，＝，解得，所以点的坐标为．【考点】作图-旋转变换正方形的性质【解析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出点坐标；（2）①把点绕原点逆时针旋转得到点，再确定点关于原点的对称点，则四边形为所作；②利用待定系数法求出的解析式，然后利用轴上点的坐标特征求点的坐标．【解答】点的坐标为；①如图，正方形为所作；②设直线的解析式为＝，把，代入得，解得，所以直线的解析式为＝，当＝时，＝，解得，所以点的坐标为．6.【答案】证明：①∵，，∴.∵四边形是正方形，∴，.∵，，∴.AB y 7x +25y 07x +250x =−257M (−,0)257C A 90∘B B D ABCD AB x M C (3,−4)ABCD AB y kx +b A(−3,4)B(−4,−3){−3k +b =4−4k +b =−3{ k =7b =25AB y 7x +25y 07x +250x =−257M (−,0)257(1)∠BAC =90∘AB =AC ∠ABC =∠ACB =45∘ADEF AD =AF ∠DAF =90∘∠BAC =∠BAD +∠DAC =90∘∠DAF =∠CAF +∠DAC =90∘∠BAD =∠CAF △BAD △CAF在和中，∴，∴，∴，∴；②由①可得，∵，∴.解：与同理可得，∴，∴.解：①与同理可得，，∴，∴；②是等腰三角形，理由如下：∵，，∴，则.∵四边形是正方形，∴，.∵，，∴，在和中，∴，∴，∴，则为直角三角形.∵正方形中，为中点，∴.∵在正方形中，，，∴，∴是等腰三角形．【考点】正方形的性质等腰直角三角形全等三角形的性质与判定直角三角形斜边上的中线等腰三角形的判定【解析】△BAD △CAF AB =AC,∠BAD =∠CAF,AD =AF,△BAD ≅△CAF(SAS)∠ACF =∠ABD =45∘∠ACF +∠ACB =90∘BD ⊥CF △BAD ≅△CAF BD =CF BD =BC −CD CF =BC −CD (2)(1)△BAD ≅△CAF BD =CF CF =BC +CD (3)(1)△BAD ≅△CAF BD =CF CF =CD −BC △AOC ∠BAC =90∘AB =AC ∠ABC =∠ACB =45∘∠ABD =−=180∘45∘135∘ADEF AD =AF ∠DAF =90∘∠BAC =∠BAF +∠CAF =90∘∠DAF =∠BAD +∠BAF =90∘∠BAD =∠CAF △BAD △CAF AB =AC,∠BAD =∠CAF,AD =AF,△BAD ≅△CAF(SAS)∠ACF =∠ABD =−=180∘45∘135∘∠FCD =∠ACF −∠ACB =90∘△FCD ADEF O DF OC =DF 12ADEF OA =AE 12AE =DFOC =OA △AOC ∠ABC =∠ACB =45∘(1)①根据等腰直角三角形的性质可得，再根据正方形的性质可得，，然后利用同角的余角相等求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再求出，从而得证；②根据全等三角形对应边相等可得，从而求出；【解答】证明：①∵，，∴.∵四边形是正方形，∴，.∵，，∴.在和中，∴，∴，∴，∴；②由①可得，∵，∴.解：与同理可得，∴，∴.解：①与同理可得，，∴，∴；②是等腰三角形，理由如下：∵，，∴，则.∵四边形是正方形，∴，.∵，，∴，在和中，∴，∴，∴，则为直角三角形.∵正方形中，为中点，∴.∵在正方形中，，，∠ABC =∠ACB =45∘AD =AF ∠DAF =90∘∠BAD =∠CAF △BAD △CAF ∠ACF =∠ABD ∠ACF +∠ACB =90∘BD =CF CF =BC −CD (1)∠BAC =90∘AB =AC ∠ABC =∠ACB =45∘ADEF AD =AF ∠DAF =90∘∠BAC =∠BAD +∠DAC =90∘∠DAF =∠CAF +∠DAC =90∘∠BAD =∠CAF △BAD △CAF AB =AC,∠BAD =∠CAF,AD =AF,△BAD ≅△CAF(SAS)∠ACF =∠ABD =45∘∠ACF +∠ACB =90∘BD ⊥CF △BAD ≅△CAF BD =CF BD =BC −CD CF =BC −CD (2)(1)△BAD ≅△CAF BD =CF CF =BC +CD (3)(1)△BAD ≅△CAF BD =CF CF =CD −BC △AOC ∠BAC =90∘AB =AC ∠ABC =∠ACB =45∘∠ABD =−=180∘45∘135∘ADEF AD =AF ∠DAF =90∘∠BAC =∠BAF +∠CAF =90∘∠DAF =∠BAD +∠BAF =90∘∠BAD =∠CAF △BAD △CAF AB =AC,∠BAD =∠CAF,AD =AF,△BAD ≅△CAF(SAS)∠ACF =∠ABD =−=180∘45∘135∘∠FCD =∠ACF −∠ACB =90∘△FCD ADEF O DF OC =DF 12ADEF OA =AE 12AE =DFOC =OA∴，∴是等腰三角形．