定积分的背景—面积和路程问题
北师版数学选修2-2讲义：第4章 §1 1.1 定积分的背景——面积和路程问题+1.2 定积分
§1定积分的概念1.1定积分的背景——面积和路程问题1.2定积分1．了解定积分的实际背景及定积分的概念．2．理解定积分的几何意义及性质．(难点)3．能利用定积分的几何意义解决简单的定积分计算问题．(重点)[基础·初探]教材整理1曲边梯形的面积阅读教材P75～P78“练习2”以上部分，完成下列问题．1．曲边梯形的概念由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图4-1-1所示)．图4-1-12．求曲边梯形面积的步骤①分割，②近似替代，③求和，④逼近．在计算由曲线y ＝－x 2以及直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1，1]n 等分，则每个小区间的长度为__________．【解析】 每个小区间长度为1－（－1）n＝2n . 【答案】 2n教材整理2 定积分阅读教材P 78“练习2”以下至P 80“练习”以上部分，完成下列问题．1．定积分的定义一般地，给定一个在区间[a ，b ]上的函数y ＝f (x )，将[a ，b ]区间分成n 份，分点为：a ＝x 0<x 1<x 2<…<x n －1<x n ＝b .第i 个小区间为[x i －1，x i ]，设其长度为Δx i ，在这个小区间上取一点ξi ，使f (ξi )在区间[x i －1，x i ]上的值最大，设S ＝f (ξ1)Δx 1＋f (ξ2)Δx 2＋…＋f (ξi )Δx i ＋…＋f (ξn )Δx n .在这个小区间上取一点ζi ，使f (ζi )在区间[x i －1，x i ]上的值最小，设s ＝f (ζ1)Δx 1＋f (ζ2)Δx 2＋…＋f (ζi )Δx i ＋…＋f (ζn )Δx n .如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S 与s 的差也趋于0，此时，S 与s 同时趋于某一个固定的常数A ，我们就称A 是函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )dx ，即⎠⎛a b f (x )dx ＝A ．其中∫叫作积分号，a 叫作积分的下限，b 叫作积分的上限，f (x )叫作被积函数．2．定积分的几何意义如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛ab f (x )dx 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，x 轴和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．3．定积分的性质(1)⎠⎛ab 1dx ＝b －a ； (2)⎠⎛a b kf (x )dx ＝k ⎠⎛a b f (x )dx (k 为常数)； (3)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]dx ＝⎠⎛a b f (x )dx ±⎠⎛a b g (x )dx ； (4)⎠⎛a b f (x )dx ＝⎠⎛ac f (x )dx ＋⎠⎛c b f (x )dx (其中a <c <b )．。
北师大版数学高二课件 4.1.1 定积分的背景 面积和路程问题
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1.函数 f(x)＝x2 在区间i－n 1，ni 上( D ) A.f(x)的值变化很小 B.f(x)的值变化很大 C.f(x)的值不变化 D.当n很大时，f(x)的值变化很小 解析 当 n 很大，即 Δx 很小时，在区间i－n 1，ni 上， 可以认为f(x)＝x2的值变化很小，近似地等于一个常数.
反思与感悟
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跟踪训练1 图中阴影部分是由抛物线f(x)＝x2，直线 x＝1以及x轴所围成的平面图形.试估计这个曲边梯形 的面积S，并求出估计误差. 解 首先，将区间[0,1] 5等分，称S1为S的过剩估计值， 有S1＝(0.22＋0.42＋0.62＋0.82＋12)×0.2＝0.44. s1为S的不足估计值，有s1＝(0＋0.22＋0.42＋0.62＋0.82)×0.2＝0.24. 过剩估计值S1与不足估计值s1之差为S1－s1＝0.2.
区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是__1_.0_2__. 解析 将区间 5 等分所得的小区间为1，65，65，57，75，85，85，95，95，2， 于是所求平面图形的面积近似等于1101＋2356＋4295＋6245＋2851＝110×22555＝1.02.
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4.在区间[0,8]上插入9个等分点，则第5个小区间是___1_56_，__4_. 解析 第 5 个小区间的左端点51－01×8＝156，右端点156＋45＝4，即156，4.
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课堂小结 变速直线运动的路程、变力做功问题都可以归结为求曲边梯形的面积； 求曲边梯形面积可分为四个步骤：分割、近似替代、求和、逼近.
