广东省首届大学生数学竞赛试卷参考答案

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高等数学竞赛真题及答案解析

高等数学竞赛真题及答案解析高等数学竞赛是对学生在该学科中的深入理解和应用能力的考察，对于提升学生的数学素养和能力有着重要的意义。

本文将为大家介绍一些高等数学竞赛的真题，并提供相应的解析，帮助大家更好地理解和掌握数学知识。

一、题目1让我们先来看一个简单的问题：计算$\int \frac{1}{x} dx$。

解析：这是一个基本的积分题目，我们可以使用积分的基本公式来解答。

首先，我们要找到该函数的原函数，即使得它的导数等于$\frac{1}{x}$的函数。

显然，原函数是$ln|x|$。

所以，该积分的结果就是$ln|x|+C$，其中C为常数。

二、题目2接下来，我们来看一个稍微复杂一些的题目：设$f(x)$在[0,1]上连续，且$\int_0^1 f(x) dx = c$，求证：存在$\xi \in (0,1)$，使得$f(\xi) = c$。

解析：根据题目要求，我们需要找到一个$\xi$，使得$f(\xi) = c$。

根据平均值定理，即在[0,1]区间上存在一个点$\xi$，使得$f(\xi) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$，其中a和b为区间的两个端点。

由于$\int_0^1 f(x) dx = c$，所以存在$\xi \in (0,1)$，使得$f(\xi) = c$。

三、题目3现在我们来考虑一个涉及到函数极限的题目：设函数$f(x)$在0的某个去心邻域内有定义，且$\lim_{x \to 0} f(x) = A$，证明：$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = A$。

解析：根据题目给出的条件，我们知道当$x$趋近于0时，$f(x)$会趋近于A。

我们需要证明的是，当$x$趋近于0时，$\frac{f(x)}{x}$也会趋近于A。

我们可以通过将分子和分母都除以$x$来简化问题，得到$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{f(x)}{x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = A$。

2023年首届广东省大学生数学竞赛试卷经管类

广东省大学生数学竞赛试卷参照答案(经济管理类)一、(本题30分, 每题3分) 填空题1.已知 .则极限........ .2. 设对于满足方程 .若在获得极值, 则它是 .（填极大值还是极小值）3.极限...... .4.设函数满足.则 _________.5. 极限 .6.由方程确定了函数 .则......7.设可微, , 若 , 则 .8.设函数()f x 持续, (0)2f =, 记22222()()d d (0)x y t F t f x y x y t +≤=+≥⎰⎰, 则(0)F ''= .9.设是微分方程旳三个不一样旳解, 且不恒等于常数, 则微分方程旳通解....... .10. 级数旳收敛区间为 .二、（本题10分）设函数具有二阶持续导数, 且 , 证明：函数(),0()(0),0f x xg x x f x ⎧≠⎪=⎨⎪'=⎩具有一阶持续导数.三、（本题10分）设()f x 在[0,1]上可导, 当01x ≤≤时, 0()2f x ≤≤; 且对区间(0,1)内所有x 有()2f x '≠, 证明: 在[0,1]上有且仅有一点,ξ 使得()2.f ξξ=四、（本题10分）设函数在区间上持续, 并设 , 求 .五、（本题10分）设 , 其中为持续函数, 求 .六、（本题10分）设()f x 在区间[1,1]-上持续且为奇函数, 区域D 由曲线24y x =-与3y x =-、1x =所围成, 求()1()ln(d d D I f x y x y =++⎰⎰.七、（本题10分）设()f x 在区间[0,1]上有持续导数, n 为正整数, 证明: 10(1)1()d n f x f x x o n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰ ()n →∞.八、（本题10分）设0a >, 鉴别级数(1)221(1)(1)(1)n n n n a a a a +∞=+++∑旳敛散性.。

第1届大学生数学竞赛决赛试题决赛解答

首届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案（非数学类，2010）一、（20分，每小题5分）1）求极限121lim(1)sin n n k k k n n π-→∞=+∑. 2）计算2∑∑为下半球面z =a 为大于0的常数.3）现要设计一个容积为V 的一个圆柱体的容器.已知上下两底的材料费为单位面积a 元，而侧面的材料费为单位面积b 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？4）已知()f x 在11(,)42内满足331()sin cos f x x x'=+，求()f x .解 1）记 121(1)s i n n n k k k S n nπ-==+∑，则 122111()n n k k k S o n n n π-=⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑.11223111()n n k k k ko n n nππ--===++∑∑5236πππ→+=2）将∑（或分片后）投影到相应坐标平面上化为二重积分逐块计算。

112yzD I axdydz a ∑==-⎰⎰⎰⎰ 其中yz D 为yoz 平面上的半圆222,0y z a z +≤≤。

利用极坐标，得2310223aI d rdr a ππθπ=-=-⎰⎰22211()[xyD I z a dxdy a dxdy a a ∑=+=-⎰⎰⎰⎰，其中xy D 为xoy 平面上的圆域222x y a +≤。

利用极坐标，得()22232001226a I d a r rdr a a ππθ=-=⎰⎰。

因此，3122I I I a π=+=-。

3）设圆柱容器的高为h ,上下底的径为r ，则有22,Vr h V h rππ==或。

所需费用为222()222bV F r a r b rh a r rπππ=+=+显然，'22()4bV F r a r rπ=-。

那么，费用最少意味着 '()0F r =，也即32bV r a π=这时高与底的直径之比为322h V ar r bπ==。

首届全国大学生数学竞赛赛区赛试卷参考答案--非数学类

四、已知平面区域 D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ π} ，L 为 D 的正向边界，试证：
∫ ∫ （1） xesin ydy − ye−sin xdx = xe−sin ydy − yesin xdx ；
L
L
∫ （2）
L
xesin y dy −
ye−siLeabharlann xdx≥时，体积最小.
七、已知 un (x) 满足
un′(x) = un (x) + xn−1ex （ n 为正整数），
∑ 且 un (1)
=
e n
，求函数项级数
∞
un (x) 之和.
n=1
∞
∑ 解：先解一阶常系数微分方程，求出 un (x) 的表达式，然后再求 un (x) 的 n=1
和. 由已知条件可知 un′(x) − un (x) = xn−1ex 是关于 un (x) 的一个一阶常系数线
解：因抛物线过原点，故 c = 1
3
∫ 由题设有
1 (ax 2
0
+
bx)dx
=
a 3
+
b 2
=
1 3
.即
b = 2 (1− a) 3
，
∫ 而 V = π 1(ax2 + bx)2dx = π[1 a2 + 1 ab + 1 b2 ]
0
523
=
π
[1 5
a2
+
1 3
a(1
−
a)
+
1 3
⋅
4 9
(1 −
n 是给定的正整数.
x→0
n
解：原式 = lim exp{e ln(ex + e2x + + enx )}

浙江省数学竞赛参考资料-广东卷

四、广东省大学生高等数学竞赛试题及解析一、解下列各题1 求n n n n n nn ln )ln ln (lim -++∞→的值。

（原式=2e ）2 设)(x f 为奇函数，且2)3('=-f ，求).3('f （ 2)3('=f ）3 证明方程0163423=+-+x x x 在（0，1）内至少有一个实根。

