函数的表示方法(1)
函数的表示方法_1
0
1
4
2
3
12
4
5
20
映射f:A→B，可理解为以下4点：
1、A中每个元素在B中必有唯一的象 2、对A中不同的元素，在B中可以有相同的象 3、允许B中元素没有原象 4、A中元素与B中元素的对应关系，可以 是：一对一，多对一，但不能一对多
例7 以下给出的对应是不是从集合A到B的映射?
(1)集合A=｛P|P是数轴上的点｝，集合B=R，对应关 系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
一般地，我们有：
设A、B是两个非空的数集，如果按照某种 确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数 x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那 么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
（function），记作：y=f(x)， x A
映射
设A,B是两个非空的集合，如果按某一个 确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一 个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与 之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集 合B的一个映射。
(2)集合A＝｛x|x是新华中学的班级｝，集合B＝｛x|x 是新华中学的学生｝，对应关系f：每一个班级都对 应班里的学生；
课后作业: 练习本B
由此可知，映射是函数的推广，函 数是一种特殊的映射。
A 求 正弦 B
1
30 0
2
45 02 2ຫໍສະໝຸດ 60 032
90 0
1
A 求 平方 B
3
9
-3
2
4
-2
1
1
-1
A 开 平方 B
3
9
-3
4
2
-2
1
1 -1
A 乘 以 2B
《函数的表示法》(第1课时)教学设计
函数的表示法（第1课时）教学设计一、内容和内容解析1.内容函数的表示法.2.内容解析在“对应关系”说的基础上建立了函数概念之后，随即而来的任务就是研究函数本身.而函数的呈现形式就是“函数的表示”问题.学习函数的表示，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须的，而且是加深理解函数概念，以及向学生渗透数形结合方法的过程.函数的表示法是在已有函数概念的基础上进行学习的，是对函数知识的深化.这部分内容也是函数内容的重要基础.本节的主要内容是在初中已经接触过函数的三种表示法——解析法、列表法和图象法的基础上，明确三种表示法各自的优点及适用对象；通过函数y=|x|引出分段函数的概念，并通过具体实例（例6）熟悉分段函数概念，掌握研究分段函数的一般思想和方法.基于以上分析，确定本节课的教学重点：使学生面对数学问题时，会根据不同的需要选择恰当的方法（解析法、列表法、图象法）表示函数；掌握分段函数概念.二、目标和目标解析1.目标（1）了解解析法、列表法、图象法各自的优点及适用对象；使学生面对数学问题时，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.（2）了解分段函数的概念，明确分段函数是一个函数，掌握研究分段函数的一般思想和方法.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）学生通过教科书第67页例4，以及之前的学习经验，能自主总结出解析法、列表法、图象法各自的特点；能举出具体实例说明三种表示法的适用情况.（2）学生能理解绝对值函数向分段函数的转化过程，通过具体实例体会分段函数是一个函数而不是几个函数.三、教学问题诊断分析学生在初中学习函数概念时，接触过函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法，但是对其并没有深入研究.尤其是在高中阶段“对应关系”说意义下重新建立了函数概念的基础上，函数的三种表示法又有怎样的特点呢？这就是本节课第一个教学问题.针对这一问题，教科书引入了一个实际问题，其本质为离散的一次函数模型，此问题三种表示法均适用，进而可直观地比较出三种表示法各自的特点.而后可根据不同表示法各自的适用范围，选择恰当的方法表示函数.三种表示法各自的特点清楚了，那么它们在研究具体函数问题时，是如何起到相应的作用的呢？于是教科书中举出了绝对值函数的例子（例5），从而引出了高中阶段非常重要的、实际问题中广泛应用的一类函数——分段函数.这是本节课第二个教学问题.通过例5、例6的学习，可让学生体会解析法、图象法在处理连续函数问题时的威力，同时也体现出研究函数的一个非常重要思想——数形结合.正所谓“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合研究函数是贯穿整个高中的思想方法.四、教学支持条件分析在研究绝对值函数（分段函数，例5）和最大值函数（例6）的过程中，可借助图形计算器、几何画板、Geogebra等技术工具画出函数图象，观察得出结论，体现信息技术在数学教学和学习过程中的辅助探究与检验作用.五、教学过程设计引导语：我们在初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1的问题1，2.列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1的问题4.图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1的问题3.这三种方法是常用的函数表示法.（一）函数的表示法问题1：某种笔记本的单价是5元，买x（x∈{1,2,3,4,5}）个笔记本需要y 元.（1）你能用函数的三种表示法分别表示函数y=f（x）吗？（2）比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？（3）所有函数都能用解析法表示吗？列表法与图象法呢？请你举出实例加以说明.师生活动：教师给出问题（1）后，让每位学生自己写出函数表达式、列表格、画图象，注意再次强调“研究函数，先看定义域”.之后让同桌互相核对结果，尤其注意函数图象是否为五个离散的点.然后出示问题（2），小组讨论，总结归纳三种表示法各自的优点，最后与教师一起总结出结论（可用PPT展示）：出示问题（3），找学生代表回答，例如可回答：不是，3.1.1的问题3、问题4就不能用解析法表示；3.1.1的问题1不能用列表法表示；3.1.1的问题4不能用图象法表示.答案均可从教科书中找到，如果学生理解了3.1.1的知识，回答此问题并不困难.设计意图：问题（1）是让学生回忆并熟悉三种表示法的具体呈现过程，并再次强调定义域的决定作用；问题（2）是为了让学生总结归纳三种表示法各自的优点，明确特征，方可合理运用；问题（3）是突出三种方法各自的局限性，从而在处理实际问题挑选方法时合理回避不需要的表示法.问题2：（教科书第69页练习1）如图，把直截面半径为25 cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为x（单位：cm），面积为y（单位：cm2），你能把y表示为x的函数吗？师生活动：学生阅读题目后，自主从三种表示法中选择恰当可行的方法解决此问题. 之后教师可利用多媒体手段将答案进行呈现，与其他同学一起点评结果.设计意图：考察学生对三种表示法的特点的理解与把握，以及在实际问题中选择恰当的表示法解决问题的能力.（二）分段函数问题3：（1）你了解函数y=|x|吗？（2）你会画函数y=|x|的图象吗？师生活动：教师出示问题（1），先让学生独立思考，之后可引导学生对不熟悉的绝对值函数y=|x|进行变形，去掉绝对值，转化成熟悉的一次函数，然后规范写法，写成分段函数形式.之后出示问题（2），学生即可很自然地画出相应图象.最后教师引入分段函数概念，强调分段函数是一个函数，而不是几个函数，并介绍其普遍性与应用价值；并总结思路：绝对值函数可转化为分段函数进行研究；对于分段函数的图象，只需分别画出每段的函数图象，并注意端点的开闭即可.教科书中对分段函数给出的是描述性定义，学生只需能判断什么样的函数是分段函数即可，不必纠结于分段函数的确切定义.追问：（教科书第69页练习2）有了问题3的基础，你会画函数y=|x-2|的图象吗？教师让学生自主研究，然后利用多媒体手段将典型作答图象投到屏幕上，叫同学回答解题过程，寻找问题所在，纠正错误，落实正确解题思路.对于中上等水平的班级，可根据时间情况，适当借助图形计算器、几何画板、Geogebra等技术工具，设计参数a，制作动态演示课件，介绍函数y=|x-a|的图象变化情况.设计意图：问题（1）是让学生从解析式入手，转化成熟悉的函数，为问题（2）解决画函数图象问题做铺垫，体现了转化与化归思想；问题（2）则是考查学生对图象法表示函数的掌握程度.追问是对问题3举一反三，考查学生的理解、掌握程度.师生活动：给学生充分画图的时间，有初中的基础，学生基本都可画出图3.1-4，然后对最大值函数M（x）做适当解读：当x每取一个值时，f（x）与g （x）各有唯一一个函数值与之对应，而M（x）对应的则是两个函数值中的较大者，由函数定义可知，M（x）是x的函数.当最大值函数解释清楚后，学生可很自然地对图3.1-4进行处理，得到图3.1-5所示的函数M（x）的图象；利用图象和解方程知识，学生一般可顺利求出M（x）的解析式.追问：你能用其他方法求出M（x）的解析式吗？先小组讨论，然后找有想法的同学分享思路，最终达成共识.设计意图：问题4是训练学生同时研究两个函数的能力，以及对新概念的分析理解能力，感受分段函数的另一种构造方式及其图象和解析式的求法，加深对分段函数的理解与运用.追问是引导学生从不同的角度分析问题，解决问题，进一步加深对分段函数的理解.问题5：（教科书第69页练习3）给定函数f（x）=-x+1, g（x）=（x-a）2,x ∈R（1）你能画出函数f（x）,g（x）的图象吗？师生活动：学生自主完成练习，然后找代表分享思路与结果.有了问题4的铺垫，学生对最小值函数的理解应比较到位，解决此问题会相对顺利.设计意图：创设熟悉的情境，提出类似的问题，对学生的知识与解题技能进行再巩固.（三）课堂小结、布置作业教师引导学生回顾本节课的学习内容，并引导学生回答下列问题：（1）函数的三种表示法分别是什么？其各自的特点是什么？（2）什么样的函数称为分段函数？分段函数是几个函数还是一个函数？（3）如何画分段函数的图象？师生活动：教师出示问题后，先由学生思考后再进行全班交流，最后教师再进行总结。
函数的表示方法(1)教案及说课稿
人教B版数学必修1第二章函数2.1.2 函数的表示方法（第1课时）教案及说课稿新宾县朝鲜族中学李锦玉2019年10月11日2.1.2 函数的表示方法（第1课时）教案教学目标：知识与技能掌握函数的三种表示方法：列表法、图象法、解析法，体会表示方法的特点。
过程与方法能根据实际情景选择恰当的方法表示一个函数以获取有用的信息，培养学生灵活运用知识的能力；初步体会用函数知识解决实际问题的方法。
情感态度与价值观体会数形结合思想在理解函数概念中的重要作用，在图形的变化中感受数学的直观性。
重点函数的三种表示方法的简单运用。
难点根据不同的需要选择恰当的表示方法表示一个函数。
教学准备教学环节问题预设师生互动设计意图引入课题课前作业：某种笔记本的单价是2元，买X 个笔记本需要y元。
你能用几种方法表示这个函数？想一想：每个函数都可以有列表法、图象法、解析法三种形教师：出示课前作业题，展示学生作业。
师生：共同检查评议。
教师：提示解题规律学生举例说明在学生原有认知的基础上，借助“现实生活中的实例”为学习函数表示法作铺垫，注重知识之间的联系，调动2.1.2 函数的表示方法（第1课时）说课稿根据本节教材的特点和教学内容的结构特征，依据学生的认知规律，结合学生的实际水平，制定本节课的教学设计说明如下：一、说教材《函数的表示方法》是高中新教材人教B版必修1第二章第一节第二部分的内容。
学生在初中已经接触过较简单函数的一些不同表示方法，在高中阶段继函数的概念、定义域、值域之后学习函数的表示方法，这部分属于函数三要素之一，即对应关系的表达方式。
学习函数的表示法，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的问题，也是加深对函数概念理解所必须的，同时，基于高中阶段所接触的许多函数均可用几种不同的方法表示，因而学习函数的表示也是领悟数学思想方法（如数形结合、化归等）、学会根据问题需要选择表示方法的重要过程。
二、说学情本人所教的高一学生（16人）课堂纪律较好，但数学基础不够扎实，思维不够活跃，逻辑推理和分析概括的能力较弱。
函数的表示方法教案 苏教版必修1
