布尔函数参考答案

湖北大学研究生课程考试参考答案及评分标准

一、概念题参考答案及评分标准：

1.设2F 是二元有限域，n 为正整数，n F 2是2F 上的n 维向量空间，从n F 2到2F 的映射：22:F F f n →称为n 元布尔函数.

一个n 元布尔函数f 可以表示为2F 上的含n 个变元的多项式:

∑∈++++++=2

)1()1)(1)(,,(),,(22

112

1

21F a n n n

n i a x a x

a x a a a f x x x f

n i a

n a a

F a n x x x a a a f 212

2121),,(∑

∈=

.

这里()1

1n

i i i x a =++∏表示2F 中的加法运算，即模2的加法运算.形如上式的表示称

为布尔函数f 的小项表示.若将小项表示展开并合并同类项，则会得到如下形式的一个多项式：

n n n

j i i i i i n

j i j i

j i n

i i i n x x a x x a

x x a

x a a x x x f d d

1,11,1,1

02111),,(++++

+=∑∑∑≤<<≤≤<≤=

这里系数∈j i a ,2F .

评分标准：答出n 元布尔函数的定义得5分，答出其多项式表示得5分.

2布尔函数的安全性指标主要有：平衡性、代数次数、差分均匀度、非线性度、相关免疫阶、弹性阶和代数免疫度等等.

平衡性：一个n 元布尔函数是平衡的，当且仅当其真值表中0和1的个数相同，也就是该布尔函数的Hamming 重量为12n -.

代数次数：密码体制中使用的布尔函数通常具有高的代数次数. 差分均匀度：设是一个n 元布尔函数，其差分均匀度定义为

2

220max max {|()()}n n f F a F x F f x a f x βδβ∈≠∈=∈+-=.

非线性度：f 的非线性度()NL f 定义为f 和所有仿射函数的最小Hamming 距离：

()min (,)min ()n

n

l A l A NL f d f l wt f l ∈∈==-.

相关免疫阶：设是一个n 元布尔函数，其中是上独立且均匀分布的随机变量，如果与中任意个变元统计独立，则称是m 阶相关免疫函数。 评分标准：每个指标2分，答出其中5个得10分.

3.（10分）设1m ≥，2m n =，0r m ≤≤.线性空间2n F 中的子集合

2(,){|,deg }n f m RM r m c F f B f r =∈∈≤

叫做r 阶的二元Reed-Muller 码 其中m B 为全体布尔函数的集合

二、证明题答题要点及评分标准：

1.（1）（10分）根据循环Walsh 谱的定义,得到

2()()(1)

n

f x x f x F W ω

ω+∈=

-∑

22{|()}{|()}n n x F f x x x F f x x ωω=∈=-∈≠

22()n t f x ωω=-+

（2）（10分）根据循环Walsh 谱的定义,得到

22()n

f

F W

ωω∈∑222()()(1)

(1)

n n

n

f x x f y y F x F y F ω

ω

ω++∈∈∈=

--∑∑∑

222()()()

(1)(1)n n n

f x f y x y x F y F F ωω++∈∈∈⎛⎫=

-- ⎪ ⎪⎝⎭

∑∑∑ 2222n

n n x y F =∈=

=∑

倒数第二个等号成立是因为2(1)n

x

F ω

ω∈-∑仅当0x =时取值2n ，其他时候取值均为

0.

2.证明：定义()f x 的对偶函数()f x 如下：

()()()220,2;

1,2,

n

f x n

f x W f x W ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩

运用Walsh 变换的性质得出()2

2n f W a =±，即()f x 也是Bent 函数.（4分） 再证明n 元布尔函数()f x 是Bent 函数当且仅当矩阵

()()222

,,,[2]n n n f f u v F u v F B h u v W u v -∈∈'==+⎢⎥⎣⎦

是一个n n 22⨯的Hadamard 矩阵.（6分） 最后证明原命题：

（必要性）()f x 是Bent 函数则()f x 也是Bent 函数. 通过()()

2

21n u v

f W u v -++=-，得出矩阵

()()

()

()2

2

22

,,,,[1][2]n n n n

f u v f f u v F u v F u v F H h u v W u v B -

+∈∈∈==-=+=⎢⎥⎣⎦

是Hadamard 矩阵；（5分）

（充分性）由()()()

2

2,,,[1]n n f x y x y F u v F H h x y +∈∈==-⎢⎥⎣⎦.

得出

()

()()

()212n f x f x y n x F y δ++∈-=∑

将上式两边同时乘以()1y u

⋅-，并对y 求和得到()2

2n

f

W u =即()2

2n f W u =±，则()f x 是Bent 函数. （5分）

3.证明：先利用McEliece 定理，证明若()f x 是相关免疫函数，1m n ≤-，则

()110

mod 2

n m m d f W a --⎢⎥

++⎢⎥

⎣⎦

≡ ,对任意2n a F ∈.（5分）

于是

()2

1

max 2n m f a F W a +∈≥ 再结合()2

11

()2max 2n

n f a F NL f W a -∈=-即得 1()22n m NL f -≤-.（5分）