4 设质点P 在直角坐标系xOy 的y 轴上作匀速运动，定点A 在x 轴上且不与原点O 重合，试证明：直线段AP 的角速度与AP 之长l 的平方成反比。

5 试验证等式dy y xy x dx y xy x y x du )2()2(),(2222--+-+=成立，并求).,(y x u （C y x xy y x y x u +-+-=)()(31),(33）6 设函数),(y x f 具有连续的一阶偏导数且满足方程0=∂∂+∂∂y fy x fx ，试证明：),(y x f 在极坐标下与矢径r 无关。

7 求微分方程32222=++x dt dx dt x d 的通解).(t x （23)sin cos ()(21++=t C t C e t x t ）8 级数)2tan()1(21π+-∑∞=n n n 是否收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 9 设曲面S 的方程2244y x z ++=，求平面π的方程是222=++z y x ，试在曲面S 上求一个点的坐标，使该点与平面π的距离为最近，并求此最近距离。

（)12(32min -=d ）二、设函数)(x f 在),0(+∞上连续，对任意正数x 有)()(2x f x f =，且5)3(=f ，求).(x f （5)(=x f ）三、设),,3,2,1(1)(2 =-=n x x x f n 求).()(x f n （])1(1)1(1)1[(2!)(11)(+++---=n n n n x x n x f ）四、设函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，其中0>a且,0)(=a f 试证明：在),(b a 内必有一点ε，使).(')(εεεf a b f -=五、设函数)(t f 具有连续的二阶导数，且,1)1(')1(==f f 试确定函数),(x yf 使⎰=-++L dy xy xf y dx x y xf x y ,0)]('[)]([2其中L 是不与y 轴相交的任意的简单正向闭路径。

广东省首届大学生数学竞赛试卷(高职高专)

广东省首届大学生数学竞赛试卷参考答案(高职高专)一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．设函数()f x 、()g x 在区间(,)-∞+∞内有定义，若()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则[()]g f x 为（）.(A)奇函数(B)偶函数(C)非奇非偶函数(D)有界函数2．设函数()f x 是以3为周期的奇函数,且(1)1f -=-,则(7)f =().(A)1(B)1-(C)2(D)2-3．设(0)0f =，且极限0()limx f x x →存在，则0()lim x f x x →=（）.(A)()f x '(B)(0)f (C)(0)f '(D)1(0)2f '4．设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()<0f x '，若()>0f b ，则在(,)a b 内()f x （）.(A)0>(B)0<(C)()f x 的符号不能确定(D)0=5．设()F x 是()f x 的一个原函数，则（）.(A)()d ()F x x f x =⎰(B)()d ()F x x f x C =+⎰(C)()d ()f x x F x =⎰(D)()d ()f x x F x C=+⎰二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．极限201lim 1x x x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭.2．已知函数1sin sin 33y a x x =+（其中a 为常数），在3x=处取得极值，则a =.3．设1()ln ln 2f x x =-，则(1)f '=.4．设函数()y y x =由方程e e sin()x y xy -=所确定，求隐函数y 在0x =处的导数0x y ='=.5．41x x dx -=⎰.三、(10分）设函数1sin ,0()e ,0x x x f x xx αβ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，根据α和β的不同情况，讨论()f x 在0x =处的连续性.四、(10分）求极限1lim 1)tan 2x x x π→-（.五、(10分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续,a 为常数,且对任意(,)x ∈-∞+∞,有3()d 540xa f t t x =+⎰,求()f x 和a .六、(10分）设函数1,0()1cos ,0x f x x x x ⎧≤⎪=-⎨⎪>⎩，计算定积分20(1)d f x x -⎰.七、(10分）求(0)>c c 的值,使两曲线2y x =与3y cx =所围成图形的面积等于2.3八、(10分）验证：方程42x x =有一个根在0与12之间.九、(10分）试证:当1x >时,有12>3x x-.。

