向量的加法(省优质课课件)
合集下载
向量加法精选教学PPT课件
即：a b = a + (b) 求两个向量差的运算叫
做向量的减法。
2．用加法的逆运算定义向量的减法： 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b
3．求作差向量：
已知向量a、b，求作向量a-b ∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a
减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，
向量的减法
1“相反向量”的定义：
与a长度相同、方向相反的向量。记作 a
2规定：零向量的相反向量仍是零向量。
(a) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向
量。a + (a) = 0 如果a、b互为相反向量， 则a = b, b = a, a + b = 0
3向量减法的定义：向量a加上b的相反向量， 叫做a与b的差。
这个男孩不假思索地回答道：“我竭尽全力。” 16年后，这个男孩成了世界著名软件公司的老板。他就是比尔·盖茨。 泰勒牧师讲的故事和比尔·盖茨的成功背诵对人很有启示：每个人都有极大的潜能。正如心理学家所指出的，一般人的潜能只开发了2－8左右，像爱因斯坦那样伟大的大科学家，也只开发了12左右。一个人如果开发了50的潜能，就可以背诵400本教科书，可以学完十几所大 学的课程，还可以掌握二十来种不同国家的语言。这就是说，我们还有90的潜能还处于沉睡状态。谁要想出类拔萃、创造奇迹，仅仅做到尽力而为还远远不够，必须竭尽全力才行。
b
a
b
a
三角 边形法则 A
特殊情况
a
a
b
b
a b
A
B
C
(2)
a b
CA
B
(3)
对于零向量与任一向量a，有 a+0=0+a=a
做向量的减法。
2．用加法的逆运算定义向量的减法： 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b
3．求作差向量：
已知向量a、b，求作向量a-b ∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a
减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，
向量的减法
1“相反向量”的定义：
与a长度相同、方向相反的向量。记作 a
2规定：零向量的相反向量仍是零向量。
(a) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向
量。a + (a) = 0 如果a、b互为相反向量， 则a = b, b = a, a + b = 0
3向量减法的定义：向量a加上b的相反向量， 叫做a与b的差。
这个男孩不假思索地回答道：“我竭尽全力。” 16年后，这个男孩成了世界著名软件公司的老板。他就是比尔·盖茨。 泰勒牧师讲的故事和比尔·盖茨的成功背诵对人很有启示：每个人都有极大的潜能。正如心理学家所指出的，一般人的潜能只开发了2－8左右，像爱因斯坦那样伟大的大科学家，也只开发了12左右。一个人如果开发了50的潜能，就可以背诵400本教科书，可以学完十几所大 学的课程，还可以掌握二十来种不同国家的语言。这就是说，我们还有90的潜能还处于沉睡状态。谁要想出类拔萃、创造奇迹，仅仅做到尽力而为还远远不够，必须竭尽全力才行。
b
a
b
a
三角 边形法则 A
特殊情况
a
a
b
b
a b
A
B
C
(2)
a b
CA
B
(3)
对于零向量与任一向量a，有 a+0=0+a=a
向量的加法课件(公开课获奖课件)
要点二
性质
数乘满足交换律和结合律，即k*(a+b)=k*a+k*b， (k+l)*a=k*a+l*a。
数乘的几何意义
表示伸缩
数乘可以表示向量在坐标轴上的伸缩，当k>0时，表示 向量在原方向上放大；当k<0时，表示向量在原方向上 缩小。
表示旋转
通过数乘可以将向量绕原点旋转一定的角度，旋转角度 与k的绝对值成正比。
力的分解
一个力可以分解为两个或多个分 力，分力的方向和大小同样可以 通过向量加法得到。
速度与加速度的研究
速度的合成
当物体在多个方向上运动时，其速度可以看 作是各个方向上速度的向量和，即速度的合 成。
加速度的研究
加速度的大小表示速度变化的快慢，方向表 示速度变化的方向，可以通过向量加法来研 究加速度的方向和大小。
交换律是指向量加法的结果不依赖于向量的顺序，即向量加法满足可交换性。
详细描述
交换律是向量加法的基本性质之一，它表明向量加法不具有方向性。无论向量是按什么顺序相加，其 结果都是相同的。例如，向量$vec{A} + vec{B}$和向量$vec{B} + vec{A}$是相等的。
结合律
总结词
结合律是指向量加法的结果不依赖于括 号的位置，即向量加法满足可结合性。
题目2
已知点$O(0,0)$，点$A(3,5)$，点$B( - 2, - 1)$，求 $overset{longrightarrow}{OA} + overset{longrightarrow}{OB}$。
综合练习题
• 总结词：综合运用向量加法的知识解决复杂问题
• 题目1：已知点$A(1,2)$，点$B(3,4)$，点$C(5,6)$，点$D(7,8)$，求证：四边形ABCD是平行四边形。 • 题目2：已知$\overset{\longrightarrow}{a} = (1,2)$，$\overset{\longrightarrow}{b} = (3, - 1)$，
《向量的加法》ppt课件
因为
uuur uuur | AC | 2 | AD |,
北 C
所以CAD 60.