函数的表示方法（1）教学目标：1．进一步理解函数的概念，了解函数表示的多样性，能熟练掌握函数的三种不同的表示方法；2．在理解掌握函数的三种表示方法基础上，了解函数不同表示法的优缺点，针对具体问题能合理地选择表示方法；3．通过教学，培养学生重要的数学思想方法——分类思想方法．教学重点：函数的表示． 教学难点：针对具体问题合理选择表示方法．教学过程：一、问题情境 1． 情境．下表的对应关系能否表示一个函数：2．问题．如何表示一个函数呢？ 二、学生活动1．阅读课本掌握函数的三种常用表示方法； 2．比较三种表示法之间的优缺点． 3．完成练习 三、数学建构 1．函数的表示方法： 2．三种不同方法的优缺点： 列表法—用列表来表示两个变量之间函数关系的方法 解析法—用等式来表示两个变量之间函数关系的方法 图象法—用图象来表示两个变量之间函数关系的方法3．三种不同方法的相互转化：能用解析式表示的，一般都能列出符合条件的表、画出符合条件的图，反之亦然；列表法也能通过图形来表示．四、数学运用（一）例题例1 购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数，并指出该函数的值域．跟踪练习：某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，则销售量就减少10个．（1）列表：（2）图象：（3）解析式：将条件变换成：“某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个销售，每天可卖出110个”例2 如图，是一个二次函数的图象的一部分，试根据图象中的有关数据，求出函数f(x)的解析式及其定义域．（二）练习：1．1 nmile(海里)约为1854m，根据这一关系，写出米数y关于海里数x的函数解析式．2．用长为30cm的铁丝围成矩形，试将矩形的面积S(cm2)表示为矩形一边长x(cm)的函数，并画出函数的图象．3．已知f(x)是一次函数，且图象经过(1，0)和(－2，3)两点，求f(x)的解析式．4．已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x－4，求f(x)的解析式．五、回顾小结1．函数表示的多样性；2．函数不同表示方法之间的联系性；3．待定系数法求函数的解析式．六、作业课堂作业：课本35页习题1，4，5．。
1.2.2 函数的表示法 第一课时 课件(人教A版必修1)
图象法
课前自主学习
课堂讲练互动
课后智能提升
典例剖析
题型一 函数的表示法
【例 1】 已知完成某项任务的时间 t 与参加完成 b 此项任务的人数 x 之间适合关系式 t＝ax＋ ，当 x＝ x 2 时，t＝100；当 x＝14 时，t＝28，且参加此项任务 的人数不能超过 20 人．
课前自主学习
课堂讲练互动
1 1 解析：令 ＝t，则 x＝ ，且 t≠0， x t 1 t ∴f(t)＝ ＝ (t＋1≠0)， 1 t＋1 1＋ t x ∴f(x)＝ (x≠0 且 x≠－1)． x＋1
x 答案： (x≠0 且 x≠－1) x＋1
课前自主学习
课堂讲练互动
课后智能提升
4．如图，函数 f(x)的图象是曲 线 OAB，其中点 O，A，B 的坐标 1 分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则 f f3 的值等于________．
课前自主学习
课堂讲练互动
课后智能提升
正解：∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4， 令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)， ∴f(x)＝x2－4(x≥2)． 纠错心得：采用换元法求函数的解析式时，一 定要注意换元后的自变量的取值范围．如本题中令t ＝x2＋2后，则t≥2.
苏教版数学高一必修1学案 2.1.2函数的表示方法
2．1．2函数的表示方法1．在实际情境中，会根据不同的要求选择恰当的方法表示函数．2．理解同一函数可以用不同的方法表示．1．函数的表示方法(1)列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法．(2)解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法，这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式．(3)图象法：用图象来表示两个变量之间函数关系的方法．1．列表法表示函数的优点在于不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值．这种方法常应用到实际生产和生活中．2．图象法表示函数的优点是通过图象可以直接观察出函数的变化趋势．气象台应用自动记录仪器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象及股市走向图等，就是用图象法表示函数关系的．3．用解析法表示函数关系的优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值．【做一做1－1】客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了0．5 h，然后以80km/h的速度匀速行驶1 h到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是__________．答案：③【做一做1－2】某种杯子每只0．5元，买x只，所需钱数为y元，分别用列表法、图象法、解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数．解：(1)列表法：(2)图象法(如下图)．(3)解析法：y＝0．5x，x∈{1,2,3,4}．2．分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数通常叫做分段函数．分段函数是一个函数而不是几个函数．生活中有很多可以用分段函数描述实际问题的模型，如出租车的计费、个人所得税纳税额等．分段函数的图象由几个不同部分组成，作分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出．分段函数的定义域应为各段上自变量取值的并集，如函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<x <1，x ，x ≥1的定义域为{x |x ＞0}．分段函数定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段函数值集合的并集，在作图时，要特别注意每段端点的虚实．【做一做2】在实际问题中，常常使用表格，有些表格描述了两个变量的函数关系，比如，国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应邮资如下表：解：图象如图． 解析式为：0.80,020,1.60,2040,2.40,4060,3.20,6080,4.00,80100.m m M m m m <≤⎧⎪<≤⎪⎪=<≤⎨⎪<≤⎪<≤⎪⎩1．如何求函数解析式？剖析：对于基本初等函数，通过待定系数法求之，即利用方程思想．对于实际应用问题，通常是研究自变量、函数与其他量之间的等量关系，从而将函数用自变量和其他量之间的关系表示出来，但不要忘记确定自变量的取值范围．如已知等腰三角形的周长为12，则底边长x 与腰长y 之间的函数关系是y ＝6－12x ，其中x ∈(0,6)．2．如何理解分段函数？剖析：(1)分段函数的表达式是分段表示的，即函数与自变量的关系不是只满足一个式子，而是在不同范围内有不同的对应法则，这样的函数关系是分段函数．(2)分段函数的定义域应为各段上自变量取值的并集，这一点与函数y ＝x －1＋1＋x 的定义域的求法不相同．(3)作分段函数的图象时，特别注意端点处点的虚实，如函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0的图象为(4)分段函数的表示法是解析法的一种形式．函数y ＝⎩⎨⎧22－6x ，0<x <11，－44，x ≥11不能写成y ＝22－6x,0＜x ＜11或y ＝－44，x ≥11．分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式，所以其图象也是由几部分组成的，可以是由光滑的曲线段组成，也可以是孤立的点或几段线段组成；求分段函数的函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一区间，就用哪一区间上的解析式．题型一 求函数解析式【例1】(1)已知函数f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f (x )； (2)已知f (x ＋4)＝x ＋8x ，求f (x 2)；(3)已知函数y ＝f (x )满足2f (x )＋1()f x＝2x ，x ∈R 且x ≠0，求f (x )； (4)已知一次函数f (x )满足f ［f (x )］＝4x －1，求f (x )．分析：求解析式的方法较多，如配凑法、换元法、方程法、待定系数法等，关键在于弄清对于“x ”而言，“f ”是怎样的对应法则，至于选择什么符号表示自变量没有关系．要特别注意正确确定中间变量的取值范围，如(2)中设x ＋4＝t ≥4，否则就不能正确确定f (x )的定义域．解：(1)方法一(换元法)：令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，代入得f (t )＝(t －1)2－3(t －1)＋2， ∴f (t )＝t 2－5t ＋6，即f (x )＝x 2－5x ＋6． 方法二(配凑法)：∵f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2＝(x ＋1)2－5x ＋1＝(x ＋1)2－5(x ＋1)＋6， ∴f (x )＝x 2－5x ＋6．(2)方法一(配凑法)：∵f (x ＋4)＝x ＋8x ＝(x ＋4)2－16，∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)． ∴f (x 2)＝x 4－16(x ≤－2，或x ≥2)． 方法二(换元法)：设x ＋4＝t ≥4， 则x ＝t －4，x ＝(t －4)2， ∴f (t )＝(t －4)2＋8(t －4)＝t 2－16． ∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)．∴f (x 2)＝x 4－16(x ≤－2，或x ≥2)． (3)(方程法)∵x ∈R ，且x ≠0， 由2f (x )＋1()f x＝2x ，① 将x 换成1x ，则1x换成x ，得12()f x＋f (x )＝2x ．②①×2－②，得3f (x )＝4x －2x ，即f (x )＝4x 3－23x．(4)(待定系数法)∵f (x )是一次函数， ∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f ［f (x )］＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1．∴⎩⎨⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1.∴f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1．反思：对于已知f ［g (x )］的表达式，求f (x )的表达式的问题，一般方法是换元法，即设g (x )＝t ，解出用t 表示x 的表达式，代入求得f (x )的解析式．在用换元法解这类题时，特别要注意正确确定中间变量t 的取值范围．若题目中已知函数f (x )的函数类型，一般采用待定系数法，如第(4)小题，由于已知函数f (x )是一次函数，故可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．题型二 分段函数的图象与应用【例2】试作出函数y ＝|x －1|和y ＝|x －1|＋|x ＋2|的图象．分析：y ＝|x －1|＝⎩⎨⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，y ＝|x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ≤－2，3，－2<x <1，2x ＋1，x ≥1.解：y ＝|x －1|的图象如图(1)． y ＝|x －1|＋|x ＋2|的图象如图(2)．