2条件极值
极值点的判定条件
极值点的判定条件极值点，也称为极大值点或极小值点，是函数在某一区间内取得最大值或最小值的点。
判定一个函数是否存在极值点，可以通过一些特定的条件来进行判断。
本文将介绍极值点的判定条件。
1. 极值点的定义在数学中，给定一个函数f(x)，如果存在某个数c，使得函数在c处的值比它的邻近点的值都要大（或都要小），那么函数在点c处取得极大值（或极小值），这个点c就被称为极值点。
2. 导数的零点对于一元函数f(x)，我们可以通过求导数来找到它的极值点。
导数表示函数在给定点的变化率，当导数为零时，函数在该点可能取得极值。
所以，判定一个函数是否有极值点的第一步是找出导数的零点。
具体做法可以通过求函数f(x)的导数f'(x)，然后将f'(x)等于零的方程解出，得到它的零点。
这些零点即是函数可能的极值点。
3. 导数的符号变化在找到导数的零点后，我们还需要根据导数的符号变化来判定这些零点是否为极值点。
如果在导数的零点的左边，导数由正变负，那么这个零点将对应一个极大值点。
如果在左边导数由负变正，那么这个零点将对应一个极小值点。
对于导数为连续的函数来说，导数的符号变化和函数的极值点是一一对应的。
4. 二阶导数在某些情况下，导数的符号变化无法明确判定极值点的类型，此时可以通过二阶导数来进一步判断。
二阶导数表示函数的导数的导数，即f''(x)。
在一个极值点处，函数的二阶导数存在且不为零。
如果f''(x)大于零，那么这个极值点是一个极小值点；如果f''(x)小于零，那么这个极值点是一个极大值点。
需要注意的是，如果二阶导数不存在，或者为零，那么这个方法就失效了，还需要考虑其他的判定条件。
5. 边界点假设给定的函数在一个区间[a, b]上连续，那么该区间的边界点a和b也可能为极值点。
需要额外检查函数在边界点上的取值来判断是否为极值点。
6. 示例例如，给定函数f(x) = x^2 - 4x + 5。
16第十六讲 函数极值的第一和第二充分条件
即 x0 是 f ( x)的一个极小值点 .
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§4 函数的极值与最大（小）值
极值判别
最大值与最小值
定理6.12（极值的第二充分条件）
设 f (x) 在点 x0 的某领域 U ( x0;δ )内可导，f ′′( x0 )
存在. 若 f ′( x0 ) = 0, f ′′( x0 ) ≠ 0 ,
0
0
f ( x) ≥ f ( x0 ) , x ∈ ( x0 − δ , x0 ) .
同理可证 f ( x) 在 [ x0, x0 + δ ) 上递增,故
于是
f ( x) ≥ f ( x0 ) , x ∈ ( x0, x0 + δ ) . f ( x0 ) ≤ f ( x) , x ∈U ( x0; δ ) ,
极值判别
最大值与最小值
定理6.11（极值的第一充分条件）
设函数 f (x) 在 x0 连续，在某邻域U ( x0;δ )上可导. (i) 若当 x ∈ ( x0 − δ , x0 ) 时,f ′( x) ≤ 0, 当 x ∈ ( x0, x0 + δ )
时，f ′( x) ≥ 0, 则 f ( x) 在点 x0 取得极小值 .
(ii) 若当 x ∈ ( x0 − δ , x0 ) 时, f ′( x) ≥ 0, 当 x ∈ ( x0, x0 + δ )
时，f ′( x) ≤ 0, 则 f ( x) 在点 x0 取得极大值 .
证 根据导函数的符号判别函数单调性的方法, 可以
知道该定理的几何意义十分明显. 在这里仅给出 (i)
从而当 x ∈ ( x0 − δ , x0 ) 时, f ′( x) < 0 ;
高数(二)——二元函数的极值、概率论初步
二元函数的极值1.二元函数极值定义：某一个邻域内有定义，在设)0,0(),(y x y x z [])0,0(),(),0,0(),(y x z y x z y x z y x z ≥≤或若,)(),()0,0(值或极小的一个极大是则称y x z y x z 值点。
或极小的一个极大是称)(),()0,0(y x z y x ☆极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。
2.极值的必要条件：)0,0()0,0(),(y x y x y x f z 有极值，且在在点若=两个一阶偏导数存在，则：0)0,0(0)0,0(='='y x y f y x x f ，的点使)0,0(0)0,0()0,0(1y x y x y f y x x f ='='的驻点。
称为),(y x f z =的必要条件，定理的结论是极值存在2而非充分条件。
例：122+-=xyz ⎩⎨⎧===+='=-='0000202y x y yz x x z 解出驻点1)0,0(=z 112),0(0,0>+=≠=yy z y x 时，当112)0,(0,0<+-==≠xx z y x 时，当∴驻点不一定是极值点。
3.极值的充分条件：的某个领域内在设：函数)0,0(),(y x y x f y =为驻点，有二阶偏导数，且)0,0(y x [])0,0()0,0(2)0,0(y x yy f y x xx f y x xy f p ''⋅''-''=若：⎩⎨⎧⇒>''⇒<''<为极小值。
时，为极大值。
时，且当：)0,0(0)0,0()0,0(0)0,0(0y x f y x xx f y x f y x xx f p 不是极值。
当：)0,0(,0y x f p ⇒>不能确定。
极值点的第一充分条件和第二充分条件
极值点的第一充分条件和第二充分条件一、极值点的概念1. 极值点是函数在某一区间内的取值最大或最小的点。
极值点分为最大值和最小值两种。
2. 函数的极值点在数学和实际问题中具有重要的意义，它们可以帮助我们找到函数的最优解，比如最大利润、最小成本等。
3. 如果函数在某一点的导数为0，那么该点就有可能是函数的极值点。
二、极值点的第一充分条件1. 极值点的第一充分条件是：如果函数f(x)在点x0处可导，并且在x0的某个邻域内，f'(x)的符号在x0的两侧是相反的，即f'(x0-)与f'(x0+)异号，则x0就是函数f(x)的极值点。
2. 以求取极小值为例，当f'(x0-)表示x0左侧的导数，而f'(x0+)表示x0右侧的导数，如果f'(x0-) < 0且f'(x0+) > 0，那么x0就是函数f(x)的极小值点。
3. 以求取极大值为例，当f'(x0-) < 0且f'(x0+) > 0时，x0就是函数f(x)的极大值点。
4. 第一充分条件告诉我们，通过观察函数在极值点邻域内的导数符号变化，就可以初步判断出该点是否为极值点。
三、极值点的第二充分条件1. 极值点的第二充分条件是：如果函数f(x)在点x0处具有二阶导数，并且f'(x0) = 0，f''(x0)存在，则- 当f''(x0) > 0时，x0就是函数f(x)的极小值点；- 当f''(x0) < 0时，x0就是函数f(x)的极大值点。
2. 第二充分条件告诉我们，在满足第一充分条件的基础上，通过观察函数在极值点的二阶导数符号，可以进一步确定该点是极大值还是极小值。
3. 值得注意的是，第二充分条件只适用于具有二阶导数的函数，对于一阶导数不连续或者无法求导的函数则不适用。
