线性移不变系统的因果性和稳定性
1-2 离散线性移不变系统
X
第
因果系统、稳定系统
因果系统：输出变化不领先于输入变化的系统。 因果系统：输出变化不领先于输入变化的系统。 对于线性移不变系统是因果系统的充要条件： 对于线性移不变系统是因果系统的充要条件： 线性移不变系统
n< 0 h(n) = 0
7 页
一个非因果系统的例子 一个非因果系统的例子 线性移不变系统是稳定系统的充要条件： 线性移不变系统是稳定系统的充要条件：
m=−∞ ∞ m=−∞
∑x(m)δ (n − m)
= x(n) ∗ h(n)
∞
∑x(m)h(n − m)
加权。 处由 x(m)加权。 卷积和的公式表明： 卷积和的公式表明：
系统对x(n) 的响应= 每一样值产生的响应之 ，在各 和
∗ h(n)。 =
i i
X
第
二 移不变系统 x(n) → y(n)，(n − N) → y(n − N) x
x(n)
3 页
整个序列右移 N位
y(n)
1 −1 O 1 2 3 n
x(n − N)
系统
1
−1 O
1 2 3 4
y(n − N)
n
1
−1 O
系统
1
−1 O N
N
n
n
X
第
三 单位抽样响应与卷积和
x δ : 任意序列 (n)表示为 (n)的加权移位之线性组合
x(n) =
x(n) δ (n)
m=−∞
4 页
∑x(m)δ (n − m)
h(n) y(n) h(n)
∞
设
T[δ (n)] = h(n)
X
第 5 页
时不变性 均匀性 可加性 输出
浙工大数字信号处理题库
信号采样、奈奎斯特定律选择题1. 在对连续信号均匀采样时，若采样角频率为Ωs ，信号最高截止频率为Ωc ，则折叠频率为( D )。
采样频率之半。
A. ΩsB. ΩcC. Ωc /2D. Ωs /22. 要从抽样信号不失真恢复原连续信号，应满足下列条件的哪几条( D )。
(Ⅰ) 原信号为带限(Ⅱ) 抽样频率大于两倍信号谱的最高频率 (Ⅲ) 抽样信号通过理想低通滤波器A.Ⅰ、ⅡB.Ⅱ、ⅢC.Ⅰ、ⅢD.Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ3. 在对连续信号均匀采样时，要从离散采样值不失真恢复原信号，则采样周期Ts 与信号最高截止频率f h 应满足关系( D )。
A. Ts>2/f h B. Ts>1/f h C. Ts<1/f h D. Ts<1/(2f h )4. 若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，则只要将抽样信号通过( A )即可完全不失真恢复原信号。
A. 理想低通滤波器B. 理想高通滤波器C. 理想带通滤波器D. 理想带阻滤波器5. 若序列的长度为M ，要能够由频域抽样信号X(k)恢复原序列，而不发生时域混叠现象，则频域抽样点数N 需满足的条件是( A ) A. N ≥M B. N ≤M C. N ≥M/2 D. N ≤M/2信号、序列选择题1. 数字信号的特征是( B )A. 时间离散、幅值连续B. 时间离散、幅值量化C. 时间连续、幅值量化D. 时间连续、幅值连续 2. 下列哪一个单位抽样响应所表示的系统不是因果系统?( D )A. h(n)=δ(n)B. h(n)=u(n)C. h(n)=u(n)-u(n-1)D. h(n)=u(n)-u(n+1) 与未来有关，非因果 3．下列关系正确的为（ C ）A ．u(n)=∑=nk 0δ (n)B ．u(n)=∑∞=0k δ (n) C ．u(n)=∑-∞=n k δ (n) D ．u(n)=∑∞-∞=k δ (n)4．下列序列中属周期序列的为( D )。
数字信号处理复习总结-最终版
绪论:本章介绍数字信号处理课程的基本概念。
0.1信号、系统与信号处理1.信号及其分类信号是信息的载体，以某种函数的形式传递信息.这个函数可以是时间域、频率域或其它域，但最基础的域是时域。
分类：周期信号/非周期信号确定信号/随机信号能量信号/功率信号连续时间信号/离散时间信号/数字信号按自变量与函数值的取值形式不同分类：2.系统系统定义为处理（或变换）信号的物理设备,或者说,凡是能将信号加以变换以达到人们要求的各种设备都称为系统。
3。
信号处理信号处理即是用系统对信号进行某种加工。
包括：滤波、分析、变换、综合、压缩、估计、识别等等。
所谓“数字信号处理”,就是用数值计算的方法，完成对信号的处理.0.2 数字信号处理系统的基本组成数字信号处理就是用数值计算的方法对信号进行变换和处理。
不仅应用于数字化信号的处理，而且也可应用于模拟信号的处理。
以下讨论模拟信号数字化处理系统框图。
（1）前置滤波器将输入信号x a（t)中高于某一频率（称折叠频率,等于抽样频率的一半）的分量加以滤除。
（2)A/D变换器在A/D变换器中每隔T秒（抽样周期)取出一次x a(t)的幅度，抽样后的信号称为离散信号。
在A/D 变换器中的保持电路中进一步变换为若干位码。
（3）数字信号处理器（DSP）(4）D/A变换器按照预定要求,在处理器中将信号序列x（n)进行加工处理得到输出信号y（n）。
由一个二进制码流产生一个阶梯波形，是形成模拟信号的第一步.（5）模拟滤波器把阶梯波形平滑成预期的模拟信号；以滤除掉不需要的高频分量，生成所需的模拟信号y a(t）.0.3 数字信号处理的特点（1）灵活性.(2）高精度和高稳定性。
(3)便于大规模集成。
（4）对数字信号可以存储、运算、系统可以获得高性能指标。
0。
