2.1一元二次方程定义

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北师大版九年级数学上册2.1：认识一元二次方程教学案

学科讲义·初三数学上数学课时，必须全神贯注，心无旁骛，专心听讲，一旦走神，就再也融不进数学老师的世界里了1 第二章一元二次方程第一节认识一元二次方程学习目标 1.理解一元二次方程及其相关概念，会判断满足一元二次方程的条件．(重点)2.能够利用一元二次方程的定义求字母的值；用一元二次方程的根求代数式的值。

3.体会方程的模型思想。

（难点）知识点1：一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。

②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是2. 同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

知识点2：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。

其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。

注意：(1)将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正，化分为整；(2)一元二次方程化为一般形式后，若没有出现一次项bx ，则b ＝0；若没有出现常数项，则c ＝0.（3）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（4）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

知识点解析学科讲义·初三数学数学老师以4G 的速度讲课，学霸以WiFi 的速度听着，学神以3G 的速度记着，而学渣当场掉线，And you? 2 （5）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。

知识点3：一元二次方程的解（1）使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。

一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

认识一元二次方程北师大版九年级数学上册

符合要求的范围．
课堂练习
1. 下表是某同学求代数式x²－x的值的情况，根据表格可知方程x²－x＝2的解是( D )
x x2－x
－2 －1 0 1 2 3 …
6
2 0026…
A. x＝－1 C. x＝2
B. x＝0 D. x1＝－1，x2＝2
课堂练习
2. 根据表格，选取一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个近似解取值范围（ C ）
解：设所求的宽度为 x m，根据题意可列方程：
(8 - 2x) (5 - 2x) =18
新知讲解
x 满足方程（8-2x）（5-2x）=18．
（1）x 可能小于 0 吗？可能大于 4 吗？可能大于 2.5 吗？说说你的理由.
x 不可能小于 0，因为当x＜0时，不符合题意；不可能大于4，因为当x＞4时，8-2x＜0，不符合题意；不可能大于2.5，因为当x＞2.5时，5-2x＜0不符合题意.
2.1 认识一元二次方程
新知导入
1. 什么是一元二次方程？只含有一个未知数 x 的整式方程 1 ，并且都可以化成ax²+bx +c ＝0（a,b,c 为常数,a ≠ 0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
2. 把一元二次方程3x²+2x=5化成一元二次方程的一般形式，并说出它的二次项、一次项系数和常数项．
1 ＜ x＜1.5
x²+12x -15=0
新知讲解
你还能进一步
缩小范围吗？（3）你能猜出滑动距离 x（m）的大致范围吗？
x
x²+12x-15=0
1.1 -0.59
1.2 0.84
1.3 2.29
1.4 3.75

2.1一元二次方程_(1)

•
想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
‹# ›
一元一次方程与一元二次方程区别与联系？
一元一次方程一般式相同点 ax+b=0 (a≠0）一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数不同点未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
‹# ›
“行家”看“门例1、下列方程哪些是一元二次方程?解: (1)、 (4) 道”
回顾与思考1
如图：点C把线段AB分成两条线段AC和BC,且
AC BC , AB AC 求AC与AB的比
A
解：
设AB=1 AC=x
AC BC , 因为 AB AC
C
B
则BC=1-x 所以 AC2=AB· BC.
可得: x2=1-x
‹# ›
回顾与思考
☞
一元二次方程的概念
由上面三个问题，我们可以得到三个方程： (173-x)x=7140 即 x2 - 173x +7140 = 0 . 2 +7x -36＝0. 即 x 2 2 2 x ＋(x＋7) ＝11 2 ＋x －1 ＝0. 2 即 x x =1-x
探索思考
☞
(1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0 1 2 (3)2x －－ 3x －1 ＝0 2 y (4) － 2 ＝0 (5)x2＋2x－3＝1＋x2
‹# ›
想一想
培养能力之阵地
例２.把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项解：将原方程化简为：． 9x2＋12x＋4＝4(x2－6x＋9) 9x2＋12x＋4＝ 4 x2 －24x ＋36 9x2 － 4 x2 ＋ 12x ＋ 24x ＋ 4 － 36＝0 5x2 ＋ 36 x － 32＝0 5 常数项为－ 32 . 二次项系数为 5，一次项系数为36 ，注意：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的

一元二次方程两根和_概述说明以及解释

一元二次方程两根和概述说明以及解释1. 引言1.1 概述一元二次方程在数学中扮演着重要的角色，它是高中阶段数学课程的重点内容之一。

通过解一元二次方程，我们可以找到方程的根，即方程等式两侧相等的值。

而本文将聚焦于探讨一元二次方程两根和这一特定概念。

1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、正文、解释两根和的计算方法、应用举例分析与证明以及结论。

