2.4等比数列PPT优秀课件
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高中数学等比数列优质课ppt课件
1 n－1 答案：an＝ . 3
1n－1 an＝3 .
4．若等比数列的通项公式为 列的第 5 项为________．
1 5－ 1 1 解析：a5＝2× ＝ . 8 2
1 n－1 an＝2× .则数 2
1 答案： 8
要点阐释
1．等比数列的定义 关于定义理解的几点注意： (1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一 项均不为0，因此q也不能是0. an＋1 (2) 均为同一常数，即比值相等，由此体现了 an
a1＝27， a1＝－27， 解得 2 或 2 q＝3， q＝－3. 4 a1q －a1＝15， q2＋1 5 (2)由 3 得 q ＝ ， 2 a q － a q ＝ 6 ， 1 1
1 得 q＝ 或 q＝2. 2 1 当 q＝ ，a1＝－16，此时 a3＝a1q2＝－4； 2 当 q＝2 时，a1＝1，此时 a3＝a1q2＝4.
1n－1 － an＝－8· . 2
像等差数列的计算一样，等比数列中基本量的计算是最 重要、最基本的问题．
1．在等比数列 an 中．
(1)a2＝18，a4＝8，求a1与q； (2)a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.
a1q＝ 18， 解：(1)由 3 a1q ＝ 8，
证明：设等差数列 an 的公差为 d，
∵a1，a2，a4成等比数列，∴a22＝a1a4. 即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d. ∵a1≠0，∴a1＝d或d＝0. 当a1＝d≠0时，a4＝4d，a6＝6d，a9＝9d， ∴a62＝a4a9＝36d2， ∴a4，a6，a9成等比数列． 当a1≠0且d＝0时，是非零常数列，满足题意． 综上可知a4，a6，a9成等比数列．
1n－1 an＝3 .
4．若等比数列的通项公式为 列的第 5 项为________．
1 5－ 1 1 解析：a5＝2× ＝ . 8 2
1 n－1 an＝2× .则数 2
1 答案： 8
要点阐释
1．等比数列的定义 关于定义理解的几点注意： (1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一 项均不为0，因此q也不能是0. an＋1 (2) 均为同一常数，即比值相等，由此体现了 an
a1＝27， a1＝－27， 解得 2 或 2 q＝3， q＝－3. 4 a1q －a1＝15， q2＋1 5 (2)由 3 得 q ＝ ， 2 a q － a q ＝ 6 ， 1 1
1 得 q＝ 或 q＝2. 2 1 当 q＝ ，a1＝－16，此时 a3＝a1q2＝－4； 2 当 q＝2 时，a1＝1，此时 a3＝a1q2＝4.
1n－1 － an＝－8· . 2
像等差数列的计算一样，等比数列中基本量的计算是最 重要、最基本的问题．
1．在等比数列 an 中．
(1)a2＝18，a4＝8，求a1与q； (2)a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.