反思：画带绝对值符号的简单函数的图象的基本方法是先求函数的定义域，然后化简函数解析式，就是去绝对值符号．(1)带一个绝对值符号的函数，根据绝对值的意义去绝对值符号．(2)带两个或两个以上绝对值符号的问题，常用“零点分段法”去绝对值符号，从而把函数写成分段函数的形式，然后作图．如本题(2)，令x －1＝0，得x ＝1；令x ＋2＝0，得x ＝－2．－2和1把数轴分成三部分(如下图所示)．【例3】设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )＞f (1)的解集是__________．解析：因f (1)＝12－4×1＋6＝3，所以原不等式可化为f (x )＞3．作出原函数的图象，如下图所示．再作出直线y ＝3，其交点坐标分别为(－3,3)，(1,3)和(3,3)，从图象观察即得． 答案：(－3,1)∪(3，＋∞)反思：作为填空题，可利用数形结合的方法求解不等式，此方法直观、简洁、准确．题型三 实际应用问题【例4】通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果表明，用f (x )表示学生掌握和接受概念的能力，f (x )的值越大，表示接受的能力越强，x 表示提出和讲授概念的的讲授时间(单位：分钟)，可有以下的公式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.1x 2＋2.6x ＋43，0<x ≤10，59，10<x ≤16，－3x ＋107，16<x ≤30.(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？ (2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一道数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的讲授时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题？解：(1)开讲10分钟后，学生的接受能力值为59，达到最强，并维持6分钟． (2)f (5)＝－0.1×52＋2.6×5＋43＝53.5； f (20)＝－3×20＋107＝47，所以开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强一些．(3)当0＜x ≤10时，f (x )＝－0．1x 2＋2．6x ＋43＝－0．1(x －13)2＋43＋16．9，f (x )ma x ＝f (10)＝59．令55≤f (x )≤59，解得6≤x ≤10．所以6≤x ≤10时，f (x )∈［55,59］，即开讲后10分钟里，学生只有后4分钟接受能力在55以上，然后有6分钟接受能力维持在59；当16＜x ≤30时，f (x )＝－3x ＋107．令f (x )≥55，解得x ≤523，即在这段时间里，学生只有43分钟接受能力维持在55以上．综上所述，开讲后学生共有4＋6＋43＝343分钟接受能力在55以上，故老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题．反思：实际问题往往都有一个陌生的情境，它需要我们仔细阅读题意．如果题中给的数量比较多，可以逐个理解和研究，然后把实际问题转化为数学问题，建立函数关系进行求解．1设函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则1(2)f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值为__________． 解析：因为f (2)＝22＋2－2＝4，所以1f (2)＝14，1(2)f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1()4f ＝1－21()4＝1516． 答案：15162某城市出租车按如下方法收费：起步价6元，可行3 km(含3 km)，3 km 后到10 km(含10 km)每走1 km 加价0.5元，10 km 后每走1 km 加价0.8元，某人坐出租车走了12 km ，他应交费______元．解析：把收费y 元看成所走路程x km 的函数， 当0＜x ≤3时，应交6元；当3＜x ≤10时，应交6＋(x －3)×0.5＝4.5＋0.5x (元)；当x ＞10时，应交4.5＋0．5×10＋(x －10)×0．8＝1.5＋0.8x (元)． ∴当x ＝12时，y ＝1.5＋0．8×12＝11.1(元)． 答案：11.13某客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0．5元，如果超过100千米，超过部分按每千米0．4元定价，则客运票价y (元)与行程数x (千米)之间的函数关系式是__________．解析：根据行程是否大于100千米来求出解析式， 由题意，得当0＜x ≤100时，y ＝0.5x ，当x ＞100时，y ＝100×0.5＋(x －100)×0.4＝10＋0.4x ．答案：y ＝⎩⎨⎧0.5x ，0<x ≤100，10＋0.4x ，x >100已知函数h (x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，1()163h =＝16，h (1)＝8，求h (x )及其定义域．分析：本题中已知函数的模型，用待定系数法求解析式． 解：设f (x )＝k 1x (k 1≠0)，g (x )＝k 2x (k 2≠0)，则h (x )＝k 1x ＋k 2x．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k 13＋3k 2＝16，k 1＋k 2＝8.解得123,5k k ⎧⎨⎩＝，＝．所以h (x )＝3x ＋5x，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．5已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x >0，1，x ＝0，－1x，x <0.(1)画出函数的图象； (2)求f (1)，f (－1)的值．分析：分别作出f (x )在x ＞0，x ＝0，x ＜0各段上的图象，合在一起得函数的图象． 解：(1)如图所示．(2)f (1)＝12＝1，f (－1)＝－1－1＝1．。
函数的表示法
函数的表示法1．函数的表示方法：解析法、列表法、图象法．①解析法就是把两个变量的函数关系，用一个数学表达式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式．②列表法就是列出表格来表示两个变量之间的函数关系．③图象法就是用函数的图象表示两个变量之间的函数关系．2．分段函数在函数定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数．对分段函数的概念必须注意：(1)分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)分段函数的图象是由几个不同的部分组成，作分段函数的图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出．3.映射(1)A到B的映射与B到A的映射往往不同；(2)集合A中每一个元素在集合B中必有唯一的元素和它对应（允许B中元素没有被A中元素对应）；(3)A中元素与B中元素，可以是“一对一”，“多对一”不能是“一对多”．(4)函数是集合A，B为非空数集的一种特殊映射，映射是函数概念的推广题型一映射概念的理解例1：(1)在下列对应关系中，哪些能构成A到B的映射？,(2)设集合P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤2}，下列的对应不表示从P到Q的映射的是()A.f:,y＝xB.f:xy＝xC.f:xy＝xD.f:x→y＝点评：在映射中，集合A的“任一元素”，在集合B中都有“唯一”的对应元素，不会出现一对多的情形．只能是“多对一”或“一对一”形式．变式迁移1:判断下列对应关系哪些是从集合A到集合B的映射.（1）A=（2）A=R,B=对应关系f:(3)A=Z,B=Q，对应关系f:(4)A=,对应关系f:。
变式迁移2:下列对应是否是从A到B的映射，能否构成函数？（1）A=R,B=R,f:x；（2）A=,B=;(3)A=[0,+],B=R,f:x(4)A＝{x|x是平面内的矩形}，B＝{x|x是平面内的圆}，f：作矩形的外接圆．题型二分段函数的图象及应用例2：求下列函数的图象及值域：y＝；点评：本例利用图象法求函数值域，其关键是准确作出分段函数的图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图象时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．变式迁移:作出下列各函数的图象：(1)y＝1－x，x∈Z；（2）y＝|x－1| (x∈R)．例3：分段函数的求值问题;已知函数f(x)＝(1)求f[f()]的值；(2)若f(a)＝3，求a的值．变式迁移：设f(x)＝若f(a)>a，求实数a的取值范围。
高一数学函数的常用表示方法
钱数y
5 10 15 20 25
例4 下表是某校高一（1）班三名同学在高一 学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表。
解：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成 绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况。 如果将“成绩”与“测试时间”之间的关系用函 数图象表示出来，如下表，那么就能比较直观地 看到成绩变化地情况。这对我们地分析很有帮助。
由空调汽车票价的规定，可得到以下函数解析式：
2, 0<x ≤ 5
y=
3, 5 < x ≤ 10 4, 10 < x ≤ 15
5, 15 < x≤20
根据函数解析式，可画出函数图象，如下图
y 5 4 3○ 2 ○○ 1
○ ○
0 5 10 15 20
有些函数在它的定义 域中，对于自变量的 不同取值范围，对应 关系不同，这种函数 通常称为分段函数。
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2.1.2函数表示法 课件
例5 画出函数y=|x|的图象.
解：由绝对值的概念，我们有
y=
图象如下：
x, x≥0, -x, x<0.
y
5 4 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
例6.某市空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内(含5公里)，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元 （不足5公里的按5公里计算）。
已知两个相邻的公共汽车站间相距为1公里，如果 沿途（包括起点站和终点站）有21个汽车站，请 根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式， 并画出函数的图象。
解：设票价为y，里程为x，则根据题意， 如果某空调汽车运行路线中设21个汽车站，那么汽车 行驶的里程约为20公里，所以自变量x的取值范围是 （0，20]
函数的表示法1(解析法)
数关系的方法叫做解析法.
问题二：股票问题
时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
收盘价 12 12.5 12.9 12.45 12.75
列表法: 用表格来表示两个变量之间函数
关系的方法叫做列表法.
问题三：气温问题
下图测温仪记录的图象，它反映了北京 的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化。
例2、按照我国税法规定,个人所得税的缴 付办法是:月收入不超过1600元,免交个人所 得税,超过1600元不超过5000元,超过部分需 缴纳5%的个人所得税;等等.
月收入 （元）
月缴付个 人所得税
1300
0
1600
0
1700
5
2000
20
2500
45
4500
145
(1)试写出月收入在1600元到5000元之间的个人所得 税 y(元)与月收入x(元)的函数解析式（x为精确到 0.01的正数)
T/℃ 8
04
14
24
图象法: 用图象来表示两个变量之间函数
关系的方法叫做列表法.