4 数字信号处理基本学科分支数字信号处理（DSP)一般有两层含义，一层是广义的理解，为数字信号处理技术-—DigitalSignalProcessing,另一层是狭义的理解,为数字信号处理器—-DigitalSignalProcessor.0。
《数字信号处理》试题库答案
一.填空题1、一线性时不变系统，输入为x（n）时，输出为y（n）；则输入为2x（n）时，输出为2y(n) ；输入为x（n-3）时，输出为y(n-3) 。
2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs与信号最高频率f max关系为：fs>=2f max。
3、已知一个长度为N的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换为X（e jw），它的N点离散傅立叶变换X （K）是关于X（e jw）的N 点等间隔采样。
4、有限长序列x(n)的8点DFT为X（K），则X（K）= 。
5、用脉冲响应不变法进行IIR数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的交叠所产生的混叠现象。
6．若数字滤波器的单位脉冲响应h（n）是奇对称的，长度为N，则它的对称中心是(N-1)/2 。
7、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波器的过渡带比较窄，阻带衰减比较小。
8、无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的结构上有反馈环路，因此是递归型结构。
9、若正弦序列x(n)=sin(30nπ/120)是周期的,则周期是N= 8 。
10、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，过渡带的宽度不但与窗的类型有关，还与窗的采样点数有关11．DFT与DFS有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的主值区间截断，而周期序列可以看成有限长序列的周期延拓。
12．对长度为N的序列x(n)圆周移位m位得到的序列用x m(n)表示，其数学表达式为x m(n)=x((n-m))N R N(n)。
13．对按时间抽取的基2-FFT流图进行转置，并将输入变输出，输出变输入即可得到按频率抽取的基2-FFT流图。
14.线性移不变系统的性质有交换率、结合率和分配律。
15.用DFT近似分析模拟信号的频谱时，可能出现的问题有混叠失真、泄漏、栅栏效应和频率分辨率。
16.无限长单位冲激响应滤波器的基本结构有直接Ⅰ型，直接Ⅱ型，串联型和并联型四种。
线性系统理论(第五章)系统运动的稳定性
的一个状态 。
t [t0,)
如果 xe 不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换，使 xe 0，
因此，平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点的稳定性问题。
对线性定常系统：x Ax 其平衡状态 Axe 0
A 非奇异，只存在一个位于状态空间原点的平衡状态。
主要内容为： •外部稳定性和内部稳定性 李亚普诺夫意义下稳定性的一些基本概念 •李亚普诺夫第一法 •李亚普诺夫第二法 •性连续系统的稳定性 •线性定常离散系统的稳定性
§5.1 外部稳定性和内部稳定性
一、外部稳定性
外部稳定性：称一个因果系统为外部稳定（BIBO）是指对任何
一个有界输入u(t), ‖u(t)‖≤β1<∞ t [t0, ) 的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即
§5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念
一、李亚普诺夫第一方法和第二方法 李亚普诺夫第一方法也称李亚普诺夫间接法，属于小范围 稳定性分析方法。是求出线性化以后的常微分方程的解， 从而分析原系统的稳定性。
李亚普诺夫第二方法也称李亚普诺夫直接法，不需要求解 微分方程的解，就能够提供系统稳定性的信息。
x2 x2
fx22
可见，只有在 x2 0 时，d E / dt 0 。在其他各处均有d E / dt 0 ，
这表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。
Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。
二、自治系统、平衡状态和受扰运动
1、自治系统：没有输入作用的一类动态系统
x f (x,t) x(t0) x0 t [t0,)
A 奇异，存在无穷多个平衡状态。
3、受扰运动：动态系统的受扰运动定义为其自治系统由初始 状态扰动 x0 引起的一类动态运动，即系统的状态零输入响 应。
《现代数字信号处理》各章习题-电子文本
y (n) = x(n) + f (n) ，其中 f (n) 是已知的确定性序列。试求 y (n) 的均值 my (n) 和自相
关 ry ( k , l ) 。 2.3 设离散时间随机过程 x(n) 是如下产生： x( n) =
2
k =1
∑ a(k ) x(n − k ) + w(n) ，其中 w(n) 是
1 −1 1 z ) /(1 − z −1 ) ，它受零均 2 3 值的指数相关噪声 x(n)的激励产生随机过程 y ( n) = x( n) ∗ h( n) 。已知 x(n)的自相关序列 1 k 为 rx (k ) = ( ) ，试求： 2 (a) y (n) 的功率谱 Py ( z ) ； (b) y (n) 的自相关序列 ry (k ) ；