B
答: 轮船此时位于A港东偏北
30
60°，且距A港40 3n mile 的 A
D
东
C处.
探究点3 向量加法的运算律
数的加法满足交换律与结合律 ，即对任意a，b∈R，有
a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c）.任意向量ar ,
uuur uuur 解：如图，设AB,BC分别 表示轮船的两次位移,
uuur 则AC表示轮船的合位移, uuur uuur uuur AC AB BC.
北C
B
30
A
D东
uuur 在Rt△ADB中,ADB 90,DAB 30,| AB | 40 n mile，
uuur
uuur
所以| DB | 20 n mile,| AD |u2uu0r 3 n mile
在Rt△ADC中, ADC 90,| DC | 60 n mile，
uuur uuur uuur 所以| AC | | AD |2 | DC |2
(20 3)2 602 40 3 (n mile).
2.1 向量的加法
陆川县实验中学 张艺耀
1.飞机从广州飞往上海,再从上海 北京 飞往北京,这两次位移的结果与飞
机从广州直接飞往北京的位移相同
吗？
上海
相同
我们把后面这样一次位移叫作前
广州
面两次位移的合位移.
2.在大型生产车间里,一重物被天车从A处搬运到B处.
它的实际位移AB，可以看作
水平运动的分位移AC
D
uuur uuur | AC | 2 | AD |,
北 C
所以CAD 60.
B
答: 轮船此时位于A港东偏北
30
60°，且距A港40 3n mile 的 A
D
东
C处.
探究点3 向量加法的运算律
数的加法满足交换律与结合律 ，即对任意a，b∈R，有
a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c）.任意向量ar ,
uuur uuur 解：如图，设AB,BC分别 表示轮船的两次位移,
uuur 则AC表示轮船的合位移, uuur uuur uuur AC AB BC.
北C
B
30
A
D东
uuur 在Rt△ADB中,ADB 90,DAB 30,| AB | 40 n mile，
uuur
uuur
所以| DB | 20 n mile,| AD |u2uu0r 3 n mile
在Rt△ADC中, ADC 90,| DC | 60 n mile，
uuur uuur uuur 所以| AC | | AD |2 | DC |2
(20 3)2 602 40 3 (n mile).
2.1 向量的加法
陆川县实验中学 张艺耀
1.飞机从广州飞往上海,再从上海 北京 飞往北京,这两次位移的结果与飞
机从广州直接飞往北京的位移相同
吗？
上海
相同
我们把后面这样一次位移叫作前
广州
面两次位移的合位移.
2.在大型生产车间里,一重物被天车从A处搬运到B处.
它的实际位移AB，可以看作
水平运动的分位移AC
D
向量的加法(省优质课课件)
E
O
E
O
F
思考5: 例如:橡皮条在力F 与F 的作用下,从E点伸长到了O点.
1 2
同时橡皮条在力F的作用下也是从E点伸长到了O点.