在引言中，我们将简要介绍文章的概述、结构以及目的；正文部分将详细阐述一元二次方程、根的概念以及两根和的重要性；接下来，我们会解释计算两根和的方法，并讨论特殊情况；随后，我们会通过实际生活中的应用场景分析和数学上的证明方法应用举例解析来展示该理论的实际意义和有效性；最后，在结论部分，我们将总结文章主要内容并提出未来研究方向建议。

1.3 目的本文旨在揭示一元二次方程中两根和这一概念对于数学理论和实际应用领域的重要性。

通过本文的探讨，读者可以更好地理解一元二次方程的基本概念和特点，并学会如何计算两根和以及探寻其在各个领域中的应用价值。

同时，本文还旨在为未来研究提供参考和指导，鼓励更多深入探索与发现。

2. 正文:2.1 一元二次方程介绍:一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中a, b 和c 是实数且a ≠0。

它是数学中重要的代数方程之一，常被用于描述各种现象和问题。

2.2 一元二次方程的根的概念:一元二次方程的根指的是满足该方程的变量值。

对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果存在实数解，则称其为实根；如果存在复数解，则称其为复根。

通过求解一元二次方程的根，我们可以获得关于变量x 的特定值来满足等式。

2.3 两根和的重要性:"两根和"指的是一元二次方程的两个实根之和。

计算两根和有助于研究方程性质、解析曲线、确定函数最值等问题。

在应用中，例如物理学中的运动学问题或经济学中的成本与收益分析等领域，计算两根和也具有重要意义。

2.1 一元二次方程(求根公式法)

-2 16 x= • 得 -6 1 • 所以 x1 ，x 2 1 3
-b b2 - 4ac x= 2a
9
• （2）原方程可化为 x2+2x-8=0
-b b - 4ac • 将 a=1,b=2,c=-8代入 x = 2a -2 36 • 得， x = 2
2
• 所以
x1 2，x2 4
10
• 总结： • 1、求根公式与根的判别业： • 1、教材 P23 第3、4、题（作业本上） • 2、练习册做到P19
11
感谢您的关注
12
• 对于 x2+mx ，在 x2+mx 后面加一次项的系数m的一半的平方，
为了保持相等再减去一次项的系数m的一半的平方。
• 2、ax2+bx, (即二次项系数不是1的)
• 对于ax2+bx，先提取a，即先化二次项系数为1，再配方。注意保持式子相等
3
• 3、平方根的定义和平方根的表示： • 定义：如果x2=a,那么x叫做a的平方根； • 表示： • 当a˃0时，a的平方根有两个，且互为相反数，记作（正的根）、 a （负的根）； a • 当a=0时，因为 02=0 ，所以0的平方根为0，有

2a
4a2
• 这就是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式
•
（2）当b2-4ac=0时，解方程,得
x1 = x 2 = -
• 为原方程两个相等的根；(1)中的公式仍成立。
b 2a
• （3）当b2-4ac˃0时，原方程无实数根。
7
• 例1 用求根公式法解方程 5x2+2x-3=0
-b b2 - 4ac • 解：将a=5,b=2,c=-3代入 x = 2a -2 64 • 得 x= 10

2.1一元二次方程教学设计2024—2025学年湘教版数学九年级上册

4.拓展阅读：推荐与一元二次方程相关的数学故事、数学家的生平事迹，激发学生对数学的兴趣。
二、拓展要求
1.鼓励学生在课后阅读相关材料，了解一元二次方程的历史背景和应用领域。
2.观看视频资源，直观感受一元二次方程在实际问题中的应用。
3.参与探究活动，培养学生的实践能力和创新意识。
4.阅读数学故事，了解数学家的探索精神，激发学习兴趣。
技能训练：
总结归纳：
在新课呈现结束后，对一元二次方程的知识点进行梳理和总结。强调重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。
（四）巩固练习（预计用时：5分钟）
随堂练习：
随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对一元二次方程知识的掌握情况。鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决问题。
错题订正：
针对学生在随堂练习中出现的错误，进行及时订正和讲解。引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。
-一元二次方程教学视频
-互动式数学学习网站（不含网址）
-电子教案和教学设计
5.教学手段：
-探究式学习
-小组合作学习
-情境教学（通过实际案例引入）
-互动问答和讨论
-课后在线辅导和答疑
教学流程
（一）课前准备（预计用时：5分钟）
学生预习：
发放预习材料，引导学生提前了解一元二次方程的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习一元二次方程内容做好准备。
教师备课：
深入研究教材，明确教学目标和重难点。准备教学用具和多媒体资源，确保教学过程的顺利进行。设计课堂互动环节，提高学生学习一元二次方程的积极性。
（二）课堂导入（预计用时：3分钟）
激发兴趣：
回顾旧知：
简要回顾上节课学习的方程知识，帮助学生建立知识之间的联系。提出问题，检查学生对旧知的掌握情况，为学习新课打下基础。

