欧氏几何与非欧几何
数学几何48模型
数学几何48模型数学几何是数学的一个分支，它研究的是空间中的形状、大小、位置等问题。
在数学几何中，有许多重要的模型，其中最为著名的就是数学几何48模型。
一、欧氏几何模型欧氏几何模型是最为基础的数学几何模型之一，它是由古希腊数学家欧几里得所创立的。
欧氏几何模型研究的是平面和空间中的图形和变换，它的基本假设是平行公设。
二、非欧几何模型非欧几何模型是相对于欧氏几何模型而言的，它是在欧氏几何模型的基础上发展起来的。
非欧几何模型研究的是曲面和空间中的图形和变换，它的基本假设是平行公设不成立。
三、球面几何模型球面几何模型是一种特殊的非欧几何模型，它研究的是球面上的图形和变换。
球面几何模型的基本假设是平行公设不成立，且曲率为正。
四、双曲几何模型双曲几何模型是另一种非欧几何模型，它研究的是双曲面上的图形和变换。
双曲几何模型的基本假设是平行公设不成立，且曲率为负。
五、仿射几何模型仿射几何模型是一种介于欧氏几何模型和非欧几何模型之间的模型，它研究的是平面和空间中的图形和变换，但不考虑距离的大小和比例。
六、射影几何模型射影几何模型是一种特殊的仿射几何模型，它研究的是射影空间中的图形和变换。
射影几何模型的基本假设是平行公设不成立，但是不存在无穷远点。
七、向量几何模型向量几何模型是一种基于向量的几何模型，它研究的是向量空间中的图形和变换。
向量几何模型的基本假设是向量的加法和数乘运算满足一定的规律。
总之，数学几何48模型是数学几何中最为重要的模型之一，它们在数学研究和实际应用中都有着广泛的应用。
通过对这些模型的深入研究，我们可以更好地理解空间中的形状、大小、位置等问题，为我们的生活和工作带来更多的便利和启示。
浅谈欧式几何与非欧几何公理的正确性
浅谈欧式几何与非欧几何公理的关系摘要：非欧几何是人们在不断研究欧式几何的过程中，不断发展起来的又一套几何公理体系，它包括罗氏几何、黎曼几何、拓扑几何等许多部分，在解决非人们日常经验所不能理解的问题时有重大意义。
不过，在度过了最初的探索期之后人们开始重新审视非欧几何与欧式几何间的关系，抑或是说，哪种几何是真的？本文即是对这一问题进行初步的探讨。
关键词：欧式几何非欧几何公理化方法实践意义一、概述欧几里德几何简称“欧氏几何”，是为几何学的一门分科。
公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，并在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。
欧式几何的五条公设是：1、任意两个点可以通过一条直线连接。
2、任意线段能无限延伸成一条直线。
3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4、所有直角都全等。
5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必定相交。
而在其公理体系中，最重要的是平行公理，但由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。
比如，罗巴切夫斯基认为：第五公设不能被证明；在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。
黎曼认为，不存在平行线，直线不能无限延长，三角形内角和大于两直角，圆周率小于π，等等。
从通常意义上来说，非欧几何指的是罗氏几何和黎曼几何。
面对这样一种状况，我们不禁要提出一个问题：三种几何在逻辑上都能自圆其说，但是，哪种几何是真的呢？这个问题，如果从纯数学的角度来说，三种几何都可以说是真的。
因为不论是欧式几何、罗氏几何还是黎氏几何，只要它的公理是成立的，由此推出的定理就是成立的。
所以，这里的“真”，不过是其逻辑上不自相矛盾罢了。
不过，这个论据本身就是需要证明的，也就是说哪种公理公设是真的呢？二、公理公设1、历史上人们对公理认识的变化(1)、唯心主义者认为：公理是人的先天洞察，是上帝给人的启示，是人对理念的认识，等等，是作为一种客观精神存在的；(2)、唯物主义者认为：公理来自于人对客观世界规律性的认识，是经验的总结与升华；(3)、二元论者认为：公理是人用先天的感知能力对经验总结的结果。
欧氏几何与非欧几何
欧氏几何欧几里得几何学,简称欧氏几何，主要是以欧几里得平行公理为基础的几何学。
欧几里得他把当代希腊数学家积累的几何知识和逻辑推理的思想方法加以系统化，初步奠定了几何学的逻辑结构的基础。
19世纪末期，德国数学家希尔伯特于1899年发表了著名的著作《几何基础》，书中提出了一个欧几里得几何的完整的公理体系。
从此人们把满足希尔伯特公理系统中的结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理等五组公理以及由其导出的一切推论组成的几何学叫做欧几里得几何学。
特别指出的是，平行公理在欧几里得几何中有着很重要的作用。
凡与平行公理有关的命题，都是欧几里得几何学的结论。
如三角形三条高线共点；过不共线的三点恒有一圆；任何三角形三内角之和等于180°；存在相似形；勾股定理成立。
1872年，德国数学家克莱茵在爱尔朗根大学提出著名的“爱尔朗根计划书”，明确了采用几何变换对各种几何进行分类。
指出，如果一种几何变换，它的全体组成一个“群”，就相应有一种几何学。
在每一种几何中主要研究在相应的变换下的不变性和不变量。