分析:由物理知识知,F为F1与F2的合力
E
O
F1+F2=F.
F以为F1与F2为邻边所形成平行四边形 的对角 线
E
O
F
这也是向量的加法吗？
任意给出两个向量 a与b , 如何求 a b.
b
a b
C
O
a
b
A
所以, a b b a （交换律） .
a b OA AC OC . b a OB BC OC .
思考6：实数的加法运算满足结合律，即对
任意a，b，c∈R，都有（a＋b）＋c=a＋（b ＋c）.那么向量的加法也满足结合律吗？根 C 据图形验证 a b c a b c .
AB BC AC
C
A B
思考3：
如图，运送淡水的船只，先从A岛到B岛，再从B岛到 C岛，这两次的位移之和可以用哪一个向量表示？由 此可得什么结论？
A
C
AB BC AC
B
思考4：
上述分析表明，两个向量可以相加，并且两个向量的 和还是一个向量.
一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的 加法.上述求两个向量和的方法，称为向量加 法的三角形法则.
a b 思考3：若向量 a与 b 同向，则向量 的方向如何？若向量 与 反向，则向 a b 量 a b 的方向如何？
a b a
b
B A a b AB BC AC
向量的加法PPT
$。
02
向量加法的运算规则
三角形法则
总结词
三角形法则是指通过连接两个向量的起点和终点，形成一个向量三角形，然后根据三角形边长的关系计算向量和 的方法。
详细描述
三角形法则是向量加法的基本运算规则之一。通过连接两个向量的起点和终点，形成一个向量三角形，根据三角 形边长的关系，可以计算出两个向量的和。具体来说，如果向量A的起点是M，终点是N，向量B的起点是N，终 点是P，那么向量A和向量B的和向量就是从M到P的向量。
向量的加法
目录
• 向量加法的定义 • 向量加法的运算规则 • 向量加法的应用 • 向量加法的注意事项
01
向量加法的定义
定义
两个向量$vec{A}$和$vec{B}$的加法 定义为$vec{A}+vec{B}$，其结果是 一个向量$vec{C}$，记作 $vec{C}=vec{A}+vec{B}$。
VS
向量加法的结果向量$vec{C}$的长度 和方向由$vec{A}$和$vec{B}$决定， 具体地， $|vec{C}|=sqrt{|vec{A}|^2+|vec{B}| ^2+2vec{A}cdotvec{B}}$，方向与 $vec{A}$和$vec{B}$的夹角不超过 $180^circ$。
03
向量加法的应用
物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，向量加法常用于表示力的合成与分解。例如，一个物体受到多个力 的作用，可以通过向量加法将它们合成一个总力，或者将一个力分解为多个分 力。
速度和加速度的叠加
在运动学中，向量的加法可以用于表示速度和加速度的叠加。例如，一个物体 在多个方向上的运动，可以通过向量加法得到其合速度和合加速度。
02
向量加法的运算规则
三角形法则
总结词
三角形法则是指通过连接两个向量的起点和终点，形成一个向量三角形，然后根据三角形边长的关系计算向量和 的方法。
详细描述
三角形法则是向量加法的基本运算规则之一。通过连接两个向量的起点和终点，形成一个向量三角形，根据三角 形边长的关系，可以计算出两个向量的和。具体来说，如果向量A的起点是M，终点是N，向量B的起点是N，终 点是P，那么向量A和向量B的和向量就是从M到P的向量。
向量的加法
目录
• 向量加法的定义 • 向量加法的运算规则 • 向量加法的应用 • 向量加法的注意事项
01
向量加法的定义
定义
两个向量$vec{A}$和$vec{B}$的加法 定义为$vec{A}+vec{B}$，其结果是 一个向量$vec{C}$，记作 $vec{C}=vec{A}+vec{B}$。
VS
向量加法的结果向量$vec{C}$的长度 和方向由$vec{A}$和$vec{B}$决定， 具体地， $|vec{C}|=sqrt{|vec{A}|^2+|vec{B}| ^2+2vec{A}cdotvec{B}}$，方向与 $vec{A}$和$vec{B}$的夹角不超过 $180^circ$。
03
向量加法的应用
物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，向量加法常用于表示力的合成与分解。例如，一个物体受到多个力 的作用，可以通过向量加法将它们合成一个总力，或者将一个力分解为多个分 力。
速度和加速度的叠加
在运动学中，向量的加法可以用于表示速度和加速度的叠加。例如，一个物体 在多个方向上的运动，可以通过向量加法得到其合速度和合加速度。
向量加法的定义及运算法则优质课PPT课件
AC=a+b
2.零向量和任一向量 a 的和是什么?
