山东省大学生数学竞赛(专科)试题及答案

山东省大学生数学竞赛（专科）试卷及标准答案

（非数学类，2010）

考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分.

一、填空（每小题5分，共20分）.

(1)计算)

cos

1(cos 1lim 0

x

x x

x --

+

→= .

(2)设()f x 在2x =连续，且2

()3lim

2

x f x x →--存在，则(2)f = .

(3)若tx

x x

t t f 2)

11(lim )(+

=∞

→，则=')(t f .

(4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '⎰= .

（1）

2

1. (2) 3 . (3)t e t 2)12(+ . (4)C x x +-2

ln ln 2.

二、（5分）计算dxdy x y D

⎰⎰-2

，其中

1010≤≤≤≤y x D ，：.

解：dxdy x y D

⎰⎰-2

=

dxdy y x

x

y D )(2

1:2

-⎰⎰<+

⎰⎰≥-2

2:2

)(x

y D dxdy x

y -------- 2分

=dy y x dx x )(2

210

-⎰⎰+dy x y dx x

)(1

210

2

⎰⎰- -------------4分

=

30

11 -------------5分.

姓名：

身份证号

所在院校：

年级

专业

线

封

密

注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.

三、（10分）设)](sin[2x

f y =，其中f 具有二阶

导数，求

2

2

dx

y d .

解：)],(cos[)(22

2x f x f x dx

dy '=---------------3分

)](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(22

2222222222

x f x f x x f x f x x f x f dx

y d '-''+'=-----7分

=)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分.

四、（15分）已知3

123ln 0

=

-⋅

⎰dx e e a x

x

，求a 的值.

解：)

23(232

1

23ln 0

ln 0

x

a x a x

x

e d e dx e e ---

=-⋅

⎰⎰

---------3分

令t e x =-23，所以

dt

t dx e e a a x

x

⎰

⎰

--

=-⋅

231

ln 0

2

123---------6分

=a

t 231

2

33

221-⋅-------------7分

=]1)23([3

13

--⋅-

a ，-----------9分

由3

123ln 0

=

-⋅

⎰

dx e e a

x

x

，故]1)23([3

13

--⋅-

a =

3

1，-----------12分

即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分 所以2

3=

a -------------15分.

五、

（10分）求微分方程0=-+'x e y y x 满足条件e y

x ==1

的特解.

解：原方程可化为

x

e

y x

y x

=

+

'1-----------2分

这是一阶线性非齐次方程，代入公式得

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎰⋅⎰=⎰-

C dx e x e e y dx

x x

dx x 11----------4

分

=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⋅⎰-C dx e x e e

x

x x

ln ln ----------5分 =[]

⎰+C dx e x

x

1

-----------6

分 =

)(1C e x

x

+.---------------7

分

所以原方程的通解是)

(1C e x

y x

+=.----------8分

再由条件e y

x ==1

，有C e e +=，即0=C ，-----------9分

因此，所求的特解是x

e

y x

=

.----------10分.

六（10分）、若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导

数，且123()

()

()f x f x f x ==，其

中

1

2

3

a x x x

b <

<<

<，证明：在13(,)x x 内至少有一点ξ

，使()0f ξ'=。

证：由于)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，所以)(x f 在],[21x x 上连续， 在),(21x x 内可导，再根据题意)()(21x f x f =，

由罗尔定理知至少存在一点∈1ξ),(21x x ，使)(1ξf '=0；--------3分

同理，在23[,]x x 上对函数)(x f 使用罗尔定理得至少存在一点),(322x x ∈ξ，使)(2ξf '=0；---------6分

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专业：

线

封

密