最新菱形基础知识点及同步练习、含答案(3)

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菱形练习题及答案

菱形练习题及答案一、菱形的定义和特征菱形是指具有四条边长度相等且相互平行的四边形。

其特征包括：1) 所有四个角都是直角；2) 对角线相等，且互相垂直。

在数学中，菱形常被用作练习几何图形的平面几何题目。

二、菱形练习题以下是一些菱形练习题，每个题目后附有解题答案，以帮助学生更好地理解和掌握菱形的性质。

1. 题目：菱形ABCD的对角线AC长度为8cm，角ADC的度数为60°，求菱形的面积。

解答：首先，由于对角线相等，可以得知BD的长度也为8cm。

由菱形的性质可知，对角线相互垂直，故角BDC的度数为90°。

于是，我们可以通过AD和BD的长度以及ADC的度数，计算出三角形ADC 的边长。

根据余弦定理，我们可以得到：AC² = AD² + DC² - 2 * AD * DC * cos(ADC)8² = AD² + AD² - 2 * AD * AD * cos(60°)64 = 2AD² - 2 * AD² * 0.564 = AD²得到 AD = 8cm，同理可得DC = 8cm。

因此，菱形ABCD的面积为1/2 * AD * DC = 1/2 * 8 * 8 = 32cm²。

2. 题目：菱形EFGH的对角线EF长度为10cm，角EFG的度数为120°，求菱形的周长。

解答：由菱形的性质可知，菱形的周长等于4倍对角线的长度。

因此，菱形EFGH的周长为4 * 10 = 40cm。

三、菱形练习题答案1. 菱形ABCD的面积为32cm²。

2. 菱形EFGH的周长为40cm。

通过以上两个练习题，我们可以巩固菱形的定义和性质，掌握计算菱形的面积和周长的方法。

总结：菱形作为一种常见的几何图形，在数学学习中经常出现。

通过练习菱形题目，我们可以巩固菱形的定义和特征，提高解题能力，并运用这些知识解决实际问题。

菱形性质及判定练习题

菱形性质及判定练习题
菱形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质。

本文将介绍
关于菱形性质的一些基本概念，并提供一些判定练题，以帮助大家
加深对菱形的理解。

菱形的定义和性质
菱形是一个有四条边的四边形，其特点是所有四条边的长度相等。

以下是一些关于菱形的基本性质：
1. 菱形的对边平行：菱形的对边是平行的。

这意味着连接菱形
对角线的线段也是平行的。

2. 菱形的对角线相等：菱形的两条对角线相等的长度。

3. 菱形的角度性质：菱形的内角都是直角，即90度。

此外，
菱形的两个邻边的夹角也是相等的。

这意味着，如果一个角是直角，则菱形的其他三个角也都是直角。

菱形的判定练题
下面是一些菱形的判定练题，用以考察你对菱形性质的理解。

1. 若一个四边形的边长都相等，且对角线相等，是否可以判定该四边形是菱形？
2. 若一个四边形的对边平行，且对角线相等，是否可以判定该四边形是菱形？
3. 若一个四边形的内角都是直角，对角线相等，是否可以判定该四边形是菱形？
4. 若一个四边形的两个邻边的夹角相等，对角线相等，是否可以判定该四边形是菱形？
请你在思考后回答以上问题，并确切判断其是否是菱形。

这些练题将帮助你加深对菱形性质的认识和理解。

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菱形是一种有四条边的特殊四边形，其所有边长相等。

菱形的
对边平行，对角线相等，内角都是直角，且邻边的夹角相等。

通过
判定四边形的边长、对边平行、内角直角以及邻边夹角相等的条件，我们可以推断出一个四边形是否是菱形。

(完整版)菱形练习题(含答案),推荐文档

点拨：要说明 EF 与 DK 互相垂直平分，只要说明四边形 DEKF 是菱形，要说明四边形 DEKF 是菱形，可先说明四边形 DEKF 是平行四边形，再说明一组邻边相等即可．
A
H KG
E
F
B
DC
中点∴AE=CF , △≌AE△D CFB(SAS) ．
（2）若 AD⊥BD，则四边形 BFDE 是菱形．证明： AD BD ，△ABD 是 Rt△ ，且 AB 是斜边（或 ADB 90 ）, E 是 AB 的中点， DE 1 AB BE ．由题意可 EB ∥ DF 且 EB DF ，
∴
∴
．
4.如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别相交于点 E、F．求证：四边形 AFCE 是菱形．证明：∵AE∥FC．∴∠EAC=∠FCA．又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF． ∴EO=FO．又 EF⊥AC，∴AC 是 EF 的垂直平分线． ∵EF 是 AC 的垂直平分线．∴四边形 AFCE 为菱形
2 四边形 BFDE 是平行四边形，四边形 BFDE 是菱形．
实战演练
1.一菱形周长是 20cm，两条对角线的比是 4∶3，则这菱形的面积是（ B ） A.12cm2
B.24cm2 C.48cm2
D.96cm2
2.如图，已知长方形 ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线 BD 的中点 O 做 BD 的垂直平分线 EF，分别交 AD、BC 于
5.在 ABCD 中， E，F 分别为边 AB，CD 的中点，连接 DE，， BF BD ．（1）求证： △≌AD△E CBF ．（2）若 AD BD ，则四边形 BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．

北师大九年级菱形教案知识点及习题

菱形的性质与判定【基础知识精讲】定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．定理1：四边都相等的四边形是菱形．定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【重点难点解析】1．菱形的性质(1)菱形具有平行四边形的一切性质；(2)菱形的四条边都相等；(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；(4)菱形是轴对称图形．2．菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半．3.菱形的判别方法：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边都相等的四边形是菱形1.1菱形的性质一、菱形的定义例1、如图，在▱ABCD中，AB＝BC，下列结论错误的是( )A．四边形ABCD是菱形 B．AB＝ADC．AO＝OC，BO＝OD D．∠BAD＝∠ABC例2、如图，在▱ABCD中，若∠1＝∠2，则▱ABCD是________．例3、如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD 成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠BAC=∠DAC二、菱形的性质1：菱形具有平行四边形的一切性质例1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等 B．对角相等C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直例2、如图，四边形ABCD是菱形BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．求证：BE=BF例3、如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD 的延长线于点F，求证：DF=BE．三、菱形的性质2：菱形的四条边都相等例1、如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是( )A．25 B．20 C．15 D．10例2、已知菱形ABCD的周长为16 cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．四、菱形的性质3：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角例1、菱形的一个内角为120°，边长为8，那么它较短的对角线长是( ) A．3 B．4 C．8 D．6例2、如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )A．15°或30° B．30°或45°C．45°或60° D．30°或60°例3、如如如如如如ABCD如如如如如AC如BD如如如如O如如如D如如如如BD如如如如BA如如如如如如E.(1)如如如如如如ACDE如如如如如如如(2)如AC如8如BD如6如如△ADE如如如如五、菱形的面积例1、菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足(a－1)2＋b－4＝0，那么菱形的面积为( )A．1 B．2 C．4 D．8例2、在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝12，则它的面积是________．例3．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O是对角线BD的中点，过O 点作OE⊥AB，垂足为点E.(1)求∠ABD的度数； (2)求线段BE的长； (3)求菱形ABCD的面积．1.2菱形的判定一、一组邻边相等的平行四边形是菱形；例1、如图,在□ABCD中,对角线AC⊥BD.求证:四边形ABCD是菱形.例2、如如，如△ABC如，AD如∠BAC如如如如，DE∥AC如AB如E，DF∥AB如AC如F，如如如如如如AEDF如如如如例3、如如如如△ABC如如AD如如如如如如E如AB如如如如如AE如AC如EG∥BC如EG如AD如如G.如如如如如如EDCG如如如.二、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；例1、如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证四边形AFCE是菱形．例2、如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，以大于12AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M，N；②连接MN，分别交AB，AC于点D，O；③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE，CD.(1)求证：四边形ADCE是菱形；(2)当∠ACB＝90°，BC＝6，△ADC的周长为18时，求四边形ADCE的面积．例3、如图，在▱ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线分别与AB、CD的延长线交于点E、F，当AC与EF满足什么条件时，四边形AECF是菱形？请给出证明．三、四条边都相等的四边形是菱形例1、如图,在△ABC中,AD是角平分线,点E、F分别AB、AD上,且AE=AC,EF= ED.求证：四边形CDEF是菱形.例2、如△ABC如，M如AC如如如如如，如如BM.如△ABC如AC如如，如如B如如如D如，如DM∥AB如，如如如如如如ABMD如如如如例3、如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．。

菱形基础知识点及同步练习、含答案

学科：数学菱形【基础知识精讲】定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.定理1四边都相等的四边形是菱形.定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.【重点难点解析】1. 菱形的性质（1）菱形具有平行四边形的一切性质；（2）菱形的四条边都相等；（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形是轴对称图形.2•菱形的面积=底X高=对角线乘积的一半.A .重点、难点提示1. 理解并掌握菱形的概念，性质和判别方法；（这是重点，也是难点，要掌握好）2. 经历探索菱形的性质和判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的基本方法；3. 了解菱形的现实应用和常用的判别条件；4. 体会特殊与一般的关系.B.考点指要菱形是特殊的平行四边形，其性质和判别方法是中考的重要内容之一.一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质. 除具有平行四边形的一切性质外，菱形还具有以下性质：①菱形的四条边都相等；②两条对角线互相垂直平分；（出现了垂直，常与勾股定理联系在一起）③每一条对角线都平分一组内角. （出现了相等的角，常与角平分线联系在一起）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在直线是它的两条对称轴. （不是对角线，而是其所在直线，因为对称轴是直线，而对角线是线段）菱形的判别方法：（学会利用轴对称的方法研究菱形）①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边都相等的四边形是菱形.【难题巧解点拨】例 1 :如图4-24，在△ ABC 中，/ BAC=90 ° , AD 丄BC 于 D , CE 平分/ ACB，交AD于G ,交AB 于E , EF 丄BC 于F .求证：四边形 AEFG 是菱形.思路分析由已知可知，图中有平行线，就可证角相等、线段相等，因此，可先证四边形是平行四边形，再证一组邻边相等.证明：•••/ BAC=90 ° , EF 丄 BC , CE 平分/ ACB , ••• AE=EF ，/ CEA= / CEF .（这是略证，并不是完整的证明过程） •/ AD 丄 BC , EF 丄 BC ,• - EF // AD ,（垂直于同一条直线的两条直线互相平行） •••/ CEF= / AGE ,（两直线平行，内错角相等） •••/ CEA= / AGE , • AE=AG ,• EF // AG ，且 EF=AG ,•四边形AEFG 是平行四边形.（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）又••• AE=EF ,•平行四边形 AEFG 是菱形.例2:已知菱形的周长为 20cm , —条对角线长为 5cm ，求菱形各个角的度数.已知：菱形 ABCD 中，AB+BC+CD+DA=20cm ，对角线 AC=5cm .求/ ADC 、/ ABC 、 / BCD 、/ DAB 的度数.思路分析利用菱形的四条边相等，可求出各边长，从而得到等边三角形，如图4-25 .解：在菱形ABCD 中，•/ AB=BC=CD=DA ，又 AB+BC+CD+DA=20cm • AB=BC=CD=DA=5cm 又 T AC=5cm ，AEFG••• AB=BC=AC , CD=DA=AC ,•••△ABC和厶DAC都是等边三角形，（本题将边之间的长度关系转化为角的关系）•••/ ADC= / ABC=60。