四、极值点的实际应用1. 极值点的求解在实际问题中具有广泛的应用，比如在经济学中，可以通过求取函数的极值点来确定最大利润或最小成本；在物理学中，可以通过求解极值点来确定最短路径或最大速度等。
极值的判定方法详解
极值的判定方法详解极值是数学中一个重要的概念，它在优化问题、微积分和数学建模等领域中有着广泛的应用。
判定一个函数的极值是数学分析中的基本问题之一，本文将详细介绍极值的判定方法。
一、极值的定义在数学中，给定一个函数f(x)，如果存在一个点x0，使得在x0的某个邻域内，对于任意的x，都有f(x)≤f(x0)或f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的极大值或极小值，同时称x0为极值点。
二、一阶导数法判定极值一阶导数法是判定极值的常用方法之一。
根据函数的导数可以判断函数在某一点的增减性，从而判定极值。
1. 极值点的必要条件若函数f(x)在x0处可导且x0为极值点，则f'(x0)=0。
这是极值点的必要条件，但不是充分条件。
2. 极值点的充分条件若函数f(x)在x0处二阶可导，且f'(x0)=0，f''(x0)>0，则x0为f(x)的极小值点；若f''(x0)<0，则x0为f(x)的极大值点。
三、二阶导数法判定极值二阶导数法是判定极值的另一种常用方法。
通过函数的二阶导数可以判断函数在某一点的凹凸性，从而判定极值。
1. 极值点的必要条件若函数f(x)在x0处可导且x0为极值点，则f''(x0)=0。
这是极值点的必要条件，但不是充分条件。
2. 极值点的充分条件若函数f(x)在x0处二阶可导，且f''(x0)>0，则x0为f(x)的极小值点；若f''(x0)<0，则x0为f(x)的极大值点。
四、边界点和无界区间的极值判定除了在内部点判定极值外，还需要考虑函数在边界点和无界区间的极值情况。
1. 边界点的极值判定若函数f(x)在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且在a处或b处的导数不存在，则f(x)在[a, b]上的极值点可能出现在a或b处。
2. 无界区间的极值判定若函数f(x)在区间(-∞, +∞)上连续，在(-∞, +∞)内可导，且当x→±∞时，f(x)趋于某个常数L，则f(x)在(-∞, +∞)上的极值点可能出现在x→±∞时。
拉格朗日乘数法二阶条件
拉格朗日乘数法二阶条件一、引言拉格朗日乘数法是数学中的一种优化方法，用于求解约束条件下的优化问题。
在实际问题中，经常会遇到需要优化一个函数的情况，但是又受到一些约束条件的限制。
拉格朗日乘数法提供了一种有效的方法，通过引入对应的拉格朗日乘子，将约束转化为优化目标的约束，从而使得原问题可以转化为无约束优化问题。
本文将详细介绍拉格朗日乘数法的二阶条件，以及其在如何判断极值点的方法。
二、拉格朗日乘数法概述拉格朗日乘数法是一种用于求解约束优化问题的方法，其基本思想是将约束条件转化为目标函数的约束条件。
假设我们要优化一个目标函数f(x)的同时满足一个或多个约束条件g(x)=0，其中x=(x1,x2,…,xn)为待优化的变量。
首先，我们定义拉格朗日函数L(x,λ)如下：L(x,λ) = f(x) - λg(x)其中，λ=(λ1,λ2,…,λm)为拉格朗日乘子，是引入的约束条件的系数。
然后，我们求解目标函数和约束函数的梯度为零的点，即∇f(x) - λ∇g(x) = 0。
找到这些点后，我们还需要判断是否为极值点，这就是拉格朗日乘数法的二阶条件。
三、拉格朗日乘数法二阶条件的推导在求解梯度为零的点时，我们得到了一组方程∇f(x) - λ∇g(x) = 0。
为了判断这些点是否为极值点，我们需要求解拉格朗日乘数法二阶条件的判别式，即判别矩阵的行列式。
具体来说，我们定义Hessian矩阵H(x,λ)和雅可比矩阵J(x)如下：H(x,λ) = ∇²f(x) - λ∇²g(x)J(x) = [∇g(x)]^T其中，∇²f(x)表示目标函数f(x)的二阶偏导数矩阵，∇²g(x)表示约束函数g(x)的二阶偏导数矩阵。
那么，拉格朗日乘数法的二阶条件可表示为：det(H(x,λ) - J(x)^TJ(x)) = 0其中，det表示方阵的行列式。
当判别式等于0时，说明该点可能是极值点，需要进一步判断。
极大值与极小值2
练习1：若函数f ( x) x3 ax2 ax没有极值，求a的取值范围.
练习2：求函数f ( x) x3 3ax b(a 0)的单调区间与极值点.
3 3 2
∴a=2.
例3:y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处
有极值，求a、b的值
解： y ' (a ln x bx 2 x) '
a 2bx 1 x 因为在x=1和x=2处,导数为0
2 a a 2b 1 0 3 a 1 4b 1 0 b 2 6
∴
例4.若函数f ( x) x ax bx a
3 2
2
在x 1处有极值10，求a+b的值
例5.已知f ( x) 2ln( x a) x2 x在x 0处取得极值.
(1)求实数a的值； （2）若关于x的方程f ( x) b 0在区间[-1,1]上 恰有两个不同的实数根，求b的范围
分析：f(x)在 x 处有极值，根据一点是极值点的
必要条件可知， f
'(
3
3
) 0可求出a的值.
1 解： f '( x) (a sin x sin 3x) ' a cos x cos 3 x 3 ∵ f '( ) 0 ， 3 1 ∴ a cos cos(3 ) 0 a 1 0
4、极大值与极小值之间无确定的大小关 系即一个函数的极大值未必大于极小值， 如下图所示， x4 是极小值 x1 是极大值点， 点，而 f ( x4 ) f ( x1 )
例1:下列函数中，x=0是极值点的函数 是(
B
经济数学7.函数的极值判定定理(第二充分条件)
解： 因为函数 f (x)的定义域为 (,)， 且 f (x) 3x2 6x 9， 令 f (x) 0 ，得驻点 x1 1 , x2 3 ,
又 f (x) 6x 6。
经济数学
例题
求函数 f (x) x3 3x2 9x 2 的极值。
经济数学
f (x) 6x 6
解： 因为 f (1) 12 0，
所以函数 f (x) 在 x1 1处取得极大值， 且极大值为 f (1) 7 ；
因为 f (3) 12 0 ，
所以函数 f (x) 在 x2 3处取得极小值， 且极小值为 f (3) 25。
经济数学在线开放课程
函数极值判定定理 （第二充分条件）
授课教师：陈笑缘教授
经济数学
1
定理
2
例题
经济数学
1
定理
经济数学
经济数学
定理
定理4.6 （极值的第二充分条件）
设 x0是函数 f ( x) 的驻点，且 f (x0 ) 存在， 则
（1） 当 f (x0 ) 0 时，函数 f (x)在 x0处取得极大值。 （2）当 f (x0 ) 0 时，函数 f (x) 在 x0 处取得极小值。 （3）当 f (x0 ) 0 时，函数 f (x)在 x0处有无极值需另外判断。
经济数学
思考
1.为什么当 f (x0 ) 0 ，则 f (x0 ) 是否为函数 f ( x)的极值还
需要进一步判断？ 2.什么情况下用极值判断的第一充分条件？什么情况下用第二充 分条件？其利弊是什么?
