例谈求解斜三角形的几种常见题型
直角三角形与斜三角形的应用题解题方法
直角三角形与斜三角形的应用题解题方法直角三角形和斜三角形是在几何学中常见的两种三角形形态。
它们在解决实际问题中有着广泛的应用。
本文将重点介绍直角三角形和斜三角形的应用题解题方法，并给出几个实例来加深理解。
一、直角三角形的应用题解题方法直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
以下是一些常见的直角三角形应用题解题方法：1. 利用正弦、余弦和正切函数三角函数是解决直角三角形问题的关键工具。
可以利用正弦、余弦和正切函数来计算三角形的各边长和角度。
例如，若已知一个直角三角形的两条边长，可以使用正弦函数来计算夹角的度数。
同样地，可以使用余弦函数或正切函数来计算其他未知数。
2. 使用勾股定理勾股定理是解决直角三角形边长关系的基本原理。
根据勾股定理，直角三角形中两个直角边的平方和等于斜边的平方。
在解题时，如果已知两个边长，可以通过勾股定理计算第三边的长度；反之，如果已知斜边和一个直角边的长度，可以通过勾股定理求解未知的直角边长。
3. 利用特殊直角三角形的性质特殊直角三角形如45° - 45° - 90°和30° - 60° - 90°三角形有一些独特的性质，可以方便地解决与它们相关的问题。
例如，在一个45° - 45° - 90°三角形中，两条直角边的长度相等，斜边的长度等于直角边的长度乘以√2。
如果已知一个角度为45°的直角三角形的某条边长，可以轻松地求解其他未知边长。
二、斜三角形的应用题解题方法斜三角形是指没有直角的三角形。
由于缺少直角特性，应用题解题方法与直角三角形有所不同。
以下是一些常见的斜三角形应用题解题方法：1. 使用正弦、余弦和正切函数与直角三角形类似，正弦、余弦和正切函数在解决斜三角形问题中也起到关键作用。
可以使用这些函数计算三角形的边长和角度。
需要注意的是，由于斜三角形没有固定的90°角，所以需要根据已知信息选择合适的三角函数。
解斜三角形的一般思路分析
解斜三角形的一般思路分析解斜三角形的一般思路是通过添加辅助线（如作高），将斜三角形转化为直角三角形来解.本文试就几种情况下辅助线的作法列举几例加以剖析.一、等腰三角形：对于等腰三角形，一般是作底边(或腰)上的高, 将问题转化为直角三角形来解.例1.⑴等腰三角形的顶角为30°，腰长为4，则三角形的面积为_____;解：如图1，作高BD，则可得BD =2，从而，S△ABC =×4×2 = 4；⑵等腰三角形的顶角为120°，腰长为4，那么三角形的面积为___;解：如图2，作高AD，则可得S△ABC = ×4√3×2 =4√3二、对于含有30°、45、60°角的斜三角形，可通过作高，将原三角形分割成含有已知特殊角的直角三角形（注意不要将条件中的特殊角分割.）例2.已知△ABC中,∠B=60°,AB=6，BC=8，则△ABC的面积是（）(A)12√3; (B)12; (C) 24√3; (D) 12√2解：如图3，过A作AD⊥BC于D，则AD = AB·sinB = 6·sin60°= 6×= 3√3那么S△ABC = ×8×3√3 = 12√3 .故，选（A）.例3.在△ABC中，若∠B=30°,AB=2√3，AC=2，则△ABC的面积S是____.解：△ABC的顶点除B外，A、C有两种可能，如图4、5所示.⑴如图4，过A作AD⊥BC于D.在Rt△ABD中,∠B=30°，∴ AD = AB = √3 ，∴ BD = 3；在Rt△ACD中，由勾股定理可得：CD2 = AC2－AD2=22－(√3)2= 1，∴ CD = 1，CD = AC，∴∠CAD=30°，∠C=60°，∴△ABC为Rt△.∴ S =×2√3 ×2 = 2√3 .⑵如图5，作CD⊥AB于D，设CD=x,BC=2x,BD=2x·cos30°=√3x,从而AD = 2√3 －√3 x,在Rt△ACD中，AD2+CD2 =AC2，那么可得：x2－3x +2 = 0, ∴x1 = 1 , x2 =2 (舍去)，,于是S =×2√3×1 =√3 .解法2：仿例6，做AD⊥BC于D，列方程求解.评注：本题起点低，着手易，通过画图，容易发现两种情况，体现了分类讨论的思想，克服了思维定势的影响，培养了学生分析问题解决问题的能力.例4.求sin15°·sin75°的值（数形结合）解：如图6，作Rt△ACD，使∠ACD = 30°,∠D = 90°,令AD = 1, 则AC = 2，CD =√3 ,延长DC到B,使CB=CA,则∠ABC=∠BAC=15°,那么在Rt△ABD中，sin15°= sin∠B==== ，sin 75°= sin∠BAD== ,∴sin15°·sin75°= ·= .三、当条件中三角形的边长为某些勾股数组中的数时，可通过作高将三角形分割(或添补)成以这些数为边的直角三角形.例5.如图7,△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.解：过点A作AD⊥BC于D，设BD=x,则CD=14－x, 设AD = y,那么,Rt△ABD和Rt△ACD中，分别由勾股定理可得解此方程组得∴ S△ABC = ×14×12 = 84 . 故，选（A）.例6.已知：如图8，△ABC中,AB =17，AC =10 ，BC=9，求S△ABC. （第七届希望杯初二试题）略解：如图，设AD = x,CD = y,则:解得∴ S△ABC = ×9×8 =36 .例7.如图9,在△ABC中，AB = 5cm,AC = 3cm ,D是BC的中点，且AD⊥AC，求AD的长.略解：延长AD至E，使DE = AD，设AD = DE = x，则(2x)2 + 32 = 52 ,解得x = 2，即AD = 2.四、对于四边形，其一般方法也是将其割（补）成直角三角形例8.如图10,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=2,BC=2√3,CD=5,AD=3,则四边形ABCD的面积为____;提示：分割图形：在△ABC和△中分别运用勾股定理和勾股定理的逆定理，可得S四边形ABCD =2√3+6例9.如图11,在四边形ABCD中,∠A= 60°,∠B=∠D=90°,AB=2,CD =1,求BC和AD的长.答：AD=4－√3,BC=2√3－2.解略.例10.如图12，在四边形ABCD中，AB=，CD =2√3, AD=3－√3, ∠A=135°,∠D=120°,求BC 边的长.解法1：分别过点B、C 向AD作垂线（略）；解法2：过点C 作CE⊥AD于E，连结AC.则∠CDE =60°，∴∠DCE =30°，由CD=2√3，∴ CE = 3，DE =√3∴ AE = AD + DE =（3－√3）+√3 = 3，∴ AE = CE，∴∠CAE= 45°，那么△ACE为等腰直角三角形又∠A=135°，∴∠BAC=90°，附练习题1.等腰三角形的顶角为120°，底边长为6，则三角形的面积为_____;2.如图13，在△ABC中，已知∠B=30°,∠C=45°，AB = 8，求S△ABC.3.已知：如图14，在ABCD中，AB= AD = 8，∠A=60°，∠D =150°，四边形ABCD的周长为32，求BC和CD的长.4.已知：如图15，△ABC中，D是BC上一点，若∠B = 45°，AD=5，AC=7，DC=3，求AB的长.5.如图16，在△ABC中，AB=5，AC=7，∠B= 60°.求BC的长.答案：1. ;2. 8+ 8;3. BC =10, CD =6;4.5. 8。
高一数学解斜三角形应用举例1
答：烟囱的高为 29.9m.