根据这种观点，欧几里得几何学就是研究图形在合同变换下(或在运动变换下)不变的科学。
欧几里得著有《几何原本》一书，该书共13卷，除第5、7、8、9、10卷是用几何方法讲述比例和算术理论以外，其他各卷都是论述几何问题的。
《几何原本》共有23个定义，5条公设，5条公理，他力图把几何学建立在这些原始的定义、公理和公设的基础上，然后以这些显然的假设为依据推证出体系里的一切定理。
在第1卷开始他首先提出23个定义，前6个定义是：①点没有大小；②线有长度没有宽度; ③线的界是点；④直线上的点是同样放置的；⑤面只有长度和宽度；⑥面的界是线。
在定义之后，有5个公设：①从任意点到另一点可以引直线；②有限直线可以无限延长；③以任意点为圆心，可用任意半径作圆；④所有直角都相等；⑤如果两条直线与另一条直线相交，所成的同侧内角的和小于两直角，那么这两条直线在这一侧必相交。
第八讲 欧式几何与非欧几何
通过前面的学习，我们知道球面 几何与平面几何中的许多定理是“相 同”的，但也有一些定理是不相同 的．
导入新课
在本讲，我们首先通过平面几何与 球面几何的比较，追溯某些定理不相同 的根源，给出欧氏几何与非欧几何的定 义；然后通过欧氏平行公理的分析，给 出非欧几何的一种模型——庞加莱模 型．
欧几里得
“桥梁”．
非欧几何的结论通过模型又可解释为欧 氏几何中的一个结论，这样一来，如果非欧 几何是矛盾的，那么，欧氏几何在逻辑上也
是矛盾的，因此，庞加莱模型告诉我们，如
果欧氏几何是无矛盾的，那么非欧几何也是
无矛盾的．
爱因斯坦认为，时间和空间是不可分的， 物理空间十分复杂，无论欧氏几何或非欧几何 都不能全面、精确的解释物理的时空概念，但 他们都是物理空间，对物理空间在不同方面有 很好的近似．因此，两者对于我们的世界有重 要的物理意义．
在球面上欧氏平行公理不成立的原因， 是我们把大圆当作“直线”，因此任意两 条“直线”都相交．但是大圆是弯曲的， 并非像直线一样是笔直的；大圆的长度是 有限的，而直线的长度是可以无限增大 的．
那么，为什么把大圆作为“直线”呢？ 在球面上，大圆具有直线在平面上的 一些最基本的性质。例如，过两点有且只有 一条直线；两点之间的连线中直线最短，等 等，这些性质球面上的大圆都具备．所以大 圆可以作为直线所具有的基本性质的一种说 明或解释，这种解释可以视为一种模型．
教学重难点
• 球面几何与平面几何的比较． • 非欧几何的概念和意义．
• 庞加莱模型．
一
平面几何与球面几何的比较
平面几何 球面几何
1.平面（球面）三角形两边之和大于第三边． 2.若两个平面（球面）三角形的三对边对应相等，则两个三 角形全等． 3.若两个平面（球面）三角形的两对边对应相等，且其夹角 对应相等，则两个三角形全等． 4.若两个平面（球面）三角形的两对角对应相等，且其夹边 对应相等，则两个三角形全等． 5.平面（球面）“等腰”三角形的两底角相等，两腰对应相 等． …………….
(完整word版)欧几里得几何与非欧几何
欧几里得几何与非欧几何摘要：欧几里得的《几何原本》奠定了几何学发展的基础, 随着逻辑推理的理论发展, 非欧几何在艰难中产生发展起来；其中少不了欧几里得、罗巴切夫斯基与黎曼在几何学上的巨大贡献，且两者几何学之间存在着严密的辩证关系。
关键词：欧几里得几何、几何原本、非欧几何、辩证关系欧氏几何是人类创立的第一个完整的严密的（相对而言) 科学体系.它于公元前三世纪由古希腊数学家欧几里得完成,后来经历了两千多年的发展，对科学和哲学的影响是极其深远的。
十九世纪二十年代,几何学发展史上出现了新的转折点，德国数学家高斯、匈牙利数学家亚·鲍耶和俄国数学家罗巴切夫斯基分别在1824年、1825年1826年各自独立地创立了非欧几何，其中以罗巴切夫斯基所发表的内容最完善,因此取名为罗氏几何学.1854年，德国数学家黎曼创立了黎曼几何.十九世纪末，德国数学家阂可夫斯基发展了黎曼几何，创立了四维空时几何学。
1915年，爱因斯坦利用非欧几何——四维空间几何学作为工具创立了广义相对论，不久广义相对论连同非欧几何为天文观察等科学实践所证实.从此，人们确认非欧几何是人类发现的伟大的自然科学真理。
一、欧几里得几何的发展(一）古希腊前期几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础在欧几里得时代以前,数学家与学者们就已经获得许多几何方面的成果，但大多数是零星的，有的对部分内容也作过一些整理加工，但不系统。
面对前人留下的材料以及一些证明方法，欧几里得认真进行了总结、提练、筛选，以及分析、综合、归纳、演绎，集前人工作之大成,系统整理加工成巨著《几何原本》，所以说古希腊前期的几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础。
最早研究几何的一批人是爱奥尼亚学派，它的创始人是泰勒斯，据传他曾用一根已知长度的杆子，通过同时测量竿影和金字塔影之长，求出了金字塔的高度。
人也把数学之成为抽象理论和有些定理演绎证明归功于他，如圆被直径二等分, 等腰三角形两底角相等，两直线相交对顶角相等，两角及夹边对应相等的两个三角形全等，内接于半圆的角是直角等的论证。
欧氏几何 非欧几何 罗曼几何2007
欧氏几何非欧几何罗曼几何2007/05/20 11:06欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。
后两种几何就称为非欧几何。