N N ), n = 0,1,..., − 1 ，其中 N 是偶数。 2 2 (a) 证明 x(n) 的 N 点 DFT 仅有奇次谐波，即：k 为偶数时， X (k ) = 0 。 (b) 证明如何由一个经过适当调整的序列的 N/2 点 DFT 求得 x(n) 的 N 点 DFT。
1.18 一个特定的计算机辅助滤波器设计的结果是如下的二阶因果滤波器： 1 + 2 z −1 + z −2 H ( z) = 1 − 2 z −1 + 1.33 z −2 试证明这个滤波器是不稳定的，并求一个和 H ( z ) 有相同幅频响应的因果稳定滤波器。 1.19 一个离散时间线性移不变系统的系统函数是 H ( z ) ，假设 H ( z ) 是 z 的有理函数，且 H ( z ) 是因果稳定的。试判断下面哪个系统是因果的，哪个是稳定的： (a) G ( z ) = H ( z ) H ∗ ( z ∗ ) 。 (c) G ( z ) = H ( z −1 ) 。 (b) G ( z ) = H ' ( z ) ，这里 H ' ( z ) = (d) G ( z ) = H (− z )
数字信号处理期末试题库(精心整理)
一、单项选择题(10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的三个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
1. 下面说法中正确的是。
A.连续非周期信号的频谱为周期连续函数B.连续周期信号的频谱为周期连续函数C.离散非周期信号的频谱为周期连续函数D.离散周期信号的频谱为周期连续函数2. 要处理一个连续时间信号，对其进行采样的频率为3kHz，要不失真的恢复该连续信号，则该连续信号的最高频率可能是为。
A．6kHz B．1．5kHz C．3kHz D．2kHz3.已知某序列Z变换的收敛域为5>|z|>3，则该序列为。
A.有限长序列B.右边序列C.左边序列D.双边序列4. 下列对离散傅里叶变换（DFT）的性质论述中错误的是。
A.DFT是一种线性变换B. DFT可以看作是序列z变换在单位圆上的抽样C. DFT具有隐含周期性D.利用DFT可以对连续信号频谱进行精确分析5. 下列关于因果稳定系统说法错误的是。
A．极点可以在单位圆外B．系统函数的z变换收敛区间包括单位圆C．因果稳定系统的单位抽样响应为因果序列D．系统函数的z变换收敛区间包括z=∞6. 设系统的单位抽样响应为h(n)，则系统因果的充要条件为。
A．当n>0时，h(n)=0 B．当n>0时，h(n)≠0C．当n<0时，h(n)=0 D．当n<0时，h(n)≠07. 要从抽样信号不失真恢复原连续信号，应满足下列条件的哪几条?答。
(I)原信号为带限 II)抽样频率大于两倍信号谱的最高频率(III)抽样信号通过理想低通滤波器A.I、IIB.II、IIIC.I、III D.I、II、III8. 在窗函数设计法,当选择矩形窗时,最大相对肩峰值为8.95%，N增加时， 2π/N减小，起伏振荡变密，最大相对肩峰值则总是8.95%，这种现象称为。
A．吉布斯效应B．栅栏效应C．泄漏效应 D．奈奎斯特效应9. 下面关于IIR滤波器设计说法正确的是。
数字信号处理教案(东南大学)
数 字 信 号 处 理绪 论一、从模拟到数字1、信号：信号传递信息的函数也是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。
2、连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。
3、模拟信号是连续信号的特例。
时间和幅度均连续。
4、离散信号：时间上不连续，幅度连续。
5、数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连续。
二、数字信号处理的主要优点数字信号处理采用数字系统完成信号处理的任务，它具有数字系统的一些共同优点，例如数码 量化电平 数字信号 D/A 输出信号 模拟信号 数字信号转化成模拟信号 D/A 输出 模拟滤波输出 模拟信号的数字化 数字信号 数码 量化电平 模拟信号采样保持信号 量化电平 A / D 变换器 通用或专用 计算机 采样 保持器 D/ A 变换器 模拟低通 滤波器 模拟信号 数字信号 模拟信号 数字信号处理系统 连续时间信号 连续时间信号抗干扰、可靠性强，便于大规模集成等。
除此而外，与传统的模拟信号处理方法相比较，它还具有以下一些明显的优点：1、精度高在模拟系统的电路中，元器件精度要达到以上已经不容易了，而数字系统17位字长可以达到的精度，这是很平常的。
例如，基于离散傅里叶变换的数字式频谱分析仪，其幅值精度和频率分辨率均远远高于模拟频谱分析仪。
2、灵活性强数字信号处理采用了专用或通用的数字系统，其性能取决于运算程序和乘法器的各系数，这些均存储在数字系统中，只要改变运算程序或系数，即可改变系统的特性参数，比改变模拟系统方便得多。
3、可以实现模拟系统很难达到的指标或特性例如：有限长单位脉冲响应数字滤波器可以实现严格的线性相位；在数字信号处理中可以将信号存储起来，用延迟的方法实现非因果系统，从而提高了系统的性能指标；数据压缩方法可以大大地减少信息传输中的信道容量。