实例讲解
例2、自动卸货汽车的车箱采用液压机构。设计时需要计算油泵
顶杠BC的长度（如图所示）。已知车箱的最大仰角为
60，油
C
1、3、
10
A
50
B
； /AG850COM AG亚游 djm164zbg 我的头一下子涨得比磨盘还大，眼前发黑，腿一软，瘫坐在地上„„ 当我醒来的时候，已是子夜时分，墙上的闹钟刚刚敲了十二下。 我慢慢地睁开眼睛，灯光朦胧，妻子披着棉大衣端坐在床前，呆呆地望着我。 “我„„”我起了起身。 “别动。”她示意我要小心身边的孩子。我挣扎着在她的搀扶下坐了起来。“先吃点饭吧，别饿坏了身子。”她转身要去给 我拿饭。 我急忙抓住她的手，摇了摇头。 “怎么？真的没胃口？”她的话一语双关，因为她的眼神并不在我，而是放在了三个婴儿的身上。 我松开了她的手，侧过身，仔细地端详起三个婴儿来。 三个婴儿一字摆开，犹如荷塘里的三株并蒂莲，谁说是月孩丑，摆在我面前的不正是三朵含苞待放的莲花吗？ 小荷刚露尖尖角，映日荷花别样红。 唉——！要是有一个是男孩该多好啊„„老天啊，你怎么会是这样！ “趁热先把它喝了吧，”妻子端来一碗热气腾腾的姜汤，“咱娘给你熬的，说是趁热喝了，睡上一觉，等天亮了，三哥跟你 去已院检查检查 。” 去已院？我病了吗？我摸了摸额头，额头烫手，我真的发烧了„„ 我接过妻子手中的碗，一口气灌了下去，尽管姜汤里放足了糖，喝下后得感觉还是又苦又辣的。 我望着妻子，她刚生了孩子，还这样照顾我„„想到这些，我的鼻子一酸，眼泪不自觉地流了出来。 “你也快躺下吧„„刚生了孩子是不能乱动的。” “苏林，你就给女儿们起个名子吧。”她的声音颤抖了。 我不假思索地脱口而出：“那就叫大荷、荷花和小荷吧。” 她没有吱声，背对着我慢慢躺下。 我清楚地感觉到，这时的她正在悄悄地流泪„„ 这一夜，我俩都没睡好，但是也没有相互安慰，因为我们恐怕彼此的关心话也能伤了对方的心。 第二天，我真地被送进了已院。 我的三哥就是这所已院的内科主任，经过一番检查，诊断结果是：劳累过度，急火攻心，需住院治辽。 在住院的这段日子里，五哥形影不离的陪伴着我。他是我们村小学的代课教师，此时正是年假，他拿上几本书放在床头上，当 我输液的时候，他就消闲地看，我累了，他就陪我说说话。从他那里我才知道那天晚上的家庭会没有开成，只是父亲嘱咐大哥 按开会前制定的方案去办。大哥是我们整个家庭的顶梁柱，又是我们村的村主任，村里村外的事都有他出面，他人缘广，方法 灵，没有他办不成的事。当我问五哥开家庭会前制定了什么方案时，他吱吾着说他什么也不知道。五哥是个老实人，我俩虽然 是孪生兄弟，他却不像我——粪坑里的石头又臭又硬。至于他真的不知道，还是不能告诉我，只要他不愿意说的事，我就不再 追问他。
解斜三角形的应用题目
解斜三角形的应用题目1. 已知直角三角形中，一个锐角为30度，斜边长为10，求另一个锐角的度数。
2. 已知直角三角形中，两个锐角分别为45度和45度，斜边长为5，求此三角形的两条直角边长。
3. 已知直角三角形中，一条直角边长为3，斜边长为5，求另一条直角边的长。
4. 已知直角三角形中，斜边长为10，一条直角边长为5，求另一条直角边的长。
5. 已知直角三角形中，一个锐角为60度，斜边长为8，求另一条直角边的长。
6. 已知直角三角形中，两条直角边长分别为3和4，求斜边长。
7. 已知直角三角形中，一条直角边长为5，斜边长为13，求另一条直角边的长。
8. 已知直角三角形中，一个锐角为30度，斜边长为10，求另一条直角边的长。
9. 已知直角三角形中，一条直角边长为6，斜边长为8，求另一条直角边的长。
10. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。
11. 已知直角三角形中，一条直角边长为3，斜边长为4，求另一条直角边的长。
12. 已知直角三角形中，一个锐角为60度，斜边长为8，求另一条直角边的长。
13. 已知直角三角形中，一条直角边长为4，斜边长为7，求另一条直角边的长。
14. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。
15. 已知直角三角形中，一条直角边长为5，斜边长为12，求另一条直角边的长。
16. 已知直角三角形中，一个锐角为30度，斜边长为10，求另一条直角边的长。
17. 已知直角三角形中，一条直角边长为6，斜边长为8，求另一条直角边的长。
18. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。
19. 已知直角三角形中，一条直角边长为3，斜边长为4，求另一条直角边的长。
20. 已知直角三角形中，一个锐角为60度，斜边长为8，求另一条直角边的长。
21. 已知直角三角形中，一条直角边长为4，斜边长为7，求另一条直角边的长。
22. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。
最新04解斜三角形及应用举例
F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物
线的准线上，且BC∥x轴。证明:直线AC经过原点O．
证明：F （
p ，0） 2
，设A（ y 1 2
2p
, y 1），B（y 2 2
2p
,
y
2
）则C（－p
2
， y 2）
因A、B、F三点共线，则有 AFB（F R）
即（ p 2y21p2,y1)(p 2y22p2,y2)亦即
2.[2001年高考题] 设坐标原点为O,抛物线 y 2 2 x
与过焦点的直线交于A,B两点,则 OA•OB等于----( B )
3 A.
B. 3
C.3
D.-3
4
4
3.[2002年高考题] 已知两点 A3,1,B1,3，若C
点满足 OCOAOB，其中, R 且有 ，1
则点C的轨迹方程为----------------------------------( D )
(A )3x2y1 10 (B )x 1 2 y 2 2 5
的动点，当∠ F1PF2 为钝角时，求点P横坐标的取值范 围。
解： F 1(5,0)F ,2(5,0)，P (设 x0,y0)
则 P1F (5x0,y0)P , 2F (5x0,y0)
F1PF 2为 钝 角
PF 1PF 2x025y020
又P 点 在椭圆 x02上 y02则 1 94
解 得 35： 5x0355
⑷已知两边及一边的对角,可利用正弦定理或利用余弦定理;
(注意解的情况,可能出现一解、两解、或无解.)