2.1.1一元二次方程的概念、一般形式、列方程

解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四
个数依次可表示
为： x+1 , x+2 , x+3 , x+ .
根据题意，可得方程：
4
x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2. 该方程中未知数的个数和
化简得，x2 - 8x - 20＝0. ②
最高次数各是多少？
解题技巧 4
列一元二次方程步骤：
分析题意→找等量关系→设未知数→列方程
课后作业
11.下列是一元二次方程有
(1)7x2 - 6x = 0
（6）
(2)2x2 - 5xy + 6y = 0
(3) 2 x 1 1 0
3x
(4) y 2 0
2
(5) x2 + 2x - 3 = 1 + x2
(3x+2)2=4(x-3)2
x2 + x - 8 = 0 7x2 - 4 = 0
1
1
-8
7
0
-4
课后作业
3 a为何值时，(a－1)2 x ∣ a ∣ +1 －2ax－a+1=0为一元二次方程？
课后作业
4 随堂练习第1题
5 习题2.1 第1题
解题技巧 3
描述一元二次方程的各项及其系数：
(1)先将一元二次方程化成一般形式再进行判断. (2)将一个一元二次方程化成一般形式，可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤． (3)指出一元二次方程的各项及其系数时，各项或各项的系数应包括它们前面的符号.
解题技巧 4

北师大版数学九年级上2.1.1一元二次方程的概念(教案)

3.引导学生运用一元二次方程解决实际问题，培养数学应用意识和解决复杂问题的能力；
4.培养学生团队合作和交流表达的能力，提高数学表达和数学交流的核心素养；
5.激发学生的创新意识，培养在面对未知问题时敢于探索、勇于创新的数学精神。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：一元二次方程的定义、一般形式及其解法。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一元二次方程的定义和一般形式这两个重点。对于难点部分，如解法的理解和运用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量物体的高度，通过一元二次方程来计算。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的基本概念。一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的方程。它在数学和实际生活中有着广泛的应用，是解决许多问题的有力工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过这个案例，展示一元二次方程在实际问题中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。

解一元一次方程和一元二次方程的方法

解一元一次方程和一元二次方程的方法一、一元一次方程1.1 定义：一元一次方程是指只含有一个未知数（变量），并且未知数的最高次数为1的方程。

1.2 形式：ax + b = 0，其中a、b为常数，且a≠0。

1.3 解法：（1）移项法：将方程中的常数项移到等号另一边，未知数项留在等号一边。

（2）因式分解法：将方程进行因式分解，找出方程的解。

（3）直接开平方法：对于形如x² = a的方程，直接开平方求解。

（4）公式法：根据一元一次方程的解的公式x = -b/a求解。

二、一元二次方程2.1 定义：一元二次方程是指只含有一个未知数（变量），并且未知数的最高次数为2的方程。

2.2 形式：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a≠0。

2.3 解法：（1）因式分解法：将方程进行因式分解，找出方程的解。

（2）公式法：根据一元二次方程的解的公式x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)求解。

（3）配方法：将方程转化为完全平方形式，进而求解。

（4）图像法：利用方程的图像（抛物线）求解。

三、方程的解3.1 定义：方程的解是指使得方程成立的未知数的值。

3.2 判别式：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0，判别式Δ = b² - 4ac可以判断方程的解的情况：（1）Δ > 0：方程有两个不相等的实数解。

（2）Δ = 0：方程有两个相等的实数解。

（3）Δ < 0：方程没有实数解。

四、实际应用4.1 解一元一次方程和一元二次方程在生活中的应用：例如，在计算购物时打折、计算利息、测量等方面都会用到方程求解的方法。

4.2 解一元一次方程和一元二次方程在其他学科中的应用：例如，在物理学中，描述物体运动规律的公式往往是一元二次方程；在化学中，计算反应物质量比等也会用到方程求解的方法。

习题及方法：1.习题：解一元一次方程 3x - 7 = 11。

一元二次方程的根的范围_概述说明以及解释

一元二次方程的根的范围概述说明以及解释1. 引言1.1 概述一元二次方程是初等代数中重要的一个概念，它具有广泛的应用领域。

在解决实际问题时，我们常常需要求解一元二次方程的根。

而了解和掌握一元二次方程的根的范围，不仅可以帮助我们正确地进行求解，还能更好地理解和分析问题，并给出合理有效的解释。

1.2 文章结构本文将主要讨论一元二次方程的根的范围相关的概念、计算方法以及其对于问题求解和图像理解的重要性。

具体来说，文章将分为引言、一元二次方程的根的范围、根的范围的说明与解释以及结论四个部分。

在引言部分，我们将介绍本文研究内容并对文章结构做简要说明，为读者提供整体了解和阅读指南。

1.3 目的本文旨在通过深入讨论一元二次方程根的范围及其意义，向读者展示一元二次方程根相关知识，并强调其在实际问题求解和图像理解中所起到的重要作用。

同时，在总结部分提出建议和展望，以期对学习和应用一元二次方程提供指导和启示。

通过阅读本文，读者将能全面理解并灵活运用一元二次方程根的范围知识，提高问题解决能力与数学思维水平。

2. 一元二次方程的根的范围：2.1 一元二次方程的定义与形式一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为常数且a≠0。

