二次函数同步作业2

二次函数同步作业（2）

函数()k h x a y +-=2

的图象与性质

1． 已知函数()9232

+--=x y 。

（1） 确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2） 当x ＝ 时，抛物线有最 值，是 。

（3） 当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小。 （4） 求出该抛物线与x 轴的交点坐标； （5） 求出该抛物线与y 轴的交点坐标；

（6） 该函数图象可由23x y -=的图象经过怎样的平移得到的？

2． 已知函数()412

-+=x y 。

（1） 指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2） 若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ，求△ABC 的面积； （3） 指出该函数的最值和增减性；

（4） 若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式； （5） 该抛物线经过怎样的平移能经过原点。

（6） 画出该函数图象，并根据图象回答：当x 取何值时，函数值大于0；当x 取何值时，函数值小

于0。

函数c bx ax y ++=2

的图象和性质

1．抛物线942

++=x x y 的对称轴是 。

2．抛物线251222+-=x x y 的开口方向是 ，顶点坐标是 。

3．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x ＝－2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 。

4．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1）12212+-=x x y ； （2）2832-+-=x x y ； （3）44

1

2-+-=x x y

5．把抛物线c bx x y ++=2的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是

532+-=x x y ，试求b 、c 的值。

x

6．把抛物线1422++-=x x y 沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。

7．某商场以每台2500元进口一批彩电。如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？

二次函数的对称轴、顶点、最值

（技法：如果解析式为顶点式()k h x a y +-=2

，则最值为k ；如果解析式为一般式c

bx ax y ++=2则最值为a

b a

c 442

-） A

1. 抛物线m m x x y -++=2242经过坐标原点，则m 的值为 。

2. 抛物线c bx x y ++=2的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ .

3. 抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

4. 若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )

5. 若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax ＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴

C.开口向下，对称轴平行于y 轴

D.开口向上，对称轴平行于y 轴

6. 已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －

1

4

的顶点的横坐标是2，则m 的值是_______. 7. 抛物线

322

-+=x x y 的对称轴是 。 8. 若二次函数332-+=mx x y 的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。

9. 当n ＝________，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)n

x ＋(m －n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.

10. 已知二次函数3222

++-=a ax x y ，当a 时，该函数y 的最小值为０？ 11. 已知二次函数m x x y +-=62的最小值为１，那么m ＝ 。

12. (易错题)已知二次函数1)1(2

-+-+=m x m mx y 有最小值为０，则m ＝ 。

13. 已知二次函数342

-+-=m x x y 的最小值为3，则m ＝ 。

14. 心理学家发现，学生对概念的接受能力y 和提出概念所用的时间x （单位：分）之间大体满足函数

关系式：436.21.02

++-=x x y （0≤x ≤30）。y 的值越大，表示接受能力越强。试根据关系式回答： （1） 若提出概念用10分钟，学生的接受能力是多少？ （2） 概念提出多少时间时？学生的接受能力达到最强？

B

15. 某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示。图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系是

4

5

22

+

+-=x x y 。请回答下列问题： （1） 柱子OA 的高度是多少米？

（2） 喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？ （3） 若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水

流不至于落在池外？

16. 体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线212

12

++-

=x x y 的一部分，根据关系式回答：

（1） 该同学的出手最大高度是多少？

（2） 铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？ （3） 该同学的成绩是多少？

17. 如图，正方形EFGH 的顶点在边长为a 的正方形ABCD 的边上，若AE ＝x ，正方形EFGH 的面积为y 。 （1） 求出y 与x 之间的函数关系式；

（2） 正方形EFGH 有没有最大面积？若有，试确定E 点位置；若没有，说明

理由。

二次函数的增减性

18. 二次函数5632

+-=x x y ，当1>x 时，y 随x 的增大而 ；当1

而 ；当1=x 时，函数有最 值是 。

19. 已知函数542

+-=mx x y ，当2->x 时，y 随x 的增大而增大；当2-

20. 已知二次函数1)1(2

++-=m x y ，当1≥x 时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是 .

21. 已知二次函数2

5

3212++-

=x x y 的图象上有三点)(),,(),,(332211y x C y x B y x A ，且

3213x x x <<<，则321,,y y y 的大小关系为 .

二次函数的平移

技法：只要两个函数的a 相同，就可以通过平移重合。将二次函数一般式化为顶点式()k h x a y +-=2

，平移规律：k ，正上负下，h ，正右负左.