练习 4.在△ABC 中,若∠A＝120°，AB=5，BC＝7，则 AC＝ 3 ． 设 AC x >0,则 72 52 x2 2 5 x cos120
高一数学解斜三角形 试题
解 斜 三 角 形一、根本知识：〔1〕掌握正弦定理、余弦定理，能根据条件，灵敏选用正弦定理、余弦定理解斜三角形． 〔2〕能根据确定三角形的条件，三角形中边、角间的大小关系，确定解的个数． 〔3〕能运用解斜三角形的有关知识，解决简单的实际问题． 二、例题分析：例1 在△ABC 中，a=3，c=3 3 ，∠A=30°，求∠C 及b分析 两边及一边的对角，求另一边的对角，用正弦定理．注意两边和一边的对角所对应的三角形是不确定的，所以要讨论．解 ∵∠A=30°，a ＜c ，c ·sinA=3 3 2＜a ， ∴此题有两解．sinC=csinA a = 33×123 = 32 ， ∴∠C=60°，或者∠C=120°．∴当∠C=60°时，∠B=90°，b=a 2+b 2 =6． 当∠C=120°时，∠B=30°，b=a=3．点评 两边和一边的对角的三角形是不确定的，解答时要注意讨论． 例2 在△ABC 中，acosA=bcosB ，判断△ABC 的形状．分析 欲判断△ABC 的形状，需将式变形．式中既含有边也含有角，直接变形难以进展，假设将三角函数换成边，那么可进展代数变形，或者将边换成三角函数，那么可进展三角变换．解 方法一：由余弦定理，得 a ·〔b 2+c 2—a 22bc 〕=b ·〔a 2+c 2—b 22ac 〕，∴a 2c 2－a 4－b 2c 2+b 4=0 ． ∴(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)=0 ． ∴a 2－b 2=0，或者c 2－a 2－b 2=0． ∴a=b ，或者c 2=a 2+b 2．∴△ABC 是等腰三角形或者直角三角形． 方法二：由acosA=bcosB ，得 2RsinAcosA=2RsinBcosB ．∴sin2A=sin2B ． ∴2A=2B ，或者2A=π－2B ． ∴A=B ，或者A+B=π2．∴△ABC 为等腰三角形或者直角三角形．点评 假设式中既含有边又含有角，往往运用余弦定理或者正弦定理，将角换成边或者将边换成角，然后进展代数或者三角恒等变换．例3 圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD 的面积．分析 四边形ABCD 的面积等于△ABD 和△BCD 的 面积之和，由三角形面积公式及∠A+∠C=π可知，只需求出∠A 即可．所以，只需寻找∠A 的方程． 解 连结BD ，那么有四边形ABCD 的面积S=S △ABD +S △CDB =12AB ·AD ·sinA+12BC ·CD ·sinC ．·ABCDO∵A+C=180°，∴sinA=sinC．故S=12〔2×4+6×4〕sinA=16sinA．在△ABD中，由余弦定理，得BD2=AB2+AD2－2AB·ADcosA=20－16cosA ．在△CDB中，由余弦定理，得BD2=CB2+CD2－2CB·CD·cosC=52－48cosC．∴20－16cosA=52－48cosC．∵cosC=－cosA，∴64cosA=－32，cosA=－1 2．又∵0°＜A＜180°，∴A=120°．故S=16sin120°=8 3 ．点评注意两个三角形的公用边在解题中的运用．例4墙壁上一幅图画，上端距观察者程度视线b下端距程度视线a米，问观察者距墙壁多少米时，才能使观察者上、下视角最大．分析如图，使观察者上下视角最大，即使∠APB最大，所以需寻找∠APB的目的函数．由于有关边长，所以考虑运用三角函数解之．解设观察者距墙壁x米的P处观察，PC⊥AB，AC=b，BC=a(0＜a＜b)，那么∠APB=θ为视角．y=tan θ=tan(∠APC －∠BPC)= tan ∠APC —tan ∠BPC 1+ tan ∠APC ·tan ∠BPC =xax b x a x b ⋅+-1 =b —a x+ab x≤b —a 2ab ， 当且仅当x= abx , 即x=ab 时，y 最大．由θ∈〔0，π2〕且y=tan θ在〔0，π2〕上为增函数，故当且仅当x=ab 时视角最大．点评 注意运用直角三角形中三角函数的定义解决解三角形的有关问题． 三、训练反应：1．在△ABC 中，a= 2 ，b=2，∠B=45°，那么∠A 等于 〔 A 〕A ．30°B ．60°C ．60°或者120°D ．30°或者150° 2．假设三角形三边之比为3∶5∶7，那么这个三角形的最大内角为 〔 C 〕 A ．60° B ． 90° C ． 120° D ． 150° 3．货轮在海上以40千米/小时的速度由B 到C 航行，航向的方位角∠NBC=140°，A 处有，其方位角∠NBA=110°，在C 处观测A 的方位角∠N ′CA=35°，由B 到C 需 航行半小时，那么C 到A 的间隔 是 〔 C 〕 A ．10 6 km B ．10 2 kmC ．10( 6 － 2 ) kmD ．10〔 6 ＋ 2 〕km 4．△ABC 中，tanA+tanB+ 3 = 3 tanAtanB ，sinAcosA= 34，那么该三角形是 〔 A 〕 A ．等边三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形或者直角三角形5．在△ABC 中，〔b+c 〕∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，那么此三角形的最大内角为 〔 A 〕 A ．120° B ．150° C ．60° D ．90°6．假设A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，那么点P 〔cosB －sinA ，sinB －cosA 〕在 〔 B 〕 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7．△ABC 中，假设sinAsinB ＜cosAcosB ，那么△ABC 的形状为 ．钝角三角形8．在△ABC 中，c=10，A=45°，C=30°，那么b= ．5〔 6 + 2 〕9．在△ABC 中，假设sinA ∶sinB ∶sinC=5∶12∶13，那么cosA= ．121310．在△ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，那么∠C 的大小为 ．π611．a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积，假设a=4，b=5，s=5 3 ，求c 的长度．21 或者6112．在△ABC 中，sin 2A －sin 2B+sin 2C=sinAsinC ，试求角B 的大小． π313．半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上一点，且OA=2B 为半圆上任意一点，以AB 为边向外作等边△ABC点在什么位置时，四边形OACB 的面积最大，并求出这个最 大面积．设∠AOB=θ，θ= 5π6 时，S 最大值 =2+5 34励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
(完整版)解斜三角形
解斜三角形一、基本知识 1. 正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 是△ABC 外接圆半径） 2.余弦定理A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+=bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=abc b a C 2cos 222-+=3. C ab S ABC sin 21=∆ r c b a S ABC)(21++=∆（r 是△ABC 内接圆半径） 4. 重要结论（1） C B A sin )sin(=+C B A cos )cos(-=+ C B A tan )tan(-=+（2） 2cos 2sinCB A =+ 2sin 2cos C B A =+（3） =++C B A tan tan tan C B A tan tan tan ••5. 考题分类题型一: 求解斜三角形中的基本元素 题型二：判断三角形的形状 题型三：解决与面积有关问题 题型四：三角形中求值问题题型五：实际应用二、例题解析【例1】已知△ABC 中，,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-外接圆半径为2，求角C 。
分析： 由,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-得Rbb a Rc R a 2)()44(222222-=- 由于，2=R ，代入并整理，得ab c b a =-+222所以，2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C 所以，3π=C 。
【例2】设ABC ∆的内角..A B C 所对的边分别为..a b c ，已知11. 2.cos .4a b C === （Ⅰ）求ABC ∆的周长 （Ⅱ）求()cos A C -的值本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力解析：（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=c∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a .（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===c C a A ∵b a <，∴B A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. 【例3】在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若AB，求BC 边的长 解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯． 又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin 17A =．sin sin AB BC C A=，sin sin A BC AB C∴=⨯= 例4 根据下列条件判断三角形ABC 的形状：(1)若22tan tan a B =b A ；(2)b 2sin 2C + c 2sin 2B =2bc cos B cosC ;解（1）由已知及正弦定理得(2RsinA)2B cos B sin = (2RsinB)2⇒Acos A sin 2sinAcosA=2sinBcosB ⇒sin2A=sin2B ⇒2cos(A + B)sin(A – B)=0 ∴ A + B=90o或 A – B=0所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 解（1）由正弦定理得sin 2Bsin 2C=sinBsinCcosBcosC∵ sin B sin C ≠0, ∴ sin B sin C =cos B cos C , 即 cos(B + C )=0, ∴ B + C =90o, A =90o, 故△ABC 是直角三角形.【例5】如图，海中小岛A 周围20海里内有暗礁，一船向南航行，在B 处BC测得小岛A 在船的南偏东30º；航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东60º。
12解斜三角形应用举例1
7
解后回顾：
解决实际问题的思路：
实际问题
数学模型
实际问题的解
数学模型的解
8
例2 如下图是曲柄连杆机构的示意图，
当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的
传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在
CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连 杆的端点A在A0处，设连杆AB长为 340mm，曲柄CB长为85mm，曲柄自CB0
2、正、余弦定理在解三角形中的应用.