三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。
因此这三种几何都是正确的。
欧氏几何与非欧几何最显著的区别：在于对几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论的解释。
欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。
欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。
罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。
那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”？黎曼几何就回答了这个问题。
黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。
在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。
欧氏距离：在二维和三维空间中的欧式距离的就是两点之间的距离，二维的公式是d = sqrt((x1-x2)^+(y1-y2)^)三维的公式是d=sqrt(x1-x2)^+(y1-y2)^+z1-z2)^)推广到n维空间，欧式距离的公式是d=sqrt( ∑(xi1-xi2)^ ) 这里i=1,2..nxi1表示第一个点的第i维坐标,xi2表示第二个点的第i维坐标黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann 1826－1866德国汉诺威）黎曼1826年出生于汉诺威一个小村庄，父亲是路德派的牧师。
由于家庭生活困难，黎曼的六个兄弟姐妹中多数夭亡。
黎曼本人身体也很虚弱。
19岁时，黎曼依父亲意愿进入哥廷根大学学习哲学和神学，以便将来成为一名牧师。
当时的哥廷根大学由于有高斯而成为世界数学的中心之一，受这里数学研究气氛的感染，从小就在数学上显露才华的黎曼决定放弃神学，专攻数学。
于是转到柏林大学，从雅可比、狄利克雷、史坦纳那里受教，而进入新的数学领域。
《欧氏几何与非欧几何的意义》课件
爱因斯坦认为，时间和空间是不可分的，物 理空间十分复杂，无论欧氏几何或非欧几何都 不能全面、精确的解释物理的时空概念，但他 们都是物理空间，对物理空间在不同方面有很 好的近似．因此，两者对于我们的世界有重要 的物理意义．
课堂小结
作为本书的最后一讲，这里主要 介绍了非欧几何的一种模型——庞 加莱模型。最后简单介绍一下欧氏 几何与非行公理看起 来是相互矛盾的，在一般情况下，如果 有两个互相矛盾的结论，则必定有一个 是错误的，现在我们如何判断谁对谁错？
首先，判断一种几何是否正确的标 准是什么？
1. 这种几何在理论上是否成立， 这是本质上的逻辑问题；
2.这种几何在实际中是否成立， 能否刻画我们生活的物理世界．
数学家用间接的方法，在欧氏几何中 建立了一个非欧几何的模型，在这个模 型中，规定了一些（非欧）基本概念后， 全部的推理都是依照欧氏几何所遵循的 逻辑进行的，因此这个模型是欧氏几何 与非欧几何的一个“桥梁”．
非欧几何的结论通过模型又可解释为 欧氏几何中的一个结论，这样一来， 如果非欧几何是矛盾的，那么，欧氏 几何在逻辑上也是矛盾的，因此，庞 加莱模型告诉我们，如果欧氏几何是 无矛盾的，那么非欧几何也是无矛盾 的．
人教高中数学欧氏几何与非欧几何的意义PPT
人教高中数学欧氏几何与非欧几何的 意义PPT
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那么，为什么把大圆作为“直线”呢？ 在球面上，大圆具有直线在平面上的 一些最基本的性质。例如，过两点有且只有 一条直线；两点之间的连线中直线最短，等 等，这些性质球面上的大圆都具备。所以大 圆可以作为直线所具有的基本性质的一种说 明或解释，这种解释可以视为一种模型。
下面，我们给出法国数学家庞加莱建立 的满足非欧平行公理的一种几何模型。
A
l
x
图8-1
A l
x
人教高中数学欧氏几何与非欧几何的 意义PPT
人教高中数学欧氏几何与非欧几何的 意义PPT
在欧氏平面上做一条直线x，以x为边缘 的上半平面（不包含x 上的点）记为 （ 图81），现在考虑 内部的点，我们规定 内部 的点为“非欧点”，圆心在x上的半圆或垂直 于x的射线称为“非欧直线”。
欧几里得
庞加莱
旧知回顾
通过前面的学习，我们知道球面 几何与平面几何中的许多定理是“相 同”的，但也有一些定理是不相同的。
导入新课
在本讲，我们首先通过平面几何与 球面几何的比较，追溯某些定理不相同 的根源，给出欧氏几何与非欧几何的定 义；然后通过欧氏平行公理的分析，给 出非欧几何的一种模型——庞加莱模型。
人教高中数学欧氏几何与非欧几何的 意义PPT
球面上的大圆可视为“直线”。在球 面上有这样一个结论：任意两条“直线” （大圆）都相交，即过“直线”外一点， 没有一条“直线”与该“直线”不相交。
几何中的欧式空间与非欧几何
几何学是研究空间、形状、大小以及它们之间的关系的学科。
在几何学中，欧式空间和非欧几何是两个重要的概念。
欧式空间是基于欧几里德几何学的概念，而非欧几何是指那些不符合欧几里德几何学规则的几何学系统。
欧式空间是指一个平直的三维空间，符合欧几里德几何学的公理。