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第四章 1.1定积分的背景——面积和路程问题
§1定积分的概念1．1定积分的背景——面积和路程问题[学习目标]1．了解定积分的实际背景．2．了解“以直代曲”“以不变代变”的思想方法．3．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．[知识链接]求曲边梯形面积和变速直线运动路程采用了怎样的方法？答在解决这两类问题时，我们通过“四步曲”来解决，即分割、近似代替、求和、取极限，并且都归结为求一个特定和式的极限，同时注意分割越细越准确，并且在近似代替过程中我们可以取区间的左端点值，也可以取右端点值．[预习导引]1．曲边梯形的定义如图所示，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图)．2．求变速直线运动的位移(路程)如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取近似值的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.要点一求曲边梯形的面积例1估计直线x＝0，x＝1，y＝0与曲线y＝x3所围成的曲边梯形的面积．解将区间[0,1] 5等分，如图如图(1)中，所有小矩形的面积之和(记为S1)，显然为过剩估计值，S1＝(0.23＋0.43＋0.63＋0.83＋13)×0.2＝0.36，如图(2)中，所有小矩形的面积之和(记为s1)，显然为不足估计值，s1＝(03＋0.23＋0.43＋0.63＋0.83)×0.2＝0.16，因此，该曲边梯形的面积介于0.16与0.36之间．规律方法通过求曲边梯形面积的四个步骤：分割、近似替代、求和、逼近可以理解定积分的基本思想．跟踪演练1图中阴影部分是由抛物线f(x)＝x2，直线x＝1以及x轴所围成的平面图形．试估计这个曲边梯形的面积S，并求出估计误差．解首先，将区间[0,1] 5等分，称S1为S的过剩估计值，有S1＝(0.22＋0.42＋0.62＋0.82＋12)×0.2＝0.44.s1为S的不足估计值，有s1＝(0＋0.22＋0.42＋0.62＋0.82)×0.2＝0.24.过剩估计值S1与不足估计值s1之差为S1－s1＝0.2.要点二求变速运动的路程例2汽车以速度v作匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝v t，如果汽车作变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋2(单位：km/h)，那么它在0≤t≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？解将行驶时间1 h平均分成10份．分别用v(0)、v(0.1)、v(0.2)、v(0.3)、v(0.4)、v(0.5)、v(0.6)、v(0.7)、v(0.8)、v(0.9)近似替代汽车在0～0.1 h，0.1～0.2 h，0.2～0.3 h,0.3～0.4 h,0.4～0.5 h，0.5～0.6 h，0.6～0.7 h，0.7～0.8 h,0.8～0.9 h,0.9～1 h内的平均速度．求出汽车在1 h时行驶的路程的过剩估计值．S1＝[v(0)＋v(0.1)＋v(0.2)＋v(0.3)＋v(0.4)＋v(0.5)＋v(0.6)＋v(0.7)＋v(0.8)＋v(0.9)]×0.1＝1.715(km)，分别用v(0.1)，v(0.2)，v(0.3)，v(0.4)，v(0.5)，v(0.6)，v(0.7)，v(0.8)，v(0.9)，v(1)替代以上时间段的平均速度．求出汽车在1 h时行驶的路程的不足估计值．s1＝[v(0.1)＋v(0.2)＋v(0.3)＋v(0.4)＋v(0.5)＋v(0.6)＋v(0.7)＋v(0.8)＋v(0.9)＋v(1)]×0.1＝1.615(km)．无论用S1还是s1估计汽车行驶的路程s误差都不超过1.715－1.615＝0.1(km)．规律方法(1)一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，则我们可用分割法求出路程的过剩估计值与不足估计值．(2)当分割成的时间区间长度趋于0时，过剩估计值和不足估计值就趋于汽车的行驶路程．(3)变速运动的路程、变力做功等问题的估计值计算，都可以转化为估计曲边梯形的面积问题，分别求其过剩估计值与不足估计值即可．跟踪演练2一辆汽车在直线形公路上变速行驶，汽车在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋5(单位km/h)．试估计这辆汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内的汽车行驶路程．解将区间[0,2]10等分，如图S1＝(－02＋5－0.22＋5－…－1.82＋5)×0.2＝7.72 (km)，s 1＝(－0.22＋5－0.42＋5－…－1.82＋5－22＋5)×0.2＝6.92(km)，∴估计该车在这段时间内行驶的路程介于6.92 km 与7.72 km 之间．1．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上( ) A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小答案 D解析 当n 很大，即Δx 很小时，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n，i n 上，可以认为f (x )＝x 2的值变化很小，近似地等于一个常数．2．在“近似替代”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上近似值等于( )A ．只能是左端点的函数值f (x i )B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均正确答案 C3．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．答案 1.02解析 将区间5等分所得的小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，65，⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，75，⎣⎢⎡⎦⎥⎤75，85，⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，95，⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，2，于是所求平面图形的面积近似等于110⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02. 4．在区间[0,8]上插入9个等分点，则第5个小区间是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤165，4解析 第5个小区间的左端点5－110×8＝165，右端点165＋45＝4，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤165，4.变速直线运动的路程、变力做功问题都可以归结为求曲边梯形的面积；求曲边梯形面积可分为四个步骤：分割、近似替代、求和、逼近．一、基础达标1．