13
思考：本例能用向量的方法求解吗？
例3 我舰在敌岛A南偏西50相距12
n mile的B处，发现敌舰正由岛A沿北偏
西10的方向以10 n mile/h的速度航行.
问我舰需以多大速度、沿什么方向航行
才能用2小时追上敌舰？
C
解: BC2 AC2 AB2 2AC AB cosCAB
中至少有一条边；解三角形的依据是正、
余弦定理.
11
B80A0源自AB0C由条件可知，不能直接求AC，应先求A:
sin A BC sin C 0.246 2, AB
又BC AB,C 90 , A 1415, B 8545.
怎样求AC?用正弦定理还是余弦定理? 都行
aO
如图，设AB为x，则太阳高度为x + h,
且△ACD ∽ △DEF．则
x d . h ba
由上式可求得x，从而可测得太阳高度.
2
解三角形的知识在测量、航海、几 何以及物理学等方面都有非常广泛的应 用，如果我们抽去每个应用题中与生产 生活实际所联系的外壳，就暴露出解三 角形问题的本质，这就要提高分析问题 和解决问题的能力及化实际问题为抽象 的数学问题的能力．下面，我们将举例 来说明解斜三角形在实际中的一些应用.
(完整版)解斜三角形
解斜三角形一、基本知识 1. 正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 是△ABC 外接圆半径） 2.余弦定理A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+=bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=abc b a C 2cos 222-+=3. C ab S ABC sin 21=∆ r c b a S ABC)(21++=∆（r 是△ABC 内接圆半径） 4. 重要结论（1） C B A sin )sin(=+C B A cos )cos(-=+ C B A tan )tan(-=+（2） 2cos 2sinCB A =+ 2sin 2cos C B A =+（3） =++C B A tan tan tan C B A tan tan tan ••5. 考题分类题型一: 求解斜三角形中的基本元素 题型二：判断三角形的形状 题型三：解决与面积有关问题 题型四：三角形中求值问题题型五：实际应用二、例题解析【例1】已知△ABC 中，,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-外接圆半径为2，求角C 。
分析： 由,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-得Rbb a Rc R a 2)()44(222222-=- 由于，2=R ，代入并整理，得ab c b a =-+222所以，2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C 所以，3π=C 。
【例2】设ABC ∆的内角..A B C 所对的边分别为..a b c ，已知11. 2.cos .4a b C === （Ⅰ）求ABC ∆的周长 （Ⅱ）求()cos A C -的值本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力解析：（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=c∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a .（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===c C a A ∵b a <，∴B A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. 【例3】在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若AB，求BC 边的长 解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯． 又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin 17A =．sin sin AB BC C A=，sin sin A BC AB C∴=⨯= 例4 根据下列条件判断三角形ABC 的形状：(1)若22tan tan a B =b A ；(2)b 2sin 2C + c 2sin 2B =2bc cos B cosC ;解（1）由已知及正弦定理得(2RsinA)2B cos B sin = (2RsinB)2⇒Acos A sin 2sinAcosA=2sinBcosB ⇒sin2A=sin2B ⇒2cos(A + B)sin(A – B)=0 ∴ A + B=90o或 A – B=0所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 解（1）由正弦定理得sin 2Bsin 2C=sinBsinCcosBcosC∵ sin B sin C ≠0, ∴ sin B sin C =cos B cos C , 即 cos(B + C )=0, ∴ B + C =90o, A =90o, 故△ABC 是直角三角形.【例5】如图，海中小岛A 周围20海里内有暗礁，一船向南航行，在B 处BC测得小岛A 在船的南偏东30º；航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东60º。
解斜三角形及应用举例
得到的三角形的最大面积为( B )
A 8 5cm2
B 6 10cm2
C 3 55cm2
D 20cm2
3、(湖南16)如图,D是直角ABC斜边BC上的 A
一点，AB=AD，设CAD= , ABC= ,
（1）证明sin+cos2 =0;
（2）若AC= 3DC，求的值. B
D
C
五、归纳总结
1、边边关系：任意两边之和大于第三边，任意 两边之差小于第三边；
1 2
ac sin B
1 bc sin 2
A
(3)
S
abc 4R
(4) S p( p a)( p b)( p c)
( p 1 (a b c）) 2(5)SFra bibliotek1 2
r(a
b
c)
(r为ABC内切圆半径)
二、课堂热身
1、在ABC中，sin A : sin B : sin C＝2：3 : 4
则ABC=(
)(结果用反三角表示）
解：由已知可设sin A＝2k； sin B＝3k； sinC＝4k；
a 4Rk; b 6Rk; c 8Rk;
a2 c2 b2 16 64 36 11
cos B
2ac
2 4 8 16
即ABC=arccos 11 16
2、已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都是akm, 灯塔A在观察站C的北偏东20o ,灯塔B在观察站C的
六、课外作业
作业 1 :(全国):已知ABC中，B=450，AC 10, cos C 2 5 5
（1）求BC边的长； （2）记AB的中点为D,求中线CD的长。 2:P95 1 ~ 7.
