8-7条件极值与拉格朗日乘数法
多条件极值 拉格朗日乘数法推导
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拉格朗日乘数法原理
拉格朗日乘数法原理
拉格朗日乘数法是一种优化问题的求解方法，它的原理是将约束条件引入目标函数中，通过求解构造出的拉格朗日函数的极值来得到最优解。
具体来说，假设我们要求解一个优化问题，其中有若干个约束条件。
我们可以将这些约束条件用等式或不等式的形式表示出来，然后将它们加入目标函数中，构造出一个新的函数，称为拉格朗日函数。
拉格朗日函数的形式为：
L(x, λ) = f(x) + λg(x)
其中，x 是优化问题的决策变量，f(x) 是目标函数，g(x) 是约束条件，λ是拉格朗日乘数。
接下来，我们需要求解拉格朗日函数的极值。
为了找到极值点，我们需要对L(x, λ) 分别对x 和λ求偏导数，并令它们等于0。
也就是说，我们需要求解以下方程组：
∂L/∂x = 0
∂L/∂λ= 0
求解这个方程组可以得到x 和λ的值，从而得到目标函数的最优解。
需要注意
的是，拉格朗日乘数λ的值是由约束条件决定的，它的物理意义是在满足约束条件的前提下，目标函数的变化率。
拉格朗日乘数法的优点在于它可以将约束条件转化为目标函数中的一部分，从而使得求解问题更加简单。
此外，它还可以应用于多个约束条件的情况，而不需要对每个约束条件都进行单独的求解。
条件极值拉格朗日乘数法
Fx (x0 , y0 , z0 )(x x0 ) Fy (x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
通过点M ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线.
法线方程为
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
法平面方程：
Fy Gy
Fz Gz
x
x0
Fz Gz
Fx Gx
y
y0
Fx Gx
Fy Gy
z
z0
0
例2、求曲线 x2 y2 z2 6 , x y z 0 在点
（ 1 ，-2 ，1）处的切线及法平面方程。
解：
2 y 2z
T
1
1
即：
2z 2x ,
11
2x 2y
, 1
1
1, 2 ,1
T
1
,
y
' t
2t
,
z
' t
3t 2
在（ 1 ，1 ，1 ）点对应参数为 t = 1
T
1
,
2
,
3
切线方程：
x1 y1 z1
1
2
3
法平面方程：( x - 1)+2 ( y - 1 )+( z - 1 )=0
即： x + 2 y + 3 z = 6
2
y x
:
z
x
M0 x0 , y0 , z0
f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) z z0 , 曲面在M处的法线方程为
同济版高等数学8-7 山大老师课件
故当 y y0 ， x x0 时， 有 f ( x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) ,
说明一元函数 f ( x , y0 ) 在 x x 0 处有极大值,
所以 z f (1,1) 2 为极小值；
1 当 z 2 6 时， A 0 , 所以z f (1,1) 6 为极大值. 4
求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤：
第一步 解方程组
f x ( x , y ) 0,
f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点. 第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 ) ，
第七节
极值与最值
一、二元函数极值的定义
定义： 设函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )的某邻域 内 有 定 义 ， 对 于 该 邻 域 内 异 于 ( x0 , y0 ) 的 点 ( x , y )：若满足不等式 f ( x, y ) f ( x0 , y0 )，则称 函 数 在 ( x0 , y0 ) 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 f ( x, y ) f ( x0 , y0 )，则称函数在( x0 , y0 )有极小 值；
2
确定的函数 z f ( x , y ) 的极值
解
将方程两边分别对 x, y 求偏导
2 x 2 z z 2 4 z 0 x x 2 y 2 z zy 2 4 zy 0
由函数取极值的必要条件知,