22. 抛物线2

2

3x y -

=向左平移３个单位，再向下平移４个单位，所得到的抛物线的关系式 为 。

23. 抛物线22x y =， ，可以得到3)4(22-+=x y 。 24. 将抛物线12+=x y 向左平移２个单位，再向下平移３个单位，所得到的抛物线的关系式 为 。

25. 如果将抛物线122-=x y 的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。 26. 将抛物线c bx ax y ++=2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到1422--=x x y 则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ .

27. 将抛物线y ＝ax 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为____ _. 函数的交点

28. 抛物线372++=x x y 与直线92+=x y 的交点坐标为 。 29. 直线17+=x y 与抛物线532++=x x y 的图象有 个交点。 函数的的对称

30. 抛物线x x y 422-=关于y 轴对称的抛物线的关系式为 。 31. 抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称的抛物线为3422+-=x x y ， 则a= ,b = ,c = . 函数解析式的求法 技法：

一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式c bx ax y ++=2

，然后解三元方程组求解； 1. 已知二次函数的图象经过A （0，3）、B （1，3）、C （－1，1）三点，求该二次函数的解析式。

2. 已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点且BC ＝5，求该二次函数的解析式。

二、已知抛物线的顶点坐标时和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式()k h x a y +-=2

求解。 3. 已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。

4. 已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P （2，0）点，该二次函数的解析式 为 。 三、（选学）已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式))((21x x x x a y --=。

5. 的图象经过A （－1，0），B （3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。

B

6. 已知x ＝1时，函数有最大值5，且图形经过点（0，－3），则该二次函数的解析式 。

7. 抛物线c bx x y ++=2

2与x 轴交于（2，0）、（－3，0），则该二次函数的解析式 。 8. 若抛物线c bx ax y ++=2

的顶点坐标为（1，3），且与2

2x y =的开口大小相同，方向相反，则

该二次函数的解析式 。

9. 抛物线c bx x y ++=22与x 轴交于（－1，0）、（3，0），则b ＝ ，c ＝ . 10. 若抛物线与x 轴交于(2，0)、（3，0），与y 轴交于(0，－4)，则该二次函数的解析式 。

C

11. 已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于(2，0)、（4，0），顶点到x 轴的距离为3，求函

数的解析式。

函数的图象特征与a 、b 、c 的关系

技法：对于c bx ax y ++=2的图象特征与a 、b 、c 的关系为：①抛物线开口由a 定，上正下负； ②对称轴位置a 、b 定，左同右异，b 为0时是y 轴； ③与y 轴的交点由c 定，上正下负，c 为0时过原点。

32. 已知抛物线c bx ax y ++=2的图象如图所示，则a 、b 、c 的符号为（ ） Ａ.0,0,0>>>c b a B.0,0,0=>>c b a

C.0,0,0=<>c b a

D.0,0,0<<>c b a

33. 已知抛物线c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A ．0>++c b a B ．a b 2-> C ．0>+-c b a D ．0

34. 抛物线c bx ax y ++=2中，b ＝4a ，它的图象如图，有以下结论：①0>c ；②0>++c b a ③0>+-c b a ④042

<-ac b ⑤04；其中正确的为（ ）

A ．①②

B ．①④

C ．①②⑥

D ．①③⑤

35. 当0

36. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是图所示的( )

37.

bx ＋

( )

38. 已知抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则有( )

A.a>0，b>0

B.a>0，c>0

C.b>0，c>0

D.a 、b 、c 都小于0 39. .二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么abc ，b 2－4ac ，2a ＋b ，a

C x A

y O x B y O x

C y O x

D y O

＋b ＋c 这四个代数式中，值为正数的有( )

A.4个

B.3个

C.2个

D.1个

40. 在同一坐标系中，函数)(2

c a x

c y c ax y <=+=与图象可能是图所示的( 41. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ， 图象如图所示，则反比例函数x

ab

y =的图象的两个分支分别在第 象限。 42. 反比例函数x

k y =

的图象在一、三象限，则二次函数12

2--=x k kx y 的图象大致为图中的（ ）

43. 反比例函数x

k

y =

中，当0>x 时，y 随x 的增大而增大，则二次函数kx kx y 22+=的图象大致为图中的（ ）

44.