2、边角关系：等边对等角，大边对大角，小边对小角；
高考解斜三角形题型归纳
1.（福建卷文7）已知锐角ABC ∆的面积为33，4,3BC CA ==，则角C 的大小为 A. 75° B. 60°B. 45° D.30°2.（广东卷文7）已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为a ,b,c 若a =c=26+且75A ∠=，则b=A.2 B ．4＋23 C ．4—23 D ．62- A3.（湖南卷文7）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a,b,c ，若∠C=120°，2c a =,则A 、a>bB 、a<bC 、a=bD 、a 与b 的大小关系不能确定4.（上海卷文18）若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.由余弦定理得0115213115cos 222<⨯⨯-+=c ，所以角C 为钝角，选C5.（北京卷理10文10）在△ABC 中，若b = 1，323C π∠=，则a = 。
【答案】1。
6. （广东卷文13）已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a=1，3A+C=2B ，则sinA= 7． （山东卷理15文15）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a=2，b=2，sinB+cosB=2，则角A 的大小为______________.8． （全国Ⅰ新卷文16）在△ABC 中，D 为BC 边上一点，3BC BD =,2AD =,135ADB ο∠=.若2AC AB =,则BD=_____ 【答案】25二、计算题：（充分结合三角形内角和等于180）正弦定理的应用：1.（辽宁卷文17）在ABC 中，a b c 、、分别为内角AB C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；120o（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，是判断ABC 的形状。
例谈求解斜三角形的几种常见题型
例谈求解斜三角形的几种常见题型
例谈求解斜三角形的几种常见题型
斜三角形是数学当中一个重要的概念，也是数学应用中最重要的基本形式之一，有着重要的实际意义。
斜三角形的求解是数学中的一个重要问题，可以按其力学性质分为内角和外角的求解，也可以根据对斜边的不同求解包括斜边长、角度、面积等。
首先，根据对斜边的求解，我们可以分为两种情况：斜边长的求解和角度的求解。
斜边长的求解可以利用直角三角形的勾股定理（三角形两条直角边的平方和等于最后一边的平方），利用已知两条直角边及夹角角度，可以求得斜边长。
角度的求解可以利用余弦定理（三角形两边夹角的余弦值等于其对边除以斜边），利用已知两条直角边及夹角的余弦值，可以求得夹角角度。
其次，我们还可以针对斜边面积的求解。
斜三角形的面积的求解，利用的是斜
三角形面积公式，利用已知三条边可以计算出其面积大小。
最后，还有内角和外角的求解。
内角的求解可以利用三角形内角和定理（所有
三角形内角的总和等于180度），利用已知三个角的大小可以求得其剩余角的大小。
而外角的求解，利用的是外角伸展公式（被伸展的角度和正角的和等于与正閉路），利用已知的外角只需求出全部正角的和，就可以求出剩余的正角的大小。
总的来说，斜三角形的求解可以分为斜边长、角度、面积、内角和外角的求解，求解方法也有不同，但是利用三角形的勾股定理、余弦定理、内角和定理以及外角伸展公式都可以解决我们的实际问题。
解斜三角形的题型解法例析
解斜三角形的题型解法例析湖北省孝感高级中学 韩松桥 ４３２１００正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素，如果其中三个元素是已知的，那么这个三角形一定可解．关于斜三角形的解法，根据所给的条件及适用的定理可以归纳为如下四种类型：(1)已知两角及一条边．如已知A 、B 、a 解ΔＡＢＣ．解法：①根据A+B+C=π，求出角C ； ②根据B b A a sin sin =及Cc A a sin sin =，求b ，c ； 例１ 在ΔＡＢＣ中，已知c=10，A=045，C=030，求a 、b 、B ．解：由A+B+C=π，得Ｂ＝π－（A+C ）＝0105； 由C c A a sin sin =得21030sin 45sin 10sin sin 0===C A c a ； 由B b A a sin sin =得)26(545sin 105sin 210sin sin 00+===A B a b ．(2)已知两边和它们的夹角．如已知ａ、ｂ、Ｃ，解ΔＡＢＣ． 解法：①根据C ab b a c cos 2222-+=，求出边ｃ； ②根据bca cb A 2cos 222-+=，求出角Ａ； ③由Ｂ＝π－（Ａ＋Ｃ），求出角Ｂ．例２在ΔＡＢＣ中，已知ｂ＝８，ｃ＝３，Ａ＝060，求ａ、Ｂ、Ｃ． 解：由A bc c b a cos 2222-+=得 4960cos 382380222=⨯⨯-+=a 7=∴a ．7142649492cos 222-=-+=-+=∴ac b c a B ，71arccos -=∴πB ； 14131********cos 222=-+=-+=∴ab c b a C ，1413arccos =∴C ．(3)已知三边ａ、ｂ、ｃ，解ΔＡＢＣ．解法： ①根据bca cb A 2cos 222-+=，求出角Ａ； ②根据acb c a B 2cos 222-+=，求出Ｂ； ③由Ｃ＝π －（Ａ＋Ｂ），求出Ｃ．例３ 在ΔＡＢＣ中，已知62=a ，326+=b ，34=c ，求Ａ、Ｂ、Ｃ．解：由已知ａ＜ｃ＜ｂ，Ｂ最大．由余弦定理得23)326(3422448)32448(2cos 222=+⨯⨯-++=-+=bc a c b A 030=∴A22)326(62248)32448(242cos 222=+⨯⨯-++=-+=ab c b a C 045=∴C于是Ｂ＝π－（Ａ＋Ｃ）＝0105． .45,105,30000===∴C B A(4)已知两边及其中一条边所对的角，如已知ａ、ｂ、Ａ，解ΔＡＢＣ． 解法：①根据Bb A a sin sin =，经过讨论求出角Ｂ；②由Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π，求出角Ｃ； ③由Cc A a sin sin =，求出边ｃ． 或 ①根据A bc c b a cos 2222-+=，求出边ｃ； ②由acb c a B 2cos 222-+=，求出角Ｂ； ③由Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π，求出角Ｃ；例４ 在ΔＡＢＣ中，已知22=a ，32=b ，045=A ，求ｃ、Ｂ、Ｃ． 解法一：由B b A a sin sin =得23222232sin sin =⨯==a A b B ． A b sin ＜ａ＜ｂ∴ 这个三角形有两组解．0012060==∴B B 或．由Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π得当060=B 时，Ｃ＝075)(=+-B A π，由C c A a s i n s i n =得 2645sin 75sin 22sin sin 0+===A C a c ； 当0120=B 时，Ｃ＝015)(=+-B A π，由C c A a s i n s i n =得 2645sin 15sin 22sin sin 00-===A C a c ； 故26,75,6000+===c C B ；或26,15,12000-===c C B ．解法二：由A bc c b a cos 2222-+=得 022245cos 322)32()22(⨯⨯-+=c c 即04622=+-c c ， 解得 261+=c ，262-=c ． 当261+=c 时，426)32222)348(1282cos 2221-=⨯⨯+-+=-+=ab c b a C ， 故0175=C ．0160=B同理可求得 当262-=c 时，0202120,15==B C ．。
解斜三角形应用举例3
（2）仰பைடு நூலகம்和俯角：在视线和水平线所成的角中，
视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下 方的角叫仰角。 （3）方位角：从正北方向顺时针转到目标方向 的夹角。
方位角的其它表示：东南方向等。
（4）视角：由物体两端射出的两条光线在眼球
内交叉而成的角。
例1：某人向正东方向走了xkm，他 向右转1500,然后朝新方向走了3km, 结果他离出发点恰好 3 km,那么x的值 是多少?