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为( )A.1nB.2nC.3nD.12n答案 B解析 区间[1,3]长度为2，故n 等分后，每个小区间长度均为2n .2．把区间[a ，b ] (a <b )n 等分之后，第i 个小区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n (b －a )，i n (b －a ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋i －1n ，a ＋i n D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋i －1n (b －a )，a ＋i n (b －a ) 答案 D解析 区间[a ，b ](a <b )长度为b －a ，n 等分之后，每个小区间长度均为b －a n ，第i 个小区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋i －1n (b －a )，a ＋i n (b －a )(i ＝1,2，…，n )． 3．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值，可以近似替代为( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n D ．f (0) 答案 C4．对于以v ＝v (t )在[0，t ]内汽车作直线运动经过的路程S ，下列叙述正确的是( )A ．将[0，t ]n 等分，若以每个小区间左端点的速度近似替代时，求得的s 是S 的不足估计值B ．将[0，t ]n 等分，若以每个小区间右端点的速度近似替代时，求得的s 是S 的过剩估计值C ．将[0，t ]n 等分，n 越大，求出的s 近似替代S 的精确度越高D ．将[0，t ]n 等分，当n 很大时，求出的s 就是S 的准确值答案 C解析 每个小区间左端点的速度不一定是该区间上速度的最小值，右端点的速度也不一定是该区间上速度的最大值，n 越大，所得估计值近似替代准确值的精确度越高，只有当n →＋∞时，估计值才是准确值．5．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间所走的路程为________．答案 12解析 曲线v (t )＝t ，直线t ＝0、直线t ＝1与横轴围成的三角形的面积为12.6．在求由抛物线y ＝x 2与直线x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[0,2]等分成n 个小区间，则第i 个区间为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n 7．试估计由曲线y ＝x ，x ＝1及x 轴所围成的平面图形的面积，并写出估计值的误差．解首先画出图像：将区间[0,1]5等分，即插入4个分点，在每个分点处作与y 轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成5个小曲边梯形；若用f (0.2)，f (0.4)，f (0.6)，f (0.8)，f (1)分别表示这5个小曲边梯形的高，则得出曲边梯形的过剩估计值为S 1＝(0.2＋0.4＋0.6＋0.8＋1)×0.2≈0．75若用f (0)，f (0.2)，f (0.4)，f (0.6)，f (0.8)分别表示这5个小曲边梯形的高，则得出曲边梯形的不足估计值为s 1＝(0＋0.2＋0.4＋0.6＋0.8)×0.2≈0.55.无论是过剩估计值还是不足估计值，误差都不超过0.20.二、能力提升8．由直线x ＝1，y ＝0，x ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是( )A.119B.111256C.1127D.2564答案 D解析 将区间[0,1]四等分，得到4个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14，⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34，⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1，以每个小区间右端点的函数值为高，4个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫343×14＋13×14＝2564. 9．直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________.答案 3.92 5.52解析 分别以小区间左、右端点的纵坐标为高，求所有小矩形面积之和． S 1＝(02＋1＋0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1)×0.4＝3.92；S 2＝(0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1＋22＋1)×0.4＝5.52.10．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________． 答案 55解析 ∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值S ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.11．弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即为：F (x )＝3x (x 是伸长量，单位：m，力的单位：N)．试估计弹簧从平衡位置拉长5 m所做的功，并写出估计值的误差．解将[0,5]5等分，即插入4个分点，则将整个功分成5个小位移段内的功；若用F(1)，F(2)，F(3)，F(4)，F(5)分别近似替代F引起的物体在0～1 m,1～2 m,2～3 m,3～4 m,4～5 m段内运动时所受的力的平均大小，则得出功的过剩估计值为W1＝[3×1＋3×2＋3×3＋3×4＋3×5]×1＝45(J)；若用F(0)，F(1)，F(2)，F(3)，F(4)分别近似替代F引起的物体在0～1 m,1～2 m,2～3 m,3～4 m,4～5 m段内运动时所受的力的平均大小，则得出功的不足估计值为W2＝[3×0＋3×1＋3×2＋3×3＋3×4]×1＝30(J)无论是过剩估计值还是不足估计值，误差都不超过15 J.12．如果汽车在某一段时间内的速度函数为v(t)＝10t,0≤t≤5，试估计汽车在这段时间走过的路程，并写出估计值的误差．解将区间[0,5]5等分，即插入4个分点，则将整个路程分成5个时间段内的路程．若用v(1)，v(2)，v(3)，v(4)，v(5)分别近似替代这5个时间段内的平均速度，则得出所求路程的过剩估计值为S＝(10×1＋10×2＋10×3＋10×4＋10×5)×1＝150 (m)．若用v(0)，v(1)，v(2)，v(3)，v(4)分别近似替代这5个时间段内的平均速度，则得出所求路程的不足估计值为s＝(10×0＋10×1＋10×2＋10×3＋10×4)×1＝100 (m)．无论是过剩估计值还是不足估计值，误差都不超过50 m.三、探究与创新13．设力F作用在质点m上，使m沿x轴正方向从x＝0运动到x＝10，已知F＝F(x)＝1x＋1且和x轴正向相同．