a1q＝ 18， 解：(1)由 3 a1q ＝ 8，
证明：设等差数列 an 的公差为 d，
∵a1，a2，a4成等比数列，∴a22＝a1a4. 即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d. ∵a1≠0，∴a1＝d或d＝0. 当a1＝d≠0时，a4＝4d，a6＝6d，a9＝9d， ∴a62＝a4a9＝36d2， ∴a4，a6，a9成等比数列． 当a1≠0且d＝0时，是非零常数列，满足题意． 综上可知a4，a6，a9成等比数列．
人教版数学必修五2.4《等比数列》课件 (共17张PPT)
是
三、等比中项
如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ，使 a, G, b 成等比数列， 那么称这个数 G 为 a 与 b 的等比中项．
2 G ab ． a , b 即 G ab （ 同号）或
（1）只有两个同号的非零常数才有等比中项， G ab 0
2
（2）等比中项有两个值， G ab
（3）在等比数列中，若 m n p q ，则 am an a p aq ．
四、等比数列的性质
（4）若 {an } ， {bn } 均为等比数列，则 {an bn } ， {k an } (k 0) ，
1 1 { } 仍为等比数列，公比分别为 q1 q2 ， q1 ， ． an q1
32
a15 例 7、在等比数列 {an } 中， a5 a11 3, a3 a13 4 ，则 （ C ） a5
（A） 3
1 （B） 3
1 （C） 3 或 3
1 （D） 3 或 3
例 8、等差数列 an 中， d 0 ，且 a1 , a3 , a9 成等比数列，
a1 a3 a9 求 的值. a2 a4 a10
an 数列的公比，公比通常用字母 q 表示 q 0 ，即 q (q 0) ． an 1
（4） 0 q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递减； a1 0 ， {an } 递增；
q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递增； a1 0 ， {an } 递减；
类比思想
an am
an am qnm
例 1、在等比数列 {an } 中
1 （1） a1 ， q 3 ，求 a5 ． 2
（2） a7 512 ， q 2 ，求 a1 ．
高中数学2.4第一课时等比数列课件新人教A版必修5
[解] 依题意 an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n， 于是 bn＝123－n.而bbn－n 1＝121234－ －nn＝12－1＝2. ∴数列{bn}是首项为14，公比为 2 的等比数列，通项公 式为 bn＝2n－3.
等比中项
[例 3] 设等差数列{an}的公差 d 不为 0，a1＝9d，若 ak 是 a1
等比中项 [提出问题] 问题：观察“知识点一”中的三个数列，每个数列中任 意连续三项间有何关系？ 提示：中间一项的平方等于它前一项与后一项之积．
等比数列的通项公式
[提出问题] 问题：若数列{an}为等比数列，公比为 q，则 a2＝a1q，a3 ＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，a5＝a4q＝a1q4，…，由此你可以 得出什么结论呢？ 提示：an＝a1qn－1.
与 a2k 的等比中项，则 k 等于
A．2
B．4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
()
C．6
D．8
[解析] ∵an＝(n＋8)d， 又∵a2k＝a1·a2k， ∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，
解得 k＝－2(舍去)，k＝4.
[答案] B
4.求解等比中项中的误区
[典例] 等比数列{an}(an＞0)满足 a1－a5＝90，a2－a4＝36， 求 a5，a7 的等比中项．
等比数列的通项公式
[例 1] 在等比数列{an}中： (1)a4＝2，a7＝8，求 an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n.
等比数列的判断与证明
[例 2] 已知数列{an}是首项为 2，公差为－1 的等差数列， 令 bn＝12an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．
2.4
等比数列
第一课时 等 比 数 列
等比中项
[例 3] 设等差数列{an}的公差 d 不为 0，a1＝9d，若 ak 是 a1
等比中项 [提出问题] 问题：观察“知识点一”中的三个数列，每个数列中任 意连续三项间有何关系？ 提示：中间一项的平方等于它前一项与后一项之积．
等比数列的通项公式
[提出问题] 问题：若数列{an}为等比数列，公比为 q，则 a2＝a1q，a3 ＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，a5＝a4q＝a1q4，…，由此你可以 得出什么结论呢？ 提示：an＝a1qn－1.
与 a2k 的等比中项，则 k 等于
A．2
B．4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
()
C．6
D．8
[解析] ∵an＝(n＋8)d， 又∵a2k＝a1·a2k， ∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，
解得 k＝－2(舍去)，k＝4.
[答案] B
4.求解等比中项中的误区
[典例] 等比数列{an}(an＞0)满足 a1－a5＝90，a2－a4＝36， 求 a5，a7 的等比中项．
等比数列的通项公式
[例 1] 在等比数列{an}中： (1)a4＝2，a7＝8，求 an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n.
