北理工随机信号分析实验报告
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本科实验报告实验名称:随机信号分析实验
实验一 随机序列的产生及数字特征估计
一、实验目的
1、学习和掌握随机数的产生方法。
2、实现随机序列的数字特征估计。
二、实验原理
1、随机数的产生
随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列(样本值序列)。进行随机信号仿真分析时,需要模拟产生各种分布的随机数。
在计算机仿真时,通常利用数学方法产生随机数,这种随机数称为伪随机数。伪随机数是按照一定的计算公式产生的,这个公式称为随机数发生器。伪随机数本质上不是随机的,而且存在周期性,但是如果计算公式选择适当,所产生的数据看似随机的,与真正的随机数具有相近的统计特性,可以作为随机数使用。
(0,1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。(0,1)均匀分布指的是在[0,1]区间上的均匀分布,即 U(0,1)。实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0,1)均匀分布随机数,通常采用的方法为线性同余法,公式如下:
)(m od ,110N ky y y n n -=
N y x n n /=
序列{}n x 为产生的(0,1)均匀分布随机数。 下面给出了上式的3组常用参数:
1、10
N 10,k 7==,周期7
510≈⨯;
2、(IBM 随机数发生器)31
16
N 2,k 23,==+周期8
510≈⨯; 3、(ran0)31
5
N 21,k 7,=-=周期9210≈⨯;
由均匀分布随机数,可以利用反函数构造出任意分布的随机数。
定理 1.1 若随机变量 X 具有连续分布函数F X (x),而R 为(0,1)均匀分布随机变量,则有
)(1R F X x -=
由这一定理可知,分布函数为F X (x)的随机数可以由(0,1)均匀分布随机数按上式进行变
换得到。
2、MATLAB 中产生随机序列的函数
(1)(0,1)均匀分布的随机序列 函数:rand 用法:x = rand(m,n)
功能:产生m ×n 的均匀分布随机数矩阵。 (2)正态分布的随机序列 函数:randn 用法:x = randn(m,n)
功能:产生m ×n 的标准正态分布随机数矩阵。
如果要产生服从2
N(,)μσ分布的随机序列,则可以由标准正态随机序列产生。 (3)其他分布的随机序列
MATLAB 上还提供了其他多种分布的随机数的产生函数,下表列出了部分函数。
MATLAB 中产生随机数的一些函数
3、随机序列的数字特征估计
对于遍历过程,可以通过随机序列的一条样本函数来获得该过程的统计特性。这里我们假定随机序列 X (n)为遍历过程,样本函数为x(n),其中n=0,1,2,…,N -1。那么,X (n)的均值、方差和自相关函数的估计为
利用MATLAB 的统计分析函数可以分析随机序列的数字特征。
(1)均值函数
函数:mean
用法:m = mean(x)
功能:返回按上面第一式估计X (n)的均值,其中x 为样本序列x(n)。
(2)方差函数
函数:var
用法:sigma2 = var(x)
功能:返回按上面第二式估计X (n)的方差,其中x 为样本序列x(n),这一估计为无偏估计。
(3)互相关函数
函数:xcorr
用法:c = xcorr(x,y)
c = xcorr(x)
c = xcorr(x,y,'opition')
c = xcorr(x,'opition')
功能:xcorr(x,y)计算X (n)与Y(n)的互相关,xcorr(x)计算X (n)的自相关。
option 选项可以设定为:
'biased' 有偏估计,即
'unbiased' 无偏估计,即按上面第三式估计。
'coeff' m = 0 时的相关函数值归一化为1。
'none' 不做归一化处理。
三、实验内容
1、采用线性同余法产生均匀分布随机数1000 个,计算该序列均值和方差与理论值之间的误差大小。改变样本个数重新计算。
num=input('num=');
n=2^31;
k=2^16+3;
y=zeros(1,num);
x=zeros(1,num);
y(1)=1;
for i=2:num
y(i)=mod(k*y(i-1),num);
end
x=y/num;
m=mean(x);
si=var(x);
plot(x,'k');
xlabel('n');
ylabel('x(n)');
axis tight;
已知理论值均值为0.5
方差为0.0833
Num=1000
m =
0.4900 >> si
si =
0.0834 NUM=5000
m
m =
0.4950 >> si
si =
0.0834
Num=3000
m
m =
0.4833
>> si
si =
0.0832
Num=5000
m
m =
0.4980
>> si
si =
0.0833
2、参数为λ的指数分布的分布函数为
x x e F λ--=1
利用反函数法产生参数为0.5 的指数分布随机数1000 个,测试其方差和相关函数。
R=rand(1,1000); lambda=0.5;
x=-log(1-R)/lambda; Dx=var(x); [Rm,m]=xcorr(x); subplot(211);
plot(x,'k');xlabel('n');ylabel('x(n)');axis tight ;
subplot(212);plot(m,Rm,'k');xlabel('m');ylabel('R(m)');axis tight ;
Dx Dx =
4.0781
理论上方差的值为1/(0.5^2)=4,实际值为4.1201,因为取样个数有限,导致存在一定偏差。但大体相近。