(完整版)第十八章菱形知识点总结

(完整版)第十八章菱形知识点总结
1. 菱形定义和特性
菱形是一种几何形状，具有以下特性：
- 拥有四条边和四个角，其中每个角都是直角。

- 两条对角线相等且垂直交叉。

- 对角线的交点称为菱形的中心。

2. 菱形的性质
- 对角线相等性质：菱形的两条对角线相等。

- 对角线垂直性质：菱形的两条对角线相互垂直。

- 边长平行性质：菱形的相邻边互相平行。

3. 菱形的周长和面积计算公式
- 周长计算公式：菱形的周长等于边长乘以4，即 `周长 = 4 ×边长`。

- 面积计算公式：菱形的面积等于对角线之积的一半，即 `面积= (对角线1 ×对角线2) / 2`。

4. 菱形的相关图形和实际应用
- 平行四边形：菱形的特殊情况，具有相邻边平行的性质。

- 菱形切割：通过两个垂直相交的菱形切割，可以得到多个边长相等的小菱形。

- 菱形形状的物体：例如球场的中央足球场草坪通常呈现菱形形状。

5. 菱形的重要性和研究价值
- 菱形是几何学中重要的基本形状之一，了解和掌握菱形的定义和性质对进一步研究和理解其他几何形状非常有帮助。

- 菱形相关的计算公式可以应用于解决实际生活中的问题，例如计算球场草坪的总面积等。

- 掌握菱形的切割方法和相关技巧，能够发展和培养几何思维和想象力。

6. 总结
第十八章菱形知识点总结了菱形的定义、特性、性质、周长和面积计算公式，以及菱形的相关图形和实际应用。

菱形作为几何学中的重要形状，掌握其知识和技巧对学习和应用几何学具有重要意义。

希望这份总结能够帮助你更好地理解和掌握菱形的相关知识。

菱形基础知识点及同步练习、含答案汇编

学科：数学菱形【基础知识精讲】定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．定理1：四边都相等的四边形是菱形．定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【重点难点解析】1．菱形的性质(1)菱形具有平行四边形的一切性质；(2)菱形的四条边都相等；(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；(4)菱形是轴对称图形．2．菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半．A．重点、难点提示1．理解并掌握菱形的概念，性质和判别方法；（这是重点，也是难点，要掌握好）2．经历探索菱形的性质和判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的基本方法；3．了解菱形的现实应用和常用的判别条件；4．体会特殊与一般的关系．B．考点指要菱形是特殊的平行四边形，其性质和判别方法是中考的重要内容之一．一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质．除具有平行四边形的一切性质外，菱形还具有以下性质：①菱形的四条边都相等；②两条对角线互相垂直平分；（出现了垂直，常与勾股定理联系在一起）③每一条对角线都平分一组内角．（出现了相等的角，常与角平分线联系在一起）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在直线是它的两条对称轴．（不是对角线，而是其所在直线，因为对称轴是直线，而对角线是线段）菱形的判别方法：（学会利用轴对称的方法研究菱形）①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边都相等的四边形是菱形．【难题巧解点拨】例1：如图4-24，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG是菱形．思路分析由已知可知，图中有平行线，就可证角相等、线段相等，因此，可先证四边形AEFG 是平行四边形，再证一组邻边相等．证明：∵∠BAC=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB，∴AE=EF，∠CEA=∠CEF．（这是略证，并不是完整的证明过程）∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴EF∥AD，（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）∴∠CEF=∠AGE，（两直线平行，内错角相等）∴∠CEA=∠AGE，∴AE=AG，∴EF∥AG，且EF=AG，∴四边形AEFG是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）又∵AE=EF，∴平行四边形AEFG是菱形．例2：已知菱形的周长为20cm，一条对角线长为5cm，求菱形各个角的度数．已知：菱形ABCD中，AB+BC+CD+DA=20cm，对角线AC=5cm．求∠ADC、∠ABC、∠BCD、∠DAB的度数．思路分析利用菱形的四条边相等，可求出各边长，从而得到等边三角形，如图4-25．解：在菱形ABCD中，∵AB=BC=CD=DA，又AB+BC+CD+DA=20cm，∴AB=BC=CD=DA=5cm，又∵AC=5cm，∴AB=BC=AC，CD=DA=AC，∴△ABC和△DAC都是等边三角形，（本题将边之间的长度关系转化为角的关系）∴∠ADC=∠ABC=60°，∠BCD=∠DAB=120°．例3：如图4-26，在平行四边形ABCD中，∠BAE=∠FAE，∠FBA=∠FBE．求证：四边形ABEF是菱形．证法一：∵AF∥BE，∴∠FAE=∠AEB （两直线平行，内错角相等）又∵∠BAE=∠FAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．（等角对等边）同理，AB=AF，BE=EF，∴AB=BE=EF=AF，∴四边形ABEF是菱形．（四条边都相等的四边形是菱形）证法二：∵AF∥BE，∴∠FAE=∠AEB，又∵∠BAE=∠FAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．又∵∠FBA=∠FBE，∴AO=OE，AE⊥FB，（等腰三角形三线合一）同理，BO=OF，∴四边形ABEF是菱形．（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）（你还有其他的证明方法吗？不妨试一下）例4：菱形的两邻角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为__________．思路分析本题主要考查菱形的性质和面积公式的应用：解法一：如图4-27，∠B：∠A=1：2，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，∴∠A+∠B=180°，∴∠B=60°，∠A=120°，过A 作AE ⊥BC 于E ，∴∠BAE=30°，1AB 21BE ==∴，（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半） 312B E AB AE 2222=-=-=∴，（勾股定理） 32AE BC S ABCD =⋅=∴菱形．（平行四边形的面积计算方法是：底乘以高）解法二：如图4-28，∠B ∶∠A=1∶2，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，∴∠A+∠B=180°，∴∠B=60°，∠A=120°，连结AC 、BD 交于点O ，︒=∠=∠∴30B 21ABD ，AC ⊥BD ．（菱形的性质：对角线平分一组对角，对角线互相垂直）在Rt △ABO 中，1AB 21AO ==， 312AO AB B O 2222=-=-=∴，∴AC=2，32BD =， 3232221BD AC 21S ABCD =⨯⨯=⋅=∴菱形．答：菱形的面积为32．【典型热点考题】例1 如图4-13，已知菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，求∠CEF 的度数．点悟：由∠B=60°知，连接AC得等边△ABC与△ACD，从而△ABE≌△ADF，有AE=AF，则△AEF为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF．解：连接AC．∵四边形ABCD为菱形，∴∠B=∠D= 60°，AB=BC=CD=DA，∴△ABC与△CDA为等边三角形．∴ AB=AC，∠B=∠ACD=∠BAC=60°，∵∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF．∴ AE=AF．又∵∠EAF=60°，∴△EAF为等边三角形．∴∠AEF=60°，∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，∴ 60°+18°=60°+∠CEF，∴∠CEF=18°．例2已知如图4-14，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD 于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG为菱形．点悟：可先证四边形AEFG为平行四边形，再证邻边相等(或对角线垂直)．证明：∵∠BAC=90°，EF⊥BC，CE平分∠BCA，∴ AE=FE，∠AEC=∠FEC．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠FEC=∠AGE，∴∠AEC=∠AGE∴ AE=AG，∴∴四边形AEFG为平行四边形．又∵ AE=AG．∴四边形AEFG为菱形．点拨：此题还可以用判定菱形的另两种方法来证．例3 已知如图4-15，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE．求证：EB=OA证明：∵四边形ABCD为菱形，∴∠ABC=2∠ABD， AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵ AB=AE，∴∠ABC=∠AEB．∴∠DAE=2∠ABD．∵∠DAE=2∠BAE，∴∠ABD=∠BAE，∴ OA=OB．∵∠BOE=∠ABD+∠BAE，∴∠BOE=2∠BAE．∴∠BEA=∠BOE，∴ OB=BE，∴ AO=BE．说明：利用菱形性质证题时，要灵活选用，选不同性质，就会有不同思路．例4已知菱形的一边与两条对角线构成的两角之比为5：4，求菱形的各内角的度数．点悟：先作出菱形ABCD和对角线AC、BD(如图4-16)．解：∵四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，∴∠1+∠2=90°，又∵∠1：∠2=4：5，∴∠1=40°，∠2=50°，∴∠DCB=∠DAB=2∠2=100°，故∠CBA=∠CDA=2∠1=80°．【同步达纲练习一】一、选择题1．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为 ( ) (A)45°， 135° (B)60°， 120° (C)90°， 90° (D)30°， 150°2．若菱形的一条对角线长是另一条对角线的2倍，且此菱形的面积为S ，则它的边长为( )(A)S (B)S 21 (c)S 321 (D)S 521二、填空题3．已知：菱形ABCD 中，E 、F 是BC 、CD 上的点，且AE=EF=AF=AB ，则∠B=________. 4．已知：菱形的两条对角线长分别为a 、b ，则此菱形周长为_______，面积为__________.5．菱形具有而矩形不具有的性质是_______.6．已知一个菱形的面积为38平方厘米，且两条对角线的比为1：3，则菱形的边长为_________.三、解答题 7．已知：O 为对角线BD 的中点，MN 过O 且垂直BD ，分别交CD 、AB 于M 、N ．求证：四边形DNBM 是菱形．8．如图4-17，已知菱形ABCD 的对角线交于点O ，AC=16cm ，BD=12cm ，求菱形的高．【同步达纲练习二】1．在菱形ABCD 中，若∠ADC=120°，则BD ：AC 等于( ) A ．2:3B ．3:3C ．1：2D ．1:32．已知菱形的周长为40cm ，两对角线的长度之比为3：4，则两对角线的长分别为( ) A ．6cm ，8cm B ．3cm ，4cm C ．12cm ，16cm D ．24cm ，32cm 3．菱形的对角线具有( ) A ．互相平分且不垂直B ．互相平分且相等C ．互相平分且垂直D ．互相平分、垂直且相等（掌握菱形对角线的性质，注意不要增加性质）4．已知菱形的面积等于2cm 160，高等于8cm ，则菱形的周长等于____________． 5．已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，那么它的边长是______________． 6．菱形的周长是40cm ，两邻角的比是1：2，则较短的对角线长是_________cm ． 7．如图4-29，在△ABC 中，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC ，AG ⊥BC ，且BD 、AG 相交于点E ，DF ⊥BC 于F ．求证：四边形AEFD 是菱形．8．如图4-30，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与AD 、BC 、AC 分别交于点E 、F 、O ．求证：四边形AFCE 是菱形．参考答案【同步达纲练习一】一、1．B ； 2．D ；二、3．80°；4．222b a ，ab 21；5．对角线互相垂直，各边长相等． 6．4厘米．三、7．由已知MN 为BD 的垂直平分线，有 DM=BM ，DN=BN ，又由△DOM ≌△BON ，得DM=BN ，∴ DM=BM=BN=DN ．∴四边形DNBM 是菱形.8．过点D 作DH ⊥AB 于H ，则DH 为菱形的一条高．又∵ AC 、BD 互相垂直平分于O ， ∴ 821==AB OA 厘米，621==BD OB 厘米．由勾股定理，得 1022=+=BO AO AB (厘米)．又∵OA BD DH AB ⋅=⋅2121， ∴812211021⨯⨯=⨯⨯DH ，DH=9.6厘米．【同步达纲练习二】1．B ； 2．C ； 3．C ； 4．80cm ； 5．5； 6．10；7．证法一：在Rt △ABD 和Rt △FBD 中，∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠FBD ，∠DAB=∠DFB=90°，又∵BD=BD ，∴Rt △ABD ≌Rt △FBD ∴AD=DF ，∠ADE=∠EDF又∵DF ⊥BC ，AG ⊥BC ，∴DF//AE ，∴∠EDF=∠DEA ，∴∠ADE=∠DEA ，∴AD=AE ， ∴AE=DF ，∴四边形AEFD 是平行四边形． ∵AD=DF ，∴四边形AEFD 为菱形．证法二：同证法一得DF=DA=AE ，∵Rt △ABD ≌Rt △FBD ，∴AB=BF ，∴△ABE ≌△FBE ， ∴AE=EF ，∴DF=DA=AE=EF ，∴四边形AEFD 是菱形．证法三：同证法一：Rt △ABD ≌Rt △FBD ，∴AB=BF ，∴△ABE ≌△FBE ，∴∠GAB=∠EFB ，又∵∠C+∠ABC=90°，∠GAB+∠ABC=90°， ∴∠C=∠GAB ，∴∠C=∠EFB ，∴EF ∥AC ，又∵DF ∥AG ，∴四边形AEFD 是平行四边形，∵AD=DF ，∴四边形AEFD 是菱形．8．∵AD ∥BC ，∴∠OAE=∠OCF ，又∵∠AOE=∠COF=90°，AO=CO ， ∴△AOE ≌△COF ，∴AE=CF ，又∵AE ∥CF ， ∴四边形AFCE 是平行四边形．又∵EF是AC的垂直平分线，∴AE=CE．（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）∴四边形AFCE是菱形．。