2、函数的表示法：
(1)解析法 (2)列表法 (3)图象法
解析法：
例1、学校为创建多媒体教学中心，备有资金 180万元，现计划分批购进电脑，每台电脑售 价6千元，求所剩资金与电脑台数之间的函数 解析式，并求出函数的定义域。
(2)求收入为3000元的职工每月需缴纳的个人所得税.
例3、一个等腰三角形的周长为10，设腰长 为x，底边长为y，求出y与x的函数关系式， 并求出函数的定义域．
例4、有长为60米的篱笆,围成一面靠墙的矩 形养鸡场(如图), 设矩形的宽为x米,试求矩形 养鸡场的面积S与x之间的函数关系式,并指出 函数的定义域.
2020-2021学年高一上数学第三章《函数的概念与性质》3.1.2函数的表示法(一)
(1)y＝1－x(x∈Z)；
(2)y＝x2－4x＋3，x∈[1,3]．
解(1)因为x∈Z，
所以图象为直线y＝1－x上的孤立点，其图象如图①所示．
(2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
当x＝1,3时，y＝0；
当x＝2时，y＝－1，其图象如图②所示．
函数图象的应用
典例(1)已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．
跟踪训练2(1)已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，则f(x)的解析式为________________．
答案f(x)＝x2－4(x≥2)
解析因为f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，
所以f(x)＝x2－4(x≥2)．
(2)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝________.
f(x)的图象与直线y＝m有2个不同交点，
由图易知－1<m≤3.
[素养提升](1)函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．
(2)借助几何直观认识事物的位置关系，形态变化与运动规律；利用图形分析数学问题，是直观想象的核心内容，也是数学的核心素养．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵f(0))2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
整理，得2ax＋(a＋b)＝2x.
由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等，
∴ 解得 ∴f(x)＝x2－x＋1.
反思感悟求函数解析式的常用方法
解观察图象可知：
函数的表示方法(1)_韦余玲
小结：
列表法
1．函数的表示方法． 图象法 解析法
2．不同表示法的优缺点．
作业：
P32第1，4，5题．
数学应用：
已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出：
x
1
2 1
2 4
3 2
4 3
f(x) 3
则f(f(1))＝ g(f(3))＝
g(x) 1
； ；
， f(g(2))＝ 4 ， g(g(4))＝ 2
7 f (x)＝ 7 + 2.4 ( x – 3 ) ， x > 3
7
，
0＜ x ≤ 3
y
O
3
x
巩固练习：
1．1 n mile(海里)约为1854m，根据这一关系，写出米数y 关于海里数x的函数解析式． 2．用长为30cm的铁丝围成矩形，试将矩形的面积S(cm2) 表示为矩形一边长x(cm)的函数，并画出函数的图象．
情境问题：
定义域 函数的三要素 值域 函数的图象 A＝{x|y＝ f(x)}
函数存在的范围
C＝{y|y＝ f(x)，x A} 函数变化的范围 M＝{(x，y)|y＝ f(x)，xA} 函数本质属性的直观反映
下表的对应关系能否表示一个函数呢？
x y
1 －1
3 －3
5 0
7 0
数学建构：
表示方法
x y
1
2
2
4
3
6
4
8 O x
数学应用： 例2 画出函数 f ( x) x 的图像，并求 f (3), f (3), f (1), f (1) 的值。
练习： （1） f ( x) x 1
（2） f ( x) x 2
函数的表示法(1)
（3）若想直观地看出面积如何随着边长的变化而变 化，用什么方法表示这个函娄比较好？
图象法
小结：
函数关系的三种表示方法：图象法、列表法、公式法
图象法：明显表示变化趋势
列表法：直接给出部分函数值 公式法：明显表示对应规律
使用天然气交纳的费用 y 随所用 天然气的体积x而变化，例如，当 x=10时，y = 28.8 （元）；当x=20 时，y= 57.6 （元）.
像第三个例子那样，用式子表示函数关系的方 法称为公式法. 这样的式子称为函数的解析式.
3. 某城市居民用的天然气，1m3收费2.88元， 则使用x m3天然气应交纳的费用为y（元）. 怎样用含x的式了表示y呢？ 使用天然气交纳的费用 y 随所用 天然气的体积x而变化，例如，当 x=10时，y = 28.8 （元）；当x=20 时，y= 57.6 （元）.
3
3
Y=2.88x
动脑筋
本节第一个例子中，是怎样表示气温T随时 间t而变化的函数关系的？
用直角坐标系中 的一个图形来表示.
图2-1
结论
像第一个例子那样，建立平面直角坐标系，以 自变量取的每一个值为横坐标，以相应的值（即因 变量的对应值）为纵坐标，描出每一个点，由所有 这些点组成的图形称为这个函数的图象. 这种表示函数关系的方法称为图象法.
小提示
Y=2.88x
用式子表示函数关系的方法称为公式法. 这样的式子称为函数的解析式.
用公式法表示函数关系的好处是，可以方便地 计算函数值.
小提示
用图象法表示函数关系的好处是，可以直观地 看出因变量如何随着自变量而变化，一目了然. 用列表法表示函数关系的好处是，自变量取的 值与因变量的对应值看得很清楚. 用公式法表示函数关系的好处是，可以方便地 计算函数值.
函数的表示法(第一课时)
3.1.2函数的表示法（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第三章)一、教学目标1.掌握函数的三种表示方法：列表法、图象法、解析法；2.了解分段函数，并能简单应用；3.会用描点法画出一些简单函数的图象，并应用函数的图象解决问题.二、教学重难点1.进一步理解函数概念，深化对具体函数模型的认识；2.渗透数形结合思想，培养学生发展逻辑推理，应用直观想象.三、教学过程1.对函数表示方法的认知1.1回望教材引例，了解函数常用表示方法【教材引例】再次阅读教材3.1.1（P60-61）四个引例问题1：这些实际的函数问题是如何表示的？【预设的答案】解析式，图象表示，表格表示.【设计意图】使学生了解针对不同的实际情境采用适当的函数表示法，便于直观或深入的研究，解决问题，学有用的数学.【活动预设】引导学生归纳概括出函数常见的三种表示法.问题2：（1）比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？ （2）所有函数都能用解析法表示吗？请举出实例加以说明.【设计意图】让学生体会总结三种表示法的各自优点与不足，为比较三种表示法提供机会；培养学生观察、总结、表达能力.【活动预设】（1）鼓励学生举生活中的函数例子，并阐述可以用哪种函数表示法，学生间可以讨论，教师可以引导.使学生灵活选用函数表示法来研究函数，进而使他们认识到三种表示法之间相辅相成，渗透数形结合思想.1.2归纳提炼，形成共识在学生举例、讨论的基础上，师生共同归纳概括：（1）“解析法”就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.优点：一是简明、全面地概括了变量间的对应关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值.缺点：有些实际问题中的函数关系很难用解析式表示或根本不存在解析式. 中学阶段研究的函数，主要是能够用解析法表示的函数. （2）“图象法”就是用“图形”表示两个变量之间的对应关系.优点：能直观形象的表示出随着自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于我们研究函数的某些性质，这是数形结合的好处.缺点：感性观察有时不够准确，画面局限性大.（3）“列表法”就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 . 缺点：只能表示有限个元素时的函数关系且元素较多时也不方便. 【设计意图】使学生们在自己的理解基础上统一认识. 2.初步应用，理解概念例1某种笔记本的单价是0.5元，买{}()1,2,3,4,5x x ∈个笔记本需要y 元.试用函数的三种表示法表示函数()y f x =.【预设的答案】这个函数的定义域是{}1,2,3,4,5 解析式法：{}51,2,3,4,5y xx =∈列表法图象法【设计意图】（1）使学生体会到函数的三种表示法并不是相互独立的，它们可以相互转化，是有机的一个整体.进一步体会数形结合在理解、研究函数中的重要作用.（2）使学生感受到函数图象既可以象初中学习过的一、二次函数那样是连续的曲线 ，也可以是离散的点等.例2 画出函数y x =的图象 .【预设的答案】由绝对值的概念，我们有,0,0x x y x x x -<⎧==⎨≥⎩，所以函数y x =的图象如图所示问题3：利用函数的定义判断这是一个函数还是两个函数？ 【设计意图】（1）深化函数定义的理解，使学生认识函数解析式的多样性，函数图象的多样性. （2）学生已经熟知,y x y x ==-所表达的数量间关系，使学生体会由数到形的过程. 教师讲授：（1）y x =是一个函数，对于定义域内的任意一个x ，都有唯一确定的函数值与之对应.（2）一些函数，在它的定义域中，对于自变量x 不同的取值范围，对应的关系式也不同，这样的函数我们通常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数，其定义域为各段自变量取值范围的并集，值域是各段值域的并集.分段函数的解析式是用左大括号将各段的表达式括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.例3 给定函数()2()1,()1,f x x g x x x R =+=+∈. （1）在同一直角坐标系中画出函数(),()f x g x 的图象；（2）x R ∀∈，用()M x 表示(),()f x g x 中的较大者，记为()()(){}max ,M x f x g x =.例如，当2x =时， ()()(){}{}2max 2,2max 3,99M f g ===.请分别用图象法和解析法表示函数()M x .【预设的答案】（1）在同一直角坐标系中画出函数(),()f x g x 的图象（2）由图中函数取值的情况，结合函数()M x 的定义，可得函数()M x 的图象 由()211x x +=+，得()10x x +=，解得1x =-或0x =结合图象得出函数()M x 的解析式为()()()221,11,101,0x x M x x x x x ⎧+≤-⎪⎪=+-<≤⎨⎪+>⎪⎩【设计意图】（1）此例题是从形到数的过程，充分利用图象特征，可以简化代数运算，可以引导学生从纯代数运算，比较大小的角度去函数的解析式，通过对比进一步加强学生的数形结合观念与直观想象能力.（2）通过对()()(){}max ,M x f x g x =这种符号化表示的理解，提高学生的抽象思维能力. 3.归纳小结，突出重点（1）表示函数的方法有解析法、列表法和图象法三种，掌握分段函数的概念和解析式表达形式；（2）函数的图象通常是一段或几段光滑的曲线，但有时也可以由一些孤立的点或几段线段组成，必须根据定义域画图，利用描点法或图象变换法.（3）数形结合相辅相成，为我们研究函数的相关问题提供便利，直观快捷. 【设计意图】（1）梳理本节课的学习内容；（2）鼓励学生积极探索新知，为下节课函数表示法的实际应用提供必要性 . 四、课外作业1.画出函数2-=x y 的图象.（你想到了几种办法？都尝试一下吧！）2.给定函数,,)1()(,1)(2R x x x g x x f ∈-=+-= （1）画出函数)(),(x g x f 的图象；（2）,R x ∈∀用()m x 表示)(),(x g x f 中的较小者，记为 {}()min (),().m x f x g x = 请分别用图象法和解析法表示函数()m x .3.已知函数()f x 的图象如图所示，其中点,A B 的坐标分别为()0,3，()3,0 则()()0f f ＝( )A ．2B ．4C ．0D ．34．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )5．下表表示函数()y f x =，则()f x x >的整数解的集合是________．x05x << 510x ≤< 1015x ≤< 1520x ≤<()y f x = 4 6 8 10。
高中数学学案：《函数的表示方法1》必修一
2．求函数的解析式有哪些方法？
【我的疑问】
备注
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【自主探究】
例1购买某种饮料 听，所需钱数为 元.若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将 表示成 的函数，并指出该函数的值域.