2.2 根的概念与相关术语根是指使得方程成立的未知数的值。

一元二次方程可以有两个根，分别称为实数根和复数根。

- 实数根：若一个实数能够满足给定的一元二次方程，则其被称为实数根。

实数根可以进一步分为以下情况：a) 当判别式（b^2-4ac）大于等于零时，一元二次方程有两个不同的实数根。

b) 当判别式等于零时，一元二次方程有两个相等的实数根。

c) 当判别式小于零时，一元二次方程没有实数根。

- 复数根：当判别式小于零时，即在实数范围内无解时，在复数范围内可以解出两个复数根。

复数通常使用虚部单位i（i^2=-1）表示。

2.3 根的范围的计算方法要确定一元二次方程中根的范围，需要通过计算判别式来进行。

北师版九年级数学 2.1认识一元二次方程(学习、上课课件)

感悟新知
知识点 2 一元二次方程的一般形式
知2－讲
1. 一般形式：我们把ax2＋bx＋c= 0(a，b，c 为常数，
a ≠ 0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c
分别称为二次项、一次项和常数项，a，b 分别称为二
特别提醒
次项系数和一次项系数. a ≠ 0 是方程ax2＋bx＋c=0为一
感悟新知
2. 检验一元二次方程根的步骤
知4－讲
步骤1：将已知数值分别代入一元二次方程的左右两边
求值.
步骤2：若方程左右两边的值相等，则这个数是一元二
次方程的解(根)；否则，这个数不是一元二次方程的解
(根) 特别提醒
如果一个数是一元二次方程的解(根)，那么这个数一定能使方程左右两边的值相等.
感悟新知
间比赛一场，公司共安排了45 场比赛，设参赛选手有
y 人，则下列方程正确的是( C )
A.y(y＋1)=45
B.y(y－1)=45
C.12y(y－1)=45
D.12y(y＋1)=45
感悟新知
知识点 4 一元二次方程的解(根)(拓展点)
知4－讲
1. 定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
感悟新知
知2－讲
2. 特殊形式
特殊形式
二次项系数一次项系数常数项
ax2＋bx=0(a ≠ 0，b ≠ 0)
a
ax2＋c=0(a ≠ 0，c ≠ 0)
a
ax2=0(a ≠ 0)
a
b
0
0
c
0
0
感悟新知
知2－练
例2 【母题教材P32随堂练习T2】把下列一元二次方程转化成一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项：

2.1 一元二次方程(课件)2024-2025学年湘教版数学九年级上册

感悟新知
(1) 3x－4=x2
知2－练
解：整理方程，得 x2 － 3x+4=0，其中，二次项
系数、一次项系数和常数项分别是 1，－ 3， 4.
(2)( 10－2x)(6－2x) =32 整理方程，得 4x2 － 32x+28=0，其中，二次项系
数、一次项系数和常数项分别是 4，－ 32， 28.
感悟新知
知3－练
例4 [ 中考·哈尔滨 ] 为了改善居民生活环境，云宁小区对
一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多 6 米，
面积为 720 平方米，设矩形空地的长为 x 米，根据题
意，所列方程正确的是(
)
A． x( x－6)＝ 720 B． x(x＋6)＝ 720
C． x(x－6)＝ 360 D． x( x＋6)＝ 360
知3－练
ห้องสมุดไป่ตู้
感悟新知
知3－练
3-1. [ 中考·邵阳 ] 某校截止到 2022 年底，校园绿化面积为 1 000平方米．为美化环境，该校计划 2024 年底绿化面积达到 1 440 平方米 . 利用方程思想，设这两年绿化面积的年平均增长率为 x，则依题意列方程为__1_0_0_0_(_1_＋__x_)2_＝__1__4_4_0__ ．
2.若已知方程是一元二次方程，则必隐含二次
项系数不为零这一条件.
感悟新知
知1－练
例1 下列方程：① x2 － 2x － 1=0；② ax2+bx+c=0；
③x12 ＋ 3x － 5=0；④ 7 － x2=0；⑤(x － 1) 2+y2=0；
⑥ x3 － 20=7 中，一元二次方程的个数是(
)
A． 1 个 B． 2 个

