向量平行的坐标表示和定比分点坐标公式

在直角坐标系内,已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2);在两点连 线上有一点P,设它的坐标为(x,y),且线段P1P比线段PP2的比
值为λ,那么可以求出P的坐标为
x=(x1 + λ · x2) / (1 + λ) y y y 证明：=利( 用1 向+ 量λ法 ·P1P 2)=λ/P(P12 + λ)
总结：
定比分点坐标公式的应用之一----三角形重心公式
已知三角形ABC [A（x1,y1）,B（x2,y2）,C（x3,y3）]， 设三角形重心为G（x,y）
则x=(x1+x2+x3)/3 y=(y1+y2+y3)/3
习题
在直角坐标系内,已知两点P1(2,1),P2(x2,y2);在两点连线 上有一点P, 它的坐标为(4,3),且线段P1P比线段PP2的比 值为3,那么试着求出P2的坐标
2. 已知 A(1,1), B(1,3),C(2,5),
3. 若求向证量: Aa、B、(C1,三x点), 共与线b。 ( x,2) 共线且 方向相同, 求 x.
思考：
大家请注意观察下，以上例题中，点P分线段P1P2 所成的比例和P点的坐标是否存在对应规律？
我们可以学到一个新知识，那就是定比分点坐标公式
(x1, y1),
b (x2 , y2 )
,b
y2 中,至少有一个不为0 ,则由
a0
b
由平面向量基本定理可知
x1i y1 j ( x2i y2 j ) x2i y2 j
于是，对应起来便是
x1 x2 , y1 y2
化简可得到
x1 y2 x2 y1 0
这就是说:
a//
b (b
向量平行的坐标表示及 定比分点坐标公式
复习与思考：
1 实数与向量数量积的坐标等于用这个实数乘原来 向量的相应坐标.
2
3
相向只等量有的一a向与个量非实有零数相向等量的, b使坐平得标行a(共 线)b的充要条件是有且
4 如何用坐标表示向量平行(共线)的充要条件?
会得到什么样的重要结论?
设 即
a
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0)
的充要条件是
x1 y2 x2 y1 0
向量平行(共线)充要条件的两种形 式:
(1)a//
b (b
0)
a
b;
(2)a//
b(a
(
x1,
y1 ), b
(
x2
,
y2
),b
0)
x1 y2 x2 y1 0
习题 1. 已知 a (4,2),
b
(6,
y),
且a//
b , 求y
即有（x-x1，y-y1）=λ（x2-x，y2-y） 所以 x-x1=λ(x2-x)，y-y1=λ(y2-y) 解出 x , y 得 x=(x1 + λ · x2) / (1 + λ)
分点的不同情况 当P为内分点时,λ>0; 当P为外分点时,λ<0(λ≠-1); 当P与P1重合时,λ=0; 当P与P2重合时,λ不存在