经济数学在线开放课程经济源自学谢谢!经济数学二次函数 f (x) ax2 bx c , f (x) 2ax b , f (x) 2a ,
极值的方法与技巧(1)
求极值的方法与技巧极值一般分为无条件极值和条件极值两类。
无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题；条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外，还受其他条件限制的极值问题。
一、求解无条件极值的常用方法1．利用二阶偏导数之间的关系和符号判断取不取极值及极值的类型定理1(充分条件) 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又f x (x 0, y 0)=0, f y (x 0, y 0)=0, 令f xx (x 0, y 0)=A , f xy (x 0, y 0)=B , f yy (x 0, y 0)=C ,则f (x , y )在(x 0, y 0)处是否取得极值的条件如下：(1) AC -B 2>0时具有极值, 且当A <0时有极大值, 当A >0时有极小值； (2) AC -B 2<0时没有极值；(3) AC -B 2=0时可能有极值, 也可能没有极值。
极值的求法：第一步 解方程组f x (x , y )=0, f y (x , y )=0, 求得一切实数解, 即可得一切驻点。
第二步 对于每一个驻点(x 0, y 0), 求出二阶偏导数的值A 、B 和C 。
第三步 定出AC -B 2的符号, 按定理1的结论判定f (x 0, y 0)是否是极值、是极大值 还是极小值。
应注意的几个问题：⑴对于二元函数z =f (x , y ),在定义域内求极值这是一个比较适用且常用的方法, 但是这种方法对三元及更多元的函数并不适用；⑵AC -B 2=0时可能有极值, 也可能没有极值，还需另作讨论；⑶如果函数在个别点处的偏导数不存在，这些点当然不是驻点，但也可能是极值点，讨论函数的极值问题时这些点也应当考虑。
例1求函数2222()()xy z x y e -+=+的极值。
解 令222222()22()2(1)02(1)0x y x y z x x y e xz y x y e y -+-+∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩得驻点(0,0)及22 1.x y +=又由22222222()2[2(13)4(1)]x y zy x x x y e x-+∂=-----∂22222()4(2)x y zxy x y e x y-+∂=---∂∂22222222()2[2(13)4(1)]x y zx y y x y e y-+∂=-----∂22(0,0)2,z A x∂==∂ 2(0,0)0,zB x y∂==∂∂ 22(0,0)2zC y∂==∂240,0B AC A ∆=-=-<> 故(0,0)0f =为极小值。
条件极值问题
条件极值问题条件极值问题（ConditionalExtremumProblem），简称极值问题，是一个常见的数学问题，也是非常实用的数学方法之一。
它可以求解多元函数的极大极小值。
条件极值问题在工程、经济、物理等各个领域都有广泛的应用，是现代科学研究的重要工具。
本文将就极值问题的一般性定义、求解方法、实例应用和最优化原理等方面作一简要介绍。
一、极值问题的一般性定义条件极值问题是一个多元函数的极大极小值的求解问题，也称为最优化问题。
它就是求解函数f(x)在给定条件C(x)=0下的极大或极小值，这里f(x)表示目标函数，C(x)表示约束条件。
二、极值问题的求解方法求解极值问题的关键是利用数学方法求解多元函数的极大或极小值。
一般有以下几种方法：1、求导法。
首先要利用微积分求出函数极值的判据，即最优原理，然后利用求导法求出函数的极值；2、等价转化法。
首先将求解的极值问题转化为等价的标准型解，然后利用判别函数的变化情况求解极值；3、线性规划法。
这是极值问题最常用的求解方法，它可以把极值问题转化为一个线性规划问题，然后求解出解析解；4、善用数值方法。
求解极值问题时，也可以善用数值方法，比如牛顿法、梯度下降法等。
三、实例应用1、求一个凸多元函数的极小值。
这里给出一个凸多元函数f(x)=x1+2x2+3x3。
求它的极小值问题，其约束条件为x1+x2+x3=1，即C(x)=x1+x2+x3-1=0。
利用求导法研究函数极值判据，其一阶导数为f(x)=1+2+3=6，它的极小值出现在导数恒为零的地方。
将约束条件带入判别函数，即F(x)=f(x)-λC(x)=x1+2x2+3x3-λ(x1+x2+x3-1)=0，其中λ为拉格朗日乘子，由于极小值时一阶导数恒为零，所以可以得到F(x)=6-3λ=0，可以求出λ=2，此时可以把原问题转化为等价的标准型问题，即F(x)=x1+2x2+3x3-2(x1+x2+x3-1)=0，然后求解这个非线性方程组，得出x1=0, x2=0.5,x3=0.5,此时f(x)=3，即极小值为3。
人教版高中数学必修第二册极值定理
第四教时教材：极值定理目的：要求学生在掌握平均不等式的基础上进而掌握极值定理，并学会初步应用。
过程：一、复习：算术平均数与几何平均数定义，平均不等式二、假设+∈R y x ,，设2),(22y x y x Q +=2),(y x y x A +=xy y x G =),( y x y x H 1+=12),( 求证：),(),(),(),(y x H y x G y x A y x Q ≥≥≥加权平均；算术平均；几何平均；调和平均 证：∵2442)2(22222222y x y x y x xy y x y x +=+++≤++=+ ∴2222y x y x +≥+即：),(),(y x A y x Q ≥〔俗称幂平均不等式〕 由平均不等式),(),(y x G y x A ≥),(222),(y x G xy xyxy y x xy y x H ==≤+=即：),(),(y x H y x G ≥ 综上所述：),(),(),(),(y x H y x G y x A y x Q ≥≥≥例一、假设+∈=+R b a b a ,,1 求证225)1()1(22≥+++b b a a 证：由幂平均不等式：2)11()1()1(222b b a a b b a a +++≥+++ 2252)23(2)3(2)1(222=+≥++=++++=b a a b b b a a b a 三、极值定理y x ,都是正数，求证：1︒ 如果积xy 是定值p ，那么当y x =时和y x +有最小值p 22︒ 如果和y x +是定值s ，那么当y x =时积xy 有最大值241s证：∵+∈R y x ,∴xy y x ≥+21︒当xy p = (定值)时，p y x ≥+2∴y x +p 2≥∵上式当y x =时取“=〞 ∴当y x =时有=+min )(y x p 2 2︒当s y x =+ (定值)时，2s xy ≤∴241s xy ≤ ∵上式当y x =时取“=〞 ∴当y x =时有2max 41)(s xy = 注意强调：1︒最值的含义〔“≥〞取最小值，“≤〞取最大值〕2︒用极值定理求最值的三个必要条件：一“正〞、二“定〞、三“相等〞 四、例题1．证明以下各题：⑴210log lg ≥+x x )1(>x证：∵1>x ∴0lg >x 010log >x 于是210lg lg 210log lg =≥+x x x x ⑵假设上题改成10<<x ，结果将如何？ 解：∵10<<x 0lg <x 010log <x于是2)10log ()lg (≥-+-x x从而210log lg -≤+x x⑶假设1=+b a 那么41≤ab 解：假设+∈R b a ,那么显然有410≤<ab 假设b a ,异号或一个为0那么0≤ab ∴41≤ab 2．①求函数)1(2x x y -=的最大值)10(<<x ②求函数)1(2x x y -=的最大值)10(<<x 解：①∵10<<x ∴01>-x ∴当x x -=12即32=x 时 274)3122(4)1(2243=-++⋅≤-⋅⋅=x x x x x x y 即32=x 时274max =y②∵10<<x ∴1102<-<x ∴)1)(1(221)1(2222222x x x x x y --⋅⋅=-= 274)3)1()1(2(213222=-+-+≤x x x ∴当33,1222=-=x x x 时274max 2=y 932max =y 3．假设1->x ，那么x 为何值时11++x x 有最小值，最小值为几？ 解：∵1->x ∴01>+x 011>+x ∴11++x x =112111)1(21111=-=-+⋅+≥-+++x x x x 当且仅当111+=+x x 即0=x 时1)11(min =++x x 五、小结：1．四大平均值之间的关系及其证明2．极值定理及三要素六、作业：P12 练习3、4 习题6.2 4、5、6 补充：以下函数中x 取何值时，函数取得最大值或最小值，最值是多少？1︒)32(x x y -=31=x 时31max =y 2︒xx y 45141-+-=2,1min -==y x 3︒0<x 时 x x y 321--=61,26min +=-=y x。
高中物理必修2中竖直平面内圆周运动极值条件的证明
１ 证 明 小 球 到 达 最 高 点 的 下 一 时 刻 依 然 在 圆
周 上
重力与轻绳 的夹 角为 （ ＜ ＜ 去７） 速度 为 ０ ｃ，
Ｖ， 那么 根据 向心 力公 式有这 样 的关 系存 在 ：
ｙＪ
如 图 ２所示 ：
．
１
图 ２
０
假设 小球 在 到 达 最 高 点 的 时 刻 轻 绳 突 然 断
评、 组评 ， 自己和 伙 伴 对 自己 的作 业 打上 等 级 。 即