在欧几里德几何学中，空间是连续的，直线是无限延伸的，平行线永不相交等。
欧式空间中的几何学主要关注点是点、线、面和体的位置关系与性质。
欧式几何学应用广泛，不仅适用于物理学和工程学的各个领域，也是我们日常生活中的几何学基础。
然而，在几何学的发展历程中，人们发现了一些不符合欧几里德几何学规则的情况。
这给几何学家们带来了挑战，正在这种情况下，非欧几何学产生了。
非欧几何学是不符合欧几里德几何学公理的几何学系统，主要有椭圆几何学和双曲几何学。
椭圆几何学是一种曲面几何学，也称为黎曼几何学。
与欧几里德几何学不同，椭圆几何学中的曲面上的直线并非无限延伸，而是在某一点处回到原点。
在椭圆几何学中，平行线将会相交，直角三角形内角和不等于180度。
椭圆几何学的发现给人们打开了一个全新的几何学世界，并为曲面拓扑学等领域的发展奠定了基础。
双曲几何学与椭圆几何学相似，也是一种曲面几何学。
在双曲几何学中，直线永远不会相交，而是以两个方向无限延伸，也没有平行线的概念。
双曲几何学对于研究曲面的性质以及它们之间的关系起到了重要的作用，也在相对论中得到了广泛的应用。
总的来说，几何学中的欧式空间和非欧几何学代表了两个不同的几何学体系。
欧式空间是基于欧几里德几何学的概念，符合欧几里德几何学的公理，以点、线、面和体的位置关系为研究重点。
而非欧几何学则是不符合欧几里德几何学公理的几何学系统，主要有椭圆几何学和双曲几何学。
这些非欧几何学不仅拓展了几何学的范畴，也为曲面拓扑学和相对论提供了理论基础。
因此，了解和研究欧式空间与非欧几何学对于深入理解空间和几何学的本质具有重要意义。
关于欧氏几何的第5公设及非欧几何
关于欧氏几何的第5公设及非欧几何谢裕华秦敏雁施培成摘要：本文综述了由欧氏几何到非欧几何的发展历史；评述了非欧几何的思想及其伟大意义；论述了欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何的对立统一关系。
比较了三种几何的主要特征及适用范围。
关键词：第五公设，欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何。
一、关于Euclid的《Elements》欧几里得的《几何原本》早已失传，现存的有：1、公元四世纪末（400年左右）泰恩（Thon）的《原本》修订本。
2、18世纪在梵蒂冈图书馆发现的一个第十世纪的《原本》希腊文手抄本，可能比泰恩本更早些。
3、现代版本最早的是1482在威尼斯印刷的，依据泰恩修订本的版本。
4、现在看到的各种版本（一千多种版本）均非欧几里得手稿的传本，而是依据后人的修订本，注释本，翻译本重新整理出来的。
5、1794年法国数学家勒让德（A.M.Legendre,1752-1833）为使《几何原本》更便于教和学，曾对《原本》作了较大的修改，如删去了《原本》中的非几何部分内容，并将几何部分重新整理和编写。
把“命题”中的定理和问题加以明确区分，还把第5公设换为与它等价的平行公理；“过直线外一点，有而且只有一条直线与原直线平行”等等，编成了《新欧几里得几何原本》。
于是自19世纪开始，初等几何课本一般都是以此为兰本的改编本。
6、中国最早的汉译本是1607年（明万历35年丁未）意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci,1552-1610）和徐光启（1562－1633）的合译本（前6卷），称之为“明译本”底本系德国人的拉丁文本15卷。
二百五十年之后，1857年，后9卷由英人伟烈亚（A.Wylie,1815-1887）和李善兰（1811－1882）合译，称之为“清译本”底本是英文版第15卷。
由于它们均系文言，并且名词，术语和现代有很大的差异，不易看懂，故现代新译本于1990年由陕西科技出版社出版。
二、关于第5公设古希腊对于数学的最杰出的贡献就是“根据公理体系来建立数学”的观念，即：一个合乎逻辑的学科，应当是由一组原始定义和原始命题（公设，公理）出发，通过演绎推理导出这一学科的其他所有命题。
几何学中的欧氏空间与非欧几何
几何学中的欧氏空间与非欧几何几何学是一门关于空间形状和性质的学科，其基本概念是面积、长度、角度和体积等。
在几何学中，欧氏空间是最基本的概念之一。
欧氏空间是指具有欧氏度量的空间。
在欧氏空间里，我们所熟悉的平凡几何学定理都是成立的。
但是，随着几何学的发展与深入研究，我们发现了无数个非欧几何空间。
本文将会详细探讨欧氏空间和非欧几何空间。
一、欧氏空间欧氏空间是用欧氏度量定义的空间。
在欧氏空间内，两点之间的距离是由勾股定理（a²+b²=c²）推导出的。
欧氏空间的特点是满足传递性、对称性和非负性。
同时，在欧氏空间内，平行线永远不会相交。
欧氏空间的一个非常重要的应用是解析几何。
然而，欧氏空间并不是唯一的空间。
在追求更为真实的数学描述的推进下，数学家们尝试着超越欧氏空间，并发现了许多非欧几何空间。
二、非欧几何空间非欧几何空间是指不满足欧氏公理的空间，如球面空间、双曲面空间等。
它的特点在于满足非欧几何公理。
在非欧几何中，曲线不再是直线。
在球面上，我们可以看到地面上所有的边都弯曲了。
而在双曲面上，直线却是呈现成弯曲的。
一个很好的例子是“球面上两点间最短路径不是直线”，这个性质通往了非欧几何的大门。
相比之下，这正是欧式几何公理中的假设。
在球面空间中，我们可以为一个点在地球表面上指定球面坐标（纬度和经度）。
在双曲面上也有类似的坐标系。