驻点为 P (1,1) ,
将上方程组再分别对 x, y 求偏导数, 将 P (1,1) 代入原方程,
用拉格朗日乘数法求极值步骤
用拉格朗日乘数法求极值步骤全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：拉格朗日乘数法是一种常用的数学工具，用于求解带有约束条件的极值问题。
在实际问题中，很多情况下都会存在一些条件限制，而拉格朗日乘数法正是针对这种情况而提出的一种解决方法。
下面我们将详细介绍使用拉格朗日乘数法求极值的步骤。
我们先来看一个简单的例子，假设我们要求函数f(x, y) = x^2 +y^2 在条件g(x, y) = x + y = 1下的最小值。
这个问题可以用如下的拉格朗日函数表示：L(x, y, λ) = f(x, y) - λg(x, y) = x^2 + y^2 - λ(x + y - 1)λ为拉格朗日乘数。
接下来的步骤就是通过对L(x, y, λ) 求偏导数来确定函数f(x, y) 在条件g(x, y) 下的极值点。
步骤一：计算L(x, y, λ) 对x, y的偏导数，并令其等于0，即求解以下方程组：步骤二：解方程组得到极值点，并判断是否为极值点。
在本例中，解方程组可得x = y = 1/2，λ = 1。
代入原函数f(x, y) = x^2 + y^2 可得最小值为1/2。
问题的解是f(x, y) = 1/2。
上面是一个简单的例子，下面我们将详细介绍拉格朗日乘数法求极值的一般步骤：步骤一：建立带有约束条件的拉格朗日函数。
假设我们要求函数f(x1, x2, ..., xn) 在条件g(x1, x2, ..., xn) = 0下的极值，那么其对应的拉格朗日函数为：步骤二：求解拉格朗日函数的梯度，令其等于零。
即求解以下方程组：∂L/∂x1 = ∂f/∂x1 - λ∂g/∂x1 = 0∂L/∂x2 = ∂f/∂x2 - λ∂g/∂x2 = 0...∂L/∂xn = ∂f/∂xn - λ∂g/∂xn = 0g(x1, x2, ..., xn) = 0步骤三：解方程组得到极值点，并判断是否为极值点。
解方程组可能有多个解，需要通过二阶导数判断哪一个是极值点。
(条件极值)多元函数的极值与拉格朗日乘数法
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
例 已知长方体长宽高的和为18, 问长、宽、高 各取什么值时长方体的体积最大？ 解 设长方体的长、宽、高分别为x、y、z ,
由题意知，周长： x y z 18
长方体的体积为 V xyz
18
下面要介绍解决条件极值问题的一般 方法: 拉格朗日乘数法
13
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法: 现要寻求目标函数 z f ( x, y ) 在约束条件 ( x , y ) 0
利用隐函数的概念与求导法 (1)
(2)
下取得 极值的必要条件. 如函数(1)在( x0 , y0 ) 取得所求的极值, 那末首先有 ( x0 , y0 ) 0 (3) 由条件 ( x, y ) 0 确定y是x的隐函数 y y( x ). 不必将它真的解出来,则 z f ( x , y ( x )),于是函数(1) 在( x0 , y0 ) 取得所 求的极值. 即, x x0 取得极值.
则f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下:
(1) AC B 2 0时有极值,
当A 0时有极大值, 当A 0时有极小值;
(2) AC B 2 0时没有极值; (3) AC B 2 0时 可能有极值,也可能无极值.
7
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
14
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
z f ( x , y ( x ))在 x x0 取得极值.
z f ( x , y ) (1) ( x , y ) 0 ( 2)
由一元可导函数取得极值的必要条件知:
f dy f dz 0 (4) x x y 0 dx x x 0 x0 dx x x0 x x y y0 y y0 ( x, y ) 0 x ( x 0 , y0 ) dy 其中 代入(4)得: y ( x 0 , y0 ) dx x x0 ( x0 , y0 ) 0 ( 3) x ( x 0 , y0 ) f x ( x 0 , y0 ) f y ( x 0 , y0 ) 0 ( 5) y ( x 0 , y0 ) (3) ,(5)两式 就是函数(1)在条件(2)下的在( x0 , y0 ) 取得极值的必要条件.