已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋

c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①a ，b 同号； ②当x ＝1和x ＝3时，函数值相同； ③4a ＋b ＝0; ④当y ＝－2时，x 的值只能取0； 其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

45. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线bc ax y +=不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C 第三象限． D ．第四象限

二次函数同步作业（3）

1. 某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图：

A

B

C D

A

B

C D

A B C D

（1） 根据如图直角坐标系求该抛物线的解析式； （2） 若菜农身高为1.60米，则在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有几米？（精确到0.01

米）

2. 在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离为6米时，

球到达最高点，此时球高3米，已知球门高为2.44米，问能否射中球门？

3. 已知二次函数的图象与x 轴交于A （－2，0）、B （3，0）两点，且函数有最大值是2。 （1） 求二次函数的图象的解析式；

（2） 设次二次函数的顶点为P ，求△ABP 的面积。

4. 如图：

（1） 求该抛物线的解析式；

（2） 根据图象回答：当x 为何范围时，该函数值大于0。

5. 已知抛物线经过A （－3，0）、B （0，3）、C （2，0）三点。 （1） 求这条抛物线的解析式；

（2） 如果点D （1，m ）在这条抛物线上，求m 值和点D 关于这条抛物线对称轴的对称点E 的坐标，

并求出tan ∠ADE 的值。

6、如图，某建筑物从10m 高的窗口A 用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状，如果抛物线的最高点M

离墙1m ，离地面

3

40

m ，求水流落点B 离墙的距离OB 的长。

7、已知某绿色蔬菜生产基地收获的大蒜，从四月一日起开始上市的30天内，大蒜每10千克的批发价y （元）是上市时间x (天)

（1） 求y 与x （2） 大蒜每10千克的批发价为10.8元时，问此时是在上市的多少天？

二次函数与x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）

技法一：实质就是y 为0，变为一元二次方程。由ac b 42

-的符号确定：当ac b 42

-＞０时，抛物线

与x 轴有两个交点；当ac b 42

-＝０时，抛物线与x 轴有一个交点；当ac b 42

-＜０时，抛物线与x

轴没有交点。

技法二：与y 轴的交点也叫在y 轴上的截距（可以为负）；实质就是x 为0时的函数值。对于一般式c bx ax y ++=2与y 轴的交点坐标为（0，c ）

。 1. 如果二次函数c x x y ++=42图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c ＝ （写一个即

可）

2. 二次函数322--=x x y 图象与x 轴交点之间的距离为 。

3. 抛物线y ＝－3x 2＋2x －1的图象与x 轴交点的个数是( )

A.没有交点

B.只有一个交点

C.有两个交点

D.有三个交点

4. 如图所示，二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象交x 轴于A 、B 两点， 交y 轴

于点C ， 则△ABC 的面积为( ) A.6 B.4 C.3 D.1

5. 已知抛物线y ＝5x 2

＋(m －1)x ＋m 与x 轴的两个交点在y 轴同侧，它们的距

离平方等于

49

25

，则m 的值为( ) A.－2 B.12 C.24 D.48

6. 已知抛物线的对称轴是x ＝－1，它与x 轴交点间的距离等于4，它在y 轴上的截距是－6，则它的

关系式是_____________.

7. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值永远为负值的条件是( )

A.a>0，b 2－4ac<0

B.a<0，b 2－4ac>0

C.a>0，b 2－4ac>0

D.a<0，b 2－4ac<0 8. 若二次函数242-++-=m x x y 的图象全在x 轴的下方，则m 的取值范围为 。 9. 若二次函数y ＝(m ＋5)x 2＋2(m ＋1)x ＋m 的图象全部在x 轴的上方，则m 的取值范围是_ _ 10. 已知抛物线822--=x x y ，（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x

轴的两个交点为A 、B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积。

B

11. 已知二次函数y ＝x 2－2(m －1)x ＋m 2

－2m －3，其中m 为实数.

(1)求证:不论m 取何实数，这个二次函数的图象与x 轴必有两个交点;

(2)设这个二次函数的图象与x 轴交于点A(x 1，0)，B(x 2，0)，且x 1、x 2的倒数和为2

3

，求这个二次函数的关系式.

二次函数应用 (一）经济策略性

A

1. 某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高

销售价格。经检验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件。假定每月销售件数y(件）是价格X 的一次函数. (1)试求Y 与X 的之间的关系式.

