线性移不变系统的因果性和稳定性

单位抽样响应 h(n)=T[(n)]
设系统输入序列x(n）, 输出序列y(n)
x(n) x(m) (n m)
m
y(n) T[ x(m) (n m)]
m
x(m)T[ (n m)] 满足比例性和可加性
m
＝ x(m)h(n-m)
满足移不变性
m=-
线性移不变系统的因果性和稳定性
结论：
方法一： T[x(n)]=nx(n)=y(n) T[x(n-m)]=nx(n-m)
而y(n-m)=(n-m)x(n-m)
显然：T[x(n-m)] y(n-m) 时变系统
线性移不变系统的因果性和稳定性
方法二：寻找一个反例
x1(n)=(n) y1(n)=n(n)=0
x2 (n)=x1(n-1)=δ(n-1)
探讨
y2 (n) n (n 1) (n 1)
该系统是有移变增量n的系统，若已知当前的输入是1，而不知
当前所在时刻，仍不能确定当前的输出是多少。
结论：系统有一个移变的增益，则系统一定是一个移变系统
线性移不变系统的因果性和稳定性
深入讨论
例：考虑y(n)=x(2n)是否为移不变系统？
x1(n)
5
4
x(n) *[h1(n) * h2 (n)] [x(n)* h2 (n)]* h1(n)
x(n) h1(n)
y(n) x(n)
h2(n)
h2(n)
y(n) h1(n)
x(n)
y(n)
h1(n)*h2(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性
3、分配律
x(n) *[h1(n) h2 (n)] x(n) * h1(n) x(n) * h2(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性
2、移不变系统
若系统响应与激励加于系统的时刻无关，则称为移不变系统。 即：若输入x(n）产生输出为y(n)，则输入x(n-m)产生输出 y(n-m)。输入移动多少位，输出也移动相同的位数。
若： T[x(n)]=y(n），则有：
T[x(n m)] y(n m)
m为任意整数
线性移不变系统的因果性和稳定性 例：证明y(n)=ax(n)+b 是移不变系统
设m为任一固定整数。已知：T[x(n）]=ax(n)+b=y(n)
而： T[x(n-m)]=ax(n-m)+b 满足： T[x(n-m)]=y(n-m)
线性移不变系统的因果性和稳定性
例：y(n)=nx(n)，讨论该系统是否为移不变系统。
x(n)
y(n)
x(n)
y(n)
h1(n)+h2(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性
因果系统
某时刻的输出只取决于此时刻和此时刻以前的时刻的输 入的系统。
即：n=n0的输出y(n)只取决于n n0的输入x(n) |nn0
对于因果系统：若n<n0，x1(n)=x2(n)，则n<n0时，y1(n)=y2(n)
4
3
3
2 1
2 1
-4
0
4n
线性移不变系统的因果性和稳定性
y1(n)
5
3
3
1
1
-2
02
n
x2(n)=x1(n-2)
5
4
4
3
3
2 1
21
-2 0
4 6n
线性移不变系统的因果性和稳定性
y2(n)
5
3
3
1
1
-2 0
3
n
y1(n)
5
3 1
3 1
-2 0 2
n
线性移不变系统的因果性和稳定性
LSI系统输入与输出的关系
y(n)=
1 2N+1
k
N
x(n
k
)
线性移不变系统的因果性和稳定性
LSI系统是因果系统的充分必要条件
h(n) 0， n<0
引伸
更一般的，对于一个线性系统，它的因果性就等效于初始松弛 条件。 将n<0,x(n)=0的序列叫因果序列，表示这个因果序列可以作 为一个因果系统的单位抽样响应。
问题：
频率特性为理想矩形的低通滤波器是否为因果系统？
线性移不变系统的因果性和稳定性
稳定系统
稳定系统是指有界输入产生有界输出（BIBO）的系统。 若：x(n) M 则：y(n) P
LSI系统是稳定系统的充分必要条件：
h(n) P
n
结论：因果稳定的LSI系统的单位抽样响应是因果的（单边的） 且是绝对可和的。
线性移不变系统的因果性和稳定性
=ax1(n)+ax2(n)+b=y(n)
显然： y(n) y1(n)+y2(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性
问题：为何系统的方程是一线性方程，而却不是
一线性系统？
y0(n)
x(n)
线性系统
y(n)
ax(n)
线性系统部分： T[x(n)]=ax(n)
零输入响应[输入 x(n）＝0时的输出]是： y0(n)=b
2、线性移不变系统的因果性和稳定性
1.3时域离散系统 时域离散系统的一般表达：
yБайду номын сангаасn) T[x(n)]
x(n)
离散时间系统
y(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性
线性系统：满足叠加原理的系统
1、可加性
若：y1(n) T[x1(n)]，y2(n)=T[x2(n)]
则：T[x1(n) x2 (n)] T[x1(n)] T[x2 (n)] y1(n) y2 (n)
2、比例性：
线性系统的一个特征：在全部时间为 零输入时，其输出也恒等于零。即：
T[x1 (n)]=y1 (n)
零输入产生零输出
则：T[ax1 (n)]=aT[x1 (n)]=ay1 (n)
线性移不变系统的因果性和稳定性
例：证明y(n)=ax(n)+b(a、b为常数）所代表的系统 不是线性系统。
证：设T[x1(n)]=ax1(n)+b T[x2(n)]=ax2(n)+b 则：T[x1(n)+x2(n)]=a[x1(n)+x2(n)]+b
非因果系统
系统现在的输出还取决于未来的输入
线性移不变系统的因果性和稳定性
理解：
因果系统固然重要，但并不是所有有实际意义的系统 都是因果系统。
（1）、图像处理。变量不是时间，此时，因果性往往不是 根本性的限制。
（2）、非实时情况。待处理的数据事先记录下来。例如：
为了去除噪声的变化，保留总的缓慢的变化趋势，常作取平均。
y(n) x(n)*h(n)
x(n)
LSI系 统
y(n)=x(n)*h(n)
h(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性
LSI系统性质
1、交换律
y(n) x(n)*h(n) h(n)* x(n)
x(n)
h(n)
y(n)
h(n)
x(n)
y(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性
2、结合律
x(n) * h1(n) * h2 (n) [x(n) * h1(n)]* h2 (n)
例：某LSI系统，其单位抽样响应为：h(n)=anu(n),讨论其 因果性和稳定性。