30
A
45
60
O
B
解斜三角形应用举例
[知识点]
1、解有关斜三角形应用题的一般步骤：
（1）准确理解题意，弄清已知和所求； （2）根据题意，画出示意图； （3）分析与研究一个或几个三角形； （4）正确运用正、余弦定理有序的求解。
（5）回答实际问题
关键：将实际问题转化为数学问题。
2、解斜三角形中的有关名词、术语：
A B
C
D
例4：某渔轮在A处测得北偏东 45 的 C处有一个鱼群，离渔港9海里，并 发现鱼群正沿南偏东 75 的方向以 每小时10海里的速度游去。渔轮立 即以每小时14海里的速度沿着直线 方向追捕。问渔轮应沿什么方向， 需几小时才能追上鱼群？
(cos38 13' 0.7857)
*例5：如图，地平面上由一个旗杆 OP,为了测得它的高度h在地面上取 一条基线AB，AB=20m,在处测得P点 的仰角OAP 30 ，在B处测得P点的 仰角 OBP 45 ，又测得AOB 60 ， P 求旗杆的高h。
例2：某人骑车以每小时a km的速度 向东行驶，感到风从正北方向吹来， 而当速度为2akm时，感到风从东北 方向吹来，试求实际风速和风向。
例谈关于解斜三角形的试题类型
例谈关于解斜三角形的试题类型杨宜龙(河北省石家庄西山学校㊀０５００００)摘㊀要:本文总结了求解三解形问题的几种类型ꎬ共同学们参考学习.关键词:三角形ꎻ解三角形ꎻ正弦定理ꎻ余弦定理中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０４－００４４－０２㊀㊀下面本文对该知识点在高考中的考查进行分类解析ꎬ供同学们参考:㊀㊀一㊁已知三角形的三个独立条件(不含已知三个角的情况)ꎬ求解三角形㊀㊀例１㊀在әＡＢＣ中ꎬ已知ａ＝３ꎬｂ＝２ꎬＢ＝４５ʎꎬ解此三角形.分析㊀已知三角形的两边和其一边的对角这种类型题目ꎬ是同学们在学习过程中感到最困难的一种习题ꎬ这种习题可以利用正弦定理和余弦定理进行解决.解㊀由正弦定理得:３ｓｉｎＡ＝２ｓｉｎ４５ʎꎬ则ｓｉｎＡ＝３２ꎬ由ａ>ｂꎬ知Ａ>ＢꎬʑＡ＝６０ʎ或１２０ʎ.当Ａ＝６０ʎ时ꎬ得Ｃ＝７５ʎꎬʑｃ＝ｂｓｉｎＣｓｉｎＢ＝６＋２２ꎻ当Ａ＝１２０ʎ时ꎬ得Ｃ＝１５ʎꎬʑｃ＝ｂｓｉｎＣｓｉｎＢ＝６－２２.点评㊀用正弦定理解题ꎬ往往通过大边对大角这一性质判断解的个数ꎻ而用余弦定理解题ꎬ往往通过根的正负或Δ来判断解的个数.㊀㊀二㊁判断三角形的形状例２㊀在әＡＢＣ中ꎬ已知ａ２＋ｂ２()ｓｉｎＡ－Ｂ()＝ａ２－ｂ２()ｓｉｎＣꎬ判断三角形的形状.分析㊀判断三角形的形状通常是根据正弦定理或余弦定理将已知条件变换成只含边或角的式子ꎬ再通过边或角的关系判断出三角形的形状.解㊀将原式转化为ａ２＋ｂ２()ｓｉｎＡｃｏｓＢ－ｃｏｓＡｓｉｎＢ()＝ａ２－ｂ２()ｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｃｏｓＡｓｉｎＢ()ꎬ即ａ２ｓｉｎＢｃｏｓＡ＝ｂ２ｓｉｎＡｃｏｓＢ.由正弦定理得ａｃｏｓＡ＝ｂｃｏｓＢꎬ由余弦定理得ａ ｂ２＋ｃ２－ａ２２ｂｃ＝ｂ ａ２＋ｃ２－ｂ２２ａｃꎬʑａ２ｂ２＋ｃ２－ａ２()＝ｂ２ａ２＋ｃ２－ｂ２()ꎬ整理得(ａ４－ｂ４)－(ａ２ｃ２－ｂ２ｃ２)＝０ꎬ(ａ２－ｃ２)(ａ２＋ｂ２－ｃ２)＝０.ʑａ＝ｂ或ａ２＋ｂ２＝ｃ２.ʑәＡＢＣ是等腰三角形或直角三角形.㊀㊀三㊁三角形中恒等式的化简与证明例３㊀在әＡＢＣ中ꎬ角Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ的对边分别是ａ㊁ｂ㊁ｃꎬ证明:ａ２－ｂ２ｃ２＝ｓｉｎ(Ａ－Ｂ)ｓｉｎＣ.证明㊀由余弦定理得ａ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓＡꎬ则ａ２－ｂ２ｃ２＝ｃ２－２ｂｃｃｏｓＡｃ２＝１－２ｂｃ ｃｏｓＡ.由正弦定理得ｂｃ＝ｓｉｎＢｓｉｎＣꎬʑａ２－ｂ２ｃ２＝１－２ｓｉｎＢｓｉｎＣ ｃｏｓＡ＝ｓｉｎＣ－２ｓｉｎＢｃｏｓＡｓｉｎＣ＝ｓｉｎ(Ａ＋Ｂ)－２ｓｉｎＢｃｏｓＡｓｉｎＣ＝ｓｉｎＡｃｏｓＢ－ｓｉｎＢｃｏｓＡｓｉｎＣ＝ｓｉｎ(Ａ－Ｂ)ｓｉｎＣ.点评㊀证明三角形中的边角等式的主要依据是正弦定理㊁余弦定理以及三角式的恒等变形ꎬ运用正弦定理㊁余弦定理实现边与角之间的相互转换.㊀㊀四㊁三角形中的求值问题例４㊀әＡＢＣ的三个内角为Ａ㊁Ｂ㊁Ｃꎬ求当Ａ为何值时ꎬｃｏｓＡ＋２ｃｏｓＢ＋Ｃ２取得最大值ꎬ并求出这个最大值.分析㊀求三角函数的最值ꎬ关键是对所求函数式进行化简ꎬ利用倍角㊁诱导公式化简到只含ｓｉｎＡ２即可.解㊀由Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝πꎬ得Ｂ＋Ｃ２＝π２－Ａ２ꎬ所以有ｃｏｓＢ＋Ｃ２＝ｓｉｎＡ２.ｃｏｓＡ＋２ｃｏｓＢ＋Ｃ２＝ｃｏｓＡ＋２ｓｉｎＡ２＝１－２ｓｉｎ２Ａ２＋２ｓｉｎＡ２＝－２(ｓｉｎＡ２－１２)２＋３２.当Ａ＝π３时ꎬｃｏｓＡ＋２ｃｏｓＢ＋Ｃ２取得最大值３２.点评㊀本题考查诱导公式㊁二倍角公式的应用ꎬ利用特殊三角函数值求角ꎬ二次函数求最值用到了配方法.㊀㊀五㊁利用斜三角形解决实际应用问题近几年来的高考应用性问题不难看出ꎬ试题从实际出发提供公平的背景ꎬ设计新颖ꎬ这就要求我们关注生活㊁科技发展等各个方面ꎬ不断追求新知ꎬ学会将实际问题抽象为数学问题ꎬ需要提高我们运用数学知识解决实际问题的能力.例５㊀如图ꎬ当甲船位于Ａ处时获悉ꎬ在其正东方向相距２０海里的Ｂ处有一艘渔船遇险等待救援.甲船立即前往救援ꎬ同时把消息告知在甲船的南偏西３０ʎꎬ相距１０海里Ｃ处的乙船ꎬ试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往Ｂ处救援(角度精确到１ʎ)?解㊀连接ＢＣꎬ由余弦定理得:ＢＣ２＝２０２＋１０２－２ˑ２０ˑ１０ ｃｏｓ１２０ʎ＝７００ꎬ于是ＢＣ＝１０７.ȵｓｉｎøＡＣＢ２０＝ｓｉｎ１２０ʎ１０７ꎬʑｓｉｎøＡＣＢ＝２１７.ȵøＡＣＢ<９０ʎꎬʑøＡＣＢʈ４１ʎ.所以ꎬ乙船应朝北偏东７１ʎ方向前往Ｂ处救援.点评㊀本题考查了解三角形中的正弦㊁余弦定理ꎬ函数值与角的互化及运算能力.考查学生对数学知识的应用及数形结合的能力ꎬ该题型是高考常考题型ꎬ在解此类题目时不要忘记方位角的定义.㊀㊀参考文献:[１]孙红.例谈求解斜三角形的几种常见类型[Ｊ].高中数学教与学ꎬ２００８(５).[责任编辑:杨惠民]题不在多㊀在于探寻蔡㊀明(浙江省诸暨市浬浦中学㊀３１１８２４)摘㊀要:解析几何很多问题间都存在一定的共性ꎬ因此解题中假如能多方面去探索ꎬ就可避免题海战术.关键词:几何ꎻ变式ꎻ转变中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０４－００４５－０２㊀㊀例㊀已知圆Ｃ的方程为(ｘ－１)２＋ｙ２＝１ꎬ过原点Ｏ作圆的任意弦ꎬ求这些弦的中点Ｍ的轨迹方程.㊀㊀一㊁解法探寻解法一㊀已知圆Ｃ的圆心Ｃ(１ꎬ０)ꎬ半径Ｒ＝１ꎬ由平面几何性质可知:ＣＭʅＯＭꎬ所以Ｍ在ＯＣ为直径的圆上.故点Ｍ的轨迹方程为:(ｘ－１２)２＋ｙ２＝１４(除原点).解法二㊀根据解法一得:ＣＭʅＯＭ.设弦ＯＡ中点Ｍ(ｘꎬｙ)ꎬ则。
