高考数学解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型
高考数学 圆锥曲线的概念,解题方法、题型、易误点总结 试题
卜人入州八九几市潮王学校数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：〔1〕第一定义中要重视“括号〞内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的间隔的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段F F，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的间隔的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|F F|，定义中的“绝对值〞与＜|F F|不可无视。
假设＝|F F|，那么轨迹是以F，F为端点的两条射线，假设﹥|F F|，那么轨迹不存在。
假设去掉定义中的绝对值那么轨迹仅表示双曲线的一支。
比方：①定点，在满足以下条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是A．B．C．D．〔答：C〕；②方程表示的曲线是_____〔答：双曲线的左支〕〔2〕第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母〞，其商即是离心率。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点间隔与此点到相应准线间隔间的关系，要擅长运用第二定义对它们进展互相转化。
如点及抛物线上一动点P〔x,y〕,那么y+|PQ|的最小值是_____〔答：2〕2.圆锥曲线的HY方程〔HY方程是指中心〔顶点〕在原点，坐标轴为对称轴时的HY位置的方程〕：〔1〕椭圆：焦点在轴上时〔〕〔参数方程，其中为参数〕，焦点在轴上时＝1〔〕。
方程表示椭圆的充要条件是什么？〔ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B〕。
比方：①方程表示椭圆，那么的取值范围为____〔答：〕；②假设，且，那么的最大值是____，的最小值是___〔答：〕〔2〕双曲线：焦点在轴上：=1，焦点在轴上：＝1〔〕。
方程表示双曲线的充要条件是什么？〔ABC≠0，且A，B异号〕。
比方：①双曲线的离心率等于，且与椭圆有公一共焦点，那么该双曲线的方程_______〔答：〕；②设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，那么C的方程为_______〔答：〕〔3〕抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。
巧用八种几何性质解决圆锥曲线问题
巧用几何性质求解圆锥曲线问题一．圆锥曲线定义与几何意义结合例题1 如图，12(,0),(,0)F c F c -分别为双曲线2222:1(,0)x y a b a bΓ-=>的左、右焦点，过点1F 作直线l ，使直线l 与圆222()x c y r -+=相切于点P ,设直线l 交双曲线Γ的左右两支分别于A 、B 两点（A 、B 位于线段1F P 上），若1::2:2:1F A AB BP =,则双曲线Γ的离心率为（ ）A ．5B 265C ．2623D ．263【解析】连接2AF ，2BF ，设||BP x =则1||||2F A AB x ==，即1||5PF x =，||3PA x =， 根据双曲线定义可知，12||||2BF BF a -=即21||||242BF BF a x a =-=-21||||2AF F A a -=即21||2||22AF a F A a x =+=+，直线l 与圆222()x c y r -+=相切于点P ，∴21PF PF ⊥，在12Rt F PF ∆中22222222121||||||(2)(5)425PF F F PF c x c x =-=-=-①在2Rt APF ∆中222222222||||||(22)(3)458PF AF PA a x x a x ax =-=+-=-+② 在2Rt BPF ∆中222222222|||B |||(42)()15416PF F PB x a x x a ax =-=--=+-③②③联立得222245815416a x ax x a ax -+=+-，即65x a =①②联立得2222425458c x a x ax -=-+即22244208c a x ax =++④将65x a =代入④，即222664420855c a a a a ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得22535c a =即225326555c c e a a ====，选B巩固1 已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】如图所示，利用抛物线的定义知：MP MF =当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，且最小值为1CP r CP -=- 抛物线的准线方程：1y =-，()1,4C ，415CP ∴=+=，()min514MA MF ∴+=-=，选B二．余弦定理在圆锥曲线中的应用例题2 如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0,F c F c P -是椭圆C上一点，O 为坐标原点，若1260F PF ∠=，且223PO a =，则椭圆C 的离心率是A ．22B ．32C ．63D ．23【解析】设12,PF m PF n ==.由椭圆的定义，得2m n a +=，① 在12PF F △中，由余弦定理，得2222cos60(2)m n mn c ︒+-=，②2-①②得：()2234mn a c =-，③将③代入②，得22224833m n a c +=+ 在1POF 中，由余弦定理，得2221||2||cos PO c PO c FOP m +-⨯⨯∠=，④ 在2POF 中，由余弦定理，得2222||2||cos PO c PO c F OP n +-⨯⨯∠=，⑤④+⑤，得2222222216482||22933a m n PO c c a c +=+=+=+，化简，得2223a c =，故6e =，选C 三．圆锥曲线定义的灵活应用例题3 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以原点O 为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线E 的右支相交于A ，B 两点，若四边形2AOBF 为菱形，则双曲线E 的离心率为（ ）A 31B 3C 2D 21【解析】如图，∵四边形2AOBF 为菱形，∴22||AF OA OF c === 又∵12F F 是圆O 的直径，∴1290F AF ∠=︒，∴()22123AF c c c =-=∴由双曲线的定义可得：122(31)AF AF a c -==-，∴3131e ==-，选A 巩固2 设点P 是以1F ，2F 为左、右焦点的双曲线2222 1(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，且满足120PF PF ⋅=，直线1PF 与圆2224a x y +=有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A ．32B 32C 10D 10【解析】如图所示1F ，2F 为双曲线的左、右焦点，∴()1,0F c -，()2,0F c ，120PF PF ⋅=，∴12PF PF ⊥直线1PF 与圆2224a x y +=有且只有一个公共点，∴直线1PF 与圆2224a x y +=相切，设切点为E∴1OE PF ⊥，∴2OE PF ，又O 为12F F 的中点，∴E 为1PF 的中点，22PF OE a ==又1OF c =，2a OE =，∴2214a F E c =-，根据双曲线定义，222224a PF PF c a a -=-=解得10c e a =，选D 四．