(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润=总收入－总成本）

2. 有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但

每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克

蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。

（1）设X天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于X的函数关系式。

（2）如果放养X天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于X的函数关系式。

（2）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额—收购成本—费用），最大利润是多少？

3.某商场批单价为25元的旅游鞋。为确定一个最佳的销售价格，在试销期采用多种价格进性销

售，经试验发现：按每双30元的价格销售时，每天能卖出60双；按每双32元的价格销售时，每天能卖出52双，假定每天售出鞋的数量Y（双）是销售单位X的一次函数。

（1）求Y与X之间的函数关系式；

（2）在鞋不积压，且不考虑其它因素的情况下，求出每天的销售利润W（元）与销售单价X之间的函数关系式；

（3）在图9所示的坐标系中，画出（2）中求出的函数图象草图，观察图象，指出销售价格定为多少元时，每天获得的销售利润最多？是多少？

B

4.某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售为100万件，为了获得更好的

效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x万元时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如表所示：

(1)求y与x的函数的关系式;

(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费,试写出年利润S(十万元)和x(十万元)的函数

关系式?

(3)如果投入的年广告费为10万至30万元,问广告费在范围内,公司获得的年利润随广告费的增大

而增大?

5.某公司推出了一种高效环保洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的

二产供销函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s 与t之间的关系）。

根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1） 由已知图象上的三点坐标，求累积利润s （万元）与销售时间t （月）之间的关系式； （2） 求截止到几个月末公司累积利润可达到30万元；

（3） 求第8个月公司所获利润是多少万元？

6. 启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量是10万件。为了获得更

好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x(万元)时，产品

的啊销售量将是原销售量的y 倍，且10

71071012++=

x x y ，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费：

（1） 试写出年利润S （万元）与广告费x （万元）的函数关系式，并计算广告费是多少元时，公司

获得的年利润最大，最大年利润是多少万元；

（2） 把（1）中的最大利润留出3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，

投资方式？写出每种投资方式所选的项目。

（二）压轴题

1. 已知抛物线y=ax 2

+bx+c 经过A （－1,0）、B （3,0）、C （0,3）三点，

（1） 求抛物线的解析式和顶点M 的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线。 （2） 若点（x 0,y 0）在抛物线上，且0≤x 0≤4,试写出y 0的取值范围。

（3） 设平行于y 轴的直线x=t 交线段BM 于点P （点P 能与

点M 重合，不能与点B 重合）交x 轴于点Q ，四边形AQPC 的面积为S 。

① 求S 关于t 的函数关系式以及自变量t 的取值范围； ② 求S 取得最大值进点P 的坐标；

③ 设四边形OBMC 的面积S /

,判断是否存在点P ，使得S

＝S /

,若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

2. 已知ABC △，904BAC AB AC BD ===∠，，是AC 边上的中线，分别以AC AB ，所在直

线为x 轴，y 轴建立直角坐标系（如图）．

（1）在BD 所在直线上找出一点P ，使四边形ABCP 为平行四边形，画出这个平行四边形，并简要叙述其过程；

（2）求直线BD 的函数关系式；

（3）直线BD 上是否存在点M ，使AMC △为等腰三角形？若存在，求点M 的坐标；若不存在，说明理由．

3. 如图，已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的象经过A (－1，0)、B (3，0)、N (2，3)三点，且与y 轴

交于点C 。

(1)求这个二次函数的解析式，并写出顶点M 及点C 的坐标；

(2)若直线y =kx ＋d 经过C 、M 两点，且与x 轴交于点D ，试证明四边形CDAN 是平行四边形；

O

x

y

(3)点P 是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P ，使以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由。

4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，点C 的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x

轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M 、N(点M 在点N 的上方). (1)求A 、B 两点的坐标；

(2)设△OMN 的面积为S ，直线l 运动时间为t 秒(0≤t≤6)，试求S 与t 的函数表达式；

(3)在题(2)的条件下，t 为何值时，S 的面积最大？最大面积是多少？

5. 如图，二次函数2

y ax =的图象与一次函数y x b =+的图象相交于()22A -，，B 两点，

从点A 和点B 分别引平行于y 轴的直线与x 轴分别交于C ，D 两点，点()0P t ，，()43Q t +，分别为线段CD 和BD 上的动点，过点P 且平行于y 轴的直线与抛物线和直线分别交于R ，S ．

（1）求一次函数和二次函数的解析式，并求出点B

（2）指出二次函数中，函数y 随自变量x （3）当2SR RP =时，求t 的值． （4）当15BRQ S =△时，求t 的值．

)3t +

x