一元二次方程有根判别式

一元二次方程有根判别式1. 引言大家好！今天我们来聊聊一元二次方程，这可是数学里一个非常有趣的题目。

你可能会觉得，方程有啥大不了的，但实际上，它们在生活中可是无处不在。

就像你早上出门时总得检查天气预报，一元二次方程也需要用到“判别式”来决定它们的根的情况。

别急，我们一起来弄懂这些吧！2. 一元二次方程的基本概念2.1 什么是一个一元二次方程？一元二次方程是指形如 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程，其中 ( a ), ( b ), 和 ( c ) 是常数，( x ) 是未知数。

这个方程的名字中就带了“二次”二字，说明它的最高次数是二次。

就像你在考卷上碰到的那种题目一样，处理起来有点挑战，但不难掌握。

2.2 一元二次方程的根是什么？一元二次方程的根就是解方程的那个 ( x ) 值。

换句话说，就是把 ( x ) 代入方程后，方程成立的那些值。

对于一个二次方程，可能有两个不同的根、一个根，甚至没有根。

听起来复杂，但其实就是找方程的“解”呗。

3. 判别式的作用3.1 判别式的定义判别式就是一个专门用来判断一元二次方程根的工具。

它的公式是 ( Delta = b^24ac )。

通过这个公式，我们可以知道方程的根是什么情况：是否存在，或者根的个数和类型。

这就像是你去看天气预报，知道了降雨量后，就能决定是否带伞一样。

3.2 判别式的三种情况当 ( Delta > 0 ) 时：这表示方程有两个不同的实数根。

就好像你看到阳光明媚的日子，可以去公园散步一样，根的情况非常明确。

当 ( Delta = 0 ) 时：这时方程只有一个实数根，称为“重根”。

这就像你去超市，发现货架上只有最后一个你需要的商品一样，只有一个解。

当 ( Delta < 0 ) 时：方程没有实数根。

你可能会觉得没意思，但其实这就像你看了天气预报，决定今天下雨了，结果天公不作美，什么都没有发生一样。

4. 判别式的应用实例4.1 实际例子假如你有个方程 ( 2x^2 4x + 2 = 0 )，我们用判别式来看看根的情况。

2.1一元二次方程的定义

例3、一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为8m, 如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少m?
数学化 1m 8m
7m
6m
xm
X+6
设梯子底端滑动x米，由勾股定理得：
（x+6）² +7 ² =10²
一元二次方程的概念
将上面三个问题得到的三个方程整理为：ax2+bx+c=0 的形式 2x2 － 13x ＋ 11 = 0 . (8-2x)(５-２x)=18
基础练习1：
你能判断下列等式哪些是一元二次方程，哪些不是吗。 1. 2x2+3xy=5x-3xy 3. 2x2-9x=0
1 5. +x2-3=0 x
2. x2＋3x+2=0 4. x(x+2)=11+2(20x-5) 6. x(x+1)=x(x+7)
把ax2+bx+c=0 （a≠0）称为一元二次方程
什么是一元二次方程？
实际引例1：42页
有一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，它的长8米，宽长5米，如果地毯中央长方形图案的面积为18平方米，那么花边有多宽？
数学化 5cm
18平方米
5-2x x
8-2x 8cm
用什么模型解决该问题？
解设：花边的宽为Xm，根据题意，可列方程（8-2x)(5-2x）= 18
ax2+bx+c=0 (a≠0 ，a，b，c 为常数 )
学习目标：重点: 1会根据题意列一元二次方程。
2会探索一元二次方程的解或近似解。
方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解。一元方程的解又叫方程的根。

2.1一元二次方程的近似解

在一般形式ax2+bx+c=0中，
注意（1）一般形式的右边必须是0，（2）左边是按降幂排列的三项式，
当然也可以没有一次项、常数项。
3、方程ax²+bx+c=0的条件：
（1）当a≠0时，是一元二次方程。
（2）当a=0并且b≠0 时，是一元一次方程。
我能行
小试牛刀
根据题意列出方程：
（1）造一个池底为正方形，深度为2.5cm的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为120元/m2，池底的造价为240元/m2，总造价为 8640元.求池底的边长.
x
18m2
x 8
因此,x取值的大致范围是:0<x<2.5.
在0<x<2.5这个范围中,x具体的值= ? 完成下表(取值计算,逐步逼近):
x 2x2-13x+11 … …
0.5 4.75
1 0
1.5 -4
2 -7
… …
由此看出,可以使2x2-13x+11的值为0的x=1.故可知花边宽为1m. 你还有其它求解方法吗?与同伴交流.
数学化
8m
7m
xm
你能猜得出x取值的大致范围吗?
你能猜得出x取值的大致范围吗?
完成下表(取值计算,逐步逼近):
x x2+12x-15 … …
0.5 -8.75
1 -2
可知x取值的大致范围是:1<x<1.5
在1<x<1.5这个范围中,如果x取整数是几? 如果x精确到十分位呢?百分位呢?
如果将(8-2x)(5-2x)=18看作是6×3=18. 则有8-2x=6, 5-2x=3.从而也可以解得x=1.
怎么样,你还敢挑战吗?

