初中几何三角形基础证明题(2020级)
2020年北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明单元测试题及答案
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元测试题一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．等腰三角形的对称轴是（）A．底边上的高所在的直线B．底边上的高C．底边上的中线D．顶角平分线2．如图在3×3的网格中，点A、B在格点处：以AB为一边，点P在格点处，则使△ABP为等腰三角形的点P有（）个．A．2个B．3个C．4个D．5个3．如图，在△ABC中，∠B与∠C的角平分线相交于点I，过点I作BC的平行线，分别交AB、AC于点D、E．若AB＝9，AC＝6，BC＝8，则△ADE的周长是（）A．14 B．15 C．174．如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（）A．10°B．15°C．20°D．25°5．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，BC＝6，则AB的值是（）A．12 B．8 C．6 D．36．用反证法证明“a≥b”，对于第一步的假设，下列正确的是（）A．a≤b B．a≠b C．a＜b D．a＝b7．下列说法：①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形全等；②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等；③两边分别相等的两个直角三角形全等；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，则下列结论正确的是（）A．AE＝3CE B．AE＝2CE C．AE＝BD D．BC＝2CE9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是边AB的中点，AB＝10，DE ＝4，则S△AEC＝（）A．8 B．7.5 C．7 D．610．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，交CD于点E，若S△BCE＝10，BC＝5，则DE等于（）A．10 B．7 C．5 D．4二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．等腰三角形的周长为12cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为．12．如图：已知∠B＝20°，AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，以此类推∠A的度数是．13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，点E为AC中点，则DE＝．14．在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分AC，交AC于点E，交AB于点D，连接CD，若BD＝2，则AD的长是．15．如图，DE是△ABC的边AC上的垂直平分线，AB＝5cm，BC＝8cm，则△ABD的周长为cm．16．如图，点D，P在△ABC的边BC上，DE，PF分别垂直平分AB，AC，连接AD、AP，若∠DAP＝20°，则∠BAC＝．17．如图，AB∥CD，∠BAC与∠ACD的平分线交于点P，过P作PE⊥AB于E，交CD于F，EF＝10，则点P到AC的距离为．18．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝40，DE＝4，AC＝12，则AB长是．三．解答题（共7小题，共66分）19．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，求∠DBA的度数．20．如图，已知AB∥CD，∠BCF＝180°，BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，∠ACE＝90°．求证：AC⊥BD．21．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AE是△ABC内部的一条线段，AE交CD于点F，交CB于点E，且∠CFE＝∠CEF．求证：AE平分∠CAB．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD于点F，交CB于点E，且∠EAB＝∠DCB．（1）求∠B的度数：（2）求证：BC＝3CE．23．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB，BC于点D 和点E．（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．24．如图，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．（1）求∠DBC的度数；（2）若△DBC的周长为14cm，BC＝5cm，求AB的长．25．如图，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上．（1）求∠AEB的度数；（2）求证：CE＝DE．参考答案一．选择题1．解：等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线，故选：A．2．解：如图所示，以AB为腰的等腰三角形的点P有2个，以AB为底边的等腰三角形的点P有3个，∴△ABP为等腰三角形的点P有5个；故选：D．3．解：∵BI平分∠DBC，∴∠DBI＝∠CBI，又∵DE∥BC，∴∠DIB＝∠IBC，∴∠DIB＝∠DBI，∴BD＝DI．同理CE＝EI．∴△ADE的周长＝AD+DI+IE+EA＝AB+AC＝15，故选：B．4．解：∵在等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴AD是BC的线段垂直平分线，∵E是AD上一点，∴EB＝EC，∴∠EBD＝∠ECD，∵∠CED＝50°，∴∠ECD＝40°，又∵∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，∴∠ABE＝60°﹣40°＝20°，故选：C．5．解：∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝6，故选：C．6．解：反证法证明“a≥b”，第一步是假设，a＜b，故选：C．7．解：①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形不一定全等；②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等，正确；③两边分别相等的两个直角三角形不一定全等；④如果在两个直角三角形中，例如：两个30°角的直角三角形，一个三角形的直角边与另一个三角形的斜边相等，这两个直角三角形肯定不全等，错误；故选：A．8．解：连接BE，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，在Rt△BCE中，BE＝2CE，∴AE＝2CE，故选：B．9．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，C点E是边AB的中点，∴AE＝BE＝CE＝AB＝5，∵CD⊥AB，DE＝4，∴CD＝＝3，∴S△AEC＝S△BEC＝BE•CD＝3＝7.5，故选：B．10．解：作EF⊥BC于F，∵S△BCE＝10，∴×BC×EF＝10，即×5×EF＝10，解得，EF＝4，∵BE平分∠ABC，CD⊥AB，EF⊥BC，∴DE＝EF＝4，故选：D．二．填空题11．解：由题意知，应分两种情况：（1）当腰长为3cm时，则另一腰也为3cm，底边为12﹣2×3＝7cm，∵3+3＜7，∴边长分别为3，3，7不能构成三角形；（2）当底边长为3cm时，腰的长＝（12﹣3）÷2＝4.5cm，∵0＜3＜4.5+4.5＝9，∴边长为3，4.5，4.5，能构成三角形，则该等腰三角形的一腰长是4.5cm．故答案为：4.5cm．12．解：∵∠B＝20°，AB＝A1B，∴∠A＝（180°﹣∠B）＝80°，故答案为：80°．13．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，又点E为AC中点，∴DE＝AC＝5，故答案为：5．14．解：∵DE垂直平分AC，∴CD＝AD，∴∠ACD＝∠A＝30°，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，∴∠ACB＝90°﹣∠A＝60°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，∴CD＝2BD＝2×2＝4，∴AD＝CD＝4．故答案为：4．15．解：∵DE是△ABC中的边AC上的垂直平分线，∴AD＝CD，∵AB＝5cm，BC＝8cm，∴△ABD的周长为：AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝13（cm）．故答案是：13．16．解：∵DE，PF分别垂直平分AB，AC，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAP，又∵∠DAP＝20°，∴∠B+∠C＝（180°﹣20°）＝80°，∴∠BAC＝180°﹣80°＝100°，故答案为：100°．17．解：作PH⊥AC于H，∵AP平分∠BAC，PE⊥AB，PH⊥AC，∴PE＝PH，∵AB∥CD，PE⊥AB，∴PF⊥CD，∵CP平分∠ACD，PF⊥CD，PH⊥AC，∴PF＝PH，∴PH＝PE＝PF＝EF＝5，即点P到AC的距离为5，故答案为：5．18．解：作DF⊥AC于F，如图，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE＝4，∵S△ABD+S△ADC＝S△ABC，∴•4•AB+•12•4＝40，∴AB＝8．故答案为8．三．解答题19．解：∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，∴∠A＝∠C＝35°，∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，∴AD＝BD，∴∠DBA＝∠A＝35°20．证明：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCF．（两直线平行，同位角相等）∵BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，∴∠2＝∠ABC，∠4＝∠DCF．（角平分线的定义）∴∠2＝∠4．∴BD∥CE．（同位角相等，两直线平行）∴∠BGC＝∠ACE．（两直线平行，内错角相等）∵∠ACE＝90°，∴∠BGC＝90°，即AC⊥BD．（垂直的定义）21．证明：∵CD⊥AB，∴在△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠AFD＝90°﹣∠CFE．∵∠ACE＝90°，∴在△AEC中，∠CAE＝90°﹣∠CEF．∵∠CFE＝∠CEF，∴∠DAF＝∠CAE，即AE平分∠CAB．22．解：（1）∵AE⊥CD，∴∠AFC＝∠ACB＝90°，∴∠CAF+∠ACF＝∠ACF+∠ECF＝90°，∴∠ECF＝∠CAF，∵∠EAD＝∠DCB，∴∠CAD＝2∠DCB，∵CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD，∴∠B＝∠DCB，∴∠CAB＝2∠B，∵∠B+∠CAB＝90°，∴∠B＝30°；（2）∵∠B＝∠BAE＝∠CAE＝30°，∴AE＝BE，CE＝AE，∴BC＝3CE．23．解：（1）△CDE的周长为10．∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，又∵∠ACB＝125°，∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，∴∠ACD+∠BCE＝55°，∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．24．解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∵MN是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠A＝∠ABD＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70﹣40°＝30°；（2）∵MN是AB的垂直平分线，∴BD＝AD，∵△DBC的周长为14cm，∴BD+BC+CD＝14cm，∵BC＝5cm，∴BD+CD＝AD+CD＝AC＝9cm，∵AB＝AC，∴AB＝9cm．25．解：（1）∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°．∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝∠CAB．同理可得∠EBA＝∠ABD．∴∠EAB+∠EBA＝90°，∴∠AEB＝90°；（2）如图，在AB上截取AF＝AC，连接EF，在△ACE和△AFE中，∴△ACE≌△AFE（SAS）．∴CE＝FE，∠CEA＝∠FEA．∵∠CEA+∠DEB＝90°，∠FEA+∠FEB＝90°，∴∠DEB＝∠FEB．在△DEB和△FEB中∴△DEB≌△FEB（ASA）．∴ED＝EF．∴ED＝CE．。
北师大版2020八年级数学下册第一章三角形的证明单元基础达标测试题1(附答案)
北师大版2020八年级数学下册第一章三角形的证明单元基础达标测试题1（附答案） 1．如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 上一点，DE 、CE 分别是∠ADC 、∠BCD 的平分线，若AD=5，DE=6，则平行四边形的面积为（ ）A ．96B ．48C ．60D ．302．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB ＝5，AD ＝3，则BC 的长为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．103．如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别为R 、S ，若AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，①PA 平分∠BAC ；②AS ＝AR ；③QP ∥AR ；④△BRP ≌△CSP ．则这四个结论中正确的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．如图，在□ABCD 中，CM ⊥AD 于点M ，CN ⊥AB 于点N ，若∠B=40°，则∠MCN=（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°5．已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=12BC ，则△ABC 底角的度数为（ ） A ．45° B ．75° C ．60°D ．45°或75° 6．如图所示，在平面直角坐标系中，直线OM 是正比例函数3y x =的图象，点A 的坐标为(1，0)，在直线OM 上找一点N ，使△ONA 是等腰三角形，则符合条件的点N有( )A．2个B．3个C．4个D．5个7．已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．如图，已知等腰三角形，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则下列结论一定正确的是（）A ．B．C．D．9．下列各组数不是．．勾股数的是（）A．2、3、4 B．3、4、5 C．6、8、10 D．5、12、1310．如图，将△ABC沿着直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB=7，BC=9，则△BAD的周长为______________。
三角形全等几何模型5一线三等角专项练习20202021学年七年级数学下册基础知识专项讲练北师大版
CD E BA专题4.23 三角形全等-几何模型5（一线三等角）（专项练习）模型 三垂直全等模型图一如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC 。
结论：Rt △BDC ≌Rt △CEA图二如图二，∠D=∠BCA=∠E ，BC=AC 。