等比数列的判断与证明
[例 2] 已知数列{an}是首项为 2，公差为－1 的等差数列， 令 bn＝12an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．
2.4
等比数列
第一课时 等 比 数 列
2.4等比数列 课件 (人教A版必修5)
A．等差数列 B．等比数列 C．既是等差数列又是等比数列 D．不能确定是什么数列
解析：∵a1＝1，a2＝2，a3＝4，仅给出了数列前3项， 后边各项不知有何规律，给出不同的值会得出不同结论．
答案：D
3．等比数列{an}中，a1＝
1 8
，q＝2，则a4与a8的等比中
项是( )
A．±4
B．4
C．±14
[例2]
已知a，－
3 2
，b，－
243 32
，c五பைடு நூலகம்数成等比数
列，试求a，b，c的值．
[解] ∵b2＝(－32)×(－23423)＝(32)6， ∴b＝±287. 当b＝287时，∵ab＝(－32)2，∴a＝23. 由bc＝(－23423)2＝(32)10及b＝287，得c＝2112887＝(32)7.
2.4 等比数列
第1课时 等比数列
课前自主预习
课堂互动探究
随堂知能训练
课时作业
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.掌握等比数列的通项公式，体会等比数列的通项公式
与指数函数的关系．
2．掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解 决问题.
课前 自 主 预 习
课 前 预 习 ········································· 明 确 目 标
D．①②③④
解析：根据等比数列的定义，从第2项起检查每一项与 其前一项的比是否为同一个常数．
①中数列是等比数列，公比q＝－2；②中数列是等比 数列，公比q＝－ 2；③中数列当x＝0时，不是等比数列； ④中数列是等比数列，公比q＝1a.
答案：C
2．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，a3＝4，…，那么数 列{an}是( )
解析：∵a1＝1，a2＝2，a3＝4，仅给出了数列前3项， 后边各项不知有何规律，给出不同的值会得出不同结论．
答案：D
3．等比数列{an}中，a1＝
1 8
，q＝2，则a4与a8的等比中
项是( )
A．±4
B．4
C．±14
[例2]
已知a，－
3 2
，b，－
243 32
，c五பைடு நூலகம்数成等比数
列，试求a，b，c的值．
[解] ∵b2＝(－32)×(－23423)＝(32)6， ∴b＝±287. 当b＝287时，∵ab＝(－32)2，∴a＝23. 由bc＝(－23423)2＝(32)10及b＝287，得c＝2112887＝(32)7.
2.4 等比数列
第1课时 等比数列
课前自主预习
课堂互动探究
随堂知能训练
课时作业
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.掌握等比数列的通项公式，体会等比数列的通项公式
与指数函数的关系．
2．掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解 决问题.
课前 自 主 预 习
课 前 预 习 ········································· 明 确 目 标
D．①②③④
解析：根据等比数列的定义，从第2项起检查每一项与 其前一项的比是否为同一个常数．
①中数列是等比数列，公比q＝－2；②中数列是等比 数列，公比q＝－ 2；③中数列当x＝0时，不是等比数列； ④中数列是等比数列，公比q＝1a.
答案：C
2．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，a3＝4，…，那么数 列{an}是( )
(人教新课标)高二数学必修5第二章 数列2-4《等比数列》课件(共26张PPT)
即：
an a1 q n1
此式对n=1也成立
∴ an a1 qn1 (n N )
例4：求下列等比数列的第4，5项：
（1） 5，-15，45，…
an a1 qn1
（2）1.2，2.4，4.8，…
（3）
变式2：在等比数列{an}中，已知
a3 ，2求0,aan.6 160
（2）若q=0，等式an+1=anq，对n∈N+仍恒成立，此时数列{an}从第二项起均为 零，显然也不符合等比数列的定义，故等比数列中的公比q不能为零。
（3）公比q=1时是什么数列？既是等差又是等比数列为非零常数列；
（4） q>0数列递增吗？q<0数列递减吗？
aq1
0 1
或
0a1
an a1 * qn1
解得 因此， 答：这个数列的第1项与第2项分别是
等差数列中有性质：若n+m=p+q则am+an=ap+aq
等比数列有相似的性质吗？ 若n+m=p+q, 则bn bm=bp bq
证明:
例7：(1)在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝ __________.
