山东省大学生数学竞赛(专科)试题及答案

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数学竞赛试题及答案

数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 如果一个数除以3的余数是2，那么这个数加1后除以3的余数是多少？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、6cm和5cm，其体积是多少立方厘米？A. 240B. 180C. 120D. 100答案：A4. 一个数的75%是150，那么这个数是多少？A. 200B. 300D. 500答案：B5. 一个班级有21个男生和一些女生，班级总人数是42人，那么这个班级有多少女生？A. 21B. 20C. 19D. 18答案：B6. 下列哪个分数是最接近1的？A. 1/2B. 3/4C. 4/5D. 9/10答案：D7. 一个数的1/3与它的1/4的和等于这个数的1/2，那么这个数是多少？A. 12B. 24C. 36D. 48答案：B8. 一个正方形的面积是64平方厘米，它的周长是多少厘米？A. 32B. 48C. 64答案：B9. 一个数的3倍加上12等于这个数的7倍，求这个数是多少？A. 4B. 6C. 8D. 10答案：C10. 下列哪个数是质数？A. 15B. 29C. 35D. 50答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个长方形的长是15cm，宽是长的1/3，那么这个长方形的宽是_______cm。

答案：5cm12. 一本书的价格是35元，如果打8折，那么现价是______元。

答案：28元13. 一个数的1/2与它的1/4的差等于3，那么这个数是______。

答案：1214. 一个数的倒数是1/7，那么这个数是______。

答案：715. 一个数的1/5加上它的1/3，和是这个数的______。

答案：8/15三、解答题（每题10分，共40分）16. 一块地的面积是300平方米，如果长是30米，那么这块地的宽是多少米？答案：这块地的宽是300平方米除以30米，即10米。

数学竞赛创新杯试题及答案

数学竞赛创新杯试题及答案试题一：代数问题题目：若x, y, z是正整数，且满足以下条件：1. $ x + y + z = 30 $2. $ xy + xz + yz = 50 $3. $ xyz = 24 $求x, y, z的值。

答案：首先，我们可以将第三个条件写为 $ x = \frac{24}{yz} $。

将这个表达式代入第二个条件中，我们得到：\[ yz + z\left(\frac{24}{yz}\right) +y\left(\frac{24}{yz}\right) = 50 \]化简后，我们得到：\[ yz + 24/z + 24/y = 50 \]\[ yz - 50 + 24(1/y + 1/z) = 0 \]由于 $ x, y, z $ 是正整数，我们可以通过尝试不同的组合来找到满足条件的 $ y $ 和 $ z $。

经过尝试，我们发现当 $ y = 3 $ 和 $ z = 4 $ 时，满足条件：\[ 3 \times 4 - 50 + 24\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) = 12 - 50 + 28 = 0 \]因此，$ x = \frac{24}{3 \times 4} = 2 $。

所以，$ x = 2, y= 3, z = 4 $。

试题二：几何问题题目：在一个直角三角形ABC中，∠C是直角，AB是斜边，AC = 5，BC = 12。

求斜边AB的长度。

答案：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

因此，我们有：\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]\[ AB^2 = 5^2 + 12^2 \]\[ AB^2 = 25 + 144 \]\[ AB^2 = 169 \]\[ AB = 13 \]所以，斜边AB的长度是13。

试题三：组合问题题目：有5个不同的球和3个不同的盒子，将这些球放入盒子中，每个盒子至少有一个球。

2018年山东省大学生数学竞赛专科组竞赛试题

12018年山东省大学生（专科）数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共30分）1、已知2(),[()]1x f x e f x x ϕ==-，且()0x ϕ≥，则()x ϕ= . 2、)lim x x x →-∞+= . 3、已知()01f x '=-，则()()000lim 2x x f x x x f x →=--- . 4、已知方程()2sin 0xy y π-=，则01=x y y ==' . 5、计算2ln 1d x x x-=⎰ . 6、已知函数1d (2()0)xt x F x ⎛⎫ =-> ⎝⎰，则其单调递减区间为 . 二、综合题（本题共6小题，共70分）1、(10分) 设函数210cos ()0x x f x x x x ⎧⎪⎪>⎪=⎨⎪≤⎪⎪⎩，讨论()f x 在0x =处连续性与可导性. 2、(12分) 已知0()d (),()xx f t t xf ux f x e ==⎰，求0lim .x u → . 3、(13分) 设若函数()f x 在(),a b 内具有二阶导数，且()()()123f x f x f x ==，其中123a x x x b <<<<. 证明：在()13,x x 内至少有一点ξ，使()0f ξ''=. 4、(13分) 已知二次方程222102420x ax x a a -++--=有实根，试问a 为何值时，它是方程两根之积的极值点，并求极值.5、(10分) 求极限2211lim sin 2sin sin .n n n n n n n →∞⎫⎛⎪ +++ ⎪ ⎪⎭⎝ 6、(12分) 求曲线221x y +=和232y x =所围的图形区域中较小的一块分别绕x 轴、y 轴旋转一周所得旋转体的体积.V。