结论：△BEC ≌△CDA一、解答题1．如图，∠A ＝∠B ＝90°，E 是线段AB 上一点，且AE ＝BC ，∠1＝∠2 ．（1）求证：ADE V ≌BEC △；（2）若CD ＝10，求DEC V 的面积．2．已知，如图，AB ⊥BD 于点B ，CD ⊥BD 于点D，P 是BD 上一点，且AP=PC ，AP ⊥PC ．（1）求证:△ABP ≌△PDC（2）若AB=3，CD=4，连接AC ，求AC 的长．3．如图，在ABC V 中，AB AC ＝，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ÐÐÐ＝＝，求证：DE BD CE =+．4．已知：如图，MS ⊥PS ，MN ⊥SN ，PQ ⊥SN ，垂足分别为S ，N ，Q ，MS ＝PS ，SN ＝4，MN ＝3．求NQ 的长．5．如图1，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，垂足分别为D 、E ．（1）求证：△ADC ≌△CEB ；（2）猜想线段AD 、BE 、DE 之间具有怎样的数量关系，并说明理由；（3）题设条件不变，根据图2可得线段AD 、BE 、DE 之间的数量关系是 ．6．如图，已知：ABC V 中，AB AC =，BAC 90Ð=°，分别过B ，C 向经过点A 的直线EF 作垂线，垂足为E ，F ．（1）当EF 与斜边BC 不相交时，请证明EF BE CF(=+如图1)；（2）如图2，当EF 与斜边BC 这样相交时，其他条件不变，证明：EF BE CF =-；7．如图，一条河流MN 旁边有两个村庄A ，B ，AD ⊥MN 于D ．由于有山峰阻挡，村庄B 到河边MN 的距离不能直接测量，河边恰好有一个地点C 能到达A ，B 两个村庄，与A ，B 的连接夹角为90°，且与A ，B 的距离也相等，测量C ，D 的距离为150m ，请求出村庄B 到河边的距离．8．已知：AB BD ^，ED BD ^，AC CE =，BC DE =．（1）试猜想线段AC 与CE 的位置关系，并证明你的结论．（2）若将CD 沿CB 方向平移至图2情形，其余条件不变，结论12AC C E ^还成立吗？请说明理由．（3）若将CD 沿CB 方向平移至图3情形，其余条件不变，结论12AC C E ^还成立吗？请说明理由．9．如图，90ACB Ð=°，AC BC =，AD CE ^，BE CE ^，垂足分别为D ，E ，若9AD =，6DE =，求BE 的长．10．如图所示，A ，C ，E 三点在同一直线上，且ABC DAE △△≌．（1）求证：BC DE CE =+；（2）当ABC V 满足什么条件时，//BC DE ？11．已知：D ，A ，E 三点都在直线m 上，在直线m 的同一侧作ABC V ，使AB AC =，连接BD ，CE ．（1）如图①，若90BAC Ð=°，BD m ^，CE m ^，求证ABD ACE @V V ；（2）如图②，若BDA AEC BAC Ð=Ð=Ð，请判断BD ，CE ，DE 三条线段之间的数量关系，并说明理由．12．如图，点C 在BE 上，AB ⊥BE ，DE ⊥BE ，且AB ＝CE ，AC ＝CD ．判断AC 和CD 的关系并说明理由．13．直线CD 经过BCA Ð的顶点C ，CA=CB ．E ，F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA a Ð=Ð=Ð．（1）（数学思考）若直线CD 经过BCA Ð的内部，且E ，F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：①如图1，若90BCA Ð=°，90a Ð=°，求证：EF BE AF =-；②如图2，若090BCA °<Ð<°，当a Ð与BCA Ð之间满足________关系时，①中结论仍然成立，并给予证明．（2）（问题拓展）如图3，若直线CD 经过BCA Ð的外部，BCA a Ð=Ð，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．14．如图，已知在ABC V 中，AB AC =，90BAC Ð=°，别过B 、C 两点向过A 的直线作垂线，垂足分别为E 、F ．求证：EF BE CF =+．15．在Rt ABC △中，90C Ð=°，8cm AC =，6cm BC =，点D 在AC 上，且6cm AD =，过点A 作射线AE AC ^（AE 与BC 在AC 同侧），若点P 从点A 出发，沿射线AE 匀速运动，运动速度为1cm/s ，设点P 运动时间为t 秒．连结PD 、BD ．（1）如图①，当PD BD ^时，求证：PDA DBC △≌△；（2）如图②，当PD AB ^于点F 时，求此时t 的值．16．如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线EF 经过点C ，BF ⊥EF 于点F ，AE ⊥EF于点E ．（1）求证：△ACE ≌△CBF ；（2）如果AE 长12cm ，BF 长5cm ，求EF 的长．17．如图，90ACB Ð=°，AC BC =，AD CE ^，BE CE ^，垂足分别为D ，E ，2.5cm AD =，求1cm BE =，求DE 的长．18．已知AD ⊥AB 于A ，BE ⊥AB 于B ，点C 在线段AB 上，DC ⊥EC ，且DC=CE ．（1）求证：AD+BE=AB ；（2）将△BEC 绕点C 逆时针旋转，使点B 落在AC 上，如图（2），试问：AD ，BE ，AB 又怎样的数量关系？说明理由．19．如图（1），已知ABC V 中，90BAC Ð=°，AB AC =；AE 是过A 的一条直线，且B ，C 在AE 的异侧，BD AE ^于D ，CE AE ^于E ．（1）求证：BD DE CE =+；（2）若直线AE 绕A 点旋转到图（2）位置时（BD CE <），其余条件不变，问BD 与DE ，CE 的数量关系如何？请给予证明．（3）若直线AE 绕A 点旋转到图（3）位置时（BD CE >），其余条件不变，问BD 与DE ，CE 的数量关系如何？请直接写出结果，不需证明；（4）根据以上的讨论，请用简洁的语言表达直线AE 在不同位置时BD 与DE ，CE 的位置关系．20．如图，在ABC V 中，AB AC =，AB BC >，点D 在边BC 上，点E ，F 在线段AD 上，且2DF AF =，12BAC Ð=Ð=Ð．若BE 的长为5，求AD 的长．21．已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，l 是过点A 的一条直线，BD ⊥l ，CE ⊥l ，垂足分别为D 、E ．(1) 如图(1)，求证：DE ＝BD ＋CE ；(2) 若直线l 绕A 点旋转到图(2)位置时，其余条件不变，请把图形补充完整，写出BD 、CE 与DE 之间的数量关系，并证明你的结论．22．（1）如图1，已知OAB V 中，OA OB =，90AOB Ð=°，直线l 经过点O ，BC ⊥直线l ，AD ^ 直线l ，垂足分别为点C ，D ．依题意补全图l ，并写出线段BC ，AD ，CD 之间的数量关系为______；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在OAB V 中，OA OB =，C ，O ，D 三点都在直线l 上，并且有BCO ODA BOA Ð=Ð=Ð，请问（1）中结论是否成立?若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，在ABC V 中，AB AC =，90CAB Ð=°，点A 的坐标为(0,1)，点C 的坐标为()3,2，请直接写出点B 的坐标．23．在△ABC 中，AC=BC ，直线MN 经过点C ，AD ⊥MN 于点D ，BE ⊥MN 于点E ，且AD=CE ；（1）当直线MN 绕点C 旋转到如图1的位置时，求证：AC ⊥BC ．（2）判断AD 、BE 、DE 这三条线段之间的数量关系，并说明理由．（3）当直线MN 绕点C 旋转到如图2的位置时，线段DE 、AD 、BE 之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不必证明．24．如图1所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC= BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图2(a)的位置，求证：①△ADC ≌△CEB;②DE=AD- BE ．(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2(b)的位置时，求证：DE= BE-AD ．25．如图，90B C Ð=Ð=°，BAE CED Ð=Ð，且AB CE =．（1）试说明：ADE V 是等腰直角三角形；（2）若2CDE BAE Ð=Ð，求CDE Ð的度数．26．如图，已知在ABC V 中，AC BC AD ==，CDE B Ð=Ð，求证：ADE BCD △≌△．27．如图1，已知AB ＝AC ，AB ⊥AC ．直线m 经过点A ，过点B 作BD ⊥m 于D ， CE ⊥m 于E ．我们把这种常见图形称为“K”字图．（1）悟空同学对图1进行一番探究后，得出结论：DE ＝BD ＋CE ，现请你替悟空同学完成证明过程．（2）悟空同学进一步对类似图形进行探究，在图2中，若AB ＝AC ，∠BAC ＝∠BDA ＝∠AEC ，则结论DE ＝BD ＋CE ，还成立吗？如果成立，请证明之．28．（1）如图①，已知：ABC V 中，90BAC Ð=°，AB AC =，直线m 经过点A ，BD m ^于D ，CE m ^于E ，请探索DE 、BD 、CE 三条线段之间的数量关系，直接写出结论；（2）拓展：如图2，将（1）中的条件改为：ABC V 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且BDA AEC BAC a Ð=Ð=Ð=，a 为任意锐角或钝角，请问（1）中结论是否还成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）应用：如图③，在ABC V 中，BAC Ð是钝角，AB AC =，BAD CAE ÐÐ>，BDA AEC BAC Ð=Ð=Ð，直线m 与BC 的延长线交于点F ，若2BC CF =，ABC V 的面积是16，求ABD △与CEF △的面积之和．29．如图（1）在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于点D ，BE ⊥MN 于点E ．（1）求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD +BE ．（2）当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时，DE 、AD 、BE 又怎样的关系？并加以证明．30．如图，在ABC V 中，90ACB Ð=°，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ^于点D ，BE MN ^于点E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①ADC CEB △≌△；②DE AD BE =+；（2）当直线MN 绕点C 旋转到如图2所示的位置时，求证：DE AD BE =-；（3）当直线MN 绕点C 旋转到如图3所示的位置时，试问DE ，AD ，BE 具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．31．已知：如图，在ABC D 中，90C Ð=°，点E 在AC 上，且AE BC =，ED AB ^于点D ，过A 点作AC 的垂线，交ED 的延长线于点F ．求证：AB EF =．32．如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的直角三角板如图①放置，PA 、PB 与直线MN 重合，且三角板PAC 、三角板PBD 均可绕点P 逆时针旋转（1）试说明∠DPC=90°；（2）如图②，若三角板PBD 保持不动，三角板PAC 绕点P 逆时针旋转旋转一定角度，PF 平分∠APD ，PE 平分∠CPD ，求∠EPF ；（3）如图③．在图①基础上，若三角板PAC 开始绕点P 逆时针旋转，转速为5°/秒，同时三角板PBD 绕点P 逆时针旋转，转速为1°/秒，（当PA 转到与PM 重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，PC 、PB 、PD 三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间．33．（1）如图1，∠MAN =90°，射线AE 在这个角的内部，点B 、C 在∠MAN 的边AM ，AN 上，且AB =AC ，CF ⊥AE 于点F ，BD ⊥AE 于点D ．求证：ABD CAF @V V ．（2）如图2，点B 、C 在∠MAN 的边AM 、AN 上，点E 、F 在∠MAN 内部射线AD 上，∠1，∠2分别是ABE △，CAF V 的外角，已知AB =AC ，∠1=∠2=∠BAC ，求证：ABE CAF @V V ；（3）如图3，在ABC V 中，AB =AC ，AB >BC ，点D 在边BC 上，CD =2BD ，点E 、F 在线段AD 上，12BAC Ð=Ð=Ð，若ABC V 的面积是15，则ACF V 与BDE V 的面积之和是_________．34．如图（1）AB=9cm ，AC ⊥AB ，AC=BD=7cm ，点P 在线段AB 上以2cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动,它们运动的时间为t （s ）．（1）若点Q 的速度与点P 的速度相等，当t=1时．①求证：△ACP ≌△BPQ ；②判断此时PC 和PQ 的位置关系，并证明；（2）将图（1）中的“AC ⊥AB ，BD ⊥AB”，改为“∠CAB=∠DBA=70°”，得到图（2），其他条件不变．设点Q 的运动速度为x cm/s ，请问是否存在实数x ，使得△ACP 与△BPQ 全等?若存在，求出相应的x 和t 的值；若不存在，请说明理由．35．如图1，2OA =，4OB =，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰直角ABC D ．（1）求点C 的坐标；（2）如图2，P 是y 轴负半轴上一个动点，当P 点向y 轴负半轴向下运动时，若以P 为直角顶点，PA 为腰作等腰直角APD D ，过点D 作DE x ^轴于点E ，求OP DE -的值；（3）如图3，已知点F 坐标为()3,3--，当G 在y 轴运动时，作等腰直角FGH D ，并始终保持90GFH Ð=°，FG 与y 轴交于点()0,G m ，FH 与x 轴交于点(),0H n ，求m 、n 满足的数量关系．36．已知：在ABC V 中，90BAC Ð=°，AB AC =，AE 是过点A 的一条直线，且BD AE ^于D ，CE AE ^于E ．（1）当直线AE 处于如图①的位置时，有BD DE CE =+，请说明理由；（2）当直线AE 处于如图②的位置时，则BD 、DE 、CE 的关系如何？请说明理由．参考答案1．（1）证明见解析；（2）25【分析】（1）根据12Ð=Ð，∠A ＝∠B ＝90°，可得DE CE =，ADE V 和BEC △为直角三角形，利用“HL ”即可证明Rt ADE △≌Rt BEC △；（2）根据（1）中Rt ADE △≌Rt BEC △，则ADE BEC Ð=Ð，根据直角三角形的性质推出90AED BEC Ð+Ð=°，则可得DEC Ð为直角，又因为∠1＝∠2，则可知DEC Ð为等腰直角三角形，进而通过等腰直角三角形的性质求出其面积．【详解】（1）∵12Ð=Ð，∴DE CE =，∵∠A ＝∠B ＝90°，在Rt ADE △和Rt BEC △中，DE EC AE BC =ìí=î，∴Rt ADE △≌Rt BEC △；（2）∵Rt ADE △≌Rt BEC △，∴ADE BEC Ð=Ð，∵90ADE AED Ð+Ð=°，∴90AED BEC Ð+Ð=°，∴90DEC Ð=°，∵12Ð=Ð，∴DE CE =，∴DEC V 为等腰直角三角形，∴其斜边CD 上的高为5，∴1105252DEC S =´´=△．【点拨】本题考查了直角三角形的判定和性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．2．（1）见解析；（2）【分析】（1）根据等角的余角相等证明BAP CPD Ð=Ð，继而证明()ABP PDC AAS @V V ；（2）根据全等三角形对应边相等性质及勾股定理解题.【详解】（1）证明：,AB BD CD BD^^Q 90B D \Ð=Ð=°90BAP APB \Ð+Ð=°AP PC^Q 90APB CPD \Ð+Ð=°BAP CPD\Ð=ÐAP PC=Q ()ABP PDC AAS \@V V ；（2）连接AC ，()ABP PDC AAS @QV V 3,4AB BP CD ===Q5AP \===在,5Rt APC AP PC ==VAC \==.【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.3．见解析【分析】首先根据等量代换得出CAE ABD Ð=Ð，从而可证ADB CEA △≌△，最后利用全等三角形的性质即可得出结论．【详解】证明：设BDA BAC a Ð=Ð=，∴180-DBA BAD BAD CAE a Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴CAE ABD Ð=Ð，∵在ADB △和CEA V 中ABD CAE BDA CEA AB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴()ADB CEA AAS ≌△△，∴AE BD =，AD CE =，∴DE AE AD BD CE =+=+．【点拨】本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形判定方法和性质是解题的关键．4．NQ ＝1．【分析】首先求出∠M=∠PSQ ，进而利用AAS 证明△MNS ≌△SQP ，所以MN=SQ 问题可解．解：,MS ,PS MN SN PQ SN ^^^Q ，90MSP N SQP \Ð=Ð=Ð=°，M MSN MSN PSQ \Ð+Ð=Ð+Ð，M PSQ \Ð=Ð，在MNS △和SQP V 中，M PSQ MNS SQP MS PS Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()MNS SQP AAS \△≌△，SQ MN \=，∵SN ＝4，MN ＝3，431NQ SN SQ SN MN \=-=-=-= ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直定义，根据条件证MNS SQP △≌△是解此题的关键．5．（1）见解析；（2）AD ＝BE ＋DE ，见解析；（3）DE ＝AD ＋BE【分析】（1）由已知推出∠CDA=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD ＋∠DAC ＝90°，推出∠DAC=∠ECB ，根据AAS 即可得到△ADC ≌△CEB ；（2）由（1）得到AD=CE ，CD=BE ，即可求出答案；（3）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠CBE ，能推出△ADC ≌△CEB ，得到AD=CE ，CD=BE ，即可得到DE 、AD 、BE 之间的等量关系．