这些坐标系使得我们能够在非欧几何空间中进行研究和计算。
总结来说，非欧几何中的曲线要么是弯曲的，要么可以是弯曲的，但两点之间总有一条最短的路径。
在双曲几何中，平行线永远相交。
而在球面几何中，平行线不可能相交。
三、欧氏空间和非欧几何空间的比较欧氏几何是我们熟知的三角形、圆等形状的集合，其中最基本的特征是勾股定理。
而非欧几何没有勾股定理，并且不满足传递性、对称性和非负性等欧氏公理，因此在很多情况下，非欧几何的推导和欧氏几何完全不同。
在欧氏空间中，平面和立体之间可以无缝连接。
浅谈欧氏几何与非欧几何在建筑中的应用
浅谈欧氏几何与非欧几何在建筑中的应用首先简单说说我对欧氏几何与非欧氏几何的陋见，欧氏几何与非欧氏几何都是数学几何学中的一块，做一个不是十分恰当的比喻，欧氏几何与非欧氏几何之间的关系就像是牛顿基本力学与后来爱因斯坦创立的相对论之间的关系。
那么接下来我将从学术上简单谈谈欧氏几何与非欧氏几何，欧氏几何是由以欧几里得几何学为基础的经典集合理论，它包括五条基本定理，整个欧氏几何的大厦都建立在这五条基本理论上，也就是说欧氏几何的一切定理、推论就是通过这些定义五个公设和数量公理的演绎、推理证明而得到的。
非欧氏几何即是区别于传统平面几何学的三维几何，它是建立在三维的现实生活中的，相较于二维几何它更加复杂更加具有动态的美，它的主要发展是在计算机的发明之后，人们开始利用计算机辅助技术来建立三维模型并寻找其中的数学规律，非欧氏几何的代表有拓扑几何、凸体几何等。
那么我们为什么要选择在建筑数字技术概论这门课上讲欧氏几何与非欧几何在建筑中的应用呢？计算机辅助技术看起来和我们的课题并无直接联系，建筑数字技术是指一些服务设计的软件比如CAD、Rhino、Revit、Sketchup等软件，它们大都是一些辅助人们建立模型的软件，我们这门课也是简要介绍这些软件，让同学们心里对这些软件有一定的认识，这好像与欧氏几何与非欧几何并无联系。
其实并不然，正如我之前所说，非欧氏几何的快速发展正是借助计算机强大的建模能力，而想要把它们都运用到我们的建筑设计中光靠传统的手绘是远远不够的，也无法表达清楚我们想要的效果，这只是其一。
其二，就算我们通过手绘解决出了非欧几何造型的难题，这只是完成了建筑设计中的一小部分——造型设计，还有设备设计，结构设计等方面内容，试想一下，想要在复杂的非欧几何建筑里不借助计算机辅助就做好结构、设备等处理设计这几乎是不可能实现的，由此可见，通过对欧氏几何非欧氏几何对我们建筑设计的影响就可以看出，计算机辅助技术对我们设计帮助之大，对我们建筑设计进步推动之大。
欧氏几何与非欧几何的不同点
欧氏几何与非欧几何的不同点非欧氏几何产生于非欧式空间，而非欧式空间可以理解成扭曲了的欧式空间，可能它的坐标轴不再是直线，或者坐标轴之间并不正交（即不成90度）举个简单的例子：欧式空间中的球面，对于在球面上爬行的蚂蚁来说就是非欧式空间的平面，它们在爬行的过程中不会感觉到球面的弯曲。
当然在这样的一个球面上，欧式几何也不再成立，譬如：三角形的内角和不再是180度，而球面上两点之间的最短距离也不再是两点之间的连线（因为这时两点之间的的线段根本不经过球面）欧氏几何是平面，非欧几何是在一个不规则曲面上的十分丰富的几何知识，这些知识仍然是零散的、孤立的、不系统的。
真正把几何总结成一门具有比较严密理论的学科的，是希腊杰出的数学家欧几里得。
欧几里得在公元前300年左右，曾经到亚历山大城教学，是一位受人尊敬的、温良敦厚的教育家。
他酷爱数学，深知柏拉图的一些几何原理。
他非常详尽的搜集了当时所能知道的一切几何事实，按照柏拉图和亚里士多德提出的关于逻辑推理的方法，整理成一门有着严密系统的理论，写成了数学史上早期的巨著——《几何原本》。
《几何原本》的伟大历史意义在于，它是用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范。
在这部著作里，全部几何知识都是从最初的几个假设除法、运用逻辑推理的方法展开和叙述的。
也就是说，从《几何原本》发表开始，几何才真正成为了一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。
欧几里得的《几何原本》欧几里得的《几何原本》共有十三卷，其中第一卷讲三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件；第二卷讲如何把三角形变成等积的正方形；第三卷讲圆；第四卷讨论内接和外切多边形；第六卷讲相似多边形理论；第五、第七、第八、第九、第十卷讲述比例和算术得里论；最后讲述立体几何的内容。
从这些内容可以看出，目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在《几何原本》里了。
因此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科书。
欧氏几何与非欧几何中的几何思考与证明
● 03
第3章 欧氏几何与非欧几何 的比较Biblioteka 欧氏几何与非欧几何 的异同
01 欧氏几何基于直觉和直线的概念
欧氏几何
02 非欧几何基于曲线和曲面的概念
非欧几何
03 欧氏几何受限于第五公设
欧氏几何
欧氏几何和非欧几何的几何思考
更侧重于直线和角
度的关系
欧氏几何
01
更注重于曲线和曲 面之间的关系
非欧几何
02
Unified fonts make reading more fluent.