4、可以实现多维信号处理利用庞大的存储单元，可以存储二维的图像信号或多维的阵列信号，实现二维或多维的滤波及谱分析等。
5、缺点（1）增加了系统的复杂性。
系统的因果性和稳定性
LSI系统是因果系统的充要条件：
h(n) 0 n 0
满足上式的序列称为因果序列，因此因果系统的单位取样 响应必然是因果序列。因果性系统的条件从概念上也容易 理解，因为单位取样响应是输入为δ(n)的零状态响应，在 n=0时刻以前即n<0时，没有加入信号，输出只能等于零， 注：关于此条件的严格证明可参考程佩青《数字信号处理 教程〉
N4 N0 N2
N5 N1 N3
x(n) h(n)
0 N0 N1 h(n m)
n0
N1 N00
m
h(n m)
0 n N0 m h(n m)
n 0 N2 N3
n
h(n m)
n N0 N2
0 N2
m
h(n m) n N1 N3
m
0
n N1 m 0
N3
3. 判断以下系统是否是（1）线性（2） 移不变（3）因果（4）稳定的？
由于x2 (n) x1(n 1)，而y2 (n) y1(n 1) y(1) 1边界条件下的系统不是移不变系统
当输入x3(n) x1(n) x2 (n) (n) (n 1)时，输出 y3(n) (1 a) (n) (1 a a2 )an1u(n 1)
an1u(n 1) y1(n) y2 (n) 不满足可加性 y(1) 1边界条件下的系统不是线性系统
（1）若边界条件
y(1) 0
求其单位抽样响应。 （2）若边界条件
求y其(单1) 位1抽样响应，并判断是否为 线性时不变系统。
解：1)令输入x(n) (n)，则输出y(n) h(n)，
又已知y(1) 0
数字信号处理试题(1)
、单项选择题1. 序列 x(n)=Re(e jn 皿)+1 m (e jn 皿),周期为()。
n A. 18B. 72C. 18 nD. 362. 设C 为Z 变换X(z)收敛域内的一条包围原点的闭曲线， F(z)=X(z)z n-1,用留数法求X(z)的反变换时()。
5、人(n)二R ,0(n) , X 2(n)二R 7(n)，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使 DFT 的长度N 满足 _______________ A. N 16 B. N =16C. N ：166. 设系统的单位抽样响应为 h(n)= S (n)+2 S (n-1)+5 S (n-2),其频率响应为( j 3 j « j2 3 j5 3j 3-j 3-j2 3A. H(e j )=e j +e j +e jB. H(e j)=1+2e j+5e jj 3 -j 3-j2 3 -j5 3j 3 1 -j 3 1 -j2 3 C. H(e j)=e j +e j+e jD. H(e j)=1+ —e j +—e j257.设序列 x(n)=2 S (n+1)+ S(n)- S (n-1)，贝U X(e j 3)| 3=0 的值为()。
A. 1B. 2C. 4D. 1/28. 设有限长序列为 x(n), N 1< n W N 2,当N K 0,N 2>0 , Z 变换的收敛域为( )。
A. 0<|z|< gB. |z|>0C. |z|<gD. |z|W89.在对连续信号均匀采样时，要从离散采样值不失真恢复原信号，则采样角频率 Qs 与信号最高截止频率 Qc 应满足关系() A. Q s>2 Q c B. Q s> Q c C. Q s< Q cD. | Q s<2 Qc10.下列系统(其中y(n)为输出序列，x(n)为输入序列)中哪个属于线性系统？( )A.y( n)=y( n-1)x(n)B.y( n)=x( n) /x( n+1)C.y( n)=x( n)+1D.y( n)=x (n )-x( n-1)11.已知某序列Z 变换的收敛域为5>|z|>3，则该序列为()A. 只能用F(z)在C 内的全部极点B. 只能用F(z)在C 外的全部极点C.必须用收敛域内的全部极点3.有限长序列h(n)(0 < n W N-1)关于D.用F(z)在C 内的全部极点或C 外的全部极点N - 1-一1偶对称的条件是2)。
数字信号处理期末考试试题以及参考答案
2009-2010学年第二学期通信工程专业《数字信号处理》（课程）参考答案及评分标准一、选择题（每空1分，共20分）1．序列⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n x 6sin 4cos )(ππ的周期为（A ）。
A ．24B ． 2πC ．8D ．不是周期的2．有一连续信号)40cos()(t t x a π=，用采样间隔s T 02.0=对)(t x a 进行采样，则采样所得的时域离散信号)(n x 的周期为（C ）A ．20B ． 2πC ．5D ．不是周期的3．某线性移不变离散系统的单位抽样响应为)(3)(n u n h n =，该系统是（B ）系统。
A ．因果稳定B ．因果不稳定C ．非因果稳定D ．非因果不稳定4．已知采样信号的采样频率为s f ，采样周期为s T ，采样信号的频谱是原模拟信号频谱的周期函数，周期为（A ），折叠频率为（C ）。
A ． s fB ．s TC ．2/s fD ．4/s f5．以下关于序列的傅里叶变换)(ωj e X 说法中，正确的是（B ）。
A ．)(ωj e X 关于ω是周期的，周期为πB ．)(ωj e X 关于ω是周期的，周期为π2C ．)(ωj e X 关于ω是非周期的D ．)(ωj e X 关于ω可能是周期的也可能是非周期的6．已知序列)1()()1(2)(+-+-=n n n n x δδδ，则0)(=ωωj e X 的值为（C ）。