另外 ， 尤其 增设 了 逆 向评 价 和校 外 评 价 。逆 向 应
评价 即在 作业 后设 计 了“ 老师 ， 我对你 说 ” 目， 栏 供 学生 对教 师 的作业 设 计 、 师 的 评 价 等作 出及 时 教 的反应 ， 时又为 师 生 的心 灵 交 流 创设 了一 个 平 同
，
解
求最 高 点 的最 小 速 度 ， 在最 高 点 只有 重
力提 供 向心 力 ， 有
ｍ — ｍＶ Ｌ ｇ ／ 得
Ｖｏ一
．
（） １
不 过在 竖直 平 面 内 圆周 运 动 的 条 件分 析上 ， 多 很
人 都忽 略 了一个 问题 ， 就 是 这个 “ 件 ” 什 么 那 条 为
２ ２ ０１
・
中小 学教 学 ・
高 中物 理 必修 ２中竖 直 平 面 内 圆周 运 动 极 值 条 件 的证 明
查 永 强 徐 晓梅
（ 南 师范 大 学 物 理 与 电 子 信 息 学 院 ， 南 昆 明 ６ ０ ０ ） 云 云 ５ ５ ０
摘
要 ： 高 中物 理 必修 ｚ中 竖 直 平 面 内 圆周 运 动 极 值 条 件 进 行 了证 明 ， 在 帮 助 学 生 解 除 对 意
二元函数的极值问题
摘要本文主要讨论了二元函数的极值问题，不仅介绍了二元函数极值方面的有关概念和定理，还给出了这些定理的证明，并举出了二元函数极值方面的几个理论问题，特别地对极值判别式进行了推广和求解条件极值的拉格朗日乘数法进行了一般化改进.本文以高教版数学分析教材为出发点，在讨论的过程中重温了书本上的定理，更对书中的定理进行升华，使定理能够更好解决实际问题，进而运用的更加广泛.关键词:二元函数；极大值；极小值AbstractThe extremum of function of two variables is expounded in this thesis. Not only are some relevant ideas and definitions are presented in this thesis, but also the relative proof to them. Furthermore, it exhibits several theoretical problems of the extremum of function of two variables as well. Particularly, it expands the discriminant of the extremum and generally improves Lagrangian Multiplier that is to find a minimum or a maximum of a function. On one hand, based on the teaching material of Advanced Mathematics, the thesis reviews the definitions in the textbook throughout the procedure of specification. On the other hand, it sublimates these definitions so that we can solve the practical issues better and use them more widely.Key words：function of two variables；maximun value; minimum value摘要 (I)Abstract ................................................................... I I 目录 ...................................................................... I II 1引言.. (1)2二元函数极值问题的相关概念 (1)2.1二元函数定义 (1)2.2二元函数及其极大极小值的定义 (2)3二元函数的极值问题 (2)3.1二元函数极值存在的必要条件 (2)3.2二元函数极值存在的充分条件 (3)3.3求二元函数极值的步骤 (5)4特殊情况下二元函数极值 (6)5条件极值问题 (8)5.1代入法 (9)5.2拉格朗日(Lagrange)乘数法 (9)6总结 (13)参考文献 (14)函数极值问题是一个非常普通的数学问题，是经典微积分学最成功的应用，不仅在实际问题中占有重要地位，而且也是函数性态的一个重要特征.在一元函数中，可以利用函数的导数求得函数的极值，从而进一步解决一些有关最大，最小值应用问题.同样利用偏导数，也可以解决二元函数的极值问题.2二元函数极值问题的相关概念2.1二元函数定义定义 1 设平面点集D 包含于2R ,若按照某对应法则f ,D 中每一点),(y x P 都有唯一确定的实数z 与之对应,则称f 为在D 上的二元函数.记作,D :R f → （1） 且称D 为f 的定义域；P 对应的z 为f 在点P 的函数值,记作),(y x f z =或)(P f z =；全体函数值的集合称为f 的值域,记作R f ⊂(D).通常还把P 的坐标x 与y 称为自变量，而把z 称为因变量.当把D y x ∈),(和它所有的函数值),(y x f z =一起组成三维数据组()z y x ,,时，三维欧氏空间3R 中的点集}{3)y ,(),,(|),,(R D x y x f z z y x S ⊂∈==便是二元函数f 的图像.通常),(y x f z =的图象是一空间曲面，f 的定义域D 便是该曲面在xOy 平面上的投影.为了方便起见，我们把(1)式所确定的二元函数也记作),(y x f z =, D y x ∈),(,或 )(P f z =，D P ∈,且当它的定义域D 不会被误解的情况下，也简单的说“函数),(y x f z =”或“函数f ”.2.2二元函数及其极大极小值的定义定义 2 设函数f 在点),(000y x P 的某领域)(0P U 内有定义，若对于任何点)(),(0P U y x P ∈,成立不等式)()(0P f P f ≥(或)()(0P f P f ≤)，则称函数f 是在点0P 取得极小值（或极大值），点0P 称为f 的极小（极大）值点.极大值、极小值统称极值，极大值点、极小值点统称极值点.注意：这里所讨论的极值点只限于定义域的内点.例如，设2223),(y x y x f +=，221),(y x y x g --=，xy y x h 2),(=.由定义直接知道，坐标原点)0,0(是f 的极小值点，是g 的极大值点，但不是h 的极值点.这是因为对于任何点),(y x ,恒有0)0,0(),(=≥f y x f ；对任意{}1y x |x,y x,y 22≤+∈)()(，恒有1)0,0(),(=≤g y x g ;而对于函数h ，在原点的任意小邻域内，既含有使0),(>y x h 的第一、三象限中的点，又含有使0),(<y x h 的第二、四象限中的点，所以0)0,0(=h 既不是极大值又不是极小值.由定义可见，若f 在点),(00y x 取得极值，刚当固定0y y =时，一元函数),(0y x f 必定在0x x =取得相同的极值.同理，一元函数),(0y x f 必定在0y y =也取得相同的极值. 那么一般情况下如何求二元函数的极值呢？仿照一元函数的极值的讨论，我们得到二元函数极值存在的必要条件如下.3二元函数的极值问题3.1二元函数极值存在的必要条件定理 1 若函数f 在点),(000y x P 处存在偏导数，且函数在该点取得极值，则有0),(),(0000==y x f y x f y x .证明 因为点),(00y x 是函数),(y x f 的极值点，若固定),(y x f 中的变量0y y =，则),(0y x f z =是一个一元函数且在0x x =处取得极值，由一元函数极值的必要条件知0),(00=y x f x ，同理有0),(00=y x f y .反之，凡是满足方程组⎩⎨⎧==0),(0),(y x f y x f y x 的点),(00y x 称为函数),(y x f z =的驻点．定理说明，只要函数),(y x f z =的两个偏导数存在，那么它的极值点一定是驻点，反过来，驻点是不是一定为极值点呢？例如，函数22y x z +-=，在点()0,0处的两个偏导数为0，即()0,0是驻点，但在()0,0的任一邻域内函数既有正值也有负值，所以()0,0不是极值点，即驻点不一定是极值点.另外，极值点也可能是偏导数不存在的点.比如，上半锥面22y x z +=在点()0,0的偏导数不存在，但()0,0是函数的极小值点，函数极小值为0.3.2二元函数极值存在的充分条件判断二元函数),(y x f 在),(000y x P 取得极值的充分条件，我们假定函数f 有二阶连续偏导数，并记0f p =⎢⎣⎡)()(00P f P f yx xx ⎥⎥⎦⎤)()(00xy P f P f yy =⎢⎣⎡yx xx f f 0xy P yy f f ⎥⎥⎦⎤, 称它为f 在),(000y x P 的黑塞矩阵.定义3 若函数f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P U 具有直到1+n 阶的连续偏导数，则对)(0P U 内任一点),(00k y h x ++，存在相应的)1,0(∈θ，使得).,()()!1(1),()(!1),()(!21),()(),(),(00100002000000k y h x f y k x h n y x f yk x h n y x f y k x h y x f yk x h y x f k y h x f n n θθ++∂∂+∂∂++∂∂+∂∂+⋯+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=+++ (2)式称为二元函数f 在点0P 的泰勒公式，其中i m i i m i mm i i m m k h y x f y x C y x f y k x h --=∂∂∂=∂∂+∂∂∑),(),()(00000. 