大学生数学知识竞赛试题及答案

趣味数学知识竞赛复习题一、填空题1、（苏步青）是国际公认的几何学权威，我国微分几何派的创始人。

2、（华罗庚）是一个传奇式的人物,是一个自学成才的数学家。

3、编有《三角学》，被称为“李蕃三角"且自称为“三书子"的是（李锐夫）。

4、世界上攻克“哥德巴赫猜想”的第一个人是（陈景润）.5、( 姜立夫）是现代数学在中国最早而又最富成效的播种人”，这是《中国大百科全书》和《中国现代数学家传》对他的共同评价。

6。

设有n个实数,满足|xi｜〈1(I=1,2，3，…，n), ｜x1｜+|x2|+…+｜xn｜=19+｜x1+x2+…+xn｜，则n的最小值207。

三角形的一个顶点引出的角平分线，高线及中线恰将这个顶点的角四等分,则这个顶角的度数为___90°___8. 某旅馆有2003个空房间，房间钥匙互不相同，来了2010们旅客,要分发钥匙，使得其中任何2003个人都能住进这2003个房间，而且每人一间（假定每间分出的钥匙数及每人分到的钥匙数都不限），最少得发出_16024______把钥匙.9。

在凸1900边形内取103个点,以这2003个点为顶点，可将原凸1900边形分割成小三角形的个数为______2104 _____。

10。

若实数x满足x4+36<13x2,则f（x）=x3-3x的最大值为______18_____11 .”我买鸡蛋时，付给杂货店老板12美分，"一位厨师说道，”但是由于嫌它们太小，我又叫他无偿添加了2只鸡蛋给我.这样一来，每打(12只）鸡蛋的价钱就比当初的要价降低了1美分。

”厨师买了＿18只鸡蛋?12.已知f(x)∈［0,1]，则y=f（x）+1的取值范围为___［7/9,7/8]____13。

已知函数ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）的定义域均为非负实数集,对任意的ｘ≥0，规定ｆ（ｘ）*ｇ(ｘ）＝ｍｉｎ｛ｆ(ｘ），ｇ(ｘ）｝．若ｆ（ｘ)＝3－ｘ,ｇ(ｘ）＝，则ｆ（ｘ)＊ｇ（ｘ）的最大值为____（2√3－1）_____14．已知a，b，cd∈N，且满足342(abcd+ab+ad+cd+1）=379（bcd+b+d）,设M=a×103+b ×102+c×10+d，则M的值为______ 1949 ___.15. 用E（n）表示可使5k是乘积112233…nn的约数为最大的整数k，则E（150）= __2975_________16. 从1到100的自然数中,每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则可有_2500________种不同的取法．17。

山东省大学生数学竞赛(专科)试卷2017决赛试卷(含答案)

x e t sin 2t 4.曲线在点(0,1)处的法线方程为 _______________ . t y e cos t
dy dy dt e t cos t e t sin t cos t sin t 解： t ， t dx dx e sin 2t 2e cos 2t sin 2t 2 cos 2t dt dy 1 x 0时t 0 从而，所以法线斜率为k法 2 dx t 0 2 所以法线方程为y 1 2 x，即2 x y 1 0.
1 1
4
4
4 ln xd ( x ) 4( x ln x
1 1
4
4
4
1
ln x dx x 1 x dx ) x
4 1
8(ln 4 x ) 8(ln 4 1).
1
4
5.(14分)设奇函数 f ( x )在[ 1,1]上具有二阶导数，且 f (1) 1, 证明： (1)存在 (0,1)，使得 f ( ) 1 ( 2)存在 ( 1,1)，使得 f ( ) f ( ) . 1
6.
1 sin x dx ______________ . x cos x 1 sin x d ( x cos x) 解： x cos x dx x cos x ln x cos x C.
得分
评阅人
二、综合题（本题共 70 分，请写出相应演算步骤。）
得分
封
评阅人
一、填空题（每小题 5 分，共 30 分，请将答案填在题中横线上。） x 1 1.设f ( ) 3 f ( x) 2 x，求f ( x) ________ . x 1

山东省数学竞赛试题及答案

山东省数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若$ a $和$ b $是正整数，且$ a^2 + b^2 = 100 $，求$ a + b $的值。