首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答

专业：线年级：封所在院校：密身份证号：姓名：首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答（非数学类，2009）考试形式：闭卷考试时间： 120 分钟满分： 100 分.题号一二三四五六七八总分满分 20 5 15 15 10 10 15 10 100 得分注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.一、填空题（每小题5分，共20分）.（1）计算 dxdy yx x y y x D∫∫−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛++11ln )(=_____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围三角形区域.（2）设 ()f x 是连续函数，满足 220()3()2f x x f x dx =−−∫，则()f x =___________________. （3）曲面2222x z y =+− 平行平面 220x y z +−= 的切平面方程是________________________.（4）设函数 ()y y x =由方程 ()ln 29f y y xee =确定，其中f 具有二阶导数，且 1f ′≠，则22d ydx =____________________.答案：1615 ，21033x −， 2250x y z +−−=，223[1()]()[1()]f y f y x f y ′′′−−−′−.得分评阅人二、（5分）求极限 20lim()ex x nx x x e e e n→+++ ，其中 n 是给定的正整数.解：原式20lim exp{ln()}x x nxx e e e e x n→+++=20(ln()ln )exp{lim}x x nx x e e e e n x →+++−= ………………….….…（2分）其中大括号内的极限是型未定式，由 L Hospital ′法则，有 20(ln()ln )lim x x nx x e e e e n x →+++− 20(2)limx x nx x x nxx e e e ne e e e →+++=+++ (12)1(2e n n e n ++++==于是原式=1()2n e e+ . ……………………………………..…………..…(5分)三、（15分）设函数 ()f x 连续,1()()g x f xt dt =∫，且()limx f x A x→= ,A 为常数，求 ()g x ′并讨论()g x ′ 在0x =处的连续性.解：由题设，知 (0)0f =，(0)0g =. …………….…………...…(2分)令u xt =，得0()()xf u dug x x=∫ (0)x ≠，……………………………………..……（5分）从而 02()()()x xf x f u dug x x−′=∫ (0)x ≠…………………………………….……(8分)由导数定义有20()()(0)limlim22xx x f u du f x Ag x x →→′===∫ ……………………………………….……(11分) 由于 022000()()()()lim ()limlim lim (0)22xxx x x x xf x f u duf u du f x A Ag x A g xx x →→→→−′′==−=−==∫∫，从而知 ()g x ′ 在 0x =处连续. …………………………………………….……….(15分)得分评阅人得分评阅人专业：线年级：封所在院校：密身份证号：姓名：四、（15分）已知平面区域 {(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤ ，L 为D 的正向边界，试证：（1）sin sin sin sin yx y xLLxedy ye dx xe dy ye dx −−−=−∫∫；（2）sin sin 252yx Lxedy ye dx π−−≥∫ . 证法一：由于区域D 为一正方形，可以直接用对坐标曲线积分的计算法计算.(1) 左边0sin sin sin sin 00()yxx x edy edx e e dx ππππππ−−=−=+∫∫∫ ， ...…(4分)右边0sin sin sin sin 0()yxx x edy edx e e dx ππππππ−−=−=+∫∫∫ ，……..…（8分）所以 sin sin sin sin y x y x LLxe dy ye dx xe dy ye dx −−−=−∫∫. ……………………………(10分) (2) 由于 sin sin 22sin xx ee x −+≥+ ， …….…………………….…...(12分)sin sin sin sin 205()2yxx x Lxedy yedx e e dx πππ−−−=+≥∫∫ . ……..…….…(15分)证法二：（1）根据 Green 公式，将曲线积分化为区域D 上的二重积分sin sin sin sin ()y x y x LDxe dy ye dx e e d δ−−−=+∫∫∫ ……………………………...… (4分) sin sin sin sin ()yx y x LDxedy ye dx e e d δ−−−=+∫∫∫ ………………………………(8分)因为关于 y x = 对称，所以sin sin sin sin ()()yx y x DDee d e e d δδ−−+=+∫∫∫∫ ，故sin sin sin sin y x y x LLxe dy ye dx xe dy ye dx −−−=−∫∫ . ………………….…… (10分) (2) 由 22022(2)!nttn t e e t n ∞−=+=≥+∑ sin sin sin sin sin sin 25()()2y x y x x xL D Dxe dy ye dx e e d e e d δδπ−−−−=+=+≥∫∫∫∫∫ . …….……….……(15分)得分评阅人五、（10分）已知 21x xy xe e =+ ，2x x y xe e −=+ ，23x x x y xe e e −=+−是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解：根据二阶线性非齐次微分方程解的结构的有关知识，由题设可知：2x e 与 xe −是相应齐次方程两个线性无关的解，且 xxe 是非齐次的一个特解.因此可以用下述两种解法 ………………………………………………………….…...……(6分)解法一：故此方程式 2()y y y f x ′′′−−= ………………….……..……..……(8分)将xy xe = 代入上式，得()()()2222x x x x x x x x x x f x xe xe xe e xe e xe xe e xe ′′′=−−=+−−−=− ，因此所求方程为22x xy y y e xe ′′′−−=− . ……………………………………… …(10分)解法二：故 212x x xy xe c e c e −=++ ，是所求方程的通解，……………………(8分) 由2122x x x x y e xe c e c e −′=++− ，21224x x x xy e xe c e c e −′′=+++ ，消去 12,c c 得所求方程为 22x xy y y e xe ′′′−−=−. ……………………………………………………....…(10分)六、（10分）设抛物线 22ln y ax bx c =++过原点，当 01x ≤≤时，0y ≥，又已知该抛物线与x 轴及直线 1x =所围图形的面积为 13. 试确定,,,a b c 使此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小.解：因抛物线过原点，故 1c =由题设有 1201()323a b ax bx dx +=+=∫.即 2(1)3b a =− ，………..………….…(2分) 而 122220111()[]523V ax bx dx a ab b ππ=+=++∫ 221114[(1)(1)]5339a a a a π=+−+⋅−. …………………….…………….…(5分)令 2128[(1)]053327dv a a a da π=+−−−=，得 54a =− ，代入 b 的表达式得 32b =. 所以0y ≥， ……………..…………(8分)得分评阅人得分评阅人专业：线年级：封所在院校：密身份证号：姓名：又因 25242284|[]05327135a d v da ππ=−=−+=> 及实际情况，当53,,142a b c =−== 时，体积最小. ………….……….…(10分)七、（15分）已知 ()n u x 满足1()()n x n nu x u x x e −′=+（n 为正整数），且(1)n e u n=，求函数项级数1()n n u x ∞=∑之和.解：先解一阶常系数微分方程，求出()n u x 的表达式，然后再求1()n n u x ∞=∑ 的和.由已知条件可知 1()()n xn n u x u x x e −′−= 是关于 ()n u x 的一个一阶常系数线性微分方程，故其通解为1()()()ndx dx n x x n xu x e x e e dx c e c n−−∫∫=+=+∫ ， ……………..…..(6分)由条件 (1)n e u n =，得0c =，故()n xn x e u x n=，从而 111()n x n xn n n n x e x u x e n n∞∞∞=====∑∑∑. …………….……..……...