欧几里得几何与非欧几何

欧几里得几何与非欧几何

摘要：欧几里得的《几何原本》奠定了几何学发展的基础, 随着逻辑推理的理论发展, 非欧几何在艰难中产生发展起来；其中少不了欧几里得、罗巴切夫斯基与黎曼在几何学上的巨大贡献，且两者几何学之间存在着严密的辩证关系。

关键词：欧几里得几何、几何原本、非欧几何、辩证关系

欧氏几何是人类创立的第一个完整的严密的(相对而言) 科学体系。它于公元前三世纪由古希腊数学家欧几里得完成，后来经历了两千多年的发展，对科学和哲学的影响是极其深远的。十九世纪二十年代，几何学发展史上出现了新的转折点，德国数学家高斯、匈牙利数学家亚·鲍耶和俄国数学家罗巴切夫斯基分别在1824年、1825年1826年各自独立地创立了非欧几何，其中以罗巴切夫斯基所发表的内容最完善，因此取名为罗氏几何学。1854年，德国数学家黎曼创立了黎曼几何。十九世纪末，德国数学家阂可夫斯基发展了黎曼几何，创立了四维空时几何学。1915年，爱因斯坦利用非欧几何——四维空间几何学作为工具创立了广义相对论, 不久广义相对论连同非欧几何为天文观察等科学实践所证实。从此，人们确认非欧几何是人类发现的伟大的自然科学真理。

一、欧几里得几何的发展

（一）古希腊前期几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础

在欧几里得时代以前，数学家与学者们就已经获得许多几何方面的成果，但大多数是零星的，有的对部分内容也作过一些整理加工，但不系统。面对前人留下的材料以及一些证明方法，欧几里得认真进行了总结、提练、筛选，以及分析、综合、归纳、演绎，集前人工作之大成，系统整理加工成巨著《几何原本》，所以说古希腊前期的几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础。

最早研究几何的一批人是爱奥尼亚学派，它的创始人是泰勒斯，据传他曾用一根已知长度的杆子，通过同时测量竿影和金字塔影之长，求出了金字塔的高度。人也把数学之成为抽象理论和有些定理演绎证明归功于他，如圆被直径二等分，等腰三角形两底角相等，两直线相交对顶角相等，两角及夹边对应相等的两个三角形全等，内接于半圆的角是直角等的论证。

对几何从经验上升到理论作出重要贡献的有毕达哥拉斯学派。他们注意研究抽象的数学概念，尤其对整数的性质有出色的研究。雅典的巧辩学派以著名的三等分任意角、化圆为方和倍立方三大难题为其研究中心。

柏拉图是那个时代影响最大的哲学家。柏拉图及其后继者把数学概念看作抽象图。柏拉图说数学概念不依赖于经验而自有其实在性。它们只能为人所发现，并非为人所发明或塑造。他是第一个把严密推理法则加以系统化的人，希腊人最早坚持数学里必须用演绎推理作求证的唯一方法，并使数学有别于所有其他知识领域或研究领域。柏拉图学派的最重要发现是圆锥曲线。还对不可公度量作过一些研究。这些都为欧几里得的研究开辟了道路。

欧多克斯是古希腊时代最大的数学家，他在数学上的第一个大贡献是关于比

例的一个新理论，后被欧几里得创造性地应用于《几何原本》之中。亚里士多德用以证明存在性的方法均被欧几里得所继承。亚里士多德也讨论数学的基本原理。他认为公理是一切科学所公有的真理，而公设则是为某一门科学所接受的第一性原理。这一点欧几里得在构造几何公理与公设时得到了应用。逻辑学的创立是亚里士多德的一个重要贡献。欧几里得的《几何原本》的逻辑论证体系，很大程度得益于亚里士多德的逻辑学。

（二）欧几里得的《几何原本》

欧几里得的《几何原本》是古希腊的几何知识的精华和大全，是对以往儿何知识的全面总结，爱因斯坦把它叫做“宏伟的大厦”。

《几何原本》首先摆出定义、公理、公设，从简到繁地导出了定理。在欧几里得几何中，公理成了推出几何定理的一种思想规定，并且由这些公理和公设及传统的形式逻辑一起构成了公理化几何学的框架，公设则给出了构造几何图形的一般规定。这样一来，欧几里得公理方法同时又是一种构造方法。公理方法突出地证明了实践高于理论的选理。公设、公理正是这种实践检验的直接产物，正是由此才建立起整个欧几里得几何学大厦。也正是由于在方法论上欧几里得几何把外在物理空间直观绝对化了，这又使它并末停在感性直观和实践基础的简单形态上。因此, 欧几里得的《几何原本》也是一个标志, 从它开始几何学由原始起源的测量技术的经验积累，转向了系统化、公理化的发展。正是《几何原本》在使用公理方法的基础上所建立的演绎体系，使欧几里得几何成了几何发展史上的一个里程碑，其意义正如冯·诺伊曼所说: “欧几里得从公设出发的处理方法，标志着脱离经验主义的伟大的一步，可见《几何原本》是一部内容非常丰富逻辑上异常严谨毓几何学著作，是二千多年以前最早成热的数学著作，这使它有很强的生命力，一直到十九世纪都是人们学习和研究几何学的经典著作。

