函数的周期和对称性

专题：函数的周期性对称性

1、周期函数的定义

一般地，对于函数)(x f y =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，那么函数)(x f y =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的一个周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

显然，若T 是函数的周期，则)0,(≠∈k z k kT 也是)(x f 的周期。如无特别说明，我们后面一般所说的周期是指函数的最小正周期。 说明：1、周期函数定义域必是无界的。 2、周期函数不一定都有最小正周期。

推广：若)()(b x f a x f +=+，则)(x f 是周期函数，a b -是它的一个周期；

)2

()2(T

x f T x f -=+，则)(x f 周期为T ；

()f x 的周期为)(x f T ω⇔的周期为

ω

T 。 2、常见周期函数的函数方程：

（1）函数值之和定值型，即函数)()()(b a C x b f x a f ≠=+++

对于定义域中任意x 满足)()()(b a C x b f x a f ≠=+++，则有)()]22([x f a b x f =-+，故函数)(x f 的周期是)(2a b T -=

特例：()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；

（2）两个函数值之积定值型，即倒数或负倒数型 若)()()(可正可负，C b a C x b f x a f ≠=+⋅+，则得

)]22()2[()2(a b a x f a x f -++=+，所以函数)(x f 的周期是)(2a b T -=

（3）分式型，即函数)(x f 满足)()

(1)

(1)(b a b x f b x f a x f ≠+-++=

+

由)()(1)(1)(b a b x f b x f a x f ≠+-++=

+得)

2(1

)2(b x f a x f +-=+，进而得

1)2()2(-=+⋅+b x f a x f ，由前面的结论得)(x f 的周期是)(4a b T -=

特例：

()()

1

f x a f x +=±

，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； )

(11

)(x f a x f +-

=+，则()x f 是以a T 3=为周期的周期函数.

)

(1

1)(x f a x f -

=+，则()x f 是以a T 3=为周期的周期函数. )

(11

)(x f a x f -=

+，则()x f 是以a T 3=为周期的周期函数.

1()

()1()

f x f x a f x ++=

-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.

1

)(1

)()(+-=

+x f x f a x f ，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.

1

)(1

)()(-+=

+x f x f a x f ，则()x f 是以a T 2=为周期的周期函数.

1()

()1()

f x f x a f x -+=

+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.

（4）递推型：

)()()(a x f x f a x f --=+（或)2()()(a x f a x f x f ---=），则)(x f 的周期T = 6a （联系数列）

()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)

(x f 的周期T=5a ；

，，满足)0())(()()(≠=+=a x f g a x f x f y 其中)()(1

x g x g =-，则)(x f y =是以a 2为周

期的周期函数。

3、函数的对称性与周期性之间的联系：双对称性函数的周期性

具有多重对称性的函数必具有周期性。即，如果一个函数有两条对称轴（或一条对称轴和一个对称中心、或两个纵坐标相同的对称中心），则该函数必为周期函数。 相关结论如下：

结论1：两线对称型：如果定义在R 上的函数()f x 有两条对称轴x a =、x b =，即()()f a x f a x +=-，且()()f b x f b x +=-，那么()f x 是周期函数，其中一个周期

2T a b =-

证明：∵()()f a x f a x +=-得()(2)f x f a x =- ()()f b x f b x +=-得()(2)f x f b x =- ∴(2)(2)f a x f b x -=- ∴()(22)f x f b a x =-+

∴函数()y f x =是周期函数，且22b a -是一个周期。

【注意：上述2a b -不一定是最小正周期。若题目所给两条对称轴x a =、x b =之间没有其他对称轴，则2a b -是最小正周期。具体可借助三角函数来进行分析。下同。】 结论2：两点对称型：如果函数同时关于两点(),a c 、(),b c （a b ≠）成中心对称，即

()()2f a x f a x c ++-=和()()2f b x f b x c ++-=()a b ≠，那么()f x 是周期函数，其中一

个周期2T a b =-

证明：由()()2f a x f a x c ++-=⇒()(2)2f x f a x c +-=

()()2f b x f b x c ++-=⇒()(2)2f x f b x c +-= 得(2)(2)f a x f b x -=- 得()(22)f x f b a x =-+

∴函数()y f x =是以22b a -为周期的函数。

结论3：一线一点对称型：如果函数()f x 的图像关于点(),a c （0a ≠）成中心对称，且关于直线x b =（a b ≠）成轴对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期4T a b =- 证明：()()2()(2)2f a x f a x c f x f a x c ++-=⇒+-= ()()()(2)f b x f b x f x f b x +=-⇒=- (4())(2(42))f b a x f b a b x -+=---

(42)(2(22))2(22)f a b x f a b a x c f b a x --=--+=--+ 2(2(2))2(2)c f b a x c f a x =---=--

2(2())22()()c c f x c c f x f x =--=-+=

推论1：如果偶函数()f x 的图像关于直线x a =（0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a =