7.【答案】证明：∵平分，∴＝，∵，∴＝，∴＝＝，∴＝，设、相交于点，又∵平分，∴＝，，在和中，，∴，∴＝，∵，∴四边形是平行四边形，又∵＝，∴四边形是菱形；∵，，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴＝＝，∴图中所有与面积相等的三角形有，，，．【考点】菱形的判定与性质作图—基本作图【解析】（1）根据角平分线的定义可得＝，据两直线平行，内错角相等可得＝，然后求出＝＝，再根据等角对等边可得＝，再根据等腰三角形三线合一可得＝，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得＝，再根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；（2）根据等底等高的三角形的面积相等即可得到结论．【解答】OC =OA △AOC BD ∠ABC ∠ABD ∠CBD AD //BC ∠ADB ∠CBD ∠ABD ∠ADB ∠CBD AB AD AC BD O AC ∠BAD BO DO AC ⊥BD △AOD △COB ∠ADB =∠CBDOB =OD ∠AOD =∠COB =90△AOD ≅△COB(ASA)AD BC AD //BC ABCD AB AD ABCD DE ⊥BD AC ⊥BD AC //DE AD //CE ACED BC AD CE △CDE △BCD △ABD △ACD △ABC ∠ABD ∠CBD ∠ADB ∠CBD ∠ABD ∠ADB ∠CBD AB AD BO DO △AOD △COB AD BC ABCD ∠ABC证明：∵平分，∴＝，∵，∴＝，∴＝＝，∴＝，设、相交于点，又∵平分，∴＝，，在和中，，∴，∴＝，∵，∴四边形是平行四边形，又∵＝，∴四边形是菱形；∵，，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴＝＝，∴图中所有与面积相等的三角形有，，，．8.【答案】∵＝、＝，∴＝，又∵＝，∴＝，∴＝，∴＝；连接，∵是直径，∴，又∵＝，∴＝＝，∵＝、＝，∴，BD ∠ABC ∠ABD ∠CBD AD //BC ∠ADB ∠CBD ∠ABD ∠ADB ∠CBD AB AD AC BD O AC ∠BAD BO DO AC ⊥BD △AOD △COB ∠ADB =∠CBDOB =OD ∠AOD =∠COB =90△AOD ≅△COB(ASA)AD BC AD //BC ABCD AB AD ABCD DE ⊥BD AC ⊥BD AC //DE AD //CE ACED BC AD CE △CDE △BCD △ABD △ACD △ABC ∠EDC +∠EDA 180∘∠B +∠EDA 180∘∠B ∠EDC AB AC ∠B ∠C ∠EDC ∠C ED EC AE AB AE ⊥BC AB AC BC 2EC 43–√∠B ∠EDC ∠C ∠C △ABC ∽△EDC AB :EC BC :CD∴＝，又∵＝、＝、＝，∴＝．【考点】等腰三角形的性质圆周角定理【解析】（1）由圆内接四边形的性质知＝，根据＝即＝得＝，即可得证；（2）连接，得，结合＝知＝＝，证即可得．【解答】∵＝、＝，∴＝，又∵＝，∴＝，∴＝，∴＝；连接，∵是直径，∴，又∵＝，∴＝＝，∵＝、＝，∴，∴＝，又∵＝、＝、＝，∴＝．9.【答案】证明：延长到，使，连接，∵，，∴，AB :EC BC :CD EC 23–√BC 43–√CD 3AB 8∠B ∠EDC AB AC ∠B ∠C ∠EDC ∠C AE AE ⊥BC AB AC BC 2EC 43–√△ABC ∽△EDC ∠EDC +∠EDA 180∘∠B +∠EDA 180∘∠B ∠EDC AB AC ∠B ∠C ∠EDC ∠C ED EC AE AB AE ⊥BC AB AC BC 2EC 43–√∠B ∠EDC ∠C ∠C △ABC ∽△EDC AB :EC BC :CD EC 23–√BC 43–√CD 3AB 8DC G CG =AF BG AB =BC ∠A =∠BCG =90∘△ABF ≅△CBG ∠5=∠G ∠1=∠3∴，.∵，∴，∴，即.∵，∴，∴，∴．【考点】正方形的性质全等三角形的性质与判定【解析】先延长到，使，连接，易证，得，，进而证明，进而证明．【解答】证明：延长到，使，连接，∵，，∴，∴，.∵，∴，∴，即.∵，∴，∴，∴．10.