（1）证明：∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠CDA ＝∠BEC ＝90°．∴∠ACD ＋∠DAC ＝90°．∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°．∴∠DAC ＝∠ECB ．在△ADC 和△CEB 中，CDA BEC DAC ECB AC CB ÐÐìïÐÐíïî＝＝＝，∴△ADC ≌△CEB ．（2）AD ＝BE ＋DE ．理由如下：由（1）知△ADC ≌△CEB ．∴AD ＝CE ，CD ＝BE ．∴AD ＝CE ＝CD ＋DE ＝BE ＋DE ．（3）DE ＝AD ＋BE ．理由：∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC=90°，∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠CBE ，又∵∠ADC=∠CEB ，AC=CB ，∴△ADC ≌△CEB ，∴AD=CE ，CD=BE ，∵CD+CE=DE ，∴DE=AD+BE ．【点拨】本题主要考查了余角的性质，直角三角形的两锐角互余，全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证明△ADC ≌△CEBE 是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．6．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据已知条件容易证明△BEA ≌△AFC ，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；（2）根据（1）知道△BEA ≌△AFC 仍然成立，则BE=AF ，AE=CF ，就可以求出EF=BE-CF ．解：（1）BE EA ^Q ，CF AF ^，BAC BEA CFE 90ÐÐÐ\===°，EAB CAF 90ÐÐ\+=°，EBA EAB 90ÐÐ+=°，CAF EBA ÐÐ\=，在ABE V 和CAF V 中，BEA AFC EBA FACAB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=îBEA \V ≌()AFC AAS V ，EA FC \=，BE AF =，EF EA AF BE CF \=+=+．（2）BE EA ^Q ，CF AF ^，BAC BEA CFE 90ÐÐÐ\===°，EAB CAF 90ÐÐ\+=°，ABE EAB 90ÐÐ+=°，CAF ABE ÐÐ\=，在ABE V 和ACF V 中，EBA FAC BEA CFAAB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=îBEA \V ≌()AFC AAS V ，EA FC \=，BE AF =，∵EF AF AE =-，∴EF BE CF=-【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题．7．150米【分析】根据题意，判断出△ADC ≌△CEB 即可求解．解：如图，过点B 作BE ⊥MN 于点E ，∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°，∴∠A ＝∠BCE （同角的余角相等）．在△ADC 与△CEB 中，90ADC CEB A BCEAC CB Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î∴△ADC ≌△CEB （AAS ）．∴BE ＝CD ＝150m ．即村庄B 到河边的距离是150米．【点拨】本题主要考查的是全等三角形的实际应用，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解答本题的关键．8．（1）AC CE ^，见解析；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析【分析】（1）先用HL 判断出Rt Rt ABC CDE ≌△△，得出A DCE Ð=Ð，进而判断出90DCE ACB Ð+Ð=°，即可得出结论；（2）同（1）的方法，即可得出结论；（3）同（1）的方法，即可得出结论．【详解】解：（1）AC CE ^理由如下：∵AB BD ^，ED BD ^，∴90B D Ð=Ð=°在Rt ABC △和Rt CDE △中AC CE BC DE=ìí=î∴()Rt Rt HL ABC CDE △△≌，∴A DCEÐ=Ð∵90B Ð=°，∴90A ACB Ð+Ð=°，∴()18090ACE DCE ACB Ð=°-Ð+Ð=°，∴AC CE ^；（2）成立，理由如下：∵AB BD ^，ED BD ^，∴90B D Ð=Ð=°，在1Rt ABC V 和2Rt C DE △中121AC C E BC DE=ìí=î，∴()12Rt Rt HL ABC C DE ≌△△，∴2A C E D Ð=Ð，∵90B Ð=°，∴190B A AC Ð+Ð=°，∴2190DC E AC B Ð+Ð=°，在12C FC V 中，()122118090C FC DC E AC B Ð=°-Ð+Ð=°，∴12AC C E ^；（3）成立，理由如下：∵AB BD ^，ED BD ^，∴190ABC D Ð=Ð=°在1Rt ABC V 和2Rt C DE △中121AC C E BC DE =ìí=î，∴()12Rt Rt HL ABC C DE ≌△△，∴2A C E D Ð=Ð，∵190ABC Ð=°，∴190B A AC Ð+Ð=°，在12C FC V 中，()2112180=90C FC DC E AC B Ð=°-Ð+а，∴12AC C E ^．【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出12Rt Rt ABC C DE ≌△△是解本题的关键．9．3【分析】根据同角的余角相等可得EBC DCA Ð=Ð，根据“AAS”可证CEB △≌ADC V ，可得9AD CE ==，即可求BE 的长．解：∵BE CE ^，AD CE ^，∴90E ADC Ð=Ð=°，∴90EBC BCE Ð+Ð=°．∵90BCE ACD Ð+Ð=°，∴EBC DCA Ð=Ð．在CEB △和ADC V 中，E ADC EBC ACD BC AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴CEB △≌ADC V （AAS ），∴BE CD =，9AD CE ==，∴963BE CD CE DE ==-=-=．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．10．（1）证明见解析；（2）ACB Ð为直角时，//BC DE【分析】（1）根据全等三角形的性质求出BD=AE ，AD=CE ，代入求出即可；2）根据全等三角形的性质求出∠E=∠BDA= 90°，推出∠BDE=90° ，根据平行线的判定求出即可．【详解】（1）证明：∵ABC DAE △△≌，∴AE=BC ，AC=DE ，又∵AE AC CE =+，∴BC DE CE =+．（2）若//BC DE ，则BCE E Ð=Ð，又∵ABC DAE △△≌，∴ACB E Ð=Ð，∴ACB BCE Ð=Ð，又∵180ACB BCE Ð+Ð=°，∴90ACB Ð=°，即当ABC V 满足ACB Ð为直角时，//BC DE ．【点拨】本题考查全等三角形的性质和平行线的判定的应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论．11．（1）见详解；（2）DE ＝BD ＋CE ．理由见详解【分析】（1）根据BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m 得∠BDA ＝∠CEA ＝90°，而∠BAC ＝90°，根据等角的余角相等，得∠CAE ＝∠ABD ，然后根据“AAS”可判断△ABD ≌△CAE ；（2）由∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，就可以求出∠BAD ＝∠ACE ，进而由ASA 就可以得出△ABD ≌△CAE ，就可以得出BD ＝AE ，DA ＝CE ，即可得出结论．【详解】（1）证明：如图①，∵D ，A ，E 三点都在直线m 上，∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°，∵BD ⊥m ，CE ⊥m ，∴∠ADB ＝∠CEA ＝90°，∴∠BAD ＋∠ABD ＝90°，∴∠ABD ＝∠CAE ，在△ABD 和△CAE 中，ADB AEC ABD CAE AB AC ÐÐìïÐÐíïî＝＝＝，∴△ABD ≌△CAE （AAS ）；（2）DE ＝BD ＋CE ．理由如下：如图②，∵∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，∴由三角形内角和及平角性质，得：∠BAD ＋∠ABD ＝∠BAD ＋∠CAE ＝∠CAE ＋∠ACE ，∴∠ABD ＝∠CAE ，∠BAD ＝∠ACE ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE AB ACBAD ACE ÐÐìïíïÐÐî＝＝＝，∴△ABD ≌△CAE （ASA ），∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∴DE ＝AD ＋AE ＝BD ＋CE ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理的综合应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，灵活运用所学知识解决问题．12．AC ⊥CD ，理由见解析【分析】根据条件证明△ABC ≌△CED 就得出∠ACD=90°，则可以得出AC ⊥CD ．【详解】解：AC ⊥CD ．理由：∵AB ⊥BE ，DE ⊥BE ，∴∠B ＝∠E ＝90°．在Rt △ABC 和Rt △CED 中，AB CE AC CD =ìí=î，∴Rt △ABC ≌Rt △CED （HL ），∴∠A ＝∠DCE ，∠ACB ＝∠D ．∵∠A+∠ACB ＝90°，∴∠DCE+∠ACB ＝90°．∵∠DCE+∠ACB+∠ACD ＝180°，∴∠ACD ＝90°，∴AC ⊥CD ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．13．（1）证明见解析；（2）180ACB a Ð+Ð=°，证明见解析；（3）EF BE AF =+，证明见解析．【分析】（1）①求出∠BEC ＝∠AFC ＝90°，∠CBE ＝∠ACF ，根据AAS 证△BCE ≌△CAF ，推出BE ＝CF ，CE ＝AF 即可；②当∠α＋∠ACB ＝180°，证明∠BEC ＝∠AFC ，∠CBE ＝∠ACF ，根据AAS 证△BCE ≌△CAF ，推出BE ＝CF ，CE ＝AF 即可；（2）求出∠BEC ＝∠AFC ，∠CBE ＝∠ACF ，根据AAS 证△BCE ≌△CAF ，推出BE ＝CF ，CE＝AF 即可．【详解】（1）①在图1中，90BEC AFC Ð=Ð=°Q ，90ACB Ð=°，90BCE ACF Ð+Ð=°，90EBC BCE Ð+Ð=°，EBC ACF \Ð=Ð，在BCE V 和CAF V 中，EBC ACF BEC AFC BC AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()BCE CAF AAS \@V V ，BE CF \=，CE AF =，EF CF CE BE AF \=-=-；②当180ACB a Ð+Ð=°时，①中结论仍然成立；证明：在图2中，BEC CFA a Ð=Ð=ÐQ ，180ACB a Ð+Ð=°，BCE ACF EBC BCE \Ð+Ð=Ð+Ð，EBC ACF \Ð=Ð，在BCE V 和CAF V 中，EBC ACF BEC AFC BC AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()BCE CAF AAS \@V V ，BE CF \=，CE AF =，EF CF CE BE AF \=-=-．故答案为180ACB a Ð+Ð=°；（2）不成立，结论：EF BE AF =+．理由：在图3中，BEC CFA a Ð=Ð=ÐQ ，a BCA Ð=Ð，又180EBC BCE BEC +Ð+Ð=°Q ，180BCE ACF ACB Ð+Ð+Ð=°，EBC BCE BCE ACF \Ð+Ð=Ð+Ð，EBC ACF \Ð=Ð，在BEC △和CFA △中，EBC FCA BEC CFA BC CA Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()BEC CFA AAS \@V V ，AF CE \=，BE CF =，EF CE CF =+Q ，EF BE AF \=+．【点拨】本题综合考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，注意这类题目图形发生变化，结论基本不变，证明方法完全类似，属于中考常考题型．14．见解析【分析】证明△BEA ≌△AFC ，得到AE=CF ，BE=AF ，即可得到结论．证明：BE EA ^Q ，CF AF ^，90BAC BEA AFC \Ð=Ð=Ð=°，90EAB CAF \Ð+Ð=°，90EBA EAB Ð+Ð=°，CAF EBA \Ð=Ð，在ABE △和AFC △中，BEA AFC EBA CAF AB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，(AAS)BEA AFC \△≌△．AE CF ∴=，BE AF =．EF AF AE BE CF \=+=+．．【点拨】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记三角形的判定定理是解题的关键．15．（1）见解析；（2）8秒【分析】（1）根据垂直及角之间的关系证明出PDA CBD Ð=Ð，又有90PAD C Ð=Ð=°，=6AD BC =，根据三角形全等的判定定理则可证明PDA DBC △≌△．（2）根据垂直及角之间的关系证明APF DAF Ð=Ð，又因为90PAD C Ð=Ð=°，AD BC =，则可证明PAD ACB △≌△，所以8cm AP AC ==，即t=8秒．（1）证明：PD BD ^Q，90PDB \Ð=°，即90BDC PDA Ð+Ð=°又90C Ð=°Q ，90BDC CBD Ð+Ð=°PDA CBD\Ð=Ð又AE AC ^Q ，90PAD \Ð=°90PAD C \Ð=Ð=°又6cm BC =Q ，6cmAD =AD BC\=在PAD △和DCB V 中PAD C AD CBPDA DBC Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî()PDA DBC ASA \△≌△（2）PD AB ^Q ，90AFD AFP \Ð=Ð=°，即90PAF APF Ð+Ð=°又AE AC ^Q ，90PAF DAF \Ð+Ð=°APF DAF\Ð=Ð又90PAD C Ð=Ð=°Q ，AD BC=在APD △和CAB △中APD CAB PAD CAD BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()PAD ACB AAS \△≌△8cmAP AC \==即8t =秒．【点拨】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用角之间的关系是解题关键．16．（1）证明见解析；（2）EF=17cm ．【分析】（1）根据垂直的定义可得∠AEC=∠CFB=90°，然后求出∠EAC=∠FCB ，再利用“角角边”证明即可；（2）由全等三角形的性质可得：AE=CF ，CE=BF ，再根据线段的和差求解即可．【详解】（1）证明：在Rt △ACB 中，∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCF=90°∵AE ⊥EF ，BF ⊥EF∴∠ACE+∠EAC=90°∴∠CAE=∠BCF又∵ AC=CB∴△ACE ≌△CBF(ASA)(2)由△ACE ≌△CBF 可得:AE=CF=12cm ， EC=BF=5cm ，∴EF=EC+CF=12+5=17cm ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判断方法并找出全等的条件是解题的关键．17． 1.5cm DE =．【分析】根据垂直定义求出∠BEC ＝∠ACB ＝∠ADC ，根据等式性质求出∠ACD ＝∠CBE ，根据AAS 证明△BCE ≌△CAD ；根据全等三角形的对应边相等得到AD ＝CE ，BE ＝CD ，利用DE ＝CE−CD ，即可解答．【详解】AD CE ^Q ,BE CE^90ADC CEB \Ð=Ð=°90BCE CBE \Ð+Ð=°又90ACB Ð=°Q 90BCE ACD \Ð+Ð=°CBE ACD\=Ð在ACD △和CBE △中ADC CEB ACD CBEAC BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()AAS ACD CBE \△≌△CD BE \=,AD CE=又 2.5cm AD =Q ,1cmBE =2.5cm CE \=,1cm=CD 2.51 1.5cm DE CE CD \=-=-=．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明ACD CBE \V V ≌的三个条件．18．（1）见解析；（2）BE= AB+AD ，理由见解析．【分析】（1）利用余角的性质得到∠ACD=∠BEC ，从而证明△ACD ≌△BEC ，得到AD=BC ，AC=BE ，从而得到结论；（2）根据△ACD ≌△BEC ，得到AD=BC ，AC=BE ，从而得到BE=AC=AB+BC=AB+AD ．