菱形的性质同步练习(含答案)

第六章特殊平行四边形1 菱形的性质与判定第1课时菱形的性质基础闯关知识点一：菱形的定义与对称性1.如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是( )A.AB=ACB.AD=BDC.BE⊥ACD.BE平分∠ABC2.菱形不具备的性质是( )A.是轴对称图形B.对称轴有两条C.对称轴是两条对角线D.是中心对称图形3.如图，菱形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别(0,2),(2,1),(4,2),则顶点D的坐标是( )A.( 2,2)B.( 2,4)C.( 3,2)D.( 2,3)知识点二：菱形的性质4.在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=3,点E是BC边上的一个动点(点E与点C不重合)，点F,G分别是AE,CE的中点,则线段FG的长度为( )B.35.如图,菱形ABCD中,∠B=60°,点P从点B出发，沿折线BC-CD方向移动，移动到点D停止.在△ABP形状变化的过程中，依次出现的特殊三角形是( )A.直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B.直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D.等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形6.如图，五边形ABCDE是正五边形，以AB为边,在五边形ABCDE的内部作菱形ABCF,则∠FAE 的度数为.能力提升7.[空间观念]如图，在边长为的菱形ABCD中,∠BAD=60°,点E,F分别为折线AB-BC,AD-DC上的点(不含菱形顶点),AE=AF,BF,DE相交于点G,作射线AG.甲、乙二人分别对这个问题进行了研究：甲：射线AG不一定经过点C；乙：当DE垂直于菱形的边时，线段AG的长可能为3.下列判断正确的为( )A.甲、乙都对B.甲、乙都错C.甲对，乙错D.甲错，乙对8.如图,在菱形ABCD中,点E在对角线BD上,AE=BE,∠C=120°,若BD=12cm,则DE=__________cm.9.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF,则∠CDF=.10.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AB,AO的中点,连接EF,BF.若AF=1,AE=2,则FB的长为.11.如图,含30°角的直角三角板GEF的边GE与菱形ABCD的边AD所在直线重合，GF与BD相交于点H,EF∥CD,则∠FHD的度数是.12.[空间观念]如图,在菱形ABCD中,E,F是对角线AC上的任意两点(E，F不重合)，过点E 作ME∥AD,NE∥AB,点M,N分别在AB,AD上;过点F作RF∥AD,IF∥AB,点I,R分别在BC,DC 上,NE,RF的延长线交于点P，ME，IF的延长线交于点Q.若AC=2,∠B=60°,则图中阴影部分的周长为.13.如图，在周长为12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2,若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为.14.如图,菱形ABCD中,∠D=135°,BE⊥CD于点E,交AC于点F,FG⊥BC于点G.若△BFG的周长为5,则菱形ABCD的边长为.素养提升【应用意识——菱形性质与三角形全等的综合应用】15.[一题多解]如图,菱形ABCD中,点E是CD上一点，连接AE交对角线BD于点F，连接CF,若∠AED=50°,则∠BCF=度.16.如图,菱形ABCD中,∠ABC=80°,延长BC到点E,在∠DCE内作射线CM,使得∠ECM=30°,过点D作DF⊥CM,垂足为点F,若DF=3,则对角线BD的长为.17.[一题多辨·模型观念]如图，菱形ABCD中,AB=2cm,∠ADC=120°.(1)若E,F分别是AB,BC的中点,连接DE,DF,EF,则△DEF的周长为.(2)[一题多解]若点E,F分别在边AB,BC上,且AE=BF,试判断△DEF的形状并说明理由.(3)若点E，F同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动，点E的速度为点F的速度为经过ts,△DEF为等边三角形,则t的值为.培优创新18.在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E为动点.(1)如图①,当点E在线段AB上,且∠CEN=60°时,求证:CE=EN.(2)如图②，当E在对角线BD的延长线上，且△AEN为等边三角形时,求证:CN⊥AD.参考答案1.D2.C3.D4.A5.C6.36°7.B8.89.60°11.120° 12.813.3 [解析]作点F关于BD的对称点连接交BD于点P，则由两点之间线段最短可知，当E，P，在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时∵四边形ABCD为菱形,周长为12,∴AB=BC=CD=DA=3,四边形是平行四边形，的最小值为3.14.515.50 [解析]方法1:∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD,AD∥BC,∠ADF=∠CDF.在△ADF和△CDF中,=∠DCF.∵∠AED=50°,∴∠DAE+∠ADE=180°-50°=130° ,∴∠ADE+∠DCF=130°.∵AD∥BC,∴∠ADE+∠BCD=180°,∴∠ADE+∠BCF+∠DCF=180°,∴∠BCF=180°-130°=50°.方法2:∵四边形ABCD是菱形,∴BC=AB,∠CBF=∠ABF,AB∥CD,∴∠BAE=∠AED=50°.在△CBF和△ABF中,=∠BAF=50°.16.6 [解析]如图,连接AC交BD于点H.由菱形的性质,得∠ADC=∠ABC=80°,∠DCE=80°,∠DHC=90°.又∵∠ECM=30°,∴∠DCF=50°.∵DF⊥CM,∴∠CFD=90°,∴∠CDF=40°.又∵四边形ABCD是菱形,∴BD平分∠ADC,∴∠HDC=40°,∴易证△CDH≌△CDF,∴DH=DF=3,∴BD=2DH=6.(2)解:△DEF是等边三角形,理由:方法1:如图,连接DB.∵四边形ABCD是菱形,∠ADC=120°,∴AB=BC=CD=DA,∠A=∠DBC=∠ADB=60°,∴△ADB,△DBC为等边三角形,∴AD=BD.在△ADE和△BDF 中,△BDF,∴DE=DF,∠ADE=∠BDF,∴∠BDF+∠EDB=∠ADE+∠EDB=∠ADB=60°,∴△DEF是等边三角形.方法2:如图,延长AB至点M,使BM=AE,连接FM,则△BMF是等边三角形,可证△EMF≌△DAE,则DE=EF,∠MEF=∠ADE,∴∠MEF+∠AED=∠ADE+∠AED=120°,∴∠DEF=60°,∴△DEF是等边三角形.(3)218.证明:(1)如图①,在BC上截取BF=BE,连接FE.∵BF=BE,∠B=60°,∴△BFE是等边三角形,∴∠B=∠BFE=∠BEF=60°,∴∠EFC=120°.∵四边形ABCD是菱形,∠B=60°,∴AB=BC,∠A=120°=∠EFC,∴AE=FC.∵∠CEN=∠B=60°,∠AEC=∠B+∠BCE=∠CEN+∠AEN,∴∠BCE=∠AEN.在△AEN和△FCE中.△AEN ≌△FCE(ASA),∴CE=EN.(2)如图②,连接AC,设AD与CN的交点为O.∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,∴AB=BC,∠ABD=30°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°.∵△AEN是等边三角形,∴AN=AE,∠NAE=60° =∠BAC,∴∠BAE=∠CAN.在△ABE和△ACN中,∴△ABE≌△ACN(SAS),∴∠ABE=∠ACN=30°. ∵∠BAC=∠CAD=60°,∴∠AOC=90°,∴CN⊥AD.。

九年级- 菱形知识点典型例题及练习

菱形一、菱形的性质菱形的定义一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形的性质①具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等；③菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称和中心对称图形.推论对角线垂直的四边形面积=两条对角线乘积的一半（由对角线互相垂直可得）二、菱形的判定①有一组邻边相等的平行四边形是菱形. ②四条边都相等的四边形是菱形. ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形. ④对角线垂直且平分的四边形是菱形.⑤每一条对角线平分一组对角的四边形是菱形. 例题分析例题1 下列命题中，正确的是（） A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形 D.对角线相等的四边形是菱形例题2 如图1-1-1，将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案。

设菱形中较小角为x 度，平行四边形中较大角为y 度，则y 与x 的关系式是（）︒+=9031.x y A x y B 21.= ︒+=9021.x y C x y D 31.=图1-1-1图1-1-2例题3 如图1-1-2，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠BAD=60° ，BD=6，求菱形的边长AB 和对角线AC 的长.例题4 如图1-1-3，已知菱形ABCD 的对角线AC=16cm ，BD=12cm ，DE 垂直BC 于点E ，求DE 的长.例题 5 如图1-1-4，在菱形ABCD 中，F E ，分别是CD BC 、上的点，且CEF BAE EAF B ∠18∠60∠∠求，，°=°==的度数.例题6 如图1-1-5，在菱形ABCD 中，作一个正∆AEF ，且AE=AB ，那么∠C 的度数是多少？例题7 已知菱形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的乘积等于菱形的一条边长的平方，求菱形的四个内角.图1-1-3图1-1-4图1-1-5例题8 如图1-1-6，在菱形ABCD中， ABC=120°，点E平分DC，点P在BD上，且PE+PC=1，求边长AB的最大值.1-1-6课堂练习1.下列命题中，正确的是( )A.对角线相等的四边形是菱形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形2.菱形的周长为100 cm，一条对角线长为14 cm，它的面积是（）A．168 cm2B．336 cm2C．672 cm2 D．84 cm23.在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交AC于F，交AB于E，则，∠CDF=（）A、80°B、70°C、65°D、60°4.在凸四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BD，CD，AC的中点，要使四边形EFGH为菱形，则四边形ABCD需要满足什么条件（）A.四边形ABCD是梯形B.四边形ABCD是平行四边形C.对角线AC=BDD.AD=BC5.顺次连接一个凸四边形各边的中点，得到一个菱形，则这个四边形一定是（）A.任意四边形B.两条对角线相等的四边形C.矩形D.平行四边形6.若菱形的面积为120，一条对角线长为10，则另一条对角线长为_______，边长为________，一条边上的高为_________。