拉格朗日乘数法的
拉格朗日乘数法的
拉格朗日乘数法是一种数学优化方法，它可以用来找到满足约束条件的最优解。
它的原理是基于拉格朗日原理，即一个函数的全局最小值可以通过极大极小原理找到。
拉格朗日乘数法以及它的变体是运筹学和数学分析中最重要的算法之一，用于求解最优化问题。
拉格朗日乘数法可以用于求解线性规划问题。
它被用于求解非线性问题，例如多种旅行者问题、背包问题和QAP问题，当这些问题被约束条件所约束时。
约束条件可以很灵活地表示，比如可能有等式约束、不等式约束、二进制约束或者其他类型的约束等，都可以被拉格朗日乘数法求解。
拉格朗日乘数法的主要步骤：1）对一个给定的极值优化问题，写出它的最优化目标函数，再加上一些约束条件；2）引入一个拉格朗日乘数，将目标函数和约束条件构成一个新的原始问题，即拉格朗日乘数主问题；3）利用拉格朗日乘数主问题来求解极值优化问题，从而得到极值优化问题的最优解。
拉格朗日乘数法是一种非常有用的数学优化方法，它可以用来求解线性、非线性最优化问题，并可以满足复杂的约束条件。
它的步骤清晰，值得信赖，可以用于许多应用场合，如运输问题、交叉销售问题等。
条件极值拉格朗日乘数法
F (x, y) x2 2 y2 (x2 y2 1)
则 Fx 2x 2x 0 Fy 4 y 2y 0
x2 y2 1 0
解得可能条件极值点为 （0，1）（, 0，1）（, 1，0）（, 1，0）
计算出 f (0,1) f (0,1) 2, f (1,0) f (1,0) 1,
曲面上通过M 的一切曲线在点M 的切线都在同一
平面上，这个平面称为曲面在点M 的切平面.
切平面方程为
Fx (x0 , y0 , z0 )(x x0 ) Fy (x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
通过点M ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
2 y
2z,2z
2 x,2 x
2
y 1,2,1
2 3,0,3 61,0,3
切线方程：
x1 y2 z1
1
0
1
法平面方程： x - z = 0
(Tangent plane and normal line of surface)
1 设曲面方程为
F(x, y, z) 0
n
T
在曲面上任取一条通
0
z02 c2
1
0
y0
b， 3
z0
c 3
当切点坐标为 (a，b，c
)时,
333
四面体的体积最小Vmin
3 abc. 2
多元函数的极值
（取得极值的必要条件、充分条件）
无条件极值
多元函数的最值
条件极值
拉格朗日乘数法
11.4 微分法在几何上的应用
(Applications of differential calculus in geometry)
条件极值问题与Lagrange乘数法
( 0 a 2), 当 (x, y, z) S, 且 0 x , 0 y , 0 z 时, 使得
f (x, y,z) 3 a . 又设
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而 f xx 0 ，所以 (0,0) 点是 f 的极小值点，极小值为 f (0,0) 0 。
再考察函数 f 在 D 的边界{( x, y) | x2 y 2 1}上的极值，
这是条件极值问题。
为此作 Lagrange 函数 L(x, y, ) ax2 2bxy cy 2 (x2 y 2 1) ，
在条件 x yz a3(a 0) 下的最小值, 并由此导出相
应的不等式.
解设
L 1 1 1 (xyz a3),x yz并使Lx1
x2 yz 0,
Ly 1 y2 xz 0,
Lz 1 z2 x y 0,
L
xyz
a3
0.
第20页/共42页
由此方程组易得 x y z a, 并有 f (a,a,a) 3 a . 下面给出 3 a 是条件最小值的理由.
使在条件 x yz V 下水箱表面积 S 2( x z yz) x y
最小.