1 知识点: 等比数列的概念, 通项公式,等比中项的概念. 2 本节课用到的思维策略:观察、分析、归纳、猜想、类比等逻辑思 维能力，由特殊到一般的认知规律。 3 数学思想方法：方程的思想，函数的思想。
课后练习 课后习题
＝a·q34 ＝(a·q17)2＝25.
(2)∵a1a9＝a3a7＝64， ∴a3，a7 是方程 x2－20x＋64＝0 的两根． 解得aa73＝ ＝146 或aa73＝ ＝416 . ①若 a3＝4，a7＝16，则由 a7＝a3q4 得，q4＝4， ∴a11＝a7q4＝16×4＝64. ②若 a7＝4，a3＝16，则由 a7＝a3q4 得，q4＝14， ∴a11＝a7q4＝4×14＝1. 故 a11＝64，或 a11＝1.
(人教版)数学必修五：2.4《等比数列(2)》ppt课件 公开课精品课件
(2)∵a1a9＝a3a7＝64， ∴a3，a7 是方程 x2－20x＋64＝0 的两根． 解得aa73＝＝146 或aa73＝＝416 . ①若 a3＝4，a7＝16，则由 a7＝a3q4 得，q4＝4， ∴a11＝a7q4＝16×4＝64. ②若 a7＝4，a3＝16，则由 a7＝a3q4 得，q4＝14， ∴a11＝a7q4＝4×14＝1. 故 a11＝64，或 a11＝1.
有四个数成等比数列，将这四个数分别减去 1,1,4,13，则成 等差数列，则这四个数为________．
[答案] 3,6,12,24
[解析] 设这四个数分别为 a、aq、aq2、aq3，则 a－1， aq－1，aq2－4，aq3－13 成等差数列， ∴22aaqq－ 2－14＝＝aa－q－11＋＋aqa2－ q3－413 ， 整理得aaqqq－－112＝2＝36 ，解得 q＝2，a＝3. 因此所求四个数为 3,6,12,24.
A．|q|<1 B．a1>0，q<1 C．a1>0,0<q<1 或 a1<0，q>1 D．q>1 [答案] C [解析] 等比数列的增减性由首项的符号以及公比的绝对 值来决定．由 an＋1－an＝a1qn－1(q－1)<0，得 a1>0,0<q<1，或 a1<0，
q>1.
3．等比数列中的设项方法与技巧 (1)若三个数成等比数列，可设三个数为 a，aq，aq2 或aq，a， aq. (2)若四个数成等比数列，可设 a，aq，aq2，aq3；若四个数 均为正(负)数，可设qa3，aq，aq，aq3.
[解析] 设数列{an}的公比为 q，则 an＝a1qn－1， bn＝1n[lga1＋lg(a1q)＋lg(a1q2)＋…＋lg(ka1qn－1)]， 解得 bn＝1n[nlga1＋12n(n－1)lgq＋lgk] ＝lga1＋12(n－1)lgq＋1nlgk， ∴bn＋1－bn＝[lga1＋12nlgq＋n＋1 1lgk]－[lga1＋12(n－1)lgq＋ 1nlgk]＝12lgq－nn1＋1lgk. 要使数列{bn}为等差数列，只需 k＝1， 故存在实数 k＝1，使得数列{bn}成为等差数列．
高中数学 2.4 等比数列1 新人教A版必修5
ppt课件
4 “复利”也是银行支付利息的一种方 式，按照复利计算本利和的公式是：本 利和＝本金×（1＋利率）存期.现在存入 银行1000元钱，年利率是1.98%，那么按 照复利，5年内各年末得到的本利和构成 的数列是什么？
1000×1.0198，1000×1.01982， 1000×1.01983，1000×1.01984， 1000×1.01985，…
ppt课件
1.等比数列的定义： 如果一个数列从第2项起，每一项与它的 前一项的比等于同一个常数，这个数列 就叫做等比数列，这个常数就叫做等比 数列的公比（常用字母q表示）.
ppt课件
2.等比数列{an}的递推公式：
an q(n 2) an1
an－1·a n＋1 ＝an2 (n≥2)
3.如果在a与b中间插入一个数G，使 a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的 等比中项。
ppt课件
（1）1，2，4，8，….