解斜三角形·典型例题精析
解斜三角形·典型例题精析【分析】已知两边及一边对角，先判定三角形解的情况：由b＞c，B=45°，故有一解．先由正弦定理求角C，然后再由内角和求角A，最后再用正弦定理求a．【解法一】于是据正弦定理，得由b＞c，B=45°，可知C＜B．∴C=30°．又A＋B＋C=180°，∴A=180°－（B＋C）=105°．再由正弦定理，有（求a时，由于前面已经知道b，c，A，也可用余弦定理．）【解法二】已知两边及一边的对角，可由余弦定理求第三边，再用正弦定理、余弦定理求角．据余弦定理，得此时三角形的三边均已知，可用余弦定理求角，也可用正弦定理求角（B已知）．由余弦定理，得∴C=30°．∴A=180°－（45°＋30°）=105°．【分析】已知两边及一边对角，且A=45°为锐角，此时需考虑形，故此三角形有两解．【解法一】由正弦定理，得∵bsinA＜a＜b，∴这个三角形有两组解．∴B=60°或B=120°．= 75°．据正弦定理，得【解法二】已知两边及其一边的对角，可用余弦定理，得【说明】已知两边及一边对角求解三角形时，使用余弦定理，借助方程的思想，将第三边视为未知数，得到以这条边为未知数的一元二次方程．若这个方程有两个不同的正实根，则三角形有两解；方程有重根，三角形有一解（B为直角）；只有一正实根而另一个为复实根，也有一解（B为锐角）．例3在△ABC中，A=120°，b=3，c=5，求：（1）sinBsinC；（2）sinB ＋sinC．【分析】已知两边及夹角，由余弦定理求第三边．再用正弦定理求sinA，sinB．【解法一】（1）∵b=3，c=5，A=120°，∴据余弦定理，得∴ a=7．由正弦定理，得（2）由（1）的结果，有【解法二】（1）由余弦定理，得到a=7．由正弦定理，a=2RsinA，（2）求得a=7以后，由正弦定理【分析】已知三边，可用余弦定理直接求角，先求出两个角后，再用内角和求第三个角．使用余弦定理求角时，一般在判断三条边的大小后，可先求最大角，也可先求最小角，如果最大角小于60°，最小角大于60°，可知三角形无解．【解】由已知，a＜c＜b，B最大．据余弦定理，得∴B=105°．由正弦定理，得∵ b＞c，∴ C为锐角，C=45°．于是A=180°－（B+C）=30°．∴A=30°，B=45°，C=105°．A=30°，再求其他角．由于题目已知三边，所以利用余弦定理求得最大角或最小角后，再求其余的第二个角，仍可用余弦定理，例如由【分析】由于角C已知，再求出一个角后，用内角和定理即可求第三个角．因为角C=30°，使用正弦定理求其他角的正弦时，需知a，用a表示b，找到a与c二者的关系．∵ a＞0，c＞0，由正弦定理，得∴A＝75°或105°．若A=75°，则B=180°－（A＋C）=75°，a=b，与已知矛盾．∴A＝105°，B=180°－（A＋C）＝45°．【分析】所求证的恒等式左边既含有边又含有角，而右边只含有角的形式，可将左式的边均转化为角的形式，也可将恒等式中的角的形式均转化为边的形式．【证法一】使用正弦定理，将边的形式转化为角的形式．所以等式成立．【证法二】使用余弦定理，和正弦定理将角形式均转化边的形式，将左式变形．所以等式成立．例7在△ABC中，已知（a＋b＋c）（a＋b－c）=3ab，且2cosAsinB=sinC，确定△ABC的形状．【解法一】利用边的关系来判断．由正弦定理，得由2cosAsinB=sinC，有又据余弦定理，得∴a=b．又已知（a＋b＋c）（a＋b－c）=3ab，由 a=b，b=c．∴a＝b＝c．因此△ABC为等边三角形．【解法二】利用角的关系来判断．∵A＋B＋C＝180°，∴sinC=sin（A＋B）．又 2cosAsinB=sinC，∴2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB．∴sin（A－B）=0．又A与B均为△ABC的内角，∴A＝B．又由（a＋b＋c）（a＋b－c）=3ab，据余弦定理，上式化为∴C=60°．故△ABC为等边三角形．【说明】判定三角形的形状时，一般有两种思路：一是通过三角形的边关系，另一是考虑三角形的内角的关系．当然可将边和角巧妙结合同时考虑．例8如图5－4－1，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A 有9nmile，并以20nmile/h的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28nmile/h 的速度行驶，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？【分析】若在C处甲船追上乙船，那么在△ABC中，AB=9h，∠ABC=180°－15°－45°=120°．题目所求为AC的长度，方向与∠CAB有关．【解】设用th，甲船能追上乙船，且在C处相遇．在△ABC中，AC=28t，BC ＝20t，AB＝9，∠ABC＝180°－45°－15°=120°．据余弦定理，得（4t－3）（32t＋9）＝0．据正弦定理，得▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌又∠ABC＝120°，【说明】航海问题常涉及到解斜三角形的知识，解题时应注意画出示意图，帮助分析，本题中的∠ABC，AB边已知，另两边未知，但它们都是船航行的距离，由于两船的航速已知，所以，这两条边均与时间t有关．这样据余弦定理，可列出关于t的一元二次方程，解出t值，问题得到解决．▃▄▅▆▇██■▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生▃▄▅▆▇██■▓。
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的内角和定理, 先 得出 s in
解 决本题的突破口. 从而将 cosA + 2 cos
又 0< A < P , _A = _ S = _
2 2
转化为只含 有 一个 角 的三 角 函数 式, 达 到 尽 量减少变量 的 目的. 本题 主 要考 查 三角 函 数 的诱导公式, 倍角 公式的 应用, 同时 考查学 生 整体的数学思 想, 将 s in 关于 s in A 看成整 体, 转化 为 2 即
所以 sin A + cosA 的取值范围是 ( 1, 2 ]. 三、 三角形与平面向量的结合 例5 已知 A, B, C 是 &ABC 的三个内角, 若 m = A A ,a= , s in 2 2 其 对 边 边 长 分 别 是 a, b, c. - cos A A , n= , s in 2 2 1 . 2 3, 求 b + c的 cos
解
如图 1, 设缉私船在海上 D 处追上走 3 - 1, AC = 2.