Theme color makes PPT more convenient to change.
Adjust the spacing to adapt to Chinese typesetting, use the reference line in PPT.
非欧几何的未来前景
01 现代数学地位
非欧几何将更突出
02 广泛应用
领域发展需求
03 新思路方法
为数学研究提供
欧氏几何与非欧几何的融合
相互影响 创新性提升
领域融合
创新实用
01
融合效果 实践应用
02
发展推动 04
促进数学研究
03
前沿探索
欧氏几何与非欧几 何的发展趋势展望
数学研究领域扩展 多元化前沿性
02
解决特殊问题
为特殊问题提供新的解决思路
03
推动数学的创新发展
几何思考与证明
01 推理与证明方法
通过逻辑推理确立几何定理
02 几何形状分析
探索图形形状的几何特征
03 数学定律应用
运用数学定律解决实际问题
非欧几何与欧氏几何的联系
非欧几何与欧氏几何的联系
欧几里德几何（Euclidean geometry）是对平面和空间的理论的研究。
它在许多领域
都有应用，包括建筑、工程、物理学、天文学等。
然而，欧几里德几何是基于一些公理
（公认为真的陈述），这些公理在其他几何体系中不一定是真实的，因此出现了非欧几
何。
非欧几何（Non-Euclidean geometry）是指与欧几里德几何不同的几何体系。
在非欧
几何中，与欧几里德几何中的公理不同，例如，直线可能具有弯曲、平行线在一点处可能
相遇等等。
与欧几里德几何不同，非欧几何不一定是在欧几里德几何的基础上发展而来。
相反，
非欧几何在自身的基础上开创了不同的几何领域。
然而，非欧几何和欧几里德几何之间仍然存在一些联系。
其中最重要的联系是在范畴中。
如果说欧几里德几何是平坦的，那么可以将它看作是一种特殊的拓扑空间。
相比之下，非欧几何通常被认为是曲面的一种形式，因此它们也被归为拓扑空间的一类。
此外，在数学、物理学和其他学科中，非欧几何也有着广泛的应用。
在广义相对论中，非欧几何被用来描述弯曲的时空。
在抽象的数学领域中，非欧几何的一些结构也被用来证
明数学定理。
总之，非欧几何和欧几里德几何之间存在着紧密联系。
它们之间的相互作用使我们能
够更好地理解几何学的本质，并促进了许多领域的发展。
欧氏几何与非欧几何的意义
欧氏几何与非欧几何的意义【教学目标】1．掌握欧拉公式。
2．熟练运用欧拉公式解决具体问题。
3．亲历欧拉公式的探索过程，体验分析归纳得出欧拉公式在现实中的应用，进一步发展学生的探究、交流能力。
【教学重难点】重点：欧拉公式的理解。
难点：欧拉公式的实际应用。
【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习欧拉公式，这节课的主要内容有欧拉公式，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。
二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解欧拉公式内容，形成初步感知。
（2）首先，我们先来学习欧拉公式，它的具体内容是：1．欧拉公式：如果凸面体有v个顶点，e条棱，f个面，则。
v e f-+=2 2．欧氏平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与该直线不相交。
3．欧氏几何：欧氏平行公理成立的几何体系。
4．非欧几何：欧氏平行公理不成立的几何体系。
它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。
例：证明图中的双曲线l与l1在双曲平面D上不想交。
解析：教师板书根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
练习：证明在双曲平面内，过双曲直线外一点，有无数条双曲直线与已知的双曲直线不相交。
三、课堂总结（1）这节课我们主要讲了欧拉公式的理解与应用：1．欧拉公式：如果凸面体有v个顶点，e条棱，f个面，则。
v e f-+=2 2．欧氏平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与该直线不相交。
3．欧氏几何：欧氏平行公理成立的几何体系。
4．非欧几何：欧氏平行公理不成立的几何体系。
（2）它们在解题中具体怎么应用？四、习题检测1．查阅资料，并分析研究，你对几何与现实空间之间的联系，有哪些体会？2．利用解析几何的方法证明，双曲平面上不存在矩形。
3．把相交弦定理从圆推广到球面，得到什么命题？怎样证明？4．把切割线定理从圆推广到球面，得到什么命题？怎样证明？。