（2）1，1 ， 1 ， 1 ， …. 24 8
（3）1，20，202，203，….
（4）1000×1.0198，1000×1.01982， 1000×1.01983，1000×1.01984， 1000×1.01985，…
共同特点：从第2项起，每一项与其前 一项的比都等于同一个常数.
1，1 ， 1 ， 1 ， …. 24 8
ppt课件
3 一种计算机病毒通过邮件进行传播， 如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮， 邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此 类推.假设每一轮每台计算机都感 染20 台计算机，那么在不重复的情况下，这 种病毒每一轮感染的计算机数 构成的 数列是什么？
1，20，202，203，….
a1
16 3
,
a2
4 “复利”也是银行支付利息的一种方 式，按照复利计算本利和的公式是：本 利和＝本金×（1＋利率）存期.现在存入 银行1000元钱，年利率是1.98%，那么按 照复利，5年内各年末得到的本利和构成 的数列是什么？
1000×1.0198，1000×1.01982， 1000×1.01983，1000×1.01984， 1000×1.01985，…
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1.等比数列的定义： 如果一个数列从第2项起，每一项与它的 前一项的比等于同一个常数，这个数列 就叫做等比数列，这个常数就叫做等比 数列的公比（常用字母q表示）.
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2.等比数列{an}的递推公式：
an q(n 2) an1
an－1·a n＋1 ＝an2 (n≥2)
3.如果在a与b中间插入一个数G，使 a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的 等比中项。
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（1）1，2，4，8，….
（2）1，1 ， 1 ， 1 ， …. 24 8
（3）1，20，202，203，….
（4）1000×1.0198，1000×1.01982， 1000×1.01983，1000×1.01984， 1000×1.01985，…
共同特点：从第2项起，每一项与其前 一项的比都等于同一个常数.
1，1 ， 1 ， 1 ， …. 24 8
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3 一种计算机病毒通过邮件进行传播， 如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮， 邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此 类推.假设每一轮每台计算机都感 染20 台计算机，那么在不重复的情况下，这 种病毒每一轮感染的计算机数 构成的 数列是什么？
1，20，202，203，….
a1
16 3
,
a2
人教A版高中数学必修五课件《2.4等比数列(1)等比数列的定义及通项公式》
an1 2. 通项公式：an a1qn1 。
问题再探
探究 3：已知等比数列an 的公比为 q，
求证：an anqnn。
探究 4：完成教材 P 52练习T1，体会通项 公式的运用。
探究5：（1）在9与243中间插入两个数， 使它们同这两个数减等 比数列。 （2）在160与5中间插入4个数，使它们 同这两个数减等比数列 。
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问题探究
探究1：已知数列an满足aa1 n
an1
1
1（n 2
1），
试求数列an 的通项公式 an。
探究
2：已知数列a n
中，a1已知，且
an an1
q（0 q
0），试求数列an
的通项公式
a
。
n
学法小结
等比数列（G P） 1. 定义：an q（n 2，q 0，q为常数）；
《考向标》1－P43
思维拓展
拓展1：在数列an 、bn 中，对任意
自然数n， an1 an
3，bn是an与an1的等差中
项，则bn ________。
拓展2：已知数列an满足a1 1，an1
2an （1 n N *）。
（1）求证：数列an 1是等比数列；
（2）求an的表达式。
典例精析
例1：一个等比数列的第 3项与第4项 分别是12和18，求它的第1项和第2项。
例2：已知数列an 和bn 是项数相同的
等比数列，那么an
bn， abnn
也一定是等
比数列吗？
例3：某种放射性物质不断 变化为其他 物质，每经过一年剩留 的物质是原来的84%， 这种物质的半衰期为多 少？