圆锥曲线几何意义与不等式练习例题4 直线l 过抛物线24y x =的焦点且与抛物线交于A ，B 两点，则4||||AF BF +的最小值是A ．10B ．9C ．8D ．7【解析】由抛物线标准方程可知p =2因为直线l 过抛物线24y x =的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知1121AF BF p+== 所以4AF BF +()114AF BF AF BF ⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭441BF AF AF BF ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭因为AF BF 、为线段长度，都大于0，由基本不等式可知 444152BF AF BF AFAF BF AF BF ⎛⎫+++≥+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭522≥+⨯=9，此时2BF AF =，选B 巩固3 已知P 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）左支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，M 为虚轴的一个端点，若2||MP PF +的最小值为12F F ，则C 的离心率为（ ）A ．262+ B ．26+C ．426+ D ．46+【解析】21||||2MP PF MP PF a+=++221222MF a b c a c +=++=即22222c a a c -+=，化简得222850c ac a -+=，即22850e e -+= 解得462e +=或462e -=，所以462e +=，选C 巩固4 已知点()4,2M --，抛物线24x y =，F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线，P 为抛物线上一点，过P 作PQ l ⊥，点Q 为垂足，过P 作FQ 的垂线1l ，1l 与l 交于点R ，则QR MR +的最小值为（ ） A ．125+B ．25C ．17D ．5【解析】根据抛物线定义得PF PQ =，1l FQ ⊥，则1l 为FQ 的垂直平分线FR RQ ∴=，()224125QR MR FR MR FM ∴+=+≥=++=,选D五．向量几何意义与圆锥曲线 例题5M 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，且120MF MF ⋅=，直线2MF 交y 轴于点N .若1NF M △的内切圆的半径为b ，则双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．2D ．3【解析】如图所示：因为120MF MF ⋅=，所以三角形1F MN 为直角三角形故它的内切圆半径111222MF MN NF MF MN NF r +-+-==121222MF MN MN MF MF MF a b +---====所以2e =,选A巩固5 过双曲线()222210x y a b a b-=>>右焦点F 的直线交两渐近线于A 、B 两点，若0OA AB ⋅=，O为坐标原点，且OAB 内切圆半径为31a -，则该双曲线的离心率为( ) A ．233B ．3C ．433D ．31+【解析】因为0a b >>，所以双曲线的渐近线如图所示设内切圆圆心为M ，则M 在AOB ∠平分线OF 上 过点M 分别作MN OA ⊥于N ，MT AB ⊥于T ， 由FA OA ⊥得四边形MTAN 为正方形，由焦点到渐近线的距离为b 得FA b =，又OF c =， 所以OA a =，31NA MN ==- 所以3133NO OA AN a =-=--=， 所以tan 3MN b AOF a NO =∠== 得2231b e a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭选A巩固6如图，抛物线21:2(0)C y px p =>，圆222:12p C x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，圆2C 与y 轴相切，过1C 的焦点F 的直线从上至下依此交1C ，2C 于,,,A B C D ，且||||AB BD =，O 为坐标原点，则DA 在OF 方向上的投影为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】由圆2C 与y 轴相切可知，12p = ，解得2p =，所以21:4C y x =，()222:11C x y -+= 由题意知，()1,0F ,设()()1122,,,A x y D x y 直线:AD 1x my =+，与抛物线方程联立得214x my y x=+⎧⎨=⎩ ，即2440y my --= 由韦达定理知，124y y m +=，124y y =-，则()21212242x x m y y m +=++=+，()21212116y y x x ==因为||||AB BD =，则()221,2B m m +，代入2C 得，424410m m +-=，解得2212m = 因为()()1212,,1,0DA x x y y OF =--=，所以DA 在OF 方向上的投影为()2212121221442422DA OF x x x x x x OF ⎛⎫⋅-=-=+-=⨯+-= ⎪⎝⎭，故选A巩固7 已知F 1，F 2分别为椭圆22221x y a b＋＝（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为椭圆上一点，O 为坐标原点，且（OP ＋2OF ）·2F P ＝0，｜1PF ｜＝2｜2PF ｜，则该椭圆的离心率为A ．55B ．54C ．53D ．52【解析】如图，取P F 2的中点A ，连接OA ，∴2OA =2OF +OP ，且OA =112F P ，1 O A F P ，又∵（OP ＋2OF ）·2F P ＝0， ∴OA ⊥2F P ，又1OA F P ，∴1PF ⊥2F P ，∵122PF PF =，不妨设|P F 2|=m ，则|P F 1|=2m ∵|P F 2|+|P F 1|=2a =3m ，∴|F 1F 2|=4c 2=m 2+(2m )2=5m 2，∴a c =5，∴e =5，故选C 六．三角形的心在圆锥曲线中例题6 已知14m <<，12,F F 为曲线22:144x y C m+=-的左、右焦点，点P 为曲线C 与曲线22:11E y x m -=-，在第一象限的交点,直线l 为曲线C 在点P 处的切线，若12F PF △的内心为点M ，直线1F M 与直线l 交于N 点，则点N 横坐标为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】如图由椭圆的性质可知，PN 为12F PF ∠外角的角平分线，以N 为圆心作圆与12,PF PF ，x 轴分别相切于,,Q R E所以11121222FQ F E F P PQ c EF F P PR c RF =⇒+=+⇒+=+ ()1222222222F P PR RF c RF a c RF RF a c ⇒++=+⇒=+⇒=-所以2EF a c =-，E x a =，2E N a x x ===，选B巩固8 .平面直角坐标系xOy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B .