欧氏几何与非欧几何(修订版)
欧氏几何与非欧几何整个欧氏几何的理论大厦，建筑在5 条几何公理( 公设) 的基础之上，这5 条公理是：(1) 从任一点到另外一点能作一条直线( 简言之，即通过任意两点可作一条直线) ；(2) 任何一条有限直线可以沿着直线不断延长；(3) 以任意一点为中心，任一距离为半径能作一圆；(4) 凡直角皆相等；(5) 若一条直线与两直线相交，在同侧的两个内角之和小于两直角，那么不加限制地延长这两条直线，必在该侧相交于一点．前四条公理都十分简明，容易为人们经验所检验．而第五条( 称“第 5 公设”) 却显得冗长繁琐，不易检验．历代都有人想把它当作定理由其他4 条公理推证出来，从而将它排除在公理之外．其结果虽然都归于失败，但却推得若干与它等价的命题，其中Playfair(1748 —1819) 提出的等价命题最为著名：过一点能作一条且只能作一条直线，平行于给定的直线．不少教科书( 包括我国现行中学几何课本) 都用它来代替第 5 公设，并把它称为“平行公理”或“欧几里得公理”，因为它反映了欧氏几何的本质特征．长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。
有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。
也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。
因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？罗巴切夫斯基是从1815—1816年着手研究第五公设问题的．到1826年2月23日于喀山大学物理数学系学术会议上首次宣读自己新几何学的论文——《简要叙述平行线公理的一个严格证明》，前后经过了十年艰苦的努力．开始，他像其他所有研究者一样，也试图给出第五公设的证明，但不久就意识到这是徒劳的，对于第五公设，“至今没能找到它的严格证明，以往给出的任何一种证明，只能是一种说明，而不配称做是真正意义下的数学证明”。
高中数学新人教版A版精品学案《欧氏几何与非欧几何的意义》
欧氏几何与非欧几何的意义【学习目标】知识与能力：1．感知欧拉公式在现实中的应用。
2．掌握欧拉公式。
3．了解庞加莱模型的内涵。
过程与方法：1．通过观察，了解简单多面体的欧拉公式与平面欧拉公式的异同点。
2．进一步了解简单多面体的欧拉公式在实际生活中的应用。
情感态度与价值观：1．让学生从类比中学习新的知识。
2．认识实际生活中大量存在的现象和规律。
3．培养合作交流意识。
【学习重难点】重点：欧拉公式的理解与应用。
难点：欧拉公式的证明。
【学习过程】一、自主预习（一）知识点一：欧式几何内容：_______________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________。
（二）知识点二：非欧式几何内容：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________。
二、探究思考1．查阅资料，并分析研究，你对几何与现实空间之间的联系，有哪些体会？三、习题检测1．证明图中的双曲线与1在双曲平面D上不想交。
2．证明在双曲平面内，过双曲直线外一点，有无数条双曲直线与已知的双曲直线不相交。
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三角形内角和大于180°．
三角形内角和小于180°．
三角形的面积与内角和无关．
三角形的面积与内角和减180°成正比．
三角形的面积与180°减内角和成正比．
当然，这三种几何也有相同的地方：
1. 三角形中两边之和大于第三边；
2. 若两个三角形的三对边对应相等，则两个三角形全等．
设ｋ为ｗ内垂直于ｘ的射线或者圆心在ｘ上的半圆，点Ａ为ｋ外的一点，则过点Ａ必可作两个半圆（或一射线、一半圆），其圆心在ｘ上，且与ｋ相切（显然，切点在ｘ上，而ｘ上的点都不在ｗ内），那么经过点A就有两条非欧直线与ｋ都不相交，所以在ｗ内，非欧平行公理是成立的．当然，在ｗ中我们还需要 说明两段非欧线段相等的概念、两个 非欧角相等的概念等，这就要 涉及其他的数学知识．这里就 不再介绍了．上面模型是庞加莱模型，庞加莱模型是一个双曲几何的模型．
***************
…………….
不相同的定理
平面三角形内角和等于180°．
球面三角形内角和大于180°．
平面三角形的面积与内角和无关．
球面三角形的面积与内角和减∏成正比．
同一平面上存在两个不全等的相似三角形．
同一球面上不存在两个不全等的相似三角形．
…….
…….