…(8分) 1()nn x s x n ∞==∑，其收敛域为 [1,1)−，当 (1,1)x ∈−时，有111()1n n s x x x∞−=′==−∑ ，………………………..…………………….….(10分) 故 01()ln(1)1xs x dt x t==−−−∫ . ………………..…………………(12分) 当1x =−时，11()ln 2n n u x e∞−==−∑. …………………………...…(13分)于是，当 11x −≤<时，有1()ln(1)xn n u x ex ∞==−−∑. ……….…..…(15分)得分评阅人八、（10分）求1x →− 时，与20n n x ∞=∑等价的无穷大量.解：2221t n t n x dt x x dt ∞+∞+∞=≤≤+∑∫∫， ………………….…………….….….…(3分)221lnt t xx dt edt −+∞+∞=∫∫………………….…….………….....….(7分)=∼……………………….…...(10分)得分评阅人第二届中国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案及评分标准（非数学类，2010）一（本题共5小题，每小题5分，共25分）、计算下列各题（要求写出重要步骤）. (1) 设2(1)(1)(1)nn 2x a a a =+⋅++ ，其中1<|a |，求.n n x ∞→lim 解将n x 恒等变形221(1)(1)(1)(1)1nn x a a a a a =−+⋅++− 2221(1)(1)(1)1n a a a a=−⋅++− 4421(1)(1)(1)1na a a a =−⋅++− 1211n a a+−=−，由于，可知1<|a |2lim 0nn a →∞=，从而ax n n −=∞→11lim . (2) 求lim x x x e x −→∞⎛⎞+⎜⎟⎝⎠211.解 lim x x x e x −→∞⎛⎞+⎜⎟⎝⎠211=11lim 1xx x e x −→∞⎡⎤⎛⎞+⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦=1exp lim ln 11x x x x →∞⎛⎞⎡⎤⎛⎞+−⎜⎟⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦⎝⎠=1exp lim ln 11x x x x →∞⎛⎞⎡⎤⎛⎞+−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎝⎠=22111exp lim ()12x x x x xx ο→∞⎛⎞⎡⎤⎛⎞−+−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎝⎠=21−e .(3) 设，求0s >0sx n n I e x dx +∞−=∫(1,2,n )= .解因为时，0s >lim 0sx n x e x −→+∞=，所以，100011n sx n sx sx n n n n I x de x e e dx I s s +∞+∞+∞−−−s −⎡⎤=−=−−=⎢⎥⎣⎦∫∫ 由此得到，12011!n n n n n n n n n n I I I I s s s s s−−!+−==⋅===(4) 设函数f ( t )有二阶连续的导数，r =1(,)(g x y f r=，求2222.g g x y ∂∂+∂∂ 解因为,r x r yx r y r∂∂==∂∂，所以 31()g x f x r r ∂′=−∂，2222265121(().g x x y f f x r r r r ∂−′′′=+∂ 利用对称性，2222431111()()g g f f x y r r r r∂∂′′′+=+∂∂(5) 求直线10:0x y l z −=⎧⎨=⎩与直线221:42x y z l 31−−−==−−的距离.解直线的对称式方程为1l 1:110x y zl ==. 记两直线的方向向量分别为，，两直线上的定点分别为和，.1(10)l = a P ==,1,12P 2(4,2,1)l =−−(2,1,3)1(0,0,0)P 2(2,1,3)P 12(1,1,6)l l ×=−−.由向量的性质可知，两直线的距离1212()a l l d l l ⋅×====×二（本题共15分）、设函数在)(x f )(+∞−∞,上具有二阶导数，并且()0,f x ′′>lim ()0x f x α→+∞′=>，lim x ()f x 0β→−∞′=<，且存在一点，使得.0x 0)(0<x f 证明：方程0)(=x f 在恰有两个实根.)(+∞−∞,证1. 由lim ()0x f x α→−∞′=>必有一个充分大的，使得0x a >()0f a ′>.()0f x ′′>知是凹函数，从而()y f x =()()()()()f x f a f a x a x a ′>+−>当x →+∞时，()()()f f a x a ′+∞+−→+∞. 故存在，使得a b > ……………… （6分）()()()()0f b f a f a b a ′>+−>同样，由lim ()0x f x β→−∞′=<，必有0c x <，使得()0f c ′<.()0f x ′′>知是凹函数，从而()y f x =()()()()()f x f c f c x c x c ′>+−<当x →−∞时，()()()f f c x c ′−∞+−→+∞. 故存在d ，使得c < …………………… （10分）()()()()0f d f c f c d c ′>+−>在0[,]x b 和利用零点定理，0[,]d x 10(,)x x b ∃∈，2(,)0x d x ∈使得 ……………………… （12分） 1()2)0==(f x f x 下面证明方程在0)(=x f )(+∞−∞,只有两个实根.用反证法. 假设方程0)(=x f 在)(+∞−∞,]232x ,x 内有三个实根，不妨设为，且. 对在区间[和[]上分别应用洛尔定理，则各至少存在一点（321x ,x ,x 321x x x <<1ξ)(x f 1x ξ<1,x 2x 1x <）和（2ξ322x ξx <<），使得=)(1ξf'(ξη00=)2ξ<)(2ξf'1η<. 再将在区间[上使用洛尔定理，则至少存在一点，使. 此与条件矛盾. 从而方程)(x 0)(=ηf'f"]2ξ′′1,ξ()0f x >)(=x f 在)+∞,(−∞不能多于两个根. ……………………（15分）证2. 先证方程至少有两个实根.0)(=x f 由lim ()0x f x α→+∞′=>，必有一个充分大的，使得0x a >()0f a ′>.因在)(x f )(+∞−∞,上具有二阶导数，故()f x ′及()f x ′′在)(+∞−∞,均连续. 由拉格朗日中值定理，对于a x > 有()[()()()]f x f a f a x a ′−+−=()()()()]f x f a f a x a ′−−−=()()()()f x a f a x a ξ′′−−−=[()()]()f f a x a ξ′′−− =()()()f a x a ηξ′′−−.其中x ηa ,x ξa <<<<. 注意到()0f η′′>（因为()0f x ′′>），则()()()()()f x f a f a x a x a ′>+−>又因故存在，使得()0,f a ′>a b > ()()()()0f b f a f a b a ′>+−> …………………（6分）又已知，由连续函数的中间值定理，至少存在一点使得0)(0<x f )(101b x x x <<0)(1=x f . 即方程在0)(=x f )(0+∞,x 上至少有一个根 ………………（7分）1x 同理可证方程在0)x (=f )(0x ,−∞上至少有一个根2x . ………………（12分）下面证明方程在0)(=x f )(+∞−∞,只有两个实根.（以下同证1）.……（15分）三（本题共15分）、设函数()y f x =由参数方程22()x t t y t ψ⎧=+⎨=⎩(t >−1)所确定. 且2234(1)d y dx t =+，其中()t ψ具有二阶导数，曲线)(t y ψ=与21t ∫2u y e d −=+32u e在处相切. 求函数1=t (t )ψ.解因为()22dy t dx t ψ′=+，()22231(22)()2()(1)()()224(1)22d y t t t t t t dx t t t ψψψψ′′′′′′+−+−=⋅=+++， ………………（3分）由题设2234(1)d y dx t =+，故3(1)()()34(1)4(1)t t t t t ψψ′′′+−=++，从而，即 2(1)()()3(1)t t t t ψψ′′′+−=+1()()3(1).1t t tt ψψ′′′−=++ 设()u t ψ′=，则有13(1)1u u t′−=++t ， 11111113(1)(1)3(1)(1)(1)(3).dt dt t t u e t e dt C t t t dt C t t C −−++⎡⎤∫∫⎡⎤=++=++++=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦∫∫1+ …………（9分）由曲线)(t y ψ=与22132t u y edu e−=+∫在1=t 处相切知3(1)2e ψ=，2(1)eψ′=. ………………（11分）所以12(1)t ue ψ=′==，知311−=eC . ∫∫++++=+++=++=21213112123))3(3()3)(1()(C t C t C t dt C t C t dt C t t t ψ，由e23)1(=ψ，知，于是22=C 3211()(3)2(1)2t t t t t e e ψ=++−+>−.…（15分）四（本题共15分）、设10,nn n k a S =>=k a ∑，证明：（1）当1α>时，级数1nn na S α+∞=∑收敛；（2）当1α≤，且（n ）时，级数n S →∞→∞1nn na S α+∞=∑发散. 