若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为______【解析】设OA 所在的直线方程为b y x a =，则OB 所在的直线方程为by x a=- 解方程组2{2by x a x py ==得：222{2pbx apb y a==，所以点A 的坐标为2222,pb pb a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 抛物线的焦点F 的坐标为:0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，因为F 是ABC ∆的垂心，所以1OB AF k k ⋅=- 所以2222252124pb p b b a pb a a a ⎛⎫- ⎪-=-⇒=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2222293142c b e e a a ==+=⇒= 巩固9 已知椭圆C ：22162x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，如图AB 是过1F 且垂直于长轴的弦，则2ABF 的内切圆半径是________【解析】设2ABF 内切圆的半径为r ，由椭圆的方程22162x y +=其中6a =2b =222c a b -，1224F F c ==因为AB 是过1F 且垂直于长轴的弦则有222116AF AF -=，122AF AF a +==1AF =，2AF =2ABF 的周长22l AF BF AB =++==面积121142233S AB F F =⨯⨯=⨯=，由内切圆的性质可知，有123r ⨯=，解得23r = 故2ABF 内切圆的半径为23七．斜率的几何意义问题例题7 若实数x ，y 满足222210x y x y +--+=，则42y x --的取值范围为（ ）． A ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．4,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】令42y t x -=-，则24y tx t =-+，联立22242210y tx t x y x y =-+⎧⎨+--+=⎩消失y 得2222(1)(642)41290t x t t x t t ++--+-+=由题意该方程有解∴2222(642)4(1)(4129)0t t t t t ---+-+≥，解得43≥t ，选B 巩固10 已知在平面直角坐标系中，椭圆221:195x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ．直线l ：()()()2121m y m x y m R -+-=+∈交椭圆于P ，Q 两点，直线1A P 和直线2A Q 相交于椭圆外一点R ，则点R 的轨迹方程为_______________．【解析】因为()()()2121m y m x y m R -+-=+∈，所以(22)10m y x x y --+--=由22010y x x y --=⎧⎨--=⎩得1x y =⎧⎨=⎩，故直线l 恒过(1,0)，由题意知，直线PQ 斜率不为0 设PQ 的方程为1x ty =+，112212(,),(,)(0,0)P x y Q x y y y ><，(,)R x y联立椭圆方程，得22(59)10400t y ty ++-=则>0∆，1212224010,,5959ty y y y t t --=+=++，()12124y y y y t+=由1,,A P R 三点共线可得1133y y x x =++，由2,,A Q R 三点共线可得2233y y x x =-- 两式相除可得121222213(3)(2)3(3)(4)x y x y ty x y x y ty ---===+++12121224ty y y ty y y -+()()121122421424y y t y t y y t y t+⋅-==+⋅+，解得9x = 所以点R 在定直线9x =上，故点R 的轨迹方程为9x = 八．阿波罗尼斯圆的应用例题8 古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k （0k >，1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A 、B 间的距离为2，动点P满足PA PB =222PA PB +的最大值为（ ） A．3+B．7+C．8+D．16+【解析】以AB 中点为原点，AB 所在直线为x 轴，则()1,0A -，()10B , 设(),P x y，所以由PAPB==()2223x y -+=()222222212PBP PA B x y +⎡⎤==-+⎣⎦其中()221x y -+看作是圆()2223x y -+=上的点(),x y 到点()1,0的距离的平方， 所以其最大值为(214=+，所以222PA PB+的最大值为(248+=+ C巩固11 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q 、P 的距离之比||||MQ MP λ=(0,1)λλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，定点Q 为x 轴上一点，1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭且2λ=，若点(1,1)B ，则2||||MP MB +的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．10 D．11【解析】C 设(),0Q a ，(),M x y ，根据||||MQ MP λ=和221x y +=求出a 的值 由2||||||||+=+MP MB MQ MB ，两点之间直线最短，可得2||||MP MB +的最小值为BQ 根据坐标求出BQ 即【详解】设(),0Q a ，(),M x y ，所以()22=-+MQ x a y由1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2212⎛⎫=++ ⎪⎝⎭PQ x y ，因为||||MQ MP λ=且2λ=，所以()2222212-+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭x a y x y整理可得22242133+-++=a a x y x ，又动点M 的轨迹是221x y +=，所以24203113a a +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得2a =-，所以()2,0Q -，又=2||MQ MP 所以2||||||||+=+MP MB MQ MB因为(1,1)B ，所以2||||MP MB +的最小值为()()22121010=++-=BQ巩固12 阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对几何问题有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指出的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为()0,1λλλ>≠，那么点M 的轨迹是一个圆，称之为阿波罗尼斯圆.请解答下面问题：已知()3,0A ，()0,0O ，若直线340x y c -+=上存在点M 满足2=MA MO ，则实数c 的取值范围是（ ）A ．()7,13-B ．[]7,13-C ．()11,9-D ．[]11,9-【解析】点M 在直线340x y c -+=上，不妨设点M 的坐标为3,4x c x +⎛⎫⎪⎝⎭由直线340x y c -+=上存在点M 满足2=MA MO ，则()2222333444x c x c x x ⎡⎤++⎛⎫⎛⎫-+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦整理可得()2225632480x c x c +++-=()()22632100480c c ∆=+--≥()()269101370713c c c c c ⇒--≤⇒-+≤⇒-≤≤所以实数c 的取值范围为[]7,13-，选B。
