高考数学知识点：充要条件知识点
2025高考数学一轮复习充分条件与必要条件
第二节 充分条件与必要条件
【课标要求】 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系；3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系。
【命题规律】 本讲内容考查涉及的知识面比较广，主要以其他知识为背景考查充分条件、必要条件的判断及简单应用，难度中等。
必备知识 夯实四基
基础·细梳理
1.命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以___________的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做_________，判断为假的语句叫做_________。
【变式训练】（1） [2022·高三八省（市）学业质量评价联考] “ ”是“ ”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 由正弦函数的单调性可知，当 时， 。反之，当 时，可能有 ,所以“ ”是“ ”的充分不必要条件。故选A。
且
小题·微演练
一、基础题
1.“ ”是“ ”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
B
[解析] 当 时，若 ，则 ，所以 ；当 时， ，则 ，所以 ,即“ ”是“ ”的必要不充分条件。
2.设 ，则“ ”是“ ”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
2.充分条件与必要条件
（1）若________________，则 是 的充分不必要条件❶。
（2）若________________，则 是 的必要不充分条件❷。
（3）若________________，则 是 的充要条件❸。
高中数学第一章常用逻辑用语1充分条件与必要条件充要条件的四种解释素材1
充要条件的四种解释充要条件是简易逻辑中的重要概念,高考的要求是要弄清充要条件的意义，会判断两个命题间的充要关系.因此必须对充要条件深刻的理解和认识。
本文将对充要条件进行多角度的解释。
一、用集合解释若p为条件，q为结论，且设P所对应的集合为A={x|p｝，q所对应的集合为B={x|q｝，则①若AÌ，__B,就是x∈A则x∈B,则A是B的充分条件，B是A 的必要条件.②若A错误!B,就是x∈A则x∈B，且A中至少有一个元素不在B中，则A是B的充分非必要条件，B是A的A B必要非充分条件.③若A=B，就是A错误!B且A错误!B，则A是B的充分条件，同时A是B的必要条件,即A是B的充要条件。
④若A B，A错误!B，则A是B的既不充分也不必要条件。
二、用四种命题解释若p为条件，q为结论,由此构造一个命题：若p则q，则(1）如果原命题成立,逆命题不成立，则原命题的条件是充分非必要的；（2）如果原命题不成立，逆命题成立，则原命题的条件是必要非充分的；(3)如果原命题和它的逆命题都成立，则原命题的条件充要的；(4)如果原命题和它的逆命题都不成立，则原命题的条件是非充分非必要的.三、用“Þ”、“”、“”解释用“Þ”、“”、“”对充分条件、必要条件、充要条件的定义的解释主要体现在四个字上“头必尾充”，此种解释显得直观、简捷，在实际的解题中是采用得最为广泛的一种方法。
（1）若p q,且q错误!p，则p是q的充分且不必要条件，q是p 的必要且不充分条件；（2)若q p，且p错误!q，则p是q的必要且不充分条件，q是p 的充分且不必要条件；(3)若p q,且q p（或p q）,则p是q的充要条件(此时q 也是p的充要条件);（4)若p错误!q，且q错误!p，则p是q的非充分非不必要条件.四、用汉语言解释命题的条件为p与结论为q之间的关系可用汉语言解释为：①充分条件解释为:有之必然,无之未必然；②必要条件解释为：无之必不然,有之未必然；③充要条件解释为:有之必然，无之必不然.若再用通俗点的语言可解释为:充分条件就是“有它一定行，无它未必不行”;必要条件就是“无它一定不行，有它也未必行”;充要条件就是“有它一定行，无它一定不行”.上面的四种解释中不论哪一种对充分条件、必要条件的解释，都离不开两段式：条件Þ结论；结论Þ条件，这才是根本的描述.。
高考数学专题知识突破：考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件
考点二命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理1．命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句，叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系(1) 四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若非p，则非q逆否命题若非q，则非p(2) 四种命题间的逆否关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．(3) 如果p q，q p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果q p，p q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果p q，且q p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．典例剖析题型一四种命题及其相互关系例1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案 B解析将原命题的条件与结论互换即得逆命题，故原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．变式训练命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数答案 C解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x ＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.解题要点 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2.一些常见词语的否定例2有下列几个命题：①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案②③解析①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．变式训练下列有关命题的说法正确的是________．(填序号)①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②若一个命题是真命题，则其逆命题也是真命题；③命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”；④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．答案 ④解析 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，所以①不正确；原命题与逆命题不等价，所以②不正确；命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“对任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，所以③不正确；命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”是真命题，所以逆否命题为真命题，④正确．解题要点 1.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．2.根据“原命题与逆否命题是等价的，逆命题与否命题也是等价的”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．题型二 充分条件与必要条件例3 已知p ：“a ，b ，c 成等比数列”，q ：“b ＝ac ”，那么p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 若a ，b ，c 成等比数列，则有b 2＝ac ，所以b ＝±ac ，所以充分性不成立．当a ＝b ＝c ＝0时，b ＝ac 成立，但此时a ，b ，c 不成等比数列，所以必要性不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．变式训练 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件答案 A解析 由正弦定理，知a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔sin A ≤sinB ． 例4 设函数f (x )＝log 2x ，则“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．答案 必要不充分解析 因为f (x )＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )；反之，当f (a )>f (b )时，a >b .故“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的必要不充分条件．变式训练 设x ∈R ，则“x >1”是“220x x +->”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由不等式220x x +->得(2)(1)0x x +->，即2x <-或1x >，所以由1x >可以得到不等式220x x +->成立，故充分性成立；但由220x x +->不一定得到1x >，所以必要性不成立，即“x >1”是“220x x +->”的充分而不必要条件．解题要点 1．充要条件问题应首先弄清问题中条件是什么，结论是什么，再进一步判断条件与结论的关系，解题过程分为三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．2．充要条件的三种判断方法(1) 定义法：根据p q ，q p 进行判断； (2) 集合法：根据p 、q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．当堂练习1. 设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面4．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，得“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的 条件．5.U 为全集,A ,B 是集合,则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅” 条件．课后作业一、 选择题1．下列语句中命题的个数是( )①2<1；②x <1；③若x <2，则x <1；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数.A.0B.1C.2D.32．“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．“1<x <2”是“x <2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设p ：x <3，q ：－1<x <3，则p 是q 成立的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”6．若m ∈R, 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤07．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝(1，x )与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．48．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题9．x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的____________条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)10．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．11．(1)“x >y >0”是“1x <1y”的________条件． (2) 设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的________条件．12．下列命题：①“若k ＞0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a ＞1b，则a ＜b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题，其中是假命题的是________.13．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件．当堂练习答案1. 答案 A解析 当1<x <2时，2<2x <4，∴p ⇒q ；但由2x >1，得x >0，∴q p ，故选A.2答案 A解析 由(a －b )a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时 (a －b )·a 2<0，必要性不成立；故选A.3．答案 D解析 对于A ，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A 错；对于B ，m ，n 平行于同一平面，m ，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故B 错；对于C ，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C 错；对于D ，若假设m ，n 垂直于同一平面，则m ∥n ，其逆否命题即为D 选项，故D 正确．4．答案 充分不必要条件解析 当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1， 解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．5.答案 充要条件解析 若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．课后作业答案二、 选择题1．答案 D2．答案 A解析 解x 2－2x ＋1＝0得x ＝1，所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充要条件．