【详解】解：（1）∵BE ⊥AB ，∴∠BCE+∠BEC=90°，∵DC ⊥EC ，∴∠ACD+∠BCE=90°，∴∠ACD=∠BEC ，在△ACD 和△BEC 中，A B ACD BECCD CE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴△ACD ≌△BEC （AAS ），∴AD=BC ，AC=BE ，∴AD+BE=AC+BC=AB ；（2）由（1）可得：△ACD ≌△BEC ，∴AD=BC ，AC=BE ，∴BE=AC=AB+BC=AB+AD ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，找出条件，证明全等，利用全等的性质得到线段的数量关系是本题考查的内容．19．（1）见解析；（2）BD DE CE =-，见解析；（3）BD DE CE =-；（4）当B ，C 在AE 的同测时，BD DE CE =-；当B ，C 在AE 的异侧时，若BD CE >，则BD DE CE =+，若BD CE <，则BD CE DE=-【分析】（1）在直角三角形中，由题中条件可得∠ABD=EAC ，又有AB=AC ，则有一个角及斜边相等，则可判定△BAD ≌△AEC ，由三角形全等可得三角形对应边相等，进而通过线段之间的转化，可得出结论；（2）由题中条件同样可得出△BAD ≌△AEC ，得出对应线段相等，进而可得线段之间的关系；（3）同（2）的方法即可得出结论．（4）利用（1）（2）（3）即可得出结论．【详解】解：（1）∵BD ⊥AE ，CE ⊥AE∴∠ADB=∠CEA=90°∴∠ABD+∠BAD=90°又∵∠BAC=90°∴∠EAC+∠BAD=90°∴∠ABD=∠CAE在△ABD 与△ACE 中ADB CEA ABD CAEAB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴△ABD ≌△ACE∴BD=AE ，AD=EC ，∴BD=DE+CE（2）∵BD ⊥AE ，CE ⊥AE∴∠ADB=∠CEA=90°∴∠ABD+∠BAD=90°又∵∠BAC=90°∴∠EAC+∠BAD=90°∴∠ABD=∠CAE在△ABD 与△ACE 中ADB CEA ABD CAEAB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴△ABD ≌△ACE∴BD=AE ，AD=EC∴BD=DE-CE ，（3）∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠EAC=90°，又∵BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴∠BDA=∠AEC=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠ABD=∠EAC ，在△ABD 与△CAE 中，BDA AEC ABD EACAB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴△ABD ≌△CAE ，∴BD=AE ，AD=CE ，∵DE=AD+AE=BD+CE ，∴BD=DE-CE ．（4）归纳：由（1）（2）（3）可知：当B ，C 在AE 的同侧时，若BD> CE,则BD= DE +CE,若BD> CE,则BD= DE +CE,若BD< CE,则BD= CE- DE.【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形全等的判定方法，余角的性质，线段的和差，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．20．15．【分析】解：由∠1=∠2=∠BAC ，得到∠BAE=∠ACF ，∠ABE=∠CAF 从而证明△ABE ≌△CAF(ASA).得到AF=BE ，再根据DF=2AF ，BE 的长为5，求得AD 的长．【详解】解：∵12BAC Ð=Ð=Ð，且1BAE ABE Ð=Ð+Ð，2CAF ACF Ð=Ð+Ð，∠BAC=∠BAE+∠CAF ，∴∠BAE=∠ACF ，∠ABE=∠CAF ．在ABE △和CAF V 中，BAE ACF AB CAABE CAF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴()ABE CAF ASA ≌△△.∴AF BE=∵2DF AF =，BE 的长为5，∴10DF =，5AF BE ==，∴51015AD AF DF =+=+=．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟悉掌握全等三角形的性质和证明．21．（1）详见解析；（2）结论：DE ＝CE ﹣BD ，详见解析【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD ，进而利用AAS 得出则△ABD ≌△CAE ，即可得出DE=BD+CE ；（2）利用已知得出∠CAE=∠ABD ，进而利用AAS 得出则△ABD ≌△CAE ，即可得出BD 、CE 与DE 之间的数量关系．【详解】解：(1)证明：∵BD ⊥l ，CE ⊥l ，∴∠BD A ＝∠AEC ＝90°又 ∵Rt ABC D ，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°，∠BAD ＋∠ABD ＝90°，∴∠CAE ＝∠ABD在△ABD 和△CAE 中=ABD CAE ADB CEAAB AC =ìïíï=î∠∠∠∠∴△ABD ≌ △CAE∴BD ＝AE ，AD ＝CE∵DE ＝AD ＋AE ，∴DE ＝CE ＋BD ．(2) 如图②所示：结论：DE ＝CE ﹣BD证明：∵BD ⊥l ，CE ⊥l ，∴∠BD A ＝∠AEC ＝ 90°∵∠BAD ＋∠CAE ＝90°，∠BAD ＋∠ABD ＝90°，∴∠CAE ＝∠ABD在△ABD 和△CAE 中==ABD CAE ADB CEAAB AC ìïíï=î∠∠∠∠∴△ABD ≌△CAE (AAS )∴BD ＝AE ，AD ＝CE∵DE ＝AD ﹣AE∴DE ＝CE ﹣BD【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出△ABD ≌△CAE 是解题关键．22．（1）补全如图所示见解析；CD BC AD =+；（2）成立，证明见解析；（3）点B 的坐标为()1,2-．【分析】（1）依题意补全图，易证△AOD ≌△OBC ，则有AD =CO ，OD =BC ，从而可得CD BC AD =+；（2）利用三角形内角和易证23ÐÐ=，再证明BCO ODA V V ≌，同（1）即可证明结论；（3）过B 、C 两点作y 轴垂线，构造如（1）图形，即可得三角形全等，再将线段关系即可求出点B 坐标．【详解】（1）补全图1如图所示，CD BC AD =+；证明：∵90AOB Ð=°，BC ⊥直线l ，AD ^ 直线l ，∴∠BCO =∠ODA =90°，∴∠BOC +∠OBC =90°，又∵90AOB Ð=°，∴∠BOC +∠AOD =90°，∴∠OBC =∠AOD ，在△AOD 和△OBC 中BCO ODA OBC AOD BO AO Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△AOD ≌△OBC （AAS ）∴AD =CO ，OD =BC ，∵CD OD CO =+，∴CD BC AD =+．（2）成立．证明：如图，∵12180BOA Ð+Ð=°-Ð，13180BOA Ð+Ð=°-Ð，BOA BCOÐ=Ð∴23ÐÐ=在BCO V 和ODA V中32BCO ODABO OA Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴BCO ODA V V ≌（AAS ）∴BC OD =，CO AD=∴CD CO OD AD BC=+=+（3）点B 的坐标为()1,2-．过程如下：过B 、C 两点作y 轴垂线，垂足分别为M 、N ，同理（1）可得，CN =AM ，AN =MB ，∵点A 的坐标为(0,1)，点C 的坐标为()3,2，∴CN =AM =3，ON =2，OA =1,∴MB =AN =ON -OA =1，OM =AM -OA =2，∵点B 在第四象限，∴点B 坐标为：()1,2-．【点拨】主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质、图形与坐标变换，构造出全等三角形是解本题的关键．23．（1）见解析；（2）DE =AD +BE ；见解析；（3）AD =DE +BE【分析】（1）利用垂直的定义得∠ADC =∠CEB =90°，再利用HL 证明Rt △ADC ≌Rt △CEB ，得到∠DAC =∠BCE ，再根据余角的定义得到∠ACD +∠BCE =∠ACB =90°，可得结论；（2）根据Rt △ADC ≌Rt △CEB 得到DC =BE ，从而利用等量代换得到DE =AD +BE ；（3）同理可证：Rt △ADC ≌Rt △CEB ，利用等量代换可得AD =DE +BE ．【详解】解：（1）证明：∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC =∠CEB =90°，在Rt △ADC 和Rt △CEB 中，AC BC AD CE =ìí=î，∴Rt △ADC ≌Rt △CEB （HL ），∴∠DAC =∠BCE ，∵∠ADC =90°，即∠DAC +∠ACD =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，即∠ACB =90°，∴AC ⊥BC ；（2）DE =AD +BE ，理由如下：∵Rt △ADC ≌Rt △CEB ，∴DC =BE ，∵AD =CE ，∴DE =DC +CE =AD +BE ；（3）AD =DE +BE ，同理可证：Rt △ADC ≌Rt △CEB （HL ），∴CD =BE ，∴AD =CE =DE +CD =DE +BE ，∴即AD =DE +BE ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS ”、“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“HL ”；全等三角形的对应边、对应角相等．24．（1）①见解析；②见解析；（2）见解析．【分析】（1）①根据已知可利用AAS 证明△ADC ≌△CEB ；②由①证得△ADC ≌△CEB ，得出对应边相等，CE ＝AD ，CD ＝BE 由此可证DE ＝AD−BE ；（2）根据已知可利用AAS 证明△ADC ≌△CEB ，得出对应边相等，AD ＝CE ，CD ＝BE ，由此可证DE ＝BE−AD ．【详解】证明：（1）①∵∠ADC ＝∠ACB ＝∠BEC ＝90°，∴∠CAD ＋∠ACD ＝90°，∠BCE ＋∠CBE ＝90°，∠ACD ＋∠BCE ＝90°．∴∠CAD ＝∠BCE ．∵AC ＝BC ，∴△ADC ≌△CEB ．②由①证得△ACD ≌△CBE ．∴CE ＝AD ，CD ＝BE ．∴DE ＝CE−CD ＝AD−BE ．（2）∵∠ADC ＝∠CEB ＝∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝∠CBE ，又∵AC ＝BC ，∴△ACD ≌△CBE ，∴AD ＝CE ，CD ＝BE ，∴DE ＝CD−CE ＝BE−AD ．【点拨】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等得出结论．25．（1）见解析；（2）60°．【分析】（1）利用ASA 证明△BAE ≌△CED ，可证AE=DE ，后利用∠BAE+∠BEA=90°，证明∠BEA+∠CED=90°，问题得证；（2）利用直角三角形的两个锐角互余，求解即可．【详解】（1）∵90B C Ð=Ð=°，BAE CED Ð=Ð，且AB CE =，∴△BAE ≌△CED ，∴AE=DE ，∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠BEA+∠CED=90°，∴∠AED=90°，∴△AED 是等腰直角三角形；（2）∵2CDE BAE Ð=Ð，BAE CED Ð=Ð，∴2CDE CED Ð=Ð，∵∠CDE+∠CED=90°，∴∠CDE=60°．【点拨】本题考查了三角形的全等，等腰直角三角形的定义，直角三角形的锐角互余的性质，根据图形，结合条件选择对应判定方法，根据性质构造基本的计算等式是解题的关键．26．见解析．【分析】证明ADE BCD Ð=Ð，为三角形的全等提供条件即可．证明：ADE CDE B BCD Ð+Ð=Ð+ÐQ ，CDE B Ð=Ð，ADE BCD \Ð=Ð，AC BC =Q ，A B \Ð=Ð，在ADE V 和BCD △中A B AD BCADE BCD Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，ADE \V ≌BCD △(ASA) ．【点拨】本题考查了ASA 证明三角形的全等，抓住题目的特点，补充全等需要的条件是解题的关键．27．（1）见解析；（2）成立，见解析【分析】（1）先证∠ABD=∠EAC ，再证△ABD ≌ △CAE （AAS ）即可；（2）先证出∠ABD ＝ ∠EAC ，再证△ABD ≌ △CAE （AAS ）即可．证明：（1）∵AB ⊥AC,BD ⊥DE,CE ⊥DE,∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°,∴∠DAB+∠ABD=∠EAC+∠DAB=90°,∴∠ABD=∠EAC,在△ABD 和 △CAE 中，ABD EAC BDA AEC AB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴ △ABD ≌ △CAE （AAS ），∴ BD ＝ AE ，AD ＝ CE ，∴ DE ＝ AE ＋ DA ；（2）成立，理由如下：∵ ∠BAC ＋ ∠BAD ＋ ∠EAC ＝ 180° ，∠ADB ＋ ∠BAD ＋ ∠ABD ＝ 180°，∠BAC ＝ ∠BDA ，∴∠ABD ＝ ∠EAC ，在△ABD 和 △CAE 中，ABD EAC BDA AEC AB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴ △ABD ≌ △CAE （AAS ），∴ BD ＝ AE ，AD ＝ CE ，∴ DE ＝ AE ＋ DA ＝ BD ＋ CE．【点拨】本题考查三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．28．（1）DE BD CE =+；（2）成立，证明见详解；（3）8．【分析】（1）通过题中的直角和垂直条件，可得到CAE ABD Ð=Ð，然后证明△CAE ≌△ABD ，即得到BD AE =，AD CE =，然后通过等量代换即可得到结论；（2）同（1）中类似，先证明△CAE ≌△ABD 后得到对应边成比例即可；（3）证明△CAE ≌△ABD ，发现ABD △与CEF △的面积之和即为△ACF 的面积，然后根据2BC CF =即可得到答案．解：（1）DE BD CE =+，∵90BAC Ð=°，∴90BAD CAE Ð+Ð=°，∵BD m ^，CE m ^，∴90CEA BDA Ð=Ð=°，∴90BAD ABD Ð+Ð=°，∴CAE ABDÐ=Ð在△CAE 和△ABD 中，90CAE ABD AB ACCEA BDA Ð=Ð=Ð=Ð=°ìïíïî∴△CAE ≌△ABD ，∴BD AE =，AD CE =，∵DE AD AE =+，∴DE BD CE =+；（2）成立，∵BDA AEC BAC a Ð=Ð=Ð=，且180BAD BAC CAE Ð+Ð+Ð=°，∴180BAD CAE a Ð+Ð+=°，在△ABD 中，180BAD ABD BDA Ð+Ð+Ð=°，∴180BAD ABD a Ð+Ð+=°，∴CAE ABD Ð=Ð，在△CAE 和△ABD 中，。
2020-2021学年八年级数学北师大版下册第一章：三角形的证明 培优达标卷