A. 10B. 11C. 12D. 132. 已知函数$ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 $，求$ f(2) $的值。

A. -2B. 0C. 2D. 43. 一个圆的半径是5，求这个圆的面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 一个等差数列的首项是2，公差是3，求第10项的值。

A. 32B. 29C. 27D. 255. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，求斜边的长度。

A. 5B. 6C. 7D. 86. 如果$ \sin(\alpha) = \frac{3}{5} $，且$ \alpha $在第一象限，求$ \cos(\alpha) $的值。

A. $ \frac{4}{5} $B. $ \frac{1}{5} $C. $ -\frac{4}{5} $ D. $ -\frac{1}{5} $二、填空题（每题5分，共20分）7. 若$ x $满足方程$ x^2 - 5x + 6 = 0 $，求$ x $的值。

__________。

8. 一个长方体的长、宽、高分别是10cm、8cm和6cm，求其体积。

__________。

9. 一个数列的前三项是1, 1, 2，每一项都是前两项的和，求第5项的值。

__________。

10. 已知$ \tan(\beta) = 2 $，求$ \sin(\beta) $的值。

__________。

三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意的正整数$ n $，$ 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} $。

12. 解不等式：$ |x - 3| + |x + 2| \geq 5 $。

大学生数学知识竞赛试题及答案

大学生数学知识竞赛试题及答案以下是关于大学生数学知识竞赛试题及答案的文章：在当今竞争激烈的社会环境中，全面发展的大学生必须具备扎实的数学知识。

而数学知识竞赛试题及答案的研究和学习，不仅能够提高学生的数学水平，还有助于培养他们的逻辑思维和问题解决能力。

本文将为大家分享一些常见的大学生数学知识竞赛试题及答案，希望能够对广大学子有所帮助。

1. 题目一：求解方程解：此题为一元二次方程的求解问题，我们可以根据求根公式来求解。

首先将方程整理为标准形式：$x^2 + 3x - 4 = 0$，然后代入求根公式：$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \times 1 \times (-4)}}{2 \times 1}$。

经过计算可以得到两个解：$x_1 = -4$和$x_2 = 1$。

2. 题目二：数列求和解：我们可以将该数列的前$n$项进行展开，然后利用数列求和公式进行求解。

数列展开为：$1，\frac{1}{2}，\frac{1}{4}，\frac{1}{8}，\ldots$。

根据数列求和公式：$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，其中$a_1$为首项，$q$为公比，$n$为项数。

代入数值可以得到：$S_n =\frac{1(1-\frac{1}{2^n})}{1-\frac{1}{2}}$。

经过化简，最终求得数列的和为：$S_n = 2(1-\frac{1}{2^n})$。

3. 题目三：概率计算解：根据题意可知，共有5只红球和7只白球，从中随机取出3只球，求其中至少有一只红球的概率。

我们可以采用排除法来计算。

首先计算没有红球的概率，即全为白球的概率为：$\frac{C_7^3}{C_{12}^3}$。

然后再计算至少有一只红球的概率为：$1 - \frac{C_7^3}{C_{12}^3}$。

经过计算，最终得到的概率为：$1 -\frac{35}{220} = \frac{9}{22}$。

数学竞赛组合试题及答案

数学竞赛组合试题及答案试题一：排列组合问题题目：某班级有30名学生，需要选出5名代表参加校际数学竞赛。

如果不考虑性别和成绩，仅考虑组合方式，问有多少种不同的选法？答案：这是一个组合问题，可以用组合公式C(n, k) = n! / (k! *(n-k)!)来计算，其中n为总人数，k为选出的人数。

将数值代入公式，得到C(30, 5) = 30! / (5! * 25!) = 142506。

试题二：概率问题题目：一个袋子里有10个红球和20个蓝球，随机抽取3个球，求至少有1个红球的概率。

答案：首先计算没有红球的概率，即抽到3个蓝球的概率。

用组合公式计算，P(3蓝) = C(20, 3) / (C(30, 3)) = (20! / (3! * 17!)) / (30! / (3! * 27!))。

然后，用1减去这个概率得到至少有1个红球的概率，P(至少1红) = 1 - P(3蓝)。

试题三：几何问题题目：在一个半径为10的圆内，随机选择两个点，连接这两点形成弦。

求这条弦的长度小于8的概率。

答案：首先，弦的长度小于8意味着弦所对的圆心角小于某个特定角度。

通过几何关系和圆的性质，可以计算出这个特定角度。

然后，利用面积比来计算概率。

圆的面积为πr²，而弦所对的扇形面积可以通过角度来计算。

最后，将扇形面积除以圆的面积得到概率。

试题四：数列问题题目：给定一个等差数列，其首项为3，公差为2，求前10项的和。

答案：等差数列的前n项和公式为S_n = n/2 * (2a + (n-1)d)，其中a为首项，d为公差，n为项数。

将数值代入公式，得到S_10 = 10/2* (2*3 + (10-1)*2) = 10 * 13 = 130。

试题五：逻辑推理问题题目：有5个盒子，每个盒子里都有不同数量的球，分别是1个，2个，3个，4个和5个。

现在有5个人，每个人随机选择一个盒子，每个人只能拿一个盒子。

问至少有一个人拿到的盒子里球的数量与他选择的顺序号相同的概率。

鲁教版数学竞赛试题及答案

鲁教版数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 若a，b，c是正整数，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么a，b，c被称为勾股数。