2.1一元二次方程

已知关于x的一元二次方程的一个根是3，求a的值。
x2+ax+a=0

畅谈收获
１、一元二次方程的定义 2、一元二次方程的一般形式

ax２＋bx＋c＝０(a, b，c为常数, a≠０)
3、会用一元二次方程表示实际生活中的数量关系

7670 6700
2001
2002

x 3x 4
2
6700(1 x ) 9200
2
观察上面所列方程,说出这些方程与一元一次方程的相同与不同之处.
两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1次,这样的方程叫做一元一次方程. 像这样，两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2次,这样的方程叫做一元二次方程.
义务教育课程标准实验教科书
浙教版《数学》八年级下册（2014版）

合作学习
列出下列问题中关于未知数x的方程： (1)把面积为4平方米的一张纸分割成如图的正方形和长方形两部分，求正方形的边长。设正方形的边长为x，可列出方程
x x x
x 3x 4
2
3

布置作业
1、作业本 2、课后练习

⑦4x2=5x ( √ )

趁热打铁☞
下列方程中是一元二次方程的为( C )
（A）x2+3x=
2
x
（B）2(X-1)+3x=2
（C）x2=2+3x
（D）x2-x3-4=0

一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 ax 2 bx c 0 ,的形式,我们把ax2+bx+c=0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.

一元二次方程两根异号_概述说明以及解释

一元二次方程两根异号概述说明以及解释1. 引言1.1 概述一元二次方程是数学中非常重要的一个概念，解决了许多实际问题。

在一元二次方程中，存在着不同种类的根，其中之一是异号根。

异号根指的是方程的两个根具有相反的符号，一个为正数，一个为负数。

本文将对一元二次方程中存在异号根的概念进行详细阐述，并介绍解决这类问题的方法和步骤。

1.2 文章结构本文分为引言、正文、示例与解释、总结与讨论以及结尾陈述与致谢等几个部分。

首先，在引言部分介绍文章的目的和整体结构。

接下来，在正文部分，我们将详细阐述一元二次方程的定义和形式，并深入探讨异号根在方程中的含义和特征。

然后，我们将介绍解决一元二次方程中异号根问题的具体方法和步骤。

在示例与解释部分，我们将给出几个具体案例来说明求解具有异号根的一元二次方程在实际应用中的意义。

接着，在总结与讨论部分，对本文内容进行总结，并展开深入讨论与扩展思考。

最后，在结尾陈述与致谢等部分，我们将进行结尾陈述并表达对相关研究和贡献的致谢。

1.3 目的本文的目的是深入解释一元二次方程中异号根的概念和特征，并介绍解决这类问题的方法和步骤。

通过具体案例的讲解，帮助读者理解一元二次方程中异号根的实际应用，并提供有关教育和科研方面的意义与建议。

通过详细阐述和讨论，增强读者对一元二次方程以及异号根相关知识的理解，为进一步研究和应用奠定基础。

2. 正文：2.1 一元二次方程的定义和形式：一元二次方程是指只含有一个未知数的二次项及以下的多项式方程。

其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数且a≠0。

2.2 异号根的含义与特征：异号根是指一元二次方程在求解时得到两个不相等的实数解，它们具有相反的符号。

当一元二次方程的判别式D=b^2-4ac大于0时，方程有两个实数根且这两个根异号；当D=0时，方程有一个实数根；当D小于0时，方程无实数根。

2.3 解决异号根的方法和步骤：要解决一元二次方程存在异号根的问题，可以按照以下步骤进行推导和计算：步骤1：给定一元二次方程ax^2 + bx + c = 0；步骤2：计算判别式D = b^2 - 4ac；步骤3：判断判别式D是否大于0；- 若D大于0，则继续进行下一步；- 若D等于0，则表示仅有一个实数根；- 若D小于0，则表示无实数根。

《认识一元二次方程》知识点分类基础达标训练(附答案)