求F对质点m所做的功．解(1)将[0,10]10等分，即插入9个分点，则将整个功分成10个小位移段内的功．(2)若用F(0)，F(1)，F(2)，F(3)，F(4)，F(5)，F(6)，F(7)，F(8)，F(9)分别近似替代F引起的物体在0～1 m，1～2 m,2～3 m,3～4 m,4～5 m,5～6 m,6～7 m,7～8 m,8～9 m,9～10 m段内运动时所受的力的平均大小，则得出功的过剩估计值为W 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋12＋13＋…＋110×1≈2.93； 若用F (1)，F (2)，F (3)，F (4)，F (5)，F (6)，F (7)，F (8)，F (9)，F (10)，分别近似替代F 引起的物体在0～1 m ，1～2 m ，2～3 m,3～4 m,4～5 m,5～6 m,6～7 m,7～8 m ，8～9 m,9～10 m 段内运动时所受的力的平均大小，则得出功的不足估计值为W 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋…＋110＋111×1≈2.02. 无论是过剩估计值还是不足估计值，误差都不超过0.91.。
4.1.1 定积分的背景面积和路程问题 同步课件(北师大版选修2-2)
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解
将区间[0,1] 5等分，如图
如图(1)中，所有小矩形的面积之和(记为S1)，显然为过剩估计
值，
S1＝(0.23＋0.43＋0.63＋0.83＋13)×0.2＝0.36，
如图(2)中，所有小矩形的面积之和(记为s1)，显然为不足估计 值， s1＝(03＋0.23＋0.43＋0.63＋0.83)×0.2＝0.16， 因此，该曲边梯形的面积介于0.16与0.36之间．
2 2 2 2
(2)1 ＋2 ＋3 ＋„＋n
3
3
3
3
nn＋1 2 ＝ 2
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题型一 估计曲边梯形的面积
【例1】 估计直线x＝0，x＝1，y＝0与曲线y＝x3所围成的曲
边梯形的面积． [思路探索] 可先将 [0,1] 等分，分别计算其过剩估计值与 不足估计值即可．
§1 定积分的概念
1．1 定积分的背景——面积和路程问题
【课标要求】 1．了解定积分的实际背景．
2．了解“以直代曲”“以不变代变”的思想方法．
3．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．
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【核心扫描】
1．“以直代曲”，“以不变代变”的思想的运用．(难点)
2．正确求出曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．(重点)
积，只要判断准函数v(t)的单调性，就不难得出不足估计值
和过剩估计值．
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【解题流程】 分割 → 以直代曲 → 求和 → 近似估计 → 估计误差
[规范解答] 将行驶时间1 h平均分成10份．
分别用v(0)、v(0.1)、v(0.2)、v(0.3)、v(0.4)、v(0.5)、v(0.6)、v(0.
4.1.1定积分的背景——面积和路程问题
4.1.1定积分的背景——面积和路程问题1.1定积分的背景——面积和路程问题教学过程:一、问题引入师：1.求下图中阴影部分的面积：师：对于哪些图形的面积，大家会求呢？师：对于，，，围成的图形的面积如何来求呢？今天我们一起来探究这种曲边图形的面积的求法。
二、学生活动与意义建构让学生自己探求，讨论让学生说出自己的想法希望学生说出以的面积近似代替曲边三角形的面积，但误差很大，如何减小误差呢？希望学生讨论得出将曲边三角形进行分割，形成若干个曲边梯形。
师：如何计算每个曲边梯形的面积呢？方案一方案二方案三方案一：用一个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，三角形的面积越小，小矩形的面积就可以近视代替曲边梯形的面积。
方案二：用一个大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，三角形的面积越小，大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积。
方案三：以梯形的面积来近似代替曲边梯形的面积。
这三种方案是本节课内容的核心，故多花点时间引导学生探求，讨论得出，让学生体会“以曲代直”的思想，从近似中认识精确，给学生探求的机会）师：这样，我们就可以计算出任意一个小曲边梯形的面积的近似值，从而可以计算出整个曲边三角形面积的近似值，，并且分割越细，面积的近似值就越精确，当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求的曲边三角形的面积。
如何求这个曲边三角形的面积，以方案一为例：⑴分割细化将区间等分成个小区间，，…，，…，，每个区间的长度为，过各个区间端点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，它们的面积分别记作，，…，，…，。
⑵以直代曲对区间上的小曲边梯形，以区间左端点对应的函数值为一边的长，以为邻边的长的小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积。
即⑶作和因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值，所以个小矩形面积之和就是所求曲边三角形面积的近似值：⑷逼近当分割无限变细时，即无限趋近于当趋向时，无限趋近于，无限趋近于，故上式的结果无限趋近于，，即所求曲边三角形面积是。
定积分的背景——面积和路程问题
An
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替
小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为
A A1+ A2 + + An
—— 以直代曲,无限逼近
曲边梯形的面积
—— 分成很窄的小曲边梯形， 然后用矩形面积代替后求和。
分割越细，面积的近似值就越精确。当分 割无限变细时，这个近似值就无限逼近所 求曲边梯形的面积S。
v(t) t 2 10t 25 (0 t 5)
请估计汽车在刹车过程中滑行的距离 s .
分析：由已知，汽车在刚开始刹车时的速度是
v(0)=25m/s,我们可以用这个速度来近似替代汽车在
这段时间内的平均速度，求出汽车的滑行距离：
s=25×5=125(m)
但显然，这样的误差太大了. 为了提高精确度，我们可以采用分割滑行时间的方法 来估计滑行距离. 首先，将滑行的时间5s平均分成5份.
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。
解把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把 这些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:
因此, 我们有理由相
信, 这个曲边三角形
y
的面积为:
S
lim
n
Sn
S2还是用s2来表示S，误差都不超过0.1.