令 L 2( x z yz) x y ( x yz V )
解方程组
2z y yz 0
⑴
2z x xz 0
⑵
2( x y) x y 0
⑶
xyz V 0
⑷
第12页/共42页
⑴ － ⑵ 得 ( y x)(1 z) 0
因为函数 ln u 严格单调，所以只要考虑函数 g 的极值就可以 得到 f 的极值。
拉格朗日乘数法 不等式约束
拉格朗日乘数法不等式约束拉格朗日乘数法（Lagrangemultipliermethod）是一种解决不等式约束优化问题的数学方法，它是由Joseph-Louis Lagrange在18th 世纪提出的。
这个方法可以在想要求解的优化问题等式约束和不等式约束相结合的情况下，求得优化问题的可行解。
它也可以用于多元函数极值问题，也就是在满足不等式约束的情况下，求解多元函数的最大或最小值问题。
拉格朗日乘数法的具体步骤是：首先，把优化问题转化为一个带有不等式约束的函数极值问题，把这个问题转化为一个函数极值的函数：F（x1，x2，…，xn）。
其次，用拉格朗日乘数法求解函数F的极值问题，也就是可以给出这样一个函数G：G（x1，x2，…，xn，λ1，λ2，…λm），其中x1，x2，…，xn为求解变量，而λ1，λ2，…，λm是拉格朗日乘数。
该函数G由F和m个不等式约束组成。
然后，令G对变量x1，x2，…，xn的偏导数和拉格朗日乘数λ1，λ2，…，λm的偏导数都等于零，然后求解这m+n个偏导数等于零的方程，即可得到函数F的极值。
最后，有了极值之后，要检查解是否满足原不等式约束，若满足则得到可行解，否则该解为非可行解。
拉格朗日乘数法不等式约束可以应用于各种领域，如收益最大化，管理科学中的投入产出模型，飞行控制中的控制变量模型，最优排程问题。
例如，在企业决策中，可以用拉格朗日乘数法来最优化企业的财务状况，如投资，生产，价格等。
以下是一个简单的例子：某企业有两个部门：A部和B部，在有效的考虑到预算限制的情况下，企业希望最大化它们的竞争力。
其中A部投资金额最多不能超过50万元，B部投资金额最多不能超过100万元，企业希望使用拉格朗日乘数法来求解这一问题。
首先，企业可以把此问题转换为一个函数极值问题，即最大化目标函数F（A，B），其中A为A部投资金额，B为B部投资金额。
然后，用拉格朗日乘数法构造函数G：G（A，B，λ1，λ2），其中λ1，λ2分别是A部的拉格朗日乘数和B部的拉格朗日乘数。
最优化方法：拉格朗日乘数法
最优化⽅法：拉格朗⽇乘数法解决约束优化问题——拉格朗⽇乘数法拉格朗⽇乘数法（Lagrange Multiplier Method）应⽤⼴泛，可以学习⿇省理⼯学院的在线数学课程。
拉格朗⽇乘数法的基本思想 作为⼀种优化算法，拉格朗⽇乘⼦法主要⽤于解决约束优化问题，它的基本思想就是通过引⼊拉格朗⽇乘⼦来将含有n个变量和k个约束条件的约束优化问题转化为含有（n+k）个变量的⽆约束优化问题。
拉格朗⽇乘⼦背后的数学意义是其为约束⽅程梯度线性组合中每个向量的系数。
如何将⼀个含有n个变量和k个约束条件的约束优化问题转化为含有（n+k）个变量的⽆约束优化问题？拉格朗⽇乘数法从数学意义⼊⼿，通过引⼊拉格朗⽇乘⼦建⽴极值条件，对n个变量分别求偏导对应了n个⽅程，然后加上k个约束条件（对应k个拉格朗⽇乘⼦）⼀起构成包含了（n+k）变量的（n+k）个⽅程的⽅程组问题，这样就能根据求⽅程组的⽅法对其进⾏求解。