例2求下列函数的解析式：
（1）已知 是二次函数，且 ， ，求 ；
（2）已知 ，求 ；
（3）已知 ，求 .
5、解：
6、解：
备注
第4页共4页
备注
第2页共4页
【课堂检测】
1、1 n mile(海里)约合1852 m，根据这一关系，写出米数 关于海里数 的函数解析式.
（2） ；
（3） .
4、已知 ，则 ， 。
5、设函数 满足 ，求 ， 。
【回标反馈】
备注
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【巩固练习】
完成伴你学P26自我检测第1－6题
1、解：
2、解：
3、解：
4、解：
数学经典示范教案：函数的表示法(1)
函数的表示法整体设计教学分析课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法:解析法,图象法,列表法.函数的不同表示方法能丰富对函数的认识,帮助理解抽象的函数概念.特别是在信息技术环境下,可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现,使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法.因此,在研究函数时,要充分发挥图象的直观作用.在研究图象时,又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性.课本将映射作为函数的一种推广,这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化.这样处理,主要是想较好地衔接初中的学习,让学生将更多的精力集中理解函数的概念,同时,也体现了从特殊到一般的思维过程.三维目标1.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法),会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数,树立应用数形结合的思想.2.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用,提高应用函数解决实际问题的能力,增加学习数学的兴趣.3.会用描点法画一些简单函数的图象,培养学生应用函数的图象解决问题的能力.4.了解映射的概念及表示方法,会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射,感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用,提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识.重点难点教学重点:函数的三种表示方法,分段函数和映射的概念.教学难点:分段函数的表示及其图象,映射概念的理解;运用集合两种常用表示——列举法与描述法.课时安排3课时教学过程第1课时导入新课思路 1.语言是沟通人与人之间的联系的,同样的祝福又有着不同的表示方法.例如,简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为:生日快樂！英文为:Happy Birthday！法文是Bon Anniversaire！德文是Alles Gute Zum Geburtstag!西班牙中称iFeliz CumpleaRos!印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun！荷兰文的生日快乐为Van Harte Gefeliciteerd met jeverj aardag！在俄语中则是С днем рождения!……那么对于函数,又有什么不同的表示方法呢？引出课题:函数的表示法.思路 2.我们前面已经学习了函数的定义,函数的定义域的求法,函数值的求法,两个函数是否相同的判定方法,那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题(板书课题).推进新课新知探究提出问题初中学过的三种表示法:解析法、图象法和列表法各是怎样表示函数的？讨论结果：(1)解析法:用数学表达式表示两个变量之间的函数关系,这种表示方法叫做解析法,这个数学表达式叫做函数的解析式.(2)图象法:以自变量x的取值为横坐标,对应的函数值y为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各个点,这些点构成了函数的图象,这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法. (3)列表法:列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值,这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法.应用示例思路11.某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元,试用三种表示法表示函数y=f(x).活动：学生思考函数的表示法的规定.注意本例的设问,此处“y=f(x)”有三种含义,它可以是解析表达式,可以是图象,也可以是对应值表.本题的定义域是有限集,且仅有5个元素.解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5},用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.用列表法可将函数y=f(x)表示为笔记本数x 1 2 3 4 5钱数y 5 10 15 20 25用图象法可将函数y=f(x)表示为图1-2-2-1.图1-2-2-1点评：本题主要考查函数的三种表示法.解析法的特点是:简明、全面地概括了变量间的关系;可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值,便于用解析式来研究函数的性质,还有利于我们求函数的值域;图象法的特点是:直观形象地表示自变量的变化,相应的函数值变化的趋势,有利于我们通过图象来研究函数的某些性质,图象法在生产和生活中有许多应用,如企业生产图,股市走势图等;列表法的特点是:不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值,列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用,如银行利率表、列车时刻表等等.但是并不是所有的函数都能用解析法表示,只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时,这样的函数才可能有解析式,否则写不出解析式,也就不能用解析法表示.例如:张丹的年龄n(n∈N*)每取一个值,那么他的身高y(单位:cm)总有唯一确定的值与之对应,因此身高y是年龄n的函数y=f(n),但是这个函数的解析式不存在,函数y=f(n)不能用解析法来表示.注意：①函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等;②解析法:必须注明函数的定义域,否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域;③图象法:根据实际情境来决定是否连线;④列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.变式训练1.已知函数f(x)在［-1,2］上的图象如图1-2-2-2所示,求f(x)的解析式.图1-2-2-2解：观察图象,知此函数是分段函数,并且在每段上均是一次函数,利用待定系数法求出解析式为:当-1≤x≤0时,f(x)=x+1;当0<x<2时,f(x)=2x -,则有f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+.20,21,01,1x x x x 2.2007山东青岛第一次调研,理13已知2f(x)+f(-x)=3x+2,则f(x)=________.分析:由题意得⎩⎨⎧+=++=+2,-3x f(x)2f(-x)2,3x f(-x)2f(x) 把f(x)和f(-x)看成未知数,解方程即得.答案：3x+32 第一次第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 王伟 9887 91 92 88 95 张城 9076 88 75 86 80 赵磊 6865 73 72 75 82 班平均分88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6 活动：学生思考做学情分析,具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本题利用表格给出了四个函数,它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分.由于表格区分三位同学的成绩高低不直观,故采用图象法来表示.做学情分析,具体要分析学习成绩是否稳定,成绩变化趋势.解：把“成绩”y 看成“测试序号”x 的函数,用图象法表示函数y=f(x),如图1-2-2-3所示.图1-2-2-3由图1-2-2-3可看到:王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分,学习情况比较稳定而且成绩优秀;张城同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均分水平上下波动,而且波动幅度较大;赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势,表明他的数学成绩稳步提高.点评：本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力,以及应用函数解决实际问题的能力.通过本题可见,图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势.注意：本例为了研究学生的学习情况,将离散的点用虚线连接,这样便于研究成绩的变化特点. 变式训练1.函数y=x 2-4x+6,x ∈［1,5)的值域是_________.分析:画出函数的图象,图象上所有点的纵坐标的取值范围就是函数的值域.答案：［2,11)2.将长为a 的铁丝折成矩形,求矩形面积y 关于一边长x 的函数关系式,并求定义域和值域,作出函数的图象.分析:解此题的关键是先把实际问题转化成数学问题,即把面积y 表示为x 的函数,用数学的方法解决,然后再回到实际中去.解：设矩形一边长为x,则另一边长为21(a-2x),则面积y=21(a-2x)x=-x 2+21ax. 又⎩⎨⎧>>0,2x -a 0,x 得0<x<2a ,即定义域为(0,2a ). 由于y=-(x 4a -)2+161a 2≤161a 2, 如图1-2-2-4所示,结合函数的图象得值域为(0,161a 2］.图1-2-2-43.2007山东高考样题,文8向高为H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图1-2-2-5所示,那么水瓶的形状是()图1-2-2-5 图1-2-2-6分析:要求由水瓶的形状识别容积V 和高度h 的函数关系,突出了对思维能力的考查. 观察图象,根据图象的特点发现:取水深h=2H ,注水量V′>20V , 即水深为一半时,实际注水量大于水瓶总水量的一半.A 中V′<20V ,C 、D 中V′=20V ,故排除A 、C 、D. 答案：B思路2 1.2007宁夏银川一模,理14已知f(x x +-11)=2211xx +-,则f(x)=________. 活动：学生思考函数的解析式表达的含义.设x x +-11=t,利用换元法,转化为求f(t).利用整体思想把x x +-11看成一个整体,即可得函数的解析式.要注意函数f(t)与f(x)是同一个函数.分析: 可设x x +-11=t,则有x=tt +-11, 所以f(t)=22)11(1)11(1tt t t +-++--=212t t +, 所以f(x)=212xx +. 答案：212x x + 变式训练课本P 26练习1.点评：本题主要考查函数的解析式.已知f ［g(x)］=φ(x),求f(x)的解析式时,通常用换元法,其步骤是:①设g(x)=t;②把t 看成常数,解关于x 的方程g(x)=t 得x=h(t);③将x=h(t)代入φ(x),得函数f(t)的解析式;④再用x 替换f(t)的解析式中的t 得函数f(x)的解析式.其实求函数的解析式方法很多,例如方程法:对于已知等式中出现两个不同变量的函数关系式,依据这两个变量的关系,重新建立关于这两个变量的不同等式,利用整体思想,把f(x)和另一个函数看成未知数,解方程组得函数f(x)的解析式.类似于解二元一次方程组,故称为方程法.待定系数法:已知函数的模型求其解析式时,常用待定系数法.2.已知函数f(x)=273++x x . (1)画出函数f(x)的图象;(2)观察图象写出函数的定义域和值域.活动：学生思考函数图象的画法.利用变换法画函数f(x)的图象,利用图象法写出函数的定义域和值域.形如函数y=d cx b ax ++(c≠0,a 2+b 2≠0)的图象均可由反比例函数y=x k 的图象经过平移得到,因此函数y=dcx b ax ++(c≠0,a 2+b 2≠0)的图象形状是双曲线. 解：(1)y=273++x x =2163+++x x =21+x . 