【答案】证明：如图，作，，∴，∵点是正方形对角线上的点，∠5=∠G ∠1=∠3∠1=∠2∠2=∠3∠2+∠4=∠3+∠4∠FBC =∠EBG AD //BC ∠5=∠FBC =∠EBG ∠EBG =∠G BE =CG +CE =AF +CE DC G CG =AF BG △ABF ≅△CBG∠5=∠G ∠1=∠3∠EBG =∠G BE =CG +CE =AF +CE DC G CG =AF BG AB =BC ∠A =∠BCG =90∘△ABF ≅△CBG ∠5=∠G ∠1=∠3∠1=∠2∠2=∠3∠2+∠4=∠3+∠4∠FBC =∠EBG AD //BC ∠5=∠FBC =∠EBG ∠EBG =∠G BE =CG +CE =AF +CE (1)EM ⊥BC EN ⊥CD ∠MEN =90∘E ABCD∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∵四边形是矩形，∴矩形是正方形.解：，理由如下：∵正方形和正方形，∴，，∵，∴，∴，∴．∴.【考点】全等三角形的性质与判定正方形的判定与性质【解析】（1）作出辅助线，得到，然后判断，得到，则有即可；（2）同（1）的方法判断出得到，即：；【解答】证明：如图，作，，∴，∵点是正方形对角线上的点，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∵四边形是矩形，EM =EN ∠DEF =90∘∠DEN =∠MEF △DEN △FEM ∠DNE =∠FME ，EN =EM ，∠DEN =∠FEM ，△DEN ≅△FEM EF =DE DEFG DEFG (2)CE +CG =AB 2–√DEFG ABCD DE =DG AD =DC ∠CDG +∠CDE =∠ADE +∠CDE =90∘∠CDG =∠ADE △ADE ≅△CDG AE =CG CE +CG =CE +AE =AC =AB 2–√EN =EM ∠DEN =∠FEM △DEM ≅△FEM DE =EF △ADE ≅△CDG CG =AE CE +CG =CE +AE =AC =4(1)EM ⊥BC EN ⊥CD ∠MEN =90∘E ABCD EM =EN ∠DEF =90∘∠DEN =∠MEF △DEN △FEM ∠DNE =∠FME ，EN =EM ，∠DEN =∠FEM ，△DEN ≅△FEM EF =DE DEFG DEFG∴矩形是正方形.解：，理由如下：∵正方形和正方形，∴，，∵，∴，∴，∴．∴.11.【答案】证明：点，分别为，的中点，即是的中位线，，，即，，，四边形是平行四边形.解：在中，，点为边的中点，，四边形是平行四边形，.，，.在中，，，，∴，点为边的中点，，，．【考点】三角形中位线定理平行四边形的判定平行四边形的性质直角三角形斜边上的中线勾股定理含30度角的直角三角形DEFG (2)CE +CG =AB 2–√DEFG ABCD DE =DG AD =DC ∠CDG +∠CDE =∠ADE +∠CDE =90∘∠CDG =∠ADE △ADE ≅△CDG AE =CG CE +CG =CE +AE =AC =AB 2–√(1)∵E F BC AC EF △ABC ∴EF//AB EF =AB 12EF//AD ∵AD =AB 12∴EF =AD ∴AEFD (2)Rt △ABC ∠BAC =90∘E BC ∴AE =BC =×10=5(cm)1212∵AEFD ∴DF =AE =5cm (3)∵EF//AB ∠BAC =90∘∴∠EFC =90∘Rt △EFC ∠C =30∘CE =AE =5cm ∴EF =EC =cm 1252CF ==(cm)C −E E 2F 2−−−−−−−−−−√53–√2∵F AC ∴AF =CF =cm 53–√2∴=AF ⋅EF =××=(c )S △AEF 121253–√252253–√8m 2∴=2=c S 四边形AEFD S △AEF 253–√4m 2三角形的面积【解析】左侧图片未给出解析左侧图片未给出解析左侧图片未给出解析【解答】证明：点，分别为，的中点，即是的中位线，，，即，，，四边形是平行四边形.解：在中，，点为边的中点，，四边形是平行四边形，.，，.在中，，，，∴，点为边的中点，，，．12.【答案】证明：∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴．∴．如图，延长至，使，连接．