解决的问题模型为约束优化问题： min/max a function f(x,y,z), where x,y,z are not independent and g(x,y,z)=0. 即：min/max f(x,y,z) s.t. g(x,y,z)=0数学实例 ⾸先，我们先以⿇省理⼯学院数学课程的⼀个实例来作为介绍拉格朗⽇乘数法的引⼦。
【⿇省理⼯学院数学课程实例】求双曲线xy=3上离远点最近的点。
解： ⾸先，我们根据问题的描述来提炼出问题对应的数学模型，即： min f(x,y)=x2+y2（两点之间的欧⽒距离应该还要进⾏开⽅，但是这并不影响最终的结果，所以进⾏了简化，去掉了平⽅） s.t. xy=3. 根据上式我们可以知道这是⼀个典型的约束优化问题，其实我们在解这个问题时最简单的解法就是通过约束条件将其中的⼀个变量⽤另外⼀个变量进⾏替换，然后代⼊优化的函数就可以求出极值。
我们在这⾥为了引出拉格朗⽇乘数法，所以我们采⽤拉格朗⽇乘数法的思想进⾏求解。
拉格朗日乘数法解方程技巧
拉格朗日乘数法解方程技巧【原创实用版3篇】目录（篇1）一、拉格朗日乘数法简介二、拉格朗日乘数法的应用三、解方程技巧概述四、拉格朗日乘数法解方程的具体步骤五、拉格朗日乘数法解方程的案例分析六、总结与展望正文（篇1）一、拉格朗日乘数法简介拉格朗日乘数法，以数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名，是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。
在数学最优问题中，拉格朗日乘数法将一个有 n 个变量与 k 个约束条件的最优化问题转换为一个有 n+k 个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。
这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。
二、拉格朗日乘数法的应用拉格朗日乘数法广泛应用于物理学、经济学、工程学等领域的最优化问题。
例如，在力学问题中，拉格朗日乘数法可以用于求解受约束的力学系统的平衡状态；在经济学中，拉格朗日乘数法可以用于求解最大化效用或利润的问题。
三、解方程技巧概述解方程技巧包括：观察法、代入法、消元法、因式分解法等。
观察法是根据方程的特点直接求解；代入法是将一个变量表示成另一个变量的函数，然后代入方程求解；消元法是通过加减消元、乘除消元等操作简化方程组；因式分解法是将方程分解成乘积的形式求解。
四、拉格朗日乘数法解方程的具体步骤拉格朗日乘数法解方程的具体步骤如下：1.构建拉格朗日函数：将原始问题转化为一个带有拉格朗日乘数的函数，该函数是原始目标函数和约束条件的线性组合。
2.求导：对拉格朗日函数求一阶偏导数，并令其等于零，得到一个或多个方程。
3.解方程：求解上述方程组，得到拉格朗日乘数法的解。
4.判断解的合法性：判断求得的解是否满足原始问题的约束条件，如果满足，则该解为有效解；如果不满足，则需要重新求解。
五、拉格朗日乘数法解方程的案例分析假设有一个二元函数 z(x,y)，附加条件为 x^2 + y^2 = 1，要求求解该函数在附加条件下的极值点。
matlab拉格朗日乘数法
matlab拉格朗日乘数法一、什么是拉格朗日乘数法？拉格朗日乘数法（Lagrange multiplier method）是一种求解约束最优化问题的方法，它将约束条件引入目标函数中，构造出一个新的函数，通过对这个新函数求极值来得到原问题的最优解。
二、为什么要使用拉格朗日乘数法？在实际问题中，很多时候我们需要在满足一些限制条件下寻找最优解。