高考数学圆锥曲线大题所有题型解法
高考数学圆锥曲线大题所有题型解法
高考数学圆锥曲线大题的题型多种多样，以下是常见的几种题型和解法：
1.求圆锥曲线的方程：通过给定的条件，根据圆锥曲线的定义和性质，可以求出圆锥曲线的方程。
例如，已知圆锥曲线的焦点、准线或者过定点的直线方程，可以根据定义和性质求出圆锥曲线的方程。
2.求圆锥曲线的性质：通过已知的条件，可以利用圆锥曲线的性质来求解问题。
例如，已知圆锥曲线的焦点和准线，可以求出其焦距、离心率等性质。
3.求直线与圆锥曲线的交点：通过已知的直线方程和圆锥曲线的方程，可以求出它们的交点。
可以将直线方程代入圆锥曲线方程，解方程得到交点的坐标。
4.求切线和法线：通过已知的条件，可以求出圆锥曲线上某点的切线和法线方程。
例如，已知圆锥曲线上一点的坐标，可以求出该点处的切线和法线方程。
5.求曲线的参数方程：对于给定的圆锥曲线方程，可以通过变量替换的方法，将其转化为参数方程。
例如，对于抛物线，可以令y=xt^2，将方程转化为参数方程。
这些只是一些常见的题型和解法，实际上高考数学圆锥曲线大
题的题型和解法还有很多，需要根据具体的题目来进行分析和解决。
掌握圆锥曲线的基本定义、性质和常见的解题方法，能够更好地应对这类题目。
高中圆锥曲线题型及解题方法
高中圆锥曲线题型及解题方法
高中数学中的圆锥曲线是指椭圆、双曲线和抛物线这三种曲线。
下面是一些常见的高中圆锥曲线题型及其解题方法：
1.椭圆题型：
o方程转化：将标准方程转化为对称轴方程或标准方程。
o确定关键参数：通过比较方程的系数，确定椭圆的中心、长轴和短轴的长度。
o图形性质：通过关键参数判断椭圆的形状，并确定焦点和直径等性质。
2.双曲线题型：
o方程转化：将标准方程转化为对称轴方程或标准方程。
o确定关键参数：通过比较方程的系数，确定双曲线的中心、焦距和各轴的长度。
o图形性质：通过关键参数判断双曲线的形状，确定焦点、渐近线和渐近角等性质。
3.抛物线题型：
o方程转化：将标准方程转化为顶点形式或焦点式。
o确定关键参数：通过比较方程的系数，确定抛物线的顶点、焦距和开口方向。
o图形性质：通过关键参数判断抛物线的形状，确定
对称轴、焦点和准线等性质。
解题方法的关键在于确定关键参数，然后利用这些参数来判断曲线的形状和性质。
同时，要熟练掌握方程转化的方法，以便在解题过程中将方程转化为更容易分析的形式。
除了掌握相应的公式和技巧，还需要多做练习，加深对圆锥曲线图形和性质的理解。
同时，理论和实践相结合，通过画图、观察和推理的方式加深对圆锥曲线的认识。
最重要的是理解概念和思想，而不只是死记硬背。
只有真正理解了圆锥曲线的几何性质，才能更好地应用于解题，并在应用过程中灵活运用。
圆锥曲线间的距离(高中全部8种方法详细例题)
圆锥曲线间的距离(高中全部8种方法详细例题)圆锥曲线间的距离圆锥曲线是高中数学中的重要概念，在几何学和物理学中有广泛的应用。
本文将详细介绍圆锥曲线间的距离计算方法，包括以下8种方法：1. 通过坐标计算：通过给定的圆锥曲线方程，可以计算出两条曲线上相应点的坐标，然后使用距离公式来计算它们之间的距离。
通过坐标计算：通过给定的圆锥曲线方程，可以计算出两条曲线上相应点的坐标，然后使用距离公式来计算它们之间的距离。
2. 通过直线的法线计算：对于椭圆、双曲线和抛物线，可以通过确定两条曲线在相交点处的法线，并计算法线之间的距离来得到曲线的距离。
通过直线的法线计算：对于椭圆、双曲线和抛物线，可以通过确定两条曲线在相交点处的法线，并计算法线之间的距离来得到曲线的距离。
3. 通过焦点和直线距离计算：对于椭圆和双曲线，可以使用两个焦点和两条曲线上的点构成的直线来计算曲线间的距离。
通过焦点和直线距离计算：对于椭圆和双曲线，可以使用两个焦点和两条曲线上的点构成的直线来计算曲线间的距离。
4. 通过参数方程计算：对于抛物线和双曲线，可以使用参数方程来表示曲线上的点，然后计算参数相等时的点之间的距离。
通过参数方程计算：对于抛物线和双曲线，可以使用参数方程来表示曲线上的点，然后计算参数相等时的点之间的距离。
5. 通过角度计算：对于双曲线和抛物线，可以通过计算两条曲线切线的夹角来得到曲线的距离。
通过角度计算：对于双曲线和抛物线，可以通过计算两条曲线切线的夹角来得到曲线的距离。
6. 通过曲线的切线计算：对于椭圆和双曲线，可以通过确定两条曲线在相交点处的切线，并计算切线之间的距离来得到曲线的距离。
通过曲线的切线计算：对于椭圆和双曲线，可以通过确定两条曲线在相交点处的切线，并计算切线之间的距离来得到曲线的距离。
7. 通过曲线上的点到焦点的距离计算：对于抛物线，可以通过计算曲线上的点到焦点的距离来得到曲线间的距离。
通过曲线上的点到焦点的距离计算：对于抛物线，可以通过计算曲线上的点到焦点的距离来得到曲线间的距离。
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K 参数、角参数）7、代入法中的顺序8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题（3）直线与圆锥曲线位置关系问题（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程（6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳(解析版)
题型一：弦的垂直平分线问题题型二：动弦过定点的问题题型三：过已知曲线上定点的弦的问题题型四：向量问题题型五：面积问题题型六：弦或弦长为定值、最值问题题型七：直线问题圆锥曲线九大题型归纳题型八：对称问题题型九：存在性问题：(存在点，存在直线y =kx +m ，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直角)，四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)题型一:弦的垂直平分线问题1过点T (-1,0)作直线l 与曲线N ：y 2=x 交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E (x 0,0)，使得ΔABE 是等边三角形，若存在，求出x 0；若不存在，请说明理由。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳（解析版）【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形(即D 在AB 的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
2例题分析1：已知抛物线y =-x 2+3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于题型二:动弦过定点的问题1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
(I )求椭圆的方程；(II )若直线l :x =t (t >2)与x 轴交于点T ,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三:过已知曲线上定点的弦的问题1已知点A 、B 、C 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且AC ∙BC =0，BC =2AC ，如图。
(完整版)圆锥曲线解题方法技巧归纳
圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备: 1. 直线方程的形式(1) 直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、 一般式。