2020-2021学年八年级数学北师大版下册第一章三角形的证明培优达标卷一、单选题1．下列各组数，能够作为直角三角形的三边长的是（ ）A ．4，6，8B ．3，4，5C ．5，12，14D ．23，22，252．如图，在ABC 中，30C ∠=︒，点D 是AC 的中点，DE AC ⊥交BC 于E ；点O 在DE 上，OA OB =，2OD =，4OE =，则BE 的长为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．63．如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，且120ADC =∠︒，20cm BC =，则AM 的长度为（ ）A ．20cmB ．10cmC ．5cmD ．15cm4．如图，△ABC 的三边长分别是6,9,12,其三条角平分线将其分为三个三角形，则::ABO BCO CAO S S S ∆∆∆等于（ ）A ．1:1:1B ．1:2:3C ．2:3:4D ．3:4:55．在等边三角形ABC 中，D E ，分别是BC AC ，的中点，点P 是线段AD 上的一个动点， 当PC PE +的长最小时，P 点的位置在（ ）A ．A 点处B ．AD 的中点处C ．ABC ∆的重心处D ．D 点处6．如图，在△ABC 中，∠B=30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，CE 平分∠ACB,若BE=2，则AE 的长为（ ）A ．3B ．1C ．2D ．27．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于点M ，交AC 于点N ．若BM+CN=7，则MN 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．98．已知三条不同的射线OA 、OB 、OC 有下列条件：①∠AOC=∠BOC ②∠AOB=2∠AOC ③∠AOC+∠COB=∠AOB ④∠BOC=12∠AOB ，其中能确定OC 平分∠AOB 的有（ ） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个 9．已知：如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F ，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE ；③AF=BF ；④DF=EF ，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC 是等腰三角形的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④αCE 平分ACB ∠交AB 于点E ，连接DE ，则DEC ∠的度数为（ ）A ．α3B ．α2C ．α302︒-D ．45α︒-11．如图，在△ABC 中，AC ＝AB ，∠BAC ＝90°，BD 平分∠ABC ，与AC 相交于点F ，CD ⊥BD ，垂足为D ，交BA 的延长线于点E ，AH ⊥BC 交BD 于点M ，交BC 于点H ，下列选项不正确的是（ ）A ．∠E ＝67.5°B ．∠AMF ＝∠AFMC ．BF ＝2CD D ．BD ＝AB +AF12．如图，已知∠MON=30°，点123......A A A 、、在射线ON 上，点123......B B B 、、在射线OM 上，111OA A B =，12B A OM ⊥，222OA A B =，23B A OM ⊥，以此类推，若11OA =，则66A B 的长为（ ）A ．6B ．152C ．32D ．72964二、填空题 13．一个等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则它的周长为______cm ．14．如图在钝角△ABC 中，已知∠BAC=135°，边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点D 、E ，连接AD 、AE ，则∠DAE=_____15．如图，在△ABC 中，直线l 垂直平分BC ，射线m 平分∠ABC ，且l 与m 相交于点P ，若∠A ＝60°，∠ACP ＝24°，则∠ABP ＝_____°．16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，P 是BC 上一点，且∠BAP ＝90°，CP ＝4cm ．则BP 的长＝________．17．如图，射线OC 是AOB ∠的平分线，Р是射线C 上一点，PD OA ⊥于点,6D DP =，若E 是射线OB 上一点，4,OE =则OPE 的面积是_______________________．18．如图，△ABC 中，∠C =90°，AB =6，AD 平分∠BAC ，CD =2，DE ⊥AB 于E ，则ABD S 等于_____________．19．如图，在ABC ∆中，BD 、BE 分别是高和角平分线，点F 在CA 的延长线上，FH ⊥BE 交BD 于G ，交BC 于H ，下列结论：①∠DBE=∠F ；②2∠BEF=∠BAF+∠C ；③()12F BAC B ∠=∠-∠；④∠BGH=∠ABE+∠C ．其中正确的是_________ ．20．如图，在第1个△A 1BC 中，∠B ＝30°，A 1B ＝CB ；在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ；在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ，…按此做法继续下去，则第4个三角形中以A 4为顶点的底角度数是_____．第n 个三角形中以A n 为顶点的底角度数是_____．三、解答题21．已知ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且18a =，32b =，50c =．（1）判断ABC 的形状，并说明理由；（2）如果一个正方形的面积与ABC 的面积相等时，求这个正方形的边长．22．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC =，13AB =，点D 是Rt ABC ∆外一点，连接DC ，DB ，且4CD =，3BD =．（1）求证：90D ∠=︒（2）求：四边形ABDC 的面积．23．如图所示，已知AB AC =，AD 是中线，BE CF =．（1）求证：BDE CDF ≌；（2）当60B ∠=︒时，过AB 的中点G ，作//GH BD ，求证：4GH AB 1=． 24．已知：如图，在ABC 中，AB AC >，45B ∠=，点D 是BC 边上一点，且AD AC =，过点C 作CF AD ⊥于点E ，与AB 交于点F（1） 若CAD α∠=，求：①BAC ∠的大小；②BCF ∠的大小；（用含α的式子表示）（2）求证：AC FC =25．如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，且,//,AD AB AE BC BAD CAE =∠=∠，连接,DE 交AC 于点F ．（1）若65B ∠=︒，求C ∠的度数．（2）若AE AC =，则AD 平分BDE ∠是否成立？判断并说明理由．26．如图，AE 、BD 是ABM 的高，AE ，BD 交于点C ，且AE BE =．（1）求证；AME BCE ≌△△；（2）当BD 平分ABM ∠时，求证：2BC AD =；（3）求MDE ∠的度数．27．在平面直角坐标系中，点A 坐标(5,0)-，点B 坐标(0,5)，点 C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．（1）如图①，若点C 的坐标为(3,0)，求点E 的坐标；（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：DO 平分ADC ∠；（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当OC CD AD +=时，则OBC ∠的度数为________．28．（1）如图①，D 是等边ABC 的边AB 上一动点（点D 与点B 不重合），连接CD ，以CD 为边，在BC 上方作等边DCE ，连接AE ，你能发现AE 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；（2）如图②，当动点D 运动至等边ABC 边BA 的延长线时，其他作法与（1）相同，猜想AE 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；（3）如图③，当动点D 在等边ABC 边BA 上运动时（点D 与B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方和下方分别作等边DCE 和等边DCE '，连接AE ，BE '，探究AE ，BE '与AB 有何数量关系？并证明你的探究的结论．参考答案1．DA. 4，6，8，468<<，∴2224+6=16+36=5264=8<，∴A 选项不能够作为直角三角形的三边长； B. 3，4，5，345<<，∴2223+4=3+4=75=5>，∴B 选项不能够作为直角三角形的三边长；C. 5，12，14， 51214<<，∴2225+12=25+144=169196=14<，∴C 选项不能够作为直角三角形的三边长；D. 23，22，25，222325<<，∴()()()22222+23=8+12=20=25， ∴D 选项不能够作为直角三角形的三边长，2．C连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于F ，如图，∵2OD =，4OE =，∴6DE OD OE =+=，在Rt △CDE 中，30C ∠=︒，∴212CE DE ==，9060CED C ∠=︒-∠=︒， ∵D 为AC 的中点，DE AC ⊥，∴OA OC =，∵OA OB =，∴OB OC =，∵OF BC ⊥， ∴12CF BF BC ==， 在Rt △OEF 中，∵60OEF ∠=︒，∴9030EOF OEF ∠=︒-∠=︒，∴122EF OE ==， ∴10CF CE EF =-=， ∴8BE BC CE =-=；3．A解：作MN ⊥AD 于N ，如图，∵∠B ＝∠C ＝90°，∠ADC ＝120°，∴∠DAB ＝60°，∵DM 平分∠ADC ，MC ⊥CD ，MN ⊥AD ，∴MC ＝MN ，∵M 点为BC 的中点，∴MC ＝MB=12BC=12×20=10cm ， ∴MN ＝MB ，∴AM平分∠DAB，∴∠MAB＝12∠DAB＝12×60°＝30°，∴AM=2MB=20cm，4．C过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵O是三角形三条角平分线的交点，∴OD=OE=OF，∵AB=6，BC=9，AC=12，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=2：3：4，故选C.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法，难度不大，作辅助线很关键．5．C解：连接BP，∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB=PC，当PC PE的长最小时，即PB+PE最小则此时点B、P、E在同一直线上时，又∵BE为中线，∴点P为△ABC的三条中线的交点，也就是△ABC的重心，6．B∵BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，∴∠B＝∠ECD，BE＝CE，∠BDE＝∠CDE＝90o,又∵∠B=30°，BE=2,∴∠ECD=30°,CE=2,DE=12BE=1,又∵CE平分∠ACB，∴∠ECD＝∠ACE＝30°，∴∠ACB＝60°，又∵在△ABC中，∠B=30°，∴∠BAC＝90°，在Rt△ACE，CE＝2，∠ACE＝30°，∴AE＝12CE＝1；7．B【详解】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，∴BM=ME，EN=CN，∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN，∵BM+CN=7，∴MN=7，8．D【解析】如图，根据角平分线的意义，可由∠AOC=∠BOC，知OC是∠AOB的平分线；如图，此时，∠AOB=2∠BOC ，∠BOC=12∠AOB ，但OC 不是∠AOB 的平分线； 由于∠AOC+∠COB=∠AOB ，但是∠AOC 与∠COB 不一定相等，所以OC 不一定是∠AOB 的平分线. 所以只有①能说明OC 是∠AOB 的角平分线.9．C选取①②:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴= 10．B解：过点E 作EM AC ⊥于M ，EN AD ⊥于N ，EH BC ⊥于H ，如图， DAC α∠=，αDAB 902∠=︒-，αEAM 902∠∴=︒-， AE ∴平分MAD ∠，EM EN ∴=，CE 平分ACB ∠，EM EH ∴=，EN EH ∴=，DE ∴平分ADB ∠，11ADB 2∠∠∴=， 由三角形外角可得：1DEC 2∠∠∠=+，12ACB 2∠∠=，11DEC ACB 2∠∠∠∴=+， 而ADB DAC ACB ∠∠∠=+， 11DEC DAC α22∠∠∴==， 故选：B ．11．D【详解】解：∵AC ＝AB ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠CBF ＝22.5°，∵BD ⊥CD ，∴∠E ＝67.5°，故选项A 正确，∵AH ⊥BC ，∴∠AHB ＝∠BAC ＝90°，∴∠ABF+∠AFB ＝90°，∠CBF+∠BMH ＝90°，∴∠AFB ＝∠BMH ，∴∠AFM ＝∠BMH ＝∠AMF ，故选项B 正确，∵CD ⊥BD ，∴∠BDE ＝∠BAC ＝90°，∴∠E+∠EBD ＝90°，∠E+∠ACE ＝90°，∴∠EBD ＝∠ACE ，在△ABF 和△ACE 中，BAC CAE AB ACABF ACE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABF ≌△ACE （ASA ），∴AE ＝AF ，BF ＝CE ，∴AB+AF ＝AB+AE ＝BE ，∵Rt △BED 中，BE ＞BD ，∴AB+AF ＞BD ，故选项D 错误，在△EBD 和△CBD 中，EBD CBD BD BDBDC BDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△EBD ≌△CBD （ASA ），∴BF ＝CE ＝2CD ，故选项C 正确，12．C【详解】∵=30MON ∠︒，111OA A B =，12B A OM ⊥∴1=30∠︒，∴===60︒∠3∠4∠12，∵11OA =，∴111A B =，∴21121A B A A ==，∴22OA =，∵222OA A B =，∴22122A B B A =∵23B A OM ⊥，∴122334////B A B A B A∴1===30︒∠∠6∠7，==90︒∠5∠8∴3323324A B B A OA ===，∴331244A B B A ==，441288A B B A ==，55121616A B B A ==，以此类推：66123232A B B A ==．故选：C ．13．17【详解】解：当7为腰时，周长=7+7+3=17cm ；当3为腰时，因为3+3＜7，所以不能构成三角形；故三角形的周长是17cm ．故答案为：17．解：连接DA、EA，如图，∵∠BAC=135°，∴∠B+∠C=180°-135°=45°，∵DF是AB的垂直平分线，EG是AC的垂直平分线，∴DA=DB，EA=EC，∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，∴∠DAB +∠EAC =∠B+∠C=45°，∴∠DAE=∠BAC –(∠DAB +∠EAC)=135°-45°=90°．15．32解：∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∵直线l是线段BC的垂直平分线，∴BP＝CP，∴∠CBP＝∠BCP，∴∠ABP＝∠CBP＝∠BCP，∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝60°，∠ACP＝24°，∴3∠ABP+24°+60°＝180°，解得：∠ABP＝32°，16．8cm解：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵∠BAC=120°，∠BAP=90°，∴∠PAC=30°，∴∠C=∠PAC，∴PA=PC=4cm，∵∠BAP=90°，∠B=30°，∴BP=2AP=8cm．故答案为：8cm17．12【详解】解：作PH⊥OB于点H，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，PH⊥OB，∴PH=DP=6，∴△OPE的面积=12×OE×PH=12×4×6=12，故答案为：12．18．6解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，CD=2，∴CD=DE=2，∵AB=6，∴16262ABDS=⨯⨯=．故答案为：6．19．①②③④①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F=90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE=90°，∵∠FGD=∠BGH，∴∠DBE=∠F，故①正确；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BEF=∠CBE+∠C，∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，∠BAF=∠ABC+∠C ，∴2∠BEF=∠BAF+∠C ，故②正确；③∠ABD=90°-∠BAC ，∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC ， ∵∠CBD=90°-∠C ，∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE ，由①得，∠DBE=∠F ，∴∠F=∠BAC-∠C-∠DBE ，∴∠F=12（∠BAC ﹣∠C ），故③正确； ④∵∠AEB=∠EBC+∠C ，∵∠ABE=∠CBE ，∴∠AEB=∠ABE+∠C ，∵BD ⊥FC ，FH ⊥BE ，∴∠FGD=∠FEB ，∴∠BGH=∠ABE+∠C ，故④正确．20．758 11()752n -⨯︒ 【详解】在1CBA 中，30B ∠=︒，1A B CB =， ∴1118030752BAC BCA ︒-︒∠=∠==︒， 又∵121A A A D =,1BA C ∠是12A A D 的外角． ∴21211117522DA A A DA BAC ∠=∠=∠=⨯︒． 同理可得：2323221111175()752222EA A A EA DA A ∠=∠=∠=⨯⨯︒=⨯︒， 34343321175()75228FA A A FA EA A ︒∠=∠=∠=⨯︒=， 综上可知规律：第n 个三角形中以n A 为顶点的底角度数是11()752n -⨯︒ 故答案为758，11()752n -⨯︒． 21．解：（1）在ABC <<222250a b +=+=，2250c ==，222a b c ∴+=，ABC ∴是直角三角形；（2）设这个正方形的边长为x ，∵一个正方形的面积与ABC 的面积相等，∴212x =，解得：x =±0x ，x ∴=答：这个正方形的边长为x =22．解：（1）在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，AC=12，AB=13， ∴BC 2=AB 2-AC 2=132-122=25，∴BC=5，∵CD=4，BD=3，∴CD 2+BD 2=42+32=25，∵BC=5，即BC 2=25，∴CD 2+BD 2=BC 2，∴△DBC 是直角三角形，∴∠D=90°．（2）∵△DBC 是直角三角形，且∠D=90°， ∴1134622S ∆=⨯=⨯⨯=DBC BD DC ， ∵在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，AC=12，BC=5， ∴115123022S ∆=⨯=⨯⨯=ABC BC AC ， ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △DBC =30+6=36．