例如，在生产某种商品时，我们需要考虑成本、产量和市场需求等多个因素，并且这些因素之间可能存在着某些限制条件。
此时，我们就需要使用约束最优化方法来解决这类问题。
拉格朗日乘数法是一种非常常用的约束最优化方法，它可以将约束条件转化为一个新的函数，并通过求这个函数的极值来得到原问题的最优解。
相比其他方法，拉格朗日乘数法更加简单易懂，并且适用于各种不同类型的约束条件。
三、如何使用matlab实现拉格朗日乘数法？1. 确定目标函数和约束条件在使用拉格朗日乘数法求解问题之前，首先需要确定目标函数和约束条件。
假设我们要求解以下无约束极值问题：$$\max_{x,y}f(x,y)=xy$$其中，$x$和$y$是决策变量。
2. 构造拉格朗日函数接下来，我们需要将约束条件引入目标函数中，构造出一个新的函数。
具体地，我们可以使用拉格朗日乘数法的基本思想：$$L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda(g(x,y)-c)$$其中，$\lambda$是拉格朗日乘数，$g(x,y)$是约束条件，$c$是常数。
在这个例子中，我们可以选择一个简单的约束条件：$$g(x,y)=x^2+y^2-1=0$$将其代入拉格朗日函数中得到：$$L(x,y,\lambda)=xy-\lambda(x^2+y^2-1)$$3. 求解极值接下来，我们需要求解$L(x,y,\lambda)$的极值。
具体地，在matlab 中可以使用fmincon函数来求解。
该函数的语法如下：[x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)其中，- fun：目标函数；- x0：初始值；- A、b、Aeq、beq、lb、ub：线性或非线性等式或不等式约束；- nonlcon：非线性不等式约束；- options：优化选项。
多元函数极值与拉格朗日乘数法
推广: 自变量多于两个，
约束条件多于一个的情况.
例 目标函数 u f ( x, y, z, t)
约束条件 ( x, y, z, t) 0 (x, y, z,t) 0
拉格朗日函数
L( x, y, z, t, 1, 2 ) f ( x, y, z, t) 1( x, y, z, t) 2 (x, y, z, t)
20
说明 上例的条件极值问题,是通过将约束条件代入 目标函数中求解; 但并不是所有情况下都能这样做，更多时候 用到的是下面要介绍的，解决条件极值问题的 一般方法—— 拉格朗日乘数法
21
Lagrange(拉格朗日)乘数法
求函数 z f ( x, y) 在条件 ( x, y) 0
下的可能极值点, 先构造拉格朗日函数
(2) AC B2 0时, f ( x0 , y0 ) 不是极值;
(3)AC B2 0时 f ( x0 , y0 ) 可能是极值,
也可能不是极值.
4
求函数 z f ( x, y) 极值的一般步骤:
第一步
解方程组
f f
x y
( (
x, x,
y y
) )
0 0
求出实数解, 得驻点.
第二步 对于每一个驻点 ( x0 , y0 ), 求出二阶偏导数的值 A、B、C.
2
说明
1、驻点
具有偏导的极值点
如,点(0,0)是函数z xy的 驻点,但不是极值点.
2、偏导数不存在的点， 也可能是极值点.
例 z x2 y2
z
在点(0,0)处的偏导数不存在,
O•
x
y
但(0,0)是函数的极大值点.