0 a a -
18
不共线
b
a
ur
o· a
rr
a+ b
rr r r abab
rr r r abab
-
Ar b
B
19
思考：实数的加法满足交换律和结合律，向量的加法是 否也满足类似的性质？类比猜想其具体形式是什么？
实数的加法 向量的加法
探
究ห้องสมุดไป่ตู้
rr rr
b
a
b
rr ab
O●
a
(2)
b
a
a
b
r O ● r ab
-
10
1.向量加法的平行四边形法则
r a
r b
作法： (1)在平面内任取一点 O
r
(2)作OAa
oa
A
OB b
r b
ab
(3)作OCab
B
C
OAOBOC
特点：共起点，连对角
-
11
r
oa
Ar
r b
ab b
B
C
-
12
2.向量加法的三角形法则
共线 (1)同向
(2)反向
a
b
A
B
C
rr r r |a+b|=|a|+|b|
-
a
b
B
CA
rr r r |a+b|=|b|-|a|
17
当 向 量 a r,b r是 共 线 向 量 时 ,a r+b r又 如 何
作 出 来 ?
(1)同向
a
《向量的加减法》课件
03 向量的数乘
数乘的定义
定义
对于向量$overset{longrightarrow}{a}$ 和实数$k$，数乘 $koverset{longrightarrow}{a}$是一个 向量，其长度为 $|k||overset{longrightarrow}{a}|$，方 向与$overset{longrightarrow}{a}$相同 或相反，取决于$k$的正负。
向量加法的性质
向量加法满足结合律
即$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} + (overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c})$。
谢谢聆听
02
当$k < 0$时，$koverset{longrightarrow}{a}$表示向 量$overset{longrightarrow}{a}$按比例缩小$-k$倍。
03
当$k = 0$时，$0overset{longrightarrow}{a} = mathbf{0}$，即零向量。
数乘的性质
箭头表示法
详细描述
向量通常用带箭头的线段表示，箭头指向代表方向，长度代表大小。
向量的模
总结词
向量的长度
详细描述
向量的模表示向量的长度，记作$|overrightarrow{AB}|$，计算公式为$sqrt{x^2+y^2}$。
02 向量的加法
向量加法的定义
定义
向量加法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点为 共同起点，以第二个向量的终点为共同终点，连接第一个向 量的终点与第二个向量的起点的向量。
必修4课件2.2.1向量的加法
b
O
C
以OA,OB为邻边作 A 平行四边形OACB, 则以O为起点,C为终点的向量OC就是a和b 的和. 这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四 边形法则. 平行四边形法则：起点相同连对角. ③规定: a + 0 = 0 + a = a.
a
作OA=a
, OB=b ,
向量的加法：
1.求两个向量和的运算叫做向量的加法.
A
a
b a b
B
a+b
O
首 尾 顺 次 相 连
根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为
向量加法的三角形法则。
①向量加法的三角形法则: “首尾相接，首尾连”
AB + BC = AC .
②向量加法的平行四边形法则: B 已知非零向量a ,b, a 在平面上任取一点O, b
课后思考
如图，一艘船从 A点出发能以2 3km/h的速度垂直 向对岸的方向行驶，同时河水以２km/h的速度 向东流,求船的航向及速度大小。
C
A
B
课堂小结：
向量加法的定义
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法的运算
a b b a; (a b) c a (b c )
数学应用
例2 如图，一艘船从 A点出发以 2 3km/h的速度向垂直于 对岸的方向行驶，同时河水以２km/h的速度向东流, 求船实际行驶速度 的大小与方向.
