北理工随机信号分析实验报告

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本科实验报告实验名称:随机信号分析实验

实验一 随机序列的产生及数字特征估计

一、实验目的

1、学习和掌握随机数的产生方法。

2、实现随机序列的数字特征估计。

二、实验原理

1、随机数的产生

随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列(样本值序列)。进行随机信号仿真分析时,需要模拟产生各种分布的随机数。

在计算机仿真时,通常利用数学方法产生随机数,这种随机数称为伪随机数。伪随机数是按照一定的计算公式产生的,这个公式称为随机数发生器。伪随机数本质上不是随机的,而且存在周期性,但是如果计算公式选择适当,所产生的数据看似随机的,与真正的随机数具有相近的统计特性,可以作为随机数使用。

(0,1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。(0,1)均匀分布指的是在[0,1]区间上的均匀分布,即 U(0,1)。实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0,1)均匀分布随机数,通常采用的方法为线性同余法,公式如下:

)(m od ,110N ky y y n n -=

N y x n n /=

序列{}n x 为产生的(0,1)均匀分布随机数。 下面给出了上式的3组常用参数:

1、10

N 10,k 7==,周期7

510≈⨯;

2、(IBM 随机数发生器)31

16

N 2,k 23,==+周期8

510≈⨯; 3、(ran0)31

5

N 21,k 7,=-=周期9210≈⨯;

由均匀分布随机数,可以利用反函数构造出任意分布的随机数。

定理 1.1 若随机变量 X 具有连续分布函数F X (x),而R 为(0,1)均匀分布随机变量,则有

)(1R F X x -=

由这一定理可知,分布函数为F X (x)的随机数可以由(0,1)均匀分布随机数按上式进行变

换得到。

2、MATLAB 中产生随机序列的函数

(1)(0,1)均匀分布的随机序列 函数:rand 用法:x = rand(m,n)

功能:产生m ×n 的均匀分布随机数矩阵。 (2)正态分布的随机序列 函数:randn 用法:x = randn(m,n)

功能:产生m ×n 的标准正态分布随机数矩阵。

如果要产生服从2

N(,)μσ分布的随机序列,则可以由标准正态随机序列产生。 (3)其他分布的随机序列

MATLAB 上还提供了其他多种分布的随机数的产生函数,下表列出了部分函数。

MATLAB 中产生随机数的一些函数

3、随机序列的数字特征估计

对于遍历过程,可以通过随机序列的一条样本函数来获得该过程的统计特性。这里我们假定随机序列 X (n)为遍历过程,样本函数为x(n),其中n=0,1,2,…,N -1。那么,X (n)的均值、方差和自相关函数的估计为

利用MATLAB 的统计分析函数可以分析随机序列的数字特征。

(1)均值函数

函数:mean

用法:m = mean(x)

功能:返回按上面第一式估计X (n)的均值,其中x 为样本序列x(n)。

(2)方差函数

函数:var

用法:sigma2 = var(x)

功能:返回按上面第二式估计X (n)的方差,其中x 为样本序列x(n),这一估计为无偏估计。

(3)互相关函数

函数:xcorr

用法:c = xcorr(x,y)

c = xcorr(x)

c = xcorr(x,y,'opition')

c = xcorr(x,'opition')

功能:xcorr(x,y)计算X (n)与Y(n)的互相关,xcorr(x)计算X (n)的自相关。

option 选项可以设定为:

'biased' 有偏估计,即

'unbiased' 无偏估计,即按上面第三式估计。

'coeff' m = 0 时的相关函数值归一化为1。

'none' 不做归一化处理。

三、实验内容

1、采用线性同余法产生均匀分布随机数1000 个,计算该序列均值和方差与理论值之间的误差大小。改变样本个数重新计算。

num=input('num=');

n=2^31;

k=2^16+3;

y=zeros(1,num);

x=zeros(1,num);

y(1)=1;

for i=2:num

y(i)=mod(k*y(i-1),num);

end

x=y/num;

m=mean(x);

si=var(x);

plot(x,'k');

xlabel('n');

ylabel('x(n)');

axis tight;

已知理论值均值为0.5

方差为0.0833

Num=1000

m =

0.4900 >> si

si =

0.0834 NUM=5000

m

m =

0.4950 >> si

si =

0.0834

Num=3000

m

m =

0.4833

>> si

si =

0.0832

Num=5000

m

m =

0.4980

>> si

si =

0.0833

2、参数为λ的指数分布的分布函数为

x x e F λ--=1

利用反函数法产生参数为0.5 的指数分布随机数1000 个,测试其方差和相关函数。

R=rand(1,1000); lambda=0.5;

x=-log(1-R)/lambda; Dx=var(x); [Rm,m]=xcorr(x); subplot(211);

plot(x,'k');xlabel('n');ylabel('x(n)');axis tight ;

subplot(212);plot(m,Rm,'k');xlabel('m');ylabel('R(m)');axis tight ;

Dx Dx =

4.0781

理论上方差的值为1/(0.5^2)=4,实际值为4.1201,因为取样个数有限,导致存在一定偏差。但大体相近。

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