2
私船. 在 &ABC 中, 根据题意, 得 N BAC = 75b + 45b = 120b , AB = 由余弦定理, 可得 BC = AB + AC - 2AB # AC cosN BAC
2 2
= 6 , 即 BC = 6. BC AC 又 = , s inN BAC s inN ABC _ s inN ABC =
3 1 cos B + s in B 2 2 P . 3
_ S =
= 4 sin B +
五、 解斜三角形在实际问题中的应用 例7 距 A 为 ( 3 - 1 ) m ile的 B 处有一走私 船, 在 A 的北偏西 75b方向, 距 A 为 2 m ile 的 C 处缉私 船奉命正以 10 3 m ile /h 的速度追截 走私船, 此时, 走私船正以 10 m ile / h的 速度从 B 处向 北偏东 30b方向逃窜, 问缉私船沿什么 方向能 最快追上走私船?并求出所需时间. 分析 解决斜 三角形 的应用问 题时, 首 先要认真分析理解题意, 建立 数学 模型, 将实 际问题中的长 度、 角 度 看成 三 角形 中 相应 的 边和角, 经常用到正弦 定理和 余弦 定理等, 其 中画出合理的图形是解题的关键.
高中数学教与学
2008 年
例谈求解斜三角形的几种常见题型
孙 红
( 浙江省青田中学 , 323900)
正弦定理和余弦定理是解决 有关斜三 角 形问题的两 个 重要 定 理, 它 们是 解 斜三 角 形 和判定三角 形 形状 的 重要 工 具, 其 主要 作 用 是将已知 条 件中 边 的关 系 转化 为 角的 关 系, 或将角的关 系 转化 为 边的 关 系. 解 斜三 角 形 问题不仅 需 要熟 练 地进 行 三角 变 形的 能 力, 还需要熟 练 地掌 握 有关 三 角形 的 基础 知 识. 下面我们来介绍 一下有 关求解 斜三 角形的 几 种常见题型. 一、 三角形形状的判定 三角 形形 状的 判断, 其 思路 主 要是 从 角 或边的方面 入 手. 若 已知 三 角等 式 中既 含 有 边又含有角, 一般 是 利用 正 弦定 理 将其 转 化 为只含有角 的 等式, 或利 用 余弦 定 理将 其 转 化为只含有边的等式. 例 1 在 &ABC 中, 若 a cos A = b cos B, ) 则 &ABC 一定是 ( ( A ) 等腰三角形 ( B) 直角三角形 ( C) 等腰直角三角形 ( D ) 等腰三角形或直角三角形 分析 根据 已 知 条件 给 出 的三 角 函 数 式, 无法直接判断 出三个 角的 关系, 或三条 边 的关系. 已 知 条件 给 出的 等 式既 含 有边 也 含 有角, 一般 思 路是 将 其转 化 为只 含 有边 或 角 的等式. 我 们 可以 利 用正 弦 定理 可 将其 转 化 为只含有角的等式. 有的同学是这样做的: 将 a = 2R s in A, b = 2R s in B 代入到已 知 等式中可得, s in A cos A = sin B cos B, 由倍 角 公式得, s in 2A = s in 2B, _ A = B, 即 & ABC 为等腰三角形. 上述结论是错误的, 原因在 于等式 s in 2A
2 2 2
b + c - a = 2bc
2
2
2
a + c - b 2 2 2 , 整理化简, 得 ( a + b - c ) # 2a c
( a - b) = 0, 所以 a 2 + b2 = c2 或 a = b, 即 &ABC 是 等腰 三角 形或 直 角三 角形. 相对 而 言, 利用余弦定理化简, 计算量可能会较大. 例 2 在 &ABC 中, a, b, c分别是角 A, B, C 的对边边长, 且满足 (a + b + c ) ( a + b - c ) = 3a b, 2cos A s in B = sin C, 试判断 &ABC 的 形状. 分析 要求角 的大小, 一般 是先求 出这 个角的某一个 三 角函 数 值, 然 后再 根 据角 的 范围来确定角的值. 解 得 即 由 ( a + b + c ) (a + b - c ) = 3ab 可 (a + b ) - c = 3ab, a + b - c = ab, _ cos C = a + b - c 1 = . 2ab 2 P . 3
2 2 2 2 2 2 2 2
又 0< C < P ,_ C = ^A + B + C = P , _ s in C = s in (A + B ),
_ 2cos A s in B = s in C = s in(A + B ).
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第 5期
展开整理, 可得 s in A cos B - cos A s in B = 0. 即 _ s in(A - B ) = 0, A = B. P P 又 C = , 所以 A = B = C = . 3 3 综上所述, &ABC 为正三角形. 二、 三角形中的最值问题 例 3 已知三角 形中 的三个 内角 分别 为 _ B+ C A, B, C, 当 A 为何值时, cosA + 2cos 取得 2 最大值, 并求出这个最大值. 解 _ ^A + B + C = P , A B+ C P + = . 2 2 2 A B+ C = cos , 2 2 B+C A = cosA + 2 sin 2 2 A A + 2s in 2 2
A 1 P = ,即A = 时, cos A 2 2 3
B+ C 3 取得最大值为 . 2 2 在上述解 题过程 中, 应 用三角 形 B+C A = cos 是 2 2 B+C 2 _
A 2 A + s in 2 2 1 , 2
= - cos A = cos A = 1 . 2 2 P . 3
评注
P P P 2 又 0< B < , _ < B+ < P , 3 3 3 3 _ 3 < s in B + P [ 1. 2 3 平面向量以其独立的知识点为考
故 b + c的取值范围为 ( 2 3, 4] . 评注 察对象, 以 向 量为 载 体的 高 考数 学 试题 与 三 角函 数、 解 析几 何、 代 数 等其 他 知 识 联 系 紧 密, 在 高 考 中多 以 选 择 题、 填空题的形式出 现, 在解题中也有 所呈现. 本题 结合 向量的 数 量积、 解三角形等 知识点 进行 综合考 查, 充 分 体现了向量的工具性. 四、 三角形中的综合问题 例 6 已知 &ABC 中, 角 A, B, C 的对边边 长分别是 a, b , c, 若 b cos C = ( 2a - c) cos B. ( 1 ) 求 B 的大小; ( 2) 若 b = 积. 分析 求三角形 中的角 或边, 或三角 形 的面积, 是求解斜 三角形 问题 的常见 类型, 而 解决这类问题, 需 要综合 应用 正弦定 理、 余弦 定理和三角形面积公式. 解 ( 1) 将 a = 2R sin A, b = 2R s in B, c = 2R s in C 代入到已知等式中, 可得 s in B cos C = ( 2 s in A - s in C ) cos B, 即 s in B cos C + s in C cos B = 2 s in A cos B. _ s in (B + C ) = 2s in A cos B. ^A + B + C = P , _ s in A = s in (B + C ). _ s in A = 2 s in A cos B. 7, a + c = 4, 求 & ABC 的面
= s in 2B 成立, 可推出两种情 况. 因为 A, B 是 三角形中的内角, 即 A, B I ( 0, P). 故可 推出 2A = 2B 或 2A + 2B = P . 即A = B或A + B = P . 所以三 角形 的形 状 是等 腰 三角 形 或直 角 2 三角形. 故正 确答案是 D. 另外要注 意区 分答 案 C 和 D, 答案 C 是等腰直 角三角形, 即既是 等腰三角形又是直角三角形. 当然, 对于这 道题目还 有其它 的解法, 我 们也可以利用余弦定 理将已 知等式 转化 为只 含有边的关系式, 由已知得 a # b#
2 , 2 即 N ABC = 45b , _ N CBD = 120b .
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第 5期 o 解题思路与方法 o
高中数学教与学