2021-2022学年年北师大版九年级数学上册《2.1认识一元二次方程》知识点分类基础达标训练（附答案）一．一元二次方程的定义1．若关于x的方程ax2+2x﹣5＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a＝0B．a＞0C．a≠0D．a＜02．下列方程式一元二次方程的是（）A．x2+y+3＝0B．3x2﹣2＝0C．D．5x+3＝03．关于x的方程（m﹣3）x2﹣x＝0是一元二次方程，则m的取值范围是．4．已知方程（m﹣2）+（m﹣3）x+1＝0．（1）当m为何值时，它是一元二次方程？（2）当m为何值时，它是一元一次方程？二．一元二次方程的一般形式5．方程3x2＝5x+7的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3，5，7B．3，﹣5，﹣7C．3，﹣5，7D．3，5，﹣76．方程5x2＝21﹣9x化成一般形式后，若二次项的系数为5，则它的一次项系数是（）A．9B．﹣9C．9x D．﹣9x7．一元二次方程2x2+1＝6x化成一般形式后，一次项和常数项分别是（）A．2x2、1B．2、6C．﹣6x、1D．﹣6、18．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的二次项是x2，则一次项和常数项分别是（）A．2x和1B．2x和﹣1C．﹣2x和﹣1D．﹣2x和19．方程x（x+5）＝5x﹣10化成一般形式后，它的一次项系数是（）A．﹣5B．5C．0D．1010．一元二次方程x（x﹣2）＝1化成一般形式后，若一次项系数为﹣2，则它的常数项是（）A．﹣2B．2C．﹣1D．111．将一元二次方程3x2+1＝6x化为一般形式后二次项系数为3，则一次项系数为．三．一元二次方程的解12．已知a是方程x2+x﹣2021＝0的一个根，则的值为（）A．2020B．2021C．D．13．若x＝0是一元二次方程x2+x+b2﹣4＝0的一个根，则b的值是（）A．2B．﹣2C．±2D．414．已知x＝﹣2是关于x的方程2x2﹣4a＝0的一个解，则a的值是（）A．﹣1B．1C．﹣2D．215．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，则m的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．216．若x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0的一个解，则m的值是（）A．2B．1C．0D．﹣217．若关于x的方程x2+2mx+n＝0的一个根为2，则代数式4m+n的值为．18．已知关于x的一元二次方程x2+a2x+a﹣3＝0的一个根是1，则3a2+3a﹣4的的值为．19．若x＝2是方程x2﹣mx+2＝0的根，则m＝．20．若2是方程x2﹣c＝0的一个根，则c的值为．21．若a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，求代数式a2﹣2021a+的值．22．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC 三边的长．（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．参考答案一．一元二次方程的定义1．解：∵关于x的方程ax2+2x﹣5＝0是一元二次方程，∴a≠0，故选：C．2．解：A、该方程属于二元二次方程，故本选项不符合题意．B、该方程属于一元二次方程，故本选项符合题意．C、该方程属于分式方程，故本选项不符合题意．D、该方程属于一元一次二次方程，故本选项不符合题意．故选：B．3．解：由题意得：m﹣3≠0，解得：m≠3，故答案为：m≠3．4．解：（1）∵方程（m﹣2）+（m﹣3）x+1＝0为一元二次方程，∴，解得：m＝±，所以当m为或﹣时，方程方程（m﹣2）+（m﹣3）x+1＝0为一元二次方程；（2）∵方程（m﹣2）+（m﹣3）x+1＝0为一元一次方程，∴或m2＝1或m＝2，解得，m＝2或m＝±1，0，故当m为2或±1，0时，方程方程（m﹣2）+（m﹣3）x+1＝0为一元一次方程．二．一元二次方程的一般形式5．解：方程3x2＝5x+7转化为一般形式为3x2﹣5x﹣7＝0，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，﹣5，﹣7，故选：B．6．解：5x2＝21﹣9x，5x2+9x﹣21＝0，一次项系数是9，故选：A．7．解：2x2+1＝6x，2x2﹣6x+1＝0，所以一次项和常数项分别是﹣6x，1，故选：C．8．解：因为项包括前面的符号，所以方程x2﹣2x+1＝0的一次项和常数项分别是：﹣2x和1．故选：D．9．解：x（x+5）＝5x﹣10，∴x2+5x＝5x﹣10，∴x2+5x﹣5x+10＝0，即x2+0×x+10＝0，∴一次项系数是0，故选：C．10．解：x（x﹣2）＝1，x2﹣2x﹣1＝0，一次项系数是﹣2，常数项是﹣1，故选：C．11．解：一元二次方程3x2+1＝6x化为一般形式为3x2﹣6x+1＝0，二次项系数和一次项系数分别为3，﹣6，故答案是：﹣6．三．一元二次方程的解12．解：∵a是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的一个根，∴a2+a﹣2021＝0，∴a2+a＝2021，∴＝﹣＝＝，故选：D．13．解：把x＝0代入x2+x+b2﹣4＝0得b2﹣4＝0，解得b＝±2，∵b﹣1≥0，∴b≥1，∴b＝2．故选：A．14．解：把x＝﹣2代入方程得：2×4﹣4a＝0，解得：a＝2．故选：D．15．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根是﹣1，∴（﹣1）2﹣2×（﹣1）+m＝0，解得：m＝﹣3．故选：A．16．解：将x＝3代入方程得：9﹣3m﹣3＝0，解得：m＝2．故选：A．17．解：把x＝2代入方程x2+2mx+n＝0得4+4m+n＝0，所以4m+n＝﹣4．故答案为﹣4．18．解：由题意，得1+a2+a﹣3＝0，∴a2+a﹣2＝0，则a2+a＝2，∴3a2+3a﹣4＝3（a2+a）﹣4＝6﹣4＝2．故答案为：2．19．解：∵x＝2是方程x2﹣mx+2＝0的一个根，∴22﹣2m+2＝0，解得m＝3，故答案为：3．20．解：根据题意，将x＝2代入方程x2﹣c＝0，得：4﹣c＝0，解得c＝4，故答案为：4．21．解：∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，∴a2﹣2020a+1＝0，∴a2＝2020a﹣1，∴a2﹣2021a+＝2020a﹣1﹣2021a+＝﹣a+a﹣1＝﹣1．22．解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，∴2a＝2b，∴a＝b，∴△ABC的形状是等腰三角形；（2）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，即x2﹣x＝0，解得：x1＝0，x2＝1，即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．。