定理2 （极值充分条件）设二元函数f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P U 具有二阶连续偏（2）导数，且0P 为f 的稳定点，则当)(0P H f 为正定矩阵时，此函数f 在0P 有极小值；当)(0P H f 为负定矩阵时，在0P 有极大值；当)(0P H f 为不定矩阵时，在0P 不取极值. 证明 由f 在0P 的二阶泰勒公式，并注意到条件0)()(00==P f P f y x ，有)(),)((),(21),(),(22000y x y x P H y x y x f y x f T f ∆+∆ο+∆∆∆∆=-. 由于)(0P H f 正定，所以对任何)0,0(),(≠∆∆y x 恒使二次型0),)((),(),(0>∆∆∆∆=∆∆T f y x P H y x y x Q .因此存在一个与y x ∆∆,无关的正数q ，使得)(2),(22y x q y x Q ∆+∆≥∆∆.则对于充分小的0()U P 只要),(y x ∈0()U P ，就有0))1()(,()(),(),(),(22222200≥ο+∆∆=∆+∆ο+∆∆≥-q y x y x y x q y x f y x f ，即f 在),(000y x P 取极小值.同理可证)(0P H f 为负定矩阵时，f 在),(000y x P 取极大值.最后，当)(0P H f 不定时，f 在0P 不取极值.假设f 取极值（因为不失一般性，所以我们不妨设为取极大值），对任何过0P 的直线x t x x ∆+=0，y t y y ∆+=0，)(),(),(00t y t y x t x f y x f φ=∆+∆+=在0t 也取极大值.由一元函数取极值的充分条件，0)0(>''φ是不可能的（否则φ在0t 将取极小值），故0)0(≤''φ.而又有 y x yf xf t ∆+∆=φ')(，22)(2)()(y f yf x x f t yy xy xx ∆+∆∆+∆=φ''，T f y x P H y x ),)((),()0(0∆∆∆∆=''φ，这表明)(0P H f 为负半定的.同理，f 倘若取极小值，则将导致)(0P H f 为正半定.也就是说，当f 在0P 取极值时，)(0P H f 必须是正半定或负半定，但这与)(0P H f 不定相矛盾.证毕.若函数f 如定理2所设，设0P 是f 的稳定点，则我们可以将定理2写成如下比较实用的形式：①当0)(0>P f xx ，0))((02>-P f f f xy yy xx 时，f 在点0P 取得极小值； ②当0)(0<P f xx ，0))((02>-P f f f xy yy xx 时，f 在点0P 取得极大值； ③当0))((02<-P f f f xy yy xx 时，f 在点0P 不能取得极值；④当0))((02=-P f f f xy yy xx 时，不能肯定f 在点0P 是否取得极值.3.3求二元函数极值的步骤第一步，首先求出偏导数x f ，y f ，xx f ，yy f ，xy f ；第二步，然后解方程组⎩⎨⎧==00yx f f 求出驻点P ；第三步，求出二元函数在驻点P 处)(P f xx 、)(P f yy 、)(P f xy 的值及))((2P f f f xy yy xx -的符号，再根据定理2判定出极值点；第四步，求出二元函数的极大值或者极小值.例1 求),(y x f y x y xy x +-+-222的极值点.解 由方程组 ⎩⎨⎧=+-==--=012022x y f y x f yx 得f 的稳定点为)0,1(0P ，由于02)(0>=P f xx ,2)(0=P f yy ,1)(0-=P f xy ，03))((02>=-P f f f xy yy xx ,故f 在0P 取极小值1)0,1(-=f .又因为f 处处可微，所以0P 为f 的惟一极值点.例2 求xy y x z 333-+=的极值.解 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=03303322x y f y x f y x 得f 的稳定点为)1,1(1P 、)0,0(2P ，由于x f xx 6=、y f yy 6=、3-=xy f ，所以027))((12>=-P f f f xy yy xx .故f 在1P 取极小值1)1,1(-=f .又因为 09))((22<-=-P f f f xy yy xx ，所以2P 不是f 的极值点.例3 讨论),(y x f =62+-xy y 是否存在极值点.解 由方程组 ⎩⎨⎧=-==-=020x y f y f yx 得稳定点为原点)0,0(0P .又01))((02<-=-P f f f xy yy xx ,故原点不是f 的极值点.又因为f 在定义域内处处存在偏导数，所以f 没有极值点.例4 讨论)2)((),(22y x y x y x f --=在原点是否取得极值.解 容易验证原点为其稳定点，但在原点02=-xy yy xx f f f ,所以无法判定f 在原点是否取得极值.但是，我们又很容易发现，当222y x y <<时，),(y x f 0；当22y x >或2y x <时，),(y x f 0.所以函数f 不可能在原点取得极值.4特殊情况下二元函数极值对于一个二元函数来说，当),(000y x P 为稳定点，判别式0))((02≠-=P f f f M xy yy xx 时，可以判定f 在点0P 取得极小值、极大值或不能取得极值.但是，在判别式为零的时候，就没有肯定的答案了，下面我们就来讨论一下判别式为零时的情形.根据极值的定义可知，要判定),(000y x P 是否为极值点，只要判定),(y x P 在),(000y x P 的某邻域0()U P 内变化时，),(),(00y x f y x f f -=∆是否保持定号，并由此来判断.假设f 的所有二阶偏导数连续，则可以利用泰勒公式来讨论f ∆的符号.定理3 设点),(000y x P 是二元函数),(y x f 的稳定点，0===xy yy xx f f f ，若),(y x f 在0P 的某邻域内具有三阶连续偏导数，且至少有一个不为零时，则f 在0P 无极值.证明 由所给的泰勒展开式有),(),(][61),(),(3300300y x y x f yf k x f h y x f y x f ∆+∆ο+∂∂-∂∂=- 其中00,y y k x x h -=-=，而)(33y x ∆+∆ο为当),(),(00y x y x →时f 的无穷小量.所以，对于0P 的充分小的邻域0()U P ，只要当)(),(0P U y x ∈时，就能保证),(][61003y x f yf k x f h ∂∂-∂∂与),(),(00y x f y x f - 同号.这是因为),(][61003y x f yf k x f h ∂∂-∂∂ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂=30033200322003230033),(),(3),(3),(61y y x f k y x y x f hk y x y x f k h x y x f h ， 若),(y x f 在0P 的某邻域内三阶连续偏导数至少有一个不为零，即0),(),(),(),(23003220032200323003≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂y y x f y x y x f y x y x f x y x f ， 我们来分情况讨论1若0)(033≠∂∂P xf 时，取00,y y x x h =-=，则 当0x x >时，0>h 则03>h ；当0x x <时，0<h 则30h ； 从而)(0333P x f h ∂∂的符号是不确定的.即当0)(033≠∂∂P xf 时，f 在0P 无极值. 2若0)(033≠∂∂P yf 时，取00,y y k x x -==，同理可得f 在0P 无极值.3若0)(033=∂∂P x f ，0)(033=∂∂P y f ，则0)(023≠∂∂∂P y x f ，或0)(023≠∂∂∂P yx f.不妨设0)(023≠∂∂∂P yx f，此时 ]),(),([21),(),(2003200300y x y x f k y x y x f h y x f y x f ∂∂∂+∂∂∂=-，取0>k 充分小,使得20032003),(),(yx y x f k y x y x f h ∂∂∂>∂∂∂，则),(),(00y x f y x f -的符号是由yx y x f k h ∂∂∂20032),(决定.从而k 取正负号时导致),(),(00y x f y x f -在),(00y x 的任意小邻域可取正可取负.因此，),(),(00y x f y x f -的符号不确定.即当0)(033=∂∂P x f ，0)(033=∂∂P yf，而0)(023≠∂∂∂P y x f 时，f 在0P 无极值.在0)(023≠∂∂∂P yx f时，同理可得f 在0P 无极值. 综上，定理得证.例5 讨论函数323532),(y xy x y x f +-=在原点是否有极值.解 函数),(y x f 在原点处的一，二阶偏导数0=====yy xy xx y x f f f f f ，而0123≠=x f ，由定理3可得，函数),(y x f 在原点不取极值.5条件极值问题在大量二元函数取极值的问题中，有一类问题是经常碰到的，即所谓求函数“条件极值”的问题.