3．答案 A4．答案 C解析 ∵x <3－1<x <3，但－1<x <3⇒x <3，∴p 是q 的必要不充分条件，故选C.5．答案 C解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C. 6．答案 D解析 原命题为“若p ，则q ”，则其逆否命题为“若q ，则p ”．∴所求命题为“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．7．答案 B解析 向量a ，b 共线⇔x －x (x ＋2)＝0⇔x ＝0或x ＝－1，∴命题p 为真，其逆命题为假，故在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.8．答案 B解析 m ⊂α，m ∥βα∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴m ∥β是α∥β的必要而不充分条件． 二、填空题9．答案 必要不充分解析 设p ：x ＝3且y ＝5，q ：x ＋y ＝8，显然p 是q 的充分不必要条件，∴p 是q 的必要不充分条件，即x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的必要不充分条件．10．答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．11．答案 (1)充分不必要 (2)充要解析 (1)1x <1y⇒xy ·(y －x )<0， 即x >y >0或y <x <0或x <0<y .所以x >y >0 ⇒1x <1y ，但反过来1x <1y， 所以是充分不必要条件．(2) 构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f (a )＞f (b )⇔a |a |＞b |b |. 所以是充要条件．12．答案 ①②解析 对于①其否命题为“若k ≤0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0无实根”，为假命题；②的逆命题为“若a ＜b ，则1a ＞1b”，为假命题；③中原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题. 13．答案 充分不必要解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14，因为m <14⇒m ≤14，反之不成立． 故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．。
高考数学复习点拨 解析充要条件的三种常用判断方式
1 / 1解析充要条件的三种常用判断方式1.利用集合间的相互关系进行判断．若一个命题的条件和结论所描述的对象形成一个集合，则可用集合间的相互关系来判定充分条件，必要条件．设P ，Q 分别为命题p,q 所描述的对象形成的集合． (1).若q p Q P 是则称,⊆的充分条件． (2).若P Q ⊆，则称p 是q 的必要条件． (3).若P Q ⊂，则称p 是q 的必要非充分条件． (4) .若Q P ⊂,则称p 是q 的充分非必要条件． (5).若Q P =，则称p 是q 的充要条件．(6).若φ=⋂Q P ，则称p 是q 成立的既不充分也不必要条件． (7).若A B ,⊆⊆且B A ，则称p 是q 成立的既不充分也不必要条件． 例１． 条件A ：()()014B ,041≥-+≥+-x x x x ：结论，则判断条件是结论的什么条件． 解：由于A 的解集是：M ＝(][)+∞⋃-∞-,14,，而B 的解集是：N=(]()+∞⋃-∞-,14,，显然N ⊂M ，于是A 是B 的必要非充分条件．2.利用互为逆否命题的等价性进行判断．由于互为逆否命题是相互等价的，当我们正面对命题进行判断较为困难时，可将其转化为逆否命题来判断．例3．,:,:B A x q B x A x p ⋂∉∉∉或的是说明q p 什么条件．解：原命题等价于判断B x A x p B A x q ∈∈⌝⋂∈⌝且是::的什么条件． 易见：B A x B x A x B x A x B A x ⋂∈⇒∈∈∈∈⇒⋂∈且及 且,，故p q p q ⌝⌝⌝⇔⌝是即的充要条件．所以p 是q 的充要条件． 例4．,5:,23:≠+≠≠y x q y x p 且的是说明q p 什么条件． 解：原命题等价于判断23:5:==⌝=+⌝y x p y x q 或是的什么条件． 显然.,q p p q ⌝⇒⌝⌝⇒⌝所以p 是q 的既不充分也不必要条件． ３．利用真值表进行判断．我们首先给出关于命题p 和q 的真值表．pqq p 或q p 且p ⌝真 假 真 假 假 假 真 真 假 真 假 假 假 假 真 真真真真真由于复合命题是由简单命题与逻辑联结词“或” ，“且”，“非”等构成的，因此利用真值表进行判断充要条件时，关键是能够将一个复合命题写成用逻辑联结词“或” ，“且”，“非”连接的与之等价的复合命题的形式．例5．判断命题0>x 是0≥x 的什么条件．解： ,000=>≥x x x 或即由真值表知：p 真q p 或⇒真，但q p 或真p ⇒真． 0>x 0≥⇒x ，但00>⇒≥x x ．故0>x 是0≥x 的充分不必要条件． 例6．判断命题22b a ≠是b a b a -≠≠或的什么条件．解：.22b a b a b a -≠≠≠且即由真值表知：真或真，但或真真且q p q p p q p ⇒⇒b a b a b a q p -≠≠≠∴⇒或是真． 且22的充分不必要条件．以上二例紧扣真值表，在判断时要能够剖析命题中所蕴含的逻辑联结词，进而将复合命题分解．。
高中数学—命题和充要条件—学生版
命题和充要条件知识梳理 一、命题的概念1、一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。
2、命题通常用陈述句表示，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。
3、一般地，如果命题α成立可以推出命题β也成立，那么就说由可以推出，记作βα⇒。
相反的，如果成立不能推出成立，那么就说由不可以推出，记作αβ。
4、如果，并且αβ⇒，那么就说与等价，记作βα⇔。
二、四种命题形式1、一个数学命题用条件，结论表示就是“如果α，那么”，把结论与条件交换，就得到一个新命题“如果 ，那么”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题。
2、如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件与结论的否定，我们把这两个命题叫做互否命题。
如果其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做原命题的否命题。
3、命题、的否定分别记作α、β。
4、如果把原命题“如果，那么”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可以得到一个新命题，我们将它叫做原命题的逆否命题。
5、四种命题形式及其相互关系:6、常见结论的否定形式：（拓展内容）三、充要条件1、充分条件与必要条件：一般地，用α、β分别表示两个命题，如果成立，可以推出也成立，即，那么叫做的充分条件。
叫做的必要条件。
2、充要条件：如果既有，又有，即有βα⇔，那么既是的充分条件又是的必要条件，这时我们就说是的充要条件。
例题解析一、有关命题的概念【例1】判断下列语句是否是命题：⑴张三是四川人；⑵1010是个很大的数；⑶220x x +=；⑷260x +>；⑸112+>；【例2】判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由. （1）矩形难道不是平行四边形吗？（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？（3）求证：R x ∈，方程012=++x x 无实根.（4）5>x（5）人类在2020年登上火星.【例3】下面有四个命题：①若a -不属于N ，则a 属于N ；②若a b ∈∈N N ，，则a b +的最小值为2；③212x x +=的解可表示为{}11，．其中真命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【例4】下列判断中正确的是 ( ).A. “12是偶数且是18的约数”是真命题B. “方程210x x ++=没有实数根”是假命题C. “存在实数x ，使得23x +≤且216x >”是真命题D. “三角形的三个内角的和大于或等于120︒”是假命题【例5】对于直角坐标平面内的任意两点11()，A x y 、22()，B x y ，定义它们之间的一种“距离”： 1212AB x x y y =-+-．给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则AC CB AB +=； ②在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则222AC CB AB +=； ③在ABC ∆中，AC CB AB +>．其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【巩固训练】1、判断命题真假：如果2a <，那么2a < （ ）2、若[]2,5x ∈和{}|14x x x x ∈<>或都是假命题，则x 的范围是__________3、已知,A B 是两个集合，下列四个命题：①B ,A x A x B ⇔∈∉不包含于对任意有②B A A B ⇔⋂=∅不包含于③B A A ⇔不包含于不包含B ④B ,A x A x B ⇔∈∉不包含于存在，其中真命题的序号是4、下面有四个命题：①集合N 中最小的数是1；②若a -不属于N ，则a 属于N ；③若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；④x x 212=+的解可表示为{}1,1.其中真命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、命题的四种形式及其关系【例6】命题“若x y =，则||||x y =”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假【例7】有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球；（4）所有女生都爱踢足球；其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是_______【例8】写出命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假.【例9】写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假． ⑴“负数的平方是正数”；⑵“若a 和b 都是偶数，则a b +是偶数”； ⑶“当0c >时，若a b >，则ac bc >”； ⑷“若5x y +=，则3x =且2y =”；【例10】已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实负根，命题q ：方程24(2)10x m x +-+=无实根；若p 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数m 的取值范围．【巩固训练】1、有下列四个命题：①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q ≤，则220x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42、原命题：“设a b c ∈R ，，，若a b >，则22ac bc >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．43、命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ）A ．若21x ≥，则1x ≥或1x -≤B ．若11x -<<，则21x <C ．若1x >或1x <-，则21x >D ．若1x ≥或1x -≤，则21x ≥4、有下列四个命题：①命题“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1≤m ，则220x x m -+=有实根”的逆否命题；④命题“若A B B =I ，则A B ⊆”的逆否命题． 其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）．5．原命题的否命题是“三条边相等的三角形是等边三角形”，原命题的逆命题是三、有关等价命题【例12】与命题“，，不全是负数”等价的命题是（ ） A 、，，中至少有一个是正数 B 、，，全不是负数C 、，，中只有一个是负数D 、，，中至少有一个是非负数 【例13】与“一元二次方程有一正根、一负根”等价的命题是（ D ）A 、B 、C 、D 、【例14】命题：已知a ，b 为实数，若20x ax b ++≤有非空解集，则240a b -≥。
高考数学充分条件与必要条件
条件，则命题丁是命题甲的（ B）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既不充分又不必要条件
P33例2变式
例3．已知
p
:
1
x
1 3
2,
q : x2 2x 1 m2 0
(m 0)
若p是q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围。
(1)新购的漆器家具上有一股很难闻的漆味，用抹布浸醋后擦洗，漆味可以立即消除 (2)油漆了室内的墙壁，室内有一股浓烈的漆味，可在室内放几桶冷水，或将洋葱切成片，放在冷水中，置于室内，油漆味即可消失 盛器打满凉水，然后加入适量食醋放在通风房间，并打开家具门。这样既可适量蒸发水份保护墙顶涂料面，又可吸收消除残留异味 买些菠萝在每间房间放上几个，大的房间可多放一些。因为菠萝是粗纤维类水果，既可起到吸收油漆味又可达到散发菠萝的清香味道、加快清除异味的速度，起到了两全其美的效果 要快速清除残留油漆味，可用柠檬汁浸湿棉球，挂在室内以及木器家具上 刚装修过的房屋往往有天纳水等各种刺鼻的化工原料气味，把一只破开肚的菠萝蜜（一种形似榴莲的热带水果,但绝不是榴莲啊!!放榴莲可糟了!）放在屋内，由于菠萝蜜个体大（一般有西瓜那么大 极浓，几天就可以把异味吸光 可以去市场挑选一些高科技的祛味清洁剂，它能去除新装修房、新家具等散发出的有害气体。据有关人士介绍，这些祛味清洁剂一般都是进口产品，利用氨化合物与有害物质发生化学反应，从而 味清洁的作用。在新装修的房间中，可把这种祛味清洁剂倒入盘中，将盘分别放在每个房间中，再结合擦洗祛味法，连续几天后就可有效去除难闻气味 在房间里摆放桔皮、柠檬皮等物品，也是一种很有效的去味方法，不过它们的见效不是很迅速 最经济实惠又美化家居的方法当然是在家里摆上合适的花草.可以吸收甲醛的植物有仙人掌、吊兰、扶郎花（又名非洲菊）、芦苇、常春藤，铁树，菊花等,而消除二甲苯的花草则有常春藤、铁树、
高职高考数学充分条件、必要条件、充要条件
.
