函数的周期和对称性
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专题:函数的周期性对称性
1、周期函数的定义
一般地,对于函数)(x f y =,如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有)()(x f T x f =+,那么函数)(x f y =就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的一个周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。
显然,若T 是函数的周期,则)0,(≠∈k z k kT 也是)(x f 的周期。如无特别说明,我们后面一般所说的周期是指函数的最小正周期。 说明:1、周期函数定义域必是无界的。 2、周期函数不一定都有最小正周期。
推广:若)()(b x f a x f +=+,则)(x f 是周期函数,a b -是它的一个周期;
)2
()2(T
x f T x f -=+,则)(x f 周期为T ;
()f x 的周期为)(x f T ω⇔的周期为
ω
T 。 2、常见周期函数的函数方程:
(1)函数值之和定值型,即函数)()()(b a C x b f x a f ≠=+++
对于定义域中任意x 满足)()()(b a C x b f x a f ≠=+++,则有)()]22([x f a b x f =-+,故函数)(x f 的周期是)(2a b T -=
特例:()()f x a f x +=-,则()x f 是以2T a =为周期的周期函数;
(2)两个函数值之积定值型,即倒数或负倒数型 若)()()(可正可负,C b a C x b f x a f ≠=+⋅+,则得
)]22()2[()2(a b a x f a x f -++=+,所以函数)(x f 的周期是)(2a b T -=
(3)分式型,即函数)(x f 满足)()
(1)
(1)(b a b x f b x f a x f ≠+-++=
+
由)()(1)(1)(b a b x f b x f a x f ≠+-++=
+得)
2(1
)2(b x f a x f +-=+,进而得
1)2()2(-=+⋅+b x f a x f ,由前面的结论得)(x f 的周期是)(4a b T -=
特例:
()()
1
f x a f x +=±
,则()x f 是以2T a =为周期的周期函数; )
(11
)(x f a x f +-
=+,则()x f 是以a T 3=为周期的周期函数.
)
(1
1)(x f a x f -
=+,则()x f 是以a T 3=为周期的周期函数. )
(11
)(x f a x f -=
+,则()x f 是以a T 3=为周期的周期函数.
1()
()1()
f x f x a f x ++=
-,则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.
1
)(1
)()(+-=
+x f x f a x f ,则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.
1
)(1
)()(-+=
+x f x f a x f ,则()x f 是以a T 2=为周期的周期函数.
1()
()1()
f x f x a f x -+=
+,则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.
(4)递推型:
)()()(a x f x f a x f --=+(或)2()()(a x f a x f x f ---=),则)(x f 的周期T = 6a (联系数列)
()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)
(x f 的周期T=5a ;
,,满足)0())(()()(≠=+=a x f g a x f x f y 其中)()(1
x g x g =-,则)(x f y =是以a 2为周
期的周期函数。
3、函数的对称性与周期性之间的联系:双对称性函数的周期性
具有多重对称性的函数必具有周期性。即,如果一个函数有两条对称轴(或一条对称轴和一个对称中心、或两个纵坐标相同的对称中心),则该函数必为周期函数。 相关结论如下:
结论1:两线对称型:如果定义在R 上的函数()f x 有两条对称轴x a =、x b =,即()()f a x f a x +=-,且()()f b x f b x +=-,那么()f x 是周期函数,其中一个周期
2T a b =-
证明:∵()()f a x f a x +=-得()(2)f x f a x =- ()()f b x f b x +=-得()(2)f x f b x =- ∴(2)(2)f a x f b x -=- ∴()(22)f x f b a x =-+
∴函数()y f x =是周期函数,且22b a -是一个周期。
【注意:上述2a b -不一定是最小正周期。若题目所给两条对称轴x a =、x b =之间没有其他对称轴,则2a b -是最小正周期。具体可借助三角函数来进行分析。下同。】 结论2:两点对称型:如果函数同时关于两点(),a c 、(),b c (a b ≠)成中心对称,即
()()2f a x f a x c ++-=和()()2f b x f b x c ++-=()a b ≠,那么()f x 是周期函数,其中一
个周期2T a b =-
证明:由()()2f a x f a x c ++-=⇒()(2)2f x f a x c +-=
()()2f b x f b x c ++-=⇒()(2)2f x f b x c +-= 得(2)(2)f a x f b x -=- 得()(22)f x f b a x =-+
∴函数()y f x =是以22b a -为周期的函数。
结论3:一线一点对称型:如果函数()f x 的图像关于点(),a c (0a ≠)成中心对称,且关于直线x b =(a b ≠)成轴对称,那么()f x 是周期函数,其中一个周期4T a b =- 证明:()()2()(2)2f a x f a x c f x f a x c ++-=⇒+-= ()()()(2)f b x f b x f x f b x +=-⇒=- (4())(2(42))f b a x f b a b x -+=---
(42)(2(22))2(22)f a b x f a b a x c f b a x --=--+=--+ 2(2(2))2(2)c f b a x c f a x =---=--
2(2())22()()c c f x c c f x f x =--=-+=
推论1:如果偶函数()f x 的图像关于直线x a =(0a ≠)对称,那么()f x 是周期函数,其中一个周期2T a =