为什么会出现不同？追溯其根源，是平面上有这样一个结论：过直线外一点，有且只有一条直线与该直线不相交．我们把两条不想交的直线称为平行线，上述结论最早出现在欧几里得所著的《原本》中，所以我们把上述结论称为欧氏平行公理．在欧氏平行公理成立的条件下，推导出来的所有定理及其他结果所组成的几何体系成为欧氏几何．
那么是否在某个特殊的平面上，可以把某种曲线叫作直线，此时，非欧平行公理是成立的，这个平面可作为非欧几何模型．
下面，我们给出法国数学家庞加莱建立的满足非欧平行公理的一种几何模型．
在欧氏平面上做一条直线ｘ，以ｘ为边缘的上半平面（不包含ｘ上的点）记为ｗ，现在考虑ｗ内部的点，我们规定ｗ内部 的点为非欧点，圆心在ｘ上的半圆或垂直于ｘ的射线称为非欧直线．那么，在ｗ内、圆心在ｘ上的一段圆弧或垂直于ｘ的射线上的一条线段是非欧线段，两条非欧直线的夹角是非欧角．这样，在ｗ内部建立了一个非欧几何的模型，在此模型内满足：过直线外一点，不只一条直线与该直线不相交．
教学内容
知识回顾：通过前面的学习，我们知道球面几何与平面几何中的许多定理是相同的，但也有一些是不相同的。
导入新课：在本讲，我们首先通过平面几何与球面几何的比较，追溯某些定理不相同的根源，给出欧氏几何与非欧几何的定义；然后通过欧氏平行公理的分析，给出非欧几何的一种模型——庞加莱模型。
教学重难点
把“过直线外一点，没有一条直线与该直线不相交”作为公设推导出的几何称为椭圆几何．非欧几何主要有椭圆几何和双曲几何，它们与欧氏几何有明显的差异．
欧氏几何 椭圆几何 双曲几何
过直线外一点，有且只有一条直线与该直线不相交．
过直线外一点，没有一条直线与该直线不相交．
过直线外一点，不只一条直线与该直线不相交．
球面几何与平面பைடு நூலகம்何的比较；非欧几何的概念和意义；庞加莱模型。
教学目标
知识与能力：感知球面几何与平面几何的异同点；认识非欧几何的特点；了解庞加莱模型的内涵。
情感与态度：从对比中学习知识；培养合作交流意识。
一 平面几何与球面几何的比较
相 同的定理
1.平面（球面）三角形两边之和大于第三边．
球面上的大圆可视为直线．在球面上有这样一个结论：任意两条直线（大圆）都相交，即过直线外一点，没有一条直线与该直线不相交．也就是说，对球面上的大圆而言，欧氏平行公理是不成立的．于是，在球面上产生了一些与欧氏平面几何完全不同的定理．
在欧氏平行公理不成立的条件下，推导出来的所有定理与其结果所组成的几何体系，称为非欧几何．
二 欧氏平行公理与非欧几何模型——庞加莱模型
在球面上欧氏平行公理不成立的原因，是我们把大圆当作直线，因此任意两条直线都相交．但是大圆是弯曲的，并非像直线一样是笔直的；大圆的长度是有限的，而直线的长度是可以无限增大的．那么，为什么把大圆作为直线呢？
在球面上，大圆具有直线在平面上的一些最基本的性质。例如，过两点有且只有一条直线；两点之间的连线中直线最短，等等，这些性质球面上的大圆都具备．所以大圆可以作为直线所具有的基本性质的一种说明或解释，这种解释可以视为一种模型．
三 欧氏几何与非欧几何的意义
欧氏平行公理与非欧平行公理看起来是相互矛盾的，在一般情况下，如果有两个互相矛盾的结论，则必定有一个是错误的，现在我们如何判断谁对谁错？
首先，判断一种几何是否正确的标准是什么？ 1. 这种几何在理论上是否成立，这是逻辑问题；2.这种几何在实际中是否成立，能否刻画我们生活的物理世界．
数学家用间接的方法，在欧氏几何中建立了一个非欧几何的模型，在这个模型中，规定了一些非欧基本概念后，全部的推理都是依照欧氏几何所遵循的逻辑进行的，因此这个模型是欧氏几何与非欧几何的一个桥梁．
非欧几何的结论通过模型又可解释为欧氏几何中的一个结论，这样一来，如果非欧几何是矛盾的，那么，欧氏几何在逻辑上也是矛盾的，因此，庞加莱模型告诉我们，如果欧氏几何是无矛盾的，那么非欧几何也是无矛盾的．
2.若两个平面（球面）三角形的三对边对应相等，则两个三角形全等．3.若两个平面（球面）三角形的两对边对应相等，且其夹角对应相等，则两个三角形全等．4.若两个平面（球面）三角形的两对角对应相等，且其夹边对应相等，则两个三角形全等．
5.平面（球面）等腰三角形的两底角相等，两腰对应相等．
现在我们来分析一下欧氏平行公理：“过直线外一点，有且只有一条直线与该直线不相交．”在欧几里得几何学中是公设，所以我们当然可以怀疑它是否正确．
在球面上，如果我们把大圆作为直线，那么这个结论就不正确．这是一种怀疑方式，即“过直线外一点，没有一条直线与该直线不相交”．
我们还可以用另一种方式来怀疑它，即“过直线外一点，不只一条直线与该直线不相交”．我们把这样改变后的结论称为非欧（双曲）平行公理．有双曲平行公理成立的情况下，推导出来的所有定理所组成的几何体系称为双曲几何．
爱因斯坦认为，时间和空间是不可分的，物理空间十分复杂，无论欧氏几何或非欧几何都不能全面、精确的解释物理的时空概念，但他们都是物理空间，对物理空间在不同方面有很好的近似．因此，两者对于我们的世界有重要的物理意义．
课堂小结：作为本书的最后一讲，这里主要介绍了非欧几何的一种模型——庞加莱模型，同时，简单介绍一下欧氏几何与非欧几何的意义．