以下哪组数字不是勾股数？A. 3, 4, 5B. 5, 12, 13C. 6, 8, 10D. 7, 24, 252. 一个圆的半径为r，其面积的公式是πr^2。

如果半径增加1单位，新的面积与原面积的差值是多少？A. πB. 2πrC. π(r + 1)^2 - πr^2D. π(r + 1)3. 一个数列的前三项是1, 2, 4。

如果每一项都是前两项之和，那么第5项是多少？A. 7B. 8C. 9D. 104. 一个直角三角形，其直角边长分别为3和4，斜边长为5。

如果将斜边延长1单位，那么新的三角形的面积增加了多少？A. 0.5B. 1C. 1.5D. 25. 一个函数f(x) = x^2 - 4x + 4。

如果f(x) = 0，那么x的值是什么？A. 2B. -2C. 2或-2D. 没有实数解二、填空题（每题3分，共15分）6. 一个数的平方根是4，这个数是________。

7. 如果一个数的立方根是2，那么这个数是________。

8. 一个数的倒数是1/3，这个数是________。

9. 一个数的绝对值是5，这个数可能是________或________。

10. 一个数的对数（以10为底）是2，这个数是________。

三、解答题（每题10分，共20分）11. 证明：对于任意正整数n，n^3 - n^2 + n - 1可以被6整除。

12. 解不等式：3x^2 - 5x + 2 > 0。

四、证明题（每题10分，共10分）13. 证明：对于任意实数x，x^3 - 3x + 2 ≥ 2。

五、综合题（每题20分，共40分）14. 一个工厂生产两种产品，产品A的成本是10元，售价是15元；产品B的成本是20元，售价是30元。

工厂计划生产这两种产品共100件，且产品B的数量不超过产品A的数量。

数学竞赛高职试题及答案

数学竞赛高职试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是：A. 0或1B. 1或-1C. 0或-1D. -1或12. 下列函数中，不是周期函数的是：A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)3. 一个圆的半径为3，那么它的面积是：A. 28πB. 9πC. 18πD. 36π4. 以下哪个数列不是等差数列：A. 2, 5, 8, 11B. 1, 3, 5, 7C. 1, 1, 1, 1D. 2, 4, 6, 85. 一个函数f(x) = 2x - 3，求f(5)的值是：A. 7B. 4C. 2D. 16. 如果a和b是方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根，那么a + b的值是：A. 5B. 6C. 3D. 27. 一个三角形的三个内角之和是：A. 90度B. 180度C. 270度D. 360度8. 以下哪个命题是假命题：A. 对顶角相等B. 同位角相等C. 平行线被第三条直线所截，同位角相等D. 等腰三角形的底角相等9. 如果一个数列是等比数列，且它的前n项和为S，那么S与数列的第n项的关系是：A. S = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)B. S = a1 * (1 - r^n)C. S = a1 * (1 + r^n)D. S = a1 * (1 + r^n) / (1 - r)10. 以下哪个是二次方程的判别式：A. Δ = b^2 - 4acB. Δ = b^2 + 4acC. Δ = 4ac - b^2D. Δ = 4ab - c^2答案：1-5 A C C A B 6-10 A B B A A二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个圆的直径是10，那么它的半径是________。

12. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可以是________或________。

数学竞赛训练试题及答案

数学竞赛训练试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个数是无理数？A. 1.1010010001...B. πC. 0.33333...D. √22. 如果一个圆的半径为r，那么它的面积是：A. πrB. πr²C. r²D. 2r²3. 一个数列的前5项为1, 1, 2, 3, 5，这个数列是：A. 等差数列B. 等比数列C. 斐波那契数列D. 几何数列4. 如果一个函数f(x) = x² + 3x - 4，那么f(-4)的值是：A. -1B. 0C. 1D. 5二、填空题（每题5分，共30分）1. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，其斜边的长度为________。