(1)∵E F BC AC EF △ABC ∴EF//AB EF =AB 12EF//AD ∵AD =AB 12∴EF =AD ∴AEFD (2)Rt △ABC ∠BAC =90∘E BC ∴AE =BC =×10=5(cm)1212∵AEFD ∴DF =AE =5cm (3)∵EF//AB ∠BAC =90∘∴∠EFC =90∘Rt △EFC ∠C =30∘CE =AE =5cm ∴EF =EC =cm 1252CF ==(cm)C −E E 2F 2−−−−−−−−−−√53–√2∵F AC ∴AF =CF =cm 53–√2∴=AF ⋅EF =××=(c )S △AEF 121253–√252253–√8m 2∴=2=c S 四边形AEFD S △AEF 253–√4m 2(1)ABCD BC =CD ∠B =∠CDF =90∘∠ADC =90∘∠FDC =90∘∠B =∠FDC BE =DF △CBE ≅△CDF(SAS)CE =CF (2)AD F DF =BE CF由知，∴，∴，即，又∵，∴．∵，，∴．∴，∴．【考点】正方形的性质全等三角形的性质与判定【解析】由四边形是正方形，易证得，即可得；首先延长至，使，连接，由（1）知，易证得，又由，可得，即可证得，继而可得；【解答】证明：∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴．∴．如图，延长至，使，连接．由知，(1)△CBE ≅△CDF ∠BCE =∠DCF ∠BCE +∠ECD =∠DCF +∠ECD ∠ECF =∠BCD =90∘∠GCE =45∘∠GCF =∠GCE =45∘CE =CF GC =GC △ECG ≅△FCG GE =GF GE =GF =DF +GD =BE +GD (1)ABCD △CBE ≅△CDF(SAS)CE =CF (2)AD F DF =BE CF △CBE ≅△CDF ∠ECF =∠BCD =90∘∠GCE =45∘∠GCF =∠GCE =45∘△ECG ≅△FCG GE =BE +GD (1)ABCD BC =CD ∠B =∠CDF =90∘∠ADC =90∘∠FDC =90∘∠B =∠FDC BE =DF △CBE ≅△CDF(SAS)CE =CF (2)AD F DF =BE CF (1)△CBE ≅△CDF ∠BCE =∠DCF∴，∴，即，又∵，∴．∵，，∴．∴，∴．13.【答案】垂直,解：成立，不成立，结论：．理由如下：在等腰直角中，，，在与中，，，，，，，，，.，，.【考点】全等三角形的性质与判定等腰直角三角形垂线【解析】①由，可得，推出，根据全等三角形的性质即可得到结论.②根据全等三角形的性质得到，再等量代换即可得到答案.由，可得，推出，根据全等三角形的性质即可得到结论.【解答】解：在等腰直角中，，，在与中，∠BCE =∠DCF ∠BCE +∠ECD =∠DCF +∠ECD ∠ECF =∠BCD =90∘∠GCE =45∘∠GCF =∠GCE =45∘CE =CF GC =GC △ECG ≅△FCG GE =GF GE =GF =DF +GD =BE +GD BC =CF +CDCF ⊥BC BC =CD +CF CD =CF +BC △ADF AD =AF ∵∠BAC =∠DAF =90∘∴∠BAD =∠CAF△DAB △FAC AD =AF ，∠BAD =∠CAF ，AB =AC ，∴△DAB ≅△FAC (SAS)∴∠ABD =∠ACF DB =CF ∵∠BAC =90∘AB =AC ∴∠ACB =∠ABC =45∘∴∠ABD =−=180∘45∘135∘∴∠BCF =∠ACF −∠ACB =−=9135∘45∘0∘∴CF ⊥BC ∵CD =DB +BC DB =CF ∴CD =CF +BC ∠BAC =∠DAF =90∘∠BAD =∠CAF △DAB ≅△FAC CF =BD (2)∠BAC =∠DAF =90∘∠BAD =∠CAF △DAB ≅△FAC ①△ADF AD =AF ∵∠BAC =∠DAF =90∘∴∠BAD =∠CAF△DAB △FAC AD =AF ，，，，即.故答案为：垂直.，.，.故答案为：.解：成立，不成立，结论：．理由如下：在等腰直角中，，，在与中，，，，，，，，，.，，. AD =AF ，∠BAD =∠CAF ，AB =AC ，∴△DAB ≅△FAC (SAS)∴∠B =∠ACF ∴∠DCF =∠ACB +∠ACF =∠ACB +∠B =90∘BC ⊥CF ②∵△DAB ≅△FAC ∴CF =BD ∵BC =BD +DC ∴BC =CF +CD BC =CF +CD CF ⊥BC BC =CD +CF CD =CF +BC △ADF AD =AF ∵∠BAC =∠DAF =90∘∴∠BAD =∠CAF△DAB △FAC AD =AF ，∠BAD =∠CAF ，AB =AC ，∴△DAB ≅△FAC (SAS)∴∠ABD =∠ACF DB =CF ∵∠BAC =90∘AB =AC ∴∠ACB =∠ABC =45∘∴∠ABD =−=180∘45∘135∘∴∠BCF =∠ACF −∠ACB =−=9135∘45∘0∘∴CF ⊥BC ∵CD =DB +BC DB =CF ∴CD =CF +BC。