问题再探
探究 3：已知等比数列an 的公比为 q，
求证：an anqnn。
探究 4：完成教材 P 52练习T1，体会通项 公式的运用。
探究5：（1）在9与243中间插入两个数， 使它们同这两个数减等 比数列。 （2）在160与5中间插入4个数，使它们 同这两个数减等比数列 。
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问题探究
探究1：已知数列an满足aa1 n
an1
1
1（n 2
1），
试求数列an 的通项公式 an。
探究
2：已知数列a n
中，a1已知，且
an an1
q（0 q
0），试求数列an
的通项公式
a
。
n
学法小结
等比数列（G P） 1. 定义：an q（n 2，q 0，q为常数）；
《考向标》1－P43
思维拓展
拓展1：在数列an 、bn 中，对任意
自然数n， an1 an
3，bn是an与an1的等差中
项，则bn ________。
拓展2：已知数列an满足a1 1，an1
2an （1 n N *）。
（1）求证：数列an 1是等比数列；
（2）求an的表达式。
典例精析
例1：一个等比数列的第 3项与第4项 分别是12和18，求它的第1项和第2项。
例2：已知数列an 和bn 是项数相同的
等比数列，那么an
bn， abnn
也一定是等
比数列吗？
例3：某种放射性物质不断 变化为其他 物质，每经过一年剩留 的物质是原来的84%， 这种物质的半衰期为多 少？
人教版高中数学第二章4 等比数列(共21张PPT)教育课件
1
n
项公式为：a a qn1
n
1
分析：此式子从方程的角度考虑有几个量？
学以致用
例3：已知等比数列 an，a3 =20，a6 =160 ,
求 q , an
变1：已知等比数列 an，a3 =20，a5 =80 ,
求 q , a4
变2：已知等比数列 an，a3 =20 a７ =320 ,
求 q , a5
自我测验
练1：下列数列中哪些是等比数列？ （1）1，4，16，64，256， 是，q=4
（2）-2，4，-8，16，-32， 是，q=-2
（3）0，1，2，4，8，
否
（4）-3，-3，-3，-3，-3， 是，q=1 练2：在等比数列{bn}中，b1=2，公比为2，则
b6的值为_____6_4_____ ．
牢记在心
a
1.等
比
数
列 ： n q(q 0, n 2, n N * )
a
n 1
2.等 比 中 项 公 式 ：G ab
3. 等 比 数 列 通 项 公 式 ：
a a qn1 (q 0,且n 2, n N * )
n
1
课后作业：今日事，今日毕
1.完成课后探究任务。 2.整理今天讲的知识点。 3.课本P53习题2.4 A组 1：（1）（2）（3）
自我测验
练3： 2 1与 2 -1的等比中项是：___1__.
练4：正项等比数列{an}中，满足a2，a5是方程
x2-7x+10=0的两根,则lga2+lga5= （ B ）
A.﹣1 B.1
C.2
D.0
课后探究
如果能将一张厚度为0.05mm的报纸对折，再 对折，再对折……对折4次后报纸层数是多 少？厚度呢？对折50次后厚度又是多少？你 相信这时报纸的厚度超过了地球和月球之间 的距离了吗？
人教A版高中数学必修五课件：2.4等比数列(共14张PPT)
数列，那么G叫做a与b的等比中知项.
(1) 2，a，8
(2) -4 ，b，c,
1 2
变式3：观察如下的两个数之间，插入一个什么数 后者三个数就会成为一个等比数列：
（1）1，±3 ， 9 （3）-12，±6 ，-3
（2）-1，±2 ，-4 （4）1，±1 ，1
an a1 *qn1
解得 因此， 答：这个数列的第1项与第2项分别是
课后练习 课后习题
数列 定义式 公差（比）
等差数列
an+1-an=d d 叫公差
等比数列
an1 q an q叫公比
定义变形
an+1=an+d
an+1=an q
通项公式 an= a1+(n-1)d
一般形式
an=am+(n-m)d
d an am nm
an=a1qn-1
an=amqn-m
qnm an am
例4：一个等比数列的第３项和第４项分别是12和18， 求它的第１项和第２项． 解：用｛an｝ 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有
等比数列定义
一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项 的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数
叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
其数学表达式：
an q(n 2) 或 an1 q(n N *)
an1
an
例1：判别下列数列是否为等比数列?