2. 一个数的平方根等于它本身，这个数是________。

3. 将一个圆分成8个相等的部分，每部分的圆心角是________度。

4. 一个数的绝对值是它与0的距离，-5的绝对值是________。

5. 如果一个数列的前n项和为S(n)，那么数列1, 3, 5, ..., (2n-1)的前n项和S(n)是________。

6. 一个二次方程x² - 5x + 6 = 0的根是________和________。

三、解答题（每题25分，共50分）1. 证明：对于任意正整数n，n³ - n 总是能被6整除。

2. 解方程组：\[\begin{cases}x + y = 3 \\2x - y = 2\end{cases}\]答案：一、选择题1. D2. B3. C4. A二、填空题1. 5（根据勾股定理）2. 0或13. 454. 55. n²（等差数列求和公式）6. 2和3（分解因式法）三、解答题1. 证明：设n为任意正整数，我们有\[n³ - n = n(n² - 1) = n(n+1)(n-1)\]其中n、n+1、n-1是三个连续的整数，根据连续整数的性质，至少有一个是2的倍数，至少有一个是3的倍数，因此n³ - n能被6整除。

大专数学竞赛试题及答案

大专数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$ 的解？A. $x = 1$B. $x = 2$C. $x = 3$D. $x = 4$答案：B2. 函数 $f(x) = \sin(x)$ 在区间 $[0, 2\pi]$ 上的值域是？A. $[-1, 1]$B. $[0, 1]$C. $[-1, 0]$D. $[0, 2]$答案：A3. 集合 $A = \{1, 2, 3\}$ 和集合 $B = \{2, 3, 4\}$ 的交集是什么？A. $\{1, 2, 3\}$B. $\{2, 3\}$C. $\{1, 3, 4\}$D. $\{4\}$答案：B4. 以下哪个选项是复数 $z = 3 + 4i$ 的共轭复数？A. $3 - 4i$B. $-3 + 4i$C. $-3 - 4i$D. $3 + 4i$答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$ 的值是________。

答案：16. 给定函数 $f(x) = x^3 - 3x$，求 $f'(x)$ 的值。

$f'(x) = ________$。

答案：$3x^2 - 3$7. 计算定积分 $\int_{0}^{1} x^2 dx$ 的值是 ________。

答案：$\frac{1}{3}$8. 已知 $\log_2(3) = a$，那么 $\log_2(9) = ________$。

答案：$2a$三、解答题（每题10分，共30分）9. 证明：如果 $a^2 + b^2 = c^2$，则 $a$、$b$ 和 $c$构成直角三角形。

证明：由 $a^2 + b^2 = c^2$，根据勾股定理的逆定理，可以得出$a$、$b$ 和 $c$ 构成直角三角形。

2020第十一届山东省大学生数学竞赛(专科组)2020总决赛试卷答案-2020

第十一届山东省大学生数学竞赛（专科组）总决赛试卷答案（非数学类（A ），2020）一、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分，请将正确选项填在题中横线上。

）1.A2. C3. D4. C5.B二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在题中横线上。

）1. 2n =2. 2−3. 04. 1e 0ed (,)d y y f x y x ⎰⎰ 5.e x y Cx −=⋅. 三、综合题（本题共7小题，共60分，请写出相应演算步骤。