A ．0B ．1C ．2D ．3 7．某序列的DFT 表达式为∑-==1)()(N n nk MWn x k X ，由此可看出，该序列的时域长度是（A ），变换后数字域上相邻两个频率样点之间的间隔（C ）。
A ．N B ．M C ．M /2π D ． N /2π8．设实连续信号)(t x 中含有频率40Hz 的余弦信号，现用Hz f s 120=的采样频率对其进行采样，并利用1024=N 点DFT 分析信号的频谱，得到频谱的谱峰出现在第（B ）条谱线附近。
数字信号处理与DSP实现技术课后习题与参考答案
21世纪高等院校电子信息类规划教材安徽省高等学校“十二五”省级规划教材数字信号处理与DSP实现技术课后习题与参考答案主编：陈帅副主编：沈晓波淮南师范学院2015.11第1章绪论思考题1．什么是数字信号？2．什么是数字信号处理？3．数字信号处理系统的实现方法有哪些？4．数字信号处理有哪些应用？5．数字信号处理包含哪些内容？6．数字信号处理的特点是什么？第1章绪论参考答案1．时间和幅度都离散的信号称为数字信号，即信号的时间取离散的值，幅度也取离散的值。
2．数字信号处理是指在数字领域进行数字信号的加工（变换、运算等），即输入是数字信号，采用数字信号处理方法进行处理，输出仍然是数字信号。
3．数字信号处理系统的实现方法有①通用软件方法实现系统；②专用加速处理机方法；③软硬件结合的嵌入式处理方法；④硬件方法。
4．数字信号处理在通信、计算机网络、雷达、自动控制、地球物理、声学、天文、生物医学、消费电子产品等各个领域均有应用，是信息产业的核心技术之一。
比如信源编码、信道编码、多路复用、数据压缩，数字语音、汽车多媒体、MP3/MP4/MP5、数字扫面仪、数字电视机顶盒、医院监视系统、生物指纹系统等。
5．数字信号处理主要包含以下几个方面的内容①离散线性时不变系统理论。
包括时域、频域、各种变换域。
②频谱分析。
FFT谱分析方法及统计分析方法，也包括有限字长效应谱分析。
③数字滤波器设计及滤波过程的实现（包括有限字长效应）。
④时频-信号分析（短时傅氏变换），小波变换，时-频能量分布。
⑤多维信号处理（压缩与编码及其在多煤体中的应用）。
⑥非线性信号处理。
⑦随机信号处理。
⑧模式识别人工神经网络。
⑨信号处理单片机(DSP)及各种专用芯片(ASIC)，信号处理系统实现。
6．数字信号处理主要具有4个方面优点：①数字信号精度高；②数字信号处理灵活性强；③数字信号处理可实现模拟信号难以实现的特性；④数字信号处理可以实现多维信号处理。
数字信号处理主要存在3个方面缺点：①需要模拟接口等增加了系统复杂性；②由于取样定理的约束其应用的频率受到限制；③功耗大。
(完整版)数字信号处理教程程佩青课后题答案
第一章 离散时间信号与系统2.任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与δ(n-n 0)卷积x(n- n 0),所以（1）结果为h(n) (3)结果h(n-2) （2（4）3 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。
4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)6()( )( )n 313si n()( )()873cos()( )(ππππ-==-=n j e n x c A n x b n A n x a分析：序列为)cos()(0ψω+=n A n x 或)sin()(0ψω+=n A n x 时，不一定是周期序列，nmm m n n y n - - -∞ = - ⋅ = = ≥ ∑ 2 31 2 5 . 0 ) ( 01当 3 4n m nm m n n y n 2 2 5 . 0 ) ( 1⋅ = = - ≤ ∑ -∞ = - 当 aa a n y n a a an y n n h n x n y a n u a n h n u n x m m nnm mn -==->-==-≤=<<--==∑∑--∞=---∞=--1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ；②；为为互素的整数）则周期、（有理数当 , 2 0Q Q P QP =ωπ ③当=0/2ωπ无理数 ，则)(n x 不是周期序列。
解：（1）0142/3πω=，周期为14 （2）062/13πω=，周期为6 （2）02/12πωπ=，不是周期的 7.（1）[][]12121212()()()()()()[()()]()()()()[()][()]T x n g n x n T ax n bx n g n ax n bx n g n ax n g n bx n aT x n bT x n =+=+=⨯+⨯=+所以是线性的T[x(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 两者不相等，所以是移变的y(n)=g(n)x(n) y 和x 括号内相等，所以是因果的。
《数字信号处理》第一章 离散时间信号与系统 (中文版)
m
x(m)h(n m)，
移不变性
aiT[xi (n)] i
m
x(n)h(n)
h(n) T[ (n)] h(n m) T[ (n m)]
x(n)
LSI y(n)
h(n)
y(n) x(n) h(n)