解:如图,设用向量 AC表示船向垂直于对岸
的速度,用向量AB 表示水流的速度
C
D
以AC,AB为邻边作平行四边形,则 AD
课件2：6.1.2 向量的加法
这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的___平__行__四__边__形__法__则_____． 由向量加法的平行四边形法则不难看出，向量的加法运算满足交换律，即 对于任意的向量 a，b，都有___a_＋__b_＝__b_＋__a____．
3．多个向量相加 结合律：(a＋b)＋c＝__a_＋__(_b_＋__c_) __． 因为向量的加法满足交换律和结合律，所以有限个向量相加的结果 是唯一的，我们可以任意调换其中向量的位置，也可以任意决定相 加的顺序．例如 (a＋b)＋(c＋d)＝a＋[(b＋c)＋d]＝[(d＋c)＋a]＋b.
【新知初探】
1．向量加法的三角形法则 一般地，平面上任意给定两个向量 a，b，在该平面内任取一点 A，作
A→B＝a，B→C＝b，作出向量A→C，则向量A→C称为向量 a 与 b 的_和___ (也
称A→C为向量 a 与 b 的和向量)，向量 a 与 b 的和向量记作__a_＋___b__， 因此A→B＋B→C＝_A→_C__．
又 α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°， 所以|A→C|＝ |A→B|2＋|B→C|2＝ 8002＋8002＝800 2(km)． 其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东 35°＋45°＝80°. 所以飞机飞行的路程是 1 600 km，两次飞行的位移和的大小为 800 2 km，方向为北偏东 80°.
→→→ 所以CB＋CF＝CD.
→→→ 2．[变问法]在例 1(1)图形中求作向量DA＋DF＋CF.
解：过 A 作 AG∥DF，且 AG＝DF 交 CF 的延长线于点 G，
→→→ →→
→
则DA＋DF＝DG.作GH＝CF，连接DH，
则D→H＝D→A＋D→F＋C→F，如图所示．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
b
向 量 加 法 的 法 则
a
三角形法则: B
b
平行四边形法则: C B
C
O
a
A
O
作法：在平面内任取一点O, 作OC a , CB b .则OB a b . 作法：在平面内任取一点O, 作OA a , OB b .以OA 、 OB为
b
b
a
C D
a
b A
a
ab
B
B
b
A ab
a
C
D
探究二：向量加法的代数运算性质
思考1：零向量与任一向量 a 可以相加吗？
思考2：若向量 a 与 b 为相反向量，a b
规定：a 0 0 a a.
等于什么？反之成立吗？ a 与 b 为相反向量 a b 0.
位移的合成可以看作向量加法三角 形法则的物理模型 三角形法则 力的合成可以看作向量加法平行四边 形法则的物理模型.
向量的加法运算
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法实际应用
作业
课本P91
A组 3, 4(1)(2)(3)
向量加 法
课后探究
若水流速度和船速的大小保持不变, 最后要能使渡船垂直过江,则船的航 向应该如何?请作图探究.
There is no elevator to success ——only stairs. 成功没有电梯， 只有一步一个脚印的楼梯.
引例
• 1+1在什么情况下不等于2？ • 例如右图，两个小孩分别用1牛 顿的力提起水桶，则水桶的重 力是2牛顿吗？
问题提出
1.向量、平行向量、相等向量的含 义分别是什么？ 2.用有向线段表示向量，向量的大 小和方向是如何反映的？什么叫零 向量和单位向量？
D
D
CHale Waihona Puke ABAB
2
在RtABC中， AB 2, BC 5,
AB BC
2 2
所以, AC
2 2 52
29 5.4,
5 因为t anCAB 2.5, AB 2
由计算器得∠ＣＡＢ＝68°. A
BC
D
C
B
答：船实际航行速度的大小约为５.4 km/h, 航行方向与水 的流速间的夹角为68 °.