21
(1)
2, 1,
2
,, 2
第二章 数列
2.4 等比数列
比较下列数列
（1）1, 2, 22 , 23 ,…… , 263
（2）
1 2
,
(1) 2，a，8
(2) -4 ，b，c,
1 2
变式3：观察如下的两个数之间，插入一个什么数 后者三个数就会成为一个等比数列：
（1）1，±3 ， 9 （3）-12，±6 ，-3
（2）-1，±2 ，-4 （4）1，±1 ，1
an a1 *qn1
解得 因此， 答：这个数列的第1项与第2项分别是
课后练习 课后习题
数列 定义式 公差（比）
等差数列
an+1-an=d d 叫公差
等比数列
an1 q an q叫公比
定义变形
an+1=an+d
an+1=an q
通项公式 an= a1+(n-1)d
一般形式
an=am+(n-m)d
d an am nm
an=a1qn-1
an=amqn-m
qnm an am
例4：一个等比数列的第３项和第４项分别是12和18， 求它的第１项和第２项． 解：用｛an｝ 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有
等比数列定义
一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项 的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数
叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
其数学表达式：
an q(n 2) 或 an1 q(n N *)
an1
an
例1：判别下列数列是否为等比数列?
21
(1)
2, 1,
2
,, 2
第二章 数列
2.4 等比数列
比较下列数列
（1）1, 2, 22 , 23 ,…… , 263
（2）
1 2
,
课件6：§2.4 等比数列
所以 a ＋1 是以
n
2
为公比的等比数列．
(2)解：由(1)可知an＋1是以 a1＋1＝2 为首项， 2 为公比的等比数列， 所以 an＋1＝2×2n－1，所以 an＝2n－1.
方法点评：等比数列的判断方法主要有以下几种：
(1)定义法：aan＋n1＝q(q 是不为 0 的常数，n∈N*)⇔{an}是等 比数列；
§2.4 等比数列
自主学习 1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比 等于同一个常数，那么这个数列叫做__等__比____数列，这 个常数叫做等比数列的__公__比____，公比通常用字母q表示 (q≠0)． 2．如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数 列，那么G叫做a与b的__等__比__中__项____． 3．等比数列的通项公式为__a_n_＝__a_1q_n_－_1__．
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C．an＝a3qn－3
D．an＝a3qn－4
【解析】∵a3qn－3＝a1·q2·qn－3＝aqn－1＝an.
【答案】C
2．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．a＋c＝9 B. ac＝9
C．a＋c＝－9
D．ac＝－9
【解析】∵b是－1，－9的等比中项，∴b2＝9.而b又是
a，c的等比中项，故b2＝ac，ac＝9，故选B.
自主探究 1．等比数列的公比能否为0，首项能否为0? 【答案】等比数列的首项，公比都不为0 2．若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？ 【答案】不一定，因为若G＝0且a，b中至少有一个为0，使 G2＝ab，根据等比数列的定义知a，G，b不成等比数列．当 a，G，b全不为零时，若G2＝ab，则a，G，b成等比数列．
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21.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
等比数列的 定义
练习：
观察以下数列，判定它是否是等比数列，若是，写出公比；
若不是说出理由。
⑴. 1，1，1，1，。 248
⑵. －1，－2，－4，－8，。 ⑶. －1，2，－4，8，。 ⑷. －1，－1，－1，－1，。 ⑸. 1，0，1，0，。 ⑹. 0，－见，表示这个等比数列
6
的各点都在函数
y
1 2
2x
5
的图象上，如右图所示。
4
·
3
2
·
结论 ： 等比数 an列 的图象 1 ·是其对应
函数的图象上的 一点 些 0 1孤2 立 3 4 n
21.05.2019
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图象
例题讲解
(是，q 1) 2
（是，q＝2）
（是，q=－2）
（是，q＝1） （不是） （不是）
21.05.2019
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怎样推导等比数列的通项公式?