例如，要设计一个容量为V 的长方形开口容器，那么，当容器的长，宽，高各等于多少时，其表面积最小？为了解决上面这个问题，我们不妨设容器的长、宽、高分别为c b a 、、,则该容器表的面积为ac bc ab c b a S 22),,(++=.由此不难看出，上述表面积函数S 的自变量c b a 、、,不仅要符合定义域的要求0,0,0>>>c b a ，而且还须满足条件abc V =.像上面这类附有约束条件的极值问题，称为条件极值问题（不带约束条件的极值问题不妨称为无条件极值问题）.一般地，求二元函数的条件极值，在讨论二元函数),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下的极值问题时，我们主要使用下面两个方法.5.1代入法在约束条件0),(=y x g 中，如果能解x (或y ), 即)(y x ϕ=(或)(x y ϕ=),将它代入),(y x f z =中，那么)),((y y f z ϕ=（或))(,(x x f z ϕ=），这样就把二元函数),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下的极值问题，转化为求一元函数)),((y y f z ϕ=（或))(,(x x f z ϕ=）的极值问题了，而一元函数的极值问题已经在微积分中得到圆满解决.例5 求xy z =在约束条件1=+y x 的极值.解 由约束条件x y -=1代入z 中，得到2)1(x x x x z -=-=，令021x =-='x z ，解得21=x ， 又因为02xx<-=''z ，所以21=x 为极大值点. 故函数z 的极大值为41)21,21(=z .5.2拉格朗日(Lagrange)乘数法在某些情况下，要想在约束条件0),(=y x g 中解出x (或y )不总是可能的,下面我们介绍一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法:(1)引入辅助变量λ和辅助函数),(),(),,(y x g y x f y x L λλ+=；（2）求出),,(λy x L 对λ,,y x 的一阶偏导数，并令它们都为零，然后联立组成方程组即：⎪⎩⎪⎨⎧===+==+=0),(),,(0),(),(),,(0),(),(),,(y x g y x L y x g y x f y x L y x g y x f y x L y y y x x x λλλλλλ 解上面这个方程组，得出解),(i i y x )2,1(⋯⋯=i ，都是),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下的驻点，这是因为由(3)和(4)得),(),(),(),(y x g y x f y x g y x f yy x x '-=''-='λλ由(6)和(7)得(3) (4) (5)(6)(7)0),(),(),(),(='''-'y x g y x g y x f y x f y x y x 再由(5)得0),(),(=''+'x y x y y x g y x g所以有),(),(y x g y x g y y x x ''-=' 于是0),(),(=''+'x y x y y x f y x f这样我们就容易得到0),(),(=''+'='x y x x y y x f y x f z所以说),(i i y x )2,1(⋯⋯=i 都是),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下的驻点.这里需要说明一点，如果在实际问题中，能判定函数),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下只有一个极大值或极小值，并且上面的方程组也只有惟一的解),(00y x ，那么点),(00y x 就是极大值或极小值.当然,在不能判定的情况下，我们还要继续下面的步骤；（3）为了判断),(i i y x )2,1(⋯⋯=i 是否是极值点，我们设),(y x f z =有连续的一阶、二阶偏导数，y 对x 的一阶、二阶导数存在，那么xx y x x yy yx xy xx xx y y x f y y y x f y x f y x f y x f z '''+''''+''+''+''=''),(]),(),(),([),(由一元函数极值的第二判别法得①当0),(<''i i xx y x z 时，),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下有极大值),(i i y x f z =； ②当0),(>''i i xx y x z 时，),(y x f z =在约束条件0),(=y x g 下有极小值),(i i y x f z =.上面这种方法就是拉格朗日乘数法，辅助函数L 称为拉格朗日函数，辅助变量λ称为拉格朗日乘数.这个方法虽然看起来很烦琐，但是它很好的解决了代入法的不足之处，在解决二元函数条件极值问题方面应用非常广泛.现在我们就用拉格朗日乘数法来重新求xy z =在约束条件1=+y x 的极值.引入辅助变量λ和辅助函数)1(),(),(),,(-++=+=y x xy y x g y x f y x L λλλ；然后求出),,(λy x L 对λ,,y x 的一阶偏导数，并令它们都为零组成方程组,即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+==+=010),,(0),,(y y x x y x L y y x L x λλλλ 解方程组得唯一驻点)21,21(，由于当±∞→x 时，∞→ y ，故-∞→=xy z ，则函数z 必在此处取得极大值41)21,21(=z .当然，我们还可以用步骤三去判断)21,21(是否是极值点.很容易求得y y x f x ='),(、x y x f y ='),(、0),(=''y x f xx、1),(),(=''=''y x f y x f yx xy 、0),(=''y x f yy 、1-='x y 、0=''xx y ，所以，02),(]),(),(),([),()21,21(<-='''+''''+''+''+''=''xx y x x yy yx xy xx xx y y x f y y y x f y x f y x f y x f z ， 故xy z =在点)21,21(取得极大值41)21,21(=z .例6 求函数y x y x f z +==),(在条件222=+y x 下的极值.解 引入辅助变量λ和辅助函数)2(),,(22-+++=y x y x y x L λλ求出),,(λy x L 对λ,,y x 的一阶偏导数，并令它们都为零组成方程组,即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==+=2021),,(021),,(22y x y y x L x y x L y x λλλλ 解方程组得到两个驻点()11，和()11--，.又有， 1),(),(='='y x f y x f y x ,0),(),(=''=''y x f y x f yy xx,0),(),(=''=''y x f y x f yx xy ,yxy x -=',3322222yy x y y yx x y yy x y y xxx -=+-=+-='--=''，所以， 02),(]),(),(),([),()1,1(<-='''+''''+''+''+''=''xx y x x yy yx xy xx xx y y x f y y y x f y x f y x f y x f z那么，函数),(y x f z =在点()11，取得极大值2)1,1(=z ； 又因为02),(]),(),(),([),()1,1(>='''+''''+''+''+''=--''xx y x x yy yx xy xx xx y y x f y y y x f y x f y x f y x f z那么，函数),(y x f z =在点()11--，取得极小值2)1,1(-=--z .例7 求函数22),(y x y x f z +==在条件04=-+y x 下的极值.解: 引入辅助变量λ和辅助函数)1(),,(22-+++=y x y x y x L λλ求出),,(λy x L 对λ,,y x 的一阶偏导数，并令它们都为零组成方程组即：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+==+=0402),,(02),,(y x y y x L x y x L y x λλλλ 解方程组得到惟一的驻点)2,2(.又有x y x f x 2),(='，y y x f y 2),(='，2),(=''y x f xx ，0),(),(=''=''y x f y x f yx xy ，2),(=''y x f yy ，1-='x y ，0=''xx y ，所以，04),(]),(),(),([),()2,2(>='''+''''+''+''+''=''xx y x x yy yx xy xx xx y y x f y y y x f y x f y x f y x f z那么，函数),(y x f z =在点)2,2(取得极大值8)2,2(=xx z .6总结本文主要讨论数学分析中二元函数的极值问题.把一元函数的极值问题推广到多元函数的情形，得到了一些新的结果，并给出了一些未推广前不能求解，而利用推广后的结论可以求解的例子.本文先证明稳定点为极值点的充分条件，并给出其判别式，再分析判别式为零的情形，来解决与此相关的数学问题.参考文献[1] 华东师范大学数学系.数学分析（下册 第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003. [2] 刘玉琏等.数学分析讲义（下册 第四版）[M].北京：高等教育出版社，2003. [3]万淑香．二元函数的极值问题[J]．鸡西大学学报，2007，4：75-76．[4]柴文祥等. 二元函数极值判别的一点注记[J].牡丹江师范学院学报，2011，4：3-4 [5]刘连褔.02=-=∆AC B 时二元函数极值问题讨论[J]. 廊坊师范学院学报，2010,10:16-17.[6]刘晓俊. 二元函数求条件极值的方法[J]. 金融教学与研究，1994，3：57-59.。