一个LSI系统可以用单位抽样响应h(n)来表 征，任意输入的系统输出等于输入序列和 该单位抽样响应h(n)的卷积和。
则要求0 N
2 k，即N
2 0
k，N，k为整数，
且k的取值保证N是最小的正整数
1）当 2）当 3）当
分情况讨论
为2整数时
0 2
为0有理数时 为2无理数时
0
1）当 2 为整数时， 0
取k 1，x(n)即是周期为 2 的周期序列 0
如sin( n)，
4
0
，
4
2 8 N 0
该序列是周期为8的周期序列
2
9
n
)
7
y1(n) y2 (n) 满足可加性
T [ax1 (n)]
2
ax1(n)sin( 9
n
7
)
ay1(n)，a为常数 满足比例性
该系统是线性系统
例：证明由线性性系统
证：设y1(n) T[x1(n)] ax1(n) b
线性系统满足 叠加原理的直 接结果：零输 入产生零输出。
其它n
与其他序列的关系
RN (n) u(n) u(n N )
N 1
RN (n) (n m) (n) (n 1) ... [n (N 1)] m0
4）实指数序列 x(n) anu(n) a 为实数
5）复指数序列 x(n) e( j0 )n e n e j0n
数字信号处理试题(1)班
1.设h(n)是一个线性非移变系统的单位取样响应，若系统又是因果的，则h(n)应该满足当n<0时，h(n)=0；若该系统又是稳定的，则h(n)应该满足∑|h(n)|<∞。
2设x(n)是一实序列，X（k)=DFT[x(n)],则X(k)的模是周期性偶序列，X(k)的幅度是周期性奇序列。
3用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器，S平面的S=jπ/T点映射为Z平面的z=-1点。
4.线性非时变因果系统是稳定系统的充分必要条件是其系统函数H(z)的所有极点都在z平面的单位圆内。
5.FIR数字滤波器的单位取样响应为h(n),0≤n≤N-1,则其系统函数H(z)的极点在z=0,是N-1阶的。
6.线性相位FIR滤波器的单位取样响应h(n)是偶对称或奇对称的。
设h(n)之长度为N（0≤n≤N-1），则当N为奇数时，对称中心位于N+1/2；当N为偶数时，对称中心位于N-1/2.7.已知序列：x(n),0≤n≤15;g(n),0≤n≤19,X(k)、G(k)分别是它们的32点DFT，令y(n)=IDFT[X(k)G(k)],0≤n≤31,则y(n)中相等于x(n)与g(n)线性卷积中的点有29点，其序号是从3到31.8.DFT是利用W N mk的对称性、可约性和周期性三个固有特性来实现FFT快速运算的。
9.IIR数字滤波器设计指标一般由Wp、Ws、Ap、As等四项组成。
10.IIR数字滤波器有窗函数法和频率抽样设计法两种设计方法，其结构有直接型、级联型和并联型三种基本结构。
11.两个有限长序列x1(n),0≤n≤33和x2(n)，0≤n≤36，做线性卷积后结果的长度是70，若对这两个序列做64点圆周卷积，则圆周卷积结果中有n=6至63为线性卷积结果。
12.请写出三种常用低通原型模拟滤波器：巴特沃什滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器。
13.用冲激响应不变法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之间的映射变换关系为Ω=W/T。
数字信号处理简答题
1. 举例说明什么是因果序列和逆因果序列，并分别说明它们z变换的收敛域。
答：因果序列定义为x (n)= 0 , n<0，例如x (n)= a n u(n)，其z变换收敛域：R x z 。
逆因果序列的定义为x (n)=0,n>0。
例如x (n )=a n u n 1 ,其z变换收敛域：0 z R x2. 用差分方程说明什么是IIR和FIR数字滤波器，它们各有什么特性？答：1 )冲激响应h (n)无限长的系统称为IIR数字滤波器，例如y(n)印y n 1 a2y n 2 b0x(n) b1x n 1。
IIR DF的主要特性：①冲激响应h (n)无限长；②具有反馈支路，存在稳定性问题；③系统函数是一个有理分式，具有极点和零点；④一般为非线性相位。
(2 )冲激响应有限长的系统称为FIR DF。
例如y(n) x(n) Dx(n 1) b2x n 2。
其主要特性：①冲激响应有限长；②无反馈支路，不存在稳定性问题；③系统函数为一个多项式，只存在零点；④具有线性相位。
3. 用数学式子说明有限长序列x (n )的z变换X (z)与其傅里叶变换X(e j )的关系，其DFT系数X (k)与X (z)的关系。
答：(1) x (n)的z变与傅里叶变换的关系为X z Z e j X e j(2)x (n )的DFT与其z变换的关系为X z ,^k X KZ W N K e j N4. 设x (n)为有限长实序列，其DFT系数X (k)的模X(k)和幅角arg[X (k)] 各有什么特点？答：有限长实序列x (n)的DFT之模x k和幅角arg X (k)具有如下的性质：(1) X(k)在0-2 之间具有偶对称性质，即X(k) X(N k)(2) arg x(k)具有奇对称性质，即arg X(k) arg X N k5. 欲使一个FIR数字滤波器具有线性相位，其单位取样响应h(n)应具有什么特性？具有线性相位的FIR数字滤器系统函数的零点在复平面的分布具有什么特点？答：要使用FIR具有线性相位，其h (n)应具有偶对称或奇对称性质，即h(n)=h(N-n-1) 或h(n)=-h(N-n-1)。