(4)
o
结论：区间分得越细，误差越 小.当被分割成的小区间的长度 趋于0时，过剩估计值和不足估 1 x 计值都会趋于曲边梯形的面积.
通过下面的演示我们如何做到使误差小于0.01.
输入数 字，点 击确定.
练一练：
第四章 1.1定积分的背景——面积和路程问题最新衡水中学自用精品教学与导学设计
1．1定积分的背景——面积和路程问题明目标、知重点1．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法．2．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．1．曲边梯形的概念曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图所示)．2．求曲边梯形面积的步骤①分割，②近似替代，③求和，④逼近．[情境导学]任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？探究点一求曲边梯形的面积思考1如何计算下列两图形的面积？答①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．思考2如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．思考3能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？求曲边梯形的面积有哪几个主要步骤，其中体现了什么数学思想？答可以通过将区间分割，得到一些小矩形，计算曲边梯形面积的过剩估计值和不足估计值，然后将区间分得更细，过剩估计值和不足估计值都会趋于曲边梯形的面积．(如图)求曲边梯形面积可以通过四个主要步骤完成，它们是：分割、近似替代、求和、逼近，其中体现了“以直代曲”和“无限逼近”的数学思想．例1求由曲线f(x)＝2x，直线x＝1，直线x＝0及x轴所围成的平面图形的面积S，并写出估计值的误差．解(1)分割：将区间[0,1]5等分，即插入4个分点，在每个分点处作与y轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成5个小曲边梯形；(2)近似替代：若用f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)，f(1)分别表示这5个小曲边梯形的高，分别得到每个小曲边梯形的面积f(0.2)·0.2，f(0.4)·0.2，f(0.6)·0.2，f(0.8)·0.2，f(1)·0.2.若用f(0)，f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)分别表示这5个小曲边梯形的高，分别得到每个小曲边梯形的面积f(0)·0.2，f(0.2)·0.2，f(0.4)·0.2，f(0.6)·0.2，f(0.8)·0.2；(3)求和：由上述方法得曲边梯形面积的过剩估计值为S1＝(20.2＋20.4＋20.6＋20.8＋21)×0.2≈1.55，。
高中数学第四章定积分4.1.1定积分背景——面积和路程问题3222数学
C
O EF
D
x
第五页，共四十四页。
定积分 的概念 (jīfēn)
1.1、定积分的背景——面积(miàn jī)和路程问题
第六页，共四十四页。
曹冲称象的故事 (gùshì)
第七页，共四十四页。
曹冲称象
（1）大象(dà xiànɡ)的重量等
为 价成一堆小石子的重量 整零
化
积为 零整
（2）将小石子的重量 (zhòngliàng)称出来
第二十五页，共四十四页。
1、化整为零：将原图形分割(fēngē)成许多小曲边梯形。
2、以直代曲：对任意一个(yī
小曲边梯形，将不易
ɡè)
2计 问、题算用，的什将“么曲曲图边边形梯”的形面问面积题积作转问为化题原转为面化容积为易的长计近方算似形的(j的ìn“sì)面解直积更边方”便计算？
问题来解决。
第三十一页，共四十四页。
第三十二页，共四十四页。
1、分割；2、近似(jìn sì)代替；3、求和；4、取极限值
v(t)=t2-1 0 t+ 2 5 (0t5 )
S 1 [ v ( 0 ) v ( 1 ) v ( 2 ) v ( 3 ) v ( 4 ) 1 ] 5 s 1 [ v ( 1 ) v ( 2 ) v ( 3 ) v ( 4 ) v ( 5 ) 1 ] 3
积为 零整
（2）将这n个部分的面积加 起来
得到的小石子重量和就是大 得到的n部分面积和就是圆的面
象的重量
积
无限(wúxiàn)分割
第二十一页，共四十四页。
以直代曲
一. 求曲边梯形 的面积 (tīxíng)
y
y=f (x)
x=a
O
a
高中数学 第四章 定积分 4.1.1 定积分的背景——面积和路程问题课件 北师大版选修2-2
高中数学 第四章 定积分 4.1.1 定积分的背景——面积和路程问题课件 北师大版选修2-2
11
第四章 定 积 分 §1 定积分的概念 1.1 定积分的背景——面积和路程问题
22
33
1.曲边梯形 如图.由直线x=a，x=b(a≠b)，y=0和曲线y=f(x)所围成的 图形(图中阴影所示).
1111
(2)求曲边梯形的面积时，不足估计值小于等于过剩估 计值. ( ) (3)若曲边梯形的面积可求，则不足估计值与过剩估计 值的极限相等. ( )
1122
提示：(1)×.面积只能大于等于0，为非负值.
(2)√.由不足估计值与过剩估计值的概念可知正确.
(3)√.曲边梯形的面积可求，则S=
l
n
【解析】每个小区间长度为1（1） 2 .
nn
答案：2
n
2299
【加练·固】 求由直线x=1，x=2和y=0及曲线y=x3所围成图形的
面积的估计值，并写出估计误差.(将区间5等分)
3300
【解析】把区间[1，2]5等分，以每一个小区间的左端 点的纵坐标为小矩形的高，所有小矩形面积之和为不 足估计值s，s=(13+1.23+1.43+1.63+1.83)×0.2=3.08.