23．．证明（1）如图：∵AB=AC ，AD 是中线，∴∠B=∠C ，BD=CD ，在△BDE 与△CDF 中，BE CF B C BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△CDF ；（2）∵GH ∥BD ，∠B=60°，∴∠AGH=60°，∵AB=AC ，AD 是中线，∴AD ⊥BC ，∴∠BAD=30°∠AHG=90°，∴GH=12AG ， ∵AG=12AB ， ∴GH=14AB ． 24．（1）解：①AD AC =，CAD α∠=， 11(180)9022BCA ，②过点A 作AG BC ⊥于点G ，如图所示：90DAG ADG ∴∠+∠=︒，1122CAG DAG CAD ，CF AD ⊥于点E ，90DCE ADG ， 1122DCE DAG CAD ，即12BCF ； （2）证明：45B ∠=︒，AG BC ⊥，45BAG =∴∠︒，45BAC CAG ，45AFC DCE ，DCE DAG ，CAG DAG ∠=∠，BAC AFC ，AC FC ．25．解：（1）∵∠B=65°，AB=AD ，∴∠ADB=∠B=65°，∵∠B+∠BAD+∠BAD=180°，∴∠BAD=50°，∵∠CAE=∠BAD ，∴∠CAE=50°，∵AE ∥BC ，∴∠C=∠CAE=50°；（2）AD 平分∠BDE ，理由是：∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD ，即∠BAC=∠DAE ，在△BAC 和△DAE 中，ABADBAC DAE AC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAC ≌△DAE （SAS ）∴∠B=∠ADE ，∵∠B=∠ADB ，∴∠ADE=∠ADB ，即AD 平分∠BDE ．26．（1）证明：∵AE 、BD 是ABM 的高，∴90ADB AEB AEM ∠=∠=∠=︒，∵ACD ECB ∠=∠，180MAE ADC ACD ∠+∠+∠=︒，180CBE ECB CEB ∠+∠+∠=︒，∴MAE CBE ∠=∠，在AME △和BCE 中，MAE CBE AE BE AEM BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()AME B ASA CE ≌．（2）∵BD 平分ABM ∠，BD 是高，∴ABD MBD ∠=∠，90ADB MDB ∠=∠=︒，∵在ABD △和MBD 中，ADB MDB BD BD ABD MBD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ABD MBD ASA ≌△△， ∴12AD DM AM ==， ∵AME BCE ≌△△，∴AM BC =，∴2BC AD =．（3）∵45MDE ∠=︒，过点E 作EF ED ⊥交BC 于点F ，∵DEF AEB ∠=∠，∴DEA BEF ∠=∠；∵MAE CBE ∠=∠，且AE BE =，∴AED BEF △≌△；∴ED EF =，∴45EDF EFD ∠=∠=︒；∵90BDM ∠=︒，∴45MDE ∠=︒．27．证明：（1）AD BC ⊥，AO BO ⊥，90AOE BDE BOC ∠∠∠∴===︒．又AEO BED ∠=∠，OAE OBC ∴∠=∠．(5,0)A -，(0,5)B ，5OA OB ∴==．在AOE △和BOC 中OAE OBC OA OBAOE BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (ASA)AOE BOC ∴≌，OE OC ∴=． C 点坐标(3,0)，3OE OC ∴==，(0,3)E ∴．（2）过O 作OM AD ⊥于M ，ON BC ⊥于N ，AOE BOC ≌，AOE BOC S S ∴=，AE BC =，1122AE OM BC ON ∴⨯⨯=⨯⨯， OM ON ∴=，OM AD ⊥，ON BC ⊥，DO ∴平分ADC ∠．（3）如所示，在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，∵∠PDO=∠CDO ，OD=OD ，∴△OPD ≌△OCD ，∴OC=OP ，∠OPD=∠OCD ，∵OC CD AD +=，∴OC=AD-CD∴AD-DP=OP ，即AP=OP ，∴∠PAO=∠POA ，∴∠OPD=∠PAO+∠POA=2∠PAO=∠OCB ，又∵∠PAO+∠OCD=90°，∴3∠PAO=90°，∴∠PAO=30°，∵OAP OBC ∠=∠∴∠OBC=∠PAO =30°．28．（1）AE=BD ．证明：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形， ∴ BC=AC ，∠BCA=60︒，DC=CE ，∠DCE=60︒，∴ ∠BCA −∠DCA=∠DCE −∠DCA ，即 ∠BCD=∠ACE ， 在△BCD 和△ACE 中，BC AC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △BCD ≌△ACE ，∴ AE=BD ；（2）AE=BD 仍然成立．证明：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形， ∴CB=CA ，CD=CE ，∠BCA=∠DCE=60︒， ∴ ∠BCA+∠DCA=∠DCE+∠DCA ， ∴∠BCD=∠ACE ，∴△BCD ≌△ACE （SAS ），∴ AE=BD ；（3） AE+BE ′=AB ．证明：由（1）知：△BCD ≌△ACE ， 则 BD=AE ，在△BCE ′和△ACD 中，BC AC BCE ACD E C DC =⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩，∴△BCE ′≌△ACD （SAS ），则 BE ′=AD ，又∵BD=AE ，∴ AE+BE ′=BD+AD=AB ，即 AE+BE ′＝AB ．。
2020年秋人教版八年级数学上册第12章《全等三角形证明过程训练》(讲义及答案)
人教版八年级数学上册第12章全等三角形证明过程训练（讲义、随堂测试、习题）➢ 课前预习1. 判定三角形全等的方法有______，______，______，______．要证三角形全等需要找_____组条件，其中必须有_____．2. 在做几何题时，我们往往借助对图形的标注来梳理信息，进而把条件直观化，请学习下图中的标注．①如图1，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ．②如图2，在四边形ABCD 中，连接BD ，∠ABD =∠CDB ，∠ADB =∠CBD ，∠A =∠C ．③如图3，在四边形ABCD 中，连接AC ，BD 相交于点O ，AO =OC ，BO =DO ．D C BA ××AB CDOABCD图1图2图33. 数学推理中，有理有据地思考和表达是一项基本的数学素养，请走通思路后，完整书写过程．如图是一个易拉罐的纵截面示意图，易拉罐的上下底面互相平行（AB ∥CD ），用吸管吸饮料时，若∠1=110°，求∠2的度数．➢ 知识点睛1. 直角三角形全等的判定定理：_________________________．2. 已知：如图，在△ABC 与△A′B′C′中，∠C =∠C′=90°，AB =A′B′，AC =A′C′．321DC BA求证：△ABC ≌△A′B′C′．C'B'A'CB A证明：如图，在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中AB A'B'AC A'C'=⎧⎨=⎩（已知）（已知） ∴Rt △ABC ≌Rt △A′B′C′（HL ）➢ 精讲精练1. 如图，AC =AD ，∠C ，∠D 是直角，将上述条件标注在图中，则___________≌___________，从而BC ________BD ．D CBA 2. 如图，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，AE =AF ，则_____≌______，从而DE =______．ABCD EF3. 已知：如图，AB =CD ，AF =CE ，DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ．求证：△ABF ≌△CDE ．ABCDEF4.已知：如图，∠B=∠D=90°，如果要使△ABC≌△ADC，那么还需要一个条件，这个条件可以是_________________，理由是____________；这个条件也可以是_______________，理由是____________；这个条件也可以是_______________，理由是____________；这个条件还可以是_______________，理由是____________．ABC D ABCDE Fl第4题图第5题图5.如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则EF的长为_________．6.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E．求证：△ACD≌△AED．E DC7. 已知：如图，点B ，E ，C ，F 在同一直线上，AC ∥DF 且AC =DF ，BE =CF ．求证：△ABC ≌△DEF ．FE DC B A8. 如图，在正方形ABCD 中，∠A =∠ABC =90°，AB =BC ，E ，F 分别是AB ，AD 上的点，已知CE ⊥BF ，垂足为M ． 求证：BE =AF ．ABCDEFM9. 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，D 为AB 上一点，连接CD ，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ．求证：CF =AE ．10. 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C =60°，D ，E ，F 分别为边BC ，AB ，AC 上的点，且BE =CD ，∠EDF =60°．求证：ED =DF ．FED CBAAB DE F【参考答案】➢课前预习1.SAS，SSS，ASA，AAS3，边2.略3.解：如图∵AB∥CD∴∠1=∠3∵∠1=110°∴∠3=110°∵∠2+∠3=180°∴∠2=180°-∠3=180°-110°➢ 知识点睛 1. SAS ，SSS ，ASA ，AAS ，HL ➢精讲精练1. Rt △CAB ，Rt △DAB ，=2. Rt △AED ，Rt △AFD ，DF3. 证明：如图，∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ∴∠DEC =∠BFA =90° 在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，AB CD AF CE =⎧⎨=⎩（已知）（已知） ∴Rt △ABF ≌Rt △CDE （HL ） 4. AB =AD ，HLBC =DC ，HL ∠BAC =∠DAC ，AAS ∠BCA =∠DCA ，AAS 5. 36. 证明：如图，∵DE ⊥AB ∴∠DEA =90° ∵∠C =90° ∴∠C =∠DEA ∵AD 平分∠BAC ∴∠CAD =∠EAD 在△ACD 和△AED 中C DEA CAD AED AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（公共边） ∴△ACD ≌△AED （AAS ） 7. 证明：如图，21A BC DE F第8题图∵AC ∥DF∵BE =CF ∴BE +EC =CF +EC 即BC =EF在△ABC 和△DEF 中1 2 AC DF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已证） ∴△ABC ≌△DEF （SAS ） 8. 证明：如图，∵∠ABC =90° ∴∠ABF+∠MBC =90° ∵AE ⊥BF ∴∠CMB =90° ∴∠MBC +∠BCE =90° ∴∠ABF =∠BCE 在△ABF 和△BCE 中A EBC AB BC ABF BCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已知）（已知）（已证） ∴△ABF ≌△BCE （ASA ）∴AF =BE （全等三角形对应边相等） 9. 证明：如图，第9题图321A BDE F∵∠ACB =90° ∴∠1+∠2=90° ∵AE ⊥CD ，BF ⊥CD ∴∠F =∠AEC =90° ∴∠3+∠2=90° ∴∠1=∠3在△BCF 和△CAE 中1 3 F AEC BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（已知） ∴△BCF ≌△CAE （AAS ）∴CF =AE （全等三角形对应边相等） 10. 证明：如图，∵∠B =60° ∴∠1+∠2=120° ∵∠EDF =60° ∴∠2+∠3=120° ∴∠1=∠3在△BDE 和△CFD 中1 3 BE CD B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已证）（已知）（已知） ∴△BDE ≌△CFD （ASA ）∴ED =DF （全等三角形对应边相等）全等三角形证明过程训练（随堂测试）1. 已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，E 为AD 上一点，且BE =AC ，如果要使△BDE ≌△ADC ，那么还需要一个条件，这个条件可以是____________________，理由是_________；这个条件也可以是__________________，理由是_________； 这个条件也可以是__________________，理由是_________； 这个条件还可以是__________________，理由是_________．2. 已知：如图，在△ABC 中，D 为BC 边的中点，过点C 作 CF ⊥AD 于点F ，过点B 作BE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ． 求证：CF =BE ． 证明：如图，ED CB A 第10题图321A BCD E FF DCA【参考答案】1. DE =DC ，HLBD =AD ，HL ∠EBD =∠CAD ，AAS ∠BED =∠C ，AAS 2. 证明：如图，∵CF ⊥AD ，BE ⊥AD ∴∠CFD=∠BED =90° ∵D 为BC 边的中点 ∴CD =BD在△CFD 和△BED 中∴△CFD ≌△BED （AAS ）∴CF =BE （全等三角形对应边相等）全等三角形证明过程训练（习题）1 2 CFD BED CD BD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪=⎩（已证）∠∠（对顶角相等）（已证）第2题图➢ 例题示范例1：已知：如图，在正方形ABCD 中，AB =CB ，∠ABC =90°．E 为正方形内一点，BE ⊥BF ，BE =BF ，EF 交BC 于点G ． 求证：AE =CF ． 【思路分析】 ① 读题标注：② 梳理思路：要证AE =CF ，可以把它们放在两个三角形中证全等．观察发现，放在△ABE 和△CBF 中进行证明．要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等． 由已知得，AB =CB ；BE =BF ；根据条件∠ABC =90°，BE ⊥BF ，推理可得∠1=∠2． 因此由SAS 可证两三角形全等．【过程书写】（在演草部分先进行规划，然后书写过程） 证明：如图 ∵BE ⊥BF ∴∠EBF =90° ∴∠2+∠EBC =90° ∵∠ABC =90° ∴∠1+∠EBC =90° ∴∠1=∠2在△ABE 和△CBF 中12AB CB BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知）∴△ABE ≌△CBF （SAS ）∴AE =CF （全等三角形对应边相等）➢ 巩固练习11. 如图，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为点D ，E ，且PD =PE ，将上述条件标注在图中，易得___________≌___________，从而AD =__________．21G FE DCB A GABC DEF第1题图第2题图12. 已知：如图，AB ⊥BD 于点B ，CD ⊥BD 于点D ，如果要使△ABD ≌△CDB ，那么还需要添加一组条件，这个条件可以是_______________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件还可以是_____________，理由是_____________．13. 已知：如图，C 为BD 上一点，AC ⊥CE ，AC =CE ，∠ABC =∠CDE =90°．若AB =4，DE =2，则BD 的长为______．14. 已知：如图，点A ，E ，F ，B 在同一条直线上，CE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AB 于点F ，BC =AD ，AE =BF ． 求证：△CEB ≌△DFA ．15. 如图，点C ，F 在BE 上，∠1=∠2，BF =EC ，∠A =∠D ．求证：△ABC ≌△DEF ．PEDCBADC B A ED CBAF E DC BA16. 已知：如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，且AC =BD ，BE ∥CF 证：△ABE ≌△DCF ．17. 已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为点D ，E ，AD 与CE 相交于点H ，AE =CE ． 求证：AH =CB ．FDCBA HEA➢思考小结1.要证明边或者角相等，可以考虑边或者角所在的两个三角形_______；要证明三角形全等，需要准备_____组条件，其中有一组必须是_______相等．2.阅读材料我们是怎么做几何题的？例1：已知：如图，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：∠B=∠D．EBC A第一步：读题标注，把题目信息转移到图形上（请把条件标注在图上）第二步：分析特征走通思路①要求∠B=∠D，考虑放在两个三角形里面证全等，把∠B放在△ABC中，把∠D放在△ADE中，只需要证明这两个三角形全等即可．②要证明△ABC≌△ADE，需要找三组条件，由已知得AB=AD，AC=AE，还差一组条件，根据∠BAE=∠DAC，同时加上公共角∠CAE，可得∠BAC=∠DAE，利用SAS可得两个三角形全等．第三步：规划过程过程分成三块：①由∠BAE=∠DAC，可得∠BAC=∠DAE；②由SAS得△ABC≌△ADE；③由全等得∠B=∠D．第四步：过程书写【参考答案】➢巩固练习1.Rt△ADP，Rt△AEP，AE2.AD=CB，HLAB=CD，SAS∠A=∠C，AAS∠ADB=∠CBD，ASA3. 64.证明：如图，∵CE ⊥AB ，DF ⊥AB ∴∠CEB =∠DFA =90° ∵AE =BF ∴AE +EF =BF +EF 即AF =BE在Rt △CEB 和Rt △DFA 中BC AD BE AF =⎧⎨=⎩（已知）（已证） ∴Rt △CEB ≌Rt △DFA （HL ） 5. 证明：如图，∵BF =EC ∴BF +FC =EC+FC 即BC =EF在△ABC 和△DEF 中1 2 A D BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠（已知）∠∠（已知）（已证） ∴△ABC ≌△DEF （AAS ） 6. 证明：如图，∵AC =BD ∴AC -BC =BD -BC 即AB =DC ∵BE ∥CF ∴∠1=∠2 ∵∠1+∠3=180° ∠2+∠4=180° ∴∠3=∠4 ∵AE ∥DF ∴∠A =∠D在△ABE 和△DCF 中3 4 AB DC A D =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠（已证）（已证）∠∠（已证） ∴△ABE ≌△DCF （ASA ） 7. 证明：如图，第5题图4321A B CDF∵AD ⊥BC ∴∠ADC =90° ∴∠1+∠2=90° ∵CE ⊥AB∴∠AEH =∠CEB =90° ∴∠3+∠4=90° ∵∠2=∠4 ∴∠1=∠3在△AEH 和△CEB 中3 1 AEH CEB AE CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠（已证）（已知）∠∠（已证） ∴△AEH ≌△CEB （ASA ）∴AH =CB （全等三角形对应边相等）➢ 思考小结1. 全等；3，边第6题图3124AB DEH。