关系如何？
b a
a+ b
a b
b
a
b
a
ab ab
≤ ≥
ab
ab
a b
a b
(当且仅当 a 与 b 同向时取等号) (当且仅当 a 与 b 反向时取等号)
思考5：实数的加法运算满足交换律，即 对任意a，b∈R，都有a＋b=b＋a.那么 向量的加法也满足交换律吗？如何检验？ a B
a b 思考3：若向量 a与 b 同向，则向量 的方向如何？若向量 与 反向，则向 a b 量 a b 的方向如何？
a b a
b
B A a b AB BC AC
C
C A B a b AB BC AC
b
a b
C
O
a
b
A
所以, a b b a （交换律） .
a b OA AC OC . b a OB BC OC .
思考6：实数的加法运算满足结合律，即对
任意a，b，c∈R，都有（a＋b）＋c=a＋（b ＋c）.那么向量的加法也满足结合律吗？根 C 据图形验证 a b c a b c .
当向量a , b同向时，a b的方向与a , b同向.
当a , b反向时，a b的方向与a、b中模大的向量同向.
a b 思考4：观察下列各图， 与 a b 的大小关系如何？ a b与 a b 的大小
如图，对于下列两个向量，如何用三角形法则求其 和向量？
b
a
任意给出两个向量 a与b , 如何求 a b.
向 量 加 法 的 法 则
O
a
b
三 角 形 法 则: B
C
作法：在平面内任取一 点O , 作OC a , CB b .则OB a b .
三角形法则
观察向量 a 、、 b a b 的连接方式，你能总结三 角形法则的作图特点吗？
起点、终点顺次相连
起→终
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.
思考5：
例如:橡皮条在两个力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也是从E点伸长到了O点.
分析:由物理知识知F为F1与F2的合力 F1+F2=F.
a
B
b
巩固练习
１.化简
AD . (1) AB CD BC ________ MN . (2) MA BN AC CB ________ (3) AB BD CA DC ________ 0 .
２.根据图示填空
向量的加法运算及其几何意义
探究一：向量加法的几何运算法则
思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按 原方向到点C，则两次位移的和可用哪个向 量表示？由此可得什么结论？
AB BC AC
A
B
C
思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按 反方向到点C，则两次位移的和可用哪个向 量表示？由此可得什么结论？
解：（ 1 ） OA OC OB;
E
D
（2） BC FE AD;
（ 3 ） OA FE 0.
F A
O
B
C
例2 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输,
如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5 km/h的速度向垂 直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东２km/h． （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度 （保留两个有效数字）； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度间 的夹角表示，精确到度）. 解： (1)如图所示， AD表示船速， AB表示水速，以 AD、AB为 邻边作 ABCD，则AC表示船实际航行的速度.
O
a b c
a b
b c
c
所以, ( a b ) c a (b c（结合律） ) .
A a b c OA AB BC OB BC OC , a b c OA AB BC OA AC OC ,
E
g
e
f
a
D d
(1)a b (2)c d (3)a b d (4)c d e
c f
. .
A
c
B
b
C
f g
. .
应用举例
例1 已知O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量 （） 1 OA OC；（2） BC FE ； (3) OA FE.
E
O
E
O
F
思考5: 例如:橡皮条在力F 与F 的作用下,从E点伸长到了O点.
1 2
同时橡皮条在力F的作用下也是从E点伸长到了O点.
分析:由物理知识知,F为F1与F2的合力
E
O
F1+F2=F.
F以为F1与F2为邻边所形成平行四边形 的对角 线
E
O
F
这也是向量的加法吗？
任意给出两个向量 a与b , 如何求 a b.
D C
5
A
2
B
向量加 法
通过利用平行四边形法则作向量的和，你能总 结出作图的特点吗？
同起点的对角线.
力的合成可以看作向量加法平行四边形法 则的物理模型.
归纳小结
加法
连接
指向
三角形法则 起终相连
平行四边形法则
起→终
同起点的 对角线
起点重合
巩固练习
教材P84练习
1.如图，已知a、b ，用向量加法的三角形法则 作出a b .