3377
分别用v(0.1)，v(0.2)，v(0.3)，…，v(1)近似替代汽 车在0～0.1 h，0.1～0.2 h，…，0.8～0.9 h，0.9～ 1 h的平均速度，求出汽车在1 h时行驶的路程的不足 估计值S2， S2= [v(0.1)+ v(0.2)+ v(0.3)+…+v(1)] ×0.1 =1.615(km)，
3311
定积分的背景——面积和路程问题
案例分析新课程NEW CURRICULUM一、教学内容分析课题：定积分的背景—面积和路程问题课型：新授课教材：《普通高中课程标准数学教科书·数学选修2-2》（北师大版）教材分析：本节的主要内容是展现定积分的实际背景，形成定积分的概念。
教材设计了3个实例：求曲边梯形的面积、根据物体运动的速度求路程、求物体拉力做的功。
通过这些问题的解决，总结这些问题的解决思路：即通过分割求和、加细、减小误差，然后再提高精确度的过程，这个过程是定积分思想的核心，为定积分概念的引入奠定了背景和方法的基础。
二、学情分析从学生的思维特点看，会从物理角度对问题进行解决。
这是积极因素，应因势利导。
教学对象是学生，虽然经过一年多的高中数学学习，具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。
三、设计思想《新课程改革纲要》提出，要“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”。
对这一目标本人认为更加注重培养学生作为学习主体的能动性、独立性、创造性、发展性。
四、教学目标1.知识与技能：（1）了解定积分的实际背景。
（2）借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念。
2.过程与方法：通过洞察不同背景问题中蕴涵的相同数学内涵的过程，领会如何先考虑得到近似解，然后再研究提高精确程度的定积分的解决问题的基本方法，提高从数学角度分析和看待问题的能力。
3.情感、态度与价值观：通过对不同背景下的问题用统一数学方法的揭示，认识数学与实际生活的联系，以及数学的广泛应用。
五、教学重点与难点1.教学重点：对实际问题解决的分析（即如何通过分割、求和、取极限求出曲边梯形面积和变速直线运动物体的路程），这个过程是积分思想的灵魂。
2.教学难点：例题的分析及解题思路的总结提炼。
高中数学定积分的背景-面积和路程
பைடு நூலகம்
的函数值f(ξi)作为小矩形的高， 1 1 1 1 以此近似，情况又怎样呢？ S lim S lim (1 )(1 )
n n n
3
n
2n
3
求曲边梯形面积的“四步曲”： 1°分割 2°近似代替 化整为零 以直代曲
3°求和 4°取极限
积零为整 刨光磨平
作业：求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成 的曲边梯形的面积． 课后探究：以区间内任意点ξi的函数值 f(ξi)作高，求此时曲边梯形的面积．
问题1：我们是怎样计 算圆的面积的？圆周率 是如何确定的？ 问题2：“割圆术”是 怎样操作的？对我们有 何启示？
Archimedes，约公元前 287年—约公元前212年
建构主义要求在课堂上体现思想方法的自主 建构过程，让学生去尝试，经历挫折，讨论、 调整、选择更合理的解题思路．
合作探究：
①线段OB近似曲边OB；
②分割，矩形近似；
③分割越多，小矩形的 面积之和越接近曲边梯 形的面积；
解题思想 “细分割、近似和、渐逼近”
F S1
S2 S>S1+S2
图象放大
C
D
E
例题：求由抛物线y=x2与直线x=1,y=0所 围成的平面图形的面积． 解： 1°分割：将区间[0,1]分成n等份：
1 1 2 2°近似代替：用小矩形 n 1 0, , , , , ,1 代替小曲边梯形 n n n n
4°取极限： △S1, △S2,…, △Sn
例题：求由抛物线y=x2与直线x=1,y=0所 围成的平面图形的面积． 练习：试以区间右端点的函数值作高，近 似、求和、取极限，计算此时曲边梯形的 面积．
4.1.1《定积分的背景--面积和路程问题》课件(北师大版选修2-2)
所以S-s=0.3.
答案：0.3
5.变速运动的物体的速度和时间之间的函数关系式为 v(t)=t+2，估计该物体在区间［0,2］内运动的路程.若将区 间10等分，则其不足估计值为_____. 【解析】把区间［0,2］10等分，取小区间的左端点的函数值 作为小区间的平均速度，可得不足估计值为： s=(2+2.2+2.4+2.6+2.8+3.0+3.2+3.4+3.6+3.8)×0.2=5.8. 答案：5.8
估计值，分割的越细，估计值就越接近精确值.
典型例题精析
知能巩固提高
一、选择题（每题5分，共15分） 1.（2010·安庆高二检测）在“近似替代”中，函数f(x)在区
间［xi,xi+1］上的近似值等于（
）
（A）只能是区间的左端点的函数值f(xi) （B）只能是区间的右端点的函数值f(xi+1) （C）可以是区间内的任意一点的函数值f(ξ i)（ξ i∈ ［xi,xi+1］） （D）以上答案均正确 【解析】选C.以直代曲，可以把区间［xi,xi+1］上的任意一点 的函数值f(ξi)（ξi∈［xi,xi+1］）作为小矩形的高.