小学数学认识一元二次方程

小学数学认识一元二次方程一元二次方程是小学数学中较为复杂的一个概念，需要对数学概念有一定的了解才能理解和解决。

一元二次方程包含一个未知数和其次方的方程，通常写作ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知系数，a不等于0。

本文将介绍一元二次方程的基本概念、解法以及应用。

一、基本概念在学习一元二次方程之前，我们需要了解一些基本概念。

1.1 平方数：一个数的平方，例如1、4、9、16等。

1.2 二次方程：方程中含有未知数的平方项的方程，例如x^2 + 2x + 1 = 0就是一个二次方程。

1.3 一元二次方程：方程中只有一个未知数的平方项的方程，例如3x^2 - 2x + 1 = 0就是一个一元二次方程。

二、解法解一元二次方程通常有以下两种方法：因式分解法和求根公式法。

2.1 因式分解法：对于一些特殊的一元二次方程，可以通过因式分解的方法得到方程的解。

例如，对于方程x^2 - 4x + 3 = 0，我们可以将其分解为(x - 3)(x - 1) = 0，从而得到x的解为x = 3或x = 1。

2.2 求根公式法：对于一般的一元二次方程，我们可以使用求根公式来求解。

求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

例如，对于方程2x^2 + 5x + 2 = 0，我们可以代入a = 2，b = 5，c = 2，然后计算得到x的解为x = -1/2或x = -2。

三、应用一元二次方程在现实生活中有着广泛的应用。

3.1 抛物线运动：抛出的物体在空中的运动轨迹可以用一元二次方程来表示。

例如，投掷一颗子弹的运动轨迹可以表示成y = -5x^2 + 10x + 3的形式，其中y为高度，x为时间。

3.2 建模和预测：一元二次方程可以用来对一些现实问题进行建模和预测。

例如，根据某商品的销售数据，可以建立销售量和价格之间的一元二次方程，从而预测不同价格下的销售量。

3.3 几何问题：一元二次方程也可以用来解决几何问题。

湘教版数学九年级上册2.1《一元二次方程》说课稿2

湘教版数学九年级上册2.1《一元二次方程》说课稿2一. 教材分析湘教版数学九年级上册2.1《一元二次方程》是整个初中数学的重要内容，也是九年级上学期的重点和难点。

本节课主要让学生掌握一元二次方程的定义、解法以及应用。

通过本节课的学习，为学生后续学习函数、不等式等知识打下基础。

教材从实际问题出发，引导学生认识一元二次方程，并通过探究、合作的方式，让学生掌握一元二次方程的解法，从而提高学生的数学素养。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了代数、几何等相关知识。

但一元二次方程相对较为抽象，学生理解起来有一定难度。

此外，学生的学习习惯、思维方式等方面存在差异，因此在教学过程中，要充分考虑学生的实际情况，有针对性地进行教学。

三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握一元二次方程的定义、解法及应用。

2.过程与方法：通过探究、合作，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，体会数学在生活中的应用。

四. 说教学重难点1.重点：一元二次方程的定义、解法及应用。

2.难点：一元二次方程的解法，特别是因式分解法和求根公式的运用。

五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现一元二次方程，激发学生的学习兴趣。

2.利用多媒体课件，展示一元二次方程的解法过程，增强学生的直观感受。

3.采用分组讨论、合作学习的方式，培养学生的主体意识和团队精神。

4.运用启发式教学，引导学生主动探究、思考，提高学生的逻辑思维能力。

六. 说教学过程1.导入新课：从实际问题出发，引导学生认识一元二次方程，激发学生的学习兴趣。

2.自主学习：让学生阅读教材，了解一元二次方程的定义，培养学生独立学习的能力。

3.探究与合作：引导学生分组讨论，探索一元二次方程的解法，培养学生的主体意识和团队精神。

4.讲解与演示：教师讲解一元二次方程的解法，利用多媒体课件展示解法过程，增强学生的直观感受。