3
二元函数极值的充分条件
条件极值拉格朗日乘数法解方程
条件极值拉格朗日乘数法解方程1. 嘿，你知道吗？条件极值拉格朗日乘数法解方程就像是一把神奇的钥匙！比如说，在规划资源分配时，它能帮我们找到最优解。
就像你要给几个小伙伴分糖果，怎么分才能让大家都最满意，这时候拉格朗日乘数法就派上用场啦！2. 哇塞，条件极值拉格朗日乘数法解方程真的超厉害的！想想看，在经济学中决定生产多少产品能利润最大化，不就是它大显身手的时候吗？这就好比在迷宫中找到最快捷的出路！3. 哎呀呀，条件极值拉格朗日乘数法解方程可是个了不起的工具呢！比如在设计一个物品的形状时，要让它既美观又实用，这不就得靠它嘛。
就好像是给灰姑娘变出漂亮舞裙的魔法！4. 嘿，你可别小看条件极值拉格朗日乘数法解方程哦！在解决环境资源问题时，它能找到最佳的平衡点。
这跟找到最合适的游戏策略不是很像吗？5. 哇哦，条件极值拉格朗日乘数法解方程真的好神奇呀！像在物流运输中安排路线，怎么能最节省成本，它就能给出答案。
这不就跟找到回家最近的路一样嘛！6. 哈哈，条件极值拉格朗日乘数法解方程简直太酷啦！比如在体育比赛中安排战术，怎样能发挥最大优势，它就能搞定。
这就如同给球队装上了胜利的翅膀！7. 哟呵，条件极值拉格朗日乘数法解方程可太有意思了！在确定投资组合时，它能让收益最大化风险最小化。
这不就像在茫茫大海中找到最安全的航线吗？8. 哎呀，条件极值拉格朗日乘数法解方程真的是很特别呢！当你要决定如何分配时间来学习不同科目时，它能帮上大忙。
就好像给时间这个调皮小鬼套上了缰绳！9. 哇，条件极值拉格朗日乘数法解方程真的不容小觑啊！在工程设计中，要让结构既坚固又节省材料，靠的就是它呀。
这跟打造一把绝世好剑有啥区别！10. 嘿，听我说，条件极值拉格朗日乘数法解方程绝对是个宝贝！在选择职业发展道路时，它能帮你找到最适合你的方向。
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拉格朗日乘数法在高中数学的应用
拉格朗日乘数法在高中数学的应用在高中数学中，拉格朗日乘数法是一种常见且实用的数学方法，用于求解约束最优化问题。
它的应用范围广泛，可以涉及函数的最大值、最小值等求解。
下面将介绍拉格朗日乘数法在高中数学中的应用。
首先，我们来了解一下拉格朗日乘数法的基本原理。
在求解约束最优化问题时，我们常常会遇到一些约束条件，这些条件往往会限制我们寻找最优解的范围。
此时，拉格朗日乘数法可以帮助我们找到可行解，即满足约束条件的最优解。
具体地说，对于一个约束最优化问题，我们假设有m个约束条件和n个优化变量，我们的目标是找到一个点，使得目标函数达到最大或最小的值，同时满足约束条件。
使用拉格朗日乘数法，我们可以将该问题转化为一个新的问题，其中加入了一个拉格朗日乘数λ。
通过求解这个新问题，我们可以得到原问题的最优解。
其次，在应用拉格朗日乘数法时，我们需要注意以下几个步骤。
首先，我们需要建立原问题的拉格朗日函数，在该函数中引入拉格朗日乘数λ并加入约束条件。
接下来，我们需要求解拉格朗日函数的局部极值点，这一步骤可以使用多元函数的极值判定方法进行求解。
最后，我们需要检验所得极值点是否满足约束条件，如果满足则为原问题的最优解。
拉格朗日乘数法的应用不仅限于单一约束条件的求解，当存在多个约束条件时，我们可以通过引入多个拉格朗日乘数来求解。
此外，在实际应用中，我们还可以通过拉格朗日乘数法进行一些优化问题的求解，如边界问题、非线性问题等。
总的来说，拉格朗日乘数法在高中数学中的应用是十分广泛的。
它不仅可以帮助我们求解约束最优化问题，还可以提供一种思维方式和方法，帮助我们分析和解决其他类型的数学问题。
通过掌握和应用拉格朗日乘数法，我们可以更深入地理解数学问题的本质，并在实际问题中灵活应用。
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7-7 5
拉格朗日乘数法
要找函数 z f ( x , y ) 在条件 ( x , y ) 0 下的 可能极值点， 1. 先构造函数 F ( x , y ) f ( x , y ) ( x , y )， 其中 为拉格朗日乘数. 2. 由
f x ( x , y ) x ( x , y ) 0, f y ( x , y ) y ( x , y ) 0, ( x , y ) 0. 解出 x , y , ，其中( x , y )就是可能的极值点的坐
标.