将y=x 1的图象向左平移两个单位得y=21+x 的图象,再向上平移三个单位得y=21+x +3的图象.图象如图1-2-2-7所示.图1-2-2-7(2)观察函数的图象图1-2-2-7,可知图象上所有点的横坐标的取值范围是(-∞,-2)∪(-2,+∞),图象上所有点的纵坐标的取值范围是(-∞,3)∪(3,+∞).则函数的定义域是(-∞,-2)∪(-2,+∞),值域是(-∞,3)∪(3,+∞).点评：本题主要考查函数的定义域、值域和图象.画不熟悉的函数的图象,可以变形成由基本函数,利用变换法画出图象,但要注意变形过程是否等价,注意x,y 的变化范围.因此必须熟记基本初等函数的图象,如:正、反比例函数,一次、二次函数的图象,在变换函数的解析式中运用了转化和分类讨论的思想.求函数值域的方法:①图象法,借助于函数值域的几何意义,利用函数的图象求值域;②观察法,对于解析式比较简单的函数,利用常见的结论如x 2≥0,|x|≥0,x≥0等观察出函数的值域; ③换元法,利用换元法转化为求常见函数如二次函数的值域等.注意：讨论函数的值域要先考虑函数的定义域,本例中(1)如果忽视函数的定义域,那么会错误地得函数值域为［-1,+∞).避免此类错误的方法是研究函数时要遵守定义域优先的原则.变式训练求下列函数的值域:(1)y=x2-2x(-1≤x≤2);(2)y=x4+1.分析:本题主要考查函数的值域及其求法.(1)借助于函数值域的几何意义,利用函数的图象求值域;(2)观察得x4≥0,得函数的值域,也可以利用换元法转化为求二次函数的值域.(1)解：(图象法)在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2-2x(-1≤x≤2)的图象,如图1-2-2-8所示:图1-2-2-8函数y=x2-2x(-1≤x≤2)的图象上所有点的纵坐标的取值范围就是函数的值域,观察图象知函数的值域是［-1,3］.(2)解法一：(观察法)函数的定义域是R,则x4≥0,有x4+1≥1,即函数y=x4+1的值域是［1,+∞).解法二：(换元法)函数的定义域是R,设x2=t,则t≥0,则有y=t2+1.利用图象可求得当t≥0时,二次函数y=t2+1的值域是［1,+∞),即函数y=x4+1的值域是［1,+∞).3.车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆次,其中电动车保管费是每辆一次0.5元,自行车保管费是每次一辆0.3元.(1)若设自行车停放的辆次数为x,总的保管费收入为y元,试写出y关于x的函数关系式;(2)若估计前来停放的3 500辆次自行车中,电动车的辆次不小于25%,但不大于40%,试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围.活动：让学生审清题意读懂题.求解析式时不要忘记函数的定义域,要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.然后再根据解析式列不等式求解.总的保管费=自行车保管费+电动车保管费. 解：(1)由题意得y=0.3x+0.5(3500-x)=-0.2x+1750,x∈N*且0≤x≤3500.(2)若电动车的辆次不小于25%,但不大于40%,则3500×(1-40%)≤x≤3 500×(1-25%),即2100≤x≤2 625,画出函数y=-0.2x+1750(2 100≤x≤2 625)的图象,可得函数y=-0.2x+1750(2100≤x≤2625)的值域是［1225,1330］,即收入在1225元至1330元之间.点评：本题主要考查函数的解析式和值域,以及应用函数知识解决实际问题的能力.解函数应用题的步骤是①审清题意读懂题;②恰当设未知数;③列出函数解析式,并指明定义域;④转化为函数问题,并解决函数问题;⑤将数学问题的答案还原为实际答案.变式训练2007山东实验中学级第一次诊断性测试,文13水池有2个进水口,1个出水口,每个水口进出水的速度如图1-2-2-9甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图1-2-2-9丙所示(至少打开一个水口).图1-2-2-9给出以下三个论断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水;其中一定正确的论断是( )A.①B.①②C.①③D.①②③分析:由图1229甲可看出,如果进水口与出水口同时打开,每个进水口的速度为出水口速度的一半,即v 进水=21v 出水;由图丙可看出在0点到3点之间蓄水量以速度2匀速增加,所以在此时间段内一定是两个进水口均打开,出水口关闭,故①正确.由图丙可看出在3点到4点之间蓄水量以速度1匀速减少,所以在此时间段内一定是一个进水口打开,出水口打开,故②不正确.由图丙可看出在4点到6点之间蓄水量不变,所以在此时间段内一定是两个进水口打开,出水口打开,或者两个进水口关闭,出水口关闭,故③不正确.综上所述论断仅有①正确.答案：A知能训练课本P 23练习2、3.【补充练习】1.等腰三角形的周长是20,底边长y 是一腰长x 的函数,则( )A.y=10-x(0<x≤10)B.y=10-x(0<x<10)C.y=20-2x(5≤x≤10)D.y=20-2x(5<x<10)分析:根据等腰三角形的周长列出函数解析式.∵2x+y=20,∴y=20-2x.则20-2x>0.∴x<10.由构成三角形的条件(两边之和大于第三边)可知2x>20-2x,得x>5,所以函数的定义域为{x|5<x<10}.所以y=20-2x(5<x<10).答案：D2.2007北京四中第一次统测,文4定义在R 上的函数y=f(x)的值域为[a,b],则y=f(x+1)的值域为( )A.[a,b]B.[a+1,b+1]C.[a-1,b-1]D.无法确定分析:将函数y=f(x)的图象向左平移一个单位得函数y=f(x+1)的图象,由于定义域均是R ,则这两个函数图象上点的纵坐标的取值范围相同,所以y=f(x+1)的值域也是[a,b].答案：A3.2006陕西高考,文2函数f(x)=211x+(x ∈R )的值域是( ) A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1] 分析:(观察法)定义域是R ,由于x 2≥0,则1+x 2≥1,从而0<211x +≤1. 答案：B拓展提升问题:变换法画函数的图象都有哪些?解答:变换法画函数的图象有三类:1.平移变换:(1)将函数y=f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位得函数y=f(x+a)的图象;(2)将函数y=f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位得函数y=f(x-a)的图象;(3)将函数y=f(x)的图象向上平移b(b>0)个单位得函数y=f(x)+b的图象;(4)将函数y=f(x)的图象向下平移b(b>0)个单位得函数y=f(x)-b的图象.简记为“左加(+)右减(-),上加(+)下减(-)”.2.对称变换:(1)函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于直线x=0即y轴对称;(2)函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于直线x=0即x轴对称;(3)函数y=f(x)与函数y=-f(-x)的图象关于原点对称.3.翻折变换:(1)函数y=|f(x)|的图象可以将函数y=f(x)的图象位于x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方,去掉原x轴下方部分,并保留y=f(x)的x轴上方部分即可得到.(2)函数y=f(|x|)的图象可以将函数y=f(x)的图象y轴右边部分翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留y=f(x)在y轴右边部分图象即可得到.函数的图象是对函数关系的一种直观、形象的表示,可以直观地显示出函数的变化状况及其特性,它是研究函数性质时的重要参考,也是运用数形结合思想研究和运用函数性质的基础.另一方面,函数的一些特性又能指导作图,函数与图象是同一事物的两个方面,是函数的不同表现形式.函数的图象可以比喻成人的相片,观察函数的图象可以解决研究其性质,当然,也可以由函数的性质确定函数图象的特点.借助函数的图象来解决函数问题,函数的图象问题是高考的热点之一,应引起重视.课堂小结本节课学习了:函数的三种表示方法,在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数. 作业课本P24习题1.2A组7、8、9.设计感想本节教学设计容量较大,尽量借助于信息技术来完成.本节的设计重点是函数的三种表示方法,提出了表示法的应用,特别是用图象法求函数的值域,并对求函数值域的方法进行了总结以满足高考的要求.。
函数的表示法(一)
2021-2022学年高中数学必修一第3章3．1.2函数的表示法(一)学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图象上获取有用的信息．知识点函数的表示方法思考函数三种表示法的优缺点？答案1．任何一个函数都可以用解析法表示．(×)2．任何一个函数都可以用图象法表示．(×)3．函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示．(√)4．函数的图象一定是一条连续不断的曲线．(×)一、函数的表示方法例1某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．解(1)列表法：x/台12345678910 y/元 3 000 6 0009 00012 00015 00018 00021 00024 00027 00030 000(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．反思感悟应用函数三种表示方法应注意以下三点(1)解析法必须注明函数的定义域；(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系；(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．跟踪训练1由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于()x 12345y 4532 1A.1 B．2 C．4 D．5答案 B解析由题中表格可知f(1)＝4，所以f(f(1))＝f(4)＝2.二、求函数解析式例2求下列函数的解析式：(1)已知函数f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)；(2)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)．解(1)方法一(换元法)设t＝x＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．方法二(配凑法)∵x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f (0)＝1，∴c ＝1. 又∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 整理，得2ax ＋(a ＋b )＝2x .由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1. 反思感悟 求函数解析式的常用方法(1)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f (g (x ))的解析式求f (x )的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g (x )＝t ，反解出x ，然后代入f (g (x ))中求出f (t )，从而求出f (x )．(2)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． 跟踪训练2 (1)已知f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2，则f (x )的解析式为________________． 答案 f (x )＝x 2－4(x ≥2)解析 因为f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2＝(x 2＋2)2－4， 令t ＝x 2＋2(t ≥2)，则f (t )＝t 2－4(t ≥2)， 所以f (x )＝x 2－4(x ≥2)．(2)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，则f (x )＝________. 答案 2x －13或－2x ＋1解析 因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又因为f (f (x ))＝4x －1，所以a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1. 所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.