高中数学选修1-1：3.3.2极大值与极小值
极大值与极小值[ 学习目标 ] 1.认识函数极值的观点，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵巧应用 .2.掌握函数极值的判断及求法 .3.掌握函数在某一点获得极值的条件．活动一知识梳理引入新课知识点一极值点与极值的观点(1)极小值点与极小值如图，函数 y＝ f(x)在点 x＝ a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 邻近其余点的函数值都小， f ′(a)＝0；并且在点 x＝ a 邻近的左边 ________.，右边________.，则把点 a 叫做函数y＝ f(x)的极小值点，f(a)叫做函数 y＝ f(x)的极小值．(2)极大值点与极大值如(1) 中图，函数 y＝f(x)在点 x＝ b 的函数值 f(b)比它在点 x＝ b 邻近其余点的函数值都大， f′(b)＝0；并且在点 x＝ b 的左边 ________.，右边 ________.，则把点 b 叫做函数 y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数 y＝ f(x) 的极大值．________.、________.统称为极值点， ________.和 ________.统称为极值．思虑极大值必定大于极小值吗？答案不必定．知识点二求函数 y＝f(x)的极值的方法解方程 f′ (x)＝ 0，当 f′ (x0)＝ 0 时：(1)假如在 x0邻近的左边 f′ (x)＞ 0，右边 f′( x)＜ 0，那么 f(x0)是 ________.(2)(2)假如在 x0邻近的左边 f ′(x)＜ 0，右边 f′ (x)＞ 0，那么 f(x0)是 ________活动二数学应用例 1求函数f(x)＝x22x＋1－2的极值．例 2已知函数f(x) ＝ax3＋ bx2＋ cx(a≠ 0)在 x＝±1 处获得极值，且 f(1)＝－ 1.(1)求常数 a， b， c 的值；(2)判断 x＝±1 是函数的极大值点仍是极小值点，试说明原因，并求出极值．例 3 设函数 f(x)＝ x3－ 6x＋5， x∈R.(1) 求函数 f(x)的单一区间和极值；(2) 若对于 x 的方程 f(x)＝ a 有三个不一样的实根，务实数 a 的取值范围．活动三讲堂反应单1．函数 f(x)的定义域为R ，导函数f′ (x)的图象以下图，则函数f(x)有 ________个极大值点， ________个极小值点．2．已知函数f(x)＝ x3－ px2－ qx 的图象与 x 轴切于点 (1,0)，则 f(x)的极大值为 ________，极小值为 ________．3．已知 f(x)＝x3＋ax2＋ (a＋ 6)x＋1有极大值和极小值，则 a 的取值范围为 ____________．4．设函数 f(x)＝ 6x3＋ 3(a＋ 2)x2＋ 2ax.若 f(x)的两个极值点为x1，x2，且 x1x2＝1，则实数 a 的值为 ________．5．已知对于 x 的函数 f(x)＝－1x3＋bx2＋cx＋ bc，若函数 f(x)在 x＝ 1 处获得极值－4，则 b＝33________，c＝ ________.活动四讲堂小结1.在极值的定义中，获得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点 x＝ x0处获得极值的充要条件是f′ (x0)＝0 且在 x＝ x0双侧 f′ (x)符号相反．3．利用函数的极值能够确立参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．答案题型一求函数的极值2x例 1求函数 f(x)＝x2＋1－2的极值．解函数的定义域为R .2 x2＋ 1 － 4x2 2 x－ 1 x＋ 1f′ (x)＝x2＋1 2＝－x2＋ 1 2.令 f′( x)＝ 0，得 x＝－ 1，或 x＝ 1.当 x 变化时， f′ (x)， f(x)的变化状况以下表：x(－∞，－ 1)－1(－ 1,1)1(1，＋∞ )f′ (x)－0＋0－f(x)↘－3↗－ 1↘由上表能够看出：当 x＝－ 1 时，函数有极小值，且极小值为f(－ 1) ＝－ 3；当 x＝ 1 时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－ 1.反省与感悟求可导函数f(x) 的极值的步骤：(1)确立函数的定义域，求导数f′ (x)；(2)求方程 f ′(x)＝ 0 的根；(3)用函数的导数为 0 的点，按序将函数的定义域分红若干个小开区间，并列成表格．检测f′ (x)在方程根左右双侧的值的符号，假如左正右负，那么f(x)在这个根处获得极大值；假如左负右正，那么f(x)在这个根处获得极小值；假如左右不改变符号，那么f( x)在这个根处无极值．追踪训练1求函数f(x)＝3x＋3ln x的极值．3解函数 f(x)＝＋ 3ln x 的定义域为 (0，＋∞ )，3 3 3 x－ 1f′ (x)＝－x2＋x＝x2.令 f′( x)＝ 0，得 x＝ 1.当 x 变化时， f′ (x)与 f(x)的变化状况以下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′ (x)－0＋f(x)3所以当 x＝ 1 时， f(x)有极小值f(1) ＝3.题型二利用函数极值确立参数的值例 2已知函数f(x) ＝ax3＋ bx2＋ cx(a≠ 0)在 x＝±1 处获得极值，且 f(1)＝－ 1.(1)求常数 a， b， c 的值；(2)判断 x＝±1 是函数的极大值点仍是极小值点，试说明原因，并求出极值．解 (1)f′ (x)＝ 3ax2＋ 2bx＋ c.∵x＝±1 是函数 f(x)的极值点，∴x＝±1 是方程 f′ (x)＝ 3ax2＋ 2bx＋c＝ 0 的两根，－2b＝ 0，①由根与系数的关系，得3ac＝－ 1，②3a又 f(1)＝－ 1，∴ a＋ b＋ c＝－ 1.③由①②③ 解得 a＝1， b＝ 0， c＝－3. 22133x，(2) f(x)＝ x －223233∴f ′ (x)＝x－＝(x－ 1)( x＋1)，222当 x<－ 1 或 x>1 时， f′ (x)>0 ，当－ 1<x<1 时， f′ (x)<0，∴函数 f(x) 在(－∞，－ 1)和 (1，＋∞ )上是增函数，在( －1,1)上是减函数，∴当 x＝－ 1 时，函数获得极大值f( －1) ＝1，当 x＝ 1 时，函数获得极小值f(1)＝－ 1.反省与感悟(1) 利用函数的极值确立参数的值，常依据极值点处导数为0 和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)由于“导数值等于零”不是“ 此点为极值点” 的充要条件，所以利用待定系数法求解后，一定考证根的合理性．追踪训练2已知函数f(x)＝ ax3＋ bx2＋ cx 在 x＝ x0处获得极大值5，其导函数y＝ f′ (x)的图象经过点(1,0)， (2,0)，以下图，求：(1) x0的值；(2) a， b，c 的值．解 (1) 由图象可知，在 (－∞， 1)上 f′ (x) ＞0，在 (1,2)上 f′ (x)＜ 0，在 (2，＋∞ )上 f′ (x)＞0.故 f(x)在 (－∞，1)，(2，＋∞ )上单一递加，在 (1,2)上单一递减，所以 f(x)在 x＝ 1 处获得极大值，所以 x0＝ 1.(2) f′ (x)＝3ax2＋ 2bx＋ c，由 f′(1) ＝ 0， f ′(2) ＝0， f(1) ＝ 5，3a＋ 2b＋c＝ 0，得 12a＋ 4b＋c＝ 0，解得a＝2，b＝－9，c＝12.a＋ b＋ c＝ 5，题型三函数极值的综合应用例 3 设函数 f(x)＝ x3－ 6x＋5， x∈R.(1)求函数 f(x)的单一区间和极值；(2) 若对于 x 的方程 f(x)＝ a 有三个不一样的实根，务实数 a 的取值范围．解 (1)f′ (x)＝ 3x2－ 6，令 f′ (x)＝0，解得 x1＝－2， x2＝ 2.由于当 x> 2或 x＜－2时， f′ (x)＞ 0；当－2＜ x＜2时， f′ (x)＜ 0.所以 f( x)的单一递加区间为(－∞，－2) 和 (2，＋∞ )；单一递减区间为(－2，2)．当 x＝－ 2时， f(x)有极大值 5＋ 4 2；当 x＝ 2时， f(x)有极小值 5－ 4 2.(2)由 (1)的剖析知 y＝ f(x)的图象的大概形状及走向以下图．所以，当 5－ 4 2＜ a＜ 5＋4 2时，直线 y＝ a 与 y＝ f(x)的图象有三个不一样的交点，即方程f(x)＝ a 有三个不一样的实根．反省与感悟用求导的方法确立方程根的个数，是一种很有效的方法．它经过函数的变化情况，运用数形联合思想来确立函数图象与x 轴的交点个数，进而判断方程根的个数．追踪训练3设a为实数，函数f(x)＝－ x3＋ 3x＋ a.(1)求 f(x)的极值；(2) 能否存在实数a，使得方程f(x)＝ 0 恰巧有两个实数根？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明原因．