分类思想

数学分类思想

1.定义

分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果

2.运用范围

①涉及的数学概念是分类定义的；

②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；

③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；

④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。

分类的过程，注意培养学生思考的周密性，条理性以及学生研究问题和探索规律的能力。

3.分类思想的思维过程

第一，要明确是否需要分类讨论；

引起分类讨论的原因：

①概念本身是分类定义的，如绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系和两圆相切等概念

的分类；

②某些公式、定理、性质、法则的条件和范围有限制；

③含有字母系数的问题，需要对该字母不同取值范围进行讨论；

④题设的数量大小或关系确定，而图形的位置或形状不确定；

⑤题目条件和结论不唯一

第二，确定分类的对象；

第三，确定分类的标准，进行合理分类；（厘清分类的界限，选择分类标准，并做到不重复不遗漏。

第四，逐类逐级分类讨论；

第五，综合、归纳结论.

4. 小学数学中分类讨论思想的应用

5.教学中对于学生分类思想的培养

①逐步，逐年级渗透分类思想，养成分类的意识

利用学生在生活中所具有的分类意识，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。一方面是一般物体的分类，如柜台上的商品、文具等；另一方面要注意从数学的角度分类，如立体图形、平面图形、数的认识和运算等。同时注意渗透集合的思想，就是说当把某些属性相同的物体放在一起，作为一个整体，就可以看作一个集

合。在三大领导知识的教学中注意经常性地渗透分类思想和集合思想，如平面图形和立体图形的分类、数的分类。注意从数学思维和解决问题的方法上渗透分类思想，如排列组合、概率的计算、抽屉原理等问题经常运用分类讨论思想解决。在统计与概率知识的教学中，渗透分类的思想。

②渗透学习分类方法，增强思维的缜密性

应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。

例如，用1、2、3三个数字卡片可以排成几个三位数，让学生做一做，排一排。有的学生很快排出来了，但有些学生却排不完整。这时教师要指导学生分类讨论，首先确定百位上的数字是1时，有哪几个三位数?(123、132)，百位上的数字是2时，有哪几个三位数?(213、231)，百位上的数字是3时，有哪几个三位数?(312、321)。

③引导学生分类讨论，提高合理解题的能力

一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题；其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题

④注意有关数学规律在一般条件下的适用性和特殊条件下的不适用性。也就是说有些数学规律在一般情况下成立，在特殊情况下不成立；

6.总结：所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法，具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。需要根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认知水平，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵，从而达到利用数学分类讨论方法来解决问题的目的。

补充如何渗透分类思想：

1.结合图形教学渗透分类思想

如根据图形的特征或相互间的关系进行分类，如三角形按角分类，则有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。如果按边的长短关系分类，三角形可分为：不等边三角形和等边三角形，等边三角形又可分为正三角形和等腰三角形。教学时，我们就要追问学生：你为什么要这么分？分类的标准是什么？你比较了物体图形的哪些特征？从而使学生明确分类的标准，掌握概念的本质。

2.结合概念教学渗透分类思想

如，在教学“方程的意义”一课时，学生对方程意义的理解，就要通过式子的二次分类建构，对“相等关系”、“含有未知数”的理解，从而把握方程的本质属性。教学时，先出示：180＋□＝300，180＋x＝300，180＋x＞300，180＋x＜300，50×2=100，5×m=85，（）-150=300，500-150＞300，50+3a等，接着，老师引导学生把以上式子进行分类，通过分类让学生在比较中归纳出方程是含有未知数的等式。学生可按照式子中有无等号可分为：有等号的式子和不含有等号的式子；按照式子中是否含有未知数又可分为：含有未知数和不含有未知数的等式。并将含有未知数的式子按照式子中是否有等号，又可以分成两类：有含有未知数的等式和有含有未知数的式子。此时，满足方程的二要素便很清楚了：含有

未知数、等式。从而认识方程的本质属性。

3.结合“解决问题”教学渗透分类思想。

在解决问题教学中，引导学生通过合理的分类，有利于帮助学生分析数量关系，归纳解题方

法，从而培养学生解决问题的能力。如，在教学“行程问题”的整理与复习课时，师用多媒体演示，分别演示了四种典型行程问题：即两地相向而行、两地相背而行、同地点相背而行、同地点同方向前进（追及问题)，通过学生的语言叙述，体验题目中关键字的重要作用，要求他们独立进行解答，然后引导学生通过对比、观察、分析把它们分类，结果学生出现了不同的分类标准：根据出发地点是否相同，根据出发方向是否一致，根据是否相遇，根据解题方法等，再通过交流互动，学生了解行程问题分类与各类解题方法。这时，师追问：以后再遇到类似繁杂的行程问题时怎么办？学生想到了可以通过分类，把题目按自己的标准“对号入座”，从而寻求正确的解题方法。

4.结合“统计与概率”教学渗透分类思想。

学生在日常生活中都会积累一定的分类知识。如对书籍的分类，水果分类等，我们可以利用学生的生活经验，把生活中的分类迁移到数学学习中来，在“统计与概率”教学中往往要渗透数学分类思想，而且分类思想还是概率与统计知识的重要基础。如，在教学“购买水果”一课时，师：“六·一”儿童节就要到了，举办班级联欢会与庆“六·一”活动，班级要买一些水果，现在市场上苹果、梨、香蕉、桃子这四种水果最多，我们就在这四种水果中选择，应该怎样购买呢？同学们自己独立思考，然后在小组内交流。生：先要调查我们班的每一位同学喜欢吃哪一种水果，再按自己最爱吃的水果进行分类，在此基础上才能统计各种水果数量。

5.结合“数学广角”教学渗透分类思想

在“数学广角”教材内容，蕴含许多数学思想与方法，教学时应做到有机渗透。如，一位教师在教学“数学广角———植树问题”一节课时，当学生掌握了“在20米长的公路一边植树，每隔5米栽一棵，两端要栽，一共要栽几棵树？”再引导学生探究“只栽一端”

和“两端都不栽”的情况。让学生通过独立思考，并把表格填完整。这样通过表格，帮助学生建立分类思想的意识。然后引导学生认真思考，你发现了什么？最后指名汇报，使学生感悟