《菱形》知识清单

《菱形》知识清单一、菱形的定义在同一平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

需要注意的是，菱形首先是平行四边形，然后还需要满足邻边相等这一条件。

二、菱形的性质1、边的性质菱形的四条边都相等。

这是菱形区别于一般平行四边形的重要特征之一。

因为平行四边形对边相等，而菱形在此基础上，邻边也相等，所以四条边长度均相等。

2、角的性质菱形的对角相等，邻角互补。

这与平行四边形的角的性质是一致的。

3、对角线的性质菱形的对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角。

对角线互相垂直这一性质使得菱形具有很多独特的特点和应用。

比如，在计算菱形的面积时，就可以利用对角线的长度来计算。

4、对称性菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

同时，菱形也是轴对称图形，两条对角线所在的直线就是它的对称轴。

5、面积计算菱形的面积可以用两种方法计算：（1）底乘以高，这与计算平行四边形面积的方法相同。

（2）对角线乘积的一半。

即 S ＝ 1/2 ×对角线 1 ×对角线 2 。

三、菱形的判定1、一组邻边相等的平行四边形是菱形。

这是根据菱形的定义得出的判定方法。

2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

如果一个平行四边形的对角线互相垂直，那么它一定是菱形。

3、四条边都相等的四边形是菱形。

这一判定方法直接从边的长度来判断。

四、菱形性质与判定的应用1、在几何证明中的应用在证明几何问题时，如果已知图形是菱形，可以利用菱形的性质来得出相关的结论。

例如，如果知道一个四边形是菱形，就可以得出它的对角线互相垂直等结论。

2、在实际生活中的应用菱形在实际生活中有很多应用。

比如，菱形的图案经常出现在建筑装饰、纺织品设计等方面，因为其美观且具有一定的稳定性。

3、在数学计算中的应用在计算菱形的周长、面积等问题时，需要熟练运用菱形的性质和相关公式。

五、与其他图形的关系1、菱形与平行四边形菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质。

2、菱形与矩形矩形的四个角都是直角，而菱形的角不一定是直角。

(完整版)初三5-2-3菱形知识点、经典例题及练习题带答案

【知识梳理】二、菱形1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（菱形是平行四边形：一组邻边相等）2、性质：（1）边：四条边都相等；（2）角：对角相等、邻角互补；（3）对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；（4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．3、菱形的判定方法: 一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形4、识别菱形的常用方法（1）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等．（2）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直．（3）说明四边形ABCD的四条相等．5、面积:设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，则S菱形=12ab【经典例题】【例1】（绵阳市2013年）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（）A．2825cm B．2120cm C．2815cm D．2521cm【例2】（2013•曲靖）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是（）A、梯形B、矩形C、菱形D、正方形【例3】（2013凉山州）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A．14 B．15 C．16 D．17【例4】（2013菏泽）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（）A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°【例5】（2013年潍坊市）如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD,请你添加一个适当的条件____________,使ABCD成为菱形.（只需添加一个即可）【例6】（2013•黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为．例6图例7图【例7】（2013•宁夏）如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数的图象经过点C，则k的值为．【例8】（2013•黄冈）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO．【例9】（2013•常州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．求证：四边形ABCD是菱形．【例10】（2013安顺）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．【参考答案】【经典例题】1、B2、C3、C4、D5、OA=OC或AD=BC或AD//BC或AB=BC等6、7、﹣68、证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD=OB，∠COD=90°，∵DH⊥AB，∴OH=OB，∴∠OHB=∠OBH，又∵AB∥CD，∴∠OBH=∠ODC，在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°，在Rt△GHB中，∠DHO+∠OHB=90°，∴∠DHO=∠DCO．9、证明：∵∠B=60°，AB=AC，∴△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∴∠ACB=60°，∠FAC=∠ACE=120°，∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠B=∠D=60°，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形．10、（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC且2DE=BC，又∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，又∵BE=FE，∴四边形BCFE是菱形；（2）解：∵∠BCF=120°，∴∠EBC=60°，∴△EBC是等边三角形，（3）∴菱形的边长为4，高为2，∴菱形的面积为4×2=8．。

【复习】：初中数学九年级上册.菱形(基础)知识讲解+练习

专项训练年度：菱形（基础）【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】【高清课堂特殊的平行四边形（菱形）知识要点】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、（2015•石景山区一模）如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE=AF，连接EF并延长，交CB的延长线于点G，连接BD．（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；（2）连接AG，若∠FGB=30°，GB=AE=1，求AG的长．【思路点拨】（1）连接AC，再根据菱形的性质得出EG∥BD，根据对边分别平行证明是平行四边形即可．（2）过点A作AH⊥BC，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可．【答案与解析】（1）证明：连接AC，如图1：∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB，且AC⊥BD，∵AF=AE，∴AC⊥EF，∴EG∥BD．又∵菱形ABCD中，ED∥BG，∴四边形EGBD是平行四边形．（2）解：过点A作AH⊥BC于H．∵∠FGB=30°，∴∠DBC=30°，∴∠ABH=2∠DBC=60°，∵GB=AE=1，∴AB=AD=2，在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∴AH=，BH=1．∴GH=2，在Rt△AGH中，根据勾股定理得，AG=．【总结升华】本题考查了菱形性质，关键是根据菱形的性质和平行四边形的判定以及直角三角形的性质解题．举一反三：【变式1】（2015•温州模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO= 度．【答案】50；解：在菱形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠CDO=∠AED=50°， CD=CB ，∠BCO=∠DCO ， ∴在△BCO 和△DCO 中，，∴△BCO ≌△DCO （SAS ）， ∴∠CBO=∠CDO=50°．【变式2】菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )．A.21B.4C.1D.2【答案】C ；提示：由题意，∠A ＝30°，边长为2，菱形的高等于12×2＝1. 类型二、菱形的判定2、如图所示，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，DE ∥AC ，DF ∥BC ，四边形DECF 是菱形吗?试说明理由．【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE ∥AC ，DF ∥BC 知四边形DECF 是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．【答案与解析】解：四边形DECF 是菱形，理由如下： ∵ DE ∥AC ，DF ∥BC∴ 四边形DECF 是平行四边形． ∵ CD 平分∠ACB ，∴ ∠1＝∠2 ∵ DF ∥BC ， ∴ ∠2＝∠3， ∴ ∠1＝∠3．∴ CF ＝DF ，∴ 四边形DECF 是菱形．【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC 于F，则四边形AEDF是菱形吗?请说明理由．【答案】解：四边形AEDF是菱形，理由如下：∵EF垂直平分AD，∴△AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．∴∠ODF＝∠OAF，又∵AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，∴∠ODF＝∠OAE．∴AE∥DF，同理可得：DE∥AF．∴四边形AEDF是平行四边形，∴EO＝OF又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．∴AEDF是菱形．3、如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACD，交AD 于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F．求证：四边形AEFG是菱形．【思路点拨】由角平分线性质易知AE＝EF，欲证四边形AEFG是菱形，只要再证四边形AEFG是平行四边形或AG＝GF＝AE即可．【答案与解析】证明：方法一：∵CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴AE＝AG．∴EF AG．∴四边形AEFG是平行四边形．又∵AE＝AG，∴四边形AEFG是菱形．方法二：∵CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∴∠3＝∠4．∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴AE＝AG．在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，∴△AEG≌△FEG．∴AG＝FG．∴AE＝EF＝FG＝AG．∴四边形AEFG是菱形．【总结升华】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．举一反三：【变式】如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A 点作AG∥DB交CB的延长线于点G．(1)求证：DE∥BF；(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．【答案】证明：(1)ABCD中，AB∥CD，AB＝CD∵E、F分别为AB、CD的中点∴DF＝12DC，BE＝12AB∴DF∥BE．DF＝BE∴四边形DEBF为平行四边形∴DE∥BF(2)证明：∵AG∥BD∴∠G＝∠DBC＝90°∴△DBC为直角三角形又∵F为边CD的中点．∴BF＝12DC＝DF又∵四边形DEBF为平行四边形∴四边形DEBF是菱形类型三、菱形的应用4、如图所示，是一种长0.3m，宽0.2m的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 m，宽2.8m的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?【答案与解析】解：墙壁长4.2m，宽2.8m，矩形瓷砖长0.3m，宽0.2m，4.2÷0.3＝14，2.8÷0.2＝14，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面．(1)则至少需要这种瓷砖14×14＝196(块)．(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半．另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13×13＝169个，面积相等的菱形一共有196＋169＝365(个)．【总结升华】菱形可以看作是由直角三角形组成的，因而铺满墙面后，要计算空白菱形的个数和阴影菱形的个数．将相同的图形拼在一起，在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案，不要忽略周围图形的拼接．【巩固练习】一.选择题1．（2015•潍坊模拟）下列说法中，错误的是（）A. 平行四边形的对角线互相平分B. 对角线互相平分的四边形是平行四边C．菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形2．顺次连结对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是( )A.矩形B.平行四边形C．菱形 D.任意四边形3．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD 的周长是( )A.4B.8C.12D.164.如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于（）A．20 B．15 C．10 D．55.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC＝50°，则∠ABC等于（）A．40°B．50°C．80°D．100°6．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为( )A.1B. 2C. 2D. 3二.填空题7．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______cm．8．（2015•南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为 .9. 已知菱形ABCD两对角线AC ＝8cm, BD ＝6cm, 则菱形的高为________.10.如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，则点P到BC的距离是____cm.11. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，AC＝10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_____.12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C点的坐标为_______.三.解答题13．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB ＋PE的最小值是3，求AB的值．14．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．15（2015春•泰安校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C 作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．【答案与解析】一.选择题 1.【答案】D ； 2.【答案】C ； 3.【答案】D ；【解析】BC ＝2EF ＝4，周长等于4BC ＝16. 4.【答案】B ；【解析】∵∠BCD=120°，∴∠B=60°，又∵ABCD 是菱形，∴BA=BC ，∴△ABC 是等边三角形，故可得△ABC 的周长=3AB=15．5.【答案】C ；【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BAC ＝12∠BAD ，CB ∥AD ，∵∠BAC ＝50°，∴∠BAD ＝100°，∵CB ∥AD ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°，∴∠ABC ＝180°－100°＝80°．6.【答案】D ；【解析】∠DAF ＝∠FAO ＝∠OAE ＝30°，所以2BE ＝CE ＝AE ，3BE ＝3，BC BE ＝3. 二.填空题7.【答案】【解析】由题意，菱形相邻内角为60°和120°，较长对角线为=8．【答案】1：；【解析】如图，设AC ，BD 相较于点O ，∵菱形ABCD 的周长为8cm ， ∴AB=BC=2cm ， ∵高AE 长为cm ，∴BE==1（cm ），∴CE=BE=1cm ， ∴AC=AB=2cm ， ∵OA=1cm ，AC ⊥BD ， ∴OB==（cm ），∴BD=2OB=2cm ，∴AC ：BD=1：．9.【答案】245cm ；【解析】菱形的边长为5，面积为168242⨯⨯= ，则高为245cm .10.【答案】4；【解析】在菱形ABCD 中，BD 是∠ABC 的平分线，∵PE ⊥AB 于点E ，PE ＝4cm ，∴点P 到BC 的距离＝PE ＝4cm ．11.【答案】60；【解析】因为菱形的对角线互相垂直及互相平分就可以在Rt △AOB 中利用勾股定理求出OB ＝12，BD ＝2OB ＝24，DE ＝2OC ＝10，BE ＝2BC ＝26，△BDE 的周长为60．12.【答案】（3,4）；【解析】过B 点作BD ⊥OA 于D ，过C 点作CE ⊥OA 于E ，BD ＝4，OA ＝x ，AD ＝8－x ，()22284x x =-+，解得5x =，所以OE ＝AD ＝8－5＝3，C 点坐标为（3,4）.三.解答题13.【解析】解：∵∠ABC ＝120°∴∠BCD ＝∠BAD ＝60°；∵菱形ABCD 中， AB ＝AD∴△ABD 是等边三角形；又∵E 是AB 边的中点， B 关于AC 的对称点是D ，DE ⊥AB连接DE ，DE 与AC 交于P ，PB ＝PD ；DE 的长就是PB ＋PE 的最小值3；设AE ＝x ，AD ＝2x ，DE ==1x =，AB ＝22x =.14.【解析】四边形BFDE 是菱形，证明：∵AD ⊥BD ，∴△ABD 是直角三角形，且AB 是斜边，∵E 为AB 的中点，∴DE ＝12AB ＝BE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，DC ＝AB ，∵F 为DC 中点，E 为AB 中点，∴DF ＝12DC ，BE ＝12AB ，∴DF ＝BE ，DF ∥BE ，∴四边形DFBE 是平行四边形，∵DE ＝EB ，∴四边形BFDE 是菱形．15.【解析】证明：∵∠ABC=90°，BD 为AC 的中线，∴BD=AC ，∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴DF=AC，∴BD=DF；（2）证明：∵BD=DF，∴四边形BGFD是菱形，（3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，∴四边形BDFG的周长=4GF=20．。