证明令11(),[,]n n f x x x S S α−−=∈. 将()f x 在区间上用拉格朗日中值定理，1[,n n S S −])存在1(,n n S S ξ−∈11()()()()n n n n f S f S f S S ξ−−′−=−即 ………………（5分） 111(1)n n S S ααααξ−−−−−=−n a （1）当1α>时，11111(1)(1)nnn na a S S S n αααααξ−−−−=−≥−α. 显然11111n n S S αα−−−⎧⎫−⎨⎬⎩⎭的前n 项和有界，从而收敛，所以级数1nn na S α+∞=∑收敛. ……………（8分）（2）当1α=时，因为，单调递增，所以0n a >n S 1111n pn pn p nk nk k n k n kn p n pn S S a S a S S S S +++=+=+p+++−≥==−∑∑因为对任意n ，当n S →+∞p ∈12n n p S S +<，从而112n pk k n ka S +=+≥∑. 所以级数1nnn a S α+∞=∑发散. ………………（12分）当1α<时，n n n a a S S α≥n. 由1n n n a S +∞=∑发散及比较判别法，1n n na S α+∞=∑发散.………（15分）五（本题共15分）、设l 是过原点，方向为(,（其中）的直线，均匀椭球,)αβγ2221αβγ++=2222221x y z a b c ++≤（其中0 < c < b < a ，密度为1）绕l 旋转.(1) 求其转动惯量；(2) 求其转动惯量关于方向(,的最大值和最小值. ,)αβγ解 (1) 设旋转轴l 的方向向量为，椭球内任意一点P(x,y,z )的径向量为，则点P 到旋转轴l 的距离的平方为(,,)αβγ=l r ()222222222(1)(1)(1)222d x y z xy yz xz αβγαββγα=−⋅=−+−+−−−−r r l γ 由积分区域的对称性可知(222)0xy yz xz dxdydz αββγαγΩ++=∫∫∫，其中222222(,,)1x y z x y z a b c ⎧⎫⎪⎪⎪⎪Ω=++≤⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭………………（2分）而22222223222214115aay z x b c a a ax a bc x dxdydz x dx dydz x bc dx a ππ+≤−Ω−−⎛⎞⎟⎜⎟==⋅−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠∫∫∫∫∫∫∫ （或2132222220004sin cos sin 15a bc x dxdydz d d a r abcr dr πππθϕϕθϕΩ=⋅=∫∫∫∫∫∫） 32415ab c y dxdydz πΩ=∫∫∫，32415abc z dxdydz πΩ=∫∫∫……………（5分）由转到惯量的定义()222224(1)(1)(1)15l abc J d dxdydz a b c παβγΩ==−+−+−∫∫∫22c ……………（6分）(2) 考虑目标函数在约束下的条件极值. 222222(,,)(1)(1)(1)V a b αβγαβγ=−+−+−2221αβγ++=设拉格朗日函数为222222222(,,,)(1)(1)(1)(1)L a b c αβγλαβγλαβγ=−+−+−+++−…………………（8分）令，，，22()0L a ααλ=−=22()0L b ββλ=−=22()0L c γγλ=−=22210L λαβγ=++−=解得极值点为，， .……（12分） 21(1,0,0,)Q a ±22(0,1,0,)Q b ±23(0,0,1,)Q ±c 比较可知，绕z 轴（短轴）的转动惯量最大，为()22max 415abc J a π=+b ；绕x 轴（长轴）的转动惯量最小，为(22min 415abc J b π=)c +. ………（15分）六（本题共15分）、设函数()x ϕ具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线积分422(C)xydx x dyx yϕ++∫v1的值为常数. (1) 设为正向闭曲线. 证明: L 22(2)x y −+=422()0Lxydx x dyx y ϕ+=+∫v ；(2) 求函数()x ϕ；(3) 设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422(C)xydx x dyx y ϕ++∫v.解 (1) 设422()Lxydx x dyI x yϕ+=+∫v，闭曲线L 由,1,i L i 2=组成. 设0L 为不经过原点的光滑曲线，使得01L L −∪（其中1L −为1L 的反向曲线）和02L L ∪分别组成围绕原点的分段光滑闭曲线,C i 1,2i =. 由曲线积分的性质和题设条件12214242422()2()2(LL L L L L L)xydx x dy xydx x dy xydx x dyx y x y x y ϕϕ−++=+=+−−++∫∫∫∫∫∫∫v ϕ++12422()0C C xydx x dyI I x y ϕ+=+=−=+∫∫v v……………（5分） (2) 设4242((,),(,)2)xy x P x y Q x y x y x ϕ==++y .令Q P x y ∂∂=∂∂，即 4235422422()()4()22()(2)x x y x x x xy x y x y ϕϕ′+−−=++，解得2()x x ϕ=− ……………………（10分）(3) 设D 为正向闭曲线所围区域，由(1)42:a C x y +=1242422()2aCCxydx x dy xydx x dyx y x y ϕ+−=++∫∫v v…………………（12分）利用Green 公式和对称性，2422()24aaC C Dxydx x dyxydx x dy x dxdy x y （ϕ+=−=−=+∫∫∫∫v v )0…………………（15分）第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案及评分标准（非数学类，2011）一、（本题共4小题，每题6分，共24分）计算题1. 220(1)(1ln(1))lim .xx x e x x →+--+解：因为 22(1)(1ln(1))xx e x x+--+=2ln(1)2(1ln(1)),x xe e x x+--+220ln(1)lim ,x e x e x →+= ………………………………………………3分 22ln(1)ln(1)222001lim lim x x xxx x e e e e x x ++-→→--==202ln(1)2lim x x x e x→+- =22220011ln(1)12lim 2lim ,2x x x x x e e e x x→→-+-+==- ………………5分所以220(1)(1ln(1))lim xx x e x x→+--+=0. ………………………………6分 2. 设2cos cos cos ,222n n a θθθ=⋅⋅⋅ 求lim .n n a →∞解：若0,θ=则lim 1.n n a →∞= ……………………1分若0θ≠，则当n 充分大，使得2||nk >时，2cos cos cos 222n n a θθθ=⋅⋅⋅ =21cos cos cos sin 2222sin 2n n nθθθθθ⋅⋅⋅⋅⋅=21111cos cos cos sin 22222sin 2n n n θθθθθ--⋅⋅⋅⋅⋅ . ………………………4分=222211cos cos cos sin 22222sin 2n n nθθθθθ--⋅⋅⋅⋅⋅ =sin 2sin 2n n θθ这时, lim n n a →∞=lim n →∞sin sin 2sin 2nnθθθθ=. ………………………6分3. 求sgn(1)Dxy dxdy -⎰⎰，其中{(,)|02,02}D x y x y =≤≤≤≤解：设 11{(,)|0,02}2D x y x y =≤≤≤≤ 211{(,)|2,0}2D x y x y x =≤≤≤≤311{(,)|2,2}2D x y x y x =≤≤≤≤. ……………………………2分12212112ln 2D D dxdxdy x ⋃=+=+⎰⎰⎰，332ln 2D dxdy =-⎰⎰. ………………………4分 323sgn(1)24ln 2DD D D xy dxdy dxdy dxdy ⋃-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰. ………………………6分4. 求幂级数221212n nn n x ∞-=-∑的和函数，并求级数211212n n n ∞-=-∑的和. 解：令22121()2n nn n S x x ∞-=-=∑，则其的定义区间为(.(x ∀∈， 12122221110021()22222n xxn n n n n n n n x x x xS t dt t dt x --∞∞∞-===⎛⎫-====⎪-⎝⎭∑∑∑⎰⎰. …………………2分于是，22222()2(2)x x S x x x '+⎛⎫== ⎪--⎝⎭，(x ∈. (4)分 222111212110229n n n n n n n S -∞∞-==--===∑∑. ………………………………6分二、（本题2两问，每问8分，共16分）设0{}n n a ∞=为数列，,a λ为有限数，求证： 1. 如果lim n n a a →∞=，则12limnn a a a a n→∞+++= ;2. 如果存在正整数p ，使得lim()n p n n a a λ+→∞-=，则 limn n a n pλ→∞=.