新北师大版八年级数学上册《二次根式》练习题
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《二次根式》练习题
1．二次根式的定义
一般地，我们把形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号，a 叫做被开方数．
【例1－1】 下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？
2，33，1x ，x 2
＋1，0，42，－2，1x ＋y
，x ＋y .
解：二次根式有：2，x 2
＋1，0，－2；不是二次根式的有：33，1x ，42，1x ＋y
，
x ＋y .
析规律 二次根式的条件
二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或0. 【例1－2】 当x 是多少时，3x －1在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x －1≥0时，3x －1才有意义．
解：由3x －1≥0，得x ≥1
3
.
因此当x ≥1
3
时，3x －1在实数范围内有意义．
点技巧 二次根式有意义的条件
二次根式有意义的条件是，被开方数是非负数，即被开方数一定要大于或等于0. 2．积的算术平方根
用“＞，＜或＝”填空．
4×9______4×9，16×25______16×25，100×36______100×36.
根据上面的计算我们可得出：
ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)
即：积的算术平方根，等于各算术平方根的积． 【例2】 化简：
(1)9×16；(2)16×81；(3)81×100；(4)54. 分析：利用ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)直接化简即可． 解：(1)9×16＝9×16＝3×4＝12. (2)16×81＝16×81＝4×9＝36. (3)81×100＝81×100＝9×10＝90.
(4)54＝9×6＝32
×6＝3 6. 点评：利用积的算术平方根的性质可对二次根式进行化简，使其不含能开得尽方的因数或因式．
3．商的算术平方根 填空：
(1)916
＝__________，916＝__________；
(2)1636＝__________，16
36
＝__________； (3)416＝__________，4
16
＝__________； (4)
3681
＝__________，
36
81
＝__________. 规律：
916______916；1636______1636；416______4
16
；3681______3681
. 通过计算容易得出上面的式子都是相等的．因此， a b ＝a
b
(a ≥0，b >0) 即：商的算术平方根等于各算术平方根的商． 【例3】 化简：
(1)364；(2)64b 2
9a 2；(3)9x 64y 2；(4)5x
169y 2.
分析：直接利用a b ＝a
b
(a ≥0，b ＞0)就可以达到化简之目的． 解：(1)
364＝364＝38
. (2)64b 2
9a 2＝64b 2
9a 2
＝8|b |
3|a |. (3)9x 64y 2＝9x 64y 2
＝3x
8|y |
. (4)
5x 169y 2＝5x 169y 2
＝5x
13|y |
. 4．最简二次根式
最简二次根式应满足以下两个条件： (1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
所以，化简二次根式时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式．
【例4】 把下列根式化成最简二次根式：
(1)12，(2)40，(3) 1.5，(4)4
3
.
解：(1)12＝4×3＝2 3. (2)40＝4×10＝210.
(3) 1.5＝32＝32＝3×22×2＝6
2.
(4)
43＝23
＝233.
点评：化简二次根式时，要求最终结果中分母不含有根号，应利用二次根式的有关性质化掉分母中的根号．
5．二次根式的乘除
二次根式的乘法：a·b＝ab(a≥0，b≥0)
二次根式的除法：a
b
＝
a
b
(a≥0，b>0)
即：二次根式相乘除，只把被开方数相乘除，结果仍然作为被开方数．【例5】计算：
(1)5×7；(2)1
3
×9；(3)
1
4
÷
1
16
；(4)
64
8
.
分析：直接利用a·b＝ab(a≥0，b≥0)和a
b
＝
a
b
(a≥0，b＞0)计算即可．
解：(1)5×7＝35.
(2)1
3
×9＝
1
3
×9＝ 3.
(3)1
4
÷
1
16
＝
1
4
÷
1
16
＝
1
4
×16＝4＝2.
(4)64
8
＝
64
8
＝8＝2 2.
6．二次根式的加减
计算下列各式：
(1)2x＋3x；(2)2x2－3x2＋5x2；(3)x＋2x＋3y；(4)3a2－2a2＋a3.
上面的题目，实际上为同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．
计算下列各式：
(1)22＋32；(2)28－38＋58；
(3)7＋27＋9×7；(4)33－23＋ 2.
分析：(1)如果我们把2当成x，不就转化为上面的问题了吗？
22＋32＝(2＋3)2＝5 2.
(2)把8当成y；
28－38＋58＝(2－3＋5)8＝48＝8 2.
(3)把7当成z；
7＋27＋9·7
＝7＋27＋37＝(1＋2＋3)7＝67.
(4)把3看为x，2看为y.
33－23＋2＝(3－2)3＋2＝3＋ 2.
因此，二次根式的被开方数相同的话是可以合并的．
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
【例6】计算：