19.2 菱形华东师大版八年级下册同步练习(含解析)

19.2　菱形基础过关全练知识点1　菱形的定义及性质1.【一题多变】(2022四川凉山州会东参鱼中学期中)如图,若四边形ABCD 是菱形,AC =24,BD =10,则菱形ABCD 的边长是( )A.13B.12C.26D.52[变式一](2022河南许昌建安期中)菱形的面积为12 cm 2,一条对角线的长为6 cm,那么菱形的另一条对角线的长为( )A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm[变式二](2022四川眉山期末)如图,在菱形ABCD 中,对角线AC =4,BD =5,则△AOD 的面积为( )A.52B.5C.112D.62.(2022福建福州立志中学期中)如图,在菱形ABCD 中,∠DAC =25°,则∠B =( )A.120°B.125°C.130°D.150°3.(2022江苏宿迁宿城期中)如图,四边形ABCD为菱形,对角线AC,BD 相交于点O,DH⊥AB于H,连结OH,若∠CAD=25°,则∠DHO的度数是( )A.25°B.30°C.35°D.40°4.(2022广东中考)菱形的边长为5,则它的周长为 .5.(2022湖北武汉江岸期中)如图,在菱形ABCD中,过顶点C作CE⊥BC 交对角线BD于点E,若∠A=130°,则∠BEC= °.6.(2022甘肃武威三中期中)如图,在菱形ABCD中,过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.求证:AE=CF.7.(2022湖南长沙麓山国际实验学校期中)如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连结CE.(1)求证:BD=EC;(2)若∠E=50°,求∠BAO的大小.8.(2021福建厦门模拟)如图,四边形ABCD是菱形,过AB的中点E作AC 的垂线EF,交AD于点M,交CD的延长线于点F.(1)求证:AM=DM;(2)若DF=3,求菱形ABCD的周长.知识点2　菱形的定义判定法9.【教材变式·P118习题T2变式】如图,已知AD是△ABC的角平分线,DE∥AC交AB于点E,请你添加一个条件: ,使四边形AEDF 是菱形.10.(2022江苏盐城大丰实验初中月考)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC,CE∥DB.求证:四边形OBEC是菱形.11.(2022广东湛江雷州模拟)如图,点E、F分别在▱ABCD的边BC、CD 上,BE=DF,∠BAF=∠DAE.求证:四边形ABCD是菱形.12.(2022福建泉州科技中学期中)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BA=BC,BD平分∠ABC.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)连结AC,过点D作DE∥AC,交BC的延长线于点E,若BC=5,BD=8,求ED的长.知识点3　菱形的判定定理113.(2022湖南郴州中考)如图,四边形ABCD是菱形,E,F是对角线AC 上的两点,且AE=CF,连结BF,FD,DE,EB.求证:四边形DEBF是菱形.14.(2022陕西西安高新区一中期末)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于点D,交AB于点E,F在DE上,且AF=CE=AE,试探索当∠B满足什么条件时,四边形ACEF是菱形.15.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,连结BE交AC于F,连结DF.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)试探究BE满足什么条件时,∠EFD=∠BCD,并说明理由.知识点4　菱形的判定定理216.(2022黑龙江齐齐哈尔中考)如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足为O,AB∥CD,要使四边形ABCD为菱形,应添加的条件是 .(只需写出一个条件即可)17.(2022江苏连云港中考改编)如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到点E,使DE=AD,且BE⊥DC.求证:四边形DBCE为菱形.18.(2022江苏宿迁宿城期中)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,E是边AC 的中点,∠BAC的平分线AD交BC于点D,作AF∥BC,连结DE并延长交AF于点F,连结FC.(1)求证:△AEF≌△CED.(2)当AB与AC满足什么关系时,四边形ADCF是菱形?并说明理由.能力提升全练19.(2022广西河池中考,8,)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论中错误的是( )A.AB=ADB.AC⊥BDC.AC=BDD.∠DAC=∠BAC20.(2022四川乐山中考,13,)已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD 的长分别是8 cm和6 cm,则菱形的面积为 cm2.21.(2022北京中考,21,)如图,在▱ABCD中,AC,BD交于点O,点E,F 在AC上,AE=CF.(1)求证:四边形EBFD是平行四边形;(2)若∠BAC=∠DAC,求证:四边形EBFD是菱形.22.(2022浙江舟山中考,18,)小惠自编一题:“如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC⊥BD,OB=OD.求证:四边形ABCD是菱形.”并将自己的证明过程与同学小洁交流.小惠:证明:∵AC⊥BD,OB=OD,∴AC垂直平分BD.∴AB=AD,CB=CD,∴四边形ABCD是菱形.小洁:这个题目还缺少条件,需要补充一个条件才能证明.若赞同小惠的证法,请在第一个方框内打“√”;若赞成小洁的说法,请你补充一个条件,并证明.23.(2022湖南岳阳中考,19,)如图,点E,F分别在▱ABCD的边AB,BC 上,AE=CF,连结DE,DF.请从以下三个条件:①∠1=∠2;②DE=DF;③∠3=∠4中,选择一个合适的作为已知条件,使▱ABCD为菱形.(1)你添加的条件是 (填序号);(2)添加了条件后,请证明▱ABCD为菱形.24.(2021山东聊城中考,21,)如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,且AO=CO,点E在BD上,满足∠EAO=∠DCO.(1)求证:四边形AECD是平行四边形;(2)若AB=BC,CD=5,AC=8,求四边形AECD的面积.素养探究全练25.【推理能力】(2020广东阳江阳西期末)如图,在菱形ABCD 中,AB=6,∠DAB=60°,点E是AD边的中点,点M是AB边上一动点(不与点A重合),延长ME交射线CD于点N,连结MD、AN.(1)求证:四边形AMDN是平行四边形.(2)①当AM的值为时,四边形AMDN是矩形;②若AM=6,求证:四边形AMDN是菱形.答案全解全析基础过关全练1.A ∵四边形ABCD 是菱形,∴OA =OC ,OB =OD ,AC ⊥BD ,∵AC =24,BD =10,∴OA =12,OB =5,在Rt △AOB 中,由勾股定理得,AB =OA 2+OB 2=122+52=13,故菱形ABCD 的边长为13,故选A.[变式一]B 设另一条对角线的长为x cm,则12×6x =12,解得x =4.故选B.[变式二]A ∵四边形ABCD 是菱形,AC =4,BD =5,∴AO =12AC =2,DO =12BD =52,AC ⊥BD ,∴∠AOD =90°,∴S △AOD =12AO ·DO =12×2×52=52.故选A.2.C ∵四边形ABCD 是菱形,∠DAC =25°,∴∠DAB =2∠DAC =50°,AD ∥BC ,∴∠DAB +∠B =180°,∴∠B =130°,故选C.3.A ∵四边形ABCD 是菱形,∠CAD =25°,∴BO =OD ,∠DAO =∠BAO =25°,AC ⊥BD ,∴∠ABD =90°-∠BAO =65°,∵DH ⊥AB ,BO =DO ,∴∠BDH =90°-∠ABD =25°,HO =12BD =DO ,∴∠DHO =∠BDH =25°,故选A.4.答案　20解析　菱形的四条边都相等,故它的周长为4×5=20.5.答案　65解析　∵四边形ABCD是菱形,∴∠DBC=12∠ABC,AD∥BC,∴∠A+∠ABC=180°,∵∠A=130°,∴∠ABC=180°-130°=50°,∴∠DBC=12×50°=25°,∵CE⊥BC,∴∠BEC=90°-25°=65°.6.证明　∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD,∠A=∠C,∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠AED=∠CFD=90°,在△ADE和△CDF中,∠AED=∠CFD,∠A=∠C,AD=CD,∴△ADE≌△CDF(A.A.S.),∴AE=CF.7.解析　(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CD,AB∥CD,又∵BE=AB,∴BE=CD,∴四边形BECD是平行四边形,∴BD=EC. (2)∵四边形BECD是平行四边形,∴BD∥CE,∴∠ABO=∠E=50°,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴∠BAO=90°-∠ABO=40°.8.解析　(1)证明:连结BD,如图所示,∵四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC,AB∥CD,∴∠EAM=∠FDM,∵EF⊥AC,∴EF∥BD,∴四边形EFDB是平行四边形,∴DF=EB,∵E是AB的中点,∴AE=EB,∴AE=DF,在△AEM和△DFM中,∠AME=∠DMF,∠EAM=∠FDM,∴△AEM≌△DFM(A.A.S.),AE=DF,∴AM=DM.(2)∵AE=DF,DF=3,∴AE=3,∵E是AB的中点,∴AB=2AE=6,∴菱形ABCD的周长为4×6=24.9.答案　DF∥AB(答案不唯一)解析　添加条件:DF∥AB.∵DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF是平行四边形,∠EAD=∠ADF,∵AD是△ABC的角平分线,∴∠EAD=∠FAD,∴∠ADF=∠FAD,∴FA=FD,∴四边形AEDF是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).(答案不唯一)10.证明　∵BE∥AC,CE∥DB,∴四边形OBEC是平行四边形,∵四边形ABCD是矩形,∴OB=OC,∴四边形OBEC是菱形.11.证明　∵∠BAF=∠DAE,∴∠BAE=∠DAF,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABE=∠ADF,在△ABE和△ADF中,∠BAE =∠DAF ,∠ABE =∠ADF ,BE =DF ,∴△ABE ≌△ADF (A.A.S.),∴AB =AD ,∴四边形ABCD 是菱形.12.解析　(1)证明:∵BD 平分∠ABC ,∴∠ABD =∠CBD ,∵AD ∥BC ,∴∠ADB =∠CBD ,∴∠ADB =∠ABD ,∴AB =AD ,又∵BA =BC ,∴AD =BC ,∴四边形ABCD 为平行四边形,∵AB =AD ,∴四边形ABCD 为菱形.(2)∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD ,∵DE ∥AC ,∴DE ⊥BD ,∵AD ∥BC ,DE ∥AC ,∴四边形ACED 为平行四边形,∴CE =AD =BC =5,∴BE =BC +CE =10,在Rt △BDE 中,由勾股定理得,DE =BE 2―BD 2=6.13.证明　∵四边形ABCD 是菱形,∴AB =BC =CD =AD ,∠DAB =∠DCB ,AC 平分∠DAB ,CA 平分∠DCB ,∴∠DAC =∠BAC =12∠DAB ,∠DCA =∠ACB =12∠DCB ,∴∠DAC =∠BAC =∠DCA =∠ACB ,∵AE =CF ,∴△ADE ≌△ABE ≌△CBF ≌△CDF (S.A.S.),∴DE =BE =BF =DF ,∴四边形DEBF是菱形.14.解析　当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形.∵∠ACB=90°,∠B=30°,∴∠EAC=60°,∵ED垂直平分BC,∴∠BDE=90°,∴∠BED=60°,∴∠FEA=60°,∵AF=CE=AE,∴△AEF、△EAC都是等边三角形,∴AF=EF=EC=CA,∴四边形ACEF是菱形.15.解析　(1)证明:在△ABC和△ADC中,AB=AD, CB=CD, AC=AC,∴△ABC≌△ADC(S.S.S.),∴∠BAC=∠DAC,∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD,∴∠DAC=∠ACD,∴AD=CD.∵AB=AD,CB=CD,∴AB=CB=CD=AD.∴四边形ABCD是菱形.(2)当BE⊥CD时,∠EFD=∠BCD,理由如下:由(1)知四边形ABCD为菱形,∴∠BCF=∠DCF,在△BCF和△DCF中,BC=DC,∠BCF=∠DCF, CF=CF,∴△BCF≌△DCF(S.A.S.),∴∠CBF=∠CDF.∵BE⊥CD,∴∠BEC=∠DEF=90°,∴∠BCD+∠CBF=∠EFD+∠CDF=90°,∴∠EFD=∠BCD.16.答案　AB=CD(答案不唯一)解析　若添加AB=CD,因为AB∥CD,AB=CD,所以四边形ABCD为平行四边形.因为AC⊥BD,所以四边形ABCD为菱形.(答案不唯一) 17.证明　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC,∵DE=AD,∴DE=BC.∵点E在AD的延长线上,∴DE∥BC,∴四边形DBCE为平行四边形,又∵BE⊥DC,∴四边形DBCE为菱形.18.解析　(1)证明:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠CDE,∵E是AC的中点,∴AE =CE ,在△AEF 和△CED 中,∠AFE =∠CDE ,∠AEF =∠CED ,AE =CE ,∴△AEF ≌△CED (A.A.S.).(2)当AB =12AC 时,四边形ADCF 是菱形.理由:由(1)知,△AEF ≌△CED ,∴AF =CD ,∵AF ∥CD ,∴四边形ADCF 是平行四边形,∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠EAD =∠BAD ,∵AE =12AC ,AB =12AC ,∴AE =AB ,在△AED 和△ABD 中,AE =AB ,∠EAD =∠BAD ,AD =AD ,∴△AED ≌△ABD (S.A.S.),∴∠AED =∠B =90°,即DF ⊥AC.∴四边形ADCF 是菱形.能力提升全练19.C 菱形的四条边相等,对角线互相垂直且平分对角,故A 、B 、D 选项不符合题意;菱形的对角线不一定相等,故C 选项符合题意.20.答案　24解析　∵菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8 cm和6 cm,=24 cm2.∴菱形的面积为8×6221.证明　(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,BO=DO.∵AE=CF,∴AO-AE=CO-CF,即OE=OF,∴四边形EBFD是平行四边形.(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,∴∠BAC=∠DCA,∵∠BAC=∠DAC,∴∠DCA=∠DAC,∴DA=DC,∴四边形ABCD是菱形.∴BD⊥AC,又∵四边形EBFD是平行四边形,∴四边形EBFD是菱形.22.解析　赞成小洁的说法.补充AB=CB(补充的条件不唯一).证明:∵AC⊥BD,OB=OD,∴AC垂直平分BD,∴AB=AD,CB=CD,∵AB=CB,∴AB=AD=CB=CD.∴四边形ABCD是菱形.23.解析　(1)①或③(填一个即可).(2)添加①:证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,在△ADE和△CDF中,∠1=∠2,∠A=∠C, AE=CF,∴△ADE≌△CDF(A.A.S.),∴AD=CD,∴四边形ABCD是菱形.添加③:证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,在△ADE和△CDF中,∠A=∠C, AE=CF,∠3=∠4,∴△ADE≌△CDF(A.S.A.),∴AD=CD,∴四边形ABCD是菱形.24.解析　(1)证明:在△AOE和△COD中,∠EAO=∠DCO,AO=CO,∠AOE=∠COD,∴△AOE≌△COD(A.S.A.),∴OD=OE.又∵AO=CO,∴四边形AECD 是平行四边形.(2)∵AB =BC ,AO =CO ,∴直线BO 为线段AC 的垂直平分线,∴BO ⊥AC ,∴平行四边形AECD 是菱形.∵AC =8,∴CO =12AC =4,在Rt △COD 中,OD =CD 2―CO 2=52―42=3,∴DE =2OD =6,∴S 菱形AECD =12DE ·AC =12×6×8=24,即四边形AECD 的面积为24.素养探究全练25.解析　(1)证明:∵四边形ABCD 是菱形,∴AB ∥CD ,∴∠DNE =∠AME ,∵点E 是AD 边的中点,∴AE =DE ,在△NDE 和△MAE 中,∠DNE =∠AME ,∠DEN =∠AEM ,DE =AE ,∴△NDE ≌△MAE (A.A.S .),∴NE =ME ,∴四边形AMDN 是平行四边形.(2)①当AM 的值为3时,四边形AMDN 是矩形.详解:∵四边形ABCD 为菱形,∴AB =AD =6,∵点E 是AD 边的中点,∴AE =12AD =3,∴AM =AE ,∵∠DAB =60°,∴△AEM 是等边三角形,∴EM =AE ,MN,∴MN=AD,∵NE=ME=12∴平行四边形AMDN是矩形.②证明:∵AB=AD=6,AM=6,M在AB上,∴点M与点B重合,AD=AM,∵∠DAB=60°,∴△AMD是等边三角形,∴ME⊥AD,∴平行四边形AMDN是菱形.。