三、函数的图象例3 作出下列函数的图象． (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]； (2)y ＝2x ，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．解 (1)当x ∈[0,2]时，图象是直线y ＝2x ＋1的一部分．(2)当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2x的一部分．(3)当－2≤x ≤2时，图象是抛物线y ＝x 2＋2x 的一部分．延伸探究 根据作出的函数图象求其值域． 解 观察图象可知： (1)中函数的值域为[1,5]． (2)中函数的值域为(0,1]． (3)中函数的值域为[－1,8]．反思感悟 作函数y ＝f (x )图象的方法(1)若y ＝f (x )是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．(2)若y ＝f (x )不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y ＝f (x )的图象．跟踪训练3 作出下列函数的图象： (1)y ＝1－x (x ∈Z )； (2)y ＝x 2－4x ＋3，x ∈[1,3]． 解 (1)因为x ∈Z ，所以图象为直线y ＝1－x 上的孤立点，其图象如图①所示． (2)y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， 当x ＝1,3时，y ＝0；当x ＝2时，y ＝－1，其图象如图②所示．函数图象的应用典例(1)已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．考点函数图象题点函数图象的应用答案[－2,4]∪[5,8][－4,3]解析函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合．(2)若函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．考点函数图象题点函数图象的应用解f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象如图，f(x)的图象与直线y＝m有2个不同交点，由图易知－1<m≤3.[素养提升](1)函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．(2)借助几何直观认识事物的位置关系，形态变化与运动规律；利用图形分析数学问题，是直观想象的核心内容，也是数学的核心素养．1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于()x 123 4f (x )3 24 1A ．1B ．2C ．3D ．4 考点 函数的表示法 题点 函数的表示法 答案 A2．已知函数f (2x ＋1)＝6x ＋5，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝3x ＋2 B ．f (x )＝3x ＋1 C ．f (x )＝3x －1 D ．f (x )＝3x ＋4答案 A解析 方法一 令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12.所以f (t )＝6×t －12＋5＝3t ＋2，所以f (x )＝3x ＋2.方法二 因为f (2x ＋1)＝3(2x ＋1)＋2， 所以f (x )＝3x ＋2.3．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t ，离开家里的路程为d ，下面图形中，能反映该同学的行程的是( )考点 函数图象题点 函数图象的判断与理解 答案 C 4．设函数f ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( )A.1＋x 1－x(x ≠－1) B.1＋x x －1(x ≠－1) C.1－x 1＋x (x ≠－1) D.2x x ＋1(x ≠－1) 答案 C解析 令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t1＋t ，∴f (t )＝1－t1＋t，即f (x )＝1－x1＋x.5．已知二次函数f (x )的图象经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则函数f (x )的解析式为__________． 答案 f (x )＝－x 2－4x －1解析 设f (x )＝a (x ＋2)2＋3(a ≠0)， 由y ＝f (x )过点(－3,2)，得a ＝－1， ∴f (x )＝－(x ＋2)2＋3＝－x 2－4x －1.1．知识清单： (1)函数的表示方法． (2)求函数解析式． (3)函数的图象． 2．方法归纳：(1)待定系数法、换元法． (2)数形结合法．3．常见误区：求函数解析式时易忽视定义域．1．已知函数f (x －1)＝x 2－3，则f (2)的值为( ) A ．－2 B ．6 C ．1 D ．0 答案 B解析 令t ＝x －1，则x ＝t ＋1， ∴f (t )＝(t ＋1)2－3＝t 2＋2t －2， ∴f (2)＝22＋2×2－2＝6.2．已知函数y ＝f (x )的对应关系如表所示，函数y ＝g (x )的图象是如图的曲线ABC ，其中A (1,3)，B (2,1)，C (3,2)，则f (g (2))的值为( )x 1 2 3 f (x )23A.3 B ．2C ．1D ．0 答案 B解析 ∵g (2)＝1， ∴f (g (2))＝f (1)＝2.3．从甲市到乙市t min 的电话费由函数g (t )＝1.06·(0.75[t ]＋1)给出，其中t >0，[t ]为不超过t 的最大整数，则从甲市到乙市5.5 min 的电话费为( ) A ．5.04元 B ．5.43元 C ．5.83元 D ．5.38元 答案 A解析 依题意知g (5.5)＝1.06(0.75×5＋1) ＝5.035≈5.04，故选A.4．如果f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x ，则当x ≠0,1时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x －1 考点 求函数的解析式 题点 换元法求函数解析式 答案 B解析 令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x ， 则有f (t )＝1t1－1t ＝1t －1，故f (x )＝1x －1.故选B.5．函数y ＝x1＋x的大致图象是( )考点 函数图象题点 求作或判断函数的图象 答案 A解析 方法一 y ＝x1＋x 的定义域为{x |x ≠－1}，排除C ，D ，当x ＝0时，y ＝0，排除B. 方法二 y ＝x 1＋x ＝1－1x ＋1，由函数的平移性质可知A 正确．6．已知函数f (x )＝x －mx ，且此函数图象过点(5,4)，则实数m 的值为________．答案 5解析 将点(5,4)代入f (x )＝x －mx，得m ＝5.7．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x (kg)与其运费y (元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为________kg.答案 19解析 设一次函数解析式为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入点(30,330)与点(40,630)得⎩⎪⎨⎪⎧330＝30a ＋b ，630＝40a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝30，b ＝－570.即y ＝30x －570，若要免费，则y ≤0，所以x ≤19.8．已知a ，b 为常数，若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，则5a －b ＝________. 答案 2解析 ∵f (x )＝x 2＋4x ＋3， ∴f (ax ＋b )＝(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3 ＝a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b ＋3 ＝x 2＋10x ＋24，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，2ab ＋4a ＝10，b 2＋4b ＋3＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－7. ∴5a －b ＝2.9.如图所示，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积V 以x 为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域．解 由题意可知该盒子的底面是边长为(a －2x )的正方形，高为x ， 所以此盒子的体积V ＝(a －2x )2·x ＝x (a －2x )2，其中自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a －2x >0，x >0，即0<x <a 2.所以此盒子的体积V 以x 为自变量的函数式为V ＝x (a －2x )2，定义域为⎝⎛⎭⎫0，a2. 10．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小； (2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域． 考点 函数图象 题点 函数图象的应用解 函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ， 列表：x －1 0 1 3 y34描点，连线，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f (0)＝3， f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (3)<f (0)<f (1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．11．若一次函数的图象经过点A (1,6)和B (2,8)，则该函数的图象还经过的点的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫12，5 B.⎝⎛⎭⎫14，4 C ．(－1,3) D ．(－2,1)答案 A解析 设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则该函数的图象经过点A (1,6)和B (2,8)，得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝6，2k ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝4，所以此函数的解析式为y ＝2x ＋4，只有A 选项的坐标符合此函数的解析式．故选A.12．设函数f ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝2x ＋1，则f (x )的表达式为( ) A.1＋x1－x(x ≠1) B.1＋xx －1(x ≠1) C.1－x 1＋x (x ≠－1) D.2x x ＋1(x ≠－1) 答案 B解析 令1＋1x ＝t ，则t ≠1，∴x ＝1t －1，t ≠1，∴f (t )＝2t －1＋1＝1＋t t －1，t ≠1，∴f (x )＝1＋xx －1(x ≠1)，故选B.13．已知函数F (x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且F ⎝⎛⎭⎫13＝16，F (1)＝8，则F (x )的解析式为________． 答案 F (x )＝3x ＋5x(x ≠0)解析 设f (x )＝kx (k ≠0)，g (x )＝m x (m ≠0，且x ≠0)，则F (x )＝kx ＋mx .由F ⎝⎛⎭⎫13＝16，F (1)＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧13k ＋3m ＝16，k ＋m ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，m ＝5，所以F (x )＝3x ＋5x(x ≠0)．14．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：则满足f (g (x ))＝g (f (x ))的x 的值为________.x 1 2 3 4 f (x ) 1 3 1 3 g (x )3232考点 函数的表示法 题点 函数的表示法 答案 2或4解析 当x ＝1时，f (g (1))＝f (3)＝1，g (f (1))＝g (1)＝3. 当x ＝2时，f (g (2))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝3. 