(2) 与直线相关的重要内容 ① 倾斜角与斜率k tan , [0,)② 点到直线的距离dA/ B y0_C tan(3) 弦长公式 直线 y kx b 上两点 A(x i , yj, B(X 2, y 2)间的距离：AB| J i k 2|x X 2J (1 k 2)[(X i X 2)2 4沁]或 AB J i *|y i y 2(4) 两条直线的位置关系 ① l 1 l 2 k 1k 2=-1② l 1 //12k 1 k 2且b 1 b 22、圆锥曲线方程及性质(1) 、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)标准方程： 2 2—匚 1(m 0, n 0且 m n) m n 距离式方程:.(x c)2 y 2 . (x c)2 y 2 2a参数方程： x a cos , y bsin(2) 、双曲线的方程的形式有两种③夹角公式：k 2 12 2标准方程：—-1(m n 0)(3) 、三种圆锥曲线的通径你记得吗？椭圆：近；双曲线：玄；抛物线：2pa a(4) 、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？b 2 tan —2P 在双曲线上时，S FP F 2 b 2 cot —,t| PF |2 | PF |2 4c 2 uur ujrn uur uimr(其中 F 1PF 2,COS 】1鳥尙，PF ?PF 2 |PF 1||PF 2|COS(6)、 记住焦 半 径公式： (1 )椭圆焦点在x 轴上时为a ex g ；焦点在y 轴上时为a ey °，可简记为“左加右减，上加下减”(2) 双曲线焦点在x 轴上时为e|x 01 a(3) 抛物线焦点在x 轴上时为| x , | 2,焦点在y 轴上时为| % | 2 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ _ 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题)2B X 2,y 2，M a,b 为椭圆— 42 2 2 2 2222如: 已知F ,、 2 2F 2是椭圆勻七1的两个焦点,平面内一个动点 M足MF !MF 22则动点M 的轨迹是(A 、双曲线;B 、双曲线的一支；C 、两条射线;D 、一条射线(5)、焦点三角形面积公式：P 在椭圆上时，S F1p F2设 A x ,, y ,2仝1的弦AB 中点则有3仝生1,空空1 ;两式相减得二竺上上04 3 4 3 4 3x i X2 捲X2 y i y2 y i y2 3a4 3 k AB一不2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点A(X!, y i), B(X2, y2)，将这两点代入曲线方程得到①②两个式子，然后①-②，整体消元..................... ,若有两个字母未知数，贝S要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。
高中数学解答题8个答题模板与做大题的方法
高中数学解答题8个答题模板与做大题的方法高中数学是很多同学高考道路上的拦路虎，很多同学一致回答：大题没思路。
其实掌握一些高中数学解答题的答题模板就好了，小编整理了相关资料，希望能帮助到您。
高中数学解答题8个答题模板一. 三角变换与三角函数的性质问题1.解题路线图①不同角化同角②降幂扩角③化f(x)=Asin(ωx+φ)+h④结合性质求解。
2.构建答题模板①化简：三角函数式的化简，一般化成y=Asin(ωx+φ)+h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。
②整体代换：将ωx+φ看作一个整体，利用y=sin x，y=cos x的性质确定条件。
③求解：利用ωx+φ的范围求条件解得函数y=Asin(ωx+φ)+h的性质，写出结果。
④反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。
二. 解三角形问题1.解题路线图(1) ①化简变形;②用余弦定理转化为边的关系;③变形证明。
(2) ①用余弦定理表示角;②用基本不等式求范围;③确定角的取值范围。
2.构建答题模板①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。
②定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。
③求结果。
④再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系;二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形。
三. 数列的通项、求和问题1.解题路线图①先求某一项，或者找到数列的关系式。
②求通项公式。
③求数列和通式。
2.构建答题模板①找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式。
②求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式。
③定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)。
④写步骤：规范写出求和步骤。
⑤再反思：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范。
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线是解析几何中的一个重要分支，涉及广泛且难度较大。
在高考中，经常出现各种关于圆锥曲线的问题，如求解方程、定位点、证明定理、计算面积等等。
本文将介绍圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧，以供大家参考。
常见题型1. 判定方程类型判定方程 $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ 的类型。
同学们需要掌握二次型的知识，使用行列式和 $\Delta$ 判别法即可。
其中，行列式 $AC-B^2$ 确定了方程的类型：$AC-B^2>0$ 时，方程为椭圆方程；2. 求曲线方程通常给出几何条件，让同学们求出曲线方程。
此类问题需要根据情况选择不同的方法，在此介绍两种主要的解法：（1）通过几何条件确定曲线类型，再代入方程求解。
例如，已知一个抛物线上的顶点坐标和另外一点的坐标，可以用顶点公式和对称性解出对称轴和开口方向，进而确定方程。
（2）确定曲线焦点和准线，利用焦准式求解方程。
例如，已知一个双曲线的焦距和离心率，可以通过求出曲线的焦点和准线，利用焦准式求解方程。
3. 定位点通常给出一个几何条件，要求定位某个点的坐标。
此类问题有多种方法，例如利用坐标系的对称性、平移、伸缩等变化来确定点的位置，或者利用直线方程、曲线方程的关系求解点的坐标等。
4. 证明定理此类问题一般是让同学们证明某个定理或者结论。
需要掌握各种定理的证明方法，例如对偶证明、取对数证明、辅助线证明、画图论证等。
5. 计算面积此类问题一般要求同学们计算某个图形或者曲面的面积。
需要灵活运用面积公式、积分等方法，注意确定积分区间以及被积函数的形式。
解题技巧1. 建立坐标系建立坐标系是解决圆锥曲线问题的前提，可以帮助理清几何图形的关系和计算各种量的大小。
要注意选择坐标系的方向和起点，以便于计算和简化计算公式。
2. 利用几何条件圆锥曲线问题往往给出具体的几何条件，同学们需要认真理解并灵活运用。
常见的几何条件有点的坐标、直线的方程、曲线类型、焦准距等等。
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型一、解圆锥曲线问题常用的八种方法：1.直线的交点法：利用直线与圆锥曲线的交点来解题，求出直线与曲线的交点坐标，从而得到问题的解。
该方法适用于直线与圆锥曲线有交点的情况。
2.过顶点的直线法：通过过顶点的直线与圆锥曲线的交点性质来解题。
一般情况下，过顶点的直线与圆锥曲线有两个交点，利用这两个交点可以得到问题的解。
3.平行线法：对于平行线与圆锥曲线的交点性质进行分析，可以得到问题的解。
一般情况下，平行线与圆锥曲线有两个交点，通过求解这两个交点可以得到问题的解。