邻边做
OACB,连接OC, 则OC OA OB a b .
任意给出两个向量 a与b , 如何求 a b.
a b
向 量 加 法 的 法 则
三 角 形 法 则: B
b
平行四边形法则: C B
b b
C
O
a
A
O
a
1.两种方法做出的结果一样吗?
2.它们之们有联系吗?
平行四边形法则
巩固练习
1.若a表示“向南走10km”, b表示“向西走10 3km”, 则a b表示 .
2.若a， b满足 a 3， b 5，求 a b 的 最大值，并指出a， b满足什么条件时? a b 取到最大值.
课堂小结
向量加法的物理背景
(1) ab
b
a
(3)
a
b
本题能用平行四边 形法则求向量和 吗？
ab
(4)
(2)
b
a
b
a a
ab
b
ab
2.如图，已知a 、b , 用向量加法的平行四边形法则作出a b .
（1） 本题能用三角形法则 求向量和吗？ （2）
AB BC AC
C
向 量 加 法 的 法 则
a
三角形法则: B
b
平行四边形法则: C B
C
O
a
A
O
作法：在平面内任取一点O, 作OC a , CB b .则OB a b . 作法：在平面内任取一点O, 作OA a , OB b .以OA 、 OB为
b
b
a
C D
a
b A
a
ab
B
B
b
A ab
a
C
D
探究二：向量加法的代数运算性质
思考1：零向量与任一向量 a 可以相加吗？
思考2：若向量 a 与 b 为相反向量，a b
规定：a 0 0 a a.
等于什么？反之成立吗？ a 与 b 为相反向量 a b 0.
位移的合成可以看作向量加法三角 形法则的物理模型 三角形法则 力的合成可以看作向量加法平行四边 形法则的物理模型.
向量的加法运算
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法实际应用
作业
课本P91
A组 3, 4(1)(2)(3)
向量加 法
课后探究
若水流速度和船速的大小保持不变, 最后要能使渡船垂直过江,则船的航 向应该如何?请作图探究.
There is no elevator to success ——only stairs. 成功没有电梯， 只有一步一个脚印的楼梯.
引例
• 1+1在什么情况下不等于2？ • 例如右图，两个小孩分别用1牛 顿的力提起水桶，则水桶的重 力是2牛顿吗？
问题提出
1.向量、平行向量、相等向量的含 义分别是什么？ 2.用有向线段表示向量，向量的大 小和方向是如何反映的？什么叫零 向量和单位向量？
D
D
CHale Waihona Puke ABAB
2
在RtABC中， AB 2, BC 5,
AB BC
2 2
所以, AC
2 2 52
29 5.4,
5 因为t anCAB 2.5, AB 2
由计算器得∠ＣＡＢ＝68°. A
BC
D
C
B
答：船实际航行速度的大小约为５.4 km/h, 航行方向与水 的流速间的夹角为68 °.
关系如何？
b a
a+ b
a b
b
a
b
a
ab ab
≤ ≥
ab
ab
a b
a b
(当且仅当 a 与 b 同向时取等号) (当且仅当 a 与 b 反向时取等号)
思考5：实数的加法运算满足交换律，即 对任意a，b∈R，都有a＋b=b＋a.那么 向量的加法也满足交换律吗？如何检验？ a B
a b 思考3：若向量 a与 b 同向，则向量 的方向如何？若向量 与 反向，则向 a b 量 a b 的方向如何？
a b a
b
B A a b AB BC AC
C
C A B a b AB BC AC
b
a b
C
O
a
b
A
所以, a b b a （交换律） .
a b OA AC OC . b a OB BC OC .
思考6：实数的加法运算满足结合律，即对
任意a，b，c∈R，都有（a＋b）＋c=a＋（b ＋c）.那么向量的加法也满足结合律吗？根 C 据图形验证 a b c a b c .
当向量a , b同向时，a b的方向与a , b同向.