证明：1. 由lim n n a a →∞=，0M ∃>使得||n a M ≤，且10,N ε∀>∃∈ ，当n > N 1 时，||2n a a ε-<. ……………………………………4分因为21N N ∃>，当n > N 2 时，1(||)2N M a n ε+<.于是，111(||)()22n a a N M a n N a n n n εεε+++--≤+< ,所以， 12limnn a a a a n→∞+++= . …………………………………………8分2.对于0,1,,1i p =- ，令()(1)i n n p i np i A a a +++=-，易知(){}i n A 为{}n p n a a +-的子列.由lim()n p n n a a λ+→∞-=，知()lim i nn A λ→∞=，从而()()()12lim i i i nn A A A nλ→∞+++= .而()()()12(1)i i i n n p i p i A A A a a ++++++=- .所以，(1)limn p i p in a a nλ+++→∞-=.由lim0p i n a n+→∞=.知(1)limn p in a nλ++→∞=. ………………………………………12分从而(1)(1)limlim (1)(1)n p in p i n n a a nn p i n p i n pλ++++→∞→∞=⋅=++++ ,,,m n p i ∀∈∃∈ ，(01)i p ≤≤-，使得m np i =+，且当m →∞时，n →∞.所以，lim m m a m pλ→∞=. …………………………………………………………16分三、（15分）设函数()f x 在闭区间-[1,1]上具有连续的三阶导数，且10f -=()，11f =()，00f '=().求证：在开区间()-1,1内至少存在一点0x ，使得03f x '''=() 证. 由马克劳林公式，得 311(0)23f x f f x f x η'''''=++2()(0)()!!，η介于0与x 之间，[]1,1x ∈-…3分在上式中分别取1x =和1x =-, 得111111(0),0123f f f f ηη'''''==++<<()(0)()!!. ………………………5分 221101(0)(0),1023f f f f ηη'''''=-=+--<<()()!!. ………………………7分两式相减，得 12()6f f ηη''''''+=(). ………………………10分由于()f x ''在闭区间[1,1]-上连续，因此()f x '''在闭区间[21,ηη]上有最大值M 最小值m ，从而121()())2m f f M ηη''''''≤+≤( …………………………………13分再由连续函数的介值定理，至少存在一点0x ,ηη∈⊂-21[](1,1)，使得0121()32f x f f ηη'''''''''=+=()(()). ………………………15分四、（15分）在平面上, 有一条从点)0,(a 向右的射线,线密度为ρ. 在点),0(h 处（其中h > 0）有一质量为m 的质点. 求射线对该质点的引力.解：在x 轴的x 处取一小段dx , 其质量是dx ρ，到质点的距离为22x h +, 这一小段与质点的引力是22Gm dxdF h xρ=+（其中G 为引力常数）. …………………5分这个引力在水平方向的分量为2232()x Gm xdxdF h x ρ=+. 从而 222/1222/32222/322)()()(2)(a h Gm x h Gm x h x d Gm x h xdx Gm F aa ax +=+-=+=+=⎰⎰+∞∞+-+∞ρρρρ……10分而dF 在竖直方向的分量为2232()y Gm hdxdF h x ρ=+, 故 ⎪⎭⎫⎝⎛-===+=⎰⎰⎰+∞h a h Gm tdt h Gm t h dt h Gm x h hdxGm F hahaay arctan sin 1cos sec sec )(2/arctan2/arctan33222/322ρρρρππ 所求引力向量为(,)x y F F =F . …………………………15分五、（15分）设z = z (x,y ) 是由方程11(,)0F z z x y+-=确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导数.求证：220z z xy x y ∂∂+=∂∂ 和 2223322()0z z z x xy x y y x x y y ∂∂∂+++=∂∂∂∂ 解：对方程两边求导，1221()0z z F F x x x ∂∂-+=∂∂，1221()0z z F F y y y∂∂++=∂∂. ……5分由此解得，22121211,()()z z x y x F F y F F ∂∂-==∂∂++ 所以，220z z xy x y∂∂+=∂∂ …………………………10分将上式再求导，222222z z z xy x y x x x ∂∂∂+=-∂∂∂∂，222222z z z x y y x y y y ∂∂∂+=-∂∂∂∂ 相加得到，2223322()0z z z x xy x y y x x y y∂∂∂+++=∂∂∂∂ …………………………15分六、（15分）设函数)(x f 连续，c b a ,,为常数，∑是单位球面 1222=++z y x . 记第一型曲面积分⎰⎰∑++=dS cz by ax f I )(. 求证：⎰-++=11222)(2du u c b a f I π解：由∑的面积为π4可见：当 c b a ,,都为零时，等式成立. …………………2分当它们不全为零时, 可知：原点到平面 0=+++d cz by ax 的距离是222||cb a d ++. …………………………5分设平面222:cb a cz by ax u P u ++++=，其中u 固定. 则 ||u 是原点到平面u P 的距离，从而11≤≤-u . …………………………8分两平面 u P 和du u P +截单位球 ∑ 的截下的部分上, 被积函数取值为()u c b af222++. …………………………10分这部分摊开可以看成一个细长条. 这个细长条的长是212u -π，宽是21udu -，它的面积是du π2，故我们得证. …………………………15分第四届全国大学生数学竞赛预赛试题（非数学类）参考答案及评分标准一、（本题共5小题，每小题各6分，共30分）解答下列各题（要求写出重要步骤）.(1) 求极限21lim(!)n n n →∞；(2) 求通过直线232:55430x y z L x y z 0+−+=⎧⎨+−+=⎩的两个相互垂直的平面1π和2π，使其中一个平面过点；(4,3,1)−(3) 已知函数，且(,)ax byz u x y e+=20,ux y∂=∂∂ 确定常数a 和，使函数满足方程 b (,)z z x y =20z z zz x y x y∂∂∂−−+=∂∂∂∂； (4) 设函数连续可微, , 且()u u x =(2)1u =3(2)()Lx y udx x u udy +++∫在右半平面上与路径无关，求； ()u x(5) 求极限 1limx xx +.解（1）因为 2211ln(!)(!)n nn n e= ……………………………………（1分）而211ln1ln 2ln ln(!)12n n n n ⎛⎞≤+++⎜n ⎝⎠"⎟，且 ln lim 0n nn →∞= ………………………（3分）所以 1ln1ln 2ln lim012n n n n →∞⎛⎞+++=⎜⎟⎝⎠"，即 21lim ln(!)0n n n →∞=，故 21lim(!)n n n →∞=1 ……………………………………（2分）（2）过直线L 的平面束为(232)(5543)x y z x y z 0λμ+−+++−+=即 (25)(5)(34)(23)x y z 0λμλμλμλμ+++−+++= ，…………………………（2分）若平面1π过点(4，代入得,3,1)−0λμ+=，即μλ=−，从而1π的方程为， ……………………………………（2分） 3410x y z +−+=若平面束中的平面2π与1π垂直，则3(25)4(5)1(34)0λμλμλμ⋅++⋅++⋅+=解得3λμ=−，从而平面2π的方程为253x y z 0−−+= ，………………………………（2分）（3）(),y ax by z u e au x x x +∂∂⎡⎤=++⎢⎥∂∂⎣⎦(),ax by zu e bu x y y y +⎡⎤∂∂=++ ………………（2分） ⎢⎥∂∂⎣⎦2(,).ax by z u ue b a abu x y x y x y +⎡⎤∂∂∂=++⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦ ……………………………………（2分） 2z z z z x y x y ∂∂∂−−+=∂∂∂∂(1)(1)(1)(,)ax by u ue b a ab a b u x y x y +,⎡⎤∂∂−+−+−−+⎢⎥∂∂⎣⎦若使20,z z zz x y x y∂∂∂−−+=∂∂∂∂ 只有 (1)(1)(1)(,u ub a ab a b u x y x y∂∂−+−+−−+∂∂)=0，即 1a b ==. ………………（2分）（4）由()()u y x y u x u x )2(][3+∂∂=+∂∂得()u u u x =+'43, 即241u x u du dx =−…… .（2分）方程通解为 ()()()Cu u C udu u C du eu ex uu+=+=+=∫∫−2ln 2ln 244 . …………………（3分）由得1)2(=u 0=C , 故 3/12⎟⎠⎞⎜⎝⎛=x u . ……………………………………（1分）（5）因为当x >1时，1x x+≤ ………………………………（3分）≤=0()x →→∞， …………………（2分）所以 1x xx +=0。