欧几里得在《几何原理》中给出了5条公设，其中给前四条人们认为简单明了，符合亚里士多德关于公理“自明性”的要求，唯独第五公设及所谓“平行公设”：“如两直线和第三直线相交，且在同一侧所成的两个同侧内角之和小于两直角则这两直线无限延长之后必相交于该侧的一点”，不仅文字表达要比前四个公理啰嗦，而且所阐述的事实也不是那么的简单明了，其欧几里得也对这一公设似乎也不太满意。例如在《几何原本》的第一卷共有48条命题，其中前28条命题的证明，欧几里得都回避了第五公设，只有在第29条命题的证明中才不得不应用了一次，这也是唯一的一次应用第五公设，因此可以认为，第五公设问题实际上首先是由欧几里得本人提出来的。自欧几里得以来，人们总怀疑这一公设本来就是一条定理，只是欧几里得本人无法证明它而已。后来无数的数学家都曾尝试过证明第五公设，并付出了辛勤的劳动，也有许多数学家曾经宣告自己“证明”了第五公设，但这些“证明”后来或是自己或是被别人发现了毛病——用了第五公设的等价命题。

二、非欧几何的发展

（一）问题的提出

非欧几何的发展源于2000多年前的古希腊数学家的欧几里得的《几何原本》。许多数学家对《几何原本》第五公设的证明研究，在思想上、材料上为非欧几何的问世已经做好了充分的准备，这门学科的诞生，就有待于富有高度科学想象力的数学家为它迈出决定性的一步，应归功于高斯、波尔约和罗巴切夫斯基三人。

（二）非欧几何的创立——罗巴切夫斯基几何

著名的数学家高斯、波尔约与罗巴切夫斯基是非欧几何的创始人，都为非欧几何的创立做出了巨大的贡献，但只有罗巴切夫斯基是最坚定不移地捍卫自己成果的斗士。

罗巴切夫斯基在前人的基础上，引用与欧氏第五公设相矛盾的命题，即直线外一点可作两条平行线为假设，并且把他同欧氏几何中其它公设和公理相联系。经过推理后，得出3个结论：

（1）用欧氏几何其它公设和公理不能证明欧氏第五公设，即第五公设是独立的；

（2）与第五公设相矛盾的公设同欧氏几何其它公设、公理相结合，展开一系列推理，获得了许多在逻辑上无矛盾的定理，构成了不同于欧氏几何的新的几何学；

（3）这种逻辑上无矛盾的几何学的真理性同物理学中的定理一样，只能凭实验；

这3条结论显然与欧氏几何不同，是一种全新的几何体系，是罗氏独创性思维的结晶。

（三）非欧几何的发展与确认——黎曼几何

非欧几何要获得人们的普遍接受，需要确实的建立非欧几何自身的无矛盾性和现实意义。罗巴切夫斯基终其一身努力最后并没有实现这个目标。1854 年，黎曼摆脱高斯等前人把几何对象局限在3维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维度出发，建立了更一般的抽象几何空间。

黎曼仿照传统的微分几何定义流形上2点之间的距离、流形上的曲线和曲线之间的夹角。并以这些概念为基础，展开对n 维流形几何性质的研究。在n 维流形上他也定义类似于高斯在研究一般曲面时刻画曲面弯曲程度的曲率。他指出对于3维空间，有以下3种情形：(1)曲率为正常数；(2)曲率为负常数；(3)曲率恒等于0。黎曼指出后2种情形分别对应于罗巴切夫斯基的非欧几何和通常的欧氏几何学，而第一种情形则是黎曼本人的创造，它对应于另一种非欧几何学。黎曼创造的几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何2条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在。它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。

19世纪70年代以后，意大利数学家贝尔特拉米、德国数学家克莱茵和法国数学家庞加莱等人先后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模型，从而揭示出非欧几何的现实意义。此外，还有许多数学家为非欧几何的发展做出了巨大贡献。历经2000余年，非欧几何学作为一种几何的合法地位可以说充分建立起来