布尔函数参考答案

湖北大学研究生课程考试参考答案及评分标准
一、概念题参考答案及评分标准：
1.设2F 是二元有限域，n 为正整数，n F 2是2F 上的n 维向量空间，从n F 2到2F 的映射：22:F F f n →称为n 元布尔函数.
一个n 元布尔函数f 可以表示为2F 上的含n 个变元的多项式:
∑∈++++++=2
)1()1)(1)(,,(),,(22
112
1
21F a n n n
n i a x a x
a x a a a f x x x f
n i a
n a a
F a n x x x a a a f 212
2121),,(∑
∈=
.
这里()1
1n
i i i x a =++∏表示2F 中的加法运算，即模2的加法运算.形如上式的表示称
为布尔函数f 的小项表示.若将小项表示展开并合并同类项，则会得到如下形式的一个多项式：
n n n
j i i i i i n
j i j i
j i n
i i i n x x a x x a
x x a
x a a x x x f d d
1,11,1,1
02111),,(++++
+=∑∑∑≤<<≤≤<≤=
这里系数∈j i a ,2F .
评分标准：答出n 元布尔函数的定义得5分，答出其多项式表示得5分.
2布尔函数的安全性指标主要有：平衡性、代数次数、差分均匀度、非线性度、相关免疫阶、弹性阶和代数免疫度等等.
平衡性：一个n 元布尔函数是平衡的，当且仅当其真值表中0和1的个数相同，也就是该布尔函数的Hamming 重量为12n -.
代数次数：密码体制中使用的布尔函数通常具有高的代数次数. 差分均匀度：设是一个n 元布尔函数，其差分均匀度定义为
2
220max max {|()()}n n f F a F x F f x a f x βδβ∈≠∈=∈+-=.
非线性度：f 的非线性度()NL f 定义为f 和所有仿射函数的最小Hamming 距离：
()min (,)min ()n
n
l A l A NL f d f l wt f l ∈∈==-.
相关免疫阶：设是一个n 元布尔函数，其中是上独立且均匀分布的随机变量，如果与中任意个变元统计独立，则称是m 阶相关免疫函数。

评分标准：每个指标2分，答出其中5个得10分.
3.（10分）设1m ≥，2m n =，0r m ≤≤.线性空间2n F 中的子集合
2(,){|,deg }n f m RM r m c F f B f r =∈∈≤
叫做r 阶的二元Reed-Muller 码 其中m B 为全体布尔函数的集合
二、证明题答题要点及评分标准：
1.（1）（10分）根据循环Walsh 谱的定义,得到
2()()(1)
n
f x x f x F W ω
ω+∈=
-∑
22{|()}{|()}n n x F f x x x F f x x ωω=∈=-∈≠
22()n t f x ωω=-+
（2）（10分）根据循环Walsh 谱的定义,得到
22()n
f
F W
ωω∈∑222()()(1)
(1)
n n
n
f x x f y y F x F y F ω
ω
ω++∈∈∈=
--∑∑∑
222()()()
(1)(1)n n n
f x f y x y x F y F F ωω++∈∈∈⎛⎫=
-- ⎪ ⎪⎝⎭
∑∑∑ 2222n
n n x y F =∈=
=∑
倒数第二个等号成立是因为2(1)n
x
F ω
ω∈-∑仅当0x =时取值2n ，其他时候取值均为
0.
2.证明：定义()f x 的对偶函数()f x 如下：
()()()220,2;
1,2,
n
f x n
f x W f x W ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩
运用Walsh 变换的性质得出()2
2n f W a =±，即()f x 也是Bent 函数.（4分） 再证明n 元布尔函数()f x 是Bent 函数当且仅当矩阵
()()222
,,,[2]n n n f f u v F u v F B h u v W u v -∈∈'==+⎢⎥⎣⎦
是一个n n 22⨯的Hadamard 矩阵.（6分） 最后证明原命题：
（必要性）()f x 是Bent 函数则()f x 也是Bent 函数. 通过()()
2
21n u v
f W u v -++=-，得出矩阵
()()
()
()2
2
22
,,,,[1][2]n n n n
f u v f f u v F u v F u v F H h u v W u v B -
+∈∈∈==-=+=⎢⎥⎣⎦
是Hadamard 矩阵；（5分）
（充分性）由()()()
2
2,,,[1]n n f x y x y F u v F H h x y +∈∈==-⎢⎥⎣⎦.
得出
()
()()
()212n f x f x y n x F y δ++∈-=∑
将上式两边同时乘以()1y u
⋅-，并对y 求和得到()2
2n
f
W u =即()2
2n f W u =±，则()f x 是Bent 函数. （5分）
3.证明：先利用McEliece 定理，证明若()f x 是相关免疫函数，1m n ≤-，则
()110
mod 2
n m m d f W a --⎢⎥
++⎢⎥
⎣⎦
≡ ,对任意2n a F ∈.（5分）
于是
()2
1
max 2n m f a F W a +∈≥ 再结合()2
11
()2max 2n
n f a F NL f W a -∈=-即得 1()22n m NL f -≤-.（5分）
类似的，若()f x 是m 阶弹性函数
()220
mod 2
n m m d f W a --⎢⎥++⎢⎥
⎣⎦
≡，对任意2n a F ∈.（5分）
再结合()211
()2max 2n
n f a F NL f W a -∈=-即得 11()22n m NL f -+≤-.（5分）
4. 证明：记T 为所有代数次数不超过2n ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
的n 元单项式构成的集合；
令{}|Tf fX X T =∈,则
222n n i n T Tf i ⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎛⎫
+=> ⎪⎝⎭
∑，
（5分） 注意到T 中所有元素线性无关，从而
0X
Y X T
Y T
a
X a fY ∈∈+=∑∑，
其中X a ，2Y a F ∈,且存在某个0Y a ≠.令
X X T
h a X ∈=∑，Y Y T
g a Y ∈=∑，
则
0f gh +=，（5分）
其中0,deg ,deg 2n g g h ⎡⎤
≠≤⎢⎥⎢⎥
.
于是，若0h =，则0fg =，否则()10f h +=，所以
()2n AI f ⎡⎤
≤⎢⎥⎢⎥
（5分）.
因为f 是2n F 到2F 的映射，总有()10f f +=，于是
()deg AI f f ≤（5分）。