第20讲-幻方与数阵图拓展

知识点回顾

⏹幻方：

行和、列和以及对角线和都相等的方形数阵图称为幻方。

这个相等的和叫做幻和。

⏹一、各种幻和补全问题：

通过不同组幻和之间的比较，从而求出一些特殊位置上的数。

最常用的方法就是“两条直线去掉公共格之后，剩下的数仍然

相等”。这个方法不仅适用于幻方，也适用于一些与“相等和数”有关的数阵图问题。

⏹幻方：

⏹二，三阶幻方的三条重要性质：

a

A c

b

1，幻和等于幻方中心方格内所填数的3倍，

如图所示，即幻和=3A；

2，所有经过中心方格的行、列或对角线上

的三个数，均构成等差数列；

3，位置如a,b,c所示的三个格子满足如下关系：b+c=2×a

复杂数阵图：

一，学会观察一个数阵图，找出其中哪些数是可以直接确定的，哪些数之间是相关联的，哪些位置是最特殊的，要填进去的数中，有没有哪些数对位置有特殊要求的。

二，重数分析和整体分析的思想。求出公共的“和数”，并确定一些特殊位置上的数之间的关联。

【1】（高思学校竞赛数学导引P122）

将1，2，3，…，24，25分别填入下图的各个方格中（有些数已填好），使得每行、每列及两条对角线上的数的和相等．现在已经填入了一些数，标有符号“*”的方格内所填的数是多少?

【2】（高思学校竞赛数学导引P122）

请在下图的每个空格内填人一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等．

【3】（高思学校竞赛数学导引P122）

(1)在下图的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都等于19．95．那么，标有“*”的方格内所填的数是多少?

【3】（高思学校竞赛数学导引P122）

(2)请在下图的每个空格内填人一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等。

【4】（高思学校竞赛数学导引P123）

如下图，大正方形的4个角上已填人4个数，4个数之和是264．奇妙的是, 把这个图倒过来看，大正方形4个角上的数之和仍然是264．请你在中间的小正方形的4个角的圆圈里，填人另外4个数，使得每条对角线上的4个数正看和倒看时，其和都是264；而且小正方形角上的4个数正看和倒看时，其和也都是264．

【5】（高思学校竞赛数学导引P123）

将1、2、3、5、6、7、9、10、11填人下图中的小圆圈内，使得每条直线上各数之和都相等．

【6】（高思学校竞赛数学导引P123）

请将1至9这9个数填入下图中的方框内，使得所有不等号都成立．所有满足要求的填法共有多少种?

【7】（高思学校竞赛数学导引P123）

请将1至10填入下图中的10个圆圈中(9已经填好)，使得除了第一行外每个圆圈内的数都等于与它相连的上方两个圆圈内的两数之差．

【8】（高思学校竞赛数学导引P123）

在下图的7个圆圈内各填一个数，要求对于每一条直线上的3个数，居中的数是旁边两个数的平均数．现在已经填好了两个数，请把剩下的圆圈填好．

【9】（高思学校竞赛数学导引P124）

请在下图中的六块区域内填人1、2、3、4、5、6，使得对每一个小圆圈来说，与它相邻的区域内的数之和都相等．

【10】（高思学校竞赛数学导引P124）

请将1个1，2个2，3个3，…，8个8，9个9填人图20．20中，使得相同的数所在的方格都连在一起(相连的两个方格必须有公共边)；现在已经给出了其中8个方格中的数，并且知道A、B、C、D、E、F、G各不相同；那么，七位数ABCDEFG 是多少?

【11】（高思学校竞赛数学导引P124）

将数字1、2、3、4、5、6、7填人下图中的小圆圈内，使得每个圆周上的3个数之和与每条直线上的3个数之和都相等。

【12】（高思学校竞赛数学导引P124）

将1至9填人下图中的9个圆圈内，使4个大圆周上的4个数之和都等于16

【13】（高思学校竞赛数学导引P125）

下图中一共有10个方格，现在把2至11这10个自然数填到里面，每个方格各填一个．如果要求图中的3个2×2的正方形中的4个数之和都相等，那么这个和最小可能是多少?请给出一种填法．

【14】（高思学校竞赛数学导引P125）

如下图，大三角形被分成了9个小三角形．试将1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入这9个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形三条边的每5个数相加的和相等．这5个数的和最大可能是多少?请给出一种填法．