九年级上数学1.1菱形知识点总结及习题含答案 Word

菱形性质与判定练习题纯题部分一．选择题（共4小题）1．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（）A、163B、16C、83D、82．菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．C．1 D．3．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（） 4.5题图A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：14．如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）A．15 B．C．7.5 D．5.如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（）A．2 B． C．4 D．二．填空题（共15小题）6．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________cm2．7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．8．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．7题图8题图9题图10题图9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________．10．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO= _________度．11．如图，活动菱形衣架的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1=度．11题图13题14题图15题图12．已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________．13．如图，两个全等菱形的边长为1米，一机器人由A点开始按A—B—C—D—E—F—C—G—A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_____点．14．如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是_________cm．15．已知：菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为______．16．已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________cm2．17．已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是_________cm2．18．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC 交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_________．18题图19题图20题图19．如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________．20．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=度．三．解答题21．如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．22．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．23．如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．24．如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？25．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．菱形性质与判定练习题答案部分一．选择题（共4小题）1．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（C）A、163B、16C、83D、82．菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（C）A．2 B．C．1 D．3．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（C）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：14．如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（A）A．15 B．C．7.5 D．5.如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（ C ） 4.5题图A．2 B． C．4 D．二．填空题（共15小题）6．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是____3_____cm2．7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_2.4________．8．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD2．7题图8题图9题图10题图9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_60________．10．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=__65°_______度．11．如图，活动菱形衣架的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1= 120°度．11题图13题14题图15题图12．已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为2或6_________．13．如图，两个全等菱形的边长为1米，一机器人由A点开始按A—B—C—D—E—F—C—G—A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_B____点．14．如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是____3_____cm．15．如图：菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_16_____．16．已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_96________cm2．17．已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是__120_______cm2．18．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是__2.5_(示AP与EF交于Q.S厶FQP=S厶EQA_．18题图19题图20题图19．（2003•温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB PE+PB=PE+PD=ED_______．20．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=45度．提示连接AC证厶ABE 厶ACF 得到AE=AF 得出∠AFE=60°三．解答题21．（2011•广安）如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．22．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．60°作DF⊥AB则F是AB的中直E是BF的中点BE=123．（2010•宁洱县）如图，四边形ABCD 是菱形，BE ⊥AD 、BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ．（1）求证：BE=BF ；（2）当菱形ABCD 的对角线AC=8，BD=6时，求BE 的长．（2）提示: 连接AC. BD 用勾3股4得AB=5再用等积法求BE11528622BE ⨯⋅⋅=⨯⨯24．如图，在菱形ABCD 中，P 是AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），连接DP 交对角线AC 于E 连接BE ．（1）证明：∠APD=∠CBE ；（2）若∠DAB=60°，试问P 点运动到什么位置时，△ADP 的面积等于菱形ABCD 面积的，为什么？(1) ∆ ∴ ∠ DB 关于AC 对称 ∴∠EDC=∠CBE 而 ∠CDP=∠DPA ∴∠APD=∠CBE（2）当P 点运动到AB 的中点位置时，△ADP 的面积等于菱形ABCD 面积的，因为S ∆APD=APh= .AB h s 囗=ABh25．如图所示，在矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm 、点P 从点D 出发向点A 运动，同时点Q 从点B 出发向点C 运动，点P 、Q 的速度都是1cm/s ．（1）在运动过程中，四边形AQCP 可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP 是菱形？（2）分别求出菱形AQCP 的周长、面积．解(1) 设运动了x 秒则得方程 8x =- 得x=3(2)C=4(8-3)=20cm s=(8-3)4=202cm解法二: 可以建立直角平面BA 为y 轴 BC 为x 轴, 在AC 的中点坐标(4.2) 和AC 的钭率, 求出直线QP, 从而可求出Q.P 的坐标, 找到PD 的长就能求出秒数。