4.切线法：利用切线与圆锥曲线的交点性质来解题。
一般情况下，切线与圆锥曲线有一个交点，通过求解这个交点可以得到问题的解。
5.对称法：通过对称性质，将圆锥曲线转化为标准形式或特殊形式，从而简化问题的求解过程。
6.几何平均法：利用几何平均的性质，将圆锥曲线的方程进行变换，从而得到问题的解。
7.参数方程法：通过给定的参数方程，求解参数，从而得到与曲线相关的问题的解。
8.解析几何法：通过解析几何的方法，将问题抽象为代数方程，从而求解问题。
二、解圆锥曲线问题常规题型：1.已知曲线方程，求曲线的性质：如给定椭圆的方程，求椭圆的长短轴、焦点、离心率等。
2.已知曲线性质，求曲线方程：如给定一个椭圆的长短轴、焦点、离心率等，求椭圆的方程。
3.已知曲线方程和一个点，判断该点是否在曲线上：如给定一个椭圆的方程和一个点P，判断点P是否在椭圆上。
4.已知曲线方程和一个直线，判断该直线是否与曲线有交点：如给定一个椭圆的方程和一条直线L，判断直线L是否与椭圆有交点。
5.已知曲线方程和一个点，求该点到曲线的距离：如给定一个椭圆的方程和一个点P，求点P到椭圆的距离。
6.已知曲线方程和一个点，求该点在曲线上的切线方程：如给定一个椭圆的方程和一个点P，求点P在椭圆上的切线方程。
7.已知曲线方程和两个点，求该曲线上两点之间的弧长：如给定一个椭圆的方程和两个点A、B，求椭圆上从点A到点B的弧长。
圆锥曲线解题的七种题型和八种方法
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K 参数、角参数）7、代入法8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题（3）直线与圆锥曲线位置关系问题（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程（6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
【高考数学】圆锥曲线中求参数范围的六种方法
【高考数学】圆锥曲线中求参数范围的六种方法解析几何中求参数范围或与参数有关的问题，往往是高考的热点之一。
本文总结出六种求解这类问题的思考途径与策略。
一、利用题设条件中的不等关系若题设条件中有不等关系，可直接利用该条件求参数的范围。
例1.双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（－1，0）到直线l的距离之和，求双曲线的离心率e的取值范围。
解析：直线l的方程为，即由点到直线的距离公式，且，得到点（1，0）到直线l的距离同理得到点（－1，0）到直线l的距离由，即于是得即解得由于，所以e的取值范围是[，]。
二、应用判别式建立不等式关系若题设中给出直线（或曲线）与曲线有公共点或无公共点时，可以把直线方程（或曲线方程）与曲线方程联立起来，消去某一个未知数，得到含另一个未知数的一元二次方程，就能利用判别式建立所含参数的不等式。
例2.设，两点在抛物线上，l是AB的垂直平分线。
当直线l的斜率为2时，求直线l在y轴上截距的取值范围。
解析：设直线l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为过点A、B的直线方程可写为由，消y得①即是方程①的两个不同的解，得，且设AB的中点N的坐标为（），则，。
由，于是。
即得直线l 在y 轴上截距的取值范围为。
点评：该题含有两个参数b ，m ，先由直线AB 与抛物线有两个不同的交点，应用判别式求出参数m 的范围，再由题意找出两个参数b ，m 之间的关系式，最后求出参数b 的取值范围。
例3已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是()0,31-F ，一条渐近线的方程是025=-y x ． （Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）若以()0≠k k 为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为281，求k 的取值范围． 解：（Ⅰ）设双曲线C 的方程为22221x y a b-=（0,0a b >>）．由题设得22952a b b a⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得2245a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线方程为22145x y -=． （Ⅱ）解：设直线l 的方程为y kx m =+（0k ≠）．点11(,)M x y ，22(,)N x y 的坐标满足方程组22145y kx mx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩将①式代入②式，得22()145x kx m +-=，整理得222(54)84200k x kmx m ----=． 此方程有两个一等实根，于是2504k -≠，且222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>．整理得22540m k +->． ③由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00(,)x y 满足12024254x x km x k +==-，002554my kx m k =+=-．从而线段MN 的垂直平分线方程为22514()5454m kmy x k k k-=----． 此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29(,0)54km k -，29(0,)54mk -．由题设可得2219981||||254542km m k k ⋅=--．整理得222(54)||k m k -=，0k ≠． 将上式代入③式得222(54)540||k k k -+->，整理得22(45)(4||5)0k k k --->，0k ≠． 解得50||k <<或5||4k >． 所以k 的取值范围是5555,)(,0)(0,)(,)44(∞-+--∞U U U ． 三、根据曲线的范围建立不等关系由椭圆的简单几何性质知，椭圆上任一点的横、纵坐标是有界的，通过有界性就可能找到变量间的不等关系。
高考数学复习：圆锥曲线中求值与证明问题
所以当直线 AB 斜率存在时，|AB|＝ 1＋k12AB|y1－y2|＝2 1＋m2 m2＋2. 由 N 为线段 AB 的中点，可得 yN＝y1＋2 y2＝m， 所以xN＝myN＋1＝m2＋1. 因为MN⊥AB，所以kMN＝－m， 所以|MN|＝ 1＋k2MN|xN－xM|＝ 1＋m2(m2＋1). 所以||MABN||＝2 11＋＋mm22mm2＋2＋12＝43，
由题易知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立直线l与双曲线C的方程，消y整理得(2k2－1)x2＋4kmx＋2m2＋2＝0，
故 x1＋x2＝－2k42k－m1，x1x2＝22mk22－＋12. kAP＋kAQ＝yx11－－12＋yx22－－12 ＝kx1x＋1－m2－1＋kx2x＋2－m2－1＝0，
1234
若以AB为直径的圆经过坐标原点， 则O→A·O→B＝0，即 xAxB＋yAyB＝1－3－2 a2＝0， 所以a＝±1，满足要求.
1234
2.(2023·宁德模拟)若
A－1，－
22，B1，
22，C(0,1)，D
23，21四点中
恰有三点在椭圆 T：ax22＋by22＝1(a>b>0)上.
(1)求椭圆T的方程；
跟踪训练 2 (2023·新高考全国Ⅱ)已知双曲线 C 的中心为坐标原点， 左焦点为(－2 5，0)，离心率为 5. (1)求C的方程；
设双曲线 C 的方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)， 由焦点坐标可知 c＝2 5， 则由 e＝ac＝ 5， 可得 a＝2，b＝ c2－a2＝4， 所以双曲线 C 的方程为x42－1y62 ＝1.