【解】 (1)x=1是x2=1的充分条件或x2=1是x=1的必要条件;
(2)x,y∈R,x2+y2=0,是x=y=0的充要条件;
(3)四边形是正方形是这个四边形的四边相等的充分条件.
【例2】 用充分条件、必要条件、充要条件填空:
(1)x是自然数是x为整数的:
.
(2)x>2是x>5的:
.
(3)A=∅是A∪B=B的:
)
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
【答案】A
6.若M、N为非空集合,那么M∪N=M是N⫋M的 (
)
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
【答案】B
7.α=60°是 sinα= 的 (
A.必要条件
C.充要条件
【答案】B
)
B.充分条件
D.既非充分也非必要条件
【答案】A)B.来自要条件D.既非充分也非必要条件
3.α=β是sinα=sinβ的
A.充分条件
C.充要条件
【答案】A
(
)
B.必要条件
D.等价关系
4.x2-9=0是x-3=0的 (
A.充分条件
C.充要条件
【答案】B
)
B.必要条件
D.既非充分也非必要条件
5.“x2+(y-2)2=0”是“x(y-2)=0”的 (
(5)若p是q的充分条件,又是r的必要条件,则r是q的
( A )
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
【同步训练】
一、选择题
1.a>b是a2>b2的
高考数学《充分条件与必要条件》
【课标要求】
【考情分析】
1.理解必要条件、充分条件、充要 条件的意义．
2．能根据定义和集合转化法进行 充分性、必要性的判断.
本节常以其他知识为载体，考查 一个命题是另一个命题的什么条件， 或求一个命题的充要条件、充分不必 要条件、必要不充分条件，或已知充 分(必要)条件求参数的取值范围等.
B＝{x||x＋a|＜1}． (1)若 a＝3，求 A∪B； (2)设 p：x∈A，q：x∈B，若 p 是 q 成立
的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围．
板书
【答案】(1){x|－4＜x＜1} (2)[0，2]
【解析】集合 A＝{x|－3＜x＜1}，B＝{x|－1－a＜x＜1－a}. (1)当 a＝3 时，B＝{x|－4＜x＜－2}， 所以 A∪B＝{x|－4＜x＜1}.
Δ1＝a2－4<0. Δ3＝4a2－4(3a＋4).若三个方程均无实根，需满足 Δ2＝（a－1）2－64<0， 解得
Δ3＝4a2－4（3a＋4）<0， －2<a<2， －7<a<9，所以－1<a<2. －1<a<4，
所以三个方程至少有一个方程有实根的充要条件为 a≤－1，或 a≥2.
【跟踪反馈】 已知 a，b 都是正整数，则 a＋b>ab
又当 a＝－2，b＝－1 时，ln
1a，ln
1b无意义，故 a2>b2⇒要性不成立.
综上，“ln
1 a<ln
1b”是“a2>b2”的充分不必要条件，故选 C.
(2)由题意易知，当 m＝0 时，不等式不成立；
因为当 m≠0 时，mx2－2x＋1＞0 的解集为 R，
高考数学 复习《充分条件、必要条件与命题的四种形式》
若 A B=A ，则 A B 真
（3） 若 x y 5,则x 2且y 3
若 x=2或y=3,则x y=5 假
典型例题 例5、已知p :|1 x 1 | 2; q : x2 2x 1 m2 0(m 0),
3 若p是q的必要不充分条件,求实数m的范围.
⑶充要条件
( p q)
⑷既不充分也不必要条件 ( p q 且q p )
练习: 在下列电路图中,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的什么条件:
⑴如图①所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的_充__分__不__必__要_条件; ⑵如图②所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的必 __要 ___不__充__分_条件;
典型例题
例 3、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：
（1）若 x2 y2 0 ，则 x, y 全为 0
（2）正偶数不是质数
（3）若 a 0 ，则 a b 0
（4）相似的三角形是全等三角形
(1) (2) (3) (4) 原命题 真 假 真 假 逆命题 真 假 假 真 否命题 真 假 假 真 逆否命题 真 假 真 假
既不充分也不必要条件 4）若A=B ，则甲是乙的充要条件。
典型例题
例 1、指出下列命题中，p 是 q 的什么条件．
⑴p： x 1 0 ，q： x 1 x 2 0 ； 充分不必要
⑵p：两直线平行，q：内错角相等； 充要 ⑶p： a b ，q： a2 b2 ； 既不充分也不必要 ⑷p：四边形的四条边相等，q：四边形是正方形．
1．互为逆否关系的一对命题，同真或同假。 2．互逆关系的一对命题，不一定同真假。 3．互否关系的一对命题，不一定同真假。
典型例题
高三数学一轮复习知识点讲解1-2全称量词与存在量词、充要条件
高三数学一轮复习知识点讲解专题1.2 全称量词与存在量词、充要条件【考纲解读与核心素养】1．理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.2.全称量词与存在量词(1)理解全称量词与存在量词的意义. (2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.3.培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象能力.【知识清单】1. 充分条件与必要条件（1）若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； （2）若p ⇒q ，且q ⇒/p ，则p 是q 的充分不必要条件； （3）若p ⇒/q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件； （4）若p ⇔q ，则p 是q 的充要条件；（5）若p ⇒/q 且q ⇒/p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 2. 全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． （2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．（3）全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为,()x M p x ∀∈，读作“对任意x 属于M ，有p (x )成立”．2．存在量词与特称命题（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． （2）含有存在量词的命题，叫做特称命题．（3）特称命题“存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为00,()x M p x ∃∈，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”． 3．全称命题与特称命题的否定（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．（2）“p 或q ”的否定为：“非p 且非q ”；“p 且q ”的否定为：“非p 或非q ”． （3）含有一个量词的命题的否定命题命题的否定,()x M p x ∀∈ 00,()x M p x ∃∈⌝00,()x M p x ∃∈,()x M p x ∀∈⌝【典例剖析】高频考点一 充要条件的判定例1.（2019年高考浙江）若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立， 综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 故选A.例2.（2018年浙江卷）已知平面α，直线m ，n 满足m α，n α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.【思路点拨】一般地，充分、必要条件判断方法有三种.本题难度较小，根据线面平行的判定定理可得充分性成立，而由无法得到m 平行于平面内任一直线，即必要性不成立．例3．（2019·北京高考真题（理））设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】∵A ､B ､C 三点不共线,∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AB -AC |⇔|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇔•AC >0AB ⇔与AC的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件, 故选C. 【规律方法】充要关系的几种判断方法(1)定义法：若 ,p q q p ⇒≠> ，则p 是q 的充分而不必要条件；若,p q q p ≠>⇒ ，则p 是q 的必要而不充分条件；若,p q q p ⇒⇒，则p 是q 的充要条件； 若,p q q p ≠>≠> ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.(2)等价法：即利用p q ⇒与q p ⌝⌝⇒；q p ⇒与p q ⌝⌝⇒；p q ⇔与q p ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3) 集合关系法：从集合的观点理解，即若满足命题p 的集合为M ，满足命题q 的集合为N ，则M 是N 的真子集等价于p 是q 的充分不必要条件，N 是M 的真子集等价于p 是q 的必要不充分条件，M ＝N 等价于p 和q 互为充要条件，M ，N 不存在相互包含关系等价于p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件 【变式探究】1.（2019年高考天津理）设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由250x x -<可得05x <<，由|1|1x -<可得02x <<， 易知由05x <<推不出02x <<， 由02x <<能推出05x <<，故05x <<是02x <<的必要而不充分条件， 即“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要而不充分条件. 故选B.2.（2019·北京高考真题（文））设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】时，,为偶函数；为偶函数时，对任意的恒成立，，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.3．（2017·浙江省高考真题）已知等差数列{}n a 的公差为d,前n 项和为n S ,则“d>0”是465"+2"S S S >的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ． 高频考点二：充分条件与必要条件的应用例4.（江西省新八校2019届高三第二次联考）若“3x >”是“x m >”的必要不充分条件，则m 的取值范围是________． 【答案】3m >因为“3x >”是“x m >”的必要不充分条件， 所以(),m +∞是()3,+∞的真子集，所以3m >， 故答案为3m >. 【规律方法】1.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．2.