菱形的性质及判定知识点及典型例题

1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．4．三角形的中位线中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线．也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线．以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质．中点中点中点平行定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半．重点是菱形的性质和判定定理。

菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。

菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。

菱形的性质及判定难点是菱形性质的灵活应用。

由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。

如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程中应给予足够重视。

板块一、菱形的性质【例1】菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为【例2】在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例3】如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1∠= 度．图21CBA【例4】如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD的边长是______．【例5】如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分．P HFE DCBA【例6】如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于．E FDBCA图1HO DC BA【例7】如图，已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ，则DE 的长为【例8】菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为．【例9】菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为【例10】如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（）A ．5B ．10C ．6D ．8图2DCBA【例11】如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（）A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒图3E DP CF BA【例12】如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（）A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒D ．30︒或60︒【例13】菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，且AE BC⊥，AF CD⊥，那么EAF∠等于．【例14】已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为________．【例15】如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）A．210cm B．220cm C．240cm D．280cm图1DCBA【例16】已知菱形ABCD的两条对角线AC BD，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【例17】如图，菱形花坛ABCD的周长为20m，60ABC∠=︒，•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积．图2【例18】如图，在菱形ABCD中，4AB a E=，在BC上，2120BE a BAD P=∠=︒，，点在BD上，则PE PC+的最小值为EPDCBA【例19】已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．FEDCBA【例20】已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FEDCBA板块二、菱形的判定【例21】如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是．DCAB【例22】如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形FEDCBA【例23】如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由．EDCB A【例24】已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.ODEFCAB【例25】如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．C'DCB A E【例26】如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分AB CDEF P PF EDC B A【例27】已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．GF E DCBA【例28】如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DMEP 是菱形．PMF E DG CBA【例29】如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．HF DECBA【例30】如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将MAB ∆沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M 移动到点'M 的位置⑴画出平移后的三角形； ⑵连结'MD MC MM ，，，试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB AD ，的长；⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDM C 是菱形？为什么？M'MDC BA【例31】如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．⑵ 当BAC ∠为度时，四边形ADFE 为正方形．FEDCBA三、与菱形相关的几何综合题【例32】已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？MPFABCDE【例33】问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值．小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：⑴ 写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值；⑵ 将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．⑶ 若图1中()2090ABC BEF αα∠=∠=︒<<︒，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，求PGPC的值（用含α的式子表示）．图2AB CDEFG P四、中位线与平行四边形【例34】顺次连结面积为20的矩形四边中点得到一个四边形，再顺次连结新四边形四边中点得到一个，其面积为．【例35】如图，在四边形ABCD 中，AB CD ≠，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD 还满足的一个条件是，并说明理由．HGFE D CBA【例36】在四边形ABCD 中，AB CD =，P ，Q 分别是AD 、BC 的中点，M ，N 分别是对角线AC ，BD中点，证明：PQ 与MN 互相垂直．Q PMNCB D A【例37】四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减小 C ．线段EF 的长不变D ．线段EF 的长与点P 的位置有关P FREDCBA【例38】如图，ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，CE AD ⊥于E ，M 为BC 的中点，14cm AB =，10cm AC =，则ME 的长为．M EDCBA【例39】如图，四边形ABCD 中，AB CD =，E F ，分别是BC AD ，的中点，连结EF 并延长，分别交BA CD，的延长线于点G H ，，求证：BGE CHE ∠=∠ABH G FEDCBA【例40】如图，已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE ⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．NMEFCBA【例41】如图，四边形ABCD 中，E F ，分别是边AB CD ，的中点，则AD BC ，和EF 的关系是（）A ．2AD BC EF +>B ．2AD BC EF +≥ C ．2AD BC EF +< D ．2AD BC EF +≤ADFEDCBA【例42】已知如图所示，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的四边的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形．HGFEDC BA【例43】如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，ADE ∆和BCE ∆都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，证明四边形PQMN 为平行四边形且PQ PN =．QEP NMDCBA【例44】如图，四边形ABCD 中，AB CD E F G H =，，，，分别是AD BC BD AC ，，，的中点，求证：EF GH，相互垂直平分ABGH GFEDCBA【例45】 ABC ∆的三条中线分别为AD 、BE 、CF ，H 为BC 边外一点，且BHCF 为平行四边形，求证：AD EH ∥．ABCDE FH【例46】在平行四边形ABCD 的对角线BD 上取一点E ，使13BE DE =，连接AE 并延长与DC 的延长线交于F ，则2CF AB =．图1CAEDBF【例47】如图，ABC ∆中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 、H 是AC 的三等分点，连结并延长EG 、FH 交于点D ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．HGFEDCBA【例48】如图，在四边形ABCD 中，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，BD AC =，BD 和AC 相交于点O ，MN 分别与AC 、BD 相交于E 、F ，求证：OE OF =．FE ONM D CBA【例49】如图，线段AB CD ，相交于点O ，且AB CD =，连结AD BC ，，E F ，分别是AD BC ，的中点，EF分别交AB CD ，于M N ，，求证：OM ON =A CFEO N M DCBA【例50】如图，梯形ABCD 中，AD BC AB CD =∥，，对角线AC BD ，相交于点O ，60AOD ∠=︒，E F G，，分别是OA OB CD ，，的中点，求证：EFG ∆是等边三角形A BEFO G FE DC BA【例51】如图，求证：四边形两组对边中点连线与两对角线中点连结这三条线共点．OE FLHNMDCB A【例52】如图，O 是平行四边形ABCD 内任意一点，E F G H ，，，分别是OA OB OC OD ，，，的中点．若DE ，CF 交于P ，DG ，AF 交于Q ，AH ，BG 交于R ，BE ，CH 交于S ，求证：PQ SR ．SR QPH GOEFDCB A。