）1. 解 1ln(1)1ln 2ln(1)ln 2000ln(1)lim 2lime lime x x x x x x x x x x x x +⎡⎤−⎢⎥+⎡⎤⎣⎦−⎢⎥⎣⎦→→→+⎡⎤−==⎢⎥⎣⎦………….2分下面求 000ln(1)ln(1)ln(1)ln 11ln 21lim lim lim x x x x x x x x x x x x→→→⎡+⎤+⎛⎫⎡⎤++−− ⎪−⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦==………….5分 20ln(1)lim x x x x →−+=0111lim 2x x x →−+=01lim 2(1)2x x x x →==+.………….7分所以原式12e =.……………………………………………..……8分2. 证作辅助函数()()F x xf x =，………………………..……2分则()F x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，从而在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()()()F b F a F b aξ−'=−.………………………..……4分所以()()()()bf b af a f f b aξξξ−'=+−.………………………..……6分 3. 解因为2()36f x x ax a '=+−,且12(31)a a ∆=+.………………………1分易知，当0∆<时，()f x '无实数根，则()f x 无驻点，从而()f x 无极值点. ……………3分当0∆>时，易知有两个驻点且为极值点. ……………………………………………5分当0∆=时，13a =−或0，这时21()33f x x ⎛⎫'=− ⎪⎝⎭或2()3f x x '=，可知这时函数311()3f x x C ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭或32()f x x C =+，从而无极值点. ……………9分由此可知，当103a −≤≤时，函数()f x 既无极大值又无极小值. …………10分 4. 解设ln x t =，则e t x =，ln(1e )()et t f t +=， ln(1e ()d )ln(e d d 1)e ex x x x f x x x −+==−+⎰⎰⎰……………………3分 1e ln d (1e )1e x x x x −+++=−⎰……………………………………5分 e e ln(1)11d e e xx x x x −⎛⎫++− ⎪+⎝⎭=−⎰……………………………7分 e ln(1e )ln(1e )x x x x C −++−+=+−(1e )ln(1e )x x x C −−+++=.……………………………9分5. 证明设M 及m 分别是函数()f x 在[,]a b 上的最大值及最小值，则()()d ()ba mb a f x x M b a −≤≤−⎰，不等式各边除以b a −，得1()d b am f x x M b a ≤≤−⎰.……………………………………4分这表明，确定的数1()d [,]b a f x x m M b a ∈−⎰.根据闭区间上连续函数的介值定理的推论，在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得函数使得()f x 在点ξ处的值与这个确定的数值相等，即应有1()d ()b af x x f b a ξ=−⎰ ()a b ξ≤≤.……………………………7分两端各乘b a −，即得所要证的等式.6. 解由题意可得 1523303ππ()d 5ax V x x a ==⎰，……………………………………………………3分 137630ππd a y V a y y =−⎰777333π6ππ77a a a =−=，……………………………………6分因为10y x V V =，所以75336π3π1075a a =⋅，解得a =分7. 解 ①记12(1)()21n n n u x x n −−=−，因为 222112()(1)21lim lim ()21(1)n n n n n n n nu x x n x u x n x ++−→∞→∞−−=⋅=+−⋅，所以由比值审敛法知，当21x <，即1x <时，级数收敛；当21x >，即1x >时，级数发. …………………………………………………………………………………………3分于是可知幂级数的收敛半径1R =，即收敛区间为(1,1)−；当1x =±时，级数11(1)21n n n −∞=−−∑为交错级数，由莱布尼兹定理知级数收敛，故幂级数121(1)21n n n x n −∞=−−∑的收敛域为[1,1]−.……………………………………………………………………………………6分②记()S x 为级数121(1)21n n n x n −∞=−−∑的和函数，则 11221111(1)(1)()()2121n n n n n n S x x x x x S x n n −−∞∞−==−−===⋅−−∑∑ 其中12111(1)()21n n n S x x n −∞−=−=−∑，[1,1]x ∈−.……………………………………8分由幂级数和函数的性质得12111(1)()21n n n S x x n −∞−='⎛⎫−'= ⎪−⎝⎭∑1221(1)n n n x ∞−−==−∑ 2461221(1)n n x x x x −−=−+−++−+ 211x =+，[1,1]x ∈−.……………………………………………………10分所以 1110()()d (0)x S x S t t S '=+⎰2001d 0arctan arctan 1+x x t t x t =+==⎰. 故 1()()arctan S x xS x x x ==，[1,1]x ∈−.……………………………………12分。

数学竞赛试题及答案

数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数不是整数？A. -3B. 0C. 5D. 2.52. 如果一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π3. 一个数的平方根等于它自己，这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 24. 以下哪个选项是方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ 的解？A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（每题3分，共15分）1. 一个直角三角形的两个直角边长分别是3和4，那么它的斜边长是________。

2. 一个数的立方等于它自己，这个数可以是________、________或________。

3. 将分数 $ \frac{4}{9} $ 转换为小数是________。

4. 一个数的绝对值是5，这个数可以是________或________。

5. 如果一个数的平方是25，那么这个数可以是________或________。

三、解答题（每题10分，共30分）1. 证明勾股定理：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。

证明：设直角三角形的两直角边长分别为a和b，斜边长为c。

根据勾股定理，我们有 $ c^2 = a^2 + b^2 $。

2. 解不等式 $ |x - 3| < 2 $ 并找出x的取值范围。

解：不等式 $ |x - 3| < 2 $ 可以分解为两个不等式：$ -2 < x - 3 < 2 $$ 1 < x < 5 $3. 计算 $ \sqrt{8} $ 的值。

计算：$ \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times\sqrt{2} = 2\sqrt{2} $四、综合题（每题15分，共35分）1. 一个长方形的长是宽的两倍，如果它的周长是24厘米，求长方形的长和宽。

2023数学竞赛初赛试题及答案

2023数学竞赛初赛试题及答案试题一：代数问题题目：解方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，其中 $ a = 2 $，$ b= -3 $，$ c = 1 $。

解答：首先计算判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac $。

代入给定的值，得到 $ \Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times 1 = 9 - 8 = 1 $。