把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面 (1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；(2)注意问题的形式，看清“p 是q 的……”还是“p 的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断． 【变式探究】（安徽省江南片2019届高三开学联考）设p ：实数x 满足(3)()0x a x a --<，q ：实数x 满足302x x +>+． （Ⅰ）当1a =时，若p q ∨为真，求实数x 的取值范围；（Ⅱ）当0a <时，若p 是q ⌝的必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()(),32,-∞--+∞；（2）()2,1--． 【解析】（Ⅰ）当1a =时，p ：13x <<，q ：3x <-或2x >-. 因为p q ∨为真，所以p ，q 中至少有一个真命题. 所以13x <<或3x <-或2x >-， 所以3x <-或2x >-，所以实数x 的取值范围是()(),32,-∞-⋃-+∞. （Ⅱ）当0a <时，p ：3a x a <<，由302x x +>+得：q ：3x <-或2x >-， 所以q ⌝：32x -≤≤-，因为p 是q ⌝的必要条件，所以{|32}{|3}x x x a x a -≤≤-⊆<<， 所以332a a <-⎧⎨>-⎩，解得21a -<<-，所以实数a 的取值范围是()2,1--. 【特别警示】根据充要条件求解参数范围的方法及注意点(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)注意点：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误． 高频考点三：全称量词与存在量词例5.（2018贵州凯里一中模拟）命题p ：0x R ∃∈，()02f x ≥，则p ⌝为（ ） A ． x R ∀∈， ()2f x < B ． x R ∀∈， ()2f x ≥ C ． 0x R ∃∈， ()2f x ≤ D ． 0x R ∃∈， ()2f x < 【答案】A【解析】根据特称命题的否定，易知原命题的否定为： (),2x R f x ∀∈<，故选A ． 例6．（2013·重庆高考真题（文））命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ） A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2＜0 C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0 D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜0【答案】D 【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为．存在x 0∈R ，使得x 02＜0． 故选D ．例7. 有下列四个命题，其中真命题是（ ）． A.n ∀∈R ，2n n ≥B.n ∃∈R ，m ∀∈R ，m n m ⋅=C.n ∀∈R ，m ∃∈R ，2m n <D.n ∀∈R ，2n n <【答案】B 【解析】对于选项A ，令12n =，则2111242⎛⎫=< ⎪⎝⎭，故A 错；对于选项B ，令1n =，则m ∀∈R ，1⋅=m m 显然成立，故B 正确； 对于选项C ，令1n =-，则21<-m 显然无解，故C 错； 对于选项D ，令1n =-，则2(1)1-<-显然不成立，故D 错. 故选：B 【规律方法】1．全称命题真假的判断方法（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立； （2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个特殊值x ＝x 0，使p (x 0)不成立即可． 2．特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．3.全称命题与特称命题真假的判断方法汇总命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题真所有对象使命题真否定为假假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题真存在一个对象使命题真否定为假假所有对象使命题假否定为真4．常见词语的否定形式有：原语句 是 都是 > 至少有一个 至多有一个 对任意x ∈A 使p (x )真 否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个存在x 0∈A 使p (x 0)假【变式探究】1．（2015·全国高考真题（理））设命题2:,2nP n N n ∃∈>，则P 的否定为（ ）A ．2,2n n N n ∀∈>B ．2,2n n N n ∃∈≤C ．2,2n n N n ∀∈≤D ．2,2n n N n ∃∈=【答案】C 【解析】根据否命题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命题的结论，特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.2.（2019·江苏省如东高级中学高三月考）命题“20,0x x ∀><都有”的否定是________.【答案】20,0x x ∃<≤有 【解析】全称量词改存在，再否定结论，即“20,0x x ∀><都有”的否定是：20,0x x ∃<≤有 故答案为：20,0x x ∃<≤有 3．给出下列命题：（1）x ∀∈R ，20x >；（2）x ∃∈R ，210x x ++≤；（3）a ∃∈RQ ，Rb ∈Q ，使得a b +∈Q ．其中真命题的个数为______． 【答案】1 【解析】对于（1），当0x =时，20x =，所以（1）是假命题；对于（2），2213310244x x x ⎛⎫++=++≥> ⎪⎝⎭，所以（2）是假命题；对于（3），当22a =，32b =+时，5a b +=，所以（3）是真命题． 所以共有1个真命题， 故填：1. 【易错提醒】1．命题的否定与否命题的区别：“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．2．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．3．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．。
第1章 第2节 充分条件与必要条件-2022届高三数学一轮复习讲义(新高考)
第二节充分条件与必要条件一、教材概念·结论·性质重现1．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B⇒/A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A⇒/B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．(√)(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)(3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(√)(4)若q不是p的必要条件，则p⇒/q．(√)(5)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则B是A的子集．(×)2．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B解析：若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B．3．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要的条件是()A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3A解析：选项A中，a>b＋1>b，所以充分性成立，但必要性不成立，所以“a＞b＋1”为“a＞b”成立的充分不必要条件．4．已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．(－∞，2]解析：由已知，可得{x|2<x<3}{x|x>a}，所以a≤2.5．设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空)．充分不必要充要解析：由题意知p⇒q，q⇔s，s⇒t，又t⇒r，r⇒q，故p是t的充分不必要条件，r是t的充要条件.考点1充分条件与必要条件的判断——基础性1．(2020·天津卷)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：因为a2>a⇔a＜0或a>1，所以a>1⇒a2>a，反之不成立．故“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件．2．(2019·浙江卷)若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：当a>0，b>0，a＋b≤4时，有2ab≤a＋b≤4.所以ab≤4，此时充分性成立．当a>0，b>0，ab≤4时，令a＝4，b＝1，则a＋b＝5>4，这与a ＋b≤4矛盾，因此必要性不成立．综上所述，当a>0，b>0时，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A．3．设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B解析：由x2－5x<0可得0<x<5；由|x－1|<1可得0<x<2.因为0<x<5⇒/ 0<x<2，但0<x<2⇒0<x<5，所以“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要不充分条件．判断充分、必要条件的两种方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．考点2充分条件与必要条件的探究与证明——综合性(1)命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A．a≥9 B．a≤9C．a≥10 D．a≤10C解析：∀x∈[1,3]，x2－a≤0⇔∀x∈[1,3]，x2≤a⇔9≤a.所以a≥10是命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．(2)设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.证明：设p：xy≥0，q：|x＋y|＝|x|＋|y|.①充分性(p⇒q)：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况．当xy＝0时，不妨设x＝0，则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，所以等式成立．当xy>0时，则x>0，y>0，或x<0，y<0.又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式成立．当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，所以等式成立．综上，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．②必要性(q⇒p)：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x||y|.所以|xy|＝xy，所以xy≥0.由①②可得，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．1．