三角形培优训练100题集锦(1)

D

C 三角形培优训练专题

【三角形辅助线做法】

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。

【常见辅助线的作法有以下几种】

EF 的位置关系及数量关系．

（1）如图①当ABC ∆为直角三角形时，探究：AM 与DE 的位置关系和数量关系；

（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒

θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

A 5、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC.

6、如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC 。

7、如图，已知在△ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且相交于点F 。请你判断并写出FE 与FD 之间的数量

关系；

（2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请

问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说

明理由。

M

B

16、正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.

17、D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点，DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F 。

ABC 外一点，、AC 上移动时，的周长L 的关系．22、如图2-7-1，△ABC 和△DCE 均是等边三角形，B 、C 、E 三点共线，AE 交CD 于G ，BD 交AC 于F 。求证：①AE=BD;②CF=CG.

23、如图2-7-2，在正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，MN⊥MD，BN 平分∠CBE。求证：MD=MN 。

24、如图2-7-3，△ABC 中，∠ABC=2∠C，∠BAC 的平分线交BC 于D 。求证：AB+BD=AC

25、如图2-7-4，△ABC 中，AC>AB ，AD 平分∠BAC，P 为AD 上任一

点，连结PB 、PC 。求证：PC-PB ＜AC-AB 。

26、如图2-7-5，从等腰Rt△ABC 的直角顶点C 向中

线BD 作垂线，交BD 于F ，交AB 于E ，连结DE 。 求

_ A

证：∠CDF=∠ADE。

27、在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E.

（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE ＝AD ＋BE ；

（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE ＝AD －BE ；

（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。

28、已知：△ABC 为等边三角形，M 是BC 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A ，且60o 角的顶点E 在BC 上滑动，（点E 不与B 、C 重合），斜边和∠ACM 的平分线CF 交于点F

（1）如图（1）当点E 在BC 边中点位置时

； .

、如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接AE ，．

）试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论.

）将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使点E 落在BC 边上，如图2AE

GC ．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理32、已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC 的距离分别为h 1、h 2、

h 3，△ABC 的高为h 。“若点P 在一边BC 上（如图1），此时h 3=0,可得结论h 1+h 2+h 3＝h ”

请直接应用上述信息解决下列问题：当点P 在△ABC 内（如图2）、点P 在△ABC 外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h 1、h 2、h 3与h 之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证 33＝AE 题图1 题图2 题图3

F H G

E D

C

B A B A O D

C

E 34、如图，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边

三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．

（1）求∠AEB 的大小；

（2）若ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.

35、如图，图1等腰ABC ∆与等腰DEC ∆共点于C ，且ECD BCA ∠=∠，连结BE 、AD ，若AC BC =、DC EC =． ⑴求证：AD BE =； ⑵若将等腰DEC ∆绕点C 旋转至图2、3、4情况时，其余条件不变，BE 与AD 还相等吗？为什么?（请你用图2加以证明）

D ，B

E 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点

F H ，是BC 边的中点，

连结DH 与BE 相交于点G ．

（1）求证：BF AC =； （2）求证：12CE BF =； （3）CE 与BG 的大小关系如何？试证明你的结论．

C B

D A E