等差推导
已知等比数列｛an｝的首项是a1，公比是q，求an．
方法一: 由定义： a n q 得到： a n 1
A.x≠1
C.x≠0
6.在等比数列中，已知首项为 9
项数是＿B＿＿
8
B.x≠0，或x≠1
D.x≠0, 且x≠1
1
，末项为
，公比为 2
3
3
，则
A.3
B.4
C.5
D.6
21.05.2019
小结
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例３．一个等比数列的第３项和第４
项分别是１２和１８，求它的第１项和 第２项．
7 6
5
4
3 2
1●
●
●
●
●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
●
●
●
●
●
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若数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则用通项公式表示是：
＿a＿n=＿2 n－＿1 ＿＿
上式还可以写成
an
1 2n 2
3.某种汽车购车时的价格是10万元，每年的折旧率是15％，这辆车 各年开始的价值（单位：万元）分别是：
10， 10×0.85，10×0.852，10×0.853 ，… 。
③
思考：以上三个数列有什么共同特点？
21.05.2019
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等比数列的定义
4.由下列等比数列的通项公式，求首项与公比：
⑴an=2n ；
2
an
110n. 4
解：⑴a1=2，q＝2
⑵a1
105,q10 42
21.05.2019
小结
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5.已知数列x，x(1－x)，x(1－x)2，…是等比数列，则实数x的取值 范围是＿＿D ＿
数列①②③的共同特点是：从第二项起，每
一项与前一项的比等于同一个常数。
定义：一般地，如果一个数列从第二项起，
每一项与它前一项的比等于同一个常数，
那么这个数列就叫做等比数列，这个常数
叫做等比数列的公比，公比通常用字母q
表示（q≠0）
用数学符号表示：
an an1
q(q0,n2,nN)an是等比
等比数列的图象１ 10 9 （2）数列： 8,4,2,1, 1, 1,1, 2 48 8●
7 6
5
4
●
3
2
●
1
●
● ●●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
21.05.2019
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等比数列的图象２ 10 9 （1）数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，… 8
a2 = a1q， a3=a2q=a1q2， a4=a3q=a2q2=a1q3， ……
由此得到 an=a1qn-1
方法二：由定义： a n q 得到：
a n 1
a2 q, a 3 q,
a1
a2
a4 q, a3
……
an q(n2) an 1
a a1 2a a2 3a a3 4 aa nn 1( q n－ 1 )个 q ＝ qn 1
a31,2a41,8
即a1q a1q
分析：可由等比数列的知识求解
21.05.2019
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21.05.2019
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例２ 见课本Ｐ５７
21.05.2019
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a n ＝ a 1q n 1(n N )
21.05.2019
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等比数列的通项公式： an=a1qn-1 （n∈N﹡,q≠0）
特别地，等比数列{an}中，a1≠0,q≠0
21.05.2019
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等比数列
21.05.2019
写出下面三个问题中的数列。
1.依次写出下面四个边长为1的正方形中的黄色部分的面积:
1
1
1
1
2
4
8
16
①
2.某市近十年的国内生产总值从2000亿元开始，每年以10％的速度 增长，近十年的国内生产总值（单位：亿元）分别是：
2000，2000×1.1， 2000×1.12，…， 2000×1.19 。 ②
补充练习
1.等比数列｛an｝中，a1＝1，q＝－3，则a8＝－__3_7 _, an=（__－__3_）__n_－_1_.
2.等比数列｛an｝中，a1＝2，a9＝32，则q＝___2_。
3.一个等比数列的第9项是16，公比是－2，则它的第1项
a1=__161___.
21.05.2019
小结
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(分析：要求第１项和第２项，必 先求公比q. 可利用方程的思想进行求解。)
21.05.2019
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． 例３ 一个等比数列的第３项和第４项分别是１
２和１８，求它的第１项和第２项．
解 ：用｛an｝ 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有