2020-2021学年北师大版八年级下册数学 第一章 三角形的证明 单元测试(含解析)
第一章三角形的证明单元测试一．选择题1．在等腰△ABC中，∠A＝70°，则∠C的度数不可能是（）A．40°B．55°C．65°D．70°2．如图，在等腰三角形△ABC中，AC＝BC，AC边上的垂直平分线分别交AC，BC于点D 和点E，若∠BAE＝45°，DE＝2，则AE的长度为（）A．2B．3C．3.5D．43．如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，DE⊥BC，CE＝3，则AB等于（）A．11B．12C．13D．144．如图，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则S△BDC 的最大值为（）A．40B．28C．20D．105．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（）A．6个B．5个C．4个D．3个6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AB等于（）A．2B．3C．4D．67．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B的大小是（）A．32°B．64°C．77°D．87°8．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝4cm，AB＝5cm，则△EBC的周长为（）A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm9．如图，在△ABC中，∠B＝15o，∠C＝30o，MN是AB的中垂线，PQ是AC的中垂线，已知BC的长为，则阴影部分的面积为（）A．B．C．3D．10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（）①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠F AG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．A．①②③④B．①②③C．②④D．①③二．填空题11．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，∠A＝50°，则∠DBC的度数是．12．等腰三角形ABC中，∠A＝4∠B．若∠A为底角，则∠C＝°．13．如图，在△ABC中，AB＝AC．AD是BC边上的中线，点E在边AB上，且BD＝BE．若∠BAC＝100°，则∠ADE的大小为度．14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，∠DCB＝30°，BD＝1，则AB的长为．15．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为．16．如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝5cm，BC＝6cm，则AC＝，DE＝．17．如图所示，在△ABC中，DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N，且DE和MN交于点F．（1）若∠B＝20°，则∠BAE＝；（2）若∠EAN＝40°，则∠F＝；（3）若AB＝8，AC＝9，设△AEN周长为m，则m的取值范围为．18．如图，在△ABC中AB的垂直平分线交AB于点D，交线段BC于点E．BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长是．19．如图，AD垂直平分BC于点D，EF垂直平分AB于点F，点E在AC上，BE+CE＝20cm，则AB＝．20．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F，P 为CE中点，连结PF，若CP＝2，S△BFP＝15，则AB的长度为．三．解答题21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝40°．求：（1）∠ADC的大小；（2）∠BAD的大小．22．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，BE，CD 交于点F．（1）求证：DC＝EB；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形．23．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC边上的垂直平分线DE交AB 于点D，交AC于E．求：（1）∠BCD的度数；（2）若DE＝3，求AB的长．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝2∠B，AD平分∠CAB．（1）求∠CAD的度数；（2）延长AC至E，使CE＝AC，求证：DB＝DE．25．如图，在△ABC中，∠ACB为直角，AB上的高CD及中线CE恰好把∠ACB三等分，若AC＝20，求△ABC的两锐角及AD、DE、EB各为多少？26．（1）如图1，求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，若∠BAC＝62°，则∠P AC是度．27．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC与∠BCD的平分线交于点O，作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F．求证：OE＝OF．28．如图（1）将三角板ABC与∠DAE摆放在一起，射线AE与AC重合，射线AD在三角形ABC外部，其中∠ACB＝30°，∠B＝60°，∠BAC＝90°，∠DAE＝45°．固定三角板ABC，将∠DAE绕点A按顺时针方向旋转，如图（2），记旋转角∠CAE＝α．（1）当α为60°时，在备用图（1）中画出图形，并判断AE与BC的位置关系，并说明理由；（2）在旋转过程中，当0°＜α＜180°，∠DAE的一边与BC平行时，求旋转角α的值；（3）在旋转过程中，当0°＜α≤90°时，探究∠CAD与∠BAE之间的关系．（温馨提示：对于任意△ABC，都有∠A+∠B+∠C＝180°）参考答案一．选择题1．解：当∠A＝∠C时，∠C＝70°；当∠A＝∠B＝70°时，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°；当∠B＝∠C时，∠C＝∠B＝（180°﹣∠A）＝55°；即∠C的度数可以是70°或40°或55°，故选：C．2．解：设∠C＝x．∵DE垂直平分线段AC，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C＝x，∴∠AEB＝∠EAC+∠C＝2x，∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB＝45°+x，在△ABE中，∵∠BAE+∠B+∠AEB＝180°，∴45°+45°+x+2x＝180°，∴x＝30°，∵∠EDC＝90°，DE＝2，∴AE＝EC＝2DE＝4，故选：D．3．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠C＝60°，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∴CD＝2CE＝6，∵点D是AC的中点，∴AC＝2CD＝12，∴AB＝AC＝12，故选：B．4．解：如图：延长AB，CD交于点E，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD，∵CD⊥AD，∴∠ADC＝∠ADE＝90°，在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（ASA），∴AC＝AE，DE＝CD；∵AC﹣AB＝4，∴AE﹣AB＝4，即BE＝4；∵DE＝DC，∴S△BDC＝S△BEC，∴当BE⊥BC时，S△BDC最大，即S△BDC最大＝××10×4＝10．故选：D．5．解：如图所示：以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3，边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置，因此出现等腰三角形的点P的位置有4个，故选：C．6．解：∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2CB＝4，故选：C．7．解：如图，取CF的中点T，连接DT，AT．∵∠BAC＝90°，FD⊥BC，∴∠CAF＝∠CDF＝90°，∴AT＝DT＝CF，∴TD＝TC＝TA，∴∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD，∵∠ADB＝45°，∴∠ADT+∠TDC＝135°，∴∠ATC＝360°﹣2×135°＝90°，∴AT⊥CF，∵CT＝TF，∴AC＝AF，∴∠AFC＝45°，∴∠BFD＝45°﹣32°＝13°，∵∠BDF＝90°，∴∠B＝90°﹣∠BFD＝77°，故选：C．8．解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，∴AE＝CE，∴AE+BE＝CE+BE＝AB＝5cm，∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝5+4＝9（cm）．故选：B．9．解：∵MN是AB的中垂线，PQ是AC的中垂线，AN＝BN，AQ＝CQ，∴∠BAN＝∠B＝15°，∠CAQ＝∠C＝30°，∴∠ANQ＝∠B+∠BAN＝30°，∠AQN＝∠C+∠CAQ＝60°，∴∠NAQ＝90°，∴BN＝AN＝NQ，AQ＝CQ＝NQ，∵BC＝，∴NQ+NQ+NQ＝3+，∴NQ＝2，∴AN＝，AQ＝1，∴阴影部分的面积＝AN•AQ＝＝，故选：B．10．解：∵BE是AC边的中线，∴AE＝CE，∵△ABE的面积＝，△BCE的面积＝AB，∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；∵AD是BC边上的高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠F AG+∠DAC＝90°，∴∠F AG＝∠ACB，∵CF是∠ACB的角平分线，∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，∴∠F AG＝2∠FCB，故②错误；∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，∴∠AFG＝∠AGF，∴AF＝AG，故③正确；根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；即正确的为①③，故选：D．二．填空题11．解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠A＝50°．∴∠C＝∠ABC＝＝＝65°，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴∠DBC＝90°﹣∠C＝90°﹣65°＝25°．故答案为：25°．12．解：设∠B＝x°，当∠A是底角时，∠A＝∠C＝4∠B＝4x°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴4x+x+4x＝180，解得x＝20，∴∠C＝80°故答案为：80．13．解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝40°，∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED＝（180°﹣∠B）＝70°，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝90°﹣70°＝20°，故答案为：20．14．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠DCB＝30°，∴2BD＝BC，∵CD⊥AB，∴∠A＝∠DCB＝30°，∴2BC＝AB，∴AB＝4BD，∵BD＝1，∴AB＝4．故答案为：4．15．解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，∴∠ACB＝60°，∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠B＝30°，∵∠A＝90°，AN＝1，∴MN＝2AN＝2，∵MN平分∠AMC，∠AMN＝30°，∴∠AMC＝∠NMC＝60°，∵CM平分∠ACB，∠ACB＝60°，∴∠ACM＝ACB＝30°，∴∠ACM＝∠NMC，∴MNCN＝2，∴AC＝AN+CN＝1+2＝3，∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，∴BC＝2AC＝2×3＝6，16．解：∵BC＝6cm，∴BD＝DC＝3（cm），∵AD⊥BC，BD＝DC，AB＝5cm，∴AC＝AB＝5（cm），∵点C在AE的垂直平分线上，∴EC＝AC＝5（cm），∴DE＝DC+EC＝8（cm），故答案为：5cm；8cm．17．解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠BAE＝∠B＝20°；（2））∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，∴AE＝BE，AN＝CN，∴∠BAE＝∠B，∠CAN＝∠C，∵∠EAN＝40°，∠B+∠BAE+∠EAN+∠CAN+∠C＝180°，∴∠BAE+∠CAN＝70°，∴∠BAC＝∠BAE+∠CAN+∠EAN＝110°，∵∠ADF＝∠AMF＝90°，∴∠F＝360°﹣∠ADF﹣∠AMF﹣∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°；（3）∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，∴AE＝BE，AN＝CN，∴△AEN的周长＝AE+EN+AN＝BE+EN+CN＝BC，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∴9﹣8＜BC＜9+8，∴1＜m＜17．故答案为：（1）20°；（2）70°；（3）1＜m＜17．18．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴△ACE的周长＝AC+CE+EA＝AC+CE+EB＝AC+CB＝11，19．解：∵EF垂直平分AB于点F，∴AE＝BE，∵BE+CE＝20cm，∴AE+CE＝20cm，即AC＝20cm，∵AD垂直平分BC于点D，∴AB＝AC＝20cm，故答案为：20cm．20．解：过E作EG⊥AB于G，连接CF，∵P为CE中点，∵S△EFP＝S△CFP，设S△EFP＝S△CFP＝y，∵BD是AC边上的中线，∴设S△CDF＝S△AFD＝z，∵S△BFP＝15，∴S△BCD＝15+y+z，∴S△ABC＝2S△BCD＝30+2y+2z，∵S△ACE＝S△ACF+S△CEF＝2y+2z，∴S△ABE＝S△ABC﹣S△ACE＝30+2y+2z﹣（2y+2z）＝30，∵AE是∠CAB的角平分线，∴EG＝CE＝2CP＝4，∴S△ABE＝AB•EG＝30，∴AB＝15，故答案为：15．