全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)

一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),n n x a a a =+++L 其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

大学生高等数学竞赛试题汇总及答案

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

）2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，⎰-=12d 1u uu （*）令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f ,则=)(x f ____________.解:令⎰=2d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

首届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案--数学类

'
k k k k 对于任意自然数 n 和 k ≤ n ，我们总有 f = f (0) + α 。 n n n n
'

2

2

2

2
取 N > δ ，对于上述给定的 ε > 0 ，便有
−1
α
k k 于是， ∑ f − f (0)∑ n n
n n
'
k < ε , 只要n > N , k ≤ n 2 n
2 3 . 9
（2）若关于 x 的方程 kx + x1
2
= 1(k > 0)
在区间 (0, +∞) 中有惟一实数解，则常数 k =
x a
（3）设函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续.由积分中值公式有 ∫
−a 若导数 f ′ (a) 存在且非零，则 lim ξ 的值等于 x−a
+
f (t )dt = ( x − a ) f (ξ ) (a ≤ ξ ≤ x < b) .
所以， L 与 L ' 是异面直线当且仅当 a ≠ 1 且 b ≠ 0 。（2）假设 P( x, y, z) 是 π 上任一点，于是 P 必定是 L ' 上一点 P '( x ', y ', z ') 绕 L 旋转所生
r 成的。由于 uuuu P ' P 与 L 垂直，所以，
( x − x ') + ( y − y ') + ( z − z ') = 0
( x0 , y0 ) 0 0
xx
0
0

历年全国大学生数学竞赛初赛题目及答案解析全(2009-2019年非数学专业)

程，有 2x 2 2y 1 z 1 0 ，展开化简后有 2x 2y z 5 0.
(4) 设 y y(x) 由方程 xe f (y) ey ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f 1 ，则
d2 y
=___________.
dx2
【参考答案】对等式两端分别关于
1 ab
1 b2]
0
523
1 π[
a2
1
a(1
a)
1
4
(1
a)2 ].
53
39
dv 2 1 2 8
5
3
令 π[ a a (1 a)] 0 ，得 a ，代入 b 的表达式得 b .
da 5 3 3 27
4
2
所以y 0 。
d 2v
22 8 4
5
3
又因
da 2
|
5 a
π[ 5
3
] 27
证：
3
(1) xesiny d y yesinx d x xesiny d y yesinx d x;
L
L
(2) xesin y d y yesin x d x 5 π2 .
2
L
【参考证法一】由于区域 D 为一正方形，可以直接用对坐标曲线积分的计算法计算.
π
0
π
左边 πesin y d y πesin x d x π (esin x esin x ) d x ，
，
，
u,v
v2
1x y
u
所以由二重积分换元法的积分变换公式，原积分也就等于
D
(x
y)ln1 1x y
y x
dx
dy
2

第一届全国大学生数学竞赛(数学类)决赛试题与答案

分)
专业：年级：线来自封所在院校：得分评阅人
∫ ∑ 五、（10 分）设 an =
π
2t
sin nt
3
dt ，
0 sin t
∞
证明
1发
a n=1 n
散.
∫ ∫ ∫ 解：
π
2t
sin nt
3
dt
=
0 sin t
π
nt
sin nt
3
dt
+
0 sin t
π
2 π
t
n
sin nt sin t
3
dt
=
I1
+ I2
fg k (η) = gfg k−1(η) + fg k−1(η) = g( fg k−1)(η) + fg k−1(η)
用归纳法不难证明， fg k (η) 一定可以表示成η, g(η), g 2 (η),", g k (η) 的线性组合，且
表示式中 g k (η) 前的系数为 λ0 .
………………………………….（8 分)
M = A ，只需证明 A 与 M 的各个列向量对应相等即可.若以 ei 记第 i 个基本单位列向
量.于是，只需证明：对每个 i ， Mei = Aei (= αi ) . ……………………… （2 分)
若记 β = (−an , −an−1,", −a1)T ，则 F = (e2 , e3,", en , β ) .注意到，
公共特征向量. 得分
………………………………. （15 分)
四、（10 分）设{ fn (x)} 是定义在[a,b] 上的无穷次可微的函数序
评阅人

2009年第一届大学生数学竞赛(非数学类)预赛试题解答

评阅人
L 为 D 的正向边界，试证：
sin y − sin x dx = （1） ∫ xe dy − ye L
∫ xe
L
− sin y
dy − yesin x dx ；
专业：
sin y − sin x dx ≥ （2） ∫ xe dy − ye L
5 2 π . 2
π
证法一：由于区域 D 为一正方形，可以直接用对坐标曲线积分的计算法计算.
x →0
+ enx
)}
e(ln(e x + e 2 x + x
+ enx ) − ln n)
}
………………….….…（2 分）
其中大括号内的极限是
0 型未定式，由 L′Hospital 法则，有 0
lim
x →0
e(ln(e x + e2 x + x
+ n) =(
+ enx ) − ln n)
n +1 )e 2
（4）设函数 y = y ( x) 由方程 xe
f ( y)
= e y ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，
d2y 且 f ′ ≠ 1 ，则 =____________________. dx 2
16 10 [1 − f ′( y )]2 − f ′′( y ) . ， 3x 2 − ， 2 x + 2 y − z − 5 = 0 ， − 15 3 x 2 [1 − f ′( y )]3
(1) 左边 =
∫
π esin y dy − ∫ π e− sin x dx = π ∫ (esin x + e− sin x )dx ， ...…(4 分) 0 0 π

第一届全国大学生竞赛决赛试卷详细答案(数学专业)

总结一下这些题目，是不是很简单，也是不是都做过都看过呢，第一题吉米上和一些数分基本都有，就是把它换成一个重积分就是了，当然还有一种方法就是用含参积分做，读者不妨试一试，第二题不用说了，在高中模拟卷上经常见的到的题目，第三题很多书上都有包括周民强的数分演练上有几个在一起，其次在数分最新方法里有个一般结论，大家去看看。第4题是个基础题，在解几书籍后面习题都会有，当然2007年天津市也竞赛过。所以数学类的填空题是不是很简单
k
2
)=
n k k k k n +1 f（ ' 0） ) = f ' ( 0 ) + 0 ( ), 因此 f ( 2 ) = f ' ( 0) + o (1) → . ∑ 2 2 2 n n n n 2n 2 k =1 这个也是老题，大家都看过，在1977年莫斯科大学竞赛考过， 9几年江苏非理科
f(
2 k2 2 3 ) = 33 = 1时只有唯一解，所以k = .记得这个是一个高考模拟试题。 k 4 9
(3) : 设函数f（x )在区间【a , b]上连续，由积分中值公式得 ∫ f (t ) dt = ( x − a) f (ξ )
0
x
ξ−a 的值等于____ x −a ξ−a ξ −a f (ξ ) − f ( a) 1 f (ξ ) − f ( a ) 解： lim + = lim + = lim + x→a x − a x →a f (ξ ) − f ( a) x−a f ' + ( a) x → a x−a
x y z−b = = . 1 a 1 （1）问：参数a, b满足什么条件时，L与L '是异面直线。
六（13分）已知俩直线的方程L : x = y = z , L' : （2）当L与L ' 不重合时，求L ' 绕L旋转所生成的旋转面π的方程并指出曲面π的类型。