区分两种易混说法“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”，前者是“p⇒q，且q⇒/p”，后者是“p⇒/q，q⇒p”，这种推导关系极易混淆．2．充要条件的证明策略(1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若p，则q”和“若q，则p”均为真．(2)证明前必须分清楚充分性和必要性，即清楚由哪个条件推证到哪个结论．1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于y轴对称的充要条件是()A．b＝c＝0 B．b＝0且c≠0C．b＝0 D．b≥0C解析：函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于y轴对称⇔－b2a＝0⇔b＝0.2．设集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x||x|≥1}，则“x∈A且x B”成立的充要条件是()A．－1＜x≤1 B．x≤1C．x＞－1 D．－1＜x＜1D 解析：由题意可知，x ∈A ⇔x ＞－1，x B ⇔－1＜x ＜1，所以“x ∈A 且x B ”成立的充要条件是－1＜x ＜1.故选D.3．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________.3或4 解析：一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有实数根⇔(－4)2－4n ≥0⇔n ≤4.又n ∈N *，则n ＝4时，方程x 2－4x ＋4＝0，有整数根2；n ＝3时，方程x 2－4x ＋3＝0，有整数根1,3；n ＝2时，方程x 2－4x ＋2＝0，无整数根；n ＝1时，方程x 2－4x ＋1＝0，无整数根．所以n ＝3或n ＝4.考点3 充分条件、必要条件的应用——应用性已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．[0,3] 解析：由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}．因为x ∈P 是x ∈S 的必要条件，所以S ⊆P .所以⎩⎨⎧ 1－m ≥－2，1＋m ≤10，1－m ≤1＋m ，解得0≤m ≤3. 故0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．若本例条件不变，是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？说明理由． 解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}．若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，所以⎩⎨⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，得⎩⎨⎧m ＝3，m ＝9.这样的m 不存在．充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．已知p：x∈A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：x∈B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．若p是﹁q的充分条件，则实数m的取值范围是________．(－∞，－3)∪(5，＋∞)解析：因为A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m ＋2}，所以∁R B＝{x|x<m－2或x>m＋2}．因为p是﹁q的充分条件，所以A⊆∁R B，所以m－2>3或m＋2<－1，所以m>5或m<－3.已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则﹁p是﹁q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[四字程序]读想算思判断充分必要条件1.充分必要条件的概念；2.判断充分、必要条件的方法解不等式转化与化归不等式5x－6>x21.定义法；2.集合法；3.等价转化法1.一元二次不等式的解法；2.集合间的包含关系充分必要条件与集合包含关系思路参考：解不等式＋求﹁p，﹁q.A解析：由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.﹁p：－3≤x≤1；﹁q：x≥3或x≤2.显然﹁p⇒﹁q，﹁q⇒/﹁p，所以﹁p是﹁q的充分不必要条件．故选A．思路参考：解不等式＋判断集合间的包含关系．A解析：由5x－6>x2，得2<x<3，即﹁q：A＝{x|x≤2或x≥3}，﹁p：B＝{x|－3≤x≤1}．显然B A，故﹁p是﹁q的充分不必要条件．故选A．思路参考：原命题与逆否命题的等价性＋转化．A解析：利用命题与其逆否命题的等价性，该问题可转化为判断q是p的什么条件．由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.显然q是p的充分不必要条件．故选A．判断充分、必要、充要条件关系的三种方法：(1)定义法是最基本、最常用的方法．(2)集合法主要是针对与不等式解集有关的命题的问题．(3)等价转化法体现了“正难则反”的解题思想，在正面解题受阻或不易求解时可考虑此法．1．若集合A＝{x|x－x2>0}，B＝{x|(x＋1)(m－x)>0}，则“m>1”是“A∩B≠∅”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：A＝{x|0<x<1}．若m>1，则B＝{x|－1<x<m}，此时A∩B≠∅；反之，若A∩B≠∅，则m>0.故选A．2．若“x>2m2－3”的充分不必要条件是“－1<x<4”，则实数m的取值范围是()A．[－3,3]B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D. [－1,1]D解析：因为“－1<x<4”是“x>2m2－3”的充分不必要条件，所以(－1,4)(2m2－3，＋∞)，所以－1≥2m2－3，解得－1≤m≤1.故选D.。
2.2高考之充分条件、必要条件、充要条件
第二章常用逻辑用语2．2 充分条件、必要条件、充要条件教材在通过数学命题的学习，引出了数学意义上的逻辑问题，在此基础上，要理解充分条件、必要条件和充要条件的意义，并通过“若p则q”形式命题的真假，形式化地判断语句“p”与语句“q”之间的条件关系，学会合理、准确地表述问题．1.教学重点：理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.教学难点：会求(判定)某些简单命题的条件关系．1．下列语句中是命题的为()①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？③3＋1＝5；④对任意x∈R,5x－3>6.A．①③B．②③C．②④D．③④答案D解析①无法判断真假，②没有涉及命题的真假，都不是命题；③④为命题．2．判断下列语句是否为命题，若是，请判断真假并改写成“若p，则q”的形式．(1)垂直于同一条直线的两条直线平行吗？(2)三角形中，大角所对的边大于小角所对的边；(3)当x＋y是有理数时，x，y都是有理数；(4)1＋2＋3＋…＋2 014；(5)这盆花长得太好了！解 (1)(4)(5)未涉及真假，都不是命题．(2)是真命题．此命题可写成“在三角形中，若一条边所对的角大于另一边所对的角，则这条边大于另一边．”(3)是假命题．此命题可写成“若x ＋y 是有理数，则x ，y 都是有理数”．阅读课本P29~30页，完成下列表格。
知识点一 充分条件与必要条件知识点二 充要条件的概念(1)定义：若p ⇒q 且q ⇒p ，则记作p ⇔q ，此时p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．(2)条件与结论的等价性：如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件．典型例题类型一 充分条件与必要条件的概念例1 判断下列说法中，p 是q 的充分条件的是____________________________________． ①p ：“x ＝1”，q ：“x 2－2x ＋1＝0”；②设a ，b 是实数，p ：“a ＋b >0”，q ：“ab >0”．答案 ①解析 对①，p ⇒q ；②p ⇏ q ，故填①.引申探究例1中p 是q 的必要条件的是________．答案 ①解析 ①x 2－2x ＋1＝0⇒x ＝1，即q ⇒p ；②q ⇏p ．故填①.反思与感悟 充分条件、必要条件的两种判断方法(1)定义法①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则就不是充分条件； ③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为结论的必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法①如果命题：“若p ，则q ”为真命题，那么p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件；②如果命题：“若p ，则q ”为假命题，那么p 不是q 的充分条件，同时q 也不是p 的必要条件．变式：a >b 的一个充分不必要条件是( )A ．a 2>b 2B ．|a |>|b | C.1a <1bD ．a －b >1答案 D解析 a －b >1⇒a －b >0而a －b >0⇏a －b >1，故选D.跟踪训练 设计如图所示的三个电路图，条件p ：“开关S 闭合”；条件q ：“灯泡L 亮”，则p 是q 的充分不必要条件的电路图是________．答案 (1)类型二充要条件的判断例2(1)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案C解析分别判断x>y⇒x>|y|与x>|y|⇒x>y是否成立，从而得到答案．当x＝1，y＝－2时，x>y，但x>|y|不成立；若x>|y|，因为|y|≥y，所以x>y.所以x>y是x>|y|的必要不充分条件．(2)下列所给的p，q中，p是q的充要条件的为________．(填序号)①若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；②p：|x|>3，q：x2>9.答案①②解析①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，所以p是q的充要条件．②由于p：|x|>3⇔q：x2>9，所以p是q的充要条件．反思与感悟判断p是q的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立．若p⇒q 成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q 是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件．(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．跟踪训练（1）a，b中至少有一个不为零的充要条件是()A．ab＝0 B．ab>0C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2>0答案D解析a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.（2）设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么()A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件【答案】A【解析】因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙D⇏丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲D⇏丙，既丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．类型三由条件关系求参数取值范围例3已知p：x<－2，q：x<a，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．解因为p是q的必要条件。