三．解答题21．解：（1）∵AB＝AC，D是BC边上的中点，∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°；（2）∵∠B＝40°，∴∠BAD＝50°．22．（1）证明：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴AB＝AD＝AC＝AE，即BD＝CE，在△DBC和△ECB中，，∴△DBC≌△ECB（SAS），∴DC＝EB；（2）解：图中所有的等腰三角形为△ABC、△ADE、△DEF、△BCF，理由如下：由（1）得：AB＝AC，AD＝AE，△DBC≌△ECB，∴△ABC、△ADE是等腰三角形，∠BCD＝∠CBE，∴△BCF是等腰三角形，BF＝CF，∵DE∥BC，∴∠FDE＝∠BCD，∠FED＝∠CBE，∴∠FDE＝∠FED，∴△DEF是等腰三角形，FE＝FD．23．解：（1）∵AC边上的垂直平分线是DE，∴CD＝AD，DE⊥AC，∴∠A＝∠DCA＝30°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠DCA＝90°﹣30°＝60°，（2）∵∠B＝60°∴∠BCD＝∠B＝60°∴BD＝CD，∴BD＝CD＝AD＝AB，∵DE＝3，DE⊥AC，∠A＝30°，∴AD＝2DE＝6，∴AB＝2AD＝12．24．证明：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，又∵∠CAB＝2∠B，∴∠B＝30°，∠CAB＝60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAB＝30°；（2）∵∠DAB＝30°＝∠B，∴AD＝DB，∵AC＝EC，∠ACB＝90°，∴AD＝DE，∴DE＝DB．25．解：∵△ABC中，∠C为直角，AB上的高CD及中线CE恰好把∠ACB三等分，∴∠ACD＝∠DCE＝∠ECB＝30°，又∵CD⊥AB，AC＝20，∴∠A＝60°，AD＝10，∵∠ACB为直角，∴∠B＝30°∵AC＝20，∴AB＝40，∵CE是△ABC中线，∴AE＝BE＝20，∴DE＝10．26．解：（1）已知：△ABC．求证：∠ABC、∠BCA、∠ACB三个角的平分线相交于点F，且点F到三边的距离相等．证明：如图，作∠ABC的角平分线FB，作∠BCA的角平分线FC，两条线相交于点F，作FG⊥AB于点G，FD⊥BC边于点D，FE⊥AC于点E，∵点F是∠ABC平分线上的一点，∴FG＝FD，同理可得，FD＝FE，∴FG＝FD＝FE（等量代换），∴点F在∠BAC的平分线上，∴三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等；（2）解：延长BA，作PN⊥BD于N，PF⊥BA于F，PM⊥AC于M，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∴∠F AP＝∠P AC，∴∠F AC＝2∠P AC，∵∠F AC+∠BAC＝180°，∴2∠P AC+∠BAC＝180°，∴∠P AC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣62°）＝59°．故答案为：59．27．证明：作OG⊥BC，∵∠ABC的平分线，OE⊥AB，OG⊥BC，∴OE＝OG，∵∠BCD的平分线，OF⊥CD，OG⊥BC，∴OF＝OG，∴OE＝OF．28．解：（1）当α为60°时，AE⊥BC，如图（1），设AE与BC交于点F，∵∠CAE＝α＝60°，∠ACB＝30°，∴∠AFC＝90°，∴AE⊥BC；（2）当AD∥BC时，如图（2），∠DAC＝∠C＝30°，∵∠DAE＝45°，∴∠CAE＝α＝15°；当AE∥BC时，如图（3），∠B＝∠EAB＝60°，∴∠CAE＝α＝∠BAC+∠EAB＝150°，故旋转角α的值为15°或150°；（3）①如（2），当α≤45°时，α+∠BAE＝90°，α+∠CAD＝45°，∴∠BAE﹣∠CAD＝45°；②如图（1），当45°＜α＜90°时，∵∠DAE+∠CAD+∠BAE＝90°，∠DAE＝45°，∴∠CAD+∠BAE＝45°．。
2020年初中几何证明题库：菱形
作者：非成败作品编号：92032155GZ5702241547853215475102 时间：2020.12.138．如图，已知E 是菱形ABCD 的边BC 上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE 的度数为（ ）A ． 20°B ． 25°C ． 30°D ． 35°考点： 菱形的性质． 分析： 依题意得出AE=AB=AD ，∠ADE=50°，又因为∠B=80°故可推出∠ADC=80°，∠CDE=∠ADC ﹣∠ADE ，从而求解． 解答： 解：∵AD ∥BC ， ∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°， ∴AE=AB=AD ，在三角形AED 中，AE=AD ，∠DAE=80°， ∴∠ADE=50°， 又∵∠B=80°， ∴∠ADC=80°，∴∠CDE=∠ADC ﹣∠ADE=30°． 故选C ． 点评： 本题是简单的推理证明题，主要考查菱形的边的性质，同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质．已知菱形ABCD 的边长是8，点E 在直线AD 上，若DE ＝3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则MCAM的值是 . 图1MEDBC A图2MEDBCA6.如图，两条笔直的公路l 1、l 2相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂 A 、B 、D ，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C 到公路l 1的距离为4公里，则村庄C 到公路l 2的距离是【】A、3公里B、4公里C、5公里D、6公里7.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为▲ ．2.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为▲ ．例5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂直平分线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF。
2020秋八年级数学上册第13章三角形中的边角关系、命题与证明同步练习沪科版
2020秋⼋年级数学上册第13章三⾓形中的边⾓关系、命题与证明同步练习沪科版1.三⾓形中边的关系知识点：1、三⾓形：不在同⼀条直线上的线段⾸位顺次相接组成的封闭图形2、三⾓形分类3、三⾓形的三边关系：两边之和⼤于第三边，两边之差⼩于第三边测试题1.由______________的三条线段______相接所组成得图形叫做三⾓形。
2.如图，三⾓形的三边分别是________或______，三⾓形的内⾓分别是__________，三⾓形的顶点分别是_______ ，这个三⾓形记作______，读作____________.3.三⾓形按边的关系可分为和，⽽等腰三⾓形⼜分为和。
三⾓形按内⾓⼤⼩可分为、和。
4.三⾓形两边的和第三边，三⾓形两边的差第三边。
5.三⾓形的三边分别为2、x、5，则整数x = 。
6.等腰三⾓形的周长为16，其⼀边长为6，则另两边长为。
7.已知三⾓形的两边长是3cm和8cm ，则此三⾓形的第三边长可能是（）A.4 cmB.5 cmC.6 cmD.13cm8.⼀个三⾓形的三边长是 m 、3 、5，那么m的取值范围是（）A.3B.0C.2D.09.下列选项中，给出的三条线段不能组成三⾓形的是（）A.a+1,a+2,a+3B.三边之⽐为2:3:4C.30cm，8cm ，10cmD.3k ，4k ，5k10.下列说法中正确的是（）A.等腰三⾓形⼀腰的长⾄少要⼤于底边长的⼀半B.三⾓形按边的关系分为不等边三⾓形、等边三⾓形C.长度为5、6、10的三条线段不能组成三⾓形 D.等腰三⾓形的两边长是1和2，则其周长为4或511、现有两根⽊棒，它们的长分别为40cm和50cm，若要钉成⼀个三⾓形⽊架（?不计接头），则在下列四根⽊棒中应选取（）A．10cm长的⽊棒 B．40cm长的⽊棒 C．90cm长的⽊棒 D．100cm长的⽊棒拓展训练：1.已知⼀个三⾓形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长x的取值范围是．?若x是奇数，则x的值是______；则它的周长为______；?若x?是偶数，?则x?的值是______ 。
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初中几何三角形基础证明题（2020级）1.如图，AD ∥BC ，∠B=∠D ，求证：AB ∥CD 。
2.如图CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，∠1=∠2，求证：∠AGD=∠ACB 。
3. 已知∠1=∠2，∠1=∠3，求证：CD ∥OB 。
4. 如图，已知∠1=∠2，∠C=∠CDO ，求证：CD ∥OP 。
B D E/F CA 2G3BDCAB D/PC A O 23B D/P C O25. 已知∠1=∠2，∠2=∠3，求证：CD∥EB。
6. 如图∠1=∠2，求证：∠3=∠4。
7. 已知∠A=∠E，FG∥DE，求证：∠CFG=∠B。
8.已知，如图，∠1=∠2，∠2+∠3=1800，求证：a∥b，c∥d。
B DE/CO23BD /C A234BDE FCAG213a c db9.如图，AC ∥DE ，DC ∥EF ，CD 平分∠BCA ，求证：EF 平分∠BED 。
10、已知，如图，∠1=450，∠2=1450，∠3=450，∠4=1350，求证：l 1∥l 2，l 3∥l 5，l 2∥l 4。
11、如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠E=900，求证：AB ∥CD 。
12、如图，∠A=2∠B ，∠D=2∠C ，求证：AB ∥CD 。
A B C D F E 21l l l 3412345l 21A B C D 34EBC D OA13、如图，EF ∥GH ，AB 、AD 、CB 、CD 是∠EAC 、∠FAC 、∠GCA 、∠HCA 的平分线，求证：∠BAD=∠B=∠C=∠D 。
14、已知，如图，B 、E 、C 在同一直线上，∠A=∠DEC ，∠D=∠BEA ，∠A+∠D=900，求证：AE ⊥DE ，AB ∥CD 。
15、如图，已知，BE 平分∠ABC ，∠CBF=∠CFB=650，∠EDF=500，，求证：BC ∥AE 。
16、已知，∠D=900，∠1=∠2，EF ⊥CD ，求证：∠3=∠B 。
17、如图，AB ∥CD ，∠1=∠2，∠B=∠3，AC ∥DE ，求证：AD ∥BC 。
B CD F EA G HB C D E A B C DE A 21B CDF3E A 21D 3A17．如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ．（1）求证：MB =MD ，ME =MF （2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．18．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，（1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：OEDCBA19．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．F E DCB A20、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。
求证：△AED ≌△BFC 。
FEDCBA21、如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。
求证：AM 是△ABC 的中线。
MFECBA22、如图：在△ABC 中，BA=BC ，D 是AC 的中点。
求证：BD ⊥AC 。
DCBA常用几何证明的定理总结对顶角相等：几何语言：∵∠1、∠2是对顶角 ∴∠1＝∠2（对顶角相等） 垂线：几何语言：正用反用：∵∠AOB＝90°∵AB⊥CD∴AB⊥CD（垂直的定义）∴∠AOB＝90°（垂直的定义）证明线平行的方法：1、平行公理如果两条直线都与第三条直线平行，那么，这两条直线也平行。
简述为：平行于同一直线的两直线平行。
几何语言叙述：如图：∵AB∥EF，CD∥EF∴AB∥CD（平行于同一直线的两直线平行。
）2、同位角相等，两直线平行。
几何语言叙述：如图：∵直线AB、CD被直线EF所截∠1＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行。
）3、内错角相等，两直线平行。
几何语言叙述：如图：∵直线AB、CD被直线EF所截，∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行。
）4、同旁内角互补，两直线平行。
几何语言叙述：如图：∵直线AB、CD被直线EF所截，∠1+∠2＝180O ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行。
）5、垂直于同一直线的两直线平行。
几何语言叙述：如图：∵直线a⊥c，b⊥c∴a∥b（垂直于同一直线的两直线平行。
）平行线的性质：1、两直线平行，同位角相等。
几何语言叙述：∵AB∥CD∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等。
）2、两直线平行，内错角相等。
几何语言叙述：如图：∵AB∥CD∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等。
）3、两直线平行，同旁内角互补。
几何语言叙述：如图：∵AB∥CD∴∠1+∠2＝180O（两直线平行，同旁内角互补。
）证明角相等的其余常用方法：1、余角的性质：同角或等角的余角相等。
例：∵如图∠AOB＋∠BOC＝90°∠BOC＋∠COD＝90°∴∠AOB＝∠COD（同角的余角相等）2、补角的性质：同角或等角的补角相等。
例：∵如图∠AOB＋∠BOD＝180°，∠AOC＋∠COD＝180°且∠BOD＝∠AOC∴∠AOB＝∠COD（同角的补角相等）三角形中三种重要线段：1、三角形的角平分线：几何语言叙述：∵如图BD是△ABC的角平分线∴∠ABD＝∠CBD=12∠ABC2、三角形的中线：几何语言叙述：∵如图BD 是△ABC 的中线 ∴AD ＝BD ＝12AB3、三角形的高线：几何语言叙述：∵如图AD 是△ABC 的高 ∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°三角形的分类： ⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形（按边分）底和腰不等的等腰三角形等腰三角形等边三角形⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形（按角分）锐角三角形斜三角形钝角三角形三角形三边的关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
如图：|AB －AC|<BC<AB ＋AC三角形内角和定理及推论三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° 几何语言叙述：如图：∠A ＋∠B ＋∠C ＝108°（三角形三个内角的和等于180°）三角形内角和定理推论1： 直角三角形的两锐角互余。
几何语言叙述：如图：∵△ABC 中，∠C ＝90°∴∠A ＋∠B ＝90°（直角三角形的两锐角互余）三角形内角和定理推论2：三角形的一个外交等于和它不相邻的两内角之和。
几何语言叙述：如图：∵∠ACD 是△ABC 的外角∴∠ACD ＝∠A ＋∠B （三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和）三角形内角和定理推论3：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
几何语言叙述：如图：∵∠ACD 是△ABC 的外角∴∠ACD>∠B （三角形的一个外角大于任平面直角坐标系各个象限内和坐标轴的点的坐标的符号规律：（1）x 轴将坐标平面分为两部分，x 轴上方的纵坐标为正数；x 轴下方的点纵坐标为负数。
即第一、二象限及y 轴正方向（也称y 轴正半轴）上的点的纵坐标为正数；第三、四象限及y 轴负方向（也称y 轴负半轴）上的点的纵坐标为负数。
反之，如果点P （a ，b ）在x 轴上方，则b>0；如果P （a ，b ）在x 轴下方，则b<0。
(2)y 轴将坐标平面分成两部分，y 轴左侧的点的横坐标为负数；y 轴右侧的点的横坐标为正数。
即第二、三象限和x 轴的负半轴上的点的横坐标为负数；第一、四象限和x 轴正半轴上的点的横坐标为正数。
（3）规定坐标原点的坐标为（0 ，0） （4上表反推也成立。
如：若点P （a ，b ）在第四象限，则a>0，b<0 (5)对称点的坐标特征：（1）关于x 轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标互为相反数。
如点P （x 1 ，y 1）与Q （x2 ，y 2）关于x 轴对称，则1212x x y 0y ⎧⎨+=⎩＝反之也成立。
如P （2 ，－3）与Q （2 ，3）关于x 轴对称。
（2）关于y 轴对称的两点：纵坐标相同，横坐标互为相反数。
如点P （x 1 ，y 1）与Q （x11 2 ，y 2）关于y 轴对称，则12120y x x ⎧⎨+=⎩＝y 反之也成立。
如P （2 ，－3）与Q （－2 ，－3）关于y 轴对称。
（3）关于原点对称的两点：纵坐标、横坐标都互为相反数。
如点P （x 1 ，y 1）与Q （x 2 ，y 2）关于原点对称，则1212x + x 0y 0y =⎧⎨+=⎩反之也成立。
如P （2 ，－3）与Q （－2 ，3）关于原点对称。