由于 $ \Delta > 0 $，方程有两个不同的实根。

根据求根公式，根为 $ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} $。

代入数值，得到$ x = \frac{3 \pm 1}{4} $，即 $ x_1 = 1 $ 和 $ x_2 =\frac{1}{2} $。

试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，斜边长为 $ c $，直角边长分别为$ a $ 和 $ b $。

如果 $ a = 5 $ 且 $ b = 12 $，求斜边$ c $ 的长度。

解答：根据勾股定理，$ c^2 = a^2 + b^2 $。

代入数值，得到$ c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 $。

因此，$ c =\sqrt{169} = 13 $。

试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项 $ a_1 = 3 $，公差 $ d = 2 $。

求第 10 项 $ a_{10} $ 的值。

解答：等差数列的通项公式为 $ a_n = a_1 + (n - 1)d $。

代入$ n = 10 $，$ a_1 = 3 $ 和 $ d = 2 $，得到 $ a_{10} =3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21 $。

试题四：概率问题题目：一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球。

数学竞赛极限试题及答案

数学竞赛极限试题及答案试题一：求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。

解答：根据洛必达法则，我们首先将分子和分母同时求导，得到：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cosx}{1} = \cos(0) = 1\]试题二：计算极限 $\lim_{n \to \infty} \left(1 +\frac{1}{n}\right)^n$。

解答：这个极限是欧拉数 $e$ 的定义，所以：\[\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e\]试题三：求极限 $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$。

解答：由于 $\sin x$ 的值域是 $[-1, 1]$，当 $x$ 趋向于无穷大时，$\frac{\sin x}{x}$ 将趋向于 0：\[\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0\]试题四：计算极限 $\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$。

解答：利用泰勒展开，我们知道 $\sin \frac{1}{x} \approx\frac{1}{x}$ 当 $x$ 接近 0 时。

因此：\[\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = \lim_{x \to 0} x \cdot \frac{1}{x} = 1\]试题五：求极限 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{e^n}$。

解答：这是一个 0/0 的不定式，我们可以对分子和分母同时求导：\[\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{e^n} = 0\]因为 $e^n$ 的增长速度远远超过 $n^2$，所以极限为 0。

数学竞赛近年试题及答案

数学竞赛近年试题及答案【试题一】题目：求函数 $ f(x) = 3x^2 - 5x + 2 $ 在区间 $ [1, 3] $ 上的最大值和最小值。

【答案】首先，我们可以通过求导数来找到函数的极值点。

函数 $ f(x) $ 的导数为 $ f'(x) = 6x - 5 $。

令 $ f'(x) = 0 $ 得到 $ x = \frac{5}{6} $。

接下来，我们需要检查区间端点 $ x = 1 $ 和 $ x = 3 $ 以及极值点 $ x = \frac{5}{6} $ 处的函数值：- $ f(1) = 3(1)^2 - 5(1) + 2 = 0 $- $ f(3) = 3(3)^2 - 5(3) + 2 = 23 $- $ f\left(\frac{5}{6}\right) = 3\left(\frac{5}{6}\right)^2 - 5\left(\frac{5}{6}\right) + 2 $计算得到 $ f\left(\frac{5}{6}\right) =3\left(\frac{25}{36}\right) - \frac{25}{6} + 2 = -\frac{1}{6} $。

因此，函数 $ f(x) $ 在区间 $ [1, 3] $ 上的最小值为 $ -\frac{1}{6} $，最大值为 $ 23 $。

【试题二】题目：证明对于任意正整数 $ n $，$ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 $ 的和等于 $ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $。

【答案】我们可以利用数学归纳法来证明这个等式。

基础情况：当 $ n = 1 $ 时，左边的和为 $ 1^2 = 1 $，右边的表达式为 $ \frac{1(1+1)(2*1+1)}{6} = 1 $，等式成立。

0.2.第十届山东省大学生数学竞赛（专科组）总决赛试卷答案2019.5.24

山东省大学生数学竞赛（专科）总决赛答案（非数学类（A ），2019）一、填空题（每小题5分，共30分，请将答案填在题中横线上。

）215,37.11x y x x x ⎧+<⎪=-≤≤⎨⎪>⎩1.22222..()ac bcx x b a +-123..-e 34. 2.2y x =+5.240.x y +-=6.ln 2.2π二、综合题（本题共7小题，共70分，请写出相应演算步骤。