7-7 6
更一般的情形
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况： 要找函数 u f ( x , y , z , t ) 在条件 ( x , y , z , t ) 0 ， ( x , y , z , t ) 0 下的极值， 先构造函数 F ( x , y , z , t ) f ( x , y , z , t ) 1 ( x , y , z , t ) 2 ( x , y , z , t ) 其中 1 , 2 均为拉格朗日乘数，可由 偏导数为零及 约束条件解出 x , y , z , t ，即得可能的极值点的坐标.
7-7 14
思考题解答
思考题解答
不是.
例如 f ( x , y ) x y ,
2 2
2 ( 0,0) 取极大值; 当 x 0 时， f ( 0, y ) y 在
(0,0) 取极小值; 当 y 0 取极值. 但 f ( x, y) x y 在
7-7 3
7.7 条件极值与拉格朗日乘数法
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
实例：求表面积为 S(固定) 、体积最大的长方 体的体积 V ( x , y , z ) xyz 求极值
2 xy 2 yz 2 zx S
限制条件
7-7 4
求条件极值的方法
1. 转化为无条件极值问题.
2. 利用拉格朗日乘数法.
2 2
10 10 1 1 51 50 5 2
比较可知
1 1 最大值为 ，最小值为 . 2 2
7-7 12
小结
求条件极值的方法:
1. 转化为无条件极值.
2. 利用拉格朗日乘数法. 注意要正确 地写出目标函数和约束条件.
7-7 13
思考题
思考题
若 f ( x 0 , y ) 及 f ( x , y 0 ) 在( x 0 , y 0 ) 点均取得 极值， 则 f ( x , y ) 在点( x 0 , y0 ) 是否也取得极值？
7-7 2
回顾：多元函数的最值的求法
与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值. 设函数在有界闭区域 D 上连续，在D内 可微且只有有限个驻点。
则可按如下方法求最值： 将函数在区域 D 内的所有驻点处的 函数值及在D 的边界上的最大值和最小 值相互比较，其中最大者即为最大值， 最小者即为最小值.
7-7 1
回顾：求极值的一般步骤
求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤：
第一步 解方程组 f x ( x , y ) 0,
f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 ) ，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步
定出 B
2
AC 的符号，再判定是否是极值.
7-7 7
例题1
将正数 12 分成三个正数 x , y , z 之和 使得 u x 3 y 2 z 为最大.
解 令 F ( x , y , z ) x 3 y 2 z ( x y z 12) ,
Fx 3 x 2 y 2 z 0 3 F 2 x yz 0 y 则 解得唯一驻点(6,4,2) ， 3 2 Fz x y 0 x y z 12 3 2 故最大值为 umax 6 4 2 6912.
1 1 1 z( , ) , z ( 1 , 1 ) 1 , 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 , ) 和( , ) , 得驻点( 2 2 2 2
7-7 9
例题2续
x y z 2 x y2 1
在边界上 {( x, y ) | x 2 y 2 50} 利用拉格朗日乘数法得可能的最值点为 （5，5）以及（－5，－5）： z(5,5)=10/51 z(-5,-5)=-10/51
根据具体情况从实际问题的物理、几何、经济意义 可以判断是否为最值
7-7 8
例题2
x y 在区域{( x , y ) | x y 50} 上,求z 2 2 x y 1
2 2
的最大值和最小值.
解 由
( x 2 y 2 1) 2 x ( x y ) zx 0, 2 2 2 ( x y 1) ( x 2 y 2 1) 2 y( x y ) zy 0, 2 2 2 ( x y 1)