高考数学必考之充分条件与必要条件
高考数学必考之充分条件与必要条件一、基础知识1、定义：（1）对于两个条件,p q ，如果命题“若p 则q ”是真命题，则称条件p 能够推出条件q ，记为p q ⇒，（2）充分条件与必要条件：如果条件,p q 满足p q ⇒，则称条件p 是条件q 的充分条件；称条件q 是条件p 的必要条件2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面。
所以在判断时既要判断“若p 则q ”的真假，也要判断“若q 则p ”真假3、两个条件之间可能的充分必要关系：（1）p 能推出q ，但q 推不出p ，则称p 是q 的充分不必要条件（2）p 推不出q ，但q 能推出p ，则称p 是q 的必要不充分条件（3）p 能推出q ，且q 能推出p ，记为p q ⇔，则称p 是q 的充要条件，也称,p q 等价（4）p 推不出q ，且q 推不出p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件4、如何判断两个条件的充分必要关系（1）通过命题手段，将两个条件用“若……，则……”组成命题，通过判断命题的真假来判断出条件能否相互推出，进而确定充分必要关系。
例如2:1;:10p x q x =-=，构造命题：“若1x =，则210x -=”为真命题，所以p q ⇒，但“若210x -=，则1x =”为假命题（x 还有可能为1-），所以q 不能推出p ；综上，p 是q 的充分不必要条件（2）理解“充分”，“必要”词语的含义并定性的判断关系① 充分：可从日常用语中的“充分”来理解，比如“小明对明天的考试做了充分的准备”，何谓“充分”？这意味着小明不需要再做任何额外的工作，就可以直接考试了。
在逻辑中充分也是类似的含义，是指仅由p 就可以得到结论q ，而不需要再添加任何说明与补充。
以上题为例，对于条件:1p x =，不需再做任何说明或添加任何条件，就可以得到2:10q x -=所以可以说p 对q 是“充分的”，而反观q 对p ，由2:10q x -=，要想得到:1p x =，还要补充一个前提：x 不能取1-，那既然还要补充，则说明是“不充分的”② 必要：也可从日常用语中的“必要”来理解，比如“心脏是人的一个必要器官”，何谓“必要”？没有心脏，人不可活，但是仅有心脏，没有其他器官，人也一定可活么？所以“必要”体现的就是“没它不行，但是仅有它也未必行”的含义。
新高考数学 A版讲义：第4节 充分条件与必要条件
第4节 充分条件与必要条件要点一： 充分条件与必要条件思考 若p 是q 的充分条件，这样的条件p 唯一吗？答案 不唯一．例如“x >1”是“x >0”的充分条件，p 可以是“x >2”“x >3”或“2<x <3”等．一、充分条件的判断例1 (1)下列命题中，p 是q 的充分条件的是________． ①p ：(x －2)(x －3)＝0，q ：x －2＝0；②p ：两个三角形面积相等，q ：两个三角形全等； ③p ：m <－2，q ：方程x 2－x －m ＝0无实根． 答案 ③解析 ①∵(x －2)(x －3)＝0，∴x ＝2或x ＝3，不能推出x －2＝0.∴p 不是q 的充分条件． ②∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p 不是q 的充分条件． ③∵m <－2，∴12＋4m <0，∴方程x 2－x －m ＝0无实根，∴p 是q 的充分条件． (2)“a >2且b >2”是“a ＋b >4，ab >4”的________条件． 答案 充分解析 由a >2且b >2⇒a ＋b >4，ab >4，∴是充分条件． 反思感悟 充分条件的判断方法(1)判定p 是q 的充分条件要先分清什么是p ，什么是q ，即转化成p ⇒q 问题．(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p 构成的集合为A ，q 构成的集合为B ，A ⊆B ，则p 是q 的充分条件． 跟踪训练1 “x >2”是“x 2>4”的________条件． 答案 充分解析 x >2⇒x 2>4，故x >2是x 2>4的充分条件．二、必要条件的判断例2 在以下各题中，分析p 与q 的关系： (1)p ：x >2且y >3，q ：x ＋y >5；(2)p ：一个四边形的四个角都相等，q ：四边形是正方形． 解 (1)由于p ⇒q ，故p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． (2)由于q ⇒p ，故q 是p 的充分条件，p 是q 的必要条件．反思感悟 (1)判断p 是q 的什么条件，主要判断若p 成立时，能否推出q 成立，反过来，若q 成立时，能否推出p 成立；若p ⇒q 为真，则p 是q 的充分条件，若q ⇒p 为真，则p 是q 的必要条件．(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x ∈A ”，条件乙“x ∈B ”，若A ⊇B ，则甲是乙的必要条件．跟踪训练2 分析下列各项中p 与q 的关系． (1)p ：α为锐角，q ：α＝45°. (2)p ：(x ＋1)(x －2)＝0，q ：x ＋1＝0.解 (1)由于q ⇒p ，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件． (2)由于q ⇒p ，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件． 三、充分条件与必要条件的应用例3 已知p ：实数x 满足3a <x <a ，其中a <0；q ：实数x 满足－2≤x ≤3.若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解 p ：3a <x <a ，即集合A ＝{x |3a <x <a }．q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}． 因为p ⇒q ，所以A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ≤3，a <0⇒－23≤a <0，所以a 的取值范围是－23≤a <0.延伸探究1．将本例中条件p 改为“实数x 满足a <x <3a ，其中a >0”，若p 是q 的必要条件，求实数a 的取值范围．解 p ：a <x <3a ，即集合A ＝{x |a <x <3a }．q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}． 因为q ⇒p ，所以B ⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a >3，a <－2，a >0⇒a ∈∅.2．将例题中的条件“q ：实数x 满足－2≤x ≤3”改为“q ：实数x 满足－3≤x ≤0”其他条件不变，求实数a 的取值范围．解 p ：3a <x <a ，其中a <0，即集合A ＝{x |3a <x <a }．q ：－3≤x ≤0，即集合B ＝{x |－3≤x ≤0}．因为p 是q 的充分条件，所以p ⇒q ，所以A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－3，a ≤0，a <0⇒－1≤a <0.所以a 的取值范围是－1≤a <0.反思感悟 充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．要点二：充要条件一般地，如果p ⇒q ，且q ⇒p ，那么称p 是q 的充分必要条件，简称充要条件，记作p ⇔q .一、充分、必要、充要条件的判断例1 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．(1)p ：数a 能被6整除，q ：数a 能被3整除； (2)p ：x >1，q ：x 2>1；(3)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是正三角形； (4)p ：|ab |＝ab ，q ：ab >0.解 (1)∵p ⇒q ，q 不能推出p ，∴p 是q 的充分不必要条件． (2)∵p ⇒q ，q 不能推出p ，∴p 是q 的充分不必要条件． (3)∵p 不能推出q ，q ⇒p ，∴p 是q 的必要不充分条件．(4)∵ab ＝0时，|ab |＝ab ，∴“|ab |＝ab ”不能推出“ab >0”，即p 不能推出q . 而当ab >0时，有|ab |＝ab ，即q ⇒p .∴p 是q 的必要不充分条件． 反思感悟 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p ，则q ”以及“若q ，则p ”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断．(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p 1⇒p 2⇒…⇒p n ，可得p 1⇒p n ；充要条件也有传递性．跟踪训练1 已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0，且ab >0”的________条件． 答案 充要解析 因为a >0，b >0，所以a ＋b >0，ab >0，充分性成立；因为ab >0，所以a 与b 同号，又a ＋b >0，所以a >0且b >0，必要性成立．故“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的充要条件．二、充要条件的证明例2 求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 证明 充分性：因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－a －b ，代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0， 得ax 2＋bx －a －b ＝0，即(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0.所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1. 必要性：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，所以x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0. 所以a ×12＋b ×1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.故关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 延伸探究求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，有一正根和一负根的充要条件是ac <0.证明 必要性：由于方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根，所以Δ＝b 2－4ac >0，x 1·x 2＝ca<0，所以ac <0. 充分性：由ac <0可得b 2－4ac >0及x 1·x 2＝ca <0，所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根． 反思感悟 充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p 是q 的充要条件，首先要明确p 是条件，q 是结论；其次推证p ⇒q 是证明充分性，推证q ⇒p 是证明必要性．