解 (1)f′ (x)＝－ 3x2＋ 3，令 f′ (x)＝ 0，得 x＝－ 1 或 x＝ 1.由于当 x∈ (－∞，－ 1)时， f′( x)＜0，当 x∈( －1,1)时， f′ (x)＞ 0，当 x∈ (1，＋∞ )时， f′ (x)＜ 0，所以 f( x)的极小值为f(－ 1)＝ a－2，极大值为f(1)＝ a＋ 2.(2)由于 f(x)在 (－∞，－ 1)内单一递减，且当 x→ －∞时， f(x)→＋∞，f(x)在 (1，＋∞ )内单一递减，且当 x→＋∞时， f(x)→ －∞，而 a＋2＞ a－ 2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于0 时，极小值小于0，此时曲线f(x)与 x 轴恰有两个交点，即方程f(x)＝ 0 恰巧有两个实数根，所以a＋ 2＝ 0，a＝－ 2，如图 1 所示．当极小值等于0 时，极大值大于0，此时曲线 f(x) 与 x 轴恰有两个交点，即方程f(x)＝ 0 恰巧有两个实数根，所以 a－ 2＝ 0， a＝ 2，如图 2 所示．综上所述，当a＝ 2 或 a＝－ 2 时，方程f(x)＝ 0 恰有两个实数根．例 4132＋ (2－b) x＋1在 x＝ x1处获得极大值，在 x＝ x2处获得极小值，已知函数 f( x)＝ ax － bx3且 0＜ x1＜ 1＜ x2＜ 2.(1)证明： a＞ 0；(2)求 z＝ a＋ 2b 的取值范围．剖析 (1)对原函数求导，将导函数问题转变为由二次函数的根的散布探究张口方向的问题，进而证得 a＞ 0；(2)利用 x1，x2为导函数的两个根，将 0＜ x1＜ 1＜ x2＜ 2 等价转变为不等式组，利用线性规划求 a＋ 2b 的最大值与最小值．(1) 证明由函数f(x)在x＝x1处获得极大值，在x＝x2处获得极小值，知x1， x2是 f′ (x)＝ 0的两个根．由题意，得 f ′(x)＝ ax2－ 2bx＋ 2－ b，所以 f′ ( x)＝a( x－x1)(x－ x2)．由题意，知在x＝ x1的左边有f′ (x)＞ 0.由 x－ x1＜ 0， x－ x2＜0，得 a＞0.(2) 解由题意，得0＜ x1＜ 1＜x2＜2 等价于f′ 0 ＞ 0，f′ 1 ＜ 0，即f′ 2 ＞ 0，2－ b＞ 0，a－ 2b＋ 2－b＜ 0，4a－ 4b＋ 2－ b＞ 0，2－ b＞ 0，整理，得a－ 3b＋ 2＜0，4a－ 5b＋ 2＞ 0.此不等式组表示的地区为平面aOb 上三条直线2－ b＝ 0，a－ 3b＋ 2＝0,4a－ 5b＋ 2＝ 0 所围成的△ ABC 的内部，以下图．△ABC 的三个极点分别为4，6，B(2,2)，C(4,2)．由 (1) 知 a A 774，616＞0，则 z＝a＋ 2b 分别在 A 77，C(4,2)处获得最小值7和最大值8.即 z＝ a＋ 2b 的取值范16围为7，8 .活动三讲堂反应单1．函数 f(x)的定义域为 R ，导函数 f ′ (x)的图象以下图，则函数f(x)有 ________个极大值点， ________个极小值点．答案2 2分析f ′ (x)的符号由正变负，则f(x 0)是极大值， f ′ (x)的符号由负变正，则f(x 0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．2．已知函数 f(x)＝ x 3－ px 2－ qx 的图象与 x 轴切于点 (1,0)，则 f(x)的极大值为 ________，极小值为 ________．答案427分析f ′ (x)＝ 3x 2－ 2px － q ，依据题意，知 x ＝ 1 是函数的一个极值点，则f ′ 1 ＝ 3－ 2p － q ＝0， p ＝ 2， f 1 ＝ 1－p － q ＝ 0， 解得q ＝－ 1，所以 f ′ ( x)＝3x 2－4x ＋ 1.令 f ′( x)＝ 0，得 x ＝1或 x ＝ 1，易判断当 x ＝ 1时， f(x)有极大值为 4，当 x ＝ 1 时， f(x)有极小3 3 27值为 0.3．已知 f(x)＝x 3＋ax 2＋ (a ＋ 6)x ＋ 1 有极大值和极小值，则a 的取值范围为 ____________．答案a>6 或 a<－ 3分析f ′ (x)＝ 3x 2＋ 2ax ＋ (a ＋ 6)，由于 f( x)既有极大值又有极小值，那么 ＝ (2a)2－4× 3× (a ＋6)>0 ，解得 a>6 或 a<－ 3.4．设函数 f(x)＝ 6x3＋ 3(a＋ 2)x2＋ 2ax.若 f(x)的两个极值点为 x1，x2，且 x1x2＝1，则实数 a 的值为 ________．答案9分析f′ (x)＝ 18x2＋ 6(a＋ 2)x＋ 2a.2a由已知 f′ (x1)＝ f′ (x2)＝ 0，进而 x1x2＝＝1，所以 a＝ 9.5．已知对于x 的函数 f(x)＝－1x3＋bx2＋cx＋ bc，若函数 f(x)在 x＝ 1 处获得极值－4，则 b＝33________，c＝ ________.答案－ 13f′ (x)＝－ x2＋ 2bx＋ c，由 f(x) 在 x＝ 1 处获得极值－4，得f′ 1 ＝－ 1＋ 2b＋c＝ 0，分析f 1 ＝－1433＋ b＋ c＋bc＝－ .3b＝1，b＝－ 1，解得或c＝－ 1c＝ 3.若 b＝ 1， c＝－ 1，则 f′ (x)＝－ x2＋2x－ 1＝－ (x－ 1)2≤ 0，此时 f(x) 没有极值；若 b＝－ 1， c＝ 3，则 f′ (x)＝－ x2－2x＋ 3＝－ (x＋ 3)(x－ 1)，当－ 3＜ x＜1 时， f′ (x) ＞0，当 x＞ 1 时， f′ (x)＜ 0.4所以当 x＝ 1 时， f(x)有极大值－3.故 b＝－ 1， c＝ 3.活动四讲堂小结1.在极值的定义中，获得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点 x＝ x0处获得极值的充要条件是f′ (x0)＝0 且在 x＝ x0双侧 f′ (x)符号相反．3．利用函数的极值能够确立参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．你曾落的泪，最都会成阳光，照亮脚下的路。
7.7二元函数的极值和最值
例7：某厂商生产同一产品同时在两个市场销售，售价分别
为p1, p2 , 销售量分别为q1, q2 ,需求函数分别为q1 24 0.2 p1, q2 10 0.05 p2 ,总成本函数C 35 40(q1 q2 ),问厂家如 何订价才能时利润最大？
解 : 利润L p1q1 p2q2 35 40(q1 q2 )
f (x, y)在点(1,0)取极小值， 极小值为 f (1,0) 5.
A fxx 6x 6, B fxy 0, C f yy 6 y 6
在(1,2)处A 12 0, B 0,C 6,
B2 AC 72 0, f (x, y)在点(1,2)无极值。
驻点有 (1,0),
闭区间上连续函数最值只能在极值点
和端点处取得.
y
而极值点只会在 驻点和不可导点处
所以闭区间上连续 函数最值只能在
x1
a
o
x2
x3 b x
驻点、不可导点和端点 处取得
1.求闭区间[a ,b]上连续函数最值的步骤：
(1)求出f (x)在[a,b]内的可疑最值点（驻 点、不可导点、区间端点)及其函数数值 注：对这些可疑最值点不需采用第一或第 二充分条件确认其是否为极大（小）值点
max f ( x) f ( x3 ), min f ( x) f ( x2 ) a x1o x2 x3 b c x
区间[a, c]上 max f ( x) f (c), min f (x) f (x2 )
可见, 闭区间上连续函数最值只能在极值 点和端点处取得. 为什么要单独考虑端点？ 因端点没有资格做极值点，但可能取最值
第三步 对于每一个驻点( x0 , y0 ) ，
求出二阶偏导数的值 A、B、C. 第四步 对每一个驻点，根据 ABC 法则判断 其是否为极值点.
极值点第二充要条件极限形式
极值点第二充要条件极限形式极值点的第二充要条件极限形式在微积分中，我们经常研究函数的极值点，即函数取得最大值或最小值的点。
为了确定一个函数的极值点，我们需要使用极值点的第二充要条件，也就是极限形式。
极值点的第二充要条件是通过函数的二阶导数来判断的。
具体来说，如果一个函数在某点处的一阶导数为零，并且二阶导数大于零，那么这个点就是函数的极小值点；如果二阶导数小于零，那么这个点就是函数的极大值点。
为了更好地理解这个极值点的第二充要条件，我们来看一个具体的例子。
假设有一个函数f(x)，我们想要确定它的极值点。
首先，我们需要求出这个函数的一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)。
然后，我们找出一阶导数为零的点，即f'(x)=0。
接下来，我们计算这些点的二阶导数f''(x)。
如果f''(x)>0，那么这些点就是函数f(x)的极小值点；如果f''(x)<0，那么这些点就是函数f(x)的极大值点。
举个例子，假设有一个函数f(x)=x^2 - 2x + 1。
首先，我们求出一阶导数f'(x)=2x - 2和二阶导数f''(x)=2。
然后，我们令一阶导数为零，即2x - 2 = 0。
解这个方程得到x=1。
接下来，我们计算这个点的二阶导数，即f''(1)=2。
由于f''(1)>0，所以这个点x=1是函数f(x)的极小值点。
通过上述例子，我们可以看到极值点的第二充要条件的极限形式是通过一阶导数和二阶导数来判断的。
一阶导数为零的点被称为临界点，而且只有在临界点处的二阶导数的正负才能确定极值点的性质。
需要注意的是，极值点的第二充要条件只能确定一个函数的临界点是否为极值点，但不能确定这个极值点是极小值还是极大值。
要确定极值点的具体性质，我们还需要进行更多的分析和计算。
总结起来，极值点的第二充要条件的极限形式是通过函数的二阶导数来判断的。