人教版八年级数学下册试卷菱形基础知识点及同步练习、含答案

学科：数学教学内容：菱形【基础知识精讲】定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．定理1：四边都相等的四边形是菱形．定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【重点难点解析】1．菱形的性质(1)菱形具有平行四边形的一切性质；(2)菱形的四条边都相等；(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；(4)菱形是轴对称图形．2．菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半．A．重点、难点提示1．理解并掌握菱形的概念，性质和判别方法；（这是重点，也是难点，要掌握好）2．经历探索菱形的性质和判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的基本方法；3．了解菱形的现实应用和常用的判别条件；4．体会特殊与一般的关系．B．考点指要菱形是特殊的平行四边形，其性质和判别方法是中考的重要内容之一．一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质．除具有平行四边形的一切性质外，菱形还具有以下性质：①菱形的四条边都相等；②两条对角线互相垂直平分；（出现了垂直，常与勾股定理联系在一起）③每一条对角线都平分一组内角．（出现了相等的角，常与角平分线联系在一起）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在直线是它的两条对称轴．（不是对角线，而是其所在直线，因为对称轴是直线，而对角线是线段）菱形的判别方法：（学会利用轴对称的方法研究菱形）①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边都相等的四边形是菱形．【难题巧解点拨】例1：如图4-24，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG是菱形．思路分析由已知可知，图中有平行线，就可证角相等、线段相等，因此，可先证四边形AEFG 是平行四边形，再证一组邻边相等．证明：∵∠BAC=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB，∴AE=EF，∠CEA=∠CEF．（这是略证，并不是完整的证明过程）∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴EF∥AD，（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）∴∠CEF=∠AGE，（两直线平行，内错角相等）∴∠CEA=∠AGE，∴AE=AG，∴EF∥AG，且EF=AG，∴四边形AEFG是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）又∵AE=EF，∴平行四边形AEFG是菱形．例2：已知菱形的周长为20cm，一条对角线长为5cm，求菱形各个角的度数．已知：菱形ABCD中，AB+BC+CD+DA=20cm，对角线AC=5cm．求∠ADC、∠ABC、∠BCD、∠DAB的度数．思路分析利用菱形的四条边相等，可求出各边长，从而得到等边三角形，如图4-25．解：在菱形ABCD中，∵AB=BC=CD=DA，又AB+BC+CD+DA=20cm，∴AB=BC=CD=DA=5cm，又∵AC=5cm，∴AB=BC=AC，CD=DA=AC，∴△ABC和△DAC都是等边三角形，（本题将边之间的长度关系转化为角的关系）∴∠ADC=∠ABC=60°，∠BCD=∠DAB=120°．例3：如图4-26，在平行四边形ABCD中，∠BAE=∠FAE，∠FBA=∠FBE．求证：四边形ABEF是菱形．证法一：∵AF∥BE，∴∠FAE=∠AEB （两直线平行，内错角相等）又∵∠BAE=∠FAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．（等角对等边）同理，AB=AF，BE=EF，∴AB=BE=EF=AF，∴四边形ABEF是菱形．（四条边都相等的四边形是菱形）证法二：∵AF∥BE，∴∠FAE=∠AEB，又∵∠BAE=∠FAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．又∵∠FBA=∠FBE，∴AO=OE，AE⊥FB，（等腰三角形三线合一）同理，BO=OF，∴四边形ABEF是菱形．（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）（你还有其他的证明方法吗？不妨试一下）例4：菱形的两邻角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为__________．思路分析本题主要考查菱形的性质和面积公式的应用：解法一：如图4-27，∠B：∠A=1：2，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，∴∠A+∠B=180°，∴∠B=60°，∠A=120°，过A 作AE ⊥BC 于E ， ∴∠BAE=30°，1AB 21BE ==∴，（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半） 312B E AB AE 2222=-=-=∴，（勾股定理） 32AE BC S ABCD =⋅=∴菱形．（平行四边形的面积计算方法是：底乘以高）解法二：如图4-28，∠B ∶∠A=1∶2，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，∴∠A+∠B=180°，∴∠B=60°，∠A=120°，连结AC 、BD 交于点O ，︒=∠=∠∴30B 21ABD ，AC ⊥BD ．（菱形的性质：对角线平分一组对角，对角线互相垂直）在Rt △ABO 中，1AB 21AO ==， 312AO AB B O 2222=-=-=∴，∴AC=2，32BD =， 3232221BD AC 21S ABCD =⨯⨯=⋅=∴菱形．答：菱形的面积为32．【典型热点考题】例1 如图4-13，已知菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，求∠CEF 的度数．点悟：由∠B=60°知，连接AC得等边△ABC与△ACD，从而△ABE≌△ADF，有AE=AF，则△AEF为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF．解：连接AC．∵四边形ABCD为菱形，∴∠B=∠D= 60°，AB=BC=CD=DA，∴△ABC与△CDA为等边三角形．∴ AB=AC，∠B=∠ACD=∠BAC=60°，∵∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF．∴ AE=AF．又∵∠EAF=60°，∴△EAF为等边三角形．∴∠AEF=60°，∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，∴ 60°+18°=60°+∠CEF，∴∠CEF=18°．例2已知如图4-14，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD 于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG为菱形．点悟：可先证四边形AEFG为平行四边形，再证邻边相等(或对角线垂直)．证明：∵∠BAC=90°，EF⊥BC，CE平分∠BCA，∴ AE=FE，∠AEC=∠FEC．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠FEC=∠AGE，∴∠AEC=∠AGE∴ AE=AG，∴∴四边形AEFG为平行四边形．又∵ AE=AG．∴四边形AEFG为菱形．点拨：此题还可以用判定菱形的另两种方法来证．例3 已知如图4-15，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE．求证：EB=OA证明：∵四边形ABCD为菱形，∴∠ABC=2∠ABD， AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵ AB=AE，∴∠ABC=∠AEB．∴∠DAE=2∠ABD．∵∠DAE=2∠BAE，∴∠ABD=∠BAE，∴ OA=OB．∵∠BOE=∠ABD+∠BAE，∴∠BOE=2∠BAE．∴∠BEA=∠BOE，∴ OB=BE，∴ AO=BE．说明：利用菱形性质证题时，要灵活选用，选不同性质，就会有不同思路．例4已知菱形的一边与两条对角线构成的两角之比为5：4，求菱形的各内角的度数．点悟：先作出菱形ABCD和对角线AC、BD(如图4-16)．解：∵四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，∴∠1+∠2=90°，又∵∠1：∠2=4：5，∴∠1=40°，∠2=50°，∴∠DCB=∠DAB=2∠2=100°，故∠CBA=∠CDA=2∠1=80°．【同步达纲练习一】一、选择题1．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为 ( ) (A)45°， 135° (B)60°， 120° (C)90°， 90° (D)30°， 150°2．若菱形的一条对角线长是另一条对角线的2倍，且此菱形的面积为S ，则它的边长为( )(A)S (B)S 21 (c)S 321 (D)S 521二、填空题3．已知：菱形ABCD 中，E 、F 是BC 、CD 上的点，且AE=EF=AF=AB ，则∠B=________. 4．已知：菱形的两条对角线长分别为a 、b ，则此菱形周长为_______，面积为__________.5．菱形具有而矩形不具有的性质是_______.6．已知一个菱形的面积为38平方厘米，且两条对角线的比为1：3，则菱形的边长为_________.三、解答题 7．已知：O 为对角线BD 的中点，MN 过O 且垂直BD ，分别交CD 、AB 于M 、N ．求证：四边形DNBM 是菱形．8．如图4-17，已知菱形ABCD 的对角线交于点O ，AC=16cm ，BD=12cm ，求菱形的高．【同步达纲练习二】1．在菱形ABCD 中，若∠ADC=120°，则BD ：AC 等于( ) A ．2:3B ．3:3C ．1：2D ．1:32．已知菱形的周长为40cm ，两对角线的长度之比为3：4，则两对角线的长分别为( ) A ．6cm ，8cm B ．3cm ，4cm C ．12cm ，16cm D ．24cm ，32cm 3．菱形的对角线具有( ) A ．互相平分且不垂直B ．互相平分且相等C ．互相平分且垂直D ．互相平分、垂直且相等（掌握菱形对角线的性质，注意不要增加性质）4．已知菱形的面积等于2cm 160，高等于8cm ，则菱形的周长等于____________． 5．已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，那么它的边长是______________． 6．菱形的周长是40cm ，两邻角的比是1：2，则较短的对角线长是_________cm ． 7．如图4-29，在△ABC 中，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC ，AG ⊥BC ，且BD 、AG 相交于点E ，DF ⊥BC 于F ．求证：四边形AEFD 是菱形．8．如图4-30，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与AD 、BC 、AC 分别交于点E 、F 、O ．求证：四边形AFCE 是菱形．参考答案【同步达纲练习一】一、1．B ； 2．D ；二、3．80°；4．222b a ，ab 21；5．对角线互相垂直，各边长相等． 6．4厘米．三、7．由已知MN 为BD 的垂直平分线，有 DM=BM ，DN=BN ，又由△DOM ≌△BON ，得DM=BN ，∴ DM=BM=BN=DN ．∴四边形DNBM 是菱形.8．过点D 作DH ⊥AB 于H ，则DH 为菱形的一条高．又∵ AC 、BD 互相垂直平分于O ， ∴ 821==AB OA 厘米，621==BD OB 厘米．由勾股定理，得 1022=+=BO AO AB (厘米)．又∵OA BD DH AB ⋅=⋅2121， ∴812211021⨯⨯=⨯⨯DH ，DH=9.6厘米．【同步达纲练习二】1．B ； 2．C ； 3．C ； 4．80cm ； 5．5； 6．10； 7．证法一：在Rt △ABD 和Rt △FBD 中，∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠FBD ，∠DAB=∠DFB=90°，又∵BD=BD ，∴Rt △ABD ≌Rt △FBD ∴AD=DF ，∠ADE=∠EDF又∵DF ⊥BC ，AG ⊥BC ，∴DF//AE ，∴∠EDF=∠DEA ，∴∠ADE=∠DEA ，∴AD=AE ， ∴AE=DF ，∴四边形AEFD 是平行四边形． ∵AD=DF ，∴四边形AEFD 为菱形．证法二：同证法一得DF=DA=AE ，∵Rt △ABD ≌Rt △FBD ，∴AB=BF ，∴△ABE ≌△FBE ， ∴AE=EF ，∴DF=DA=AE=EF ，∴四边形AEFD 是菱形．证法三：同证法一：Rt △ABD ≌Rt △FBD ，∴AB=BF ， ∴△ABE ≌△FBE ，∴∠GAB=∠EFB ，又∵∠C+∠ABC=90°，∠GAB+∠ABC=90°， ∴∠C=∠GAB ，∴∠C=∠EFB ，∴EF ∥AC ，又∵DF ∥AG ，∴四边形AEFD 是平行四边形， ∵AD=DF ，∴四边形AEFD 是菱形．8．∵AD ∥BC ，∴∠OAE=∠OCF ，又∵∠AOE=∠COF=90°，AO=CO ， ∴△AOE ≌△COF ，∴AE=CF ，又∵AE ∥CF ， ∴四边形AFCE 是平行四边形．又∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AE=CE ．（垂直平分线上的点到线段两端距离相等） ∴四边形AFCE 是菱形．。

菱形知识点总结及典型试题

菱形知识点总结及典型试题知识点一：菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

知识点二：菱形的性质：①具有平行四边形的一切性质；①菱形的四条边都相等；①菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角；①菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线。

知识点三：.菱形的判定方法：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；①对角线互相平分且垂直的四边形是菱形；①对角线互相垂直的平行四边形是菱形；④四条边都相等四边形是菱形；每条对角线平分一组对角的四边形是菱形。

14.有关菱形面积的计算：①由于菱形的对角线互相垂直平分,11()22ABD CBDS S S BD OA OC BD AC ∆=+=+=⋅；①也可以用平行四边形的面积计算公式=底⨯高。

典型试题一．选择题（共9小题）1．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E，F分别是AB，AD的中点，DE，BF相交于点G，连接BD，CG，有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③∠BDF∠∠CGB．其中正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．如图，菱形ABCD的边长为1，BD=1，E，F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=1，设∠BEF的面积为s，则s的取值范围是（）A.1/4≤s≤1B.3√3/4≤s≤√3C.3√3/16≤s≤ √3/4D.3√3/8≤s≤ /2√33．如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，则PG/PC==（）A.√2 B.√3 C.√2/2 D.√3/3 5．如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP∠CD于点P，则∠FPC=（）A．35° B．45° C．50° D．55°1．7．如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP∠CD于点P，则∠FPC=（）A．35° B．45° C．50° D．55°8．如图，在菱形ABCD中，若∠B=60°，点E、F分别在AB、AD上，且BE=AF，则∠AEC+∠AFC 的度数等于（）A．120° B．140° C．160° D．180°9．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边做第二个菱形ACEF，∠FAC=60°．连结AE，再以AE为边做第三个菱形AEGH，使∠HAE=60°…按此规律所作的第2014个菱形的边长是（）A.(√3)2012 B.(√3)2013 C.(√3)2014 D.(√3)201510．如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为（）A.2√3B.3√3C.6√3 9√3/211.如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014cm时停下，则它停的位置是（）A．点F B．点E C．点A D．点C12．如图，菱形ABCD的边长为4，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E、F，AE=3，则四边形AECF的周长为（）A．22 B．18 C．14 D．11二．填空题（共21小题）1．如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG∠AD于G，连接GF．若∠A=80°，则∠DGF的度数为．2．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒∠DEF为等边三角形，则t的值为.3．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将∠AMN沿MN所在直线翻折得到∠A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是4．如图，在Rt∠ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒√2 cm 的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将∠PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′，设Q点运动的时间为t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为.5．如图，已知菱形ABCD，E、F分别为AB、BC的中点，EP∠DC，垂足为P，连接PF，若∠A=110°，则∠FPC= ．6．如图，边长为1的菱形ABCD中，A在原点，B在x轴正半轴上，∠DAB=60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，∠D1AC=60°；连接AC1，再以AC2为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°，…，C、C1、C2、C3…按逆时针方向排列，按此规律所作的第2015个菱形AC2013C2014D2014的顶点C2014的坐标为.7．如图，菱形OABC的面积为3√3，顶点O的坐标为（0，0），顶点A的坐标为（3，0），顶点B在第一象限，边BC与y轴交于点D，点E在边OA上．将四边形ABDE沿直线DE翻折，使点A落在这个坐标平面内的点F处，且AE∠EF．则点F的坐标为.8．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF= cm．9．如图，四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，其中点C在AF上，点E，G分别在BC，CD上，若∠BAD=135°，∠EAG=75°，则AB/AE= .10．如图，菱形ABCD的顶点分别在x轴或y轴上，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿菱形ABCD的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以3个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2013次相遇地点的坐标是．11．如图，将正∠ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若m/n =47/25 ，则∠ABC的边长是．12．如图，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形．旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是. 13．如图，已知菱形ABCD的边AB=10，对角线BD=12，BD边上有2012个不同的点P1，P2，…，P2012，过Pi（i=1，2，…，2012）作P i E i∠AB于E i，P i F i∠AD于F i，则P1E1+P1F1+P2E2+P2F2+…+P2012E2012+P2012F2012的值为.14．如图，在菱形ABCD中，已知E、F分别是边AB、BC的中点，CE、DF交于点G．若∠CGF 的面积为2，则菱形ABCD的面积为．15．如图①，在菱形ABCD中，AD=BD=1，现将∠ABD沿AC方向向右平移到∠A1B1D1的位置，得到图②，则阴影部分的周长为．16．如图，在一个内角为60°的菱形ABCD中，边长为4，将它绕点O顺时针旋转90°后得到菱形A′B′C′D′，则阴影部分的周长为.17．已知直线AB交平面直角坐标系xOy两坐标轴的A（10，0）、B（0，5）两点，在直线AB上有一动点M，在坐标系内有另一点N，若以点O、B、M、N为顶点构成的四边形为菱形，则点N的坐标为.18．如图，菱形ABCD的周长为16，以AB为一边画等边∠ABE，点E、D在直线AB的同侧，在AC上找一点P，使EP+DP最小，则这个最小值为．19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=12，BD=16，E为AD的中点，点P在BD上移动，若∠POE为等腰三角形，则所有符合条件的点P共有个．20．如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A-＞B-＞C-＞D-＞E-＞F-＞C-＞G-＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在点．21．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为．22．如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为B1，B2，B3，则B2014的坐标为。