【解题提示】首先根据题设信息，求出过剩估计值与不足 估计值，然后确定答案. 【解析】选D.由例2的练一练1可知，其过剩估计值与不足估计 值分别为19.8g、16.2g，则估计值应在［16.2g,19.8g］之间.
二、填空题（每题5分，共10分） 4.求曲线y= 1 x2与直线x=1，x=2，y=0所围成的平面图形的面 积时，把区间5等分，其估计误差不超过_____. 【解析】分别以左、右端点的函数值为小矩形的高，得此平面 图形面积的不足估计值s和过剩估计值S如下：
高中数学第四章定积分4.1.1定积分背景——面积和路程问题4222数学
12/9/2021
2
第三页，共二十二页。
引入新课 合作探究 思考交流
学以致用(xué yǐ zhì yòng) 课堂小结 置
作业布
探究1（阿基米德问题）：求由抛物线y=x2与直线
x=1,y=0所围成的平面(píngmiàn)图形的面积．
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Archimedes，约公元前
4.1.1
定积分的背景
—面积和路程(lùchéng)问题
12/9/2021
第一页，共二十二页。
引引入入新新课课 合合作作探探究究 思思考交考流交流 学以学致以用致用 课堂课小堂结小结作业(作zuò业yè布)布置置
我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形(túxíng)都是由直线段围成的。
形的面积。
12/9/2021
第十四页，共二十二页。
14
引入新课 合作探究 思考交流
学以致用 课堂小结 作业(zuòyè)布置
探究2 求变速运动的路程 一辆汽车在直线形公路上变速行驶，汽车在时刻(shíkè)t的速度为v(t) ＝－t2＋5(单位：km/h)．试估计这辆汽车在0≤t≤2
(单位：h)这段时间内行驶的路程．
287年—约公元前212年
3
第四页，共二十二页。
引入新课 合作探究 思考(sīkǎo)交流
学以致用 课堂小结 作业布置
问题1：我们古代(gǔdài)的数学家是怎样计算圆的面积的？
圆周率是如何确定的？
割圆术
刘徽
祖冲之
12/9/2021
4
第五页，共二十二页。
引入新课 合作探究 思考交流
学以致用 课堂小结(xiǎojié) 作业布置
定积分的背景——面积和路程问题名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
不论用过剩估计值s1还是不足估计值 表达s， 误差都不超出：
要对区间多少等分时，才干确保估计误差不大于0.1？
为了得到愈加精确旳估计值，能够将滑行时间分 得更细些，因为我们懂得，滑行时间旳间隔越小， 用其中一点旳速度替代这段时间内旳平均值，其 速度误差就越小. 例如，将滑行时间5s平均提成10份. 用类似旳措施得到汽车在5s内滑行距离旳过剩估 计值s2：
= [v(0)+ v(0.1)+ v(0.2)+… +v(0.9)] ×0.1
=1.715(km).
分别用v(0.1)，v(0.2)，v(0.3)，… v(1)近似替代 汽车在0～0.1h，0.1～0.2h，… 0.8～0.9h,0.9～ 1h旳平均速度，求出汽车在1h时行驶旳旅程旳不足 估计值
= [v(0.1)+ v(0.2)+ v(0.3)+…+v(1)] ×0.1
5.求由曲线y=1+x2与直线x=0,x=2，y=0所围成旳平面图
形旳面积旳估计值，并写出估计误差.（将区间10等分）
解析 把区间［0,2］10等分，以每一种小区间旳左、右 端点旳函数值作为小矩形旳高，得到面积旳不足估计值s 和过剩估计值S如下： s=［ (1+02)+(1+0.22)+(1+0.42)+(1+0.62)+(1+0.82) +(1+1.02) +(1+1.22)+(1+1.42)+(1+1.62)+(1+1.82) ］×0.2=4.28, S=［ (1+0.22)+(1+0.42)+(1+0.62)+(1+0.82)+(1+1.02) +(1+1.22)+(1+1.42)+(1+1.62)+(1+1.82)+(1+2.02)
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汽车在5s内滑行距离的不足估计值 s 2：
s v ( 1 . 5 ) v ( 2 ) v ( 5 ) 0 . 5 3 5 . 6 2 5 ( m )
不论用过剩估计值s1还是不足估计值 s表1 示s，
误差都不超过：
s1s1 25(m )
要对区间多少等分时，才能保证估计误差小于0.1？
为了得到更加精确的估计值，可以将滑行时间分 得更细些，因为我们知道，滑行时间的间隔越小， 用其中一点的速度代替这段时间内的平均值，其 速度误差就越小. 比如，将滑行时间5s平均分成10份. 用类似的方法得到汽车在5s内滑行距离的过剩估 计值s2：
探究点1 曲边梯形的定义
y
y f(x)
oa
bx
图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的，通常
称这样的平面图形为曲边梯形.