线性移不变系统的因果性和稳定性
（）、因果性 n<0时，h(n) ≠ 0，故为非因果系统。 1
（2）稳定性。
n＝－∞
∑
∞
h(n) =
n a = ∞
a >1 a ≤1
差分方程
线性常系数差分方程
N M
∑ a y (n k ) = ∑ b
∞
m =∞
满足比例性和可加性 满足移不变性
＝ ∑ x(m)h(n-m)
线性移不变系统的因果性和稳定性 结论：
y ( n) = x ( n) * h( n)
x(n) LSI系 统 系 h(n) y(n)=x(n)*h(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性 LSI系统性质
1、交换律
y ( n) = x ( n) * h( n) = h( n) * x ( n)
2、线性移不变系统的因果性和稳定性
1.3时域离散系统 时域离散系统的一般表达：
y (n) = T [ x(n)]
x(n) 离散时间系统 y(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性
线性系统：满足叠加原理的系统
1、可加性 若：y1 (n) = T [ x1 (n)]，y2(n)=T[x2(n)]
则：T [ x1 (n) + x2 (n)] = T [ x1 (n)] + T [ x2 (n)] = y1 (n) + y2 (n) 线性系统的一个特征：在全部时间为 2、比例性： 零输入时，其输出也恒等于零。即： 零输入产生零输出 T[x1 (n)]=y1 (n)
0 n≥0 或：h(n）=-a n u(-n-1) ∴ h( n) = n a n < 0 它是非因果系统。 a < 1，系统稳定。
《数字信号处理》试题库答案
一.填空题1、一线性时不变系统，输入为x（n）时，输出为y（n）；则输入为2x（n）时，输出为2y(n) ；输入为x（n-3）时，输出为y(n-3) 。
2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs与信号最高频率f max关系为：fs>=2f max。
3、已知一个长度为N的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换为X（e jw），它的N点离散傅立叶变换X（K）是关于X（e jw）的N 点等间隔采样。
4、有限长序列x(n)的8点DFT为X（K），则X（K）= 。
5、用脉冲响应不变法进行IIR数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的交叠所产生的混叠现象。
6．若数字滤波器的单位脉冲响应h（n）是奇对称的，长度为N，则它的对称中心是(N-1)/2 。
7、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波器的过渡带比较窄，阻带衰减比较小。
8、无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的结构上有反馈环路，因此是递归型结构。
9、若正弦序列x(n)=sin(30nπ/120)是周期的,则周期是N= 8 。
10、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，过渡带的宽度不但与窗的类型有关，还与窗的采样点数有关11．DFT与DFS有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的主值区间截断，而周期序列可以看成有限长序列的周期延拓。
12．对长度为N的序列x(n)圆周移位m位得到的序列用x m(n)表示，其数学表达式为x m(n)=x((n-m))N R N(n)。
13．对按时间抽取的基2-FFT流图进行转置，并将输入变输出，输出变输入即可得到按频率抽取的基2-FFT流图。
14.线性移不变系统的性质有交换率、结合率和分配律。
15.用DFT近似分析模拟信号的频谱时，可能出现的问题有混叠失真、泄漏、栅栏效应和频率分辨率。
16.无限长单位冲激响应滤波器的基本结构有直接Ⅰ型，直接Ⅱ型，串联型和并联型四种。
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而y(n-m)=(n-m)x(n-m)
显然：T[x(n-m)] y(n-m) 时变系统
线性移不变系统的因果性和稳定性
方法二：寻找一个反例
x1(n)=(n) y1(n)=n(n)=0
x2 (n)=x1(n-1)=δ(n-1)
探讨
y2 (n) n (n 1) (n 1)
该系统是有移变增量n的系统，若已知当前的输入是1，而不知
当前所在时刻，仍不能确定当前的输出是多少。
结论：系统有一个移变的增益，则系统一定是一个移变系统
线性移不变系统的因果性和稳定性
深入讨论
例：考虑y(n)=x(2n)是否为移不变系统？
x1(n)
5
4
4
3
3
2 1
2 1
-4
0
4n
线性移不变系统的因果性和稳定性
y1(n)
5
3
3
1
1
-2
02
n
x2(n)=x1(n-2)
5
4
4
3
3
2 1
21
-2 0
4 6n
线性移不变系统的因果性和稳定性
y2(n)
5
3
3
1
1
-2 0
3
n
y1(n)
5
3 1
3 1
-2 0 2
n
线性移不变系统的因果性和稳定性
LSI系统输入与输出的关系
x(n) *[h1(n) * h2 (n)] [x(n)* h2 (n)]* h1(n)