⑦处排除边界值
思维升华
(完整版)圆锥曲线解答题12大题型解题套路归纳,推荐文档
（2）焦点弦长问题：（2 法）椭圆和双曲线：（公式一）左焦点弦长：
--------------------------------；图示： ----------------------------；图示：
;右焦点弦长：---;公式一适用于：
;（公式二）--------------------------------；其中：
;适用于：
; 抛物线：形式一：
;公
式一：
;图示：
;公式一适用于：
;焦点弦公式二：
;公式 2 适用于：
; STEP2:除了这三种特殊弦长以外，其余弦长求解都用
【弦长公式】（保底方法）；【弦长公式】3 类型：【类 1】
;
;
;适用于：
;【类
2】
;
;
;适用于：
于：
;【类 3】
;
;
;
;适用
5.圆锥曲线题题型二：中点问题的固定套路：【2 法】首选方法：中点弦公式；次选：中点 公式+韦达定理：-------------------------；--------------------------；-------------------------；---------； 6. 圆锥曲线题题型三：垂直问题的固定套路：首先看是否是 2 种特殊的垂
；结论二：【任意
点对称】
；（2）轴对称问题：结论一：【x 轴对称】
；结论二：【y 轴对称】
；结论四【y=b 对称】：
；结论三【x=a 对称】------------------------------------------
；结论 5【y=x 对称】：
；结论 6【y=-x 对称】：
；结论 7【y=x+c 对称】：
解圆锥曲线问题常用的八种方法及七种常规题型
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法〔点参数、K 参数、角参数〕7、代入法8、充分利用曲线系方程法七种常规题型〔1〕中点弦问题 〔2〕焦点三角形问题〔3〕直线与圆锥曲线位置关系问题 〔4〕圆锥曲线的有关最值〔围〕问题 〔5〕求曲线的方程问题1．曲线的形状--------这类问题一般可用待定系数法解决。
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程〔6〕存在两点关于直线对称问题 〔7〕两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法〔1〕椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
〔2〕双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离〞互相转化。
〔3〕抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要无视判别式的作用。
3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法〞。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法〞，即设弦的两个端点A(*1,y 1),B(*2,y 2),弦AB 中点为M(*0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求〞法，具体有：〔1〕)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)，则有02020=+k by a x 。
圆锥曲线题型总结：圆锥曲线常考结论题型汇总【自己整理全面】
高考数学专题突破：圆锥曲线二级结论课题1：22a b ±结论一：若直线AB 与圆锥曲线相交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，则由点差法可推导得以下结论。
椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 22AB a k b k OM-=• 12222=+b x a y )0(>>b a 22AB b a k -=•OMk 双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 22AB a k b k OM=• )0,0(12222>>=-b a bx a y 22AB ba k =•OMk 抛物线)0(22>=p px y M py k AB =)0(22>-=p px yMp y -k AB = )0(22>=p py xp Mx k AB =)0(22>-=p py xpMx -k AB = 【2014江西理】过点M （1，1）作斜率为﹣21的直线与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ． 【答案】22 【解析】解法一：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，，∵过点M （1，1）作斜率为﹣21的直线与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，∴两式相减可得，∴a=b ，∴=b ，∴e==22． 解法二：由22AB a -k b k OM =•，即121-•=- 22a b ，22a b = 21，e=22a-1b =22【2013新课标1理10】已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y + B ．22=13627x y + C ．22=12718x y + D ．22=1189x y + 【答案】D【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b(+)(-)(+)(-)+， 即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9.∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 【2010新课标理12】已知双曲线E 的中心为原点，P （3，0）是E 的焦点，过P 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N （﹣12，﹣15），则E 的方程式为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由已知条件易得直线l 的斜率为k=k PN =1， 设双曲线方程为，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有，两式相减并结合x 1+x 2=﹣24，y 1+y 2=﹣30得=，从而==1即4b 2=5a 2，又a 2+b 2=9，解得a 2=4，b 2=5。
圆锥曲线中的定点、定值问题的结论及多种证明方法 高考数学
七、圆锥曲线中的平行弦的问题
在前面一、推论：“若圆锥曲线为圆，直线AB交C于A、B两点，的斜率分别为，当时，为定值，”给出了平移图像法、一般法、参数方程法等多种证明方法。现在我们对一、推论
31.采用另一种思维方式探究如下：设点是圆上的一定点，过点P作x轴的
2. 当 时， 【1】化为： 。即 时，为定值，,
3.当)时，,得， ，，即 ，
，即 。 得：
； 【2】
即： 或 (因为直线AB不过点P，舍去)AB的方程为化为： 即 由得 即直线AB恒过定点( )。
3. 当时， 由 【2】化为： ， ， ， 即：。(因为直线AB不过点P，舍去)或；，即 为定值.
1.当时，， ， ，
，即： ， ，
化为：， (因为直线AB不过点P，舍去)或。， ； 【6】AB的方程为化为： 即 由得 即当时，直线AB恒过定点( )。
2.当 时， 【6】化为：； 即当时，为定值，。
3.当时， 即， ，，即 ，
， ； 【7】 ，化为：， (因为直线AB不过点P，舍去)或。由，
2.当时，直线AB恒过定点(
3.当时，为定值
4.当时，即直线AB恒过定点( ). 及其证法已知点(其中 是圆锥曲线上的一个定点，过点作直线分别与圆锥曲线C相交于点A、 则必定存在以下结论：
二、椭圆、双曲线、抛物线、圆中的定点、定值问题的统一结论
1.当时，为定值，
2.当时，直线AB恒过定点( )
圆锥曲线中的定点、定值问题的
结论及多种证明方法
主讲人：某某某老师
某某学校
山东东营 徐新华 大家都知道，圆锥曲线的很多重要结论，特别是圆锥曲线的定点、定值问题并没有列入高中数学教材，但它们一直确是高考数学试题中考察的重要内容。本文件中，从多个角度、采用多种方法对圆锥曲线的定点、定值问题的结论作出了证明，并力求对证明过程给予最大化的展示。需要说明的是，个别证法有相当大的难度，其证明过程也极为复杂，因此叙述也就比较详细具体。
【高中数学】圆锥曲线解题技巧+7大题型汇总+常用公式推论!
