原创!!全面大学生数学竞赛试题

2011年数学竞赛练习题C_3解答

1. 设数列{}n x 满足：

11

sin

(2)sin

11

n n x n n n <<+++， 则1

1lim

1n

k n k x n →∞==+∑_______。 11

sin

(2)sin 111

n n n x n x n n <<+∴→++解 ；

Q 1

1

1

1lim lim lim lim 1111n

n

k

k

n k k k n n n n k x

x

n

n

x n n n

n n

==→∞→∞→∞→∞

=∴=⋅=⋅=+++∑∑∑

2.设曲线()y f x =与sin y x =在原点相切，

则极限lim n ________。

(0)0,(0)1n n f f '===已知有： 2.

设(1n n a b =+，

其中,n n a b 为正整数，lim n

n n

a b →∞=__

2224

113

(1)

1)3)(13)3)

)()3)

)

n n n n

n

n n C C C

C C C =+++

=+++++

224

41133(1(1)()

n

n n n n C C C C =++-++

(1=+(1=n n n n n n a b a b a b -所以，若则解得：

lim =n n n

n n a b →∞∴= 3. 设()f x 有连续导数且0

()

lim

0x f x a x

→=≠， 又20

()()()x

F x x t f t dt =-⎰，

当0x →时()F x '与n x 是同阶无穷小， 则n =________。

2020

()()()()()x

x

x

F x x t f t dt

x f t dt tf t dt

=-=-⎰

⎰⎰

20

()2()()()x

F x x f t dt x f x xf x '=+-⎰

0()

lim

0x F x x

→'=显然

20

2

02()()()

lim

x

x x f t dt x f x xf x x →+-⎰考虑：

2()()

lim

lim ()x

x x f t dt f x f x x

→→-=+⎰

2()()

lim

lim ()x

x x f t dt f x f x x

→→-=+⎰

2()()

lim

lim

0x

x x f t dt

f x x

x

→→=-+⎰0a =-≠ 2n ∴=

5. ()f x ∞设在[1,+)上可导，下列结论成立的是：________。 +lim ()0()x f x f x →∞

'=∞A.若，则在[1,+)上有界；

+B lim ()0()x f x f x →∞

'≠∞.若，则在[1,+)上无界；

+C lim ()1()x f x f x →∞

'=∞.若，则在[1,+)上无界。

+++()()sin B C lim ()1M ()M (2)()(),(2)()(2)+()2M lim ()+lim ()1()x x x f x g x x f x f x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x ξξ→∞

→∞

→∞

=='=∃∍≤'∀∈∞-=-≤≤'=∞'∴=⇒∞A 不一定成立；表明结论不一定成立；结论一定成立.

反证：若，

且，。

[1,+),有：；这与矛盾。

在[1,+)上无界。

6. 设函数()y y x =满足2(1)x y x y x y e '''+-+=， 且(0)1y '=，若2

()lim

x y x x

a x →-=，则a =______。 22

00(1)(0)=2

()()1(0)lim lim 1=22x x x y x y x y e y y x x y x y a x x →→'''''+-+='''--∴===由， 7.,a b b π

设是夹角为的非零常向量，=2,3

lim

x a xb a

x

→∞

+-

则=_________。

20

0lim

2(,)(,)lim ()

2(,)(,)

lim ()(,)lim 01cos 232

x x x x a xb a

x

x a b x b b x a xb a a b x b b a xb a a b a b π→→→→+-+=+++=++==+==⋅

8. 如果要使函数1sin 0

()0 0

k

x x f x x

x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处有连续的 一阶导数， 则正整数k 的最小值为_____。