山东省大学生数学竞赛(专科)试题及答案

山东省大学生数学竞赛（专科）试卷及标准答案
（非数学类，2010）
考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分.
一、填空（每小题5分，共20分）.
(1)计算)
cos
1(cos 1lim 0
x
x x
x --
+
→= .
(2)设()f x 在2x =连续，且2
()3lim
2
x f x x →--存在，则(2)f = .
(3)若tx
x x
t t f 2)
11(lim )(+
=∞
→，则=')(t f .
(4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '⎰= .
（1）
2
1. (2) 3 . (3)t e t 2)12(+ . (4)C x x +-2
ln ln 2.
二、（5分）计算dxdy x y D
⎰⎰-2
，其中
1010≤≤≤≤y x D ，：.
解：dxdy x y D
⎰⎰-2
=
dxdy y x
x
y D )(2
1:2
-⎰⎰<+
⎰⎰≥-2
2:2
)(x
y D dxdy x
y -------- 2分
=dy y x dx x )(2
210
-⎰⎰+dy x y dx x
)(1
210
2
⎰⎰- -------------4分
=
30
11 -------------5分.
姓名：
身份证号
所在院校：
年级
专业
线
封
密
注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.
三、（10分）设)](sin[2x
f y =，其中f 具有二阶
导数，求
2
2
dx
y d .
解：)],(cos[)(22
2x f x f x dx
dy '=---------------3分
)](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(22
2222222222
x f x f x x f x f x x f x f dx
y d '-''+'=-----7分
=)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分.
四、（15分）已知3
123ln 0
=
-⋅
⎰dx e e a x
x
，求a 的值.
解：)
23(232
1
23ln 0
ln 0
x
a x a x
x
e d e dx e e ---
=-⋅
⎰⎰
---------3分
令t e x =-23，所以
dt
t dx e e a a x
x
⎰
⎰
--
=-⋅
231
ln 0
2
123---------6分
=a
t 231
2
33
221-⋅-------------7分
=]1)23([3
13
--⋅-
a ，-----------9分
由3
123ln 0
=
-⋅
⎰
dx e e a
x
x
，故]1)23([3
13
--⋅-
a =
3
1，-----------12分
即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分 所以2
3=
a -------------15分.
五、
（10分）求微分方程0=-+'x e y y x 满足条件e y
x ==1
的特解.
解：原方程可化为
x
e
y x
y x
=
+
'1-----------2分
这是一阶线性非齐次方程，代入公式得
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎰⋅⎰=⎰-
C dx e x e e y dx
x x
dx x 11----------4
分
=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⋅⎰-C dx e x e e
x
x x
ln ln ----------5分 =[]
⎰+C dx e x
x
1
-----------6
分 =
)(1C e x
x
+.---------------7
分
所以原方程的通解是)
(1C e x
y x
+=.----------8分
再由条件e y
x ==1
，有C e e +=，即0=C ，-----------9分
因此，所求的特解是x
e
y x
=
.----------10分.
六（10分）、若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导
数，且123()
()
()f x f x f x ==，其
中
1
2
3
a x x x
b <
<<
<，证明：在13(,)x x 内至少有一点ξ
，使()0f ξ'=。

证：由于)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，所以)(x f 在],[21x x 上连续， 在),(21x x 内可导，再根据题意)()(21x f x f =，
由罗尔定理知至少存在一点∈1ξ),(21x x ，使)(1ξf '=0；--------3分
同理，在23[,]x x 上对函数)(x f 使用罗尔定理得至少存在一点),(322x x ∈ξ，使)(2ξf '=0；---------6分
姓名：
身份证号：
所在院校：
年级：
专业：
线
封
密
对于函数)(x f '，由已知条件知)(x f '在[1ξ，2ξ]上连续，在（1ξ，2ξ）内可导，且)(1ξf '=)(2ξf '=0，由罗尔定理知至少存在一点∈ξ（1ξ，2ξ），使0)(=''ξf ，而1ξ，2ξ）),(31x x ⊂，故结论得证----------10分.
七、（15分）已知曲线，x e y =x y sin =和直线
0=x ，1=x 围成平面图形D . （1）求平面图形D 的面积A ；
（2）求D 绕x 轴旋转所成立体的体积.
解：（1）1
(sin )x
A e x dx =
-⎰
-----------2分
1
(cos )
x
e x =+-----------4分
cos12e =+------------5分
（2）因为⎰=b
a x dx x f V )(2π，-----------6分
所以dx x e V x x )sin (1
22⎰-=π-----------9分
=1
20
111sin 2224x e x x π⎡⎤
-+⎢⎥⎣⎦------------11分
=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+
-
-2sin 41
2
1)1(2
12e π-----------13分
=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+
1)2sin 21
(2
12e π .--------------15分.
八、（15分）设),,(z y x f u =有连续的一阶
偏导数，又函数 )(x y y =及)(x z z =分别由下列两式确定：
2=-xy e
xy
和dt
t
t e
z x x
⎰
-=
sin ，求du dx
.
解：
dx
dz z
f dx
dy y
f x
f dx
du ⋅
∂∂+
⋅
∂∂+
∂∂=
， （1）---------4分
姓名：
身份证号：
所在院校
年级：
专业
线
封
密
由2=-xy e xy 两边对x 求导，得
)()(dx
dy x y dx
dy x y e
xy
+-+=0，--------------7分
即
x
y dx
dy -
= ---------------9分
又由dt
t t
e z x x
⎰
-=
sin 两边对x 求导，得
)1()sin(dx
dz z
x z x e
x
-
⋅--=
，-----------11
分
即
)
s i n ()(1z x z x e dx
dz x
---
= -----------13分
将其代入（1）式，得 ()1sin()x
du
f
y f
e x z f
dx x x y x z z
⎡⎤∂∂-∂=-+-⎢⎥∂∂-∂⎣⎦.-----------15分.。