x(n) h1(n)
y(n) x(n)
h2(n)
h2(n)
y(n) h1(n)
x(n)
y(n)
h1(n)*h2(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性
3、分配律
x(n) *[h1(n) h2 (n)] x(n) * h1(n) x(n) * h2(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性
2、移不变系统
若系统响应与激励加于系统的时刻无关，则称为移不变系统。 即：若输入x(n）产生输出为y(n)，则输入x(n-m)产生输出 y(n-m)。输入移动多少位，输出也移动相同的位数。
若： T[x(n)]=y(n），则有：
T[x(n m)] y(n m)
m为任意整数
线性移不变系统的因果性和稳定性
稳定系统
稳定系统是指有界输入产生有界输出（BIBO）的系统。 若：x(n) M 则：y(n) P
LSI系统是稳定系统的充分必要条件：
h(n) P
n
结论：因果稳定的LSI系统的单位抽样响应是因果的（单边的） 且是绝对可和的。
线性移不变系统的因果性和稳定性
线性移不变系统的因果性和稳定性 例：证明y(n)=ax(n)+b 是移不变系统
设m为任一固定整数。已知：T[x(n）]=ax(n)+b=y(n)
而： T[x(n-m)]=ax(n-m)+b 满足： T[x(n-m)]=y(n-m)
线性移不变系统的因果性和稳定性
例：y(n)=nx(n)，讨论该系统是否为移不变系统。
单位抽样响应 h(n)=T[(n)]
设系统输入序列x(n）, 输出序列y(n)
x(n) x(m) (n m)
m
y(n) T[ x(m) (n m)]
m
x(m)T[ (n m)] 满足比例性和可加性
m
＝ x(m)h(n-m)
满足移不变性
m=-
线性移不变系统的因果性和稳定性
结论：
x(n)
y(n)
x(n)
y(n)
h1(n)+h2(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性
因果系统
某时刻的输出只取决于此时刻和此时刻以前的时刻的输 入的系统。
即：n=n0的输出y(n)只取决于n n0的输入x(n) |nn0
对于因果系统：若n<n0，x1(n)=x2(n)，则n<n0时，y1(n)=y2(n)
2、线性移不变系统的因果性和稳定性
1.3时域离散系统 时域离散系统的一般表达：
y(n) T[x(n)]
x(n)
离散时间系统
y(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性
线性系统：满足叠加原理的系统
1、可加性
若：y1(n) T[x1(n)]，y2(n)=T[x2(n)]
则：T[x1(n) x2 (n)] T[x1(n)] T[x2 (n)] y1(n) y2 (n)
2、比例性：
线性系统的一个特征：在全部时间为 零输入时，其输出也恒等于零。即：
T[x1 (n)]=y1 (n)
零输入产生零输出
则：T[ax1 (n)]=aT[x1 (n)]=ay1 (n)
线性移不变系统的因果性和稳定性
例：证明y(n)=ax(n)+b(a、b为常数）所代表的系统 不是线性系统。
证：设T[x1(n)]=ax1(n)+b T[x2(n)]=ax2(n)+b 则：T[x1(n)+x2(n)]=a[x1(n)+x2(n)]+b
y(n) x(n)*h(n)
x(n)
LSI系 统
y(n)=x(n)*h(n)
h(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性
LSI系统性质
1、交换律
y(n) x(n)*h(n) h(n)* x(n)
x(n)
h(n)
y(n)
h(n)
x(n)
y(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性
2、结合律
x(n) * h1(n) * h2 (n) [x(n) * h1(n)]* h2 (n)
=ax1(n)+ax2(n)+b=y(n)
显然： y(n) y1(n)+y2(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性
问题：为何系统的方程是一线性方程，而却不是
一线性系统？
y0(n)
x(n)
线性系统
y(n)
ax(n)
线性系统部分： T[x(n)]=ax(n)
零输入响应[输入 x(n）＝0时的输出]是： y0(n)=b
非因果系统
系统现在的输出还取决于未来的输入
线性移不变系统的因果性和稳定性
理解：
因果系统固然重要，但并不是所有有实际意义的系统 都是因果系统。
（1）、图像处理。变量不是时间，此时，因果性往往不是 根本性的限制。
（2）、非实时情况。待处理的数据事先记录下来。例如：
为了去除噪声的变化，保留总的缓慢的变化趋势，常作取平均。
y(n)=
1 2N+1
k
N
x(n
ห้องสมุดไป่ตู้
k
)
线性移不变系统的因果性和稳定性
LSI系统是因果系统的充分必要条件
h(n) 0， n<0
引伸
更一般的，对于一个线性系统，它的因果性就等效于初始松弛 条件。 将n<0,x(n)=0的序列叫因果序列，表示这个因果序列可以作 为一个因果系统的单位抽样响应。
问题：
频率特性为理想矩形的低通滤波器是否为因果系统？
例：某LSI系统，其单位抽样响应为：h(n)=anu(n),讨论其 因果性和稳定性。