第一届大学生数学竞赛(数学类)考题及答案

考试形式：闭卷考试时间： 120 分钟满分： 100 分.一、（15分）求经过三平行直线1:L x y z ==，2:11L x y z -==+，3:11L x y z =+=-的圆柱面的方程. 二、（20分）设n n C ⨯是n n ⨯复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C 上的线性空间，121000100010001n n n a a F a a ---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭.（1）假设111212122212n n n n nn a a a a a a A aa a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，若AF FA =，证明：121112111n n n n A a F a F a F a E ---=++++；（2）求n n C ⨯的子空间{}()|n n C F X C FX XF ⨯=∈=的维数.三、（15分）假设V 是复数域C 上n 维线性空间（0n >），,f g 是V 上的线性变换.如果fg gf f -=，证明：f 的特征值都是0，且,f g 有公共特征向量.四、（10分）设{}()n f x 是定义在[],a b 上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在[],a b 上满足'()n f x M ≤.（1）证明{}()n f x 在[],a b 上一致收敛；（2）设()lim ()n n f x f x →∞=，问()f x 是否一定在[],a b 上处处可导,为什么？五、（10分）设320sin sin n nta t dt t π=⎰，证明11n na ∞=∑发散. 六、（15分） (,)f x y 是{}22(,)|1x y x y +≤上二次连续可微函数，满足222222f fx y x y∂∂+=∂∂，计算积分221x y I dxdy +≤⎛⎫=⎰⎰. 七、（15分））假设函数 ()f x 在 [0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，过点 (0,(0))A f ，与点 (1,(1))B f 的直线与曲线 ()y f x =相交于点 (,())C c f c ，其中 01c <<. 证明：在 (0,1)内至少存在一点 ξ，使()0f ξ''=。

大一数学竞赛真题答案解析

大一数学竞赛真题答案解析数学竞赛是一种旨在培养学生数学思维能力和解决问题能力的竞赛活动。

通过参与数学竞赛，学生不仅可以提高自己的数学水平，还能锻炼自己的思维能力和解决问题的能力。

在参加大一数学竞赛过程中，解题是一个重要的环节。

因此，本文将针对大一数学竞赛中的一道题目进行解答和分析。

【题目】设函数 f(x) = sin(2x)，给定 f(a) = -2/√5，求实数 a 及其取值范围。

解答和分析：首先，我们将等式 f(a) = -2/√5 代入函数 f(x) = sin(2x) 中，得到 sin(2a) = -2/√5。

根据正弦函数的性质，-1 ≤ sinθ ≤ 1，可以知道-1 ≤ -2/√5 ≤ 1。

我们通过改变θ，使得sinθ 等于-2/√5。

由于正弦函数是周期函数，sinθ 在一个周期内有无限个解。

因此，我们需要找出满足上述条件的一个解。

将 -2/√5 化简为 -2√5/5，可以得到 -2√5/5 = sinθ。

而sinθ 可以写成2sinθ·cosθ 的形式，根据等式可以得到2sinθ·cosθ = -2√5/5。

由于 -1 ≤ sinθ ≤ 1，则必然存在一个角度θ，使得cosθ = -√5/5。

根据三角函数的定义，当cosθ = -√5/5 时，θ 位于第二象限或第三象限。

在第二象限，sinθ = √(1-cos^2θ) = √(1-(√5/5)^2) = √(1-5/5) = √0 = 0。

因此，sinθ 的解为 0。

根据 sin(2a) = -2/√5，我们可以得到2a = πk，k 是整数。

所以，a = πk/2。

综上所述，实数 a 的取值范围为a ∈ {π/2, π, 3π/2,2π, …}，其中 k 为整数。

通过这道题目的解答和分析，我们可以看出数学竞赛中的解题过程是一项需要动脑筋的任务。

在解题过程中，我们需要灵活运用数学知识，合理推理，找到问题的关键点，并通过数学方法解决问题。

历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类.docx

）2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=10210d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u uv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*）令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 151651322153=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解:令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答

山东省大学生数学竞赛（专科）试卷及标准答案（非数学类，2010）一、填空（每小题5分，共20分）.计算)cos 1(cos 1lim 0x x xx --+→= .(2)设()f x 在2x =连续，且2()3lim2x f x x →--存在，则(2)f= . (3)若tx x xt t f 2)11(lim )(+=∞→，则=')(t f .(4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '⎰= .（1）21. (2) 3 . (3)t e t 2)12(+ . (4)C x x +-2ln ln2.二、（5分）计算dxdy x y D⎰⎰-2，其中1010≤≤≤≤y x D ，：.解：dxdy x y D ⎰⎰-2=dxdy y xx y D )(21:2-⎰⎰<+⎰⎰≥-22:2)(x y D dxdy xy -------- 2分=dy y x dx x )(221-⎰⎰+dy x y dx x)(12102⎰⎰- -------------4分11分. 三、（10分）设)](sin[2x f y =，其中f 具有二阶导数，求22dxyd .解：)],(cos[)(222x f x f x dxdy'=---------------3分线封密写在其它纸上一律无效..)](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(222222222222x f x f x x f x f x x f x f dxyd '-''+'=-----7分 =)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分.四、（15分）已知3123ln 0=-⋅⎰dx e e axx ，求a 的值. )23(23ln 0x ax e d e --⎰---------3分令t e x =-23，所以dt t dx e e aaxx⎰⎰--=-⋅231ln 02123---------6分=a t 231233221-⋅-------------7分=]1)23([313--⋅-a ，-----------9分由3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，故]1)23([313--⋅-a =31，-----------12分即3)23(a -=0-----------13分亦即023=-a -------------14分所以3=a -------------15分.五、（10分）求微分方程0=-+'x e y y x 满足条件e yx ==1的特解.解：原方程可化为xe y x y x=+'1-----------2分这是一阶线性非齐次方程，代入公式得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⋅⎰=⎰-C dx e x e e y dxx xdx x 11----------4分=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎰-C dx e x e e x x xln ln ----------5分 =[]⎰+C dx e xx 1-----------6分校年级：专业：线封=)(1C e xx +.---------------7分所以原方程的通解是)(1C e xy x+=.----------8分再由条件e yx ==1，有C e e +=，即0=C ，-----------9分因此，所求的特解是xe y x=.----------10分.六（10分）、若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导数，且123()()()f x f x f x ==，其中123a x x x b <<<<，证明：在13(,)x x 内至少有一点ξ，使()0f ξ'=。