(2)集合思想：记p ：A ＝{x |p (x )}，q ：B ＝{x |q (x )}，若A ＝B ，则p 与q 互为充要条件． 跟踪训练2 已知a ，b 是实数，求证：a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2－b 2＝1. 证明 充分性：若a 2－b 2＝1成立，则a 4－b 4－2b 2＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)－2b 2＝a 2＋b 2－2b 2＝a 2－b 2＝1， 所以a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1的充分条件．必要性：若a 4－b 4－2b 2＝1成立，则a 4－(b 2＋1)2＝0，即(a 2＋b 2＋1)(a 2－b 2－1)＝0. 因为a ，b 为实数，所以a 2＋b 2＋1≠0，所以a 2－b 2－1＝0，即a 2－b 2＝1. 综上可知，a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2－b 2＝1. 三、充要条件的应用例3 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件， 即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}． 延伸探究1．若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ， 所以AB .所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.解不等式组得m >9或m ≥9，所以m ≥9，即实数m 的取值范围是m ≥9.2．本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解 因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝1－m ，10＝1＋m ，m 不存在．故不存在实数m ，使得p 是q 的充要条件．反思感悟 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．跟踪训练3 已知p ：x <－2或x >3，q ：4x ＋m <0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 设A ＝{x |x <－2或x >3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 4， 因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，所以－m4≤－2，即m ≥8.所以m 的范围为{m |m ≥8}．充分条件与必要条件1．使x >3成立的一个充分条件是( ) A ．x >4 B ．x >0 C ．x >2 D ．x <2 答案 A解析 只有x >4⇒x >3，其他选项均不可推出x >3. 2．使x >1成立的一个必要条件是( ) A ．x >0 B ．x >3 C ．x >2 D ．x <2 答案 A解析 只有x >1⇒x >0，其他选项均不可由x >1推出，故选A. 3．下列p 是q 的必要条件的是( ) A ．p ：a ＝1，q ：|a |＝1 B ．p ：－1<a <1，q ：a <1 C ．p ：a <b ，q ：a <b ＋1 D ．p ：a >b ，q ：a >b ＋1 答案 D解析 要满足p 是q 的必要条件，即q ⇒p ，只有q ：a >b ＋1⇒q ：a －b >1⇒p ：a >b ，故选D. 4．下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的是( ) A ．若1x ＝1y ，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2答案 A解析 B 项中，x 2＝1⇒x ＝1或x ＝－1；C 项中，当x ＝y <0时，x ，y 无意义；D 项中，当x <y <0⇒x 2>y 2，所以B ，C ，D 中p 不是q 的充分条件． 5．下列命题中，p 是q 的充分条件的是( ) A ．p ：a 是无理数，q ：a 2是无理数B ．p ：四边形为等腰梯形，q ：四边形对角线相等C ．p ：x >0，q ：x ≥1D ．p ：a >b ，q ：ac 2>bc 2 答案 B6．下列说法不正确的是________．(只填序号) ①“x >5”是“x >4”的充分条件；②“xy ＝0”是“x ＝0且y ＝0”的充分条件； ③“－2<x <2”是“x <2”的充分条件．答案 ②解析 ②中由xy ＝0不能推出x ＝0且y ＝0，则②不正确；①③正确．7．条件p ：5－x <0，条件q ：x >a ，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是__________． 答案 {a |a ≤5}解析 p ：x >5，若p 是q 的充分条件，则p ⇒q ，也就是说，p 对应集合是q 对应集合的子集，所以a ≤5. 8．下列式子：①a <0<b ；②b <a <0；③b <0<a ；④0<b <a .其中能使1a <1b 成立的充分条件有______．(只填序号)答案 ①②④解析 当a <0<b 时，1a <0<1b ；当b <a <0时，1a <1b <0；当b <0<a 时，1b <0<1a ；当0<b <a 时，0<1a <1b，所以能使1a <1b 成立的充分条件有①②④.9．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件： (1)在△ABC 中，p ：A >B ，q ：BC >AC ； (2)p ：a ＝3，q ：(a ＋2)(a －3)＝0； (3)p ：a <b ，q ：ab<1.解 在(1)中，由大角对大边，且A >B 知BC >AC ，反之也正确，所以p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件；在(2)中，若a ＝3，则(a ＋2)(a －3)＝0，但(a ＋2)(a －3)＝0不一定a ＝3，所以p 是q 的充分条件但不是必要条件；在(3)中，当a ＝－2，b ＝－1时，a b ＝2>1；当a ＝2，b ＝－1时，ab ＝－2<1，所以p 既不是q的充分条件，也不是必要条件．10．(1)是否存在实数m ，使2x ＋m <0是x <－1或x >3的充分条件？ (2)是否存在实数m ，使2x ＋m <0是x <－1或x >3的必要条件？ 解 (1)欲使2x ＋m <0是x <－1或x >3的充分条件，则只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2⊆{x |x <－1或x >3}，即只需－m2≤－1，所以m ≥2.故存在实数m ≥2，使2x ＋m <0是x <－1或x >3的充分条件．(2)欲使2x ＋m <0是x <－1或x >3的必要条件，则只要{x |x <－1或x >3}⊆⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2， 这是不可能的．故不存在实数m ，使2x ＋m <0是x <－1或x >3的必要条件．11．对任意实数a ，b ，c ，下列命题中，真命题是( ) A ．“ac >bc ”是“a >b ”的必要条件 B ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件 C ．“ac >bc ”是“a >b ”的充分条件 D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件 答案 B解析 “a ＝b ”⇒“a －b ＝0”⇒“(a －b )c ＝0”⇒“ac ＝bc ”，∴“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件．12．已知集合A ＝{x ∈R |－1<x <3}，B ＝{x ∈R |－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥2 B ．m ≤2 C ．m >2 D ．－2<m <2答案 A解析 因为x ∈B 成立的一个充分条件是x ∈A ， 所以A ⊆B ，所以3≤m ＋1，即m ≥2.13．若A ＝{x |a <x <a ＋2}，B ＝{x |x <－1或x >3}，且A 是B 的充分条件，则实数a 的取值范围为_______________． 答案 {a |a ≤－3，或a ≥3} 解析 因为A 是B 的充分条件， 所以A ⊆B ，又A ＝{x |a <x <a ＋2}，B ＝{x |x <－1或x >3}． 因此a ＋2≤－1或a ≥3，所以实数a 的取值范围是{a |a ≤－3，或a ≥3}．14．已知条件p ：x <－1或x >3，条件q ：x <－m ＋1或x >m ＋1(m >0)，若条件p 是条件q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________． 答案 {m |0<m <2}解析 由题意，设集合A ＝{x |x <－1或x >3}，B ＝{x |<－m ＋1或x >m ＋1}， 因为条件p 是条件q 的充分不必要条件，即集合A 是集合B 的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＋1≥－1，m ＋1<3或⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋1>－1，m ＋1≤3，解得m <2，又m >0，所以实数m 的取值范围是0<m <2.15．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 答案 A解析 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇏丙， 如图．综上，有丙⇒甲，但甲⇏丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．16．若p ：－2<a <0,0<b <1；q ：关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的不等正根，则p 是q 的什么条件？解 若a ＝－1，b ＝12，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p ⇏q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的不等正根，不妨设这两个根为x 1，x 2，且0<x 1<x 2<1，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b . 于是0<－a <2,0<b <1， 即－2<a <0,0<b <1，故q ⇒p .所以p 是q 的必要条件，但不是充分条件．充要条件1．设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案A解析当x＝1时，x3＝x成立．若x3＝x，x(x2－1)＝0，得x＝－1,0,1；不一定得到x＝1. 2．设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案A解析因为a，b∈R，(a－b)a2<0，可得a<b，由a<b，即a－b<0，可得(a－b)a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可以判断，若a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件．3．已知四边形ABCD，则“A，B，C，D四点共圆”是“∠A＋∠C＝180°”成立的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案C4．