当a , b反向时，a b的方向与a、b中模大的向量同向.
a b 思考4：观察下列各图， 与 a b 的大小关系如何？ a b与 a b 的大小
如图，对于下列两个向量，如何用三角形法则求其 和向量？
b
a
任意给出两个向量 a与b , 如何求 a b.
向 量 加 法 的 法 则
O
a
b
三 角 形 法 则: B
C
作法：在平面内任取一 点O , 作OC a , CB b .则OB a b .
三角形法则
观察向量 a 、、 b a b 的连接方式，你能总结三 角形法则的作图特点吗？
起点、终点顺次相连
起→终
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.
思考5：
例如:橡皮条在两个力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也是从E点伸长到了O点.
分析:由物理知识知F为F1与F2的合力 F1+F2=F.
a
B
b
巩固练习
１.化简
AD . (1) AB CD BC ________ MN . (2) MA BN AC CB ________ (3) AB BD CA DC ________ 0 .
２.根据图示填空
向量的加法运算及其几何意义
探究一：向量加法的几何运算法则
思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按 原方向到点C，则两次位移的和可用哪个向 量表示？由此可得什么结论？
AB BC AC
A
B
C
思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按 反方向到点C，则两次位移的和可用哪个向 量表示？由此可得什么结论？
解：（ 1 ） OA OC OB;
E
D
（2） BC FE AD;
（ 3 ） OA FE 0.
F A
O
B
C
例2 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输,
如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5 km/h的速度向垂 直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东２km/h． （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度 （保留两个有效数字）； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度间 的夹角表示，精确到度）. 解： (1)如图所示， AD表示船速， AB表示水速，以 AD、AB为 邻边作 ABCD，则AC表示船实际航行的速度.
O
a b c
a b
b c
c
所以, ( a b ) c a (b c（结合律） ) .
A a b c OA AB BC OB BC OC , a b c OA AB BC OA AC OC ,
E
g
e
f
a
D d
(1)a b (2)c d (3)a b d (4)c d e
c f
. .
A
c
B
b
C
f g
. .
应用举例
例1 已知O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量 （） 1 OA OC；（2） BC FE ； (3) OA FE.
E
O
E
O
F
思考5: 例如:橡皮条在力F 与F 的作用下,从E点伸长到了O点.
1 2
同时橡皮条在力F的作用下也是从E点伸长到了O点.
分析:由物理知识知,F为F1与F2的合力
E
O
F1+F2=F.
F以为F1与F2为邻边所形成平行四边形 的对角 线
E
O
F
这也是向量的加法吗？
任意给出两个向量 a与b , 如何求 a b.
D C
5
A
2
B
向量加 法
通过利用平行四边形法则作向量的和，你能总 结出作图的特点吗？
同起点的对角线.
力的合成可以看作向量加法平行四边形法 则的物理模型.
归纳小结
加法
连接
指向
三角形法则 起终相连
平行四边形法则
起→终
同起点的 对角线
起点重合
巩固练习
教材P84练习
1.如图，已知a、b ，用向量加法的三角形法则 作出a b .
邻边做
OACB,连接OC, 则OC OA OB a b .
任意给出两个向量 a与b , 如何求 a b.
a b
向 量 加 法 的 法 则
三 角 形 法 则: B
b
平行四边形法则: C B
b b
C
O
a
A
O
a
1.两种方法做出的结果一样吗?
2.它们之们有联系吗?
平行四边形法则
巩固练习
1.若a表示“向南走10km”, b表示“向西走10 3km”, 则a b表示 .
2.若a， b满足 a 3， b 5，求 a b 的 最大值，并指出a， b满足什么条件时? a b 取到最大值.
课堂小结
向量加法的物理背景
(1) ab
b
a
(3)
a
b
本题能用平行四边 形法则求向量和 吗？
ab
(4)
(2)
b
a
b
a a
ab
b
ab
2.如图，已知a 、b , 用向量加法的平行四边形法则作出a b .
（1） 本题能用三角形法则 求向量和吗？ （2）
AB BC AC
C