当x ＝3时，f (g (3))＝f (3)＝1，g (f (3))＝g (1)＝3. 当x ＝4时，f (g (4))＝f (2)＝3，g (f (4))＝g (3)＝3. 满足f (g (x ))＝g (f (x ))的x 的值只有2或4.15．已知f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，则f (x )的解析式是________． 考点 求函数的解析式 题点 方程组法求函数解析式 答案 f (x )＝－x ＋14解析 因为f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，①所以把①中的x 换成－x ，得f (－x )＋3f (x )＝－2x ＋1.② 由①②解得f (x )＝－x ＋14.16．某企业生产某种产品时的能耗y 与产品件数x 之间的关系式为y ＝ax ＋bx .且当x ＝2时，y＝100；当x ＝7时，y ＝35.且此产品生产件数不超过20件． (1)写出函数y 关于x 的解析式； (2)用列表法表示此函数，并画出图象．解 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝100与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝35代入y ＝ax ＋bx 中，得⎩⎨⎧2a ＋b2＝100，7a ＋b7＝35⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋b ＝200，49a ＋b ＝245⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝196.所以所求函数解析式为y ＝x ＋196x (x ∈N,0<x ≤20)．(2)当x ∈{1,2,3,4,5，…，20}时，列表：x 12345678910 y 19710068.35344.238.73532.530.829.6x 11121314151617181920 y 28.828.328.12828.128.2528.528.929.329.8。
函数的表示方法_1-课件
由．
解：(1)3小时，31升 (2)因为汽车出发前油箱 有油50升，汽车每小时用油12升，所以y＝－ 12t＋50(0≤t≤3) (3)汽车要准备油210÷70×12 ＝36(升)，因为45升＞36升，所以油箱中的油 够用
方法技能： 1．函数的表示方法共有三种：列表法、解析式法、图象法，它们分别从 数、式和形的角度反映了函数的本质． 2．根据图象读取信息时要把握三个方面：(1)横轴和纵轴的意义及横轴、 纵轴分别表示的量；(2)关于某个具体点，可向横、纵轴作垂线，从而求 得该点的坐标；(3)在实际问题中，要注意图象与横、纵轴的交点坐标代 表的具体意义． 易错提示： 对实际问题中函数图象的意义理解易出错．
7．某型号汽油的数量与相应金额的关系如图，那么这种汽油的单价是 每升____5_._0_9_元．
7．某型号汽油的数量与相应金额的关系如图，那么这种汽油的单价是 每升____5_._0_9_元．
8．如图，OA，BA分别表示甲、乙两名学生匀速跑步运动的函数图象， 图中s和t分别表示运动路程和时间．根据图象判断跑步快者比慢者每秒 快____m1..5
A．M处 B．N处 C．P处 D．Q处
12．小亮早晨从家骑车去学校，先走下坡路，然后走上坡路，去时 行程情况如图．若返回时，他的下坡和上坡速度仍保持不变，那么小亮 从学校按原路返回家用的时间是_3_4__分．
13．(例4变式)下表是丽丽往姥姥家打长途电话的几次收费记录：
时间(分) 1 2 3 4 5 6 7 电话费 0. 1. 1. 2. 3. 3. 4. 系？(1)哪如个果是用(自元x表变)示量时？间哪，个6是y表函示2数电，话请8费用，式上子4表表反示映0它了们哪的6两关个系变；2量之间的关
函数的表示方法(1)
例2、作出下列函数图象并求其值域
(1) y 1 x, x (1,4] (2) y 1 x, x (1,1] [4,) (3) y 2 x 4 x 3, x (2,3)
2
(4) y 2 x 4 x 3, x [0,3)
2
例3、已知 f ( x) x 6 求：(1) f ( x 1)
注意：①解析法：必须注明函数的定义域；
②列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定 义域的特征．
③图象法：函数图象既可以是连续的曲线，也可以 是直线、折线、离散的点等。
例1. 某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元． 试用函数的三种表示法表示函数y=f(x) ．
函数的表示方法（1）
1、求下列函数的值域: (1)f(x)=(x-1)2+1， x∈R (2)f(x)=(x-1)2+1 ,x ∈[1,3] (3)f(x)=(x-1)2+1 ,x ∈{-1,0,1,2,3}
2、求下列函数的值域
1 x 1 1 （ 1 ）y ； ( 2) y ； (3) y x x x 1 x 2x ( 4) y ； (5) y x 1 5x 1
例5、已知 f ( x) 是二次函数，且满足
f (0) 1, f ( x 1) f ( x) 2 x ，求 f ( x)
思考2：方程
x x 2 0 的根的几何意义?
2
引例一 一枚炮弹发射后，经过40s落到地面击中目标。炮弹的射高 为400m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间（单 位：s）变化的规律是
h=40t-t2
思考以下问题: (1) 炮弹飞行1秒、10秒、20秒、40秒时炮弹距地面多高？ (2) 此变化过程中共出现几个变量?是不是函数？ (3) 你能指出变量t和h的取值范围吗?分别用集合A和集合B 表示出来。
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2, 3, y 4, 5,
0 < x 5, 5 < x 10,
y 5
10 < x 15, 3 15 < x 20, 2
1
0 5 10 15 20 X
4
图公交车票价.gsp
我们把上述两例中的函数叫做分段函数: 即分区间定义的函数. 分段函数的图象要分段作出!
图象法的优点：直观形象，反映变化趋势。
列表法的优点：不需要计算就可以直接看出 与自变量的值所对应的函数值。 并不是所有的函数都能用解析法表示。
例2、下表是某校高一（1）班三名同学在高一 学年六次数学测试的成绩及班级平均分表。
成绩 姓名 测试 序号
第 1次
第 2次
第 3次
第 4次
第 5次
第 6次
王伟 张成 赵磊
例1 某种笔记本每个5元,买x(x∈{1,2,3,4,5} 个笔记本需要y(元).试用三种表示方法表示 函数y=f(x). 解：这个函数的定义域是集合{1,2,3,4,5}， 函数解析式为: y=5x, (x∈{1,2,3,4,5}), 用列表法可将函数表示为: 笔记本数x 钱数y 1 5 2 10 3 15 4 20 5 25
16：00
1993 34560.5
20：00 24：00
再如，某天一昼夜温度变化情况如下表
12：00
-2
-5
4
9
8.5
3.5
-1
数学用表中的三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等 系的.公共汽车上的票价表
列表法的优点： 不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的 对应值。
3.图像法：用函数图像表示两个变量之间的对应 关系。
它的图像如图所示,由五个孤立的点 A (1, 5),B (2,10),C(3,15),D(4,20), E(5,25)组成. 25
20
15 点评： C 1、作图时一定要注意 10 B 函数的定义域。 5 A 2、函数图像可以是一 些孤立的点。 01 2 3 4 5
.
.
.
.
. E D
.
解析法有两个优点：1、简明；2、给自变量 可求函数值。
A中的元素x称为原像, B中的对应元素y称为x的像.
xx
说明：（1）这两个集合A、B，它们可以 是数集，也可以是点集或其它集合，这两 个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A 的映射是截然不同的。其中f表示具体的对 应法则，可以用文字叙述； （2）集合A中的任何一个元素都有像，并且 象是唯一的; （3）不要求集合B中每一个元素都有原像， 即B中可能有些元素不是集合A中的元素的 xx 像；
如:心电图，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变 化的曲线，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的. 例如： 我国人口出生率变化曲线：
图像法的优点： 能直观形象的表示出函数的变化情况。
• 函数的图像从“形”的方面揭示了函数的 变化规律，是数学的图形语言，图像法是 解决函数问题的常用方法，利用函数的图 像既有利于掌握各类函数的性质，又能运 用“数形结合”的方法去解决某些问题。 • 函数的三种表示法之间具有内在联系，它 们之间可以相互转化。
（2）函数与映射有什么区别与联系？ 函数是一种特殊的映射，是从非空数集 到非空数集的映射。 函数概念又可以叙述为：设A，B是两个 非空数集，f是A到B的一个映射，那么映 射f：A→B就叫做A到B的函数。 在函数中，原像的集合称为定义域，像 的集合称为值域。
注意: （1）有时表示函数的式子可以不止一个， 对于分几个式子表示的函数，不是几个函数， 而是一个函数,我们把它称为分段函数.
（2） 函数图象既可以是连续的曲线，也可 以是直线、折线、离散的点等等。
(1)理解函数的三种表示方法， 在具体的实际问题中能够选用恰 当的表示法来表示函数; (2)注意分段函数的表示方法 及其图像的画法．
班级平均分
98 90 68 88.2
87 76 65 78.3
91 88 73 85.4
92 75 72 80.3
88 86 75 75.7
95 80 82 82.6
请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情 况做一个分析。
y
100 90 80 70 60
班 的 平 均 分
王伟 张城
赵磊 1 2 3 4 5 6
例4: 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列 规则制定:(1)在5公里以内(含5公里),票价2元; (2) 5公里以上,每增加5公里,票价增加1元 (不足5公里的按5公里计算). 如果某线路的总里程为20公里,请根据题意,写出 票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.
解: 设票价为y元,里程为x,由题意可得x∈(0,20 由已知可得函数解析式为: 2, 0 < x 5, 3, 5 < x 10, y 4, 10 < x 15, 5, 15 < x 20,
(2)对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一 的有序实数对(x,y)和它对应； (3)对于任意一个三角形，都有唯一确定的面 积和它对应；
一、映射：一般地，设A、B是两个非空 集合，如果按照某种对应法则f，对于集 合A中的任何一个元素，在集合B中都有 唯一的一个元素和它对应，那么这样的对 应(包括集合A、B以及A到B的对应法则） 叫做集合A到集合B的映射，记作： f : AB
2.1.2 函数的表示方法
3.你知道函数的表示方法通常有几种吗?
函数的表示方法通常有三种,它
列表法、图像法 和解析法。
们是
1.解析法：就是把两个变量的函数关系，用一 个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式， 简称解析式.
函数的三种表示方法
解析法的优点： （1）函数关系清楚; （2）容易从自变量的值求出其对应的 函数值； （3）便于研究函数的性质。
注意：解析法表示函数是中学研究函数的主要 表示方法;用解析法表示函数时,必须注明函数 的定义域.
2.列表法：列出表格来表示两个变量的 的对应关系。
例如： 国内生产总值 ：
单位：亿元
1990 年份 生产总值 185921662.5
8：00
1992 26651.9
日常生活中存在着丰富的对应关系.
(1)对于高一八班的每一位同学,都有一个学号 与之对应.
(2)我国各省会，都有一个区号与之对应. (3)我国各大中小城市,都有一个邮政编码 与之对应. (4)顺德区的各种机动车辆,都有一个车牌号 与之对应.
初中数学中也学过一些对应. (1)对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的 点P和它对应.
x
例3 请画出函数
x x≥0 y= -x x<0
y | x | 的图像:
解: 由绝对值的意义,有
所以,函数图像为第一和第二象限的角平 y 分线.
4 3 2 1 -1 0 1 2 3 x
例4: 某地区出租车收费按下列规则制定:(1) 在1公里以内(含5公里),票价3元; (2) 1公里以上,每增加0.5公里,票价增加1 元(不足0.5公里的按0.5公里计算). 如果某线路的总里程为5公里,请根据题 意写出票价与里程之间的函数解析式,并画 出函数的图象.