【高中数学】圆锥曲线解题技巧+7大题型汇总+常用公式推论！学好圆锥曲线的几个关键点1、牢记核心知识点核心的知识点是基础，好多同学在做圆锥曲线题时，特别是小题，比如椭圆，双曲线离心率公式和范围记不清，焦点分别在x轴，y轴上的双曲线的渐近线方程也傻傻分不清，在做题时自然做不对。
2、计算能力与速度计算能力强的同学学圆锥曲线相对轻松一些，计算能力是可以通过多做题来提升的。
后期可以尝试训练自己口算得到联立后的二次方程，然后得到判别式，两根之和，两根之积的整式。
当然也要掌握一些解题的小技巧，加快运算速度。
3、思维套路拿到圆锥曲线的题，很多同学说无从下手，从表面感觉很难。
老师建议：山重水复疑无路，没事你就算两步。
大部分的圆锥曲线大题，都有共同的三部曲：一设二联立三韦达定理。
一设：设直线与圆锥曲线的两个交点，坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线方程为y=kx+b。
二联立：通过快速计算或者口算得到联立的二次方程。
三韦达定理：得到二次方程后立马得出判别式，两根之和，两根之积。
走完三部曲之后，在看题目给出了什么条件，要求什么。
例如涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．总结起来：找值列等量关系，找范围列不等关系，通常结合判别式，基本不等式求解。
4、题型总结圆锥曲线中常见题型总结这类问题主要采用分析判别式，有△＞0，直线与圆锥曲线相交；△=0，直线与圆锥曲线相切；△＜0，直线与圆锥曲线相离．若且a=0，b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．注意：设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前讨论。
这类问题主要利用向量的相等，平行，垂直去寻找坐标间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合应用，体现数形结合的思想，达到简化计算的目的。
弦长问题主要记住弦长公式：设直线l与圆锥曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则：1）定点问题可先运用特殊值或者对称探索出该定点，再证明结论，即可简化运算；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得这类常见的解法有两种：几何法和代数法．（1）若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；（2）若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．轨迹问题一般方法有三种：定义法，相关点法和参数法。
解圆锥曲线问题常用的八种方法及七种常规题型
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K 参数、角参数）7、代入法8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题（3）直线与圆锥曲线位置关系问题（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程（6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
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解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K 参数、角参数）7、代入法中的顺序8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题（3）直线与圆锥曲线位置关系问题（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程（6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
(其中K 是直线AB 的斜率) （2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k by a x (其中K 是直线AB 的斜率) （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. (其中K 是直线AB 的斜率)4、弦长公式法弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程y kx b =+代入圆锥曲线方程中，得到型如ax bx c 20++=的方程，方程的两根设为x A ，x B ，判别式为△，则||||AB k x x A B =+-=12·||12a k △·+，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。
5、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。
如“2x+y ”，令2x+y=b ，则b 表示斜率为-2的直线在y 轴上的截距；如“x 2+y 2”,令d y x =+22，则d 表示点P （x ，y ）到原点的距离；又如“23+-x y ”，令23+-x y =k ，则k 表示点P （x 、y ）与点A （-2，3）这两点连线的斜率……6、参数法（1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。
如x 轴上一动点P ，常设P （t ，0）；直线x-2y+1=0上一动点P 。
除设P （x 1,y 1）外，也可直接设P （2y 1-1,y 1） （2）斜率为参数当直线过某一定点P(x 0,y 0)时，常设此直线为y-y 0=k(x-x 0)，即以k 为参数，再按命题要求依次列式求解等。
（3）角参数当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。
7、代入法中的顺序这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件P 1,P 2求（或求证）目标Q ”，方法1是将条件P 1代入条件P 2，方法2可将条件P 2代入条件P 1，方法3可将目标Q 以待定的形式进行假设，代入P 1,P 2,这就是待定法。
不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。
八、充分利用曲线系方程法一、定义法【典型例题】例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________(2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,为 。
分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。
（2）B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 三点共线时，距离和最小。
解：（1）（2，2）连PF ，当A 、P 、F 三点共线时，PF AP PH AP +=+最小，此时AF 的方程为)1(13024---=x y 即 y=22(x-1),代入y 2=4x 得P(2,22)，（注：另一交点为(2,21-)，它为直线AF 与抛物线的另一交点，舍去）（2）（1,41） 过Q 作QR ⊥l 交于R ，当B 、Q 、R 三点共线时，QR BQ QF BQ +=+最小，此时Q 点的纵坐标为1，代入y 2=4x 得x=41，∴Q(1,41) 点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。
例2、F 是椭圆13422=+y x 的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，上一动点。
（1）PF PA +的最小值为 （2）PF PA 2+的最小值为分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径F P '解：（1）4-5设另一焦点为F '，则F '(-1,0)连A F ',P F '542)(22-='-≥-'-='-+=+F A a PA F P a F P a PA PF PA当P 是F 'A 的延长线与椭圆的交点时, PF PA +取得最小值为4-5。
（2）作出右准线l ，作PH ⊥l 交于H ，因a 2=4，b 2=3，c 2=1， a=2，c=1，e=21， ∴PH PF PH PF ==2,21即 ∴PH PA PF PA +=+2当A 、P 、H 三点共线时，其和最小，最小值为3142=-=-A x ca 例3、动圆M 与圆C 1:(x+1)2+y 2=36内切,与圆C 2:(x-1)2+y 2=4外切,轨迹方程。
分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：图中的A 、M 、C 共线，B 、D 、M 共线）径”（如图中的MD MC =）。
解：如图，MD MC =，∴26-=--=-MB MA DB MB MA AC 即 ∴8=+MB MA （*）∴点M 的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b 2=15轨迹方程为151622+y x 点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出4)1()1(2222=+-+++y x y x ，再移项，平方，…相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！例4、△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程。
分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系。
解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=-即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例5、定长为3的线段AB 的两个端点在y=x 2上移动，AB 中点为M ，求点M 到x 轴的最短距离。
分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x 1,x 12)，B(x 2，X 22)，又设AB 中点为M(x 0y 0)用弦长公式及中点公式得出y 0关于x 0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。
（2）M 到x 轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M 到准线的距离，想到用定义法。
解法一：设A(x 1，x 12)，B(x 2，x 22)，AB 中点M(x 0，y 0)则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-+-0222102122221221229)()(y x x x x x x x x x 由①得(x 1-x 2)2[1+(x 1+x 2)2]=9即[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]·[1+(x 1+x 2)2]=9 ④ 由②、③得2x 1x 2=(2x 0)2-2y 0=4x 02-2y 0 代入④得 [(2x 0)2-(8x 02-4y 0)]·[1+(2x 0)2]=9∴220041944x x y +=-， 1149)14(4944202020200-+++=+=x x x x y ≥,5192=- 450≥y 当4x 02+1=3 即 220±=x 时，45)(min 0=y 此时)45,22(±M 法二：如图，222+=AA MM ① ② ③∴232≥MM ， 即23411≥+MM ， ∴451≥MM ， 当AB 经过焦点F 时取得最小值。
∴M 到x 轴的最短距离为45 点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x 1，x 2，从而形成y 0关于x 0的函数，这是一种“设而不求”的方法。
而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M 到x 轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A 、B 到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB 是否能经过焦点F ，而且点M 的坐标也不能直接得出。
二、韦达定理法【典型例题】例6、已知椭圆)52(1122≤≤=-+m m y m x 过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次交于A 、B 、C 、D 、设f(m)=CD AB -,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。