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A 是D的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案A解析由条件，知D⇒C⇔B⇒A，即D⇒A，但A⇏D，故选A.5．已知a，b是实数，则“ab＝0”是“a2＋b2＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案B解析ab＝0推不出a2＋b2＝0，由a2＋b2＝0可得a＝b＝0，推出ab＝0，故选B.6．设a ，b 是实数，则“a ＋b >0”是“ab >0”的____________条件．答案 既不充分又不必要解析 若a ＋b >0，取a ＝3，b ＝－2，则ab >0不成立；反之，若ab >0，取a ＝－2，b ＝－3，则a ＋b >0也不成立，因此“a ＋b >0”是“ab >0”的既不充分又不必要条件．7．若“x ≤－1，或x ≥1”是“x <a ”的必要不充分条件，则实数a 的最大值为________． 答案 －1解析 “x ≤－1，或x ≥1”是“x <a ”的必要不充分条件，则由“x <a ”可以推出“x ≤－1，或x ≥1”，但由“x ≤－1，或x ≥1”推不出“x <a ”，所以a ≤－1，所以实数a 的最大值为－1.8．m ＝1是函数y ＝245m m x －＋为二次函数的________条件．答案 充分不必要解析 当m ＝1时，函数y ＝x 2，为二次函数．反之，当函数为二次函数时，m 2－4m ＋5＝2，即m ＝3或m ＝1，所以m ＝1是y ＝245m m x －＋为二次函数的充分不必要条件．9．设x ，y ∈R ，求证：|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0.证明 ①充分性：如果xy ≥0，则有xy ＝0和xy >0两种情况．当xy ＝0时，不妨设x ＝0，则|x ＋y |＝|y |，|x |＋|y |＝|y |，∴等式成立．同理，当y ＝0，或x ＝0且y ＝0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |，∴当xy ＝0时，等式成立，当xy >0时，即x >0，y >0或x <0，y <0，又当x >0，y >0时，|x ＋y |＝x ＋y ，|x |＋|y |＝x ＋y ，∴等式成立．当x <0，y <0时，|x ＋y |＝－(x ＋y )，|x |＋|y |＝－x －y ，∴等式成立．总之，当xy ≥0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．②必要性：若|x ＋y |＝|x |＋|y |且x ，y ∈R ，得|x ＋y |2＝(|x |＋|y |)2，即x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋y 2＋2|x |·|y |，∴|xy |＝xy ，∴xy ≥0.综上可知，xy ≥0是等式|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件．10．设命题p ：12≤x ≤1；命题q ：a ≤x ≤a ＋1，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解 设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤1，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}， 由p 是q 的充分不必要条件，可知A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12， 故所求实数a 的取值范围是0≤a ≤12.11．“函数y ＝x 2－2ax ＋a 的图象在x 轴的上方”是“0≤a ≤1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 A解析 函数y ＝x 2－2ax ＋a 的图象在x 轴的上方，则Δ＝4a 2－4a <0，解得0<a <1，由集合的包含关系可知选A.12．若非空集合A ，B ，C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，则( )A ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分不必要条件B ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的必要不充分条件C ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充要条件D ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的既不充分又不必要条件答案 B解析 由A ∪B ＝C 知，x ∈A ⇒x ∈C ，x ∈C ⇏x ∈A .所以x ∈C 是x ∈A 的必要不充分条件．13．函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝________.答案 －2解析 当m ＝－2时，y ＝x 2－2x ＋1，其图象关于直线x ＝1对称，反之也成立，所以函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2.14．k >4，b <5是一次函数y ＝(k －4)x ＋b －5的图象交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴的________条件．答案 充要解析 ∵k >4时，k －4>0，b <5时，b －5<0，∴直线y ＝(k －4)x ＋b －5交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴；y ＝(k －4)x ＋(b －5)与y 轴交于(0，b －5)与x 轴交于⎝⎛⎭⎪⎫5－b k －4，0， 由交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴可知⎩⎪⎨⎪⎧ b －5<0，5－b k －4>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b <5，k >4.15．设m ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0有整数根的充要条件是m ＝________. 答案 3或4解析 x ＝4±16－4m 2＝2±4－m ，因为x 是整数， 即2±4－m 为整数，所以4－m 为整数，且m ≤4，又m ∈N *，取m ＝1,2,3,4.验证可得m ＝3,4符合题意，所以m ＝3,4时可以推出一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0有整数根．16．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．解 当a ＝0时，x ＝－12符合题意． 当a ≠0，令f (x )＝ax 2＋2x ＋1.∵f (0)＝1>0，∴若a >0，则－2a <0，1a>0，∴只要Δ＝4－4a ≥0，即a ≤1，∴0<a ≤1. 若a <0，则1a<0，Δ＝4－4a >0， 方程恒有两异号实数根． 综上所述，a ≤1为所求．。
高考数学知识点：充要条件知识点
高考数学知识点：充要条件知识点（1）先看“充分条件和必要条件”当命题“若p则q”为真时，可表示为p=>q，则我们称p为q的充分条件，q是p的必要条件。
那个地点由p=>q，得出p为q的充分条件是容易明白得的。
但什么缘故说q是p的必要条件呢?事实上，与“p=>q”等价的逆否命题是“非q=>非p”。
它的意思是：若q不成立，则p一定不成立。
这确实是说，q关于p是必不可少的，因而是必要的。
（2）再看“充要条件”若有p=>q，同时q=>p,则p既是q的充分条件，又是必要条件。
简称为p是q的充要条件。
记作pq回忆一下初中学过的“等价于”这一概念；假如从命题A成立能够推出命题B成立，反过来，从命题B成立也能够推出命题A成立，那么称A 等价于B，记作AB。
“充要条件”的含义，实际上与“等价于”的含义完全相同。
也确实是说，假如命题A等价于命题B，那么我们说命题A成立的充要条件是命题B成立；同时有命题B成立的充要条件是命题A成立。
（3）定义与充要条件数学中，只有A是B的充要条件时，才用A去定义B，因此每个定义中都包含一个充要条件。
如“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这一定义确实是说，一个四边形为平行四边形的充要条件是它的两组对边分别平行。
观看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有打算的先安排与幼儿生活接近的，能明白得的观看内容。
随机观看也是不可少的，是相当有味的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，小孩一边观看，一边提问，爱好专门浓。
我提供的观看对象，注意形象逼真，色彩鲜亮，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观看，保证每个幼儿看得到，看得清。
看得清才能说得正确。
在观看过程中指导。
我注意关心幼儿学习正确的观看方法，即按顺序观看和抓住事物的不同特点重点观看，观看与说话相结合，在观看中积存词汇，明白得词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观看雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么模样的，有的小孩说：乌云像大海的波浪。
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这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?
（3）定义与充要条件
数学中，只有A是B的充要条件时，才用A去定义B，因此每个定义中都包含一个充要条件。如“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这一定义就是说，一个四边形为平行四边形的充要条件是它的两组对边分别平行。
观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。
（2）再ห้องสมุดไป่ตู้“充要条件”
若有p=>q，同时q=>p,则p既是q的充分条件，又是必要条件。简称为p是q的充要条件。记作pq
回忆一下初中学过的“等价于”这一概念；如果从命题A成立可以推出命题B成立，反过来，从命题B成立也可以推出命题A成立，那么称A等价于B，记作AB。“充要条件”的含义，实际上与“等价于”的含义完全相同。也就是说，如果命题A等价于命题B，那么我们说命题A成立的充要条件是命题B成立；同时有命题B成立的充要条件是命题A成立。
高考数学知识点：充要条件知识点
（1）先看“充分条件和必要条件”
当命题“若p则q”为真时，可表示为p=>q，则我们称p为q的充分条件，q是p的必要条件。这里由p=>q，得出p为q的充分条件是容易理解的。
但为什么说q是p的必要条件呢?
事实上，与“p=>q”等价的逆否命题是“非q=>非p”。它的意思是：若q不成立，则p一定不成立。这就是说，q对于p是必不可少的，因而是必要的。
“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”。“仅当”表示“必要”。
（4）一般地，定义中的条件都是充要条件，判定定理中的条件都是充分条件，性质定理中的“结论”都可作为必要条件。
唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。