）112222222201233232012223001()((1141; (4333)311()(3xxxxx x x f x t x t t x t x t t t x tx t t t x t x x x f x x t t x t t <≤=-+-=-+-⎛⎫⎛⎫=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫>=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰1.解：当0时，d d )d )d 分当时，)d ()12322322111;341,0133()......................................................................31,13412333(1)lim lim 422; (1)x x x x x x f x x x x x f x x x ---→→=-⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩-+-'==-=-分212..............11233(1)lim 2; (11)42,01()...................................................2,1x x f x x x x f x x x ++→--'==-⎧-<≤'⎨>⎩分分故=..................1分[][](),(),()0,(),,()()()()().........................................3()()()()()(),......()bb baaab abaf xg x a b g x f x a b M m m f x M mg x f x g x Mg x mg x x f x g x x Mg x x f x g x xm M g x x>≤≤≤≤≤≤≤≤⎰⎰⎰⎰⎰2.解：由于在上连续，且由最值定理知在上有最大值和最小值即故，分d d d .d d [].............................................3,()()(),()()()()..........................................4()bb babaaaa b f x g x xf f xg x x f g x x g x xξξξ∈=⎰⎰⎰⎰分由介值定理知，存在，使d 即d =d 分d 22200000()()()()(1)()...............................2()(0)()()0(0)lim lim lim02()(0)1lim 22()x xxx xx x x x x x x g x g x xg x g x x f x x xf x fg x g x x f x x xg x g f x -----→→→-→≠'⎡⎤+-+'-++⎣⎦'=='--+'====-''''--=='3.解：时，e e e 分e e 时，由导数定义知e ，220000()()(1),0..........................................................2(0)1,02()()(1)()()()(1)lim ()lim lim ...22lim xx x xx x x x xg x g x x x x g x xg x g x x g x xg x g x x f x x x----→→→→'⎧-++≠⎪⎪=⎨''-⎪=⎪⎩'''''-+++-+-+'===e 分e e e 分()(0)1(0),22()0...............................................................2x g x gf f x x -''''--'=='=e 故在处连续分12''()(3,2)(0,0)(3,2)(0,0)2(0)2.......................................................1(3,2)2(3)2...............f x L L C f f ==-4.解：由有三阶连续导数且为其拐点，直线与分别是曲线在点与处的切线，通过观察图形可知，点处的切线斜率为，即分点处的切线斜率为-，即 33332220.....................................2(3,2)(3)0..........................................................1()()()()()()(21)()(21f x x f x x x x f x x x f x x f x xx ''='''''''''+++++⎰⎰⎰分又因为点为拐点，即；分所以有d =d =-d =-3033300)()...........................................................................................3(21)()(21)()2()..................................................3f x xx f x x f x f x x'''''+++⎰⎰⎰d 分=-d =-d [][]307(2)22()162(3)(0)16420....................................1f x f f =-⨯--+=+-=+=分分1232322220,...............................................1();. (232)655(1)qqpp q x x x pp qq x A px qx x x p x y x y px q x y px qx--==-=+=+=+=+=⎧++⎨=+⎩⎰5.解：抛物线与轴交点的横坐标为分故抛物线与轴围成图形的面积d 分又抛物线与直线相切，故它们有唯一交点，由方程组解得22332450,(1)200,(1), (320)200()63(1)q p q p q q A q p q -=∆+=+==+其判别式=+故=-分所以324332485..12002003(1)4(1)200(3)(),3(1)3(1)3(1)3...............................................................................................303()0,q q q q q q q A q q q q q q A q '⎛⎫+-+-'==⋅=⋅ ⎪+++⎝⎭'<<>分得到唯一驻点=分时3()0;34225,3,. (3532)q A q q p q A '><=-=时，故=时函数取得极大值，也是最大值，此时=分22222222(,)442360 (2)1(,,)(236)(44)134(236)20136(236)8013440xyP x y x y P x yd d dF x y x y x yF x y xF x y xF x yλλλλλ+=+-===+-++-'=+-+='=+-+='=+-=6.解：设为椭圆上任意一点，则到的距离求的最小值即求最小值分令11221122(,)(,)8383,;, (4)555583, (2)55x y x yx y x yd d⎧⎪⎪⎪===-=-⎨⎪⎪⎪⎩==解得分由问题实际意义知最短距离存在，因此（）即为所求点.分1111.1lim lim1,1 (2)1 (1)1nnnn nnnnxa nRa nx nx∞-=+→∞→∞∞=+=====∑∑7.解： (1)求的收敛域收敛半径，分在端点处，级数为发散，分在端点-11111111000111(1)(11) (1)().()(11),() (2)1nnnnnnx x xn n nn n nnnx S xS x nx xxS t t nt t nt t xx∞-=∞-=∞-=∞∞∞--===--∈-====-∑∑∑∑∑∑⎰⎰⎰处，级数为发散,故收敛域为，分(2)求的和函数设=，，d d d分()()2121111111() (2)11(11)111,4, 2..............................................22222nnn n nn n nx S xxnx xxn n nx∞-=∞∞∞--===-∈--===∑∑∑∑等式两边对求导得=分由于=，令故.......2分。