曲边梯形定义： 我们把由直线 x = a，x =b (a≠b)， y = 0和
曲线y = f (x) 所围成的图形叫作曲边梯形.
对曲边梯形概念的理解：
（1）曲边梯形是由曲线段和直线段所围成的平面 图形. （2）曲边梯形与“直边图形”的主要区别在于前者 有一边是曲线段而“直边图形”的所有边都是直线段.
通过下面的演示我们如何做到使误差小于0.01.
输入数 字，点 击确定.
练一练：
求曲线y=x3与直线x=1,y=0所围成的平面图 形的面积的估计值，并写出估计误差.（把区间 [0，1] 5等分来估计）
解析 把区间 [0，1] 5等分，以每一个小区间
左右端点的函数值作为小矩形的高，得到不足
估计值
s
图 (2) 中，所有阴影小矩形的面积之和(记为s1) 显然小于所求曲边梯形的面积，我们称s1为S的不足 估计值，有
s 1 ( 0 2 0 . 2 2 0 . 4 2 0 . 6 2 0 . 8 2 ) 0 . 2 0 . 2 4 .
y
s1
o
1x
（2）
思考：我们可以用S1或s1近似表示S，但是都存在 误差，误差有多大呢？
定积分的背景——面积 与路程问题
高二数学 选修2-1
第四章 定积分
以上由曲线围成的图形的面积该怎样计算？
我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的 面积，这些图形都是由直线段围成的.那么，如何求 曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解 决的问题.
定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛 的应用.本节我们将了解定积分的实际背景；借助几 何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的 概念.
提示：二者之差为S1-s1=0.2 如图(3)中阴影所示，无论用S1还是用s1来表示曲边 梯形的面积，误差都不会超过0.2.
y
o
1x
（3）
为了减小误差，我们将区间[0，1] 10等分，则
所求面积的过剩估计值为
S 2 ( 0 .1 2 0 .2 2 1 2 ) 0 .1 0 .3 8 5 .
不足估计值为
s 2 ( 0 2 0 . 1 2 0 . 2 2 0 . 9 2 ) 0 . 1 0 . 2 8 5 .
y
二者的差值为S2-s2=0.1，此时，无论用
S2还是用s2来表示S，误差都不超过0.1.
(4)
o
结论：区间分得越细，误差越 小.当被分割成的小区间的长度 趋于0时，过剩估计值和不足估 1 x 计值都会趋于曲边梯形的面积.
我们分别用v(0),v(1),v(2),v(3),v(4) 近似替代汽车在
0～1s、1～2s、2～3s、3～4s、4～5s内的平均速度， 求出滑行距离s1：
s 1 v ( 0 ) v ( 1 ) v ( 2 ) v ( 3 ) v ( 4 ) 1 5 5 ( m )
由于v是下降的，所以显然s1大于s,我们称它为汽
v(t)t210t25(0t5)
请估计汽车在刹车过程中滑行的距离 s .
分析：由已知，汽车在刚开始刹车时的速度是
v(0)=25m/s,我们可以用这个速度来近似替代汽车在
这段时间内的平均速度，求出汽车的滑行距离：
s=25×5=125(m)
但显然，这样的误差太大了. 为了提高精确度，我们可以采用分割滑行时间的方法 来估计滑行距离. 首先，将滑行的时间5s平均分成5份.
车在5 s内滑行距离的过剩估计值.
用v(1),v(2),v(3),v(4),v(5)分别近似替代汽车
在0～1s、1～2s、2～3s、3～4s、4～5s内的平均速
度，求出汽车在5s内滑行距离的不足估计值 s 1：
s 1 v ( 1 ) v ( 2 ) v ( 3 ) v ( 4 ) v ( 5 ) 1 3 0 ( m )
和过剩估计值
1
，S 1 如下：
s 1 (030.230.430.630.83)0.20.16 S 1 (0.230.430.630.8313)0.20.36
估计误差不会超过 S 1- =s 10.2
探究点3 估计变速运动的路程 已知匀速运动物体的速度v和运动的时间t,
我们可以求出它走过的路程s=vt,那么如何求非匀 速运动的物体走过的路程呢？ 问题2 想象这样一个场景：一辆汽车的司机猛踩刹车， 汽车滑行5s后停下，在这一过程中，汽车的速度 v （单位：m/s)是时间 t 的函数：
探究点2 估计曲边梯形的面积
割圆术
我们曾经用正多边形逼近圆 的方法 (即“以直代曲”的思想) 计算出了圆的面积，能否也用直 边形(如矩形)逼近曲边梯形的方 法求阴影部分的面积呢？
问题1 图中阴影部分是由抛物线 y x2 ，直线 x 1 以及 x 轴所围成的平面图形，试估计这个曲边梯形 的面积 S .
y
y x2
o
1x
分析 首先，将区间[0，1]5等分，如图所示. y
S1
o
1
（1）
x
图 (1) 中，所有小矩形的面积之和（记为S1)显然 大于所求的曲边梯形的面积，我们称S1为S的过剩估 计值，有
S 1 ( 0 . 2 2 0 . 4 2 0 . 6 2 0 . 8 2 1 2 ) 0 . 2 0 . 4 4