平面向量平行的坐标表示

① 的符号由点P在线段P1P2上，还是在P1P2或P2P1的延长线上决定。 ②
| | |P 1P | , 即 | | 起点到分点的有向线段的长度 | PP2 | 分点到终点的有向线段的长度
练习题
（1）:已知 a 1,2, b 3,2 ,当k取何值时, 1).
k a b 与 a 3b 垂直?
当 k a b a 3b 0时 这两个向量垂直 由k 3 10 2k 2 4 0 解得k=19



2)
当k a b与a 3b平行时, 存在唯一实数 , 使k a b a 3b
得
k 1 源自文库3



k

1 3
因此k
1 时, k a b与a 3b平行, 3
此时它们方向相反。
课程小结
（1）掌握平面向量数量积的坐标表示，即两个向量的数
量积等于它们对应坐标的乘积之和；
（2）要学会运用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度
、角度及垂直问题.
a ＝(x ，y )，b ＝ (x2，y2)，则 1 1
M y P P1
解：（1）
P2
OP
O
(1)
x
1 (OP 1 OP 2) 2 x x2 y1 y2 ( 1 , ) 2 2
( x1 x2 y1 y2 , ) 2 2
所以，点P的坐标为
例7.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是 课程内容 ( x , y ), ( x , y )
a ( x1 ,
b ya 1)
这就是说:a // b (b 0)的等价条件是 x 1 y2 x2 y1 0
x1 x2 ……(1) (1) * y2 (2) * x2 : y1 y2 ……(2) b ( x 2 , y2 ) x1 y2 x2 y1 x2 y2 y2 x2 0
平面向量共线的坐标表示
例.已知
解： a b, 4y-2 6=0 y=3
课程内容 例.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是 ( x , y ), ( x
1 1
2
, y2 )
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。 (3)若P 1 P PP 2 , 时，P点的坐标是什么？(思考)
课程内容
3、向量平行(共线)的两种形式:
(1)a // b (b 0) a b ; (2)a // b (a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), b 0) x1 y2 x2 y1 0
a (4, 2), b (6, y ), 且a / / b, 求y .
2). k a b 与 反向?
a 3b 平行? 平行时它们是同向还是
练习题
分析:
解：1）
k a b和a 3b 由已知启发我们先用坐标表示向量 然后用两个向量平行和垂直的充要条件来解答。
k a b k 1,2 3,2 k 3,2k 2
a 3b 1,2 3 3,2 10,4
AB ( 1 （ 2）， 3 1 ） （ 1， 2） DC ( 3 x ,4 y ) 由AB DC，得 (1,2) ( 3 x ,4 y )
1 3 x 2 4 y
x 2 y 2
顶点D的坐标为（ 2， 2）
平面向量平行的坐标表示
高中数学
OA a , OB b , 则AOB 1、向量夹角的定义： a与b 共起点，范围 [0 ， ]
2、数量积的定义：
知识点
a b | a || b | cos
规定0与任何向量的数量积为0
两向量垂直、平行的坐标表示
1 2
x1 x 2 x 1 y y1 y 2 1
= x x1 或 = y y1 x2 x y2 y ( 1)
注意：
在运用公式时，要注意 分清起点坐标、终点坐 标和分点 坐标，在每个等式中涉 及到四个不同的量，它 们分别是 三个坐标和定比 ，只要知道其中的任意 三个量便可以 求出第四个量。
ab b a x1 y2 x2 y1 0
2.a b a b 0 x1 x2 y1 y2 0
5.cos
a b | a || b |
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x2 2 y2 2
a
如何用坐标表示向量平行(共线)的等价条件? 会得到什么样的重要结论?


设
即
a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) , b 0 中,至少有一个不为0 ,则由 得
x交叉相乘 2 , y2
( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x2 , y2 )
a＝(x1，y1)， b＝ (x2，y2)，则
a // b(b 0) a b x1 y2 x2 y1 0 a b a b 0 x1 x2 y1 y2 0
课程内容
C B A O D
例.已知平行四边形ABCD的三个顶点A , B , C 的坐标分别为（-2，1） （-1，3）（3，4），求顶点D的坐标。 解：设顶点D的坐标为（x，y）
课程内容
例.已知平行四边形ABCD的三个顶点A , B , C 的坐标分别为（-2，1） （-1，3）（3，4），求顶点D的坐标。
C C B D A O D B A O
提示：先由BD=BA+AD=BA+BC求得BD ，再求OD
课程内容
2.
平面向量共线的坐标表示 1. 向量 与非零向量 b 平行 (共线)的等价条件是有且 a b 只有一个实数 , 使得
1 1 2 2
。
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
(3)若 MP 1 P PP 2 , 时，P点的坐标是什么？(思考)
y P P1 y P2 P1 P2 P